A1) TD : Suites.

A1.1) Étudier la suite définie par : u0 = 0 et un+1 = 2 + un .

- Corrigé : La fonction f(x) = 2 + x admet une dérivée strictement positive : f '(x) = 1/4 x 2 + x ; la suite croît donc comme u1 - u0 = 2 , elle est strictement croissante. On peut montrer simplement qu'elle est borné, par exemple par 4 : u0 < 4 , un < 4 ⇒ un+1 < f(4) = 2 < 4 (cqfd). Il s'en suit qu'elle converge. Il faut donc rechercher un point fixe x ≥ 0 : f(x) = x ⇔ 2 + x = x² ⇒ x = (x² - 2)² ⇔ x4 - 4x² - x + 4 = 0 . La racine 1 est évidente : (x - 1)(x³ + x² - 3x - 4) = 0 . Comme 1 n'est pas point fixe (cf. l'implication), il reste à résoudre g(x) = x³ + x² - 3x - 4 = 0 ; g'(x) = 3x² + 2x - 3 admet l'unique racine positive (10 - 1)/3 dont l'image par g vaut -(79 + 2010)/27 et comme g(2) = 6 > 0 , selon le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique annulation α ≈ 1,83 qui est aussi la limite de la suite (un) .

Avec MAPLE : α = ((316 + 12 249)1/3 + 40.(316 + 12 249)-1/3 - 2)/6 . A1.2) Étudier la suite définie par : a) u0 > 0 et un+1 = un + 1/un ; b) u0 < 0 et un+1 = un + 1/un .

- Corrigé : a) On montre par récurrence que la suite est strictement positive. Ensuite : un+1 - un = 1/un > 0 . La suite est donc strictement croissante. Supposons qu'elle admet une limite finie a ; alors :

a = limn → ∞

un+1 = limn → ∞

(un + 1/un) = a + 1/a , d'où : 1/a = 0 , ce qui est impossible. Il s'en suit que : limn → ∞

un = +∞ .

b) On montre d'abord par récurrence que la suite est strictement négative. Ensuite : un+1 - un = 1/un < 0 . La suite est donc strictement décroissante. Supposons qu'elle admet une limite finie a ; alors :

a = limn → ∞

un+1 = limn → ∞

(un + 1/un) = a + 1/a , d'où : 1/a = 0 , ce qui est impossible. Il s'en suit que : limn → ∞

un = -∞ .

A1.3) Étudier la suite définie par : u0 donné et un+1 = a.un + b , où a et b sont des réels donnés (montrer qu'il existe

dans certains cas une constante k telle que vn = un + k est une suite géométrique) .

- Corrigé : Si a = 0 c'est une suite constante ; si a = 1 c'est une suite arithmétique. On suppose ensuite a ≠ 0 et a ≠ 1 :

On cherche vn = un + k telle que vn+1 = a.vn : un+1 + k = a(un + k) = a.un + b + k , d'où : k = b/(a - 1) . Par suite :

vn = v0.an

, et un = (u0 + b/(a - 1)).an - b/(a - 1) . A1.4) Soit une suite (un) telle que les sous-suites (u2n) , (u2n+1) et (u3n) convergent. Montrer que (un) converge.

- Corrigé : (u6n) admet la même limite que (u2n) et (u3n) car c'est une suite extraite commune. Donc (u2n) et (u3n) admettent la même limite. (u6n+3) admet la même limite que (u2n+1) et (u3n) car c'est une suite extraite commune. Donc (u2n+1) et (u3n) admettent la même limite. Par suite, les trois sous-suites admettant la même limite, la réunion des sous-suites (u2n) et (u2n+1) englobant tous les termes de la suite (un), elle converge vers cette limite commune. A1.5) Soit une fonction numérique f dérivable telle que sa dérivée admette une limite finie ou non en +∞ . Étudier la suite (un) définie par : un = f(n + 1) - f(n) . (Utiliser le théorème des accroissements finis).

- Corrigé : T.A.F. : ∀ n ∈ � , ∃ xn ∈ ]n , n+1[ , un = f(n + 1) - f(n) = f '(xn) . Il s'en suit que (un) admet la même limite que f ' (car lim

x→∞ f '(x) = lim

n→∞ f '(xn)) .

A1.6) Étudier le couple de suites définis par : 0 < u0 < v0 , et : un+1 = unvn , vn+1 = (un + vn)/2 . (Montrer qu'elles sont

adjacentes).

A1-2

- Corrigé : On montre facilement par récurrence que les deux suites sont strictement positives. On calcule ensuite vn+1 - un+1 = ( vn - un)²/2 , ce qui prouve que (vn) majore (un) à partir du rang 1 ; comme l'énoncé admet cette propriété au rang 0 , elle est vraie sur � . Ensuite : un+1 - un = un( vn - un) , (un) est croissante , de même vn+1 - vn = (un - vn)/2 , (vn) est décroissante. Il s'en suit que ces deux suites convergent car (un) est majorée par v0 et (vn) est minorée par u0 (il est interdit d'utiliser des minorants ou majorants dépendant de n pour conclure,

car la suite wn = n est croissante majorée par n + 1). Enfin, si on appelle a et b les limites respectives de (un) et (vn) , alors, en passant à la limite dans la définition des suites : a = ab et b = (a + b)/2 , d'où l'on déduit facilement que a = b ; ce sont bien des suites adjacentes (il serait beaucoup plus difficile ici de montrer que la différence tend vers 0). A1.7) Étudier le couple de suites définis par : 0 < u0 < v0 , et : un+1 = 2unvn/(un + vn) , vn+1 = (un + vn)/2 . (Montrer

qu'elles sont adjacentes).

- Corrigé : On montre facilement par récurrence que les deux suites sont strictement positives. On calcule ensuite vn+1 - un+1 = (vn - un)²/2(un + vn) , ce qui prouve que (vn) majore (un) à partir du rang 1 ; comme l'énoncé admet cette propriété au rang 0 , elle est vraie sur � . Ensuite : un+1 - un = un(vn - un)/(un + vn) , (un) est croissante , de même vn+1 - vn = (un - vn)/2 , (vn) est décroissante. Il s'en suit que ces deux suites convergent car (un) est majorée par v0 et (vn) est minorée par u0 (il est interdit d'utiliser des minorants ou majorants dépendant de n pour

conclure, car la suite wn = n est croissante majorée par n + 1). Enfin, si on appelle a et b les limites respectives de (un) et (vn) , alors, en passant à la limite dans la définition des suites : a = 2ab/(a + b) et b = (a + b)/2 , d'où l'on déduit facilement que a = b ; ce sont bien des suites adjacentes (il serait beaucoup plus difficile ici de montrer que la

différence tend vers 0).

A1.8) a) Étudier la suite (un) définie par : un = (n

k=1∑ 1/ k)/ n (montrer que : ∫

k+1

k dt/ t ≤ 1/ k ≤ ∫

k

k-1 dt/ t) .

b) Soit vn = n(un - 2) , et wn = vn-1 - vn ; étudier la série de terme général wn , puis la suite (vn) .

- Corrigé : a) ∫k+1

k dt/ t = 2( k + 1 - k) = 2/( k + 1 + k) , et : ∫

k

k-1 dt/ t = 2( k - k - 1) = 2/( k + k - 1) ;

d'où : 2/( k + 1 + k) ≤ 2/( k + k) ≤ 2/( k + k - 1) , c'est-à-dire : ∫k+1

k dt/ t ≤ 1/ k ≤ ∫

k

k-1 dt/ t . Par suite :

(n

k=1∑ ∫

k+1

k dt/ t)/ n ≤ un ≤ (

n

k=1∑ ∫

k

k-1 dt/ t)/ n , c'est-à-dire : (∫

n+1

1 dt/ t)/ n ≤ un ≤ (∫

n

0 dt/ t)/ n ; et finalement :

2( n + 1 - 1)/ n ≤ un ≤ 2 , d'où l'on déduit que (un) converge vers 2 . b) wn = vn-1 - vn = ... = 2( n - n - 1) - 1/ n = 2/( n + n - 1) - 1/ n = ... = 1/ n( n + n - 1)² , d'où l'on déduit

que wn converge vers 0 , mais surtout : wn ~ 1/4n3/2 . La conséquence en est que la série de terme général wn

est convergente. Or : n

k=1∑ wk = v0 - vn ; il est donc clair que la suite (vn) converge.