AUTOUR DE LA « THÉORIE DE L’AMBIGUÏTÉ »,DE GALOIS À NOS JOURS

par

Yves André

Résumé. Évariste Galois, dont on célèbre le bicentenaire cette année, estl’auteur d’une « théorie de l’ambiguïté » où se profilent les idées de groupeet d’invariant qui allaient unifier l’algèbre et la géométrie, et jouer un rôlefondamental bien au-delà. Ces exposés présenteront un libre parcours reliantdivers développements plus ou moins récents des idées galoisiennes en arithmé-tique, dans l’étude des équations différentielles linéaires, en theorie des nombrestranscendants, etc.

Table des matières1. Introduction. « Théorie de l’ambiguïté » d’après Galois . . . 1

1.1. Théorie de l’ambiguïté : dénomination utilisée parGalois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Définition de Galois du « groupe de Galois » attaché àune équation algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Apport de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Boussinesq et l’ambiguïté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Groupes de Galois absolus : arithmétique et géométrie . . . . 42.1. Le groupe de Galois absolu de Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Théorie de Galois des revêtements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Approche géométrique de Gal(Q/Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Ambiguïtés galoisiennes en « analyse transcendante ».Théorie de Galois différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1. Les débuts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Théorie de Galois différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. Trois types d’ambiguïtés galoisiennes pour les solutions

d’équations différentielles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.1. Premier type d’ambiguïté galoisienne : la monodromie 7

3.3.2. Deuxième type d’ambiguïté galoisienne : lechangement d’échelle exponentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.3. Troisième type d’ambiguïté galoisienne : lephénomène de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4. Ambiguïtés galoisiennes pour les systèmes dynamiquesnon linéaires ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Ambiguïtés galoisiennes dans la théorie des nombrestranscendants. Théorie de Galois motivique. . . . . . . . . . . . . . . 104.1. Périodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Motifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3. Groupes de Galois motiviques et torseurs de périodes . 114.4. Conjecture de Grothendieck sur les périodes. . . . . . . . . . 124.5. Esquisse d’une théorie de Galois pour les périodes . . . . 134.6. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Ambiguïtés galoisiennes dans la théorie quantique deschamps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1. Kreimer et Connes : compréhension conceptuelle de la

renormalisation perturbative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2. Connes et Marcolli : groupe de Galois motivique

universel ; Cartier : groupe de Galois cosmique. . . . . . . 145.3. Groupe de Galois motivique universel et motifs de Tate

mixtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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