Anneaux hexaphiques d'une variable

RENDICONTI DEL CIRCOLO ~/~ATEMATICO DI PALERMO Serie II , Tomo XXIX (1980), pp. 139-151

A N N E A U X H E X A P H I Q U E S D ' U N E V A R I A B L E

A L F R E D D O N E D D U

This paper follows up ~ Anneaux polynSmiaux ~ dcux variable ~, this Rendiconti,

Tomo 28 (1979), pp. 80-90.

Soit K un corps. Cherchons ~ quelles conditions un anneau P engendr6 par une variable x sur K v6rifie les propri6t6s suivantes:

(A1): Tout 616ment / de P s'exprime de faqon unique sous la forme d'un

polyn6me en x h coefficients ~ droite darts K.

(Az): I1 existe A, B, C E End (K) tels que

a x = a A + x �9 a B + x'- �9 a C ( a E K ) .

Remarquons que, dans un tel anneau P, pour tout a E K:

a x 2 = ( a x ) x = a A 2 + x �9 a ( A B + B A ) +

+ x 2 . a ( A C + C A + B e ) + x 3 . a ( B C + C B ) + x 4 . a C ~.

Par ailleurs, pour tous a et b de K:

( a b ) x = ( a b ) A + x �9 ( a b ) B + x z �9 ( a b ) C

a ( b x ) = a ( b A + x . b B + x z . b C )

et l'6galit6 (a b) x = a (b x) exige :

(1) B C + C B = C 2 = O ,

140

et si l 'on pose:

(2) D ----- A 2 ,

alors

ALFRED DONEDDU

E = A B + B A , F = A C + C A + B z,

a x 2 = a D + x �9 a E + x 2 �9 a F

et ~ = (,4, B, C, D, E, F) est un hexaphisme de K [2].

De (1) et (2) rtsultent immtdiatement les relations:

(a E K)

A F + B E + C D . - - F A + E B + D C , B F + C E = F B + E C ,

a x 2 = a A 2 + x �9 a ( A B + B A ) + y �9 a ( A C + C A ) +

+ x a . a B 2 + x y . a B C + y x . a C B + 3 , a . a C ~.

En tenant compte de (2) on trouve:

a ( x a - y)--_ (x z -- y ) . a B z q- ( x y - - y x ) . a B C .

De plus :

x ( x z - - y) = (x z - - y) x - - ( x y - - y x ) ,

y ( x z - - y) : ( x y - - y x ) x if- x y x - - y2

et par suite:

(3) A E q - B D = E A + D B , C F = F C .

Rdciproquement considtrons un corps K avec un hexaphisme ~ vtrifiant

(1) (2) et l 'anneau polyntmial ~ deux variables H = K [x, y; 3]. Soit l ' idtal ~t drolte

de H :

(4) ] = (x 2 - - y) n --k (x y - - y x) H -k (x y x -- y2) H.

Pour tout a E K, on a :

a x = a A + x . a B q- y . a C

a y = a D + x . a E - - b y �9 a F

ANNEAUX HEXAPHIQUES D'UNE VARIABLE 141

et par cons6quent : H (x 2 -- y ) c J . Maintenant :

a x y = a A D + x �9 a ( A E + B D ) + y �9 a ( A F + C D ) +

+ x 2 . a B E + x y . a B F + y x . a C E + y 2 . a C F ,

a y x = a D A + x . a ( E A + D B ) + y . a ( F A + D C ) +

+ x 2 . a E B + x y �9 a E C + y x �9 a F B + y2 . a F C .

En tenant compte des relations (3) on t rouve:

a ( x y -- y x ) = (x 2 -- y ) . a ( B E -- E B ) + ( x y -- y x ) �9 a ( B F -- E C ) .

De plus :

x ( x y -- y x ) ---- (x 2 - - y ) y d- y2 _ x y x ,

y ( x y -- y x ) = -- ( x y -- y x ) y -a t- x y ( y -- x 2) - - (y2 _ x y x)x .

Nous savons dEiSt que x y ( y - x 2) E J, par suite y (x y - - y x)E 1, d 'o~ finalement

H ( x y - y x ) c J . Remarquons enfin que :

x y x - - y 2 = x ( y x -- x y ) q- (x 2 -- y ) y ,

et par suite pour tout a E K, a (x y x - - y 2 ) E J. De plus :

x ( y 2 -- x y x ) = x y ( y -- x 2) q- x ( y x -- x y ) x ,

y(y2 _ x y x ) = yZ(y _ x2) q_ x ( y x -- x y ) x ,

et par cons6quent H (y2 _ x y x) c J.

I1 en r6sulte que J e s t un id6al bilat~re de H, done l 'anneauquotient H / J

existe et est 6videmment un anneau P engendr6 par x-sur K v6rifiant (A1) et (A2).

On a done 6tabli le

TH~OR~ME 1. Soit K un corps. II existe un anneau polynomial P engendrd

par une variable x sur K, vdrifiant (A1) (A2), si et seulement si B C q - C B = C 2 = O .

Alors si D, E, F sont ddfinis par (2), ~ = (A, B, C, D, E, F) est un hexaphisme

deK.

142 ^LVVxD DON~DDV

P se nommera anneau hexaphique (relatif ~t ~) engendr6 par x sur K et se

notera e = K [x; ~].

Si C __- 0, l 'anneau hexaphique K [x; ~] coincide avec l 'anneau pseudolin6aire

K [x;B, A] et par cons6quent est int~gre.

Supposons maintenant C ~ 0 et 6tudions h quelles conditions P = K Ix; ~]

est int~gre. On sait ( [2 ] ) que k = ker C est sous-corps de K et de plus

ker C fq ker F = 0. Les rela.tions (1) montrent que k admet B e t F, donc les restric-

tions h k de B e t F sont des anneau-endomorphismes de k (injectifs). Maintenant

C 2 = 0 montre que l ' image Kc de K par C v6rifie K c c k et pour a s F, a F = 0

exige a F C = a C F = 0, doric a C = 0, d 'otl a E ker C f) ker F = 0, et par suite

F est injectif sur K. De m~me B e s t injectif sur K.

Maintenant, h tout J = y. x i al s P*, associons

d(f ) = m a x { i / a l ~ 0), avec d(0) = -- oo.

Alors, puisque F est injectif, pour tout a ~ 0 de K, on a d (a x 2p) = 2 p, mais pour

g E P tel que d (g) ----- 2 p, on a d (a g) < 2 p. Nous disons que le polyn6me f e s t

norrnalis~ lorsque le coefficient h droite de son mon6me de plus haut degr6 est 1 :

(5) f = x" + x "-l al + . . . + an (al E K).

Alors, pour tout g E P avec d (g) pair, on a : d ( /g) = d (D + d (g). Remarquons

que, pour tous a et b de K :

(x -- a)(x -- b) = x2(1 -- aC) -- x ( a B + b) + ab -- a A ,

et ce produit est nul si b = -- a B e t a satisfait aux deux 6quations:

a C = l , a A + a . a B = O ,

et alors 6videmment P n 'est pas int~gre.

Supposons que les relations (6) n 'aient pas de solution commune a E K et

montrons qu'alors P e s t int6gre. Nous montrons d ' abord que pour tout polyn6me

f normalis6 (5) et tout a E K, on a f (x -- a) ~ 0. En effet, si on avait f (x - - a) = 0,

alors pour tout b de K, on aurait f (x - - a) (x - - b) = 0. Si a C ~ l , le degr6

du premier membre est d ( f ) + 2 (contradiction). Si a C = 1, en choisissant

b = - - a B , on a alors c = a A + a . a B ~ 0 et f c = 0 (contradiction).

Soit maintenant I ~ 0 un id6al ~t dr(rite de P e t f le polyn6me normalis6 (de

type (5)) de 1 de degr6 minimum n. Notons Pk l 'ensemble des g E P tels que

d (g) < k. Montrons que al C # -- 1. .~

ANNEAUX HEXAPHIQU'ES D'UNE VARIABLE 143

En effet, pour tout b E K:

f (xq-b)=--x"+l(1 + a l C ) - k x " ( a l B - b a 2 C + b ) (rood. P,_0.

Si on avait l q - a l C = 0 , en choisissant b = - - a ~ B - - a 2 C , on aurait dans 1 un polyn6me f ( x q-b) , non nul d'apr6s ce qui pr6c~de, de degr6 inf6deur au

minimum n (contradiction). I1 en r6sulte que dans tout id6al ~t droite l ~ 0 de P,

il existe un polyn6me de degr6 pair.

Enfin, soient f et g deux polyn6mes quelconques de P e t montrons que les relations f g = 0, f ~ 0, g ~ 0 sont contradictoires. On peut 6videmment supposer f normalis6. L'ensemble des g E P tels qu,e f g = 0 serait un ideal h droite I ~ 0

de P dans lequel existe un polyn6me h non nul de d e g 6 pair et f h = 0 contredirait d (f h) = d (f) + d (h). Donc P est int~gre.

TH~OR~ME 2. Soit K un corps avec un hexaphisme ~ = (A, B, C, D, E, F)

tel que A B q - B C = C 2 = O. Alors K [x; ~] est intkgre si et seulement si les

dquations a C = 1 e t a A -b a �9 a B = 0 n'ont pas de solution commune a dans K.

Un tel hexaphisme ~ se nornmera hexaphisme d'intdgritd. Evidemment, si

C = 0, l 'hexaphisme est d'int6grit6.

Soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ et montrons que tout id6al ~t droite 1 ~ 0 de P = K [x; ~] est principal. Soit f le polyn6me normalis6 de degr6 minimum n, de type (5). On sait que al C ~ -- 1. Pour tout entier p _ 0:

t x2O --_ x,+2o q_ x , - l a~ x2p --_ Xn+2p .71- xn+2p -1 . aI Fp (mod. P~+2p-2)

I x 2p+1 ---- xn+2P+1(1 + al Fp C) (mod. P,+2p).

Puisque a~ C ~ - - 1, on a: a~ C F p ~ -- 1. On voit doric que I contient un poly-

n6me normalis6 fq E [P, de tout degr6 q >__ n. Maintenant, pour tout polyn6me

g = ~, x ib i ( bm~O, m>__n) O.~i<m

on a: d ( g - fm bin)< m, doric par des r6ductions successives on trouve des

c i E K ( n < j < m ) tels que le polyn6me r = g - - Y~ fi~i v6rifie d ( r ) < n . n<_i<_m

Par cons6quent, si g E I, on a r _-- 0 et 1 est principal.

On sait que, si dans un anneau int~gre P, tout id6al h droite est principal,

alors P e s t un anneau d 'Ore h droite et par suite admet un corps des fractions

droite. Donc:

TH~OR~ME 3. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~. Alors tout

ideal ~ droite de K [x; ~] est principal et K [x; ~] admet un corps des fractions

d droite.

144 ALVa~D ~ONEDt, U

Soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ = (A, B, C, D, E, F) et

supposons que C # 0 . Alors C B ~ O et il existe b ~ 0 dans K tel que

bEKcB = KBc d'oO existe ~EK*c tel que b = 0~B et existe a EKB tel que

b = aC, d'oCa aC = ~.B. I1 s'en suit que: ( a ~ - l ) C = a C �9 ~ - t B = ~ B . o : - I B = I .

Done u = a0~ -1 v6rifie u C = 1 (et toutes les solutions de aC = 1 sont a = u +

avec ~ E k = k e r C). Alors ( u B + u ) C = - - u C B + 1 = 0 , done il existe

~ ,Ek t e l q u e u B = - - u + ) ~ . De plus t x = u A + u . u B ~ 0 et h cause de (2):

~ C = u A C + u C . u B z + u F . u B C = u A C + u B 2 - u F = O

done Ix Ek. Par suite u A = I~ + u ( u - L) et par (A2) u x = x z -- x ( u - L ) +

+ u (u -- k) + Ix, d ' o~ :

(7) (x -- u) 2 + (x -- u ) k + Ix = 0.

Maintenant, pour tout ~ E k, 0~ x = x �9 ~ B + ~ A, d'oCa:

(8) ~ ( x - u ) = ( x - - u ) . 0 ~ B + ~ V , avee ~ V = ~ A + u . ~ B - - ~ u .

Remarquons que : ~ V C = ~ A C + ~ B 2 - - ~ F = 0, et par suite k admet V.

Soit H le sous-anneau de P engendr6 par x -- u sur k. C o m m e Ix # O, alors

(7) et (8) montrent que [ H : k] r = 2, et c o m m e H n 'a pas de diviseurs de z6ro,

H est un corps, extension quadratique de k avec l ' endomorphisme B e t la B-d6ri-

vat ion V. Maintenant, on a 6videmment K N H = k, et P e s t le libre produit de

H et K sur le corps c o m m u n de base k. Si on avait [ K : k ] , > 2, alors ( [1])

P ne serait pas un anneau d 'Ore ~ droite. Par cons6quent [ K : k ] r = 2.

THI~OR~ME 4. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgrit~ ~ = (A, B, C,

D, E, F) tel que C # O.

a) II existe u E K tel que u C = 1 et K est extension quadratique d droite de

k = ker C, engendrde par u.

b) Soit H l e sous-anneau de K [x; ~] engendrd par x - - u sur k. Alors H

est un corps, extension quadratique ~ droite de k et K [x; ~] est le libre produit

de K et H sur le corps commun de base k.

R6ciproquement, soient K et H deux extensions quadratiques ~t droite d 'un

m~me corps k, la premiere engendr6e par u E K, avec un endomorphisme T et

une T-d6rivation U:

(9) ~ u = u �9 o~ T + o: U ( ~ E k) et l '6quat ion : u 2 + u )~' + ~ ' = 0 (~,', Ix' E k)

ANNEAUX HEXAPI-IIQUES D'UNE VARIABLE 145

la seconde engendr6e pa.r v E H avec un endomorphisme B et une B-ddrivation V;

(10) ~ z v = v . ~ z B + o - V (0~Ek) et l '6quation: v ~ + v ~ , + t x = 0 (L, txEk).

Soit P le libre produit de K et H sur k. Si on pose x ----- u + v, alors Cohn

a montr6 que tout 616ment de P s'6crivait de fagon unique comme polyn6me en x h coefficients h droite dans K avec les lois

(11) o-x = x �9 ~ B + ~ A (o- E k)

(12) ~ A = ~ V - - u . ~ B + ~ u = u . ~ ( T - - B ) + ~ ( V + U )

(13) u x = X 2 + X ( - - U + ~,) + U 2 - - U~, + [~,

I1 existe alors trois .4, B, C E E n d ( K ) tels que: a x = x 2 �9 a C q- x �9 a B q- a A

(aEk). Les restrictions de `4, B, C h k sont d6finies par (11) (C----0 sur k) et

(13) donne:

u C = I ,

(14) u B = - - u + ) ~ ,

u A = u 2 - u k + ~ = - u ( k + ~ , ' ) + ~ - - l ~ ' .

Maintenant, pour tout a = u o- + f3 E K, (0:, [3 E k), on a :

et par suite:

(uo- + ~ ) x = u ( x �9 o:B + o .A) + x �9 ~ B + ~ A =

= (x 2 + x . u B + u A ) �9 e B + x . ~ B + ~ A + u . o-A

a C : o-B,

a B = ( - - u + X) . o-B + ~ B ,

a A = u A . O-B w ~ A + u . o~A.

II es~ alors ais6 de v6rifier que ker C ---- k, C 2 = 0 et C B + B C = 0 sur K.

Par cons6quent, si on pose D =- A z, E = A B w B A , F = A C W C A W B 2,

alors (Th. 1) ~ = (.4, B, C, D, E, F) est un hexaphisme d'intEgrit6 de K. Donc:

THI~OR~ME 5. Soit P le libre praduit de deux extensions quadratiques a droite

K et H d'un m~me corps k. l l exis te un hexaph&me d'intdgrit~ ~ = ( A , B , C~D,

E, F) de K et x E P tels que ker C = k et P = K Ix; ~].

10

146 ALFRED DOblEDDU

Les corps K et H jouent le mdme r61e, done :

COgOLLAmE. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~(C ~ 0). Conside'rons u E K tel que u C = I et le sous-corps H de K [x;~] extension

quadratique de k = ker C engendrde par x - u. II existe alors un hexaphisme d'intdgrit~ ~" du corps H tel que H Ix; ~'] = K Ix; ~].

Maintenant , soit 6)~ le groupe des unit6s de K [x; ~]. Evidemment , K* c a)~ et H* c ~ . De plus, pour tout a E K* :

a (x - - u) = x 2 �9

et en prenant a C ~ 0, on voit degr6 2. Par r6currence, si l 'on

gfE~2~ avec d ( g ] ) = 2 p + 2 .

aC + x . a B + a A --auE6) ,e

que ~ contient un polyn6me normalis6 g de suppose qu'existe f E 62~ avec d (/') = 2 p, alors

De plus ( x - - u ) f est un po lyn6me de 6)~ de degr6 2 p + 1. Donc ~ contient des polyn6mes de tout degr6.

Soit f E ~ avec d (/') >__ I. On peut supposer I normalis6 sans diminuer la g6n6- ralit6, done de type (5). Existe alors g E a25 tel que f g = 1 par suite d (g) est impair

et g- -x2p§ Onod. P2,~) avec cEK*. Alors f g ~ x ' z § (rood.

P , ~2p) et par cons6quent a t C : -- 1. En particulier, toutes les unit6s normalis6es de degr6 1 sont les x - - a avec a C : 1.

Enfin, pour b E K, on a : [ (x - - b) ---- x" (al B + a2 C -- b) (rood. Pn-0. Choi- sissons b = a t B-q- a2 C. Alors b C : al B C = -- al C B = 1, et par suite x - - b E ~3~. Done f ( x - b ) s ~ et de plus d(f ( x - b ) ) < n. Par r6currence descendante sur n, on voit que le groupe ~ des unit6s de K Ix; ~] est engendr6 sur le groupe multiplicatif de K* par les x -- a avec a C : 1.

On salt (d6monstrat ion du Th. 3) que, s i f est un po lyn6me normalis6 avec a j C ~ - 1, alors pour tout g E P , il existe deux polyn6me q et r tels que g _-- J q + r avec d (r) < d (D. On va mont re r que c 'est encore vrai si al C = - - 1. D 'apr~s ce qui pr6c~de, en prenant b = a lB + a2C, on a x - - b E ~ et

d ( f ( x - b ) ) < n. Par r6currence descendante, en multipliant f h droite pa r des unit6s convenables, on arrive h un polyn6me normalis6 l h avec h E ~ tel que

/ h : x p + x p - l c l + . . . ( p < n ) avec c l C ~ - - 1 (sinon fE62e d 'oh r = 0 ) . On peut alors appl iquer ~ f h ce que l 'on a dit au d6but : pour tout gE P, il existe q et r dans P tels que g : f h q + r avec d ( r ) < d ( f h ) < d ( t ' ) .

TH~OR~ME 6. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~. L'anneau K [x; ~] est euclidien.

Cas oft l'hexaphisme ~ est du type (m, m', tr).

Un eas part iculier int6ressant est celui oO l 'hexaphisme d'int6grit6 ~ est du type (m, m' , 0"), avec m e t m ' non s imultan6ment nuls dans K et o" un endomorphisme de K [2]. S i m ' = 0, alors C = 0 et K Ix; ~] est l ' anneau pseudodin6aire


connu. Ecartons ce cas. On peut alors supposer m ' = 1 et :

(15) a B m + a E - - _ m . a c r , a C m q - a F - - _ a c r , ( a E K )

d'oh:

(16) (aB -- m �9 aC)m -~ aE-- m �9 aF = O.

Comme :

a ( x 2 + x m ) = a D + x . a E + x 2. a F W ( a A + x . a B + x 2 . a C ) m ,

par (15) on obtient :

(17) a ( x z + x m ) = (x 2 + x m ) �9 a ~ + a D + a A m.

On sait quo D + A m est une 0"-d6rivation de K [2], et si l 'on pose:

(18) t = x 2 + x m ,

alors K [t; o', D + A m] est un anneau pseudo-lin6aire, sous-anneau de P engen-

dr6 par t sur K. Maintenant remarquons que 0 = B -- C mt est un anneau-endo-

morphisme du corps K, car :

(ab)O = a B �9 b B q - a , E , b C - - m ( a C �9 b B q- a F �9 b C ) (a, bEK")

= a 0 . b B + ( a E - - m . a F ) . b C = aO . b B -- a O m . b C = aO . bO.

Montrons que 0 se prolonge h P par x 0 = - - x - m. I1 suffit de v6dfier que

(19) - - a O ( x + m ) = a A O - - ( x q - m ) . a B O q - ( x q - m ) 2 . a C O ( a E K )

Remarquons que: (x + m) 2 = x2(1 + m C ) + x ( m + m B ) + m A + m 2, et com-

parons d ' abord les coefficients ~t droite de x 2 dans (19): on a bien:

- - a O C = ( l q - m C ) . a C O , car - - a B C + m C . a C B = ( I ~ q - m C ) . a C B .

Pour les coefficients h droite de x, on a bien:

-- a O B = -- a B O + (m + roB) �9 aCO, car (m �9 a C ) B = m B �9 a C B .

148 ALFRED DONEDDU

Enfin le coefficient constant du premier membre de (19) est

- - a O A - - a O m = - - a B A + (?n. a C ) A - - ( a B - - m . a C ) m ,

et

a W = a x -- x ( a B -- m �9 a C ) = t �9 a C + a A , (a E K)

done Q0 admet W. Par (18) et (20), Q est extension quadratique de Q0 engendr6e par x avec l'endomorphisme 0 et la 0-d6rivation W.

THI~OR~ME 7. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~ = (A, B,

C, D, E, F) et supposons que ~ soit du type (m, 1, o'). Alors 0 = B - C mt est

un anneau-endomorphisme de K. Si Q est le corps des fractions gt droite de

K Ix; ~], 0 se prolonge ~ Q par xO = - x - m. Posons t = x 2 + x m et ddsi-

gnons par Qo le corps des Jractions gt droite de l'anneau pseudo-lindaire K It; o', D + a m ] . Soit W la ddrivation intdrieure de Q induite par - x . Alors Q est

et celui du second membre est

- - a A O - - m �9 a B O + ( m A + m 2) �9 a C O =

= a A B - - m , a A C - - m �9 a B 2 + m A �9 a C B ,

et la diff6rence do ces deux derniers coefficients est

a E - - m �9 a F + ( a B - - m �9 aC ) m = O , h cause de (16).

Done (19) est vrai est 0 est prolong6 h P. Maintenant, l'endomorphisme 0 de P

se prolonge naturellement h son corps Q des fractions h droite. D6signons par W

la 0-d6rivation int6rieure de Q induite par - - x :

(20) a W = a x -- x �9 aO (aEQ) .

Soit Q0 le corps des fractions h droite de K It; o', D + A m]. On a:

tO = (x ~ + x m ) O = x 2 + x m + m x + m z -- (x + m) � 9 =

= t(1 + m C ) + m A + m 2 - - m . m O ,

done Q0 admet 0. De plus:

t W = ( x 2 "q- x m ) x - - X �9 (X "q- x m ) O = -- t ( m + m0),


extension quadratique de Qo engendrde par x avec rendomorphisme O, la O-ddri-

vation W e t l'dquation x 2 q- x m -- t = O. En particulier si E = O, alors m = 0,

0 = B et c r = F .

Cas oft k admet A.

Soit K un corps avec un hexaphisme d'intEgrit6 ~ = (A, B, C, D, E, /7) avec

C ~ 0. Par le Th. 4, K est extension quadrat ique de k = ker C avec un endo-

morphisme T e s t une T-dErivation U, engendrEe par un ElEment u tel que

u C = I , u B = - - u - t - L , u2 q- u L ' -t- I~" = 0 (L)~',r/E k).

I1 est Evident que k admet A si et settlement si k admet ~, ce qui a lieu si et

seulement si B = T sur k (d'apr~s (12)). On a alors le

TH~OR~ME 8. Soit K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~ = (A, B,

C, D, E, F) (C ~ O) et supposons que k = ker C admette A. Ddsignons par Ql

le corps des/ract ions ?~ droite de l'anneau pseudo-lindaire k Ix; B, A ]. L' anneau-

endomorphisme B de k se prolonge & Q1 par x B = -- x -- CL + )~'). De plus, le

corps Q des [ractions d droite de K Ix; ~] est extension quadratique ~ droite de

Q1 engendrde par u avec l'endomorphisme B e t la B-ddrivation a U = a u -- u �9 a

(a E QO et rdquation u 2 + u )~" + Ix' = O.

Preuve. Si k admet A, la relation (11) montre que k Ix; ~] = k [x; B, A] et

(21) ~ B x = X �9 t z B 2 --1- ~ B A (~E k).

Maintenant par (12) avec T-----B, on a :

(22) ~ A = ~ ( U + V )

Comme E = A B + B A est, sur k, la (B 2, B)-dErivation intErieure induite

par ~, + ~,', alors, si on prend x B ----- -- x -- (k + )~'), on a.ura par (21):

~ B �9 x B = x B . t~B 2 + ~ A B,

ce qui montre que /~ est un anneau-endomorphisme de k [x; B, A] . D~s lors,

se prolonge aussi au corps Q~ des fractions h droite de k Ix; B, A ]. Maintenant,

on a Evidemment u ~ k, d'ofi u r Q~ et, puisque T = B sur k, par (9)

(23) ~ u = u �9 tz B q- ~ U (~ E k).

1 5 0 ^Lw~D DO~DDV

Montrons que U s e prolonge ~t Qt. E n effet:

x u - u �9 x B = x u + u ( x + L + k') =

= x u + x 2 + x ( - - u + k ) + u A + u ( k + ) ( ) ,

et pa r (14) il reste:

x u -- u �9 x B = x z + x)~ + I x - - lx" EQ~.

Par cons6quent, on prolonge U en 0 h Q~ en prenant x U = x 2 + x)~ + ~ - Ix'.

Alors (23) vaut pour tout ~ E Q~ et le corps Q des fractions ~t droite de K [x; ~]

est extension quadrat ique de Qt engendr6e par u avec l ' endomorph isme B, le

B-d6rivation U et l '6quat ion u 2 + u X' + Ix' = 0.

PROPOSITION 1. Soi t K un corps avec un h e x a p h i s m e d'intdgritd ~ = (A , B,

C, D, E, F), (C # 0). ( K est ex tens ion quadrat ique de k engendrde par u tel que

u C = 1, u B = -- u + )~, u 2 + u )~' + ~" = 0 avec l ' endomorph i sme T). A lo r s

a) A C + C A - - 0 sur K entra?ne E = O sur K .

b) A C + C A = 0 sur K xi et s e u l emen t si T - - B sur k e t )~ + ~" = 0.

Supposons en effet A C + C A = 0 sur K. Alors par (12), T = B sur k et pa r (14): O = u ( A C + C A ) = u A C = - - ( ~ , + k ' ) B entraine X + X ' = 0 .

Reciproquement , supposons T = B sur k et )~ + X ' = 0. Alors ~23) a lieu et c o m m e E est, sur k, la 092, B)-d6rivation int6rieure induite pa r )~ + )~', on a E = 0 sur k. Maintenant pa r (14):

(24)

Or ( [1])

u ( A B + B A ) = (ix - - ix ') B - - tx + I~" + )~ A .

)~V = Ix - - IXB - - ~,0~ - - )~B)

)~ 'U = Ix' - [x 'B - - ) J (~,' - - )~' B),

et c o m m e )~ + )~' = 0, on voi t par (22) que:

X A = ( # - - ~ ) B + ~ - - ~ ' ,

et (24) donne: u (A B + B A) = 0. Donc E = 0 sur K. Enfin, pa.r (14),

u ( A C + C A ) = O , et ( u t z ) ( A C + C A ) = c t ( A B + B A ) = O , (o~Ek) ,

et pa r cons6quent A C + C A = 0 sur K, ce qui ach~ve la preuve.


Remarque . Si les extensions quadrat iques K et H du Th60r~me 5 sont isomorphes, alors T = B, ~, + ~,' = 0, l-t = Ix', U + V = 0, et par suite A = 0. R6- c iproquement si A = 0 sur K, la Prop. 1 donne T = B, )~ + ~," = 0. De plus, par (14), u A = 0 mont re que t~ = ~x" et les extensions K et H sont isomorphes.

TH~R~ME 9. Soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit~ ~ = (A, B, C,

D , E , F ) avec A C + C A = O. A lors le thbordme 7 s 'applique. D e plus le tdtra-

phisme (B, C , O , B 2) de K se prolonge au corps Q des Jractions ~ droite de K Ix; ~]

par: x B - ~ - - x , x C = l , x E = O , et ~ se prolonge fi Q en le ( B , C , O , B2) -

hexaphisme int~rieur induit par - - x , - - x 2.

En effet, A C + C A = 0 entraine E = 0 et le Th6or~me 7 s 'applique. En particulier l ' endomorphisme B de K se prolonge ~t Q par x B ---- - - x, d 'oh F = B 2 se prolonge h Q par x F = x. Enfin la (B 2, B)-d6rivation C se prolonge d ' abo rd

P = K [ x ; ~ ] p a r x C = l , car alors x 2 C = 0 et:

( a A + x . a B + x 2 . a C - a x ) C =

= a A C + a B 2 + x �9 a B C + a C x - - a F = O, ( a E K ) ,

et par suite la t6traphisme (B, C, O, B 2) et prolong6 h P [2]. Maintenant les anne4u-endomorphismes B et B 2 se prolongent naturel lement au corps Q des fractions h droite de P e t la (B, B2)-d6rivation C de P se prolonge aussi h Q en d6finissant g-~C, pour tout gEP*, pa r :

0 = g C �9 g - l B + g B 2 �9 g - l C .

Ainsi Ie t6traphisme (B, C, 0, B 2) de P est prolong6 ~t Q et enfin l 'hexaphisme de K se prolonge h Q en le (B,C,O, BZ)-hexaphisme int6rieur induit pa r - - x , - x 2 [2]. I1 est facile de v6rifier que c 'est un hexaphisme d'int6grit6 de Q tel que A C + C A = 0 .

BIBLIOGRAPHIE

[1] Cohn P. M., Quadratic extensions of skew fields, Proc. London Math. Soc., (3) U (1961), 531-556.

[2] Doneddu A., Anneaux polynomiaux fi deux variables, Rend. Circ. Mat. Palermo, (2) 28 (1979), 80-90.

Pervenuto il 23 febbraio 1973, in forma definitiva il 25 aprile 1979

10 Allde des GaMes Royales 78000- Versailles

(Francia)

Documents

Anneaux hexaphiques d'une variable