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Angles et parallèles
Pris deux à deux, des angles ont entre eux différents noms et différentes propriétés.
Angles opposés par le sommet
Ces angles sont isométriques (congrus) :
Angles adjacents
Ils ont un côté commun.
Angles adjacents complémentaires
La somme de leur mesure = 900 .
Angles adjacents supplémentaires
La somme de leur mesure = 1800 .1800
~=
Il existe également d’autres paires d’angles importants créées par une sécante qui traverse des parallèles.
Les angles alternes-internes
Les angles alternes-externes
Les angles correspondants
Ils alternent de chaque côté de la sécante à l’intérieur des parallèles. soit soit
soit soit
soit soit
Ils alternent de chaque côté de la sécante à l’extérieur des parallèles.
Ils sont du même côté de la sécante un à l’intérieur des parallèles et l’autre, à l’extérieur.
Ces angles ont comme particularité d`être isométriques entre eux, deux à deux.
Démonstration
B
F
AC
D
G
E HTraçons les droites AD et CG sécantes en C.
Traçons l’angle ACB.
Faisons subir à cet ensemble une translation oblique.
Nommons cette nouvelle droite : EH
et nommons le point d’intersection de la droite avec la sécante : F.
t
B
F
AC
D
G
E H
Affirmations Justifications
La droite EH est parallèle à la droite AD.
1) 1) Une translation transforme une droite en une droite parallèle.
2) ACB ~= EFC 2) Une translation conserve la mesure des angles.
Donc, les angles correspondants formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.
B
F
AC
D
G
E H
Affirmations Justifications
1) GFH ~= EFC 1) Ce sont des angles opposés par le sommet.
2) ACB ~= GFH 2) Mêmes mesures d’angles.
Donc, les angles alternes-externes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.
Affirmations Justifications
1) GCD ~= ACB 1) Ce sont des angles opposés par le sommet.
2) EFC ~= GCD 2) Mêmes mesures d’angles.
Donc, les angles alternes-internes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.
B
F
AC
D
G
E H
B
F
AC
D
G
E HCes trois paires d’angles :
- angles alternes-internes,
- angles alternes-externes,
- angles correspondant,
ne sont isométriques entre eux que si les droites traversées par la sécante sont parallèles entre elles.
Si les droites ne sont pas parallèles,
les trois paires d’angles portent les mêmes noms, mais ils ne sont pas isométriques entre eux.
Ces nouvelles propriétés nous aideront à démontrer de nouvelles situations.
Exemple : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
Prenons le triangle ABC;
A
B
C
traçons la droite DE parallèle à AC et passant pas le sommet B.
D E
On voit apparaître des angles alternes-internes isométriques.
En traçant l’angle ABC,
nous obtenons un angle plat (1800).
Donc, la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
Problème
320F G
D E
J
B
A
C
1) Si on ignore le segment AC, JBD ~= GHI, on observe que
H
I
car ce sont des angles
alternes-externes.
Dans la figure suivante :
- les segments DE et FG sont parallèles;
- le segment AC est perpendiculaire au segment DE;
Quelle est la mesure de l’angle JBA ?
- la sécante JI forme un angle de 320
avec la droite FG.
Donc, m JBD = 320.
2) m ABD = 900, car les segments DE et AC sont perpendiculaires.
3) m JBA = 580, car il est adjacent-complémentaire de l’angle JBD.
320
?
Dans la figure ci-contre, la droite IM coupe la droite JK en formant un angle JOI de 1000 ; les droites DE et FG sont parallèles. De plus, m GCK = 300 .
Quelle est la mesure de IAE ?
Justifie chaque étape de ta démarche ?
Affirmations Justifications
m AHO = 300 1) 1) Il est correspondant à GCK .
2) m HAO = 500 2) La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
3) m IAE = 500 3) Il est opposé par le sommet à HAO.
1000
300
J
A
D E
OF
B
M
CG
K
I
H
300
?
4
1
2
3
E B D
A C F
Dans la figure ci-contre :
Quelle conclusion peut-on tirer du fait que
m 1 = m 2 ?
A)
Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites AB et CD sont parallèles.
B) De plus, m 3 = m 4 .
Quelle autre conclusion peut-on tirer ? Pourquoi ?
Les droites ED et AF sont parallèles. m 1 = m 2 m 3 = m 4 , et
donc m 1 + m 4 m 2 + m 3 , =
Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites ED et AF sont parallèles.
C) Quel type de quadrilatère est alors ABCD ?
Un parallélogramme, car AB CD ED AF.et
5 cm
3 cm
A
D
CB
E
10 cm
De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et
m AC = 10 cm.
Dans la figure ci-contre, BC est parallèle
à DE et perpendiculaire à AD .
A) Quelle est la mesure de l’angle ACB ?
m ACB = 300, car
m ABC = 900 ;
Le triangle ABC est rectangle et comme un côté mesure la moitié de l’hypoténuse, alors l’angle qui lui fait face vaut 300.
B) Quelle est la mesure de l’angle AED ?
m AED = 300 ;
il est correspondant à l’angle ADE.
il est correspondant à l’angle ACB.
?
?
300300
De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et
m AC = 10 cm.
Dans la figure ci-contre, BC est parallèle
à DE et perpendiculaire à AD .
C) Quelle est la mesure du côté BC ?
m BC ≈ 8,66 cm, m BC = (m AC)2 - (m AB)2
5 cm
3 cm
A
D
CB
E
10 cm
car
m BC = 10 2 - 52 ≈ 8,66 cm
300
300
RemarqueA
C B
cb
a
La relation de Pythagore est :
c2 = a2 + b2
Si on utilise des lettres minuscules pour identifier les côtés.
Si on utilise les sommets du triangle, elle devient :
m AB = (m BC)2 + (m AC)2
ou
c = a2 + b2
c = a2 + b2
De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et
m AC = 10 cm.
Dans la figure ci-contre, BC est parallèle
à DE et perpendiculaire à AD .
AE :
D) Quelle est la mesure de chacun des côtés suivants ?
m AE = 16 cm, dans un triangle rectangle possédant un angle de 300,la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
CE : m CE = 6 cm, par soustraction de la m AE et de la m AC .
DE : m DE ≈ 13,86 cm, m DE = (m AE)2 - (m AD)2
5 cm
3 cm
A
D
CB
E
10 cm
car
car
300
300
520
(5x + 7)08y0
A G
E
B
C H D
F
Sachant que AB CD, détermine
les valeurs de x et y.
m AGE = m DHF, car ce sont des angles alternes-externes formés par des parallèles.
520 = (5x + 7)0
52 = 5x + 7
45 = 5x
90 = x
m CHF = 1800 - 520 = car
8 y0 = 1280
y = 160
il est adjacent - supplémentaire à DHF.
520
1280,
Pour y :
Pour x :
