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ENIB 2010 Cours d’économie La Technologie de production à Court terme Introduction Au sens économique, l’entreprise ou la firme est une unité technique qui combine divers facteurs de production ou « inputs » (capital, travail,…etc.) afin de produire des biens et services ou « outputs » et par la suite satisfaire le consommateur. Le court terme est défini comme étant la période durant laquelle un ou plusieurs facteurs sont fixes. Il s’agit donc de déterminer le facteur variable compatible avec les facteurs fixes, il s’agit donc d’un problème de combinaison optimale. A long terme, tous les inputs sont variables, c’est donc un problème de capacité de production optimale. On suppose que le producteur utilise deux inputs soit le capital noté K et le travail noté L. Section I – La fonction de Production 1- Notion de fonction de production : productivité totale A court terme on suppose que le capital est constant, on le note K q = quantité produite q = f( K , L) : productivité totale de L C’est la quantité d’output obtenue par un producteur en combinant un input fixe avec un input variable selon une technique de production déjà choisie. Exemple Soit un artisan fabricant des chaussures, il dispose de 4 machines. Il est possible d’obtenir différentes quantités de production en modifiant le facteur variable = heure de travail. K = 4 machines (facteur fixe) L = nombre d’heures de travail (facteur variable) q = la production obtenue. K = 4 L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 q 0 2 6 11 19 25 28 28 26 Δq /ΔL +2 +4 +5 +8 +6 +3 0 -2 q / L 0 2 3 3.66 4,75 5 4.66 4 3.25 Nahali Mohamed ali http://nahalimohamedali.0fees.net 1

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  • ENIB 2010 Cours dconomie

    La Technologie de production Court terme

    Introduction

    Au sens conomique, lentreprise ou la firme est une unit technique qui combine

    divers facteurs de production ou inputs (capital, travail,etc.) afin de produire des biens et services ou outputs et par la suite satisfaire le consommateur.

    Le court terme est dfini comme tant la priode durant laquelle un ou plusieurs facteurs sont fixes. Il sagit donc de dterminer le facteur variable compatible avec les facteurs fixes, il sagit donc dun problme de combinaison optimale.

    A long terme, tous les inputs sont variables, cest donc un problme de capacit de production optimale.

    On suppose que le producteur utilise deux inputs soit le capital not K et le travail not L.

    Section I La fonction de Production 1- Notion de fonction de production : productivit totale A court terme on suppose que le capital est constant, on le note K q = quantit produite q = f( K , L) : productivit totale de L Cest la quantit doutput obtenue par un producteur en combinant un input fixe avec

    un input variable selon une technique de production dj choisie.

    Exemple Soit un artisan fabricant des chaussures, il dispose de 4 machines. Il est possible

    dobtenir diffrentes quantits de production en modifiant le facteur variable = heure de travail.

    K = 4 machines (facteur fixe) L = nombre dheures de travail (facteur variable) q = la production obtenue.

    K = 4 L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 q 0 2 6 11 19 25 28 28 26

    q /L +2 +4 +5 +8 +6 +3 0 -2 q / L 0 2 3 3.66 4,75 5 4.66 4 3.25

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    Cest lallure gnrale de la fonction de production. Il existe diffrentes sortes de

    fonctions de production proportion variable, la plus connue est celle de Cobb Douglass qui est de forme :

    q

    L

    Point d'inflexion

    M

    q = A K L q : output L = facteur travail K : facteur capital. A = constante indiquant le niveau technologique de la production. 2- Productivit moyenne et productivit marginale a- Dfinitions La productivit moyenne cest la quantit doutput obtenue en moyenne par chaque

    unit dinput variable

    L

    L),Kf(Lq PM L ==

    La productivit marginale dun facteur cest laugmentation de la production totale rsultant de laccroissement de la quantit du facteur variable utilis par une unit. Cest la drive de la fonction de production par rapport linput variable

    q

    L),Kdf(dLdqP

    Lm==

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    b- Analyse graphique

    b1 Productivit moyenne

    M q

    P

    I

    A

    L

    On peut retrouver la valeur de la productivit moyenne en chaque point de la courbe de la productivit totale.

    Pm PM A'

    P'

    PM

    L Pm

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    La productivit totale est croissante jusquau point M puis elle est dcroissante donc est positive jusquau point M puis devient ngative.

    LmP

    La productivit marginale admet un maximum quand sa drive sannule. Cette dernire est la drive seconde de la fonction de production. Ceci correspond donc au point dinflexion de la courbe de productivit totale A. La Pm sannule lorsque la PT est maximale. La correspond la pente de la tg la courbe.

    LmP

    b3- Relation entre Pm et PM Pour que la productivit moyenne augmente il faut que Pm > PM . En nimporte quel point de la courbe de la productivit totale on peut tracer deux

    tangentes, celle de langle lorigine qui nous donne la productivit moyenne et celle au point lui-mme qui nous donne la productivit marginale. Au point P, les deux tangentes sont confondues donc la productivit marginale est gale la productivit moyenne. Ainsi la courbe de Pm passe par le maximum de la courbe de PM.

    On peut dmontrer ceci analytiquement : Si PML a un maximum (PML)' = 0.

    0L

    q.1-L dLdq

    0 Lq ==

    Lq

    dLdq 0q-L

    dLdq ==

    Lm PMP L =

    b4- Relation Pm et PT Loi des rendements dcroissants : la quantit dun facteur variable combin un

    facteur fixe crot. La production totale crot au dbut un rythme croissant puis un rythme dcroissant.

    . Pm PT avec un taux croissant . Pm PT avec un taux dcroissant . Pm = 0 PT max . Pm < 0 PT

    b5- Relation PM et PT . PM PT plus rapidement que L . PM PT moins rapidement que L

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    3- Les phases de la production

    1ere phase

    Elle est caractrise par le fait que la Pm est toujours suprieure la PM donc la productivit dun ouvrier additionnel est suprieure la productivit moyenne des ouvriers dj existants. Il est donc absurde de sarrter avant le point P.

    PmL

    PML

    PML PmL

    Phase I Phase II Phase III

    A' P'

    M'

    Jusquau point P le rapport facteur fixe sur facteur variable LK est trop lev pour tre

    conomiquement valable. (Il y a une faible utilisation du facteur fixe). Cette phase est dite phase dincitation la production.

    a- 2me phase Cette phase commence ds que la Pm est infrieure la PM et sarrte lorsque la Pm est

    gale zro. Elle est caractrise par des Pm et PM dcroissantes. Cest la phase qui est conomiquement valable et acceptable par un producteur rationnel.

    A partir du point P si on continue augmenter L, la production totale augmentera mais moins proportionnellement que L puisque chaque unit de travail dispose dun nombre dunit de facteur fixe relativement moins lev. Cette phase permet datteindre le maximum de la production au point M o la = 0.

    LmP

    b- 3me phase Elle correspond la zone o la productivit marginale est ngative. La productivit

    totale diminue mme si on augmente L. Cest la zone de gaspillage ou dinefficience conomique que tout producteur rationnel cherche viter. Cest la phase non conomique.

    4- Exemple Soit une unit de production agricole ayant 10 hectares, Il est possible dobtenir

    diffrents niveaux de production en modifiant la quantit de L exprime en nombre douvriers.

    q = f( K ,L) = F(L)

    L 1 2 3 4 5 6 7 8 q 10 24 39 52 61 65 65 64 K / L 10 5 10/3 10/4 10/5 10/6 10/1 10/8 PML 10 12 13 13 12,2 10,8 9,3 8

    LmP - 14 15 13 9 4 0 -1

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    a- Dterminer les K /L, et PMLm

    P L pour les diffrents niveaux de L. b- Reprsenter graphiquement q, PML et et commenter.

    LmP

    .

    PmL

    PML

    PML PmL

    Phase I Phase II Phase III

    A' P'

    M'

    q

    L

    3 4 7

    La loi des rendements marginaux dcroissants commence partir de la quantit de L suprieure 3.

    . La phase dincitation la production prend fin L = 4.

    . Cest lutilisation du facteur fixe exprime par le coefficient technique LK qui

    explique la croissance puis la dcroissance de la Pm L. Ltape I et III sont liminer, le producteur choisira ltape II lquilibre du

    producteur court terme se trouve dans cette zone. Section II Les lasticits des outputs par rapport aux inputs 1- Dfinition Llasticit de la production par rapport un facteur de production est la variation

    relative de la production rapporte la variation relative de ce mme facteur, les autres facteurs tant constants.

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    Lq

    dLdq

    qLx

    dLdq

    ~

    LL

    qq

    e(q/L) =

    =

    e(q/L) = L

    m

    PMP

    L

    Llasticit de la production par rapport un facteur est gale au rapport de la Pm de ce facteur la PM.

    2- Proprits Ltape II est conomiquement valable, elle commence quand la PM = Pm e(q / L)

    = 1. Elle sarrte lorsque = 0 e(q / L) = 0. Lm

    PAinsi llasticit de la production par rapport un facteur prend des valeurs entre un

    et zro. Elle est par consquent toujours positive et dcroissante sur la seconde tape de la production.

    3- Exemple : fonction Cobb-Douglass

    LmP = A K L-1 e(q/L) =

    LmP = AKL-1

    kmP = AK-1L ==

    PMKPmKe(q/K)

    PMK = A K-1 L

    Ainsi les deux constantes et de la fonction Cobb-Douglass nous indiquent les contributions respectives des deux facteurs de production (K et L) la production totale, ce sont prcisment les lasticits de production de ces facteurs.

    4- Exemple Une production utilise deux facteurs de production K et L pour produire un output q. Dfinir les intervalles de variation de L correspondants aux diffrentes tapes de

    production et tracer les trois courbes de productivit si K = 2. Sa fonction de production est q = 60 KL - KL3

    L

    m

    PMP

    e L= = 120 KL 3KL = 60 KL KL Lm

    PLm

    P

    L-603L-120e =

    . Si e > 1 120 3L > 60 L 60 > 2L L < 30

    . Si e = 1 L = 30

    . Si e < 1 L > 30

    . Si e = 0 L = 40

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    PmL

    PML

    PML PmL

    Phase I Phase II Phase III

    A' P'

    M'

    q

    L

    64000

    52000

    32000

    PT

    2400 1800

    20 30 40

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    Chapitre II

    La thorie de la Production long terme Introduction Le long terme est la priode durant laquelle tous les facteurs de production sont

    variables. Ainsi durant ce chapitre nous allons supposer que lentrepreneur a deux sortes de problme :

    1- Lentrepreneur na pas encore dusine, il doit par consquent prendre des dcisions importantes telle que la production totale, la technologie, le nombre dusine, la localisation, etc.

    2- Lentrepreneur essaye de changer la capacit de production de son usine existante. Il doit savoir sil doit garder la mme technique de production (K/L) ou la changer.

    Section I Isoquants, isocots et substitution Il existe une trs grande analogie entre la thorie de la production long terme et la

    thorie du consommateur. En effet : - A la courbe dindiffrence correspond lisoquant. - A la contrainte budgtaire correspond lisocot. - Au TMS correspond le taux marginal de substitution technique (TMST).

    1- Les isoquants a- Dfinition Cest le lieu gomtrique de lensemble des combinaisons de K et L techniquement

    efficaces donnant le mme niveau doutput. Donc un isoquant est une courbe dans lespace des facteurs (K,L) montrant toutes les

    combinaisons possibles de K et L capables de donner lieu un certain niveau de production q . Son quation est de la forme q = f(K , L)

    Ainsi tout dplacement sur un mme isoquant quivaut un changement technique

    (K/L) par contre un dplacement sur un mme segment dun isoquant un autre quivaut un changement de niveau de production avec la mme technique.

    K

    L

    b- Proprits Les isoquant ont les mmes proprits que les courbes dindiffrence :

    1- Les isoquants se trouvent partout dans lespace des facteurs. 2- Les isoquants ne sentrecoupent pas 3- Les isoquants sont convexes 4- Les isoquants ont une pente ngative

    c- Les fonctions de production proportions fixes

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    Il existe des fonctions de production qui ne comportent quune seule technique de production, les isoquants prennent la forme dun point.

    K L q 2 3 1 4 6 2 6 9 3

    * L important * K important 2K q = 1 3L q = 1 4K q = 2 6L q = 1 6K q = 3 9L q = 3

    Le rapport K/L est toujours constant lentrepreneur ne dispose que dune seule

    technique, il ne peut pas substituer du capital au travail ou vice versa. Conclusion

    A

    B

    C

    D

    Q=1

    Q=2

    Q=3

    K

    L

    La forme des isoquants informe donc sur le niveau de substituablit des facteurs :

    Isoquant est une droite K et L sont parfaitement substituables Isoquant en coude aucune substituabilit La courbe convexe est le cas le plus proche de la ralit (cas gnral). c- Les rgions de production

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    10Zone de production efficace Ligne crte relative KK B3 B2

    Ligne crte relative L B1

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    PmL = 0 A1, A2 et A3 PmK = 0 B1, B2 et B3 .

    Pour retrouver la zone de production efficace il faut connatre la forme des isoquants

    lors des diffrentes tapes de production. Contrairement aux courbes dindiffrence, les isoquants peuvent avoir dans certaines rgions des pentes positives au point A1 PmL = 0. Si on continue augmenter L alors PmL va diminuer PmL < 0 ce qui correspond ltape de gaspillage conomique dans la rgion A1A2L on a PmL < 0.

    Par un raisonnement identique, on dmontre que la zone B1B2K nest pas valable conomiquement.

    2- TMST

    Cest la quantit de travail que le producteur doit abandonner pour utiliser une unit supplmentaire du capital tout en restant sur le mme isoquant. Cest loppos de la valeur de

    la pente de la tangente lisoquant TMST = - dLdK .

    Cest aussi le rapport de la productivit marginale de L et de la productivit marginale

    de K. TMST = K

    L

    PmPm

    Dmonstration

    constante d q = 0 d q = 0 dL Lf dK

    Kf =

    + q

    TMSTK,L dLdK-

    PP

    Km

    Lm = (mme isoquant)

    3- Les isocotsSoit un producteur en face de 2 inputs K et L produisant un output q. Il dispose dun

    budget, dterminer pour lachat des deux facteurs K et L dont il connat les prix : C : budget du producteur w : cot unitaire du travail r : cot unitaire du capital

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    C = wL + rK

    L

    K

    C/r

    C/

    Lisocot a les mmes proprits que la droite du budget chez le consommateur. Forme explicite : L = c/ - c/r K L =

    wr-

    dKdL = : la pente de lisocot

    Section II - Lquilibre du producteur Le producteur dispose de deux facteurs de production variable K et L en vue de

    produire un output q. Sa fonction de production est connue q = f(K,L). Il connat les prix unitaires du capital et du travail qui sont respectivement r et w. Cet entrepreneur peut avoir trois objectifs diffrents :

    - Maximiser sa production q avec un certain budget - Minimiser son cot C pour produire une certaine quantit - Maximiser son profit en supposant quil connat le prix de vente de son output. 1- La maximisation de la production avec un budget donn (problme analogue

    celui du consommateur). a- Graphiquement

    Lentrepreneur connat son budget prvisionnel quil doit entirement utiliser et jamais

    dpasser.

    +==

    rKwLC

    L)f(K,qMax

    B

    A E

    q1

    q2

    q3

    L*

    K*

    C / r

    C/

    K

    L

    Cet entrepreneur ne peut atteindre le niveau q3 avec son budget. Il na pas intrt produire q1 (A ou B) puisquil peut atteindre un niveau de production suprieur avec son budget. Ainsi lquilibre est atteint au point E, point o lisocot est tangent lisoquant .

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    =

    =

    rw

    dLdK -Isocot E

    dLdK

    PmPm qE

    K

    L2

    TMST = rw

    PmPm

    K

    L = b- Analytiquement

    +==

    rKwLC

    L)f(K,qMax

    L ( , K,L) = f(K,L) + ( C - wL rK) . Condition du 1er ordre

    w

    Pmr

    P

    wr

    PmPm

    0r-Pm

    0wPm0rK-wL-C

    0L

    0L

    0LL

    Km

    L

    K

    K

    L'K

    'L

    '

    ==

    ===

    ===

    rw

    PmPm

    K

    L = . Condition du 2me ordre det(matrice hessienne) = H > 0 = multiplicateur de Lagrange. 2. La minimisation du cot total pour la production dune quantit donne. a- Graphiquement

    D E

    A

    B

    C1 C2 C3

    q

    L

    K

    Lentrepreneur na pas intrt produire au produire A et B puisquil y a la possibilit de produire au point E un cot total infrieur car C1 < C2 .

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    mme condition dquilibre TMST = rw

    b- analytiquement

    =+=

    L)f(K,q

    rKwLCMin

    L ( , K,L) = wL + rK + ( q - f(K,L)

    wr

    PP

    0P -wL

    0P -rL

    0L)f(K,qL

    Lm

    Km

    Lm

    'L

    Km

    'K

    '

    =

    ======

    3- La maximisation du profit = RT CT = pq wL - rK = pf(K,L) wL rK Maximiser le profit revient maximiser une fonction deux variables sans contrainte. Max Max pf(K,L) wL rK . Condition du 1er ordre

    =

    =

    ==

    ==

    K

    L

    K

    L'K

    'L

    PmrP

    PmwP

    0r-PmP

    0w-Pm P

    00

    rw

    PmPm

    K

    L = . Condition du 2me ordre

    0 0 0 "K"K

    "KL

    "K

    "L"

    L2

    2

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    Cest le lieu de tous les points dquilibre lorsque le cot total varie, les cots unitaires

    des facteurs w et r tant constants. Cest le chemin que lentreprise va suivre si elle dcide de modifier sa capacit de production.

    Section III Les rendements lchelle 1- Dfinition Soit un entrepreneur disposant dune menuiserie comprenant 5 machines et 10

    ouvriers produisant 50 tables par semaine. Que se passe-t-il au niveau de la production lorsque les quantits utilises de tous les facteurs varient simultanment dans la mme proportion (dans cet exemple K et L sont multiplis par 2) ?

    K = 5 K = 10 L = 10 L = 20

    q = 50 q > q

    ===

    80q'100q'120q'

    1- La production augmente dans une proportion suprieure 2. Dans ce cas lentrepreneur bnficie d conomie dchelle et ses rendements sont croissantes lchelle , le cot moyen par table a diminu.

    2- La production est multiplie par 2, lentrepreneur connat alors des rendements constants lchelle et ce car ses inputs et son output ont le mme taux de croissance. Le cot moyen par table est constant.

    3- La production augmente dans une proportion moindre. Dans ce cas les rendements sont dcroissants lchelle . Lentrepreneur subit des dsconomies dchelle . Le cot moyen par table est croissant.

    Conclusion La notion des rendements lchelle nous indique leffet dune variation simultane

    de tous les facteurs de production dans la mme proportion sur le niveau de production. Le producteur peut connatre des rendements croissants, dcroissants ou constants lchelle en fonction de limportance du taux de croissance de sa production par rapport celui de tous les inputs.

    2- Formulation mathmatique a- Les fonctions de production homognes Soit une fonction z = f(x.y), on dit que cette fonction est homogne de degr t si on a la relation suivante : > 0 f( x, y) = t f(x,y)

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    Nous allons tudier la notion de rendements dchelle pour les fonctions de production homognes

    > 0 f( K, L) = t f(K,L) . Si t = 1 : cest une fonction de production homogne linaire ou de degr 1 cest le

    cas des rendements constants lchelle. . Si t < 1 : rendements lchelle dcroissants . Si t > 1 : rendements lchelle croissants b- Le coefficient de la fonction (ou lasticit dchelle) Cest le rapport de deux variations relatives qui permet de mesurer la variation de la

    quantit de loutput suite la variation de K et L de 1 % pour le biais de leurs facteurs multiplicatif Cette lasticit montre de degr des rendements lchelle.

    = q

    q

    . > 1 >

    qq rendements lchelle croissants

    . < 1

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    Le coefficient de la production est gal la somme des lasticits de production par rapport tous les facteurs de production lorsque ces derniers varient simultanment et dans la mme proportion.

    Exempleq = A K L

    e(q / K) = e(q / L) = = +

    . si + = > 1 Rendements croissants lchelle . si + = < 1 Rendements dcroissants lchelle . si + = = 1 Rendements constants lchelle 3- Origine et importance des conomies et dsconomies dchelle Les conomies dchelle trouvent leurs origines dans des facteurs dordre

    technologique et organisationnel, elles se traduisent pour une baisse du cot moyen ( LT). Quand la taille de lentreprise augmente et la production crot, on peut raliser des conomies grce une meilleure technique de production, une plus grande division du travail, une plus importante spcialisation et une plus rationnelle utilisation des quipements.

    Les dsconomies dchelle se traduisent par une hausse du cot moyen lorsque lactivit de lentreprise devient trop importante, elles trouvent leurs origines dans la hausse du cot de contrle car lentreprise devenant trop grande est difficilement contrlable.

    Toutes les entreprises passent au dbut par une phase dconomie dchelle pour atteindre par la suite une phase de dsconomie dchelle.

    Economie d'chelle Dsconomie d'chelle

    A

    B

    C

    CMLT

    q* q

    de A B = CMLT phase dconomie dchelle de B C = CMLT phase dsconomie dchelle Latteinte de la phase de dsconomie dchelle dpend de la taille de lentreprise et

    de son type dindustrie (industries lourdes : q important, petites industries : q faible). Ainsi la notion dconomie ou dsconomie dchelle est importante, elle permet au

    producteur de dcider daccrotre la production ou de crer une nouvelle unit de production, elle laide choisir la taille conomique et technique optimale de son activit.

    Cette notion est aussi importante sur un plan macro-conomique surtout en conomie de dveloppement. (choix des secteurs dinvestissement, choix des techniques de production

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    et des stratgies de dveloppement). Cette notion sera reprise dans la thorie des cots long terme.

    Section IV La substitution des facteurs de production 1- Llasticit de substitution Cest le rapport de deux variations relatives qui permet de mesurer la modification de

    K/L (la technologie) suite une variation de w/r de 1%. Un producteur choisit sa technologie K/L en fonction des prix r et w des facteurs de

    production. Si lun change K/L varie, l'objectif est de garder une technologie optimale par rapport aux cots des facteurs.

    w/r(w/r)K/L(K/L)

    =

    . si = 1 La modification de rw est raisonnable

    . si > 1 La modification de

    LK est plus importante que celle de

    rw .

    Lentrepreneur anticipe laugmentation K/L pour tre en mesure de faire face une ventuelle nouvelle modification de

    rw .

    . < 1 Cest le cas des paradis fiscaux, lentrepreneur modifie dune manire faible sa technologie parce quil juge la situation est toujours favorable par rapport son pays dorigine. Plus est faible, plus la technologie de production est rigide et moins elle autorise la

    substitution des facteurs de production. permet de garder une technologie optimale en fonction des variations des prix des

    facteurs de production. Exemple : la fonction Cobb Douglass q = A KL

    lquilibre TMST = rw

    PmPm

    K

    L =

    rw

    L K

    rw

    LAKL BAK1-

    1-=

    =

    lquilibre

    TMST(TMST)

    K/L(K/L)

    =

    Soit LK = t TMST = v

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    18

  • ENIB 2010 Cours dconomie

    vvtt

    = or TMST =

    LK v =

    t t = v

    = tv x

    dvdt

    =dvdt

    = 1v

    v =

    Ainsi llasticit de substitution dans le cas de la fonction Cobb Douglass est toujours gale 1.

    2- Effet de substitution et de production

    Supposons que taux de salaire augmente w v w

    w > w

    K

    S

    E KS KE KT

    T

    L Exactement comme pour le consommateur :

    LTLSLE

    - De E S : effet substitution ( L K ) - De S T : effet de production Lentreprise narrive plus produire la mme quantit cause de laugmentation du

    taux de salaire - De E T : effet total de laugmentation du taux de salaire. Lentrepreneur a besoin

    dune subvention pour retrouver lisoquant initial. RemarqueComme pour le consommateur on parle de produits normaux, infrieurs ou suprieurs,

    on parle pour le producteur de facteurs de production infrieurs, suprieurs ou normaux.

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    La Technologie de production Court terme A court terme on suppose que le capital est constant, on le note q = f( , L): productivit totale de L = 4 machines (facteur fixe) = 4

    Chapitre IILa thorie de la Production long termeIntroductionLe long terme est la priode durant laquelle tous les facteurs de production sont variables. Ainsi durant ce chapitre nous allons supposer que lentrepreneur a deux sortes de problme: Lentrepreneur na pas intrt produire au produire A et B puisquil y a la possibilit de produire au point E un cot total infrieur car C1 < C2 .Max ( ConclusionSoit une fonction z = f(x.y), on dit que cette fonction est homogne de degr tsi on a la relation suivante: