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 >  1ère partie : Applications du produit scalaire  >  2ème partie : Limites d’une fonction aux bornes de son domaine de dénition - Asymptotes  1  Séquence 5 – MA12 © Cned – Académie en ligne

Applications Du Produit Scalaire - Limites de Fonctions Et Asymptotes

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> 1ère partie :

Applications du produit scalaire

 

> 2ème partie :

Limites d’une fonction aux bornesde son domaine de définition -Asymptotes

 

1

 

Séquence 5 – MA12

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3

 

Sommaire séquence 5 – MA12

 

1ère partie

 

Activité 1

Cours

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 1, 2, 3, 4

Activités 2, 3

Cours

 

 

Équation d’un cercle

 

 

Équation d’un cercle défini par un diamètre

 

Exercices d’apprentissage 5, 6, 7, 8

Activités 4, 5Cours

 

 

Formule d’Al-Kashi

 

 

Théorème de la médiane

 

 

Aire d’un triangle quelconque

 

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 9, 10, 11

 

Chapitre 1

 

>

 

Équation d’une droite à l’aided’un vecteur normal .........................................................................................................................

 

Chapitre 2

 

>

 

Équation d’un cercle .........................................................................................................................

 

Chapitre 3

 

>

 

Relations métriques dans un triangle  ...........................................................

 

AA

AAB

AAC

AACD

AA

AAB

AAC

AA

AAB

AAC

AACD

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Sommaire séquence 5 – MA124

 

Activité 6

Cours

 

 

Formules d’addition

 

 

Formules de duplication

 

 

Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

 

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 12, 13, 14

 

Chapitre 4

 

>

 

Complément de trigonométrie ...................................................................................

 

Chapitre 5

 

>

 

Synthèse des connaissances .............................................................................................

 

Chapitre 6

 

>

 

Exercices d’approfondissement 1, 2, 3, 4  .................................................

 

D

 

A

 

B

 

C

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Séquence 5 – MA12

 

5

 

.

 

Activité 1

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal 

 

a.

 

Montrer que le vecteur est un vecteur orthogonal au vecteur

On dit que est un vecteur normal de la droite

b. On sait qu’un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs etsont colinéaires.

En déduire que M est sur la droite si et seulement si

On dit que est une équation de la droite

c.

 

Écrire cette équation sous la forme

 

Déterminer de la même façon une équation de la droite passant par A, perpendiculaire à

 

Vecteur normal d’une droite

 

Étant donnée une droite Δ

 

de vecteur directeur on dit que est un vecteur normal de Δ

si est non nul et orthogonal à

est un vecteur normal de

est un vecteur directeur de la droite

Un vecteur normal de cette droite est

Dire que Δ

 

a pour vecteur directeur équivaut à dire que Δ

 

a pour vecteur normal

ou

Retenons qu’un vecteur orthogonal à est

Jusqu’à maintenant, on a dit : toute droite est définie par un point et un vecteur directeur.

Il revient ainsi au même de dire : toute droite est définie par un point et un vecteur normal.

 

 

Soit un point du plan et Δ

 

la droite passant par A, de vecteur normal

Dire qu’un point appartient à Δ

 

équivaut à dire que c’est-à-dire à

Or donc

A

 

Activités

 

B

 

Cours

Équation d’une droite à l’aided’un vecteur normal

O ; i j,( ).

A 2 1, –  ( ), B 4 3,( ).

n 1 3 –  ,( ) AB .

n AB( ).

M x y,( ) AB( ) AM AB

AB( ) x 3y –  5+ 0.=

x 3y –  5+ 0= AB( ).

y mx p.+=

AB( ).

Dé inition  v, n

n v.

AC

NB

CN AB( ).

Exemples A 5 2 –  ,( ) ; B 3 1,( ) ; AB 2 3, –  ( ) AB( ).

n 3 2,( ).

v 2 3,( )

n 3 2, –  ( ) ... n′ 3 2 –  ,( ).

u a b,( ) n b a, –  ( ).

A x0 y0,( ) n a b,( ).M x y,( ) AM n⊥ AM n⋅ 0.=

AM x x0 y y0 – , – ( ), AM n⋅ a x x0 – ( ) b y y0 – ( )+ ax by ax0 –  by0. – += =

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6

 

Séquence 5 – MA12

La droite Δ

 

a pour équation

C’est de la forme

Toute droite de vecteur normal a une équation de la forme

signifie : Δ

 

a pour équation

 

Réciproque

Soient a, b, c trois nombres, a et b n’étant pas nuls tous les deux (cela revient à dire

Soit D l’ensemble des points du plan tels que Montons que D est unedroite.

On a supposé que Supposons par exemple que .

Alors le point appartient à D. Cet ensemble est donc non vide.

Plus généralement, appelons un point de D. Cela veut dire que

Soit M(x, y) un point quelconque de Δ

 

. Cela veut dire que

En soustrayant ces deux égalités, on obtient, après factorisation,

En posant on a donc établi que autrement dit que le point M appartient à la

droite passant par admettant le vecteur comme vecteur normal.

 

Si l’ensemble des points du plan tels que est une

droite de vecteur normal

 

Perpendicularité, parallélisme de deux droites

a pour vecteur normal

a pour vecteur normalΔ

 

et sont perpendiculaires si et seulement si et sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seule-ment si

Si b et sont non nuls, on peut écrire : et ces droites ont

des équations de la forme et avec et

la condition équivaut à

Deux droites d’équation et sont perpendiculaires si et seulement si

Rappelons que l’on sait qu’elles sont parallèles si et seulement si

Avec les vecteurs normaux, cela se traduirait par et sont colinéaires,c’est-à-dire, par exemple, par

ax by ax0 –  by0 – + 0.=

ax by c+ + 0.=

T éorème  n a b,( ) ax by c++ 0.=

Notation  Δ : ax by c+ + 0= ax by c+ + 0.=

a b,( )

0 0,( )

).≠

M x y,( ) ax by c+ + 0.=

a b,( ) 0 0,( ).≠ a 0≠

Aca-- 0, –  ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 

M0 x0 y0,( ) ax0 by0 c+ + 0.=

ax by c+ + 0.=

a x x0 – ( ) b y y0 – ( )+ 0.=

n a b,( ), n M0M,⊥

M0 n

T éorème  a b,( ) 0 0,( ),≠ M x y,( ) x by c+ + 0=

n a b,( ).

Δ : ax by c+ + 0= n a b,( ).

Δ′  : a ′x b′y c′+ +

0= n′ a′ b′,( ).Δ′ n n′

aa ′ bb ′+ 0.=

b′ Δ : y ab-- x

cb-- –  –  = Δ′  : y a  ′

 b′---- x

c  ′ 

b′---- ;  –  –   =

y mx p+= y m′x p′+= mab-- –  = m′ a′

b′---- . –  =

mm ′ aa ′bb ′-------  ; = aa ′ bb ′+ 0= mm ′ 1. –  =

T éorème mx p

+

= y m′x p′+

=mm ′ 1. – =

m m′.=

n a b,( ) n′ a′ b′,( )ab ′ a′b.=

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Séquence 5 – MA12

 

7

 

Exercice 1

 

Tracer les droites suivantes dans un repère

Les quatre équations proposées sont bien de la forme Ce sont deséquations de droites.

Pour tracer ces droites plusieurs méthodes sont possibles.

Par exemple, pour tracer on peut se contenter d’en chercher deux points :donc

On peut aussi tracer cette droite en utilisant le fait qu’elle passe par A et admet comme vecteur nor-

mal donc comme vecteur directeur

Il est également possible de commencer par écrire : et procéder comme on l’a fait

 jusqu’à maintenant.

a comme vecteur normal c’est-à-dire est donc parallèle à l’axe des ordonnées.

On peut écrire Elle passe par le point

Elle n’a pas d’équation de la forme

a comme vecteur normal c’est-à-dire est donc parallèle à l’axe des abscisses. On

peut écrire Elle passe par le point

passe par l’origine et admet le vecteur pour vecteur normal donc pour vecteurdirecteur.

 

C

 

Exercices d’application

O ; i j,( ).D1 : 3x 2y –  1+ 0= D2 : 3x 1 –  0= D3  : 2y 5 –  0= D4 : 2x 3y –  0.=

Réponse  ax by c+ + 0,= a b,( ) 0 0,( ).≠

D1 A 1 2,( ) D1,∈B 1 –   1 –  ,( ) D1∈ D1 AB( ).=

n 3 2 –  ,( ), v 2 3,( ).

D1  : y32-- x

12--+=

D2 n 3 0,( ) 3i. D2

D2 : x13-- .= C

13-- 0,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .

y mx p.+=

D3 n 0 2,( ) 2j. D3

D3 : y

5

2-- .= E 0

5

2--,

⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .

D4 n 2 3 – ,( ) v 3 2,( )

E

A

D2

D1

D3

D4

C

B

O

 j

i

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8

 

Séquence 5 – MA12

 

Exercice 2

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

Soit

Déterminer les coordonnées de l’orthocentre H du triangleABC.

Déterminons tout d’abord une équation de la droite

Elle passe par et admet comme vecteurnormal.

si et seulement si ce quiéquivaut à

Équation de

Elle passe par et admet comme vec-teur normal.

On peut suivre la démarche qui a donné l’équation de

On peut aussi dire que a une équation de la forme car elle admet comme vec-

teur normal le vecteur

Cette droite passe par B si et seulement si les coordonnées de B vérifient cette équation c’est-à-dire siet seulement si finalement et

Coordonnés de H

Elles sont solutions du système

Finalement :

Exercice 1

 

Dans un repère orthonormal on donne les points et

Soit H le projeté orthogonal de A sur

 

Calculer les coordonnées de H.

 

 

En déduire la distance de A à la droite puis l’aire du triangle ABC.

 

D

 

Exercices d’apprentissage

A

B

C

H

O i

 j

O ; i j,( ).

A 1 1,( ), B 1 4, –  ( ), C 2 5,( ).

Réponse  AH( ).

A 1 1,( ) BC 3 1,( )

M x y,( ) AH( )∈ AM BC⋅ 0,=3 x 1 – ( ) y 1 – + 0.=

AH( )  : 3x y 4 – + 0.=

BH( )

B 1 4, –  ( ) AC 1 4,( )

AH( ).

BH( ) x 4y c+ + 0=

AC 1 4,( ).

1 4 4 c+×+ –   0 ; = c 15 –  = BH( ) : x 4y 15 – + 0.=

3x y 4 – + 0=

x 4y 15 – + 0=⎩⎨⎧

.

3x y 4 – + 0=x 4y 15 – + 0=

y 4 3x – =x 4y 15 – + 0=

y 4 3x – =x 4 4 3x – ( ) 15 – + 0=⎩

⎨⎧⇔

⎩⎨⎧⇔

⎩⎨⎧

y 4 3x – =

11x –   1+ 0=

x111-----=

y4111-----=⎩

⎪⎨⎪⎧

⎩⎪⎨⎪⎧

H111-----

4111-----,⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .

O ; i j,( ), A 3 2, –  ( ), B 7 1,( ) C 4 5,( ).

BC ).

BC( )

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Séquence 5 – MA12

 

9

 

Exercice 2

 

Dans un repère orthonormal on donne les points

On se propose de déterminer une équation de la médiatrice Δ

 

de de deux façons :

 

a.

 

En utilisant le fait que Δ

 

est perpendiculaire à et passe par son milieu.

 

b.

 

En utilisant la propriété selon laquelle un point M est sur Δ

 

si et seulement si

(Ne pas oublier que si a et b sont deux réels positifs,

Exercice 3

 

Soit ABCD un carré de côté 1.

On se propose de résoudre « analytiquement » c’est-à-dire en se plaçant dans un repère, le lieu despoints M tels que (exercice d’apprentissage 9 de la séquence précédente).

Supposons le plan rapporté au repère orthonormal

a.

 

Soit exprimer en fonction de x et de y ; en déduire une équation del’ensemble cherché.

 

b.

 

Retrouver les particularités de cet ensemble, obtenues dans l’exercice 9.

 

Exercice 4

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

Soit et

 

Déterminer une équation de l’ensemble des points tels que

En déduire que est une droite.

 

 

Soit I le milieu de montrer que est perpendiculaire à la droite

O ; i j,( ), A 3 2, –  ( ), B 5 6,( ).

AB[ ]

AB[ ]

MA MB.=

a b= a⇔ b.)=

AM2 CM2 –  2=

A ; AB AD,( ).

M x y,( )  ; AM2 CM2 – 

O ; i j,( ).

A 2 6,( ), B 6 4,( ) C 4 4 –  ,( ).

E( ) M x y,( )

MA 2MB 2MC+ + 3MA MB MC+ + .=

E( )

BC[ ] ; E( ) AI( ).

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10

 

Séquence 5 – MA12

 

.

 

Activité 2

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

Soit le cercle de centre A passant par B.

 

 

Montrer que passe aussi par C.

 

 

Calculer l’ordonnée du point D de ayant même abscisse que C.

 

 

Calculer l’abscisse du point E de ayant même ordonnée que D.

 

 

Deux points de ont des coordonnées égales ; calculer les coordonnées de ces deux points.

 

.

 

Activité 3

 

Soient A, B et M trois points du plan. On désigne par I le milieu de

 

Exprimer à l’aide de et de puis en fonction de et de

 

En déduire que M est sur le cercle de diamètre si et seulement si

 

Équation d’un cercle

 

 

Soit et R un nombre réel positif.

On appelle le cercle de centreΩ

 

, de rayon R.

équivaut à c’est-à-dire encore à

Donc, appartient au cercle si et seulement si :

On dit que a pour équation

Il est inutile de chercher à retenir par cœur la forme très détaillée de cette équation. On se contentera de connaître le théorème suivant : 

 

Tout cercle a une équation de la forme

 

 

Exemples

 

a.

 

Équation du cercle de centre de rayon 5 :

c’est-à-dire

b.

 

Quelle est la nature de

A

 

Activités

 B

 Cours

Équation d’un cercle

O ; i j,( ).A 2 1,( ), B 5 3,( ), C 4 4,( ).

Γ ( )

Γ ( )

Γ ( )

Γ ( )

Γ ( )

AB[ ].

MA MB⋅ MI IA MI2 IA2.

AB[ ] MA MB⋅ 0.=

Ω α β,( )

C( )

M x y,( ) C( )∈ ΩM R= ΩM2 R2.=ΩM2 x α – ( )2 y β – ( )2

+ x2 2αx –  α2 y2 2βy –  β2.+ + += =

M x y,( ) C( )x2 y2 2αx –  2βy –  α2 β2 R2

 – + + + 0.=

C( ) x2 y2 2αx –  2βy –  α2 β2 R2 – + + + 0.=

Remarque 

T éorème  x2 y2 ax by c+ + + + 0.=

C( ) I 3 1 –  ,( ),

C( ) 

: x 3 – 

( )2  y 1+

( )2

  + 25=

x2 y2 6x –  2y 15 – + + 0.=

E( ) M x y,( ) tels que x2 y2 x –  4y – 94--+ + 0=

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

 ? =

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Séquence 5 – MA12

 

11

 

Ainsi

En posant dire que équivaut à dire que

est le cercle de centreΩ

 

, de rayon

c.

 

Quelle est la nature de

équivaut à

est évidemment un nombre réel positif ; n’est donc pas un cercle ; c’estl’ensemble vide.

 

 

Équation d’un cercle défini par un diamètre

 

L’activité 3 a permis de démontrer le théorème suivant :

 

Un point M est sur le cercle de diamètre si et seulement si

Application :

Soient deux points et et le cercle de diamètre

si et seulement si c’est-à-dire si et seulement si :

 

Exercice 5

 

Dans un repère orthonormal on donne les points

 

Déterminer une équation de la médiatrice de et une équation de la médiatrice de

 

En déduire les coordonnées du centre du cercle passant par A, B et C.

 

 

Déterminer une équation de ce cercle.

 

 

Déterminer une équation de la tangente à ce cercle en A.

 

Exercice 6

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

Une droite Δ

 

a pour équation

Écrire l’équation du cercle de centre tangent à Δ

 

.

 

Exercice 7

 A et B sont deux points tels que

On se propose de déterminer le lieu des points M tels que

C

 

Exercices d’apprentissage

x2 y2 x –  4y – 94--+ + x

12-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 2 14-- –  y 2 – ( )2 4 – 

94--+ + x

12-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2 4 – 94--

14-- – + += =

x12-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2 2. – +=

E( ) M x y,( ) tels que x1

2-- – 

⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 2 y 2 – ( )2+ 2=

⎩ ⎭⎨ ⎬

⎧ ⎫.=

Ω 12− 2,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ , M E( )∈ ΩM 2.=

E( ) 2.

F( ) M x y,( ) tels que x2 y2 2x –  4y –  6+ + 0={ } ?=

x2 y2 2x –  4y –  6+ + 0= x 1 – ( )2 y 2 – ( )2+ 1. –  =

x 1 – ( )2 y 2 – ( )2+ F( )

T éorème  AB[ ] MA MB⋅ 0.=

A 1 3, –  ( ) B 2 2,( ) C( ) AB[ ].

M x y,( ) C( )∈ MA MB⊥x 1+( ) x 2 – ( ) y 3 – ( ) y 2 – ( )+ 0.=

C( ) : x 2 y2 x –  5y –  4+ + 0.=

O ; i j,( ), A 3 2, –  ( ), B 5 4,( ), C 3 4 –  ,( ).

AB[ ] BC[ ].

O ; i j,( ).

x y 7 – + 0.=

I 1 2,( )

AB 3.=

MA 2MB.=

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12

 

Séquence 5 – MA12

Pour cela, on choisit de se placer dans un repère orthonormal

 

Soit après avoir exprimé MA et MB en fonction de x et y, montrer que le lieu de M a pour

équation

 

En déduire la nature de ce lieu et ses éléments caractéristiques.

 

 

Calculer les coordonnées des points d’intersection de ce lieu avec la droite Constater queces points étaient évidemment solutions du problème posé.

 

Exercice 8

 

Montrer que les quatre points suivants, donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormal

sont cocycliques (appartiennent à un même cercle) :

A  ;13-- AB j,⎝ ⎠ 

⎛ ⎞   .

M x y,( )  ;x2 y2 8x –  12+ + 0.=

AB( ).

A 3 0,( ) : B 4 2 –  ,( )  ; C 383-- –  ,⎝ ⎠ 

⎛ ⎞  ;

D53-- 2 –  ,⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .

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Séquence 5 – MA12

 

13

 .

 

Activité 4

 L’unité est le cm.

 

 

Construire un triangle ABC tel que et

 

Calculer le produit scalaire En utilisant la définition du produit scalaire, calculer BC.

Établir une formule plus générale donnant en fonction de AB, AC et

. Activité 5

L’unité est le cm.

 Construire un triangle ABC tel que et

 Soit I le milieu du segment On se propose de calculer AI.

a. En écrivant et exprimer en fonction de et de

b. En déduire AI.

c. Établir une formule plus générale donnant en fonction de et de

Formule d’Al-KashiÉtant donné un triangle ABC, exprimons en fonction de AB, AC et

On peut obtenir le résultat en procédant comme dans l’activité 4.

On peut aussi procéder de la façon suivante :

(n’oublions pas que le carré scalaire d’un vecteur est égal au carré de sa norme).

Or

Finalement,

Dans un triangle ABC,

Si ABC est un rectangle en A, et résultat qui ne doit pas surprendre puisqu’il résulte aussi de l’applica- tion du théorème de Pythagore.

Si on note et cette formule s’écrit :

On obtiendrait de même, plus généralement

et

A Activités

B Cours

Relations métriquesdans un triangle

AB 8,= AC 5= Aπ3--- .=

AB AC.⋅

BC2

A.cos

AB 3,= AC 5= BC 6.=

BC[ ].AB AI IB+= AC AI IC,+= AB2 AC2

+ AI2 IB2.

AB2 AC2+ AI 2 BC2.

BC2 A.cos

BC2 BC2

=

BC2

BA AC+( )2

BA2

2BA AC AC2

+⋅+ BA2

2AB AC AC2.+⋅ – = = =

A

b

CaB

c

BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=

Formule d’Al-Kashi  BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=

Remarque  Acos 0  =  BC 2  AB 2  AC 2 ,+= 

a BC,= b CA= c AB,= a2 b2 c2 2bc Acos – + .=

b2 c2 a2 2ac Bcos – += c2 a2 b2 2ab Ccos – + .=

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14 Séquence 5 – MA12

Théorème de la médiane

C’est le théorème démontré dans l’activité 5.

Dans tout triangle ABC, si I est le milieu du segment 

Aire d’un triangle quelconque où H est le projetéorthogonal de C sur

Considérons un triangle ABC quelconque ; trois cas de figure sont possibles :

Dans tous les cas de figure,

Donc, en désignant par S l’aire du triangle ABC, on a :

Plus généralement en notant et on peut énoncer le théorème :

L’aire de tout triangle ABC est donnée par 

L’unité d’aire dépend de l’unité de longueur choisie ; par exemple, si l’unité de longueur est le cm,l’unité d’aire est le 

Conséquence

En multipliant par chacun des membres de on obtient

relation que l’on retient habituellement sous la forme utilisée dans l’énoncé

ci-dessous :Dans tout triangle ABC,

Exercice 1

Soit le triangle ABC tel que et

 Placer ces points sur une figure. Calculer AB, AC et l’aire de ABC.

C Exercices d’application

A

CIB

T éorème  BC[ ],

AB2 AC2+ 2AI2 1

2--- BC2.+=

AB( )

C

BHA

C

BA BAH

C

CH AC Asin×= H A= Aπ2---= CH AC π A – ( )sin× AC Asin×= =

CH AC AC sin A×= =

CH AC sin A.×=

SAB CH×

2--------------------

AB AC×  sin A×2

----------------------------------------12-- AB AC×  sin A.×= = =

a BC,= b CA= c AB,=

T éorème  S12--- bc Asin

12--- ca Bsin

12--- ab Csin .= = =

Remarque 

cm 2 .

2abc--------

12-- bc Asin

12-- ca Bsin

12-- ab Csin= =

Asina

------------Bsin

b------------

Csinc

------------,= =

Formu e es sinus a

Asin------------

bBsin

------------c

Csin------------ .= =

BC 6,= B 40°= C 60°.=

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 Séquence 5 – MA12 15

 Voir figure ci-contre.

  On établit aisément que(La somme des angles

d’un triangle est égale à 180˚.)

Appliquons la formule des sinus :

De on déduit que :

.

On obtient de même :

Ainsi et que

L’aire de ABC est égale à

Valeurs approchées obtenues à la calculatrice :

Les formules d’Al-Kashi et des sinus permettent de démontrer des théorèmes énoncés en Seconde concernant les triangles isométriques.

En effet, par exemple, si deux triangles ABC et sont tels que et alors les deux triangles sont isométriques.

De même si deux triangles ABC et sont tels que et alors et les deux triangles sont isométriques.

Exercice 2Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que

1ère méthode possible 

Autre méthode 

Utilisons le théorème de la médiane en appelant I le milieu du segment

A

CB

Réponse 

A 80°.=

6

80sin

--------------b

40sin

--------------c

60sin

--------------.= =

680sin

--------------b

40sin--------------,=

b6 40sin×

80sin-----------------------=

c6 60sin×

80sin----------------------- .=

AB6 60sin×

80sin-----------------------= AC

6 40sin×80sin

----------------------- .=

S 12-- ab Csin 1

2-- 6 6 40sin×

80sin----------------------- 60sin××× 40sin

80sin-------------- 9 3.×= = =

Remarques 

A′ B ′ C ′  AB A′ B ′ ,=  AC A′ C ′ = 

A A′ =  BC B ′ C ′  ;  = 

A′ B ′ C ′  BC B ′ C ′ ,=  B B ′ =  C C ′ = 

AB A′ B ′ =  AC A′ C ′  ;  = 

AC2 BD2+ 2 AB2 AD2

+( ).=

Réponse 

AC2 BD2+ AC

2= BD

2+ AB BC+( )

2BA AD+( )

2+ AB AD+( )

2AD AB – ( )

2+= =

AB2

2AB AD⋅ AD2

AD2

2AB AD AB2

+⋅ – + + + 2 AB2

AD2

+( ) 2 AB2 AD2+( ).= = =

BD[ ].

AB2 AD2+ 2AI2

12-- BD2

+ 212-- AC⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 1

2-- BD2

+12-- AC2 1

2-- BD2

+12-- AC2 BD2

+( ).= = = =

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16

 

Séquence 5 – MA12

 

Exercice 9

 

L’unité de longueur est le cm.

 

 

Construire un triangle ABC satisfaisant aux conditions suivantes : et

(On constatera qu’il n’y a pas unicité.)

 

 

En utilisant la formule d’Al-Kashi, montrer que AC est solution de l’équation

Quelles sont les valeurs de AC possibles ?

 

 

Dans chacun des cas obtenus, calculer puis, en degrés, un encadrement de à près.

 

 

Calculer l’aire de ABC dans chacun des cas.

 

Exercice 10

Une unité de longueur étant choisie, on considère un rectangle ABCD tel que et

I est le point défini par

 Vérifier que

 Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que

 En déduire que les droites et sont perpendiculaires.

 Retrouver le résultat en supposant le plan rapporté au repère orthonormal

Exercice 11

Dans un triangle ABC, on appelle I et J les milieux respectifs des segments et

On appelle a, b et c les longueurs respectives de segments et

Le but de l’exercice est de montrer que les droites et sont perpendiculaires si et seulementsi et de construire un tel triangle dans un cas particulier.

 Exprimer en fonction de a, b et c les différents produits scalaires suivants :

et

 Exprimer en fonction de

 En déduire que si et seulement si

 Quelle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côté ont pour mesure 1 et 3 ?

Construire à la règle et au compas un triangle ABC isocèle en A tel que dans lequel les droiteset sont perpendiculaires.

D Exercices d’apprentissage

AB 8,= Aπ

3

---= BC 7.=

x2 8x –  15+ 0.=

Ccos C 10 1 –  

AB 2= AD 1.=

AI34-- AB.=

CD2 CB2 –  ID2 IB2. – =

MD2 MB2 –  3.=

BD( ) CI( )

A ;12-- AB AD,⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .

AB[ ] AC[ ].

BC[ ], CA[ ] AB[ ].

BJ( ) CI( )b2 c2

+ 5a2=

AB AC,⋅ BA BC⋅ CA CB.⋅

BA BC+( ) CA CB+( )⋅ BJ CI.⋅

BJ( ) CI( )⊥ b2 c2+ 5a 2.=

BC 2=BJ( ) CI( )

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 Séquence 5 – MA12 17

. Activité 6

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

est le cercle trigonométrique de centre O.

Placer sur le cercle, les points A et B tels que et

 En utilisant les coordonnées des points A et B, calculer

 Exprimer le produit scalaire en fonction de En déduire

Formules d’addition

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

est le cercle trigonométrique de centre O.

Sur le schéma ci-contre, et

a. Expression de en fonction de

On considère sur ce cercle, les points A et B tels que :

et

et (revoir éventuel-lement, le chapitre 3).

or

On sait que puisque

En rassemblant tous ces résultats, on obtient :

b. Expression de en fonction de

Or et donc

c. Expression de en fonction de

A Activité

B Cours

Complément de trigonométrie :Formules d’addition et de duplication

O ; i j,( ).

C( )

i OA,( ) π6---= i OB,( ) π

4--- .=

OA OB.⋅

OA OB⋅ OA OB,( ).cosπ12-----cos .

JB

A

IO

O ; i j,( )

.

C( )

i OI=  j OJ.=

a b – ( )cos acosbcos , asin , bsin .

i OA,( ) a= i OB,( ) b.=

A acos asin,( ) B bcos bsin,( )

OA OB⋅ acos bcos asin bsin .×+×=

OA OB⋅ OA OB× OA OB,( )cos×  ; =

OA OB,( ) OA i,( ) i OB,( )+ i OB,( ) i OA,( ) –  b a. – = = =

a b – ( )cos b a – ( )cos= α –  ( )cos αcos .=

a b – ( )cos acos bcos× asin bsin .×+=

a b+( )cos acos , bcos , asin , bsin .

a b+( )cos a b –  ( ) – ( )cos acos b –  ( )cos× asin b –  ( )sin .×+= =α –  ( )cos αcos= α –  ( )sin αsin –  = a b+( )cos acos bcos× asin bsin .× – =

a b+( )sin acos , bcos , asin , bsin .

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18 Séquence 5 – MA12

On sait que et que (chapitre 3).

 

d. Expression de en fonction de

On se ramène à la formule précédente

e. En résumé : Quels que soient a et b appartenant à :

Formules de duplication

Quels que soient a et b, et

Remplaçons dans ces formules a et b par α ; il vient et

Dans cette dernière formule, en remplaçant par on obtient

en remplaçant par on obtient :En résumé : quel que soit

Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

a. Dérivabilité de la fonction sinus en 0

On doit pour cela étudier c’est-à-dire

Que dit la calculatrice ?

tend vers 1 quand h tend vers

0.

Noter que les résultats auraient étéidentiques si on avait attribué à h

des valeurs négatives carest une fonction paire.

On admettra ce résultat.

π2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos αsin= π

2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin αcos=

a b+( )sin π2--- a –  b – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos π

2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞  b – cos π

2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos bcos π

2--- a – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin bsin×+×= = =

asin bcos acos bsin .×+×= a b+( )sin asin bcos× bsin acos .×+=

a b – ( )sin acos , bcos , asin , bsin .

a b – ( )sin a b –  ( )+( )sin asin b –  ( )cos× b –  ( )sin acos×+= =

asin bcos× bsin acos .× – =a b – ( )sin asin bcos× bsin acos .× – =

a b – ( )cos acos bcos× asin bsin×+=

a b+( )cos acos bcos× asin bsin× – =

a b – ( )sin asin bcos× bsin acos× – =

a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=

a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=a b+( )cos acos bcos×  sin a sin b.× – =

2αsin 2 αsin αcos×=2αcos α α.sin2

 – cos2=

αsin2 1 α,cos2 – 

2αcos 2 αcos2 1, – = αcos2 1 α,sin2 –  2αcos 1 2 α.sin2 – =α  : ∈

2αsin 2 αsin αcos×=

2αcos αcos2 αsin2 – =

2αcos 2 αcos2 1 – =

2αcos 1 2 αsin2 – =

 hsin 0sin – 

h-----------------------------

h 0→lim

hsinh

-----------

h 0→lim .

hsinh

-----------

hhsin

h-----------

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Séquence 5 – MA12

 

19

 

b.

 

Dérivabilité de la fonction sinus (démonstration non exigible)

Soit a un nombre réel ; pour tout

De la formule on en déduit que et donc que

Ainsi, si on remplace par k.

Si tend vers 1 quand k tend vers 0 ; ainsi tend vers 0 quand

k tend vers 0, autrement dit, quand h tend vers 0, tend vers 0 et tend

vers 0.

Par ailleurs, tend vers (puisque tend vers 1).

Finalement : ce qui équivaut à et ceci quel que soit

 La fonction sinus est dérivable sur  ; quel que soit x réel,

c.

 

Dérivabilité de la fonction cosinus

On sait que donc quel que soit

Or, si donc

Ainsi quel que soit

La fonction cosinus est dérivable sur

 

; quel que soit x réel,

(Des exemples d’utilisation de ces formules sont données dans la séquence 7.) 

 

Exercice 1

 

Calculs de

C

 

Exercices d’application

T éorème   hsin

h------------

h 0→lim 1 ; = 0( )in9 1.=

h 0,≠

a h+( )in asin – 

h------------------------------------------

asin hcos hsin acos asin – +

h--------------------------------------------------------------------------

a h 1 – cos( )sin hsin acos+

h----------------------------------------------------------------------= =

asinh 1 – cosh

---------------------× acoshsin

h-----------.×+=

2αcos 1 2 α,sin2 – = 1 2αcos –  2 αsin2=

1 hcos –  2h2--sin2 .=

h 1 – cosh

---------------------

2h2--sin2

h------------------ – 

sin2 h2--

h2--

-------------- = – h2--  

h2--sin

h2--

------------sin –   ksin –  ksin

k-----------×= = = h

2--

k 0,= ksin 0 ; = ksink

----------- ksinksin

k-----------× –  

h 1 – cosh

--------------------- asinh 1 – cosh

---------------------×

acoshsin

h-----------× acos

hsinh

-----------

 a h+( )sin asin – 

h-------------------------------------------

h 0→lim acos= asin acos=

a .∈ T éorème  xin9 x.cos=

π2--- α – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin αcos= x ,∈ xcos π

2--- x – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .sin=

g x( ) f ax b+( )= , g′ x( ) af ′ ax b+( ) ; = xcosπ2--- x – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos –  = a 1 –  =( )

xsin –  = π

2--- α – 

⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ cos αsin=⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ 

x ,∈ xcos x.sin –  =

T éorème  xcos9 x.sin – =

π12-----,cos

π12-----,sin

π8--- ,cos

π8--- .sin

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20

 

Séquence 5 – MA12

Le calcul de a déjà été effectué dans l’activité 6.

Il peut maintenant s’effectuer plus directement grâce aux résultats précédents.

On remarque pour cela que ainsi :

De même :

Calculons en remarquant que et donc que

Mais, après la formule de duplication n

 

o

 

3 on a aussi

Ainsi, ce qui équivaut à :

car

Utilisons maintenant la formule de duplication n

 

o

 

4 :

d’où et car, également,

Finalement : et

Exercice 2

 

Résoudre dans

 

l’équation

Remarquons que ainsi :

équivaut à

ou

Réponse π12-----cos

π12-----

π4---

π6---  ;  – =

π12-----cos π4--- π6--- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos π4---cos π6---cos× π4---sin π6---sin×+ 22

------- 12--× 22

------- 32-------×+ 6 2

+

4-------------------- ; = = = =

π12-----cos

6 2+

4--------------------.=

π12-----sin

π4---

π6--- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ sinπ4---sin

π6---cos× π

4---cos

π6---sin× – 

22

-------3

2-------× 2

2-------

12--× – 

6 2 – 

4-------------------- ; = = = =

π12-----sin

6 2 – 

4--------------------.=

π8---cos 2 π

8---× π

4---= 2cos π

8---× 2

2-------.=

2cosπ8---× 2 π

8--- 1. – cos2=

2π8--- 1 – cos2 2

2-------,=

π8---cos2

12

2-------+

2---------------- ; = π

8---cos2 2 2

 +

 4

---------------- ; = π8---cos

2 2+ 

2--------------------,= π

8---cos 0.>

2cosπ8---× 1 2

π8---sin2

 – = 2π8---sin2 1

22

------- – = π8---sin

2 2 – 

2-------------------- ,= π

8---sin 0.>

π8---cos

2 2+

2--------------------= π

8---sin

2 2 – 

2--------------------.=

1 2 xcos 2xcos+ +

0.=

Réponse  2xcos 2 x 1 ;  – cos2=

1 2 x 2xcos+cos+ 0= 1 2 x 2 x 1 – cos2+cos+ 0=

2 x 1 xcos+( )cos 0=

xcos 0= xcos 1. –  =

xπ2--- 2kπ,+= x

π2--- 2kπ,+ –  = x π 2kπ,+= k .∈

S π2--- 2kπ+ π2

--- 2kπ+ –   π 2kπ, k ∈+, ,⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫= .

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Séquence 5 – MA12

 

21

 

Exercice 12

 

Montrer que

Exercice 13

 

Résoudre les équations suivantes :

 

 

 

 

 

développera au préalable

Exercice 14

 

A, B, C désignant les angles d’un triangle, démontrer que :

(indication : en utilisant exprimer à l’aide de

D

 

Exercices d’apprentissage

x x2π3

------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos x

4π3

------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ cos+ +cos 0.=

2xcos 3 x 2+cos –  0.=

x3

2------- 2xsin+cos2 0.=

5xsin xcos 5xcos xsin – 2

2------- .=

x xcos+sin 2= on⎝ ⎛  x π4---+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎠ ⎞ .sin

Asin Bsin Csin+ + 4A2---

B2---

C2---.cos cos cos=

A B C+ + π,= Csin A B+( )).sin

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22 Séquence 5 – MA12

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal

Équation d’une droite à l’aide d’un vecteur normal

Vecteur normal d’une droite : étant donnée une droite Δ de vecteur direceur on dit que est

un vecteur normal de Δ si est non nul et orthogonal à

Toute droite de vecteur normal a une équation de la forme

Réciproque 

Si l’ensemble des points du plan tels que est une droite

de vecteur normal

Équation d’un cercle

Tout cercle a une équation de la forme

Un point M est sur le cercle de diamètre si et seulement si

Relations métriques dans un triangle

Formule d’Al-Kashi Dans tout triangle ABC,

Théorème de la médiane 

Dans tout triangle ABC, si I est le milieu du segment

Aire d’un triangle quelconque

L’aire de tout triangle ABC est donnée par

Formule des sinus 

Dans tout triangle ABC,

Complément de trigonométrie :Quels que soient a et b appartenant à :

Quel que soit

Ces deux fonctions sont dérivables dans ; quel que soit

Synthèse des connaissances

O ; i j,( )  :

v, n

n v.

T éorème  n a b,( ) ax by c+ + 0.=

a b,( ) 0 0,( ),≠ M x y,( ) ax by c+ + 0=

n a b,( ).

T éorème  x2 y2 ax by c+ + + + 0.=

T éorème  AB[ ] MA MB⋅ 0.=

BC2 AB2 AC2 2AB AC A.cos×× – +=

BC[ ], AB2 AC2+ 2A I2 12-- BC2.+=

S12-- bc Asin

12-- ca Bsin

12-- ab Csin .= = =

aAsin

------------b

Bsin------------

cCsin

------------ .= =

Formu es a ition  

a b – ( )cos acos bcos× asin bsin×+=

a b+( )cos acos bcos× asin bsin× – =

a b – ( )sin asin bcos× bsin acos× – =

a b+( )sin asin bcos× bsin acos×+=

Formu es 

de duplication 

α  : ∈

2αsin 2 αsin αcos×=

2αcos αcos2 αsin2 – =

2αcos 2 αcos2 1 – =

2αcos 1 2 αsin

2 – 

= Dériva i ité es fonctions sinus et 

cosinus 

x ,∈xsin xcos=

xcos xsin –   .=⎩⎨⎧

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Séquence 5 – MA12

 

23

 

Exercice 1

 

Construction d’un pentagone régulier 

 

Calcul de

 

Vérifier que est solution de l’équation

 

Montrer l’égalité :

 

En déduire que est une solution de l’équation

 

a.

 

Montrer que

b.

 

En déduire

Construction d’un point A du cercle trigonométrique tel que 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal et est le cercle trigonométrique de centre O.

Soit M tel que et J le point cercle trigonométrique tel que

 

Calculer MJ.

 

 

Soit K le point de l’axe des abscisses, ayant une abscisse positive, tel que

Soit H le milieu de Calculer OH. En déduire le point A cherché.

 

Construire un pentagone régulier ABCDE.

 

Exercice 2

 

On considère un triangle ABC ; on pose

Soit G le centre de gravité de ce triangle.

M désignant un point quelconque, on pose

a.

 

Exprimer en fonction de a, b, c : et

b.

 

Montrer que

c.

 

En remplaçant successivement M par A, B et C dans l’égalité obtenue à la question b, puis en calcu-

lant montrer que

Exercice 3

 

Un jardin de forme triangulaire ABCest tel que etmesurent respectivement 80 m,120 m, 100 m.

Une allée joint un point D deà un point E de

Cette allée partage le jardin en deux

parcelles BDE et ADEC de mêmeaire. De plus, les périmètres de cesdeux parcelles sont égaux.

Exercices d’approfondissement

Première partie 2π5

------cos

2π5

------ 3xcos 2x.cos=

3xcos 4 xcos3 3 x.cos – =

2π5

------cos 4X3 3X –  2X2 1. – =

4X3 2X 2 3X –  1+ –  X 1 – ( ) 4X2 2X 1 – +( ).=

2π5

------ .cos

Deuxième partie  i, OA( ) 2π5

------=

O ; i j,( ) C( )

OM12-- i –  = i OJ,( ) π

2---.=

MJ MK.=

OK[ ].

a BC,= b CA,= c AB.=

f M( ) MA 2 MB2 MC2.+ +=

f A( ), f B( ), f C( ).

f M( ) 3M G2 f G( ).+=

f A( ) f B( ) f C( ),+ + GA2

GB2

GC2

+ +

1

3--

a2

b2

c2

+ +( ).=

A

CB

D

E

AB[ ], BC[ ] CA[ ]

AB[ ]BC[ ].

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24 Séquence 5 – MA12

 Montrer que et

En déduire les valeurs exactes de BD et BE après résolution d’une équation du second degré.

 Calculer la valeur exacte de puis calculer la mesure exacte, en métres de l’allée Don-

ner l’approximation décimale de cette mesure à près par défaut.

Exercice 4

ABC est un triangle rectangle en A tel que

I désigne le milieu de J le barycentre de et G le barycentre de

 a. Montrer que G est le milieu de

b. Préciser la nature du quadrilatère ABIG.

c. Calculer les distances GA, GB et GC.

 a. Exprimer en fonction de l’expression

b. En déduire l’ensemble des points M du plan tels que Tracer

  On se propose maintenant de déterminer l’ensemble des points M tels que

a. Montrer que I appartient à

b. Montrer que l’ensemble est une droite.

c. Tracer

Aide aux exercices d’approfondissement

Exercice 1

 Penser à l’égalité

  Écrire et utiliser une formule d’addition ; ne pas oublier non plus que

 Exprimer en fonction de et ne pas oublier que est solution de l’équation

 a. Développer le produit figurant dans le second membre.

b.Tenir compte du signe de

Exercice 2

b. Décomposer en

c. Écrire de deux façons.

Exercice 3

 Exprimer les aires de BDE et ABC à l’aide de et remarquer que l’aire de ADEC est égale à lamoitié de l’aire de ABC.

On peut ensuite poser et et résoudre le système par substitution.

 Utiliser la formule d’Al-Kashi.

BD BE× 4 800= BD BE+ 150.=

Bcos DE[ ].10 2 –  

AB 1,= AC 2.=

AC[ ], A 3,( ), B 2 –  ,( ), A 3,( ),B 2 –  ,( ), C 1,( ).

CJ[ ].

MG2 3M A2 2MB2 MC2.+ – 

C( ) 3M A2 2M B2 MC2+ –  2.= C( ).

E( )3M A2

 –   2M B2 MC2+ + 2.=

E( ).

E( )

E( ).

6π5

------ 2π 4π5

------ . – =

3xcos x 2x+( )cos=

xsin2 1 x.cos2 – =

2xcos xcos2π5

------cos

3xcos 2x.cos=

2π5

------.cos

MA2 MB2 MC2+ + MG GA+( )

2MG GB+( )

2MG GC+( )

2+ + .

f A( ) f B( ) f C( )+ +

Bsin

x BD= y BE=xy 4 800=  

x y

 

+

 

150

 

=⎩⎨⎧

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Séquence 5 – MA12

 

25

 

Exercice 4

 

 

a.

 

On peut utiliser le théorème d’associativité.

 

b.

 

On peut montrer en utilisant le théorème d’associativité que G est le barycentre de

c.

 

Pour la calcul de GB, on peut appeler O le point d’intersection de et et calculer BO.

 

 

a.

 

Décomposer en utilisant le point G.

 

b.

 

Pour tracer remarquer qu’il passe par l’un des points A, B, C.

 

 

b.

 

Décomposer en utilisant le point I.

 

c.

 

Montrer que

A 2,( ), I 2,( ),B 2 –  ,( ).

BG( ) AI( )

3MA2 2MB2 –  MC 2

+

C( ),

3 –   MA2 2MB2 MC2+ +

3IA –   2IB IC+ + 2 AI AB+( ).=

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27

 

Sommaire séquence 5 – MA12

 

2ème partie

 

Activités 1, 2, 3

Cours

 

 

Fonctions ayant pour limite + ∞

 

ou – ∞

 

en + ∞

 

 

Fonctions de limite réelle en + ∞

 

 

Limite d’une fonction en – ∞

 

 

Cas particulier des fonctions polynômes

 

 

Cas particulier des fonctions rationnelles

 

Exercices d’application 1, 2, 3

Exercices d’apprentissage 1, 2, 3, 4

Activités 4, 5

Cours

Exercices d’application 1, 2, 3

Exercices d’apprentissage 5, 6, 7, 8, 9

Activité 6Cours

Exercice d’application

Exercices d’apprentissage 10, 11, 12

 

Chapitre 2

 

>

 

Limite d’une fonction en a réel, n’appartenant pas

à son ensemble de définition

 

........................................................................................................

 

Chapitre 3

 

>

 

Asymptotes ........................................................................................................................................................

 

Chapitre 5

 

>

 

Exercices d’approfondissement 1, 2, 3 ..........................................................

 

Chapitre 1

 

>

 

Limites de fonctions en + ∞

 

et – ∞

 

......................................................................

 

Chapitre 4

 

>

 

Synthèse des connaissances .............................................................................................

 

AA

AAB

AAC

AACD

AA

AAB

AAC

AACD

AA

AAB

AAC

AACD

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Séquence 5 – MA12

 

29

 

.

 

Activité 1

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

On considère les fonctions et définies respectivement sur par :

et

 

Tracer les courbes représentatives de ces fonctions, appelées et

 

À tout nombre réel positif x, on fait correspondre les points et d’abscisse x, apparte-

nant respectivement aux courbes et N le point de coordonnées

On appelle et les aires respectives des triangles et

 

a.

 

Exprimer et en fonction de x.

 

b.

 

Compléter le tableau suivant :

 

c

 

. Que penser des nombres et quand le nombre x devient « très grand » ?

Dans les paragraphes qui suivent, nous allons donner une idée plus précise de la notion de limiteentrevue dans l’activité 1. Mais, conformément au programme les explications se feront uniquementà travers les exemples. En effet, la formulation mathématique rigoureuse est assez abstraite. Elle nesera utilisée que dans des classes ultérieures.

Soit une fonction f définie sur un intervalle de la forme

Étudier le comportement de la fonction f en c’est étudier le comportement des nombreslorsque le nombre x positif devient « très grand ».

 

.

 

Activité 2

 

 

Compléter le tableau suivant :

 

A

 

Activités

 

x 1 2 5 10 100 1 000

x 1 10 100 1 000

Limites de fonctionsen et∞+ ∞–

O ; i j,( )

f 1, f 2 f 3 0 ∞[+ ,]

f 1 x( ) 2

x------,= f 2 x( ) 2

x--= f 3 x( ) 2

x2----- .=

C1, C2 C3.

M1, M2 M3

C1, C2, C3 x 1+ 0,( ).

S1 x( ), S2 x( ) S3 x( ) OM1N, OM2NOM3N.

S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )

S1 x( )

S2 x( )

S3 x( )

S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )

α ; ∞+ [ [.

∞,+  f x( )

104

x2

x3

x

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30

 

Séquence 5 – MA12

 

 

Comparer x, et pour

En déduire sans faire de calculs :

si

si

si

Deux observations :

 

Plus x devient grand, plus et sont grands.

 

et peuvent prendre des valeurs aussi grandes que l’on puisse le souhaiter.

On dira : tend vers quand x tend vers

ou : la limite de est égale à quand x tend vers

Il en sera de même pour

 

Compléter :

 

a.

 

Si

b.

 

Sic.

 

Si

On dira aussi : tend vers quand x tend vers

ou : la limite de est égale à quand x tend vers

.

 

Activité 3

 

 

Compléter le tableau suivant :

 

 

Compléter :

 

a.

 

Si

b.

 

Si

 

a.

 

Comparer, pour

b.

 

En déduire sans faire de calculs :

si si si

x 1 10 100 1 000 10 000

x2 x3 x 1.>

x2 1010> x ...>

x2 101  999> x ...>

x3 102  000> x ...>

x2 x3

x2 x3

x2 ∞+  ∞.+ x2 ∞+  ∞.+ 

x3.

x ...,> x 1 000>

x ...,> x 10100

.>x ...,> x 102  001.>

x ∞+  ∞.+ x ∞+  ∞.+ 

1x--

1

x2-----

1

x3-----

1x------

x ...,> 1x-- 0 000 001.,  <

x ...,> 1x-- 10 100 –   .<

x 1>1x-- ,

1

x2

-----,1

x3

-----.

1

x2----- 10 10 –  < x ...> 1

x2----- 10 1 000 –   < x ...> 1

x3----- 10 100 –  < x ...>

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Séquence 5 – MA12

 

31

 

Deux observations également :

 

Plus x devient grand, plus et sont petits, tout en restant positifs.

 

et peuvent prendre des valeurs positives aussi petites que l’on puisse le souhaiter.

On dira : tend vers 0 quand x tend vers

ou : la limite de est égale à 0 quand x tend vers

Il en sera de même pour et

c.

 

Si Si Si

On dira aussi que la limite de est égale à 0 quand x tend vers

 

Fonctions ayant pour limite ou en

a. Fonctions de référence ayant pour limite

 

À la suite des observations faites dans l’activité 2, nous admettons le théorème suivant :

 

Chacune des fonctions : tend vers quand x tend vers

On écrit : , , ,

b. Fonctions de limite

 

en

 

On dit que si

Prenons donc

c. Théorèmes généraux

 

Étude d’un exemple

Considérons la fonction f définie par

Que dit la calculatrice ?

Elle permet de conjecturer que

On sait que et que donc il est intuitif que et

qu’a fortiori

B

 

Cours

1x-- ,

1

x2-----

1

x3-----

1x-- ,

1

x2-----

1

x3-----

1x-- ∞+ 

1x-- ∞.+ 

1

x2-----

1

x3-----.

x ...,> 1

x------ 0 000 01 ; ,  < x ...,> 1

x------ 10 10 –   ; < x ...,> 1

x------ 10 1  000 –    .<

1

x------ ∞.+ 

∞+ ∞– ∞+

∞+ 

T éorème  x x,∞ x x2,∞ x x3∞ x x,∞ ∞+  ∞.+ 

xx ∞+ →

lim ∞+ = x2

x ∞+ →lim ∞+ = x3

x ∞+ →lim ∞+ = x

x ∞+ →lim ∞.+ =

∞ –   ∞+ f x( )

x ∞+ →lim ∞ –  = f  –   x( )

x ∞+ →lim ∞.+ =

Exemple f x( ) x –  ( )3 ; = f x( ) –   x –  ( )3   –   x3  .= = x3

x ∞+ →lim ∞+ = f x( )

x ∞+ →lim ∞. –  =

f x( ) x2 5x .+=

f x( )x ∞+ →

lim ∞+  .=

x2

x ∞+ →lim ∞+ = x

x ∞+ →lim ∞,+ = 5x

x ∞+ →lim ∞+ =

x2 5x+( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

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32

 

Séquence 5 – MA12

 

On admet les résultats « intuitifs » résumés dans le tableau ci-dessous :

 

Quelques remarques

• Dans la colonne concernant où k désigne un nombre réel non nul, le signedépend du signe k.

Ainsi par exemple, si k est positif, si

• La case barrée correspond à ce que l’on appelle une forme indéterminée 

 

.

Expliquons nous en prenant quelques exemples :Si et ainsi,

Si et ainsi,

Si et ainsi,

Dans chacun de ces cas, et

La conclusion dépend du cas dans lequel on s’est placé.

On ne peut donc prévoir a priori le résultat d’où cette expression : forme indéterminée 

 

.

Si l’application des résultats du tableau permettent de dire que

Si puisque par exemple, on peut conclure que

Plus généralement, si

 

Fonction de limite réelle en

a. Fonctions de référence ayant pour limite 0 en

 

À la suite des observations faites dans l’activité 3, nous admettons le théorème suivant :

 

Chacune des fonctions : tend vers 0 quand x tend vers

On écrit

Si Alorsf x( )x ∞+ →

lim = g x( )x ∞+ →

lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim = f x( ) g x( )×x ∞+ →

lim = k f x( )×x ∞+ →

lim =

∞+  ∞+  ∞+  ∞+  ∞

∞ –   ∞ –   ∞ –   ∞+  ∞

∞+  ∞ –   ∞ –   ∞

k f x( )×[ ],x ∞+ →

lim

f x( )x ∞+ →

lim ∞, –  = k f x( )×[ ]x ∞+ →

lim ∞. –  =

f x( ) 3x= g x( ) 2x , –  = f x( ) g x( )+ x ;  = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim xx

 ∞

 

+

 →lim ∞.+ = =

f x( ) 2x= g x( ) 3x , –  = f x( ) g x( )+ x ;   –   =

f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim x –  x ∞+ →

lim ∞ –   .= =

f x( ) 3x= g x( ) 3x , –  = f x( ) g x( )+ 0 ; = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim 0.=

f x( )x ∞+ →

lim ∞+ = g x( )x ∞+ →

lim ∞. –  =

Exemples f x( ) 2x 3 0 5x2, x,+ +=

f x( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

f x( ) 5x 4,= 5x4 5x 2 x2,×= 5x4( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

n *,∈ xn( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

∞+

∞+ 

T éorème  x1x---,∞ x

1

x2

-----,∞ x1

x3

-----,∞ x1

x

------∞ ∞.+ 

1x--

x ∞+ →lim 0=  

1

x2-----

x ∞+ →lim 0=  

1

x3-----

x ∞+ →lim 0=  

1

x------

x ∞+ →lim 0.=

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 Séquence 5 – MA12 33

b. Interprétation graphique de ces résultats

Traçons dans le plan munid’un repère orthonormal

la courbe repré-

sentant la fonction

Appelons M un point decette courbe d’abscisse x etH le projeté orthogonal de Msur l’axe des abscisses.

Dire que tend vers 0

quand x tend vers setraduit par : MH tend vers 0

quand x tend vers

Autrement dit « l’écart entrela courbe et l’axe des abscisses » tend vers 0.

« Plus x est grand, plus cet écart sera voisin de 0 ».

On dit que l’axe des abscisses est une asymptote de la courbe d’équation en

On pourrait faire les mêmes observations en ce qui concerne les courbes des trois autres fonctions etl’axe des abscisses.

La notion d’asymptote sera reprise dans le chapitre 3.

c. Fonction ayant une limite réelle en

Étant donné un nombre réel λ , on dit que si

Prenons la fonction de l’activité 1 définie sur par et montrons conformé-

ment à ce que la calculatrice nous avait permis de conjecturer, que

Pour cela :

O H

M

O ; i j,( )

x1x-- ,

x 0.>

1x--

∞+ 

∞.+ 

y1x--= ∞.+ 

∞+ f x( )

x ∞+ →lim λ = f x( ) λ  – [ ]

x ∞+ →lim 0.=

Exemple S2 0 ∞[+ ,] S2 x( ) x 1+

x-----------=

S2 x( )x ∞+ →

lim 1.=

O

H

M

S2 x( ) 1 – x 1+

x----------- 1 – 

1x-- .= =

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34

 

Séquence 5 – MA12

On sait que donc ainsi

Graphiquement, si M est un point de la courbe représentant si H est le projeté orthogonal de M

sur la droite d’équation

MH tend vers 0 quand x tend vers

La droite d’équation est une asymptote de en

Plus généralement :

 

Dire que la droite d’équation est asymptote en de la courbe représentant une

fonction f signifie que

Définition analogue pour la notion d’asymptote en

d) Théorème généraux

 

Reprenons la calculatrice pour un premier exemple :

On peut conjecturer que :et que

On peut conjecturer cette fois que et que

1x--

x ∞+ →lim 0= S2 x( ) 1 – [ ]

x ∞+ →lim 0 ; = S2 x( )

x ∞+ →lim 1.=

S2,

y 1,= S2 x( ) 1 –  MH.=

∞.+ y 1= C2 ∞.+ 

Dé inition  y b= ∞+ 

f x( )x ∞+ →

lim b.=

∞. –  

f x( ) 2x 1+x

--------------- ,= g x( ) 5xx 1+-----------=

f x( )x ∞+ →

lim 2,= g x( )x ∞+ →

lim 5= f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim 2 5+ 7.= =

f x( ) 13x 2 – --------------=

3x 2 – ( )x ∞+ →

lim ∞+ = f x( )x ∞+ →

lim 0.=

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 Séquence 5 – MA12 35

On admet les résultats « intuitifs » du tableau ci-dessous :

• Un résultat important à bien retenir : si une fonction tend vers l’infini, son inverse tend vers 0 .

• Les signes dépendent des signes des limites ou du réel k.

Exemples : Si et si

Si et si

• Si et si on ne peut pas prévoir a priori la limite en de

Prenons quelques exemples :

Supposons

Si et

Si et

Si et

Dans chacun de ces cas, La limite du produit dépend donc des cas particuliers con-

sidérés.

C’est une forme indéterminée.

Y faire attention car la tentation est grande, devant ce type de cas, de conclure que la limite du pro-duit est égale à 0.

Limite d’une fonction en

Dire que x tend vers équivaut à dire que tend vers

Ainsi, équivaut à

équivaut à

équivaut à

Si Alors

λ μsi

μ si 0

λ  sisi

f x( )x ∞+ →

lim = g x( )x ∞+ →

lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim f x( ) g x( )×x ∞+ →

lim k f x( )×x ∞+ →

lim 

1f x( )---------

x ∞+ →lim

λ μ+ λ μ× k λ × 1λ --- λ  0≠

∞ ∞ ∞ μ 0≠ ∞

∞ ∞ ∞ λ  0≠ k λ × 1λ --- λ  0≠

Que ques remarques 

f x( )x ∞+ →

lim ∞ –  = k 0,< k f x( )×[ ]x ∞+ →

lim ∞.+ =

f x( )

x ∞+ 

lim ∞+ = μ 0,< f x( ) g x( )×[ ]

x ∞+ 

lim ∞. –  =

f x( )x ∞+ →

lim ∞+ = g x( )x ∞+ →

lim 0= ∞+ f x( ) g x( ).×

f x( ) x2 ; = f x( )x 

∞ 

+

 → lim ∞.+ =

g x( ) 1x-- ,= f x( ) g x( )× x= f x( ) g x( )×[ ]

x ∞+ →lim ∞.+ =

g x( ) 1

x2-----,= f x( ) g x( )× 1= f x( ) g x( )×[ ]

x ∞+ →lim 1.=

g x( ) 1

x3-----,= f x( ) g x( )× 1

x--= f x( ) g x( )×[ ]

x ∞+ →lim 0.=

g x( )x ∞+ →

lim 0.=

∞ –

∞ –   x –   ∞.+ f x( )

x ∞ – →lim ∞+ = f x –  ( )

x ∞+ →lim ∞.+ =

f x( )x ∞ – →

lim ∞ –  = f x –  ( )x ∞+ →

lim ∞ –   .=

f x( )x ∞ – →

lim λ = f x –  ( )x ∞+ →

lim λ .=

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36 Séquence 5 – MA12

Prenons

Ce résultat ne doit pas nous surprendre car la fonction carré étant paire on doit bien s’attendre à ceque son comportement en soit identique à celui qu’elle a en

Plus généralement, des considérations de parité nous amènent à énoncer :

 

Les théorèmes généraux cités dans le cas où x tend vers s’appliquent de la même façon quand xtend vers

Cas particuliers des fonctions polynômes

a. Conjectures avec la calculatrice

Comparons

et pour de

« grandes » valeursde x.

Remarquons que

etdeviennent

« comparables » et donc, puisque il est légitime de s’attendre à ce que

(Notons que nous étions face à une indétermination.)

Comparons :

etpour de « grandes »valeurs de x.

Ici encore :

etdeviennent« comparables ».

On sait que donc

b. Comment peut-on justifier ces résultats ?

Pour on peut écrire :

On sait que donc et (d’après les théorè-

mes généraux).

On sait aussi que

De tout cela, on déduit que

On obtiendrait de même que

Exemple f x( ) x2  ; = f x( )x – 

∞→ lim f x –  ( )

∞ 

+

 →

  lim x –  ( )2x

 ∞

 

+

 →

  lim x2

∞ 

+

 →

  lim ∞.+ = = = =

∞ –   ∞.+ 

T éorème  xx ∞ – →

lim ∞ – = x2

x ∞ – →lim ∞+ = x3

x ∞ – →lim ∞ – =  

1

x---

x ∞ – →lim 0=  

1

x2

-----

x ∞ – →lim 0=  

1

x3

-----

x ∞ – →lim 0=

∞+ ∞. –  

1er exemple x3 2x 2 – 

x3

x3 2x 2 –  x3

x3

x ∞+ →lim ∞,+ =

x3 2x 2 – ( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

2ème exemple

3x 2 –   5x+ 3x 2 –  

3x 2 –   5x+ 3x 2 –  

x2

x ∞+ →lim ∞,+ = 3x2 –  ( )

x ∞+ →lim ∞ ;  –  = 3x 2 –   5x+( )

∞ 

+

 →

 lim   ∞. –  =

1er exemple x 0,≠ x3 2x2 –  x3 12x-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞  x3 1 21x--× – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .= =

 1x--

x ∞+ →lim 0,= 2

1x--×

x ∞+ →lim 0= 1 2

1x--× – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ x ∞+ →

lim 1=

x3

x ∞+ →lim ∞.+ =

x3 2x2 – ( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

Remarque  x3 2x 2 – ( )x ∞ –  →

lim ∞. –  = 1 21x--× – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ x ∞ –  →

lim 1 et x3

x ∞ –  →lim ∞ –  ==⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .

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 Séquence 5 – MA12 37

Pour on peut écrire :

Un raisonnement analogue au précédent donne et

Ce calcul a fait aussi apparaître que et sont « comparables » pour de grandes valeurs de x.

Il permet également d’établir que car 

et 

Plus généralement :

c. Théorème

La limite à l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

de même,

Cas particulier des fonctions rationnelles

On appelle fonction rationnelle, tout quotient de deux fonctions polynômes.

a. Conjecture avec la calculatrice

Considérons

Remarquons que pour de « grandes » valeurs de x, devient « trèsproche » de 2x.

Or on peut donc conjecturer que

Notons que s’est comporté comme

Considérons

Remarquons que pour de « grandes » valeurs de x, devient« très proche » de 0,5.

On peut ainsi conjecturer que :

Notons que s’est comporté comme

b. Comment peut-on justifier ces résultats ?

Pour x différent de 3 et de 0,

2ème exemple x 0,≠ 3x 2 –   5x+ x2 3 –   51x--×+⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ .=

3 –   51x--×+⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ x ∞+ →

lim 3 –  = x2

x ∞+ →lim ∞.+ =

Conc usion  3x2 –   5x+( )x ∞+ →

lim ∞. –  =

Remarques  3x 2  –  5x + x 2  3  – ( )× 

3x 2  –  5x +( )

x  ∞  – → 

lim  ∞  – =  3  –  5 1x --× +⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ x  ∞  – → 

lim 3   – = 

x 2 

x  ∞  – → 

lim  ∞ .+ = 

Exemple 5x 3 10x2 –  17x 25 – +( )x ∞+ →

lim 5x3

x ∞+ →lim ∞ ; +  = =

5x3 10x2 –  17x 25 – +( )x ∞ –  →

lim ∞. –  =

1er exemple f x( ) 2x 2x 3 – -----------.=

f x( )

2x( )x ∞+ →

lim ∞ ; +  =

f x( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

2x2

x 3 – -----------

2x2

x-------- 2x .=

2ème exemple g x( ) x2 x – 

2x 2 3 – -----------------.=

f x( )

g x( )x ∞+ →

lim 0 5.,=

x2 x – 

2x2 3 – 

-----------------x2

2x2-------- 0 5.,=

1er exemple f x( ) 2x 2

x 13x-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ --------------------

2x

13x-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ ----------------- 2x( ) 1

1 31x--× – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ -------------------------- .×= = =

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38

 

Séquence 5 – MA12

On sait que :

donc

Or ainsi

Pour

On montre, comme dans le premier exemple, que

On obtiendrait de la même façon que

c.

 

Plus généralement

 

La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est égale à la limite du quotient de ses termesde plus haut degré

 

.

 

 

Soit la fonction définie dans l’activité 1 ; calcul de

Il suffit de remarquer que peut s’écrire sous la forme

On sait que et que les théorèmes généraux permettent de con-

clure que

 

Soit la fonction définie dans l’activité 1 par

 

Calculer

Pour

Donc car et

C

 

Exercices d’application

 1x--

x ∞+ →lim 0,= 3

1x--×

x ∞+ →lim 0 ; = 1 3

1x--× – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞  x

 ∞

 

+

 →

 lim 1 ; =  1

1 31x--

 ×

 

 – 

 

⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 

  --------------------------x

 ∞

 

+

 →

 lim 1.=

2x( )x ∞+ →

lim ∞,+ = f x( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

2ème exemple x 0 32--

32-- – , ,

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫,∉ x2 x – 

2x2 3 – -----------------

x2

1

1

x-- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 

x2 23

x2----- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ -------------------------

1

1

x-- – 

23

x2----- – 

--------------1

1

x-- – 

2 31

x2-----× – 

-----------------------.= = =

 1

1x-- – 

2 31

x2-----× – 

-----------------------x ∞+ →

lim12-- .=

Conc usion   x2 x – 

2x2 3 – 

-----------------x ∞+ →

lim 0 5.,=

 x2 x – 

2x2 3 – 

-----------------

x ∞ –  →lim 0 5.,=

T éorème 

S1 S1 x( ) x 1+

x----------- ; = S1 x( ).

x ∞+ →lim

S1 x( ) S1 x( ) xx

------ 1x

------+ x 1x

------.+= =

xx ∞+ →

lim ∞+ =  1

x------

x ∞+ →lim 0 ; =

S1 x( )x ∞+ →

lim ∞.+ =

S3 S3 x( ) x 1+

x2----------- .=

S3 x( )x ∞+ →

lim1x--

1

x2-----+

x ∞+ →lim 0.= =

 x

x 1 – -----------.

x ∞+ →lim

Réponse  x 1,> xx 1 – -----------

x

x 11x-- – ⎝ ⎠ 

⎛ ⎞ --------------------

xx

------1

11x-- – 

------------× 1

x------

1

11x-- – 

------------.×= = =

 x

x 1 – -----------

x ∞+ →lim 0=  

1

x------

x ∞+ →lim 0=  

1

11x-- – 

------------x ∞+ →

lim 1.=

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 Séquence 5 – MA12 39

Exercice 1

On considère et

Calculer les limites de et en et sans avoir recours aux théorèmes spéci-fiques concernant les limites de fonction rationnelles. Retrouver les résultats obtenus grâce à cesthéorèmes.

Exercice 2

Voici ci-contre la courbed’une fonction f définiesur

En se fiant à ce graphi-que, que peut-on

s’attendre à trouver ence qui concerne :

 

Exercice 3

Une fonction f, crois-sante sur est telleque :

et

Dessiner une courbe représentative possible.

Exercice 4

Soit f la fonction définie sur par

 Montrer que peut s’écrire sous la forme en déduire le sens de variation

de f.

 Calculer et

 Tracer la courbe représentative de f en y faisant apparaître les conséquences des calculs de limites.

D Exercices d’apprentissage

f x( ) 2x 3 –   10x2 5x , – += g x( ) 5x 3 – 

x2 2x+

-----------------= h x( ) x3 2x – 

x –   2+---------------- .=

f x( ), g x( ) h x( ) ∞+  ∞ –  

–2 00

21

1

2

3

4

5

3 4 5–1

–1

–2

–4 –3

*.

f x( ) ?x

 ∞

 

+ →lim

f x( ) ?x

 ∞

 

 –  →lim

f x( )x ∞ –  →

lim 2 –  = f x( )x ∞+ →

lim 1.+ =

f x( ) 2x2 3+

x2 1+-----------------.=

f x( ) f x( ) 21

x2 1+

-------------- ; +  =

f x( )x ∞+ →

lim f x( )x ∞ –  →

lim .

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40

 

Séquence 5 – MA12

 

.

 

Activité 4

 

Le plan rapporté à un repère orthonormal

On reprend les fonctions et définies dans l’activité 1 sur respectivement par :

et

À tout nombre réel positif x, on fait correspondre les points et d’abscisse x, apparte-nant respectivement aux courbes et H le point de coordonnées

On appelle et les aires respectives des triangles et

a.

 

Exprimer et en fonction de x.

 

b.

 

Compléter le tableau suivant :

 

c.

 

Commenter les résultats obtenus.

 

.

 

Activité 5

 

 

Compléter le tableau ci-dessous, quand c’est possible.

 

 

Compléter a.

 

si b.

 

si c.

 

si

 

Déterminer l’ensemble des x tels que : a.

 

b.

 

 

Déterminer l’ensemble des x tels que : a.

 

b.

 

A Activités

x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,000 1

x 0,000 1 0,001 0,01 0,5 1

Limite d’une fonction en a réel n’appartenant pas à son ensemble de définition

O ; i j,( ).

f 1, f 2 f 3 0 ∞[+ ,]

f 1 x( ) 2

x------,= f 2 x( ) 2

x--= f 3 x( ) 2

x2-----.=

M1, M2 M3C1, C2, C3 x 0,( ).

S1 x( ), S2 x( ) S3 x( ) OM1H, OM2H OM3H.

S1 x( ), S2 x( ) S3 x( )

S1 x( )

S2 x( )

S3 x( )

1 –   0 5, –   0 1, –   0 001, –   0 000 1, –   

1x--

1

x2-----

1

x------

1x-- 105> ... x ... ; < < 1

x-- 1010> ... x ... ; < < 1

x-- 105 –  < ... x ...< <

1x2----- 1 000  ; > 1

x2----- 1010.>

1

x------ 1 000 ; > 1

x------ 1010.>

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Séquence 5 – MA12

 

41

 

 

Une première précision

 

Soit f une fonction usuelle (fonction polynôme, rationnelle, trigonométrique ou définie à l’aide defonctions racines carrées).

Nous dirons, conformément à l’intuition :

Si a appartient à l’ensemble de définition de f,

 

Fonctions de référence ayant une limite égale àl’infini en 0

 

Les résultats obtenus dans l’activité 5 nous amènent à dire :

 

tend vers quand x tend vers 0 par valeurs supérieures

ou tend vers quand x tend vers 0 à droite.

Nous écrirons

tend vers quand x tend vers 0 par valeurs inférieures

ou tend vers quand x tend vers 0 à gauche.

Nous écrirons

tend vers quand x tend vers 0.

Nous écrirons

tend vers quand x tend vers 0.

Nous écrirons

B

 

Cours

f x( )x a→lim f a( ).=

Exemple  2x 3 – 

x 5 – --------------

x 2→lim

4 3 – 

2 3 – ----------- 1 –  .= =

1x-- ∞+ 

1x-- ∞+ 

1x--

x 0+→lim ∞.+ =

1

x

-- ∞ –  

1x-- ∞ –  

1x--

x 0–→lim ∞ –   .=

1

x2----- ∞+ 

1

x2-----

x 0→lim ∞.+ =

1

x------ ∞+ 

1

x------

x 0→lim ∞+  .=

T éorème   1x---

x 0+→lim ∞ ; + =  

1x---

x 0 

– 

→ lim ∞ –  ,=  

1

x2-----

x 0→lim ∞ ; + =  

1

x  ------

x 0 → lim ∞.+ =

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42

 

Séquence 5 – MA12

 

 

Interprétation graphique

 

Prenons le cas de f définie sur par f n’est pas définie pour

Cependant « l’écart » entre la courbe représentative de cette fonction et l’axe des ordonnéespeut être rendu aussi petit qu’on veut.

Un exemple en est donné par MH pour x positif et pour x négatif. D’une façon plus générale,cet « écart » est égal à qui peut effectivement être rendu arbitrairement « petit ».

On dit que l’axe des ordonnées est une asymptote de

Autre exemple ci dessous concernant

 

Limite de l’inverse d’une fonction dont la limiteest égale à 0

 

a.

 

Étude de quelques exemplesSoit f la fonction définie sur

 

par

Quel est le comportement de quand x tend vers 2 ?

 

Dire que x tend vers 2 signifie que tend vers 0.

 

Que dit la calculatrice ?

* f x( ) 1x--.= x 0.=

C( )

M′H′x

C( ).

f  : x1

x2-----.

H'M'

O

H M

H

O

M

x1

x2-----x

1x--

Premier exemp e  f x( ) x 2. – =

1f x( )---------

Remarque  x 2 – 

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Séquence 5 – MA12

 

43

 

Conjectures :

On notera sur la courbe l’asymptote d’équation (L’autre droite qui apparaît est la droited’équation

Soit g la fonction définie sur

 

par

Quel est le comportement de quand x tend vers 3 ?

Que dit la calculatrice ?

Conjectures :

(Sur le graphique ci-dessus, la parabole qui apparaît est la parabole d’équation On« devine » l’existence d’une asymptote d’équation

b.

 

Résultat admis

 

Si une fonction tend vers 0, son inverse tend vers l’infini.

(Le signe est le signe de la fonction).

 

 

Les théorèmes généraux concernant les détermination de limites, énoncés pour x tendant verss’appliquent de la même façon quand x tend vers a réel.

 

Si ou on dit que la droite d’équation est une asymptote de la

courbe représentative de la fonction f

 

.

 

Exercice 1

 

Reprenons les exemples de l’activité 4

(Paragraphe

 

)

 

C

 

Exercices d’application

 1

f x( )---------

x 2–→lim ∞ ;  –   =  

1f x( )---------

x 2 

+ → lim ∞.+ =

x 2.=y x 2). – =

Deuxième exemple 

g x( ) x 3 – ( )2 ; = g 3( ) 0.=

1g x( )----------

 1

g x( )----------

x 3→

lim ∞.+ =

y x 3 – ( )2.=x 3 )=

T éorème 

∞,+  Dé inition  f x( )

x a→lim ∞+ = ∞, –   x a=

S1 x( ) x

x------ x ; = = S1 x( )

x 0 → lim 0=

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44

 

Séquence 5 – MA12

 

(Paragraphe 2, x étant ici un nombre réel positif)

 

Exercice 2

 

Soit f définie sur par calculer et

Pour tout donc

Pour donc ainsi

(N’oublions pas que

Pour donc ainsi

(Ces résultats se visualisent sur l’écran de la calculatrice ; on y « devine » également l’existence d’uneasymptote d’équation

Exercice 3

 

Soit f définie sur par Calculer

Pour tout

donc

En effet, dans cet exemple, que x soit inférieur ou supérieur àest un nombre réel positif.

Finalement,

(Existence d’une asymptote d’équation

Exercice 5

 

 

Soit f définie sur par Calculer et

 Soit f définie sur par Calculer et

D

 

Exercices d’apprentissage

S2 x( ) xx-- 1 ; = = S2 x( )

x 0 → lim 1.=

S3 x( ) x

x2-----

1x-- ; = = S3 x( )

x 0 → lim ∞.+ =

– 1{ } f x( ) 2x 3 – 

x 1 – -------------- ; =  

2x 3 – 

x 1 – --------------

x 1–→lim

2x 3 – 

x 1 – --------------

x 1–→lim

Réponse  x 1,≠ 2x 3 – 

x 1 – -------------- 2x 3 – ( ) 1

x 1 – ----------- ; ×= 2x 3 – ( )

x 1 →

 lim 1 ;  –   = x 1 – ( )x 1 → lim 0,=

 1

x 1 – -----------

x 1→lim ∞.=

x 1,> x 1 0,> –   1

x 1 – -----------

x 1+→lim ∞ ; +  =

 

2x 3 – 

x 1 – --------------x 1+→lim ∞. –  =

2x 3 – ( )x 1→lim 1 ). –  =

x 1,< x 1 –  0,<  1

x 1 – -----------

x 1–→lim ∞ ;  –   =  

2x 3 – 

x 1 – --------------

x 1–→lim ∞+  .=

x 1 )=

– 2 –  { } f x( ) x 1 – 

x 2+( )2-------------------.=  

x 1 – 

x 2+( )2-------------------.

x 2 –  →lim

Réponse  x 2, –  ≠ x 1 – 

x 2+( )2------------------- x 1 – ( ) 1

x 2+( )2------------------- ; ×= x 1 – ( )

x 2 

 – 

 → lim 3 ;  –   =   x 2+( )2

x 2 

 – 

 →

 lim 0,=

 1

x 2+( )2-------------------

x 2 –  →lim ∞.+ =

2, –   x 2+( )2

  x 1 – ( )x 2+( )2-------------------

x 2 –  →lim ∞. –  =

x 2 ) –  =

– 3{ } f x( ) x2 4x – 

x 3 – 

---------------- .= f x( )x 3–→

lim f x( ).x 3+→

lim

– 4{ } f x( ) x 1 – 

x –   4+----------------.= f x( )

x 4–→lim f x( ).

x 4+→lim

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 Séquence 5 – MA12 45

 Soit f définie sur par Calculer et

 Soit f définie sur par Calculer

Exercice 6

Soit f définie sur par

 Étudier la parité de f et montrer que

 En décomposant f à l’aide de fonctions élémentaires (fonctions carré, inverse, affine...) déterminer

le sens de variation de f sur et sur Quel est le sens de variation de f sur

et sur

 Calculer et Que dire de et

 Calculer et

 Représenter graphiquement la fonction f en faisant apparaître les conséquences des calculs delimites.

Exercice 7

Voici la représentation graphique d’une fonction f sur

Quelles sont les limites attendues de f aux bornes de D ?

– 1{ } f x( ) 3x 2 – 5

x 1 – -----------.+= f x( )

x 1–→lim f x( ).

x 1+→lim

1 ∞[+ ,] f x( ) 2x 3 – 

x 1 – 

--------------- ; = f x( ).x 1→lim

– 1 1, –  { } f x( ) x2

x2 1 – --------------.=

f x( ) 11

x2 1 – --------------+=

0 1[,[ 1 ∞[.+ ,] ∞ –   1[ –  ,]

1 –   0 ] ?,]

f x( )x 1–→

lim f x( ).x 1+→

lim f x( )x 1–→

lim f x( ) ?x 1

 +

 →lim

 x2

x2 1 – 

--------------x ∞+ →

limx2

x2 1 – 

--------------.x ∞ –  →

lim

y

x1 2 3 40

0

2

–2

–4

–1–2–3–4

D – 0 1,{ }.=

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46

 

Séquence 5 – MA12

 

Exercice 8

 

L’énoncé suivant contient une incohérence.

Elle peut être corrigée de deux façons au moins.

Donner les deux versions rectifiées de cet énoncé et tracer dans chacun des cas une courbe représen-tative possible.

« Une fonction f est croissante sur et décroissante sur

»

 

Exercice 9

 

On considère trois fonctions f, g et h définies sur par et

On appelle et leur courbes représentatives respectives dans le plan rapporté à un

repère orthonormal

 

Quel est le sens de variation de chacune de ces fonctions ?

 

 Étudier les positions relatives des trois courbes.

 Calculer les limites de et lorsque x tend vers

 À tout réel on associe les points A, B et C d’abscisse x situés respectivement sur chacune deces courbes et

Soit M le point de coordonnéesOn appelle et respectivement les aires des triangles OAM, OBM, et OCM.

a) Simplifier et

b) Calculer les limites de et quand x tend vers

∞ –   1[,] 1 ∞[ ; +  ,]

f x( )x ∞ –  →

lim 1 ;  –   = f x( )x ∞ 

+

 →  lim 1 ; = f x( )

x 1–→lim ∞ ;  –   = f x( )

x 1+→  lim ∞+ =

0 ∞[+ ,[ f x( ) 1x 1+----------- ,= g x( ) 1

x 1+

----------------=

h x( ) 1

x 1+( )2-------------------.=

F( ), G( ) H( )

O ; i j,( ).

f x( ), g x( ) h x( ) ∞.+ x 0,>

F( ), G( ) H( ).

x 0,( )a x( ), b x( ) c x( )

a x( ), b x( ) c x( ).

a x( ), b x( ) c x( ) ∞.+ 

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Séquence 5 – MA12

 

47

 

Activité 6

 

Soit f la fonction définie sur par de courbe représentative

 

Calculer et

 

Montrer que pour tout

 

Soit la droite d’équation On pose Que dire de

Étudier les positions relatives de et

 

x désignant un nombre réel positif, on appelle M et N les points appartenant respectivement àet d’abscisse x. Interpréter géométriquement

Soit f une fonction de courbe représentative

peut admettre trois types d’asymptotes :

 

 

Les asymptotes horizontales

 

(rencontrées dans le Chapitre 1)

On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de en si

De même d’équation est une asymptote de en si

 

Les asymptotes verticales

 

(rencontrées dans le Chapitre 2)

On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de si ou

 

Les asymptotes obliques

 

On dit qu’une droite d’équation est une asymptote de en si

De même est une asymptote de en si

Dans l’activité 6, la droite d’équation est une asymptote oblique de en

Les asymptotes horizontales sont des cas particuliers des asymptotes obliques ; en effet,pour 

A

 

Activité

 

B

 

Cours

 Asymptotes

I 0 ∞[+ ,]= f x( ) x2 x 1+ +

x-----------------------= C( ).

f x( )x 0→lim f x( ).

x ∞+ →lim

x I,∈ f x( ) x 11x-- .+ +=

Δ( ) y x 1.+= d x( ) f x( ) x 1+( ). – =d x( ) ?

∞+ →lim

C( ) Δ( ).

C( )Δ( ) d x( ).

x ∞+ →lim

Dé initions  C( ).

C( )

Δ( ) y b= C( ) ∞+  f x( )x ∞+ →

lim b.=

Δ( ) y b= C( ) ∞ –   f x( )x ∞ –  →

lim b.=

Δ( ) x a= C( ) f x( )x a→lim ∞+ = ∞. –  

Δ( ) y ax b+= C( ) ∞+ f x( ) ax b+( ) – [ ]

x ∞+ →lim 0.=

Δ( ) C( ) ∞ –   f x( ) ax b+( ) – [ ]x ∞ –  →

lim 0.=

y x 1+= C( ) ∞.+ 

Remarque  ax b + b = 

a 0.= 

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48

 

Séquence 5 – MA12

Montrer que la droite d’équation est une asymptote en de la courbe représentative C

de la fonction

La droite Δ

 

d’équation est une asymptote en de la fonction f si

Or d’après le théorème donnant la limite à l’infini d’une fonction ration-

nelle, et

Donc, Δ 

est une asymptote de C en

De plus, est positif pour tout donc, pour tout

Sur la courbe C se trouve au dessus de la droiteΔ

 

.

 

Exercice 10

 

Soit f la fonction définie sur par de courbe représentative Γ 

 

dans un

repère orthonormal

 Montrer que la droite d’équation est une asymptote de Γ en

Γ admet une seconde asymptote ; en donner l’équation.

Résoudre l’équation En déduire que Γ admet une tangente horizontale et que Γ se situeau dessus de cette tangente.

Tracer cette tangente, les deux asymptotes, puis la courbe Γ que l’on s’attend à trouver, sans fairede nouveaux calculs.

Exercice 11

Le plan rapporté à un repère orthonormal

A est le point de coordonnées

À tout réel x on associe le point M de coordonnées

C Exercice d’application

D Exercices d’apprentissage

y x 2 – = ∞+ f  : x

x 2+-----------.

Réponse  y x 2 – = ∞+ f x( ) x 2 – ( ) – [ ]

x ∞+ →lim 0.=

f x( ) x 2 – ( ) – x2

x 2+----------- x 2 – ( ) – 

x2 x2 4 – ( ) – 

x 2+------------------------------

4x 2+----------- .= = =

 4

x 2+-----------

x ∞+ →lim

4x--

x ∞+ →lim=

 4x--

x ∞+ →lim 4

1x--×

x ∞+ →lim 0.= =

f x( ) x 2 – ( ) – [ ]x ∞+ →lim 0,= ∞.+ 

f x( ) x 2 – ( ) – 4

x 2+-----------= x 2 ;  –  > x 2, –  >

f x( ) x 2 – ( ).>

2 –   ∞[,+ ,]

2 ∞[+ ,] f x( ) x2 3x –  3+

x 2 – --------------------------=

O ; i j,( ).

y x 1 – = ∞.+ 

f ′ x( ) 0.=

O ; i j,( ).

0 1,( )

x 0,( ).

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Séquence 5 – MA12

 

49

 

 

Exprimer la distance AM en fonction de x. On appelle f la fonction qui à x associe AM.

 

 

Montrer que f est une fonction paire ; fallait-il s’y attendre ?

 

 

Décomposer f en fonctions élémentaires ; en déduire le sens de variation de f.

 

 

Montrer que peut s’écrire sous la forme En déduire que la droite d’équa-

tion est une asymptote de la courbe représentative de f en Interpréter géométrique-

ment ce résultat. Déterminer une équation de l’asymptote de en

 

Tracer les deux asymptotes et la courbe

f x( ) x – 1

x2 1+ x+

--------------------------- .

y x= C( ) ∞.+ C( ) ∞. –  

C( ).

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50

 

Séquence 5 – MA12

 

 

Limite d’une fonction en

Fonction de limite ou

Fonctions de référence ayant pour limite

Fonctions de limite

On dit que si

Théorèmes généraux

Fonction de limite réelle

 

Fonctions de référence ayant pour limite 0

 

Fonction ayant une limite réelle

 

Étant donné un nombre réel λ 

 

, on dit que si

Théorèmes généraux

 Si une fonction tend vers l’infini, son inverse tend vers 0.

Si Alors

Si Alors

 

λ μ

 

si

∞ μ ∞ ∞ si ∞

 

0

 

λ ∞ ∞ ∞ si si

Synthèse de connaissances

∞+

∞+  ∞ –  ∞+ 

xx ∞+ →

lim ∞+ = x2

x ∞+ →lim ∞+ = x3

x ∞+ →lim ∞+ = x

x ∞+ →lim ∞.+ =

∞ –  f x( )

x ∞+ →lim ∞ –  = f x( ) –  

x ∞+ →lim ∞.+ =

f x( )x ∞+ →

lim = g x( )x ∞+ →

lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim f x( ) g x( )×x ∞+ →

lim k f x( )×x ∞+ →

lim

∞+  ∞+  ∞+  ∞+  ∞

∞ –   ∞ –   ∞ –   ∞+  ∞

∞+  ∞ –   ∞ –   ∞

T éorème   1x---

x ∞+ →lim 0=  

1

x2-----

x ∞+ →lim 0=  

1

x3-----

x ∞+ →lim 0=  

1

x------

x ∞+ →lim 0.=

f x( )x ∞+ →

lim λ = f x( ) λ  – [ ]x ∞+ →

lim 0.=

f x( )x ∞+ →

lim = g x( )x ∞+ →

lim = f x( ) g x( )+[ ]x ∞+ →

lim f x( ) g x( )×x ∞+ →

lim k f x( )×x ∞+ →

limf x( )---------

x ∞+ →lim

λ μ+ λ μ× k λ × 1λ --- λ  0≠

μ 0≠

λ  0≠ k λ × 1λ --- λ  0≠

 Retenir 

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 Séquence 5 – MA12 51

Limite d’une fonction en

Les théorèmes généraux cités dans le cas où x tend vers s’appliquent de la même façon quand xtend vers

Cas particuliers

Fonctions polynômes

La limite à l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus hautdegré.

Fonctions rationnelles

La limite à l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termesde plus haut degré.

Limite d’une fonction en a réel n’appartenant pasà son ensemble de définition

Fonctions de référence ayant une limite en 0 égale à l’infini

 

Limite de l’inverse d’une fonction dont la limite est 0

Si une fonction tend vers 0, son inverse tend vers l’infini.

Asymptotes

Asymptotes horizontales

Une droite d’équation est une asymptote de en si

d’équation est une asymptote de en si

Asymptotes verticales

Une droite d’équation est une asymptote de si (ou

Asymptotes obliques

Une droite d’équation est une asymptote de en si

est une asymptote de en si

∞ –   T éorème  x

x ∞ – →lim ∞ ;  – = x2

x ∞ 

 –

 

→ lim ∞+  ; = x3

x ∞ – →  lim ∞ ;  – =  

1x---

∞ 

 –

 

→ lim 0 ; =  

1

x2-----

x ∞ 

 –

 

→ lim 0 ; =

 1

x3-----

x ∞ – →lim 0.=

∞+ ∞ –  

T éorème 

T éorème 

T éorème   1

x

---

x 0+→

lim ∞ ; + =  1

x

---

x 0–

 

 lim ∞ –  ,=  1

x2

-----

x 0→

lim ∞ ; + =  1

x

------

x 0→

 lim ∞.+ =

Théorème 

Δ( ) y b= C( ) ∞+ 

f x( )x ∞+ →lim b.=

Δ( ) y b= C( ) ∞ –   f x( )x ∞ –  →

lim b.=

Δ( ) x a= C( ) f x( )x a→lim ∞.+ = ∞) –  

Δ( ) y ax b+= C( ) ∞+ f x( ) ax b+( ) – [ ]

x ∞+ →lim 0.=

Δ( ) C( ) ∞ –   f x( ) ax b+( ) – [ ]x ∞ –  →

lim 0.=

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52 Séquence 5 – MA12

Exercice 1Un cycliste monte un col à la vitesse myenne de 10 km/h.

 Il en redescend par la même route à la vitesse moyenne de 30 km/h.

Montrer que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour est égale à 15 km/h.

 On suppose maintenant qu’il descend le col à une vitesse moyenne appelée (en km/h)

a. Montrer que sa vitesse moyenne sur l’aller-retour est donnée par

b. Montrer que la fonction f est croissante sur

c. Calculer Interpréter ce résultat.

d. Donner une interprétation de ce résultat, indépendamment des calculs précédents.

c. Tracer la courbe représentative C de f et son asymptote dans le plan rapporté à un repère orthonor-

mal

Exercice 2

Soit .

 Conjecturer, à l’aide de la calculatrice la valeur prise par A.

 Calculer A en remarquant que cette limite est un nombre dérivé.

Exercice 3

Sur la figure ci-contre :

ABCD est un carré de côté 1,

AEFG est un carré de côté x,

EIJF est un rectangle ayant même aire

que celle du polygone hachuré.  Exprimer la distance AI, notéeen fonction de x.

 Montrer que f est une fonction crois-sante.

 Soit C la courbe représentative de lafonction f dans un repère orthonormal

 

a. Montrer que d’équation est une asymptote de C en .

Donner une interprétation de ce résultat.

b.Tracer les deux courbes et C.

Exercices d’approfondissement

x.

f x( ) 20xx 10+--------------.=

0, ∞+ .[[

f x( )x ∞+ →lim .

O ; i j,( ).

A3x 1+ 1 – 

x----------------------------

x 0→lim=

B E I

JF

C

G

D

A

x 1 ; >

f x( )

O ; i j,( ).

Δ y 2x= ∞+ 

Δ

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Séquence 5 – MA12

 

53

 

 

Aide aux exercices d’approfondissement

 

Exercice 1

 

 

Appeler d la distance parcourue pendant la montée et exprimer en fonction de d la durée totale dela montée et de la descente.

 

 

a.

 

Procéder de même.

 

b.

 

Que fait la vitesse moyenne quand la vitesse du retour augmente ?

 

c.

 

Constater que, bien évidemment, la durée de l’aller-retour ne peut pas être inférieure à la durée dela montée.

 

Exercice 2

 

Considérer comme étant si

Exercice 3

 

Pour l’étude des variations de la fonction f, écrire sous la forme et utiliser les

variations des fonctions élémentaires.

 

 3x 1+ 1 – 

x----------------------------

x 0→lim f  ′ 0( ) f x( ) 3x 1+=

f x( ) f x( ) 2x1x-- – =