Applications sous-lin6aires h valeurs dans un espace de fonctions continues (*).

JEAn" PAIL t?E~O~ (P~u, France) (**) - 5'[iom~L TI~I~& (Limoges, France) (***)

Summary. - We investigate the possibility o] representing a convex mapping ] with values in some space C(T)o] continuous ]unctions on a compact space T, as a supremum o/continuous a]]ine mwppings, when the domain D o]f is some convex subset o] a Banaeh space X. Various limiting examples are presented.

O. - In t roduct ion .

Lorsque l'on colisid~re nn probl~me de programlnation convexe semi-infinie du type:

(I,) Ili i {/(x)ig(x, t)

134 JEAN PAIYI~ PENOT - M~C~:EI, Tmg~A: Applications sous-lindaires, etc.

tion /7(x) = 0, lorsque F n'est pus diff6rentiable, e n essayant d'adapter 18 m6thode de quasi-:Newton, bien connue en programmation math6matique,

Ces exemples montrent par cons6qnent l'int6r@t de l'6tude des applications con- vexes prenant leurs va]eurs duns un espace de fonctions continues.

5INEE [6] s'est d6j~ int6ress6 ~ ce problgme, duns le cas o~ l'espace de d6part est un espace de Banaeh s6parable. I1 a montr6 qu'une application sous-lin6aire continue ~ va]eurs duns e(T) est sous-diff6rentiable ~ l'origine et de plus qu'elle est l'enveloppe sup6rieure de ses minorantes lin6aires continues.

N0us avons 6galement donn6 [4, th6or6me 2.8], en termes de semi-continuit6 inf6rieure, nne caract6risation des applications convexes ~ valeurs duns nn espaee vectoriel topologique ordonn6 Y, ou plut6t Y', qui sont enveloppes sup6rieures d'applications affines continues.

J~a d6monstration de ce r6sultat est bas6e sur le th6or6me dn ~ sandwich ,~ [26, th6or6me 1.3], lequel est une cons6quence du th6or6me de ttahn-Banach vectoriel [26, th6or6me 1.1]. Par suite, compte tenu de [9], ou plus r6cemment de [2], les hypo- thgses de [4, th6or6me 2.8] snpposent Iz complgtement ordonn6, c'est-/~-dire que route pattie non vide et major6e de Y admet une borne sup6rieure duns Y.

Or, il est bien connu que C(T) ne possgde pus en g~ngral eette proprietY, pour l'ordre usuel induit par l'ordre produit de R r. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que T soit Stonien [22], c'est-~-dire l'adhgrence de route pattie ouverte de iF soit encore ouverte.

o

~Le but de cet article en traitant le cas Iz = C(:T), est de montrer qn e sons des 9 " e hypothgses appropriges, on pent encore earacterls r les applications convexes qui

sont enveloppes snp4rieures d'appiications affines continues. Quelques exemples et eontre-exemples sont donuts. Ils montrent que le r~sultat

4tabli lorsque X est de dimension finie, n'est plus v~rifig sons des hypothgses plus g4n6rales.

A partir d'un contre-exemple, on ~tablit duns la dernigre section de cet article, qu'il n'est pus possible de g~n~raliser !es rgsultat s de Bo~wEIN [1], sur la minoration des relations convexes ~ valeurs duns un espace vectoriel topologique compl~tement ordonn6 et normal, ~ux relations convexes ~ valeurs duns C(T).

1. - Rappe ls et d$f in i t ions.

Duns ce qui suit, T d~signe un espace compact et X un espaee de Banach sg- parable, l,a topologie consid6r~e sur le dual topologique X' de X sera toujom's, saul mention du contraire, la topologie faible ~(X', X). On munit C(T) de la norme de la convergence uniforme et de l'ordre induit par l'ordre produit de R e.

e(r)+ = {/e e(T)l/(t)>o, vt e T}

d~signe le c6ne convexe fermg saillant des ~16ments positifs.

JEA~ PAUL :PE~oT - ~IICHE~, T~RA: Applications sous-lin~aires, etc. 135

On adjoint s C(~") un plus grand 616merit not6 q-co et on 6tend C(T)" = C(T) L; {q- oo}, comme darts [23, p. 24], Faddition et la multiplication

scalaire de C(T). Soit A c C(T)'; z = sup A, si et seulement si~ zes t le plus petit des majorants

de A duns C(T)'. La convention sup 0 =- co est adopt6e. On air que A: X -+ C(T)" est amine continue, si A--A(O)e s C(T)), off s C(T))

d6signe l'espace vectoriel des applications lin6aires continues entre X et ~(T). On d6signe par Cony (X, ~(T)') l'ensemble des applications convexes ]: X -+ ~(T)':

(:.:)

pour tous scalaires ~.:>~0, 2~>~0 avec ).:~-,~2= 1 et pour tous x~ x:GX. ~ous dirons que ]: X -+ C(T)" est propre, si ] ne proud pus toujours 1~ valour

q -~, c'est-~-dire si son domaine e//ecti] dota l = {x G X[](x)e C(T)} est non vide. Si (1.1) ~ lieu pour tout couple de scalaires ,~>0, 22>~0 et si ](0) = 0, ]es t alors

sous-lindaire. D6signons par 8(X~ C(T)') l'ensemble des applications sous-lin6aires entre X et

C(T)'. Los 616merits/9 de 8(X, C(T)') sont doric los applications convexes qui sont 2ositivement homog~nes et hullos en z6ro:

(:.2) p(2x) = 2p(x) pour tous 2~>0 et x G X.

Pore 9 tout ] G Cony (X, C(T)') on d6signera par ~](xo)le sous-diM3rentiel de f (~n x o :

altz.) = {. e t (x , - . (xo) C(T)~ donn6e par HI(x) = {y e C(T)~ est s.c.i, en xo au sons classique suivant:

Pour tout ouvet II de C(T) qui coupe Hs(xo), Fensemble des xGX tels que H~(x) rencontre [I est un voisinage de xo.

On constate que ]es t iso-s.c.i, en x0e X, si et seulement si, pour tout y e C(T) tel que y-K

136 JEA:X PAL'L PE~NOT , MICHEl, Tt:~RA: Applications sous-lingaires, etc.

un voisin~ge U de xo d~ns X re] que

p(U) c V 4- y q- C(T)+,

o~ c(2) ; = c(~)+ u {4- o~}. I~e lemme suiv~nt, dont ]a d6monstration eat imm6diate, fonrnit nne cara ct6risa-

tion des a.pplic~tions iso-s.c.i. ~ valenrs darts C(T)'.

L :E~ 1.1. - Une application ]: X --> C(T)" est iso-s.c.i, en xo~ si et seulement si, la ]amille (/t)t~r est 6qui-s.c.i. en Xo au sens suivant:

a) Si xoe dom:f~ pour touts > O~ il existe un voisinage U de xo dans X tel que l'inggalit6:

(LL) fdx ) >/dx0) - e

air lieu pour tout x ~ U et pour tout t ~ T.

b) Si Xo~ dom ]~ pour tout r~cl r~ il existe un voisinage U de xo clans X tel que l'indgalit6

(LP) /dx)>>.r

ait lieu pour tout x ~ U et pour tout t ~ T.

En particulier It est s.c.i, quel que so i t t e T.

REMA~QUE 1.2. - l~emarquons que les conditions a) et b)pr6c6dentes sont exac- tement lea conditions (d) et (~ dp) donn6es par DOLECKI-SALI~TTI-WEms d~ns [7], duns le cas p~rticalier off le filtre ~ sur Tes t r6duit ~ T. I1 s'en suit que /: X--> C(T)" est iso-s.c.i., si et seulement si, 1~ fumi]le (]t)ter est ][ I]-6qui-s.c.i. au sens de [6] e t ~dmet: dora ] iJouf': nn ensemble de r6f~rei~ce. : :

Cette notion de semi-continnit6 ~ 6t6 introdnite en [4], [20], [21]. En p~rticu- lier, route application iso-s.c.i, est d'6pigr,~phe ferm6, 1~ r6ciproque 6taut f~usse en g6n6r~i. Le lecteur est renvoy6 ~ [4] pour nne 6rude d6ta.ill6e . . . .

2. - R6su l ta ts pr61iminaires.

PIlOPOSITIOS- 2.1. -- Soient p, q: X--->R" deux ]onctionnelles sous-linJaires s.e.i. telles que p(x) 4- q(x) > 0 pou r tout x ~ X~{0}. Supposons de plu s que dora ~ soit loealement compact et d6signons par ~ la ]onctionnelle d6/inie par q(x) = ~(--x).

Alors l'inf-convol6e s = p V ~ de p et de ~ d~finie par

s(x) := inf {p(x - y) + ~q(y)ly ex}

est une ]onctionneIle sous-lindaire s.c.i, de X dans R' .

JEAd" P.~LrL PE~0T . 31ICHEL TIdal%l: Applications sous-lindaires, etc. 137

P~uw. - Soient Q = domq, s~:Q-->R" la fonctionnelle donn6e par s~(y) :--= p(x d- Y) d- q(Y), et montrons que sne prend jamais la valenr- -c~. Comme s(x) = inf {p(x d-Y)d-q(Y)}, il sufiit de vgrifier que la borne inf~riem-e des s~(y)

vq

lorsque y pareourt Q est atteinte et par suite d'aprgs un r4sultat elassique, il snffit de v~rifier que s est coercive, e'est-g-dire, ]im s~(y)= -4-c~.

~I~-~+~ yeQ

Supposons que ce ne soit pas le eas. I1 existe alors nne suite (r~, y~)eR+ avec Ily~ll = 1, lim r~ = d- co et lim sup s~(r,y~) < @ oo. Sans restreindre la g~n4-

ralit6s fi0nS potw0ns supp0sgr qne (Y,,i ebnverge vers 9e~) avec [igli - -1 . Comme p et q sont s.c.i., il existe e > 0 ct un voisinage V de ~ avec p(v) @ q(v') > ~ pour tons vetv ' darts V, A!nsi , pour n assez grmgd, nous avons:

s,(r,,y~) = r~[p(y~ r$1x) ~ q(y~)]>r~,

ce qni contredit lim sup s~(r~y~) < d- oo. Montrons ~ present que s est s.c.i. Les @igraphes C1 et C~ de pet ~ sont deux

c6nes convexes fermds de X R gvec Ca localement compact, La condition de fer- meture de DIELrDO~]~ [8] C1 ~ (-- Ca) ---- {0} 6rant satisfaite, C~ d- C~ est ferm6 d~ns X Comme s (x )= inf {r](x, r )e C~-C~}, C~,~' Ca est l'6pigraphe de s et s est s.c.i: [ ]

COROL~AI~E 2.2. -- Soien:t p, q: X -+ R" deux ]onctionnetIes sous-lindaircs s.c.i, qui vdri]ient p(x) ~ q(x) > 0 pour tout x ~ X~{0}. Si t'on suppose de pl~s que dora q est .toca~ement compact, alors i l vxiste x' ~ X aver -- q - - ~(-- x) = -- if(x), d'ofl le r~sultat. [] ~: - - - : := : " ~ : " " : :

Pour tout p ~ 8(X, C(. ) ), notons S(t) l 'ensemble eventue]lement vide des mine- rantes lindaires continues de pt. T0utef0iS lorsque p est iso-s.c.i., d'apr~s ]e lemme 1.1 ct un rdsnlt~t stundard de l'~nalyse convexe, la multigpplication S ginsi ddfinie prend: ses Valeitrs da~S les convexeS :non #ides: fa ib lement fermds de X'o.

PllOP0SITIO~ 2.3 (LI:NK]~ [16]). - Pour que p e 8(X, C(T)') admette une minorante lindaire continue, il ]aut et il su]/it que la multiapplication S admette une sdlection con-

/ tinue de T dans X , .

Notons g ~+~ta bijection de X(X, 5:(T,R)) sur ~-(T, 5(X , R)) (off ~-(S, E )= E ~) donndc par ff(t)(X) g(x)(t). E]le respecte l'ordre, de sorte que s iu e ~(X, ~(T)) minore i~, son image ~ minore i~: t ~+p~: pore" tout t ~ T, (e(t) e S(t). Ainsi si U e 3p(O),

est une s~lection de S qui est continue car pour tout x e X, t ~-+ @(t)~ x} = u(x)(t) est continue.

138 JEA~ PA~ :PE~'OT - 5Iicm~L T~n)~: Applications sous-lindaires, etc.

Inversement, s i s est une s61ection continue de S, soit u e 5-(X, 5 ( I ' , R)) tel que s = ~7. On v6rifie faci lement que u e r r done que u e ~p(0), car s(T) est une patt ie eompacte de X~', done iortement born6e. []

:P~oPosI~rlO~ 2.4. - Une condition su//isante pour que p ~ $(X, C(T)') soit l'en- veloppe supdrieure de ses minorantes lin~aires continues est que Uune des conditions sui- vantes air lieu:

a) Pour tout (t~ % r)~ T X R avee r < p,(x)~ il existe une s~lection continue s de Savee s(t)(x) > r;

b) Pour tout (t, x') ~ T avee x'e S(t), il existe une sgteetion continue s de S telle que s(t).----x'.

PRy, EvE. - a) Soit (t, x, r) ~ T R quelconque avec r < pt(x) et supposons qu'il existe une s61ection continue s de S telle que s(t)(x) > r. Soit u e ~p(0) asso- ci6e ~ s d'apr~s la proposition 2.3. De la relation u(x)(t) ---- s(t)(x) > r, nous d64ui- sons l'6galit6 pt(x) = Sup (u(x)(t)lu e ~p(0)}, de sorte qne p(x) ---- sup (u(x)Iu e ~p(0)} quel que soit x e X.

b) Est un cas particulier de a). En effet si (t, x, r) ~ TxXxR v6rifie r < pt(x), on peut trouver x'E S(t) avec x'(x) > r car Pt est s.c.i. On d6duit slots de Fhypo- th~se l 'existence d!une s61ection continue s de S svee s(t)(x) = x'(x) > r. D

IJROI'OSlTIO~ 2.5. - Soit p ~ 8(X, C(T)') iso-s.c.i. Alors la multiapplication S: T--~>X ~ donnde par S(t) = ~pt(O) est s.c.i, et prend ses valeurs darts les convexes ]ermds non rides de X~.

PREUVE. - Soient toe T et x'oeS(to). Les ensembles:

{x'e ie{ , ..., n}},

off a19 . . . , a , sont des 616ments fix6s dans X et r~ ...~ r, des nombres r~els qui v6- rifient:

(2.1) x~(as) > r~ (i e {1, ..., n})

forment un syst~me fondamental de voisinages de x~ darts X',. Fixons un tel voisi- nage W'o et montrons que S(t) Ch W~ est non vide pore" t voisin de to.

2~ous pouvons supposer les (a~) non tons nuls. Soit alors c~ > 0 tel que

(2.2) - II > r , , i e {1, ..., n} .

JEAN PAUL P]~NOT - I~flCIIEL ]~ttERA: Applications sous-hnea~res, etc. 139

Dgfiliissons la folictionlie]le sous-lin6aire q: X - ->R ' , dont le domailie est l 'espace vectoriel F engendr6 par les (aJ eli posant"

(2.3) q(x) = ~]]x N -- x'o(x) s ix e E

q(x) = + oc sinoli.

Remarquons que tout 616merit x de la sphgre unit6 F1 de F v6rifie:

(2.4) p,.(x) >x'o(x) = : , - q(x) > - q(x) .

Montrons qu'on peut trouver des voisin~ges U~ de x et T~ 4e to tels que

(2.5) p~(u)+q(~)>o pour tout (u , t )~(U~n-v l )

Soit x e/v1 et fixons ~ > 0 avec ~ < 89 q(x)]. S ix 6 dora p, en vertu de la condition b) du lemme 1.1~ on peut trouver un voisi-

nage U~ de x avec

(2.6) Pt(q*) > -- inf q(v) pour tons u e U~ et t e T , VEP 1

de sorte que (2.5) ~ lieu avec T~= T. Si x e/~1(~ domp en ver tn de 1~ condition a) du lemme 1.1, on peut trouver

un voisinage U~ de x avec

(2.7) p~(u) --/or(x) > -- e pour tous u e U~ et t e T .

En choisissant U~ suff isamment petit, on ~ 6galement

(2.8) q(u) -- q(x) > -- e pour tout r ~ U~ ~ ~.

Comme p(x)e C(T), pour tout t dans un certain voisinage T, de to on a aussi,

(2.9) p~(x) -- pto(x ) > -- e .

Ainsi~ en vertu de lu d6composition:

p~(~) + q(~) = (p~(~) - p,(x)) + (~,(~) - p,.(~)) + (p~.(x) + q(x)) + (q(~) - q(x))

et des in6galit6s (2.7)~ (2.8), (2.9), pour x e Ex N domp~ on obtient (2.5). Comme _Fx est compact, on peut extraire du recouvrement pr6c6dent un sous-reeouvremelit

filii constitu6 des ouverts (U~(~ F~)~=~,..,~. t)our To----- ~ T , on a alors: i=1

(2.10) pt(u) + q(u) > 0 pour tout (u, t) e F~ To.

140 JEA~ PAUL I~E~'OT - MIopI~z Tm~nA: Applications aous-lin~airea, etc.

Comme s e t q sont posit ivement homog6nes i l v ient:

(2.11) pt(u) --~ q(u) > 0 pour tout (u, t) e (F',.{0}) T 0 .

E tant donn6 que q vaut + c~ en dehors de ~, on a aussi:

(2.12) p,(u) + q(~) > o pour tout (u, t) ~ (x \{0}) To.

D'@r6s le coroll~ire 2.2, pour tout t e To, il existe doric x '~ X' , avec -- q < x~ - -q (%)= xo(%)- - - a[]adl > r~ d'apr~s (2.2). La proposit ion est doric d6montr6e. []

~otons B la boule unit6 de X et soit p ~ 8(X, r de domaine 2o. ~qous dirons que pest compacte, si p(P ~ B) est une part ie relat ivement compacte de C(P).

I~:E~ARQU-E 2.6. - f l i p e S(X, C(T)') est continue sur son domaine t ) qui eat locale- ment compact, alors p eat compaete.

En effet, soit B une boule de centre l'origine e tde rayon r> 0, telle que B~ c3 _P soit compact. Comme p eat continue sur P, p(B (3 _P)= r-lp[B~ (3 t )] est alors compact darts C(T).

PRoPosI~IO~ 2.7. - S ip e 8(X, C(T)*) est compacte, alora S est s.c.i, de T dana X' /ort.

PgEvV]~. - Soit (to, xo) ~ TxX ' avec x'oe S'(to). ~ontrons que pour tout e > 0, il existe un voisinage To de to tel que pour tout te To, il existe x'eS(t) ~vec

[ Ix'- x~tl < ~. Comme p(_P ~ B) est une part ie relat ivement compa6te de C(T), c'est une patt ie

6quicontinne eu vertu du th6or~me d'Ascoli. I1 existe donc un voisinage To de to avee ]p(x)(t) p(X)(to)l:< e pour tout x :ePnB et pour tout t e To.

Ainsi pour t~Po, xeX avec Itxll = 1 one:

(2.13)

J E~ PAL% PE~0T - M~C~EL Tm~n~: A1)piicatlons sous-lin~aires, etc. 141

L'in~gali% de gauche a.ssure que fix'--x~l! (X', ~) reste s.c.i. En appliquant le lemme 2.1 de [19], on obticnt alors une a.pplication continue s: ~-~(2~' ,~) telle que s(t) eS( t ) , off l'a.dhdrence est prise da.ns (X', ~).

Etaant d0nn4 que pour tout t ~ T, S(t) est pa.r hypothSse un ensemble ia.iblement compact, il est compact pore" la. topologie ~ qui est moins fine que a(X', X), ct pa.r suite, S(t) est form4 dans (X, ~). Comme les topologies ~ et a(X', X) coincident sur la. boule B*(0, r) de centre rorigine et de raayon r > 0 da.ns X', on en d~duit clue s est une s~leetion continue de S.

La. multia.pplieation So donn~e par

So(to) =

So(t) = S(t) si t :/: to

reste s.e.i., et ce qui precede a.ppliqu5 -~ So permet d'obtenir une sSlection eonve- naable de S. []

3. - Applications sous.lingaires iso-s.c.i. ~ valcurs dans C(T)'.

A) Une condition gdndrale.

T~oI~.~E 3.1. - Soient 2[ un es1)ace de ~anach s@arable e t I) e $(.X~ C(T)'). _Pour que 1) soit t'envelo1)1)e su1)drieure de sos minorantes lindaires continue 6 il su]]it que l'une des conditions suivantes air lieu:

a) 1) est ]inie et continue;

b) 1) est ]inie et iso-s.c.i. ;

i42 J:EA~- PAUL PE~'0!r - 5~[IC]~:EL Tm~A: Aplflications soq~s-lindaires, etc.

c) pes t iso-s.e.i, et X est de dimension ]inie;

d) pest iso-s.e.i, et l'espace veetoriel _P - P engendrd par t ) -~ dora p est de dimension /inie.

e) pest iso-s.e.i, domp ~-_P est localement compact et .P - -P est /erred.

Pm~vv~. - Le c~s a) est le r6sultat de LI~KE [16]. p &ant continue, on v6rifie que la partie H ---- ~J S(t) est un ensemble born6 de X'. Comme S est s.e.i. 4'apr~s

tET

lu proposition 2.3 et ~ valeurs duns les convexes fuiblement ferm6s et non rides de X ' , il suffit 4'uppliquer les propositions 2.8 et 2.4 b) pour eonclure.

b) Est un cas particulier de a); en effect comme pest iso-s.c.i., elle est 4'6pi- graphe ferm6 [4; prop. 1.4 a)]: de sorte que pest continue sur X en vertu de [3; eor. 5.6 b)].

e) D'apr~s la proposition 2.3, S est s.e.i, et prend ses valeurs duns les con- vexes non rides fuiblement ferm6s de X'. Comme X ' faible est un espace de Banaeh, il suflit d'appliquer les propositions 2.4 b), 2.3 et la version classique du th6orbme de Michael pour 6tablir c).

d) Comme P - - / ) est de dimension finie, le cas pr6c6dent permet d'6crire pour tout x e _P -- 2

p(x) = sup {l(x)lt e Z(2 - P, C(r)) , Z

5EA~ PAI:I~ I~E~oa: - 3[icm~L Tm~l~: Applications sous-lingaires, etc. 143

RE~[A~Q~ 3.2. - On peut montrer par un contre-exemple que l'hypoth~se assu- rant que 2 - _Pest fermd n'est pas superfine. En effet pour T = [0, 1], d6signons par 2 le c6ne convexe de sommet l'origine darts C(T) constitu~ des ~onctions con- tinues ] telles que / (0)>0 et telles que pour O

i4/~ jEAiY t~ P~,INOT - MICHEL TH]~RA: Applications sous-hnea~res," ~ " e~c .

I~EVVE. - D6signona par /~ le domaine de pet aoient a e ~ et e > 0. 1)ore - tout (r, t, x) ~ R+ T poaons q~(t, r) ----- p~(x ra) r(e -- p~(a) ) et q~(x) -~ inf q~(t, r).

r~0 ~[ontrons que q donn6e p~r q(x)(t)-~ q~(x) eat une minorante sous-lin6uire finie et continue de p. 1)our x = 0 nous avons qo(t, ~) -~ re>~O, et p~r suite q(0) = 0. Sup- posons x distinct de z6ro. D'apr~a le corollaire 5.6 (b) de [3], nous s~vons que p eat continue en a, de aorte que noua pouvons trouver @> 0 avec B(a: @)c_P et ILs(a z) - p(a)[I 0 tel que ~-~x ~ B(O, @). Pour tout t ~ T et pour tout r>~ noua avons :

(3.~) Ip,(a r -~) - p,(a) l 3r et pour tout t e T, l'in6galit6:

(3.3) q~(t, r) > q~(t, ~) a l ieu.

I1 existe donc fl > 0 tel que q~(x) = inf (q~(t, r)lr e [0, fl]}, de sorte que l 'applica- tion t ~2> ~/t(x) est finie et continue sur T, car l 'application (t, r )~ q~(t, r) est con- tinue sur le compact iT [0, a].

Spit p~: X---> C(T)', l 'application donn6e en poaant p~(x)= si x~Ra et ~(- - ra) = r(e--p(a)). On v6rifie aia6ment clue q = p Vpo, de sorte que q est aous- lin6aire et prend aes vulem'a d~ns C(T). Comme p eat continue en a, il en est de mSme de q en vertn de [3; prop. 2.3] car q minore p. Ainsi q est continue partout d'aprSs [3; cor. 2.4 b)]. Le r6aultat de Linke (th6or~me 3.1 a) pr6c6dent) fournit a lots ~ e ~q(0). l~ar suite, ~ e ~p(0) et u(a)>~-- q(-- a)>~--p~(-- a) = p(a) -- e, de sorte ClUe pour tout a e/5, p(a) = sup (~(a)]~ e ~p(0)}.

2) Examinona maintenant le caa off a e _p\/5. Fixons ~ > 0, aoE/5 et notons (am) la suite 4'616merits de /5 donn6e en poaant a~ := a 2-~(ao-- a). D'apr~s 1) nous pouvona choisir ~e~p(0) avec ~t~(a~)>~p(a~)--e. ~ous allons montrer que :p(a) = sup {u~(a)}. r p(a) est un majorant des ~(a) , il suffit de prouver que si ] z r majcre l 'ensemble des u,(a), alors ] majore ~(a).

On a

~.(a)>u~(a - ao) p (a~) - ~ = ~(2-~(a - ao) ) + p(a~) - ~ =

:[EA~ PAUL PE~OT - MICtIEI~ Tm~ICA: Applications sous-lindaires, etc. 145

et somme pour tout x e X, u~(x--a~)~-p(a~)p(a), soit encore ]>p(a).

3) Le cas a eX'~.P est trait6 ~ la mani~re habituelle: si ]e C(T) est donn6e, on choisit u e ~p(0) e tune fonction constants positive k avec u (a )~ k~>], puis heX ' avec h(a)----1, h(x)

:[46 JEAN PAUL t>ENOT - )[ICtIEL TIt~}CA: Applications sous-iindaires, etc.

LE~:E 4.1. -- a) _Pour tout espace vectoriel X~ pour tout espace vcvtoriel ordonnd t~ et pour route application convexe t~ : X -+ F" de domaine K, l~application k: X R -~ /F" donnge par

]c(,~x, ,~) = ,~k(x) si (x, ),) e K ]0, + co[

k(O, O) -~- 0 et k(x, )~) = + co sinon ,

est sous-lindaire et son domaine est Ie c&~e eonvexe pointg ff~ = U ).(K x {1}) de sommet l~origine engendr~ par K x {1} duns X xR; ~>o

b) La correspondance k ~-> [cest une bijection croissante entre lYnsemble des ap- plications convexes de Xdans F" de domaine K et l~ensemble des applications sous- lingaires de X X R darts F" de domaine I7L

I~EUVE. - L~assertion a) est de v4rification ais4e et par suite laiss~e au soin du

leeteur.

b) I1 est clair que k ~-> k est injective et clue pour tout ~l~ment p ~ 8(X F') de domaine /~ l'applicution k donn4e par k(x) = p(x, 1) est convexe de domaine K. Comme pour tout (x~ ~) e K [0, ~- co[~ 2. k(x) ~- ,~p(x~ 1) = p(2x~ 2), nous uvons ]c = p, d'ofl la surjectivit~ de k ~-* )~.

L'implicution k~ < k~ ~ k~

JEAN PAUL PENOT - MICKEL THI~RA: Applications sous-lingaires, etc. 147

tk(t-~(U ~K) )c2V F+c W F+, et d'apr~s !u d4finition de k, il vient:

(4.3) ~(g xE~, s]) c w s

En combinant (4.2) et (4.3) on en d6duit l'inclusion:

(4.4) ~(u x ] - oo, 2]) c w + s

et pgr suite l'iso-semi-continuit4 inf~rieure de ken (0, 1) et en (0, 0). Pour montrer que ~ est iso-s.c.i, en (a, 1) (uvec a e K), il suffit de eonsid4rer l'~p-

plic~tion g d~finie par le proc4d~ d'homog4n~isation precedent s partir de l'applica- tion convexe h 4onnde par h(x) = k(a + x) -- k(a).

En effet pour tout r>0 et tout x tel que r -~(x eK on a:

(4.5) $(a + x, r) = ~(x, r) rk(a).

Soient T2 et W des voisinages de z6ro dans Y avec ~2 = W W, et soit s > 0 suffisamment petit pour avoir ek(a) ~ W. En combinant (4.3) et (4.5) il vient alors:

$(a + u, r) = ~(U, r) ( r - 1)~(a) k(a) c W W k(a)

F~c 9 + ~(a, 1) + F" +.

Cette relation prouve que k est iso-s.c.i, en (a, 1); comme pour tout ,t > 0, l '~p- plica.tion (ia, t) ~ (a, 1) est continue, k est iso-s.c.i, sur /~{(0 , 0)}. La r~ciproque est immediate. []

Le cSne asymptote As(A) ~un ensemble convexe A d~un espace vectoriel X est l 'ensemble des v e X te]s que pour tout a e Aet tout t e R+, on air a 4- tv e A . C'est le plus grand cSne convexe dont un translat@ est contenu darts A.

I1 est bien connu que As (A)----U ~(A- a), off a est un @16ment quelconque

de A, de sorte que As (A) est un cSne convexe ferm@ si A est un ensemble convexe ferm&

LEI~I~E 4.3. - Pour que Ic soit iso-s.c.i.~ it su//it que k soit iso-s.c.i, et que l'une des conditions suivantes ait lieu:

~) As (K) = {0}~

b) k est coercive au sens suivant: pour tout v ~ As (K)\ (0}, lira r- ik(rx) ~ oo. (x,r)-~(v,+o~)

r~K

P~Evw. - I] sumt de v4rifier que ~ est iso-s.c.i, eu tout point de (As (K)\{0}) X {0}, car d'apr~s [5, Corol. 9], /~ /~ = (As (K ) \{0})x {0}.

Si As (K) = {0} eela est imm~diat.

148 JEAI~ PAUL PE?~OT - MIen-EL T t~A: Applications sogs-lingaires, etc.

Si As (K) est distinct de {0}, la condition b) de l'dnonc6 nous donne:

~(v, 0) -= d- c(v,+r (x,r)-->(v~O+)

et par suite k est iso-s.c.i, en tout point (v, 0)~ (As (K)\{0}) []

RENAnQIrE 4.4. - As (K) = {0}, si et seulement si, K est lindairement compact, c'est-~-dire si la trace de K sur toute droite affine est un intervalle compact de cette droite.

l~appelons que la dimension d'un ensemble convexe C est par dgfinition la di- mension de la varidt~ anne engendr~e par C.

TI-Is 4.5. - Soit I~ e Cony (X, C(T)') iso-s.c.i., de domaine lg. Pour que Ir soit l'enveloppe supdrieure de ses minorantes a//ines continues, il su//it que l~une des conditions suivantes air lieu:

a) X est de dimension / in ieet As (K) = {0};

b) K est de dimension /inie et k est coercive;

c) K est d~inNrieur non vide et [~ est coercive.

PREUVE. - La coercivit6 de k assure que ~ est iso-s.c.i, sur X puisque k l'est sur X; ~ est done d'@igraphe ferm6 ([4]~ prop. 1.4 a). Darts le cas b) on observe qtm _/~ - - /~ est de dimension finie; clans le cas c) on vgrifie ais~ment que/~ est d'in- t~rienr non vide. En vertu des th~orgmes 3.1 c), d) et 3.4~ on a pour tout x e X

k(x) ~(x; 1) = sup {~(x, 1)I[Te ~k(0, 0)}.

Notons A(k) l'ensemble des minorantes affines continues de k. A tout ~l~- merit U e g(X C(T)), associons l'application u E s e(r)) d~finie en posant u(x) -= U(x, 0). I~emarquons alors que si UE ~$(0, 0), l'application u d- U(0, 1) cA(k). Par eonsgquent, pour tout. x e X on a:

k(x) = ~(x, 1) = sup (u(x) + U(0, 1)IU e ~(0, 0)},

de sorte que k est enveloppe snp6rienre de g(k). []

Par ddfinition, nous dirons que /e Cony (X, e(T)') admet en xoe dom/ une mi- norante direetionnelle notre d/(xo;) et ddfinie pour tout h e X par:

d/(Xo; ~) =inf ~(x~ h)--/(xo)

si eet infimum existe dans C(T).

JEA~ :PAUL :PE~OT - 5~IICttEL TEI~RA: Applications socts-lingaires, etc. 149

P~oPos:[TIo~ 4.6. - Soit /e Cony (X, C(T)') iso-s.c.i., telle que d/(xo;) existe en un point Xo interne ~ dora/ .

Alors il existe ~tne minorante a//inc continue cxacte e~'~ xo:

/(Xo) = m~x{k(Xo)lk~ ~e(/)}.

P~:~vV~. - Comme ] est iso-s.c.i., fes t d'@igTaphe ferm6 [~; prop. 1.4 a)], et par suite fes t continue en x0 [4; prop. 2.7]. Comme df(xo;)

:150 JEA~ :Ph~ 1~o~ - M~cm~ TH~A: Applications sous-lindaires, etc.

l ine, ire cont inue h, le r4sult~t reste encore ~ 'a i d~aprgs ce qui pr~cgde. L 'exemple suivunt montre que tel n 'est pus le cgs si H est une mult iappl icat ion convexe arbi- traire (et m~me si H est un processus convexe an sens de l~obinson).

Exw~n~ 5.1. - Soient X -~ R et T ---- [-- 1, 1]. Soit ~5 l~ fonct ion d~finie par :

r s i t

JEAI~ ~PA~SL PE~OT - MICt~EL T~I~A: Applications sous-lindaires~ etc. 151

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