Au delà d’une vitesse de groupe: vitesse d’onde et vitesse de signal

pp. 471-487 471

Au del d'une vitesse de groupe" vitesse d'onde et vitesse de signal *

DI~FORMATION DE L'AMPLITUDE

Gr B O N N E T **

ET INFLUENCE DE

DeuxiOme p a t t i e :

L'AFFAIBLISSEMENT

Analyse

La dualitd d'un c h a m p le fai t apparaftre, ~ une date donnde, sous l'aspect spatial d'une onde ; ou bien, en un point donnd, sous l'aspect temporel d'un signal. On adopte un critbre rdaliste ouvrant une ddtermination expdrimentale prdcise d'un repbre de position spatiale de l'onde en milieu dispersif ; ou encore du temps d'arrivde du signal. Dans la progression de ces repbres s'introduit spontandment, en parall~le avec la vitesse de phase, une vitesse de g r o u p e U dont l'expression est ceile de la vitesse de groupe/signal du paquet d' ondes traditionnel. Ces deux grandeurs sont caractdristiques du seul milieu de transmission. A l'onde progressive, correspond alors une certaine vitesse d ' o n d e , qui est la moyenne de l'opdrateur U dans un dtat lid gt la structure de l'onde origine de rdfdrence. `4u signal pereu par un capteur f ixe, correspond une vitesse diffdrente : la vitesse de signal , inverse de la moyenne de l'opdrateur U-* dans un dtat lid gt la structure du signal d'dmission. Vitesse d'onde et vitesse de signal ddpendent ainsi, non seulement du milieu, mais aussi de la forme du signal d'dmission. Toutes deux s'iden- tifient cependant gtla vitesse de groupe U dans le cas particulier d'un spectre trbs dtroit : on rejoint ici le paquet d'ondes classique. La vitesse de groupe s'avbre alors comme la vitesse du repbre lid d l'amplitude complexe du signal analytique progressif ; parallblement gtla cdldritd de sa porteuse, la vitesse de phase. Cette approche permet de ddcrire l'allure de la ddformation d'une onde progressive en milieu dispersif et de la relier, par analogie, gt la diffraction de FresneL La prise en compte de l'affaiblissement associd ?t la dispersion conserve globalement les m~mes propridtds, en dehors des zones anormales.

Mots ei6s : Th6orie signal, Milieu dispersif, Vitesse groupe, Propagation onde, Signal spatio-temporel, Distorsion signal, Signal analytique, Affaiblissement, Paquet onde, Bruit fond.

B E Y O N D T H E G R O U P V E L O C I T Y S I G N A L A N D W A V E V E L O C I T I E S

Second part : amplitude distortion and some attenuation processes

Abstract

.4 radiated field always appears in a dual, spatial and temporal, aspect. Its spatial one is the wave the author would observe at a given time. Its temporal one is the s ignal he receives at a given point. The aim o f this paper is then to determine bulk velocities o f both signal and wave - - without any limiting assumption on their spectral widths - - in case the f ield is being radiated thru a dispersive medium. .4 realistic criterion is first adopted that enables an accurate measurement o f the instant position o f the wave, by means o f a definite space-marker (the wave cen te r ) . The same criterion also leads to a similar time-marker (the signal cen t e r ) that will be used in measuring the receiving time o f the signal. By studying the motion o f these markers an operator U spontaneously appears beside the phase velocity. This operator has the same analytical expression as the usual group]signal velocity o f a wave packet. Therefore U should be also called g r o u p ve loc i ty . Both group and phase velocities depend on the transmitting medium only. To the travelling wave then corresponds an uniform motion o f its wave center, with some wave ve loc i ty . The latter consists o f the mean o f operator U in a s ta te which is associated with the wave structure at the time origin. To the signal, when received by a f i xed transductor, also corresponds some signal veloci ty . Its value is the inverse o f the mean o f operator U - * in a state which is associated with the signal structure at the transmitter. Thus, wave velocity and signal velocity not only depend on the transmitting medium, but depend on the emitted signal form too. However

* Cet article a 6t6 scind6 err deux parties. La premi6re est parue dans le num6ro de septembre-octobre 1983 des Annales des Tdld- communications. ** Laboratoire GESSY, Universit6 de Toulon et du Var, 83130 La Garde, France.

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both of them become identified with the group velocity U in the particular case of a very narrow spectrum. Thus agreeing with the usual wave packet. In such a case the group velocity turns out to be the velocity of the very marker that belongs to the amplitude of the transmitted analytic signal. Such an approach also enables us to describe signal distortion in a dispersive medium. By analogy, it leads to relating that distortion to Fresnel diffraction. Outside anomalous zones, the above properties are roughly maintened when attenuation is taken into account in relation to dispersion.

Key words : Signal theory, Dispersion medium, Group velocity, Wave propagation, Spat iotemporal signal, Signal dis- tort ion, Analytical signal, At tenuat ion , Wave packet, Back- ground noise.

S o m m a i r e

PREMIERE PANTIE ." L'op~rateur vitesse de groupe en l' absence d' affaiblissement.

I. Introduction.

II. Affaiblissement ndgligeable.

Bibliographic (23 rdf.).

DEUXI~ME PANTIE �9 Ddformation de l'amplitude et influence de l'affaiblissement.

I I I . Ddformation de l' amplitude pour un affaiblissement ndgligeable : dispersion et diffraction de Fresnel.

IV. Quelques modkles d'affaiblissement.

V. Conclusion gdndrale.

Annexes.

Bibliographic (23 rdf.).

A V A N T - P R O P O S .

Le pr6sent texte constitue la suite et la fin d 'un article paru dans le num6ro pr6c6dent des Annales des Tdl~communications [23]. I1 est 6vident que la lecture ant6rieure de la premiSre part ie est indis- pensable ~t la compr6hension de cette seconde partie. En particulier, les d6finitions, nota t ions et num6ro- rations en ont 6t6 scrupuleusement maintenues.

III. D 6 f o r m a t i o n d e l ' a m p l i t u d e p o u r u n a f f a i b l i s s e m e n t

n ~ g l i g e a b l e : d i s p e r s i o n et d i f f r a c t i o n d e F r e s n e l

nous allons nous placer d61ibdr6ment dans une situation de spectre tr6s 6troit.

Nous constaterons d'ail leurs que cette situation correspond h celle du paquet d'ondes, tout en affinant sensiblement la description de ce modSle traditionnel.

A l'dmission, le signal analytique P(t) est maintenant astreint, par hypoth6se, ~t une bande B tr6s & r o i t e , il est libre, par contre, d ' avo i r une forme quelconque. Cette libert6 r6sidant dans sa modulat ion, nous d6composons ce signal, de mani+re classique, en une porteuse de fr6quence-T Vo et en une amplitude complexe Ao(t), de forme arbitraire.

Comrne la d&erminat ion de Vo est libre, il va s 'av6rer commode de choisir Vo = N, la fr6quence-T centrale du signal, cf. (48). Dans ces conditions :

(82) P(t) = Ao(t) exp{2 z~ i Nt},

(autrement dit, Ao(t) repr6sente l 'enveloppe, ou la modulat ion, du signal temporel P( t ) ) .

Le spectre de P(t) s 'exprime alors par :

p(v) ---- ao(v - - N) si l ' on pose ao(v) ~ Ao(t).

R6ciproquement, le spectre ao(v) de l 'ampli tude complexe Ao(t) se d6duit de celui du signal d'6mission 5' par la translation v -+ v - - Vo �9 Par suite :

- - La fr6quence-T centrale de Ao(t) est nulle pour la valeur choisie de Vo ; soit :

< a o , ' ; a o > l l a o l i 2 = N - - = 0 .

- - La largeur de bande est 6gale ~t celle, B, du signal P(t).

A la rdception, au point d 'abscisse x, on obtient selon (11) un signal d6crit en fr6quences-T par :

(83) qx(v) = ao(v - - N) exp - - 2 ~ i ~ .

I1 est impor tan t de noter que le centre de signal associ6 ~t un signal analytique (tel que Qx) se confond d 'une part, avec le centre du signal physique Re[Q~], d6fini comme en (44) ; d ' au t re par t avec celui de son amplitude complexe (le centre d'amplitude) :

< Q ~ , t Q~ > <: Re Q ~ , t R e Qx >

T(x) = IIQ II 2 = liNe Qxl[ 2

< Ax , t A x > IIA ll 2

Cette propri6t6, 6tablie dans l 'Annexe A, justifie encore davantage l ' in t roduct ion de l ' ampl i tude complexe par ses cons6quences en m6trologie.

HL1. A M P L I T U D E C O M P L E X E D U S I G N A L

De fa9on ~t mieux saisir les m&an i smes respectifs de la vitesse de phase c et de la vitesse de groupe U,

ANN. T~LI~COMMUN., 38, n ~ 11-12, 1983

H I . I . 1 . D i s p e r s i o n .

Le signal 5. - - et done ao(~) - - est suppos6 suffisamment 6troit en fr6quence pour que la vitesse inverse

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G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E 473

de groupe U - a ( v ) puisse ~tre repr6sentde (dans un voisinage de N e t h l ' int6rieur de la bande B) par un d6veloppement limit6 au premier ordre :

U-X(u) : U - ~ ( N ) + 2 ~(v - - N) q- O[B2],

2 0r est done la pente, ~t la frdquence-T centrale N, de la vitesse inverse de groupe U-~(v).

Si nous tenons compte de l'expression (41) :

df(v) d U- l(u) : dv dv [v/c(v)],

cette approximation sur U -~ revient ~t approcher au second ordre la relation fondamentale (15), f(v) = ~ u/c(v), entre frdquences temporelle et spatiale, soit :

u N 1 (84) c(v) -- Co + Uoo ( v - - N ) + ~(v--N)2+O[B3],

avec :

�9 Co = c(N), vitesse de phase temporelle h la frdquence-T Vo = N,

�9 Uo = 1 ] U- 1 (N), vitesse de groupe pour cette fr6quence-T,

�9 ~ = ~ [ u - ~ ] ~ , = (llc(~) + N

2 "

La condition de validit6 du ddveloppement limitd de U-~(v) - - donc celle de (84) ~ est facile ~ expri- mer : il faut que la courbure de U-~(~) ne soit pas perceptible ~ l ' intdrieur de la bande B :

(85) B ,~ ~ / ~ U - a (N) I (U- ~);1"

Nous constatons que c 'est exactement la condition (62) rencontrde au w II.5.3.5. et qui nous a servi ~t ddfinir les limites de validitd de notre mod61e de paquet d'ondes.

Nous nous plagons ainsi dans le cadre exact de ce module.

Le recours A l 'expression (84) s 'apparente h la mdthode de ddveloppement employde traditionnel- lement pour ddfinir et ddcrire les groupes ou paquets d'ondes; cf. [3, 6 et 20].

Mais il convient de remarquer qu'elle est portde ici h un ordre d 'approximat ion sup6rieur : ce qui est logique eu dgard aux rdsultats acquis par le w II.5.3.4. Or, c'est justement cette simple amdlioration qui, comme nous allons le voir, va nous permettre de traiter la d6formation d 'un paquet d'ondes.

Nous notons bien, comme cela a dt6 mentionn6 au w II.5.3.5., que le crit~re particulier de bande dtroite adoptd ici est uniquement relatif aux propridtds du milieu de transmission.

I1 permettra en gdndral d ' y insdrer, au titre de spectre $troit, des signaux d 'une bande non ndgligeable ; sinon ddjh larges au sens intrins~que.

HI.1.2 . Rdception.

Le signal per~u ~t l 'abscisse x est donc, selon (83) et (84), ddcrit par un spectre temporel :

x 1 (86) q~(u) = a o ( v - - N ) e x P I - - 2 r ~ i N ~ •

t x l exp - - 2 z ~ i ~ o ~ ( v - - N) e x p ( - - 2 z c i 0~x(v-- N)2}.

Afin de faciliter le raisonnement, nous mettons cette fonction de (v - - N) sous la forme dquivalente d 'un produit de convolut ion avec la distribution de Dirac ~(v - - / 7 ) de support N ; soit :

I q~('0 = ao('0 exp{-- 2 ~ i ~xv 2} exp ~p-- 2 r~ i ~ ,~ *

exp - - 2 i r~ ,J ~(u - - N)

Sachant que :

�9 exp{-- 2 n i ccxv 2} V (2 i otx)- 1/2 exp{i :z t2/2 cox},

�9 exp 2Z~iUooV ~ t - - ,

il est alors ais6 de remonter ~ l 'expression temporelle Qx(t) ~ q~(u) du signal de rdception. En appliquant la r~gle de Plancherel de la t ransformation de Fourier ainsi que la propri6td de translation de la distribution de Dirac, nous obtenons directement :

(87) Qx(t) : (2io~x)- 1/2(.4o @ elfCt2/2~x)(t_X/Uo ) X

l

III.1.3. Vitesse et d6formation.

Le signal analytique Qx(t), pergu par un capteur d'abscisse x et compar6 au signal analytique d'dmission P(t), cf. (82), peut ~tre dcrit sous la forme :

Cela, apr~s avoir posd :

(89) Ax(t) : (2i~r * el~t212~x)(t).

Le signal analytique de rdception Qx(t) se ddcompose ainsi en :

a) Une porteuse : exp(2 rc i N(t - - X/Co)} ayant la m~me frdquence-T, N, que la porteuse d'dmission et retardde de la quantit6 X[Co.

Cettr porteuse se ddplace done A la vitesse de phase Co ---- c(N).

b) Une amplitude complexe : A~(t - - x /U o). Issue de l 'amplitude complexe d'dmission Ao(t), cette derni~re r6sulte de deux transformations qui repr6- sentent : l 'une une d6formation, l 'autre un retard de transmission.

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474 C-. B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE D E G R O U P E

111.1.3.1. D6formation de Ao(t).

Elle se mat~rialise, cf. (89), par un produit de convolution entre l 'amplitude complexe initiale Ao(t) et un terme exponentiel imaginaire, quadratique en t.

Eu 6gard au classique th6or6me de Vaschy, un produit de convolut ion repr6sente l'effet d ' un filtrage lin6aire.

Ainsi, la d6formation de l 'amplitude complexe d 'un signal au cours de sa propagation en milieu dispersif apparait comme l'effet d 'un certain filtre d'amplitude ~ dont les caract6ristiques sont :

- - une r6ponse percussionnelle :

H~(t) = (2 i 0~x)- 1/2 exp{i z~ t212 ex},

- - un gain complexe :

h~(v) ---- exp{-- 2 7~ i 0c x v2).

Le filtre A~ diff6re 6videmment du filtre de signal ~ 6voqu6 au w II . l .1. Ce dernier agit globalement sur l 'ensemble amplitude-porteuse et ne dissocie pas non plus d6formation et retard de transmission.

On note que le gain complexe h~(v) est de module unit6 : il conserve l '6nergie de l 'amplitude eomplexe (qui est celle du signal) dans ce mod61e d6pourvu d'affaiblissement.

Calculons le barycentre quadratique Ta de l 'amplitude complexe Ax(t), d6form6e par le filtre Ax. En transposant l 'expression fr6quentielle (45) d ' un centre de signal, nous avons :

dax 1 < a x , "d~v >

2 Ila ll '

off ax(,~) ~-- Ax(t) ; soit :

a~('0 ----- h~(v) ao('0 ---- ao('0 exp{-- 2 r~ i ux,~2}.

Ce qui donne :

dao 1 < a o , ~ > < a o , vao >

Z --2 i Ilaoll 2 --2 x ilaol[ ,

le second terme de cette expression contient la fr6quence-T centrale de Ao(t) : nous avons vu au w III.1. que cette quantit6 est nulle, h la suite du choix Vo = N ;

le premier terme s'identifie avec le centre d'amplitude initial, celui de Ao(t) (lui-m~me confondu, cf. annexe A, avee le centre de signal To ~t l'6mission).

Donc T a ---- To : la d6formation provoqu6e par la dispersion laisse invariante la date du centre d'amplitude.

III.1.3.2. Retard de transmission de Ax(t).

Eu ~gard ~t (88), le temps de vol de Ax entre l'6met- teur et le r6cepteur est 6gal h x/Uo.

Ceci se t raduit par un second filtrage, constitu6 d 'une ligne ~t retard ~x non dispersive.

Cette ligne ~t retard effectue une translation d'ensemble de l 'ampli tude complexe A~(t) d6form6e par

le filtre d 'ampli tude ~ . La translation s'effectue avec une vitesse uniforme, 6gale pr6cis6ment ~t la vitesse de groupe Uo ---- I / U - I ( N ) .

III.1.3.3. Schema &luivalent.

Etant donn6 que les filtres sont des op6rateurs commutatifs, il revient au m~me de consid6rer l 'action successive :

- - d e la ligne ?t retard 5~x qui, par translation d'ensemble, t ransforme Ao(t) en Ao(t - - x /U o). Cette op6ration est la seule qui avait 6t6 consid6r6e jusqu'~t pr6sent dans les diverses 6tudes relatives aux paquets d'ondes.

Le centre d 'ampl i tude de Ao(t - - x/Uo) se d6place uniform6ment ~t la vitesse de groupe Uo ;

- - du filtre d'amplitude A~ qui, par d6formation, transforme Ao(t - - xlUo) en Ax(t - - x /U o), avec conservation du centre d'amplitude.

Ainsi, le centre de signal (confondu avec le centre d'amplitude, cf. Annexe A) apparait-il eomme un invariant dans la d6formation provoqu6e par la dispersion du milieu de transmission.

Une mesure du temps de vol du centre d 'ampli tude conduira ainsi ~t la vitesse de groupe du milieu ; ce qui est conforme aux propri6t6s du paquet d 'ondes temporel mises en 6vidence au w 11.5.3.5.

La figure 7 pr6sente un sch6ma 6quivalent des transformations subies par l 'amplitude complexe.

I I Ax t-xiU~ I - - I 1 "

Retard D~formation

FI~. 7. - - Sch6ma 6quivalent des transformations subies par l'amplitude complexe : fl~x ligne ~t retard non dispersive;

~x filtre d' amplitude.

Equivalent diagram describing both transformations of the amplitude : fl{.x non-dispersive delay line ; d~x the amplitude filter.

IU.I .4 . Tendance asymptotique.

Lorsque la largeur de bande B tend vers z6ro, les relations d ' incert i tude font que Ao(t) devient une constante sur toute la droite r6elle. Le produit de convolution (89) avec cette constante est alors lui-m~me une constante : le signal Qx(t) est devenu monochromatique, r6duit ~t sa seule porteuse.

A la limite B ---- 0, l ' incerti tude est devenue totale : il est alors impossible de localiser tout rep6re attach6 au signal. On constate d'ailleurs que l 'hypoth6se H du w 1.2.2.1. qui assurait l 'existence du centre de signal cesse ipso-facto d 'e t re respect6e.

Done, lorsque cette limite B ---- 0, Ao(t) = const. est atteinte, le centre de signal a cess6 d'exister. Parler, dans ce cas limite, de vitesse de signal ou de vitesse de groupe n ' a alors plus aucun sens : seule subsiste la vitesse de translation d'ensemble de la porteuse, la vitesse de phase.

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G. BONNET. - AU-DELA D ' U N E VITESSE DE GROUPE 475

Par contre, en deqh de cette limite et si &roite que soit la bande B, rien ne s 'oppose/ l l'existence d 'un centre de signal mobile, pourvu que l 'hypoth6se H soit respect6e /t l '6mission (par exemple support temporel de dur6e arbitrairement longue, mais born6).

KL2. S I M U L A T I O N ANALOGIQUE : DIFFRACTIONS DE FRESNEL

ET DE FRAUNHOFER

On ne peut manquer d '&re frapp6 par l 'analogie qui r6gne entre la loi d '6volution (89) de l 'amplitude complexe A~(t) et la formule, classique en diffraction de Fresnel :

i

(90) Ca(z) =~ood (Co(z) * e-l~:t~'~

Cette formule d6crit l 'ampli tude complexe Cd(Z) du champ scalaire recueilli par diffraction entre deux calottes sph6riques eoncentriques (ou deux plans parall61es) distantes de d [17]. L'6mission est effectu6e en lumi6re coh6rente monochromat ique de longueur d 'onde ?,o, a travers une transparence unidimension- helle Co(z).

Si l 'on fait abstraction de l'6chelle des ph6nom6nes, on peut ignorer les facteurs des produits de convolution dans (89) et (90). Dans ce cas, ces relations sont exactement de mSme forme. Toutes deux tra- duisent un filtrage lin6aire (temporel pour la premi6re, spatial pour la seconde) avee une r6ponse percussionnelle du type exponentielle imaginaire quadratique (noyau de Fresnel).

Une telle analogie est certes de pure forme, car les m6canismes physiques en cause ne semblent pas apparent6s. Ces deux approches n 'on t vraisemblable- ment d 'autre point commun que de constituer chacune une approximation de second ordre. Mais leur analogie ouvre la voie h une simulation optique. Ainsi est-elle susceptible de s'av6rer pr6cieuse pour observer directement la progression du ph6nom6ne de d6formation d 'un signal d&ermin6 (par Ao( t ) ) dans une ligne d&ermin6e par (2 0~ = (U-1)~v).

Pour r6aliser cette simulation, on songe /l une transparence unidimensionnelle qui reproduirait l 'amplitude complexe Ao(t).

En pratique, traduire un terme complexe implique l 'usage d 'un hologramme. I1 s'agit d'ailleurs d 'un hologramme unique et &abli une lois pour toutes pour le signal d'6mission choisi, celui de Ao(t).

La technique pr6f6rentielle, lorsque Ao est complexe, est celle d ' un hologramme calcul6.

L 'hologramme serait congu en vue de restituer, sur un certain plan immat6riel II de l'espace, un objet rdel (*) dont la r6partit ion de champ reproduise

(*) R6el est pr is au sens de l ' op t ique ; pa r oppos i t ion au second obje t , dit virtuel, fourni pa r l ' h o l o g r a m m e et qui n ' es t pas ut i l isable darts cet te exp6rience.

5/17

FIG. 8. - - Simulat ion pa r h o l o g r a m m e de la d6format ion de l ' ampl i tude complexe .

Simulating amplitude distortion by means o f a hologram.

/t une dimension, le long d 'un axe z'z, l 'ampli tude complexe initiale Ao(z) eorrespondant au transducteur d'6mission (Fig. 8). Soit ~,o la longueur d 'onde de la lumi6re coh6rente de restitution.

Le champ diffract6 par la source secondaire de r6f6rence II, dans une direction or thogonale /t son plan, serait analys6 selon un axe ~'~ parallSle ~ z'z, /t une distance r6glable d.

D 'apr6s ce que nous savons en comparan t (89) et (90), ce champ diffract6 simulera l 'ampli tude complexe Ax pergue par un capteur d'abscisse x sur la ligne, si cette distance d vaut :

2 ~ x 1 (91) d - - ko 9,o ( U - 1)~ x.

La distance de diffraction 6quivalente d est done simplement proport ionnelle h la distance curviligne x entre t ransducteur et capteur le long de la ligne.

On note qu'elle croit, pour x donn6, avec l ' importance de la dispersion.

L 'analyse le long de ~'~ peut 8tre effectu6e trSs simplement par une barrette de photod&ecteurs (Fig. 8). Dans ce cas, ce n 'est pas l 'ampli tude complexe Ax mais le carr6 [A~I 2 de l 'enveloppe du signal capt6 que l 'on a simul&

Sans mSme recour i r / t une simulation et d ' un point de vue uniquement qualitatif, l 'analogie de la diffraction de Fresnel permet d6j~t de se repr6senter tr6s ais6ment l '6volution de la d6formation de l 'ampli tude complexe :

- - lorsque x est faible, cette d6formation est limi- t6e aux bords du signal, oh elle est de forme ondul6e : nous obtenons l~t une interpr6tation imm6diate des c616bres pr6curseurs de A. Sommerfeld et de L. Bril- louin [8, 9] (du moins pour une partie de ces derniers, cf. In t roduct ion) ;

- - lorsque x erolt davantage, la d6formation affecte

ANN. T~LI~COMMUN., 38, n o II-!2, 1983

476 G . B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E V I T E S S E D E G R O U P E

progressivement une 6tendue croissante de 1'amplitude complexe. Simultan6ment, la fr6quence des ondulations diminue ;

- - lorsque x ---> oo, l 'amplitude complexe s'61argit ind6finiment.

De plus, on sait que la diffraction de Fresnel converge & l'infini vers une diffraction de Fraunhofer : on obtient donc ,& tr6s grande distance, une amplitude complexe qui reproduit la transform6e de Fou- rier, ao , de l 'amplitude complexe initiale Ao.

C'est ce que nous allons pr6ciser quantitativement ensuite.

La figure 9 sch6matise l 'exemple simple d 'un signal de spectre 6troit dont l 'amplitude complexe initiale (r6elle) est rectangulaire : son analogue en diffraction est la fente rectiligne (*).

- - dt trbs longue distance, la tendance vers l 'analogue de la diffraction de Fraunhofer nous indique que A~ se rapproche de la transform6e de Fourier, ao , de l 'amplitude complexe initiale Ao, 5. mesure que X ---~ OO.

Pour 6tudier ces deux tendances, l 'expression (89) de l 'amplitude complexe A~ nous indique qu'i l faut 4tudier le comportement limite du noyau int6gral de Fresnel, exp{irct2/2 ~x). C'est ce dernier qui joue le r61e de r6ponse percussionnelle du filtre d'amplitude du w III.1.3.1.

Nous utiliserons pour ce faire une solution bien plus directe et en m~me temps plus g4n6rale que les approches conventionnelles de Debye [21] ou de Lommel [22]; elle est expos6e dans l 'annexe B, oh l 'on 6tablit que la forme asymptotique du noyau de Fresnel est une distribution temp&~e, & savoir :

(92) lira exp{i~ m z 2} m---~:i: oo

V/~--- [ ~l i~ ~(2~)(Z) 1] = 3(z) q--~,= ( 4 ~ ) k ( k [ ) ~ "

FIG. 9. - - D6formation de l'enveloppe, initialement rectangulaire, d'un signal de spectre 6troit (analogie d'une fente diffractante).

Envelope distortion of a narrow band signal, initially rectangular (diffracting slit analogy).

HI.3.1. Courtes distances, x --> 0.

L'application de l 'expression asymptotique (92) pr6c6dente est imm6diate si l 'on prend m = l [2~x.

Nous faisons appel ~t la propri6t6 suivante des d6riv6es de la distribution de Dirac & l 'origine :

(Ao * ~(k))(o = A~ok)(t).

Ce qui nous conduit & la s6rie enti6re en (2 ~x) :

i (93) lira Ax(t) = Ao(t) q- ~ A~(t) (2 ~x) q-

x---~o

i k Ato2k)(t) (2 ~Z X) k.

z~ (4=)~ (k !) k = 2

On pr6cise ainsi, quantitativement, comment s'6tablit la d4formation de l 'amplitude complexe dans une ligne dispersive tr6s courte, x ,~ 1 ]2~. C'est, vraisem- blablement, dans cette zone que l 'approximation classique en ~/x est valable pour l '6volution de la dur6e quadratique moyenne du signal (cf. w 11.6.2.).

HI.3. CAS LIMITI~S : C O U R T E S ET L O N G U E S DISTANCES

La d6formation de l 'ampli tude complexe A~(t) est comprise entre deux extremes :

- - dt trbs courte distance, Ax se rapproche d 'autant plus de l 'ampli tude complexe initiale Ao que la distance x avoisine davantage z6ro ;

(*) Err toute rigueur, cet exemple n'est recevable que si les bords sont adoucis, de fagon telle que l'hypoth6se H puisse s'appliquer.

III.3.2. Longues distances, x -~ oo.

Pour pouvoir utiliser l 'expression asymptotique (92), il est ndcessaire de modifier le produit de convolut ion (89). Nous 6crivons successivement :

(94)

.~R (' .(i~x f A~(t) = (2i ~ x ) - 1,2 e x p ~ _ x (t - - 0) 2 Ao(0) dO,

= ( 2 i ~ x ) - l / 2 e x p t i r c t 2 1 ( 2 ~ x ) x

t ] dO. ~ T~x~x ) j

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G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E 477

L'amplitude complexe A~(t) apparalt ainsi comme la transformSe de Fourier de la quantitS entre crochets dans l 'intSgrant de (94) : c 'est une transformSe de Fourier-Fresnel de Ao(t), pour la frSquence-T v = t /2~x.

La r6gle de Plancherel donne alors, en utilisant de nouveau la paire de Fourier ao(v) ~--- Ao(t) :

(95) Ax(t) = e x p { i ~ t 2 [ 2 ~ x } •

(ao(v) * exp{-- 2 = i ~XV2})(t/2~x).

Nous sommes maintenant en mesure d'utiliser, lorsque x -~ m, l 'expression asymptotique (92), en prenant m = - - 2 ~x.

Ce qui conduit ~ la sSrie asymptotique en ( l /2~x) :

t i ~ t 2 1 (96) ~+lim~A~(t) = e -1=/4 exp (2 ~x ) •

1[ ( , ) , ~/2--~-x ao ~ - - ~ a g ~ ~--~%-

=2(--4~i) ~(k!) ~ ~ �9

Ce rSsultat confirme et prScise la tendance limite de l 'amplitude complexe A~(t) ~ la rSception vers la transformSe de Fourier, ao , de l 'amplitude complexe initiale Ao, /~ l 'extr6mitS d 'une ligne dispersive de grande longueur, x - > 1]2e . Rappelons que :

2 ~ = ( U - ~)} = (vie(v) . N

111.4. DI~FORMATION DE L ' O N D E

La m~me approche, appliquSe ~ une onde, conduit Svidemment ~t des rSsultats similaires.

= U ' (F ) = [A~2 f z ( f ) [ la pente

P ~

Soit 2 de la Ldf j

vitesse de groupe pour la frSquence-S centrale F. L 'onde origine f2o - - d 'un spectre suffisamment

Stroit autour de F - s'exprime, au temps t ---- 0, sous la forme :

So(x) = Bo(x) e x p ( 2 ~ i F x ) .

On trouve alors, pour l 'onde f2 t observSe ~ la date t :

(97 a) S(x, t) = Bt (x - - Uot) exp(2 ~ i F(x - - ZOO),

avec :

(97 b) Bt(x) ---- (2 i ~ t ) - 1/2 (Bo * exp{i ~ x2]2 ~t})oo.

I1 y a donc, comme prScSdemment pour le signal :

- - vitesse de phase Zo ----- Z(F) pour la porteuse,

- - vitesse de groupe Uo = U(F) pour l 'amplitude complexe Bt(x),

- - d6formation par filtrage, du type diffraction de Fresnel, pour cette amplitude complexe,

- - tendance asymptotique, /t longue distance, vers une transformation de F o u r i e r ; d 'une far similaire h (96).

Les conditions de validitS sont que l 'onde initiale f]o ait un spectre suffisamment 6troit pour pouvoir &re considSr6e comme un paquet d'ondes. Sa largeur spectrale �9 est done soumise ~t la condition (60) :

�9 ~ ~ /2IU(F) /U"(F) I.

Ceci Squivaut A limiter au premier ordre le dSvelop- pement de la vitesse de groupe U ( f ) dans la bande �9 :

d r ( f ) U ( f ) = d f - - Uo %-2 ~ ( f - - F ) % - 0[02] .

Ce qui revient ~ reprSsenter au second ordre, par le dSveloppement :

z ( f ) = F Z o %- U o ( f - - F ) %- ~ ( f - - F ) 2 %- O[O3],

la seconde relation fondamentale (18), v = - - f z ( f ) , entre frSquences spatiale et temporelle.

IV. Q u e l q u e s mod &les d ' a f f a i b l i s s e m e n t

IV.1. P R O P A G A T I O N SPHI~R1QUE N O N DISSIPATIVE

I V . I . 1 . M o d U l e g ~ n S r a l .

II va de soi que t o u s l e s rSsultats qui prSc6dent sont conserv6s int6gralement dans le cas d 'une onde plane, sans affaiblissement.

Nous avons cependant SvitS de nous appesantir sur un tel mod61e, dont la validitS physique est plus que discutable lorsqu'i l s'agit de rendre compte de la transmission entre un Smetteur et un rScepteur.

Passons maintenant ~t la propagat ion par onde sphdrique dans un milieu dispersif : ce sera notre premier mod61e d'affaiblissement.

Le syst6me physique est le suivant : Un transducteur p la ts A l 'origine r = 0 Smet un

rayonnement sph6rique dans un milieu dispersif, homogSne et isotrope, dont l 'absorpt ion peut ~tre nSgligSe en premi6re approximation. Ce rayonnement est recueilli par un capteur situs au point r, ~ la distance r = Ilrll de l 'origine et dans la direction unitaire 0 = (1]r) r.

IV.I.I.1. Emet teur .

Darts notre probl6me, il est possible d'assimiler l '6metteur ~t une source fictive, non n6cessairement isotrope, dont les dimensions seraient rSduites A un point situs ~ l 'origine. Son champ scalaire est dScrit, dans la repr6sentation mixte-rv, par la composante

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478 G . B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

spectrale :

(98) ~(r, '0 = a(v, 0) 8(r)

(8 ( r ) : distribution de Dirac ayant l 'origine pour support).

IV.l.l.2. Capteur.

On se place d'embl6e dans des conditions de champ lointain.

Si l 'on suppose en outre que le seul degr6 de libert6 allou6 au capteur est la distance r suivant une direction 0o fixe, il devient possible de simplifier ~t l 'extr~me l 'expression du signal capt6. Conform6ment ~t la th6orie de la diffraction, nous obtenons au point r, dans la m~me repr6sentation-rv :

(99) q,(~) = ~(r, v) P('O exp - - 2 rc i ~ c ~ r

r >> c('O/'~, v,~,

apr6s avoir pos6 :

iv p(v) = c ~ a(v, 0o).

Ce dernier terme, implicitement, tient compte de la directivit6 ; il est d6termin6 de fa~on univoque par la connaissance de la source a(v, 0o), et par celle de la vitesse de phase temporelle du milieu, c('0.

Son expression est valable pour tout capteur identique situ6 sur le rayon 0o, mais dans la zone de champ lointain exclusivement.

IV.1.2. Centre de signal.

Transposons la d6finition du centre de signal T(r). Nous avons /t d6terminer la moyenne de l 'op6ra-

teur r dans l '&at qr ; soit, darts la version fr6quentielle- T et selon (45) :

- - 1 < qr, dq, ld,~ > (100) T(r) -- 2 x i Ilq,[I z

De m~me, la dur6e du signal @(r) a ici pour carr6 la moyenne centr6e de l 'op6rateur r z dans l '6tat q , . Elle se transpose, depuis (47 b), sous la forme :

(101)

0(r)---- [[iq,[i2 ~dq' 2__ ~ q r , ~ 2] l/2/(2r:llqr[[2)"

Le signal repr6sent6 par q~(v) et d6crit par (99) concerne, r6p6tons-le, une propagation sph6rique. Nous le comparons ~t la repr6sentation q~(v) ddcrite par (11) en propagat ion unidimensionnelle : ~t la substitution x ~ r pr6s, la premi6re expression ne diff6re de la seconde que par le seul facteur l[r.

Or, pour une position r donn6e du capteur, le param6tre r n ' intervient pas dans la d6termination : soit des normes partielles en v que sont q, 2 et [[dq,/dv[ 2 soit du produi t scalaire < q, , dqrldv > , 6galement partiel en ,~.

De ce fait, le terme l[r 2 pr6sent au num6rateur comme au d6nominateur de (100) et de (101) disparait du r6sultat.

Ainsi, la description du centre de signal T(r) conserve la forme (50) alors que la vitesse de signal V~ continue d 'etre d6crite par (52 a) ou (52 b) - - en y remplagant x par r.

De m~me, la dur$e du signal | conserve la forme (47 b).

On constate enfin que, pour la m~me raison, la fr6quence centrale N e t la largeur de bande B ont m~me expression et m~me valeur que dans le cas unidimensionnel. Ce sera la r6gle X.

Rbgle X.

Toutes les propridtds du signal, dtablies dans le cadre d'zme propagation unidimensionnelle sans affaiblissement se maintiennent sans aucune modification dans le cas d'une propagation sphdrique en milieu homogbne non dissipatifi

IV.1.3. Centre d'onde.

En propagation sph6rique, le cas de l 'onde est sensiblement plus d61icat que celui du signal.

IV.l.3.1. Cas g6n~ral.

Les difficult6s sont en premier lieu d 'ordre analytique : elles proviennent de ce que le d6nominateur r dans l 'expression (99) de <r(r, ~) cesse de jouer le r61e d 'un param~tre fig6 : il devient une variable lorsqu'on d6crit une onde.

Le passage, indiqu6 par le losange de Fourier de la figure 2, de ~/ t ~ puis/ t s pr6sente alors certaines difficult6s.

Les probl6mes analytiques seraient cependant sur- montables, grfice h l 'arsenal des distributions. Mais un obstacle beaucoup plus s6rieux vient s'y surajouter : c 'est que le mod61e (99) n 'est valable qu 'en champ lointain et perd tout son sens lorsque r ~ 0.

Nous ne traiterons certes pas ici le probl6me g6n6ral, dont l 'ampleur et la lourdeur ne sont peut-~tre pas justifi6s dans un domaine de pures t616communi- cations entre un 6metteur et un r6cepteur : la grandeur signal temporel y rev~t infiniment plus d ' importance pour l 'exp6rimentateur que la grandeur onde spatiale.

IV.1.3.2. Ondes de faible 6tendue (relative).

Pour 6viter cependant de sombrer dans le n6gati- visme, notons bien que, lorsque l '6tendue de l 'onde - - lato sensu - - devient faible 5, l'6chelle de la distance 6metteur-r6cepteur, les difficult6s pr6cit6es s'6va- nouissent.

Dans ce cas fort r6pandu, on peut en effet se permettre une simplification majeure : remplacer, dans le d6nominateur de ~(r, v) - - cf. (99) - - la variable r

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G. BONNET. -- AU-DELA D'UNE VITESSE DE GROUPE 479

prise le long de l 'onde par une valeur moyenne < r > sur l 'onde.

Alors, le passage par t ransformre de Fourier-S de ~r f i ~ redevient immrdiat . Poursuivant avec une transformre de Fourier-T drpourvue de difficult6 (voir le losange de Fourier), on aboutit alors h une description de l 'onde ayant la forme :

so(f) (102) s(f, t) -- - - exp{-- 2 r~ i f z ( f ) t}.

< r >

Cette 6criture ne diff6re de (21 b) que par le seul facteur 1 ] < r > . En toute rigueur, ce dernier d6pend certes du temps t ; de plus, s(f, t) n 'est pas, it propre- ment parler, la repr&entat ion-ft du champ. Mais le terme < r > ne joue plus que le r61e d 'un simple param&re : il sera 61imin6 lors du calcul des moments.

Dans de telles conditions, le m6me raisonnement que celui utilis6 pr6c6demment pour le signal conduit, non moins ais6ment, h la r6gle XI.

Rbgle XI.

Tousles rdsultats et conclusions relatifs aux parambtres suivants :

centre d'onde X

vitesse d'onde Vn

dtendue de l'onde L

frdquenee-S eentrale F

largeur speetrale cb,

et aequis clans le cadre d'une propagation unidimensionnelle sans affaiblissement, eonservent leur validitd clans le cas de la propagation sphdrique en milieu homo- gone non dissipatif d'une onde de faible &endue (d l'dehelle de la distance de transmission).

N. B. I1 va de soi que la not ion de vitesse de groupe U qui est intrinsbquement attach6e au milieu (ou ~t la ligne) de transmission est ind6pendante des caract6res dimensionnels de la propagation.

IV.2. DISPERSION AVEC A F F A I B L I S S E M E N T EXPONENTIEL

Reprenons, pour simplifier, le modrle unidimensionnel des chapitres II et III, dans lequel nous introduisons maintenant la dissipation.

Nous adoptons un modr le d'affaiblissement exponentiel, justifi6 par la thror ie de la propagation et abondamment vrrifi6 par l 'exprrience :

Un champ monochromat ique , de fr6quence-T 6gale it v, drnote, pour un parcours de longueur x dans la ligne, un affaiblissement ayant pour facteur d'amplitude exp{-- p(v)lxl}.

Drs lors qu'il y a dispersion, le drcrrment loga- rithrnique p(v) doit &re considrr6 comme une fonetion de la frrquenee-T (h valeurs positives).

IV.2.1. Repr6sentations.

IV.2.1.1. Representation mixte-x~ (signal).

Surmontons d 'une barre les grandeurs relatives h la propagat ion avec pertes (~, 7, etc.).

a) Signal de rdception.

Si l ' rmission (x : 0) continue d '&re drcrite par p(v) : ~(0, v), nous obtenons maintenant h la rrcep- t ion un signal :

(103) ~(x, v) : ~,(v) : p(v) exp( - - p(v)[x[}

exp - - 2~ i ,~

ou encore, par comparaison avec l 'expression ~(x, ~) sans pertes, cf. (11) :

(104) cl~(v) = qx(v) exp{-- O(v)[x[}.

b) Relations de Kramers-Kronig.

Le gain complexe du filtre de signal de la figure 3 devient maintenant :

dx(v) = exp{-- p ( v ) [ x ] - 2 rc i vx/c(v)}.

I1 se drcompose en parties rrelle et imaginaire, dx = ax q- i b x ; avec :

ax(v) = Re[d~(v)] = e-~(~)[xl cos [2 ~ vx/c(v)],

b~(v) : Im[dx(v)] : e -~t~)lxl sin[2 = vx/c(v)].

Comme ce filtre physique obri t nrcessairement au principe de causalitr, les relations de Kramers-Kronig impliquent une transformation de Hilbert entre ces deux parties :

a ~ ( Q = bx * , b x ( v ) = ax * . (v) (v)

De ce fait, la vitesse de phase temporelle c(v) et le drcrrment p(v) sont lirs biunivoquement.

Cette contrainte rend trrs malaisres les approximations qu 'on peut faire sur l 'une de ces grandeurs ; approximations qui rejaillissent ipso facto sur la seconde et cela, d 'une fa~on non simple.

c) Remarque.

I1 existe cependant une exception, dont nous tente- rons de tirer profit : le cas oh il est possible de recourir h l ' approximat ion p = const., v v.

On constate alors que les relations de Hilbert ne concernent plus que la vitesse de phase c(,~). Si done une approximation sur la dispersion s 'avrre acceptable dans le cadre d 'un modr le sans pertes (p = 0), on peut la conserver sans modification en introduisant des pertes de drcr rment constant.

Cette possibilit6 sera offerte, en particulier, par le cas du spectre &roit.

IV.2.1.2. Reprrsentation-F (Champ).

On sait que : 2 p(,~)

(105) ex p { - - p(v)lxl} ~s p2(, 0 -F 4 r : 2 f 2"

9/17 ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 11-12, 1983

480 G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

Partant de l'expression (104) de Clx(V) et conform6ment au losange de Fourier, nous obtiendrons par trans- form6e de Fourier-S directe la repr6sentation-F du champ.

Utilisant l'expression (14) de X( f , v), nous avons :

(106) Z(f , v ) = .Z 9(- p2(V ) "q- 47t2f2](y) 2 p(v)

= p(v) p2(v) + 4 r~ z [ f + v/c(v)] z "

Dans l'expression (14) de E ( f , v) relative au mod61e sans affaiblissement, la pr6sence d 'une distribution de Dirac imposait une relation biunivoque entre fr6quences temporelle et spatiale, soit f----- - - v/c(v). On constate que cette liaison a disparu en pr6sence d 'un affaiblissement exponentiel.

Ainsi, pour un signal qui serait monochromatique en fr6quences-T, la pr6sence d 'un affaiblissement d6truit le caract~re monofr6quentiel en fr6quences-S de l 'onde associ6e.

IV.2.1.3. Repr6sentation mixte-ft (onde).

Posons :

2 -~ exp{-- P(v)lxl). +(f, t) ~ p2(v ) + 4r :2fz ~-

Nous d6duisons de (106) par transform6e de Fourier-T inverse (cf. losange de Fourier) que la description de l 'onde ~t la date t e s t :

(107) s(f, t) = (s * +)(y,o,

off s(f, t), qui r6sulte du cas sans affaiblissement, est donn6 par (21 b).

La complexit6 du produit de convolution pr6c6dent, qui porte sur les deux va r i ab les fe t t, suffit ~ montrer que l '6tude g6n6rale de l 'onde ne peut pas ~tre entreprise en l'absence de descriptions particuli6res du couple [p(v), c(v)].

Nous allons donc nous limiter au signal.

IV.2.2. Centre de signal.

On transpose la d6finition fr6quentielle (45) du centre de signal, soit :

dqx - - 1 < q~' ~ >~

(108) T(x) ----- 2 ~ i Jl~Jl 2

Nous limitant ~t la propagation vers la droite, x > 0, nous tirons de l'expression (103) de ~(x, v) = qx(v), successivement :

~ ( v ) = p(v) e -p~)~ exp{-- 2 r: i v x/c(v)},

dqx [dp d I 2~x iv t ] dv = ~ - - P ( V ) ~ p ( v ) + c(v) ) x •

e_O(~)x exp I 2 z : i v x l �9

Par suite, nous avons :

= p , dp d e-2~(v)x__

ip[2 e _ 2 . . , d [ 2rci v] + x,

10xl - - I p l I1 r6sulte de la pr6sence des exponentielles en x que T(x), rapport des int6grales des deux termes pr6c6- dents - - cf. (108) - - n'est plus une fonction lin6aire de x.

Ainsi, l 'absorption a pour cons6quence un mouvement non uniforme du centre de signal T(x).

On obtient un d6veloppement du type :

T(x) = To + Ax + Bx 2 + 0[x3],

ce qui signifie qu'il existe, en pr6sence d'absorption :

�9 une vitesse instantande de signal (A + 2 B x ) - i ,

�9 une accdldration du signal - - 2 BIA 2.

Ainsi, cette 6tude de la propagation du signal, entreprise pour un d6cr6ment 9(v) arbitraire (sous les contraintes de Kramers-Kronig) ne peut pas ~tre poursuivie davantage.

I1 e n e s t de m~me, afort iori , pour l '6tude de la propagation de l 'onde.

Nous allons donc restreindre notre mod61e b. un cas particulier, suffisamment int6ressant cependant pour embrasser la majorit6 des applications pratiques.

IV.2.3. Signal de spectre 6troit.

On reprend l 'hypoth6se du w II.5.4. d 'un signal d'6mission poss6dant une largeur de bande suffisamment 6troite pour pouvoir &re r6sum6 par ses seules propri6t6s de second ordre : fr6quence-T centrale N e t largeur de bande B.

I1 est ais6 de voir que ce mod61e 6quivaut 5. pousser jusqu'~t l 'ordre 2 le d6veloppement, autour de N, de la vitesse de phase temporelle c(v).

Que prendre, dans ces conditions, comme mod61e de d6cr6ment p(v) ?

La r6ponse r6side en premier lieu dans la remarque faite pr6c6demment au w IV.2.1. : si l 'approximation d 'ordre 2 de c(v) s'av6re physiquement acceptable dans la bande ,~ de largeur B autour de N, tout se passe comme si son prolongement ~ l'ext6rieur de cette bande 6tait de nature ~t satisfaire les relations de Kramers-Kronig, dans le cadre non dissipatif p = 0 .

Dans ces conditions, nous avons vu que la m~me approximation de c(v) ~t l'int6rieur de la bande (et, virtuellement, ~t l'ext6rieur) satisfait encore les contraintes de causalit6 lorsque le d6cr6ment est du type constant : p(v)----- Po, const, v v.

Des consid6rations plus directement exp6rimentales viennent 6tayer ce choix : des rotations de phase sont susceptibles de cr6er des interf6rences destructives;

ANN. T~L~COMMVN., 38, n ~ 11-12, 1983 10/17

G . B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E V I T E S S E D E G R O U P E 481

des variations d 'ampli tude ne le font jamais. I1 est ainsi de pratique courante - - en partieulier en th6orie de la diffraction - - de d6crire la phase avec le maximum de fid61it6 ; tout en se contentant, pour l 'amplitude, d 'une approximation moins fine.

Nous prenons done pour mod61e :

a) pour la dispersion, dans la bande :

~g : ~ ~ [ N - - B/2, N + B/2],

le d6veloppement de second ordre :

c(v) ---- c(N) -k al(v - - N) q- a 2 ( ' r N ) 2 -'[- O[B~].

On a constat6 au w II.5.3.4., que ces conditions de second ordre de spectre 6troit s'av6rent en pratique suffisamment peu contraignantes h l '6gard du signal d'6mission pour pouvoir englober la quasi-totalit6 des conditions exp6rimentales. En outre, ces res- trictions sont d ' un ordre inf6rieur en regard de celles qui mod61isent le simple paquet d'ondes, de caract6re 6troit au sens strict (ef. w II.5.3.5.) ;

b) pour l'affaiblissement exponentiel, ~ l ' int6rieur de la m~me bande ~ , un d6cr6ment :

(109) p(v) = Po -t- O[B] (Po = p(N)).

I V . 2 . 3 . 1 . R e p r ~ e n t a t i o n s .

On trouve imm6diatement :

a) Reprdsentation mixte-xv (signal).

L'expression (103) se r6duit ~ :

(110) ~(x, v) = qx(V) = qx(v) e-pol~J

= p(v) e-~o[xl exp(- - 2 r~ i ,~ xlc(~)). b) Repr~sentation-F (onde).

On a, of. (106) :

2 ~o (111) ,~(f, v) = p(v) P~ 2 + 4 =2 [ f + v/e(v)]2 �9

Dans ee mod61e, le facteur de pond6ration de p(v) pr6sente un maximum lorsque la fr6quence spatiale f est telle que :

f = - - v/c(v) ;

ce qui est exaetement la relation (15) du cas non dissipatif.

Ce facteur poss6de une valeur sensible h l 'int6rieur d 'une bande de fr6quences-S d 'environ po]r: (si l 'on consid6re la largeur h mi-hauteur). Le domaine de pond6ration est done d 'au tant plus &roit que l'affaiblissement est plus faible.

c) Remarque.

De ce fait, la relation fondamentale (15) de correspondance f -v qui r6git le mod61e sans affaiblissement peut ~tre conserv6e par convention dans le mod61e avec pertes exponentielles 9(v) = const., v ~ .

Mais elle ne t raduit plus qu 'une valeur centrale de la fr~quence spatiale associ~e A la fr6quence tempo-

relle ; ce qui rend l '6tude de l 'onde particuli6rement d61icate.

Par contre, nous pouvons conserver la d6finition de la vitesse de groupe sous sa forme inverse (41) :

d f d[v/c(v)] (41) U - I - -

dv dv '

rendant ainsi cette grandeur ind~pendante de la valeur Po du d6cr6ment d 'absorpt ion.

I V . 2 . 3 . 2 . C e n t r e de s igna l .

La loi d '6volution de Cl~(V) est, pour x > 0, selon (110) :

(112) ~ ( v ) = qx(V) e -p~ (x > 0),

&off il r6sulte : dqx dqx

(113) dv -- dv e-~~

Reprenons la d6finition (108) du centre de signal T(x).

Comme le produit scalaire et la norme qui appa- raissent dans cette expression ne concernent que la seule variable v, nous avons :

- - au num6rateur :

dqx dq~ < q x , - ~ - v >~---= < q x , ~ - ~ - > e -z"~

- - au d6nominateur :

[]~x]l~ = tlqxl]2 e -~"0x .

I1 en r6sulte que : dqx

_ _ 1 < q x , ~ v > T(x) - - 27zi Ilqxl[ ~

Autrement dit, le centre de signal a la m6me valeur (45) qu 'en l 'absence de dissipation.

Dans ce mod61e p(v) = const, pour v ~ ~ , le centre de signal retrouve donc un mouvement uniforme, avec une vitesse de signal V~ identique ~ celle obtenue sans affaiblissement, cf. (52 b),

1 < p , U - l p >

V s - < v - ' > , = ilpll2 Cette valeur est d ' au tan t plus proche de U - l ( v o ) que le spectre est plus 6troit.

En portant les expressions, (112) pour qx(v), (113) pour sa d6riv6e, dans la forme fr~quentielle (79) de la durde du signal O(x), il est ais6 de constater que sa valeur, ainsi que sa loi d'6volution, sont les m~mes qu 'en l 'absence d'affaiblissement.

I1 en est de m~me pour la frdquence-T centrale N, ainsi que pour la largeur de bande B, suivant les d6finitions du w II.4.4.

Nous conclurons avec la r6gle XII.

Rbgle XII.

L'ensemble des rdsultats et conclusions relatifs aux parambtres suivants :

II/17 ANN. TIELECOMMUN., 38, n ~ II-12, 1983


centre de signal T,

vitesse de signal Vs,

durOe du signal |

frOquenee-T centrale N,

largeur de bande B,

et acquis clans le cadre d'une propagation unidimension- helle sans affaiblissement conservent leur validitO dans le cas d'un signal soumis dt un affaiblissement exponentiel ; cela sous r~serve que la largeur de bande du signal soit suffisamment dtroite dt l' ~chelle de l' dvolution de la dispersion.

V. Conclus ion gdn~rale

l '6valuation de : 1 norme + 1 produit scalaire; soit 2 int6grales seulement.

Bien plus, 6tant donn6 que le centre de signal (ou d'onde) et le centre d 'ampli tude sont confondus (r6gle XIII, annexe A), la d6termination des premiers moments peut tout aussi bien s'effectuer sur l 'enveloppe du signal de r6ception. Cette possibilit6, qui all6ge consid6rablement les contraintes d'6chantillon- nage, ouvre ~ la m6thode des moyennes la voie des fr~quences trks ~lev~es : pour cela, l 'emploi pr6alable d 'un simple d6tecteur d 'enveloppe suffit.

d) Stabilit~ en prdsence de bruit

Celle-ci est l 'apanage de tout proc6d6 de moyenne. Nous avons vu que le biais de l 'estimateur est faible et d'ailleurs tr6s facile ~t d6terminer exp6rimentalement. I1 est m~me susceptible d 'e t re supprim6 automatique- ment par un algorithme simple.

V.1. P O I N T DE DISPART : MI~TROLOGIE

L'objectif initial de notre 6tude se limitait simplement h la recherche d 'un rep6re de position d 'une onde progressive ainsi que, parall61ement, ~t celle d 'un rep6re de datation du signal associ6.

Ce projet avait pour but d ' introduire la m6trologie des vitesses de groupe (signal), laquelle, actuellement encore, souffre de graves lacunes.

C'est pourquoi nous nous &ions impos6, a priori, quatre sortes de contraintes (w 1.1.2.), h savoir :

a) Critkre de repbre directement accessible ~ l'expd- rience

Le simple choix du barycentre de l 'onde (ou du signal) fond6 sur la densit6 d'6nergie de cette grandeur - - utilis6e telle qu'elle est observ6e - - remplit int6grale- ment la condition requise.

En tant que crit6re global, il utilise la totalit6 de l ' information acquise et supprime les 6cueils auxquels l 'exp6rimentateur se heurtait avec des crit6res partiels : par exemple, la m6thode du maximum d 'un paquet d 'ondes ou encore celle du front.

b) Absence de toute hypothbse prdalable sur la forme de l'onde origine ou sur celle du signal d'dmission

Les centres d 'onde ou de signal sont d6termin6s directement ~ partir des donn6es brutes de l'exp6- rience et selon une formule universelle.

N' impliquant en particulier aucune contrainte sur l '6tendue du spectre, ils permettent de s'affranchir de l 'hypoth6se restrictive d 'un spectre fortement 6troit et, de ce fair, nous conduisent bien au-delh du ~< groupe ~>.

c) Simplicitd algorithmique autorisant un calcul numdrique rapide

Le calcul des premiers moments, soit le centre d 'onde (28) soit le centre de signal (44), fait appel ~t

V.2. RI~SULTATS CONNEXES ET P R O L O N G E M E N T S

Le fait de parvenir h des rep6res convenables et d 'en 6tudier le comportement d6taill6 nous a cependant entraln6 beaucoup plus loin que nous ne l 'avions pr6vu :

Le rdsultat le plus marquant est que centre d 'onde et centre de signal sont dot6s d ' un mouvement uniforme. On a not6 que cette propri6t6 est vraie quelle que soit la complexit6 du champ et quelle que soit l '6volution de la loi de dispersion, m~me au sein de zones anormales. S'y ajoute encore la propri6t6 fondamentale d' invariance de ces deux r6f6rences, l '6gard de la d6formation qu 'entralne la dispersion.

Nous pensons avoir trouv6 ici l ' indication certaine de ce que le barycentre 6nerg6tique constitue le bon rep6re pour ce type de probl6me.

Toujours dans le cas le plus g6n6ral et en rejetant route approximation, nous sommes parvenu h expri- mer les vitesses de propagat ion des barycentres 6ner- g6tiques : vitesse d 'onde et vitesse de signal. En tant que moyennes d 'un certain opOrateur U dans des Otats d6finis respectivement par l 'onde et le signal, ces quantit6s poss6dent a priori des valeurs diff6rentes.

Cependant, dans le cadre plus restreint (bien que susceptible de recouvrir la majorit6 des conditions exp6rimentales) d 'un spectre Otroit, ces deux valeurs de vitesses convergent vers une valeur unique : celle de l 'op6rateur U lui-m~me, prise ~ la fr6quence centrale.

Nous touchons ici le second r6sultat important de cette 6tude, car cet op6rateur U - introduit spontan6- ment et en toute inddpendance au cours de la th6orie - -

do~ s'av6re coincider avec l 'expression m~me, -dk-' de

la vitesse de groupe (signal) traditionnelle.

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 11-12, 1983 12/17

G. BONNET. -- AU-DELA D 'UNE VITESSE DE GROUPE 483

Ainsi, la consid6ration des centres d 'onde et de signal ne fait que prolonger et g6n6raliser une doctrine classique et unanimement reconnue ; sans &re en d6saccord avec celle-ci sur quelque point que ce soit. Bien plus, il nous a 6t6 ais6 de montrer que, dans cette convergence vers la vitesse de groupe, l '6cart pr6sent6 par la vitesse d 'onde ou par la vitesse de signal est, en dernier ressort, proport ionnel au carr6 de la largeur spectrale.

La loi hyperbolique d '6volution des 6tendues qua- dratiques de l 'onde ou du signal - - valable 6galement dans des conditions absolument g6n6rales et sans approximation - - m6rite une certaine attention. Elle permet de corriger l 'approximation lin6aire connue classiquement ; laquelle n 'est en fait acceptable que pour un spectre tr6s 6troit et encore en phase initiale seulement.

De plus, elle apporte une interpr6tation de port6e g6n6rale aux techniques de compression d'impulsion par ligne dispersive, mises en 0euvre dans des cas particuliers que l 'on supposait isol6s.

Les op6rateurs direct et inverse de vitesse de groupe jouent ici 6galement un r61e majeur, puisque c'est leur variance qui d&ermine l 'asymptote des lois d'61argis- sement.

Afin de mieux saisir le m6canisme de la d6formation en d6passant la seule consid6ration d 'un second moment, nous nous sommes pench6 sur la loi de d6formation de l 'ampli tude complexe, le v6ritable v6hicule de l ' information de l 'onde ou du signal.

Cette 6rude n ' a certes 6t6 entreprise que pour le cas d 'un spectre 6troit, lui donnant alors un caract6re quelque peu restreint, mais profond6ment instructif. C'est ainsi que nous avons pu d6monter le double m6canisme de vitesse de propagation du centre d 'amplitude (en l 'occurrence, vitesse de groupe) et de d6formation, dans sa globalit6, de l 'amplitude complexe. I1 peut ~tre int6ressant pour les applications pratiques de noter l 'analogie de forme, existant entre la loi de d6formation de l 'ampli tude et celle de la diffraction de Fresnel ; avec la m~me cons6quence de tendance asymptotique vers une transformation de Fourier.

Une &ude d 'un milieu dispersif qui ignorerait son absorption serait, non seulement incompl6te, mais critiquable sur le fond. L ' in t roduct ion de l 'absorption s'av6re cependant inextricable si l 'on d6sire la traiter dans le cadre le plus g6n6ral. Cet obstacle est une cons6quence du principe de causalit6, qui associe dispersion et absorption par des relations tr6s complexes. C'est pourquoi nous avons adopt6 un moyen terme, consistant /l introduire l 'absorption dans le cadre limit6 d 'un spectre 6troit ; ce qui nous a permis de justifier un mod61e d'affaiblissement du type exponentiel, avec un d6cr6ment constant.

M~me darts ces conditions heuristiques, nous avons constat6 que l '6tude du centre d 'onde pose encore des probl6mes ; s au f / t ne consid6rer que des ondes

13/17

compactes : auquel cas, toutes los propri6t6s acquises dans le cadre non dissipatif se conservent. La raison fondamentale de ces difficult6s est que l 'affaiblissement d6truit la liaison biunivoque entre fr6quences spatiale et temporelle d 'un champ.

Par contre, le centre de signal ne requiert aucune restriction, en dehors de celle apport6e par l'6troitcsse (tr6s relative) du spectre : son comportement et l 'ensemble des r6sultats qui en d6coulent sont en tous points les mSmes qu 'en l 'absence d'affaiblissement.

Sachant que les probl6mes rencontr6s habituel- lement au sein des t616communications ne concernent que la not ion de signal (consid6r6 dans sa propagation entre le lieu d'6mission et le point de r6ception), ce dernier r6sultat apporte a posteriori une forte justifi- cation & l '6tude d6taill6e ant6rieure du cas non dissipatif.

II conforte de ce fait notre choix d 'une m&hodologie fond6e sur les moments de la puissance instantan6e normalis6e du signal de r6ception. Dans une certaine mesure, les cons6quences que nous avons pu en d6duire sur l 'allure de la vitesse de signal et sur l '6volution de la dur6e du signal se t rouvent ainsi potentiellement valid6es pour les conditions usuelles d 'absorpt ion rencontr6es dans la r6alit6 physique.

A n n c x c A

IDENTITI~ DES CEN TRES DE SIGNAL : S IG N A L RI~EL, S IGNAL EN QUADRATURE,

S IG N A L ANALYTIQUE ET A M P L I T U D E C O M P L E X E

1. S igna l r~el.

a) Soit ~ un signal r6el, ayant pour repr6sentations :

(A-l) X(t) ~- x(v),

X(t) est r~el par hypoth6se : X --= X*.

b) On suppose que la repr6sentation-T est soumise l 'hypoth6se H du w 1.2.2.1. :

t X ( t ) ~ s ' dt

II en r~sulte que X et x ont une norme finie :

Ilxll = Ilxll < + oo.

c) Lo centre de signal Tx sera d6termin6, en transposant la d~finition (44), (45) du w II.4.2. par :

(A-2) < X, t X > - - 1 < x , dx]dv >

Tx = < t > x - - i lx l l 27: i Ilxi[ 2

ANN. T~L]~COMMUN., 38, n ~ 11-12, 1983

484 G. BONNET. -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

2. Signal en quadrature.

Celui-ci, aj, a p o u r repr6senta t ions Y( t ) ~,~ y(v) qui sont telles que :

( A - 3 a ) Y ( t ) = ( X * ~t)~t) ,

(A-3 b) y(v) = - - i sgn(v) x(v),

off sgn(v) est la fonction signe d6finie pa r :

---- q- 1 p o u r v > 0,

(A-4) sgn(v) 0 p o u r v = 0,

- - 1 p o u r v < 0

(la d6 t e rmina t ion sgn(0) = 0 s ' i m p o s e en t an t que t r ans fo rm6e de Four i e r de i[rct, fonc t ion impaire) . Y(t ) est r6elle, selon (A-3 a), pu i sque X( t ) est r6elle : Y = y * .

Le cent re de signal associ6 au signal en q u a d r a t u r e sera d6fini a priori pa r :

< Y , t Y > - - 1 < y , d y / d v >

T, = < t > , - - IIYII 2 - - 2 r ~ i Ilyll 2

A u n u m 6 r a t e u r de Ty, la d6r iva t ion de : y(v) = - - i sgn(v) x(v), cf. (A-3 b), d o n n e :

dy dx dv - - i sgn(v) ~ - - 2 i x(0) ~(v),

&off il r6sulte :

dy dx < Y' dvv > = < x, sgn2(v) ~ > q-

2 x(0) < x sgn(v), ~ > .

Or, d ' u n e p a r t : sgn2(v) = 1 sauf en x = 0, de mesure nulle ; d ' a u t r e pa r t : sgn(0) = 0, cf. (A-4). Pa r suite, l ' o n a :

(A-5) dy dx

< Y ' - ~ v > = < X ' d v >=~ < Y ' t Y > = < X ' t X > "

A u d6nomina t eu r , (A-3 b) donne :

(A-6) I lyll = = I lxl l 2 ~ I lyl l 2 = l l x l l 2

P a r suite, le cent re de signal de ad en q u a d r a t u r e est le m S m e que celui du signal ~ :

(A-7) T, = Tx.

3. Signal analytique.

De p a r sa d6finition, le signal ana ly t ique 5 est tel que :

3 = 3; + i~J.

Ses repr6sen ta t ions sont done Z( t ) ~- z(v) telles que :

(A-8 a) Z( t ) = X( t ) -q-- i Y(t) ,

(A-8 b) z(,~) = x(v) + iy (v) = 2 x(u) 8 ( - 1)(u).

ANN. Ts 38, n ~ 11-12, 1983

a) Normes.

On a, (A-8 a) :

I lz l l 2 - - l l x l l 2 + IIYII 2 - 2 Im < X, Y > .

Puisque X et Y sont r6els, cette par t ie imagina i re est nulle. L '6gali t6 (A-6) donne alors :

(A-9 a) I l z l l ~ = 2 I lx l l 2, [Izll 2 = 2 [lxI[ 2.

b) Produits scalaires.

La re la t ion (A-8 a) donne :

< Z , t Z > = < X , t X > + < Y, t Y > 2 I m < X , t Y > .

La par t ie imagina i re est nulle et l '6galit6 (A-5) donne :

(A-9 b) dz d x

< Z , t Z > = 2 < X , t X > = ~ < z , ~ v > = 2 < x , ~ v > .

c) Centre de signal analytique.

En t r ansposan t (44) et (45), ce po in t sera d6fini pa r :

(A-10) < Z, t Z > - - 1 < z , d z / d u >

T= = < t > ~ = i lz l12 = 2r~-----i Ilzll 2

I1 r6sulte de ee qui pr6c6de, cf. (A-9 a-b), que Tz se con fond avec le cent re du signal ~ :

(A-11) Tz ---- Tx .

4. Amplitude eomplexe.

Chois issons une f r6quence por teuse Vo ; l ' a m p l i t u d e complexe ~ du signal ana ly t ique 3 ddcoule de la d6compos i t ion :

Z( t ) ----- A(t ) e z='~0t.

Ses repr6senta t ions sont donc :

(A-12 a) A( t ) = Z( t ) e -2,~'~0t,

(A-12 b) a(v) = z(v q- %).

a) Normes.

I1 en d6coule i m m 6 d i a t e m e n t que :

(A-13) I la l l 2 = [Izll 2, IIAII 2 - - I l z l l 2

b) Produits scalaires.

De m ~ m e (A-12 a) donne d i rec tement :

(A-14) da dz

< A, tA > = < Z, t Z > =~ < a, -~v > = < z, -d-~ > .

c) Centre d' amplitude.

C o n f o r m 6 m e n t /t (44), (45), ce po in t sera chois i selon :

(A-15) < A, tA > - - 1 < a , da/dv >

Z o - - - - < t > A - - i1,~112 - 2 ~ i 110112

14/17

G. B O N N E T . -- A U - D E L A D ' U N E VITESSE DE G R O U P E

I1 se confond donc avec le centre de signal analytique :

(A-16) Ta = Tz .

5. Moments < t k>.

Le m~me raisonnement conduit sans peine h des r6sultats similaires concernant les moments d 'ordre k quelconque : ils ont tous la m~me valeur dans l 'un des quatre ~tats pr6c6dents (il suffit de se souvenir de

1 dkx ce que t kX ~-~ (__ 2 ~z i )~ dv k )"

En particulier, la largeur de bande B e s t la m~me dans chaque 6tat.

En conclusion, on a la r6gle XIII.

R~gle X I I L

L ' o p & a t e u r t ~ ( temps) possbde la m~me moyenne dans chaeun des Otats assoei~s gt :

un signal progress i f r~el ~ ,

- - son signal en quadrature aj,

- - son signal analytique 3,

- - l 'ampHtude eomplexe de ce dernier, A :

V k ~ Z + .

Ces quatre grandeurs conduisent donc toutes d la m~me ddtermination du centre de signal et par suite g t la ms vitesse de signal ; ainsi qu'd la m ( m e d~termination de la largeur de bande.

A n n c x c B

REPRI~SENTATION D ' U N E F O N C T I O N PAR U N E DISTRIBUTION TEMPI~REE :

SI~RIES DE M O M E N T S ET SI~RIES A S Y M P T O T I Q U E S

On part de la paire de Fourier :

H(t) ~- h(v),

en supposant que H(t) est une fonction de d6crois- sance rapide :

lira t k H(t) ----- 0, v k ~ Z+ (entier positif ou nul).

Il en r6sulte que :

- - l ' e x i s t e n c e de la transform6e de Fourier h(v) est garantie,

- - h(v) est une fonction ind6finiment d6rivable,

- - H(t) est dot6e de moments de tous ordres : ~k = < tk, H > .

15/17

485

1. Formules des moments.

Soit @(t) une fonction quelconque de l 'espace de Schwartz 8, i.e. de d6croissance rapide et simultan6- ment ind6finiment d6rivable.

Consid6rons alors le produit scalaire :

< ~, H :> = f op*(t) H(t) dt. J R

Cette application lin6aire et continue de 8 dans le corps des complexes autorise ~ consid6rer la fonct ion H(t) comme une distribution tempOrde, dont nous allons rechercher une expression 6quivalente.

D6veloppons ~ ( t ) en s6rie de Mac-Laurin autour d 'un point quelconque to ; on a l '6quivalence :

(B-l) < qb, H > = _ ~ ~(k)*(to) < ( t ~ t o ) ~ , H > ,

dont les propri6t6s postul6es de H(t), ainsi que celles de qb(t), garantissent l'existence.

Utilisons la propri6t6 des d6riv6es de la distribution de Dirac de support to , 6crites ~t~0 k) ou ~k)(t - - to) :

< ~ , ~(k) > = (__)k ~(k)*(t0)" t o

I1 d6coule de (B-l) que :

+ ~ (__)~ <qb, H > = <(I), ~ ~ < ( t - - t o ) k , H > ~ ( k ) ( t - - t o ) > .

k = O

Cette 6galit6 6tant vraie pour tout choix de qb(t) dans 8, on en d6duit la f o rmu le des moments ( temporelle) :

(B-2) H(t) = < 1, H > ~ ( t - - t o ) +

~ (--)~ k= l ~ < (t ~ to) k , H > ~(k)(t - - to).

La fonction H(t) apparMt ainsi sous la forme d 'une distribution temp6r6e de support ponctuel to (dont le choix est arbitraire). Elle est construite sur les moments de H(t) centr6s sur to, dont l 'hypoth6se sur H assure l 'existence.

Le m~me raisonnement, fond6 sur une fonct ion g(v) de la fr6quence v, suppos6e de d6croissance rapide, conduirait h la f o rmu le des moments ( fr~- quentielle) :

(B-3) g('0 = < 1, g > 8 ( v - - % ) +

+~ (--)~ k=l ~ < (~ - - ~o)L g > ~ ) ( ~ - - Vo),

qui est exactement de m~me structure que la version temporelle.

Exemple

Prenons pour fonct ion g la densit6 spectrale-S d'6nergie d 'une onde (w 11.1.3.). Soit, cf. (23) :

I so ( f ) l 2 g ( f ) -- ilsoll 2 ( f : fr6quence spatiale).

ANN. T~L~COMMVN., 38, n ~ 11-12, 1983


Nous savons que g ( f ) j o u e le r61e de densit6 pour la d6terminat ion de la m o y e n n e de la vitesse de g roupe ; ce qui donne la vitesse d ' onde . On a, d 'apr6s (B-3) :

g ( f ) ----- 3 ( f --)Co) - - < [ - - f o >~ 3 ' ( f - - f o ) + 1 - < ( [ - - f o ) 2 > ~"(f--fo) q- 2

~ (--)~ k= a ~ < ( [ - f ~ > 8(~)(f - - f o ) ,

off :

< S o , ( f - - f o ) ~so > < ( t - - S o ) ~ >~ = ilsoll ~

est la moyenne de l ' op6ra teur ( [ - fo) ~ dans l '6tat So(f), de densit6 g ( f ) .

Cette fo rmula t ion de g ( f ) permet , avec beaucoup de clart6, de com prend re le c o m p o r t e m e n t d ' une onde de spectre 6troit. Utilis6e dans V~ = < g, U > , elle donnera i t d i rec tement l 'express ion (55) du w II.5.3.1.

2. Formules des spectres .

2.1. Formulation temporelle.

On a la paire de Four i e r :

1 (t - - to) k ~-- (__ 2 r: i) k 8(k)(v) e-2~:lvt~

et la rSgle de Parseval donne , pou r le m o m e n t centr6 de (B-2) :

1 < (t - - to) k, H > - - < 8 (k), h e 2nl~t~ > ,

(2 ~ i) k (--)~

- - (2 r~ i) k [h~~ ) q- 2 ~z i to] ~,

off l 'on 6crit, symbo l iquemen t :

(B-4) [hr > q - 2 r ~ i t o ] k = h(u) e2="~o =o

D 'o f i la formule des spectres (directe) :

(B-5) I H( t ) = h(0) 8 ( t - - t o ) q -

i

I

~ [hto ) q- 2 = i t o ] ~ ~=1 ( 2 7 : i ) ~ ( k ! ) 8 ( ~ ) ( t - - t o ) .

Celle-ci fait in tervenir les d6riv6es ~t l 'or igine de h(v) ~- H( t ) don t l 'hypothSse faite sur H( t ) garant i t l 'existence ~t t o u s l e s ordres.

2.2. Formulation fr&luentielle.

Le m~me ra i sonnement s ' app l ique /t la formule des m o m e n t s fr6quentielle, en faisant intervenir la trans- form6e de Four i e r :

G( t ) ~- g(,~).

On utilise la propri6t6 :

1 (~ ~ V~ ~-- ( + 2 7: i) k 8(k)(t) e+2~l%t

et l ' on about i t /t la formule des spectres (inverse) :

(B-6)

avec :

(B-7)

g(v) = G O ) 3(v - - Vo) -q-

+~ [G<o) - - 2 = i Vo] k kz"=l ( - - 2 r~ i) k (k !) ~(~) (~ - - "o) ,

[Gto) - - 2 r~ i Vo] k = ~ G( t ) e - 2=,~0, , = o

Cette fo rmula t ion utilise les d6riv6es ~t l 'or igine de la t ransform6e de Four i e r G ( t ) ~ g(v). Sa s tructure diff6re un iquement de celle de la fo rmula t ion temporelle (B-5) par la subst i tu t ion de - - i ~t q- i ; ce qui est la cons6quence des propri6t6s de semi-involut ion de la t rans format ion de Four ier .

3. S~ries asymptot iques .

On obt ient tr6s fac i lement un d6veloppement asymp- to t ique d ' une fonc t ion H(~ t ) - - ou g(0~, 0 - - dans laquelle 0~ est un pa ram6t re r6el des t in6 / t p rendre des valeurs 61ev6es : il suffit de faire appel /t la propri6t6 la plus f6conde de la t r an s fo rma t ion de Four ie r :

H(~t) ~ ~ [ h si H( t ) ~ h(,~)

et la formule des spectres donne le r6sultat recherch6.

Pour simplifier, l imi tons-nous au cas to = 0.

N o u s obtenons, en p o r t a n t dans (B-5) la fonct ion H(~t ) au lieu de H(t) , le d6ve loppement asymptot ique tempore l :

(B-8) 1 [ -t- ~o h(~,(0) 18(k)( t ) ]

H(cct) = ~ ] h(0) 8 (0 ,=1 (2 r: i) k (k !) :r "

Le m~me ra i sonnement , fond6 sur : l(t) g(0~,~) ~--- [ ~ G ,

et appliqu6 ~t la fo rmule des spectres inverses (B-6), pou r le cas simplifi6 Vo = 0, condu i t au d6veloppe- men t asympto t ique fr6quentiel :

(B-9)

g(~v) --= G(0) 8(v) q-,=lZ (__2rei)k (k !) ~* "

Prenons l 'exemple, utile p o u r le w III.3., du noyau intdgral de Fresnel :

exp{i r~ m z z} (m e R).

ANN. Tt~L~COMMUN., 38, n ~ 11-12, 1983 16/17

G. BONNET. -- AU-DELA D'UNE VITESSE DE GROUPE 487

Celui -c i en t r e d a n s le c a d r e p r6c6den t , avec 0c = ~ / [~ - - ; m a i s n o u s le t r a i t e r o n s d i r e c t e m e n t p a r la f o r m u l e des spectres (B-5).

P o s o n s d o n e : H(z) ----- e lr~mz2 ::> h(v) : f i ~ e -lnv2/m.

U n d 6 v e l o p p e m e n t e n s6rie en t i6re de h(v) f o u r n i t ses d6riv6es /t I ' o r i g i n e :

h(2p)(0) : V m l / ~ - - ( 2 p-) ' p [ ( - ~ ) P ' , h(2p+ 1 ) ( 0 ) : 0 .

D ' o f i , e n p o r t a n t d a n s (B-5), le d 6 v e l o p p e m e n t a s y m p t o t i q u e en l ira v :

(B-IO)

e I=mz2 = ~(z) -[- • (4 rOY ( p !) m v " p = l

Manuscri t re;u le 1 cr mars 1983,

acceptd le 5 novembre 1983.

B I B L I O G R A P H I E

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Au delà d’une vitesse de groupe: vitesse d’onde et vitesse de signal