Ba Elements Simples EC2

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Cours de - Bton Arm -

_______________________________________________

Ce n'est pas un cours, mais une compilation d'lments permettant de comprendre la philosophie de l'Eurocode et parfois de justifier partiellement l'origine des expressions en particulier pour le cisaillement, le calcul de louverture des fissures. Cela peut vous aider de crer ou adapter votre propre cours. Si vous dtectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer ladresse : [email protected]

Bibliographie j j j j j Application de leurocode 2. Calcul des btiments en bton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de lcole des Ponts et Chausses Tome 7 Conception et calcul des structures de btiment LEurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de lcole des Ponts et Chausses Poutres en bton : effort tranchant et bielles dappui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Poutres et dalles en environnement agressif Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Calcul des structures en bton Henri Thonier site : btp.equipement.gouv.fr

Albouy Christian Lyce Le Garros Auch

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SOMMAIRE1. LES POUTRES _______________________________________________________________ 7DEFINITION GEOMETRIQUE REGLEMENTAIRE DUNE POUTRE.......................................................7 S CHEMATISATION DE LA STRUCTURE : CHOIX DES LIAISONS AUX APPUIS, PORTEES A CONSIDERER, LARGEUR PARTICIPANTE DE LA TABLE DE COMPRESSION ......................................................................8 LARGEURS PARTICIPANTES (EFFICACES) DES TABLES DE COMPRESSION (POUR TOUS LES ETATS LIMITES) 8 PORTEES UTILE (DE CALCUL) DES POUTRES ET DALLES DANS LES BATIMENTS 9 LES APPUIS 11 1.1. 1.2.

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.

2. ANALYSE STRUCTURALE : METHODES DE CALCUL PERMETTANT DE DETERMINER LES SOLLICITATIONS ( MOMENT DE FLEXION, EFFORT TRANCHANT )_______________________________________________ 142.1. A NALYSE ELASTIQUE LINEAIRE ...............................................................................................14 2.2. A NALYSE LINEAIRE AVEC REDISTRIBUTION LIMITEE DES MOMENTS ............................................14 2.3. A NALYSE PLASTIQUE : (HORS PROGRAMME BTS) ....................................................................17 2.4. ANALYSE NON-LINEAIRE (HORS PROGRAMME BTS) ..................................................................18 2.5. A PPUIS DE RIVE.....................................................................................................................19 2.6. MODELISATION ......................................................................................................................19 2.7. VALUATION DES SOLLICITATIONS. LES DIFFERENTES METHODES DE CALCUL............................19 POUTRES CONTINUES : RAPPEL DE LA RDM. 19 THEOREME DES 3 MOMENTS : RAPPELS 19 QUATIONS DU MOMENT DE FLEXION ET DE L'EFFORT TRANCHANT RELATIVES A UNE TRAVEE I. 21 DETERMINATION DES ACTIONS DE CONTACT. 21

2.7.1. 2.7.2. 2.7.3. 2.7.4.

3.

CAS DE CHARGEMENT ________________________________________________________ 22

4. VALUATION DES CHARGES TRANSMISES PAR LE HOURDIS AUX POUTRES DE BORDURE ET DES POUTRELLES AUX POUTRES.__________________________________________________________________ 26 5. TUDE DES DALLES __________________________________________________________ 335.1. DEFINITION DUNE DALLE .......................................................................................................33 5.2. DEFINITION DUNE POUTRE DALLE ...........................................................................................33 5.3. DALLES PLEINES COULEES EN PLACE ......................................................................................34 ARMATURE DE FLEXION 34 ARMATURES DES DALLES AU VOISINAGE DES APPUIS 34 ARMATURES D'ANGLE 35 ARMATURES DES BORDS LIBRES 35 ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT 35 5.4. MODELISATION ......................................................................................................................36 5.5. 5.5.1. 5.5.2. DALLE PLEINE UNIQUE SIMPLEMENT APPUYEE SUR SES 4 COTES AVEC V !

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5.

N x " 0,5 ...............37 N y37 38

DALLES ISOSTATIQUES ANNEXE : DALLES CONTINUES DONT LE RAPPORT DES PORTEES

N V ! x " 0,5 N y

6. LES APPUIS DE RIVE EFFORTS AUX ABOUTS DES POUTRES : BIELLE DABOUT ET ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS D'EXTREMITE: 9.2.1(4) __________________________________ 406.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1. DETERMINATIONS DES ACTIONS DAPRES LEN 1992-1-1 : APPUI SIMPLE DEXTREMITE ..............40 EXPRESSION DE LEFFORT DE TRACTION A ANCRER 40 MODELISATION DE LA BIELLE DABOUT 40 QUILIBRE DU TRONON DE BIELLE DABOUT (UNIQUEMENT LE BETON) 41 VERIFICATION DE LA BIELLE EN COMPRESSION : 42Page 2/122 11/01/2012


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6.1.5. 6.1.6.

6.2.1.

6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4.

6.6.1. 6.6.2. 6.6.3. 6.6.4.

VERIFICATION DU LIT INFERIEUR SUR APPUI 42 EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES 43 6.2. E FFORTS AUX ABOUTS DES POUTRES ET ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS D'EXTREMITE: BIELLE DABOUT METHODE THONIER .................................................................44 JUSTIFICATION 44 6.3. P ROPOSITION A PARTIR DU CALCUL DE L ANGLE DINCLINAISON DE LA BIELLE D ABOUT DETERMINE PAR M. THONIER .............................................................................................................................47 VERIFICATION DE LA COMPRESSION DANS LA BIELLE DABOUT 49 VERIFICATION DE LAPPUI CONSTITUE PAR LE POTEAU : 49 ANCRAGE DES ARMATURES LONGITUDINALES 50 EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES 50 6.4. METHODE DE M THONIER ......................................................................................................51 6.5. METHODE DE M THONIER MODIFIEE........................................................................................56 B IELLES DABOUT ; METHODE BASEE SUR LA THEORIE DES BIELLES ET TIRANTS (ARTICLE DE M. 6.6. CORTADE) ......................................................................................................................................60 VERIFICATION DE LAPPUI CONSTITUE PAR LE POTEAU : 61 ANCRAGE DES ARMATURES LONGITUDINALES 61 VERIFICATION DU LIT INFERIEUR SUR APPUI 62 EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES 62 6.7. COMPARAISON DES DIFFERENTES METHODES .........................................................................62

7.

APPUIS INTERMEDIAIRES DE POUTRE CONTINUE ______________________________________ 63MODELISATION ......................................................................................................................63 APPUI INTERMEDIAIRE (FIG. 6.26) METHODE BASEE SUR LA THEORIE DES BIELLES ET TIRANTS ...65 7.2. 7.3. A NCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS INTERMEDIAIRES (ASPECT REGLEMENTAIRE) ............................................................................................................................66 7.1.

8.

- TRACTION SIMPLE - LES TIRANTS _______________________________________________ 67

8.1. - DEFINITION ......................................................................................................................67 8.2. - JUSTIFICATION A LE.L.U. ...............................................................................................67 8.2.1. - HYPOTHESES : 67 67 8.2.2. - SOLLICITATION DE CALCUL : N Edu 8.2.3. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES : 67 8.3. JUSTIFICATION A L'E.L.S : ................................................................................................69 8.3.1. - HYPOTHESES : 69 69 8.3.2. - SOLLICITATION DE CALCUL : N ser 8.3.3. METHODE 69 8.3.4. : CALCUL DE LOUVERTURE DES FISSURES 70 8.4. A RMATURES MINIMALES .........................................................................................................72 8.4.1. POUR LA MAITRISE DE LA FISSURATION 72 y LA MAITRISE DE LA FISSURATION EST SUPPOSEE ASSUREE SAUF DEMANDE SPECIFIQUE DES DPM POUR : 73 y ARMATURES TRANSVERSALES : CE SUJET NEST PAS ABORDE DANS LEC2, NOUS RESPECTERONS NEANMOINS LES DISPOSITIONS SUIVANTES : 73 73 8.4.2. POUR LA CONDITION DE NON-FRAGILITE : W s ! f yk ON RETROUVE LA CONDITION DE NON FRAGILITE BAEL 1999 8.4.3. ARMATURES TRANSVERSALES 73 73

9.

- COMPRESSION SIMPLE - LES POTEAUX - ____________________________________________749.1. 9.2. DEFINITION GEOMETRIQUE .....................................................................................................74 JUSTIFICATION A L'E.L.U :.................................................................................................75

9.2.1.

75 - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES : As 9.3. - DIMENSIONNEMENT DU COFFRAGE .............................................................................75 9.3.1. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES TRANSVERSALES 76 9.3.1.1. - Diamtre J t et espacement des cours scl ,t 76Page 3/122 11/01/2012


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9.3.2. 9.3.3.

- ARMATURES TRANSVERSALES : 79 - SECURITE 79 9.4. METHODES DE CALCUL DES POTEAUX .....................................................................................80 9.4.1. METHODE GENERALE DERIVEE DE LA METHODE FAESSEL 80 9.4.2. METHODE DE LA RIGIDITE NOMINALE 83 9.4.2.1. Calcul de la rigidit nominale clause 5.8.7.2 83 9.4.2.2. Organigramme mthode de la rigidit nominale 86 9.4.2.3. 87 9.4.3. METHODE DE LA COURBURE NOMINALE 87 9.4.3.1. Organigramme : mthode de la courbure nominale 87 9.4.3.2. Mthode de la courbure nominale : paramtres 88 9.5. METHODE SIMPLIFIEE PROPOSEE PAR M. H. THONIER ...........................................................90 9.5.1. CONDITIONS DEMPLOI 90 9.5.2. FORMULE DU TYPE : 9.6. 9.7. 9.8. 9.9.

N Rd ! E k h Ac f cd Vf yd

?

A

92

ORGANIGRAMME POTEAU RECTANGULAIRE .............................................................................93 ORGANIGRAMME POTEAU CIRCULAIRE ....................................................................................94 ORGANIGRAMME POTEAU RECTANGULAIRE .............................................................................95 ORGANIGRAMME POTEAU CIRCULAIRE ....................................................................................96

10.

CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET RECTANGULAIRES SOUS CHARGE CENTREE _________________ 9710.1. S OL DE FONDATION ..............................................................................................................97 10.2. DIAGRAMME DES MOMENTS POUR UNE SEMELLE FILANTE. ......................................................97 10.3. E XPRESSION DU MOMENT REGLEMENTAIRE ...........................................................................98 10.4. MODELISATION BIELLES-TIRANT EQUIVALENTE ........................................................................99 10.5. CALCUL DES ARMATURES......................................................................................................99 10.6. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ..........................................................................................100 DIAMETRE MINIMAL DARMATURES 100 CONDITION DE NON FRAGILITE 100 L ARTICLE 9.8.2 RELATIF AUX SEMELLES DE FONDATION DE POTEAUX ET DE VOILES N INDIQUE PAS DE SECTION MINIMALE DARMATURES. ..................................................................................................100 ENROBAGE 100 SEMELLES SOUS POTEAUX CIRCULAIRES 100 TAT LIMITE DE SERVICE VIS-A-VIS DE LA FISSURATION (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES) 100 ARMATURES MINIMALES DE CHAINAGE (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES) 100 ANCRAGES DES ARMATURES 100 - ARMATURES EN ATTENTE RELATIVES AU FERRAILLAGE DES POTEAUX OU VOILES 100 10.7. REMARQUE : POUR OBTENIR DES SECTIONS DARMATURES IDENTIQUES DANS LES 2 DIRECTIONS : ................................................................................................................................101 10.8. V ERIFICATION DE NON-POINONNEMENT .............................................................................102 10.9. A NCRAGE DES BARRES.......................................................................................................104

10.6.1. 10.6.2. 10.6.3. 10.6.4. 10.6.5. 10.6.6. 10.6.7. 10.6.8.

11.

MURS DE SOUTENEMENT (ANALYSE DE LA STABILITE) ___________________________________10611.1. RAPPELS DE LEC 7 ...........................................................................................................106 11.2. E XEMPLE DE METHODE ANALYTIQUE SIMPLIFIEE DE CALCUL DE LA CAPACITE PORTANTE ANNEXE D 107 SYMBOLES UTILISES DANS LANNEXE D 107 CONDITIONS NON DRAINEES 107 CONDITIONS DRAINEES 108 11.3. A NNEXE E DE EC.7.1 (INFORMATIVE) EXEMPLE DE METHODE SEMI-EMPIRIQUE POUR L'ESTIMATION DE LA CAPACITE PORTANTE .......................................................................................109 11.4. V ERIFICATION DE LA STABILITE EXTERNE DES MURS DE SOUTENEMENT..................................110 DONNEES, HYPOTHESES 110 CHOIX DU TYPE DE MUR 110 PREDIMENSIONNEMENT 110 11.5. JUSTIFICATION DE LA STABILITE EXTERNE ............................................................................111 GENERALITES 111Page 4/122 11/01/2012

11.2.1. 11.2.2. 11.2.3.

11.4.1. 11.4.2. 11.4.3. 11.5.1.


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11.6. HYPOTHESES .....................................................................................................................114 11.7. V ERIFICATION QUE LON PEUT ENVISAGER A LU.4.1 .............................................................115

12. 13. 14. 15.

JOINTS DE DILATATION _______________________________________________________ 116 ELEMENTS EXPOSES (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES) ___________________________ 116 CHAINAGES _______________________________________________________________ 117 VOILES __________________________________________________________________ 120


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1.

Les poutres1.1. Dfinition gomtrique rglementaire dune poutre

.EN 1990 A1.1 1.6

3 poutre - cloisonpoutre 0,3 poutre cloison poutre mince 1

L h poutre

L porte h hauteur totale

... 5.3.1 (3) )12)

5

bw h

poutre courante

poutre large

poutre-dalle assimil une dalle

h... 5.3.1 (3) (4) bw u 150pour pouvoir loger au moins 2 aciers longitudinaux et un cadre.

bwLa largeur

bw

recommande dune poutre doit vrifier

Dfinition dune poutre-dalle : Dalle prsentant 2 bords libres. : Remarque : Cette appellation nest pas utilise dans lEC2

5dalle

L h

L , l porte h hauteur totaleUne dalle de dimensions

lx v ly

l x e l y est telle que :

l x u 5h ... 5.3.1 (4)

Une dalle principalement soumise des charges uniformment rparties pourra tre considre porteuse dans un sens dans les cas suivants : y elle prsente deux bords libres (sans appuis) et sensiblement parallles : on la dnomme poutre-dalle. y elle correspond la partie centrale d'une dalle pratiquement rectangulaire appuye sur quatre cts et dont le rapport de la plus grande la plus faible porte est suprieur 2.

Si on notey

V!

Lx lx ou V ! Ly ly

si

V

0,5 la dalle porte dans un sens celui de Lx

...5.3.1 (5) )12)

Dalle confectionne partir de prdalles, le sens de porte correspond au sens de pose.

Dans les btiments, on peut ne pas tenir compte, dans la dtermination des sollicitations, des dformations dues leffort normal et leffort tranchant si lon prvoit quelles seront infrieures 10% des dformations de flexion. Ce qui est le cas pour les dalles et pour les poutres dont la hauteur est infrieure au cinquim e de la porte.


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1.2.

Schmatisation de la structure : choix des liaisons aux appuis, portes considrer, largeur participante de la table de compression ...5.3.2 .1

1.2.1. Largeurs participantes (efficaces) des tables de compression (pour tous les tats limites)Ces mmes valeurs de largeurs participantes sont retenues pour les justifications des sections. On peut admettre des conditions de contraintes uniformes sur celles-ci. Pour lanalyse, lorsquune grande prcision nest pas indispensable, on peut considrer que la largeur est constante sur toute la porte. Cette section en t ne peut tre considre que si le moment est positif, donc sur les tronons de poutre situs entre les points de moment nul.Figure 5.2 Paramtres dterminant la largeur participante

hf

beff1

beff beff2

h b1 b1 bw b2 b2

bLa largeur participante (efficace) dune poutre en T symtrique peut tre calcule de la faon suivante :

beff ! beff ,i b w e b {5.7}

Avec

beff ,i ! 0,2bi 0,1L0 e 0,2 L0 {5.7a}

et

beff ,i e bi {5.7b}

L0

est la distance entre points de moment nul dfinie sur la figure 5.2

Figure 5.2 : porte utile approches, pour la dtermination des largeurs participantes Pour lvaluation de la distance entre points de moment nul L0 : (uniquement pour la dtermination des largeurs participantes), il convient, pour la longueur

L3

de la console de ne pas dpasser la moiti de la trave adjacente soit :

L3 e 0 ,5 L2

et il convient par ailleurs de limiter le rapport de deux portes adjacentes tel que : :

2 Li 1 3 e e 3 Li 2

(on donne un rapport diffrent en 5.5

0 ,5 e

Li 1 e2 Li

mais pour un sujet diffrent : la redistribution des moments

poutre continue avec trave de rive se prolongeant en consoleL0 = 0,15 (L1+L2)

L0 = 0,85 L1

L0 = 0,7 L2

L0 = 0,15 L2+L3

L1L0 ! L L0 ! 0,85 L L0 ! 0,70 Lpour une trave simplement appuye de porte pour une trave de rive de poutre continue pour une trave intermdiaire de poutre continue.

L2L

L3


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1.2.2. Portes utile (de calcul) des poutres et dalles dans les btimentsDiffrents cas sont envisags : a) b) c) d) e) f) lments non continus lments continus Appuis considrs comme encastrements parfaits Console isole Extrmit en porte faux Cas dappareil dappuisLa porte utile

5.3.2.2

l eff

dun lment peut tre calcule de la

manire suivante ;

l eff ! l n a1 a 2

{5.8 }

ln

distance libre entre les nus dappuis

Les valeurs a1 et a2 chaque extrmit de la porte, peuvent tre dtermines partir des valeurs correspondantes ai de la figure 5.4. Dans le cas du btiment, certaines mthodes de calcul simplifies sont bases sur les portes entre nus des appuis.


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80950709.docFigure 5.4 : Dtermination de la porte de calcul

Leff

daprs lexpression 2.15, pour diffrents cas dappuis.

h ai =min (t/2;h/2)

h

Lnt

ai = min (t/2;h/2)

Ln

Lefft

Leff

(a)

Elments isostatiques

(b)

Elments continush

h ai = min (t/2;h/2)

Ln Leff

ai

Ln Leff

t

(d)

prsence d'un appareil d'appui

(c)

appuis considrs comme des encastrements parfaitsh ai = min (t/2;h/2) Ln Leff

t

(e)

consolePage 10/122 11/01/2012


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1.2.3. Les appuis

5.3.2 (2)

Les dalles et poutres continues peuvent tre analyses en considrant que les appuis ne crent pas de gne la rotation. On peut traduire par : Simplification applicable uniquement aux btiments. Les dalles et les poutres peuvent tre analyses en considrant quelles reposent sur des appuis simples.

5.3.2.2 (3)

(3) Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme moment dterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la raction de calcul transmis l'appui (poteau, voile etc.), il convient de retenir la plus grande des valeurs lastiques ou des valeurs redistribues. Sa valeur ne sera toutefois pas infrieure celles indiquesenc enc M Ed ;i ! max M n 2 ;i ; M n1;i 1 ;0 ,65 M Ed ;di ;0 ,65 M Ed ; gi

M n 2 ;i ; M n1;i 1 reprsentent respectivement les moments au nu gauche et au nu droit de lappui i considrVoir figure suivante dune trave intermdiaire dune poutre continue soumise une charge uniformment rpartie. Note : Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit pas infrieur 0,65 fois le moment d'encastrement.enc enc M i u 0 ,65 max M Ed ,gi ; M Ed ,di

?

A

enc enc M Ed , gi ; M Ed ,di reprsentent respectivement les moments dencastrement

parfait gauche et droite de lappui i, les 2 traves qui encadrent lappui i tant considres parfaitement biencastres.

5.3.2 .2(4)

traves encastres parfaitement

enc M Ed ; gi

enc M Ed ;di

crtage du moment sur appui Quelle que soit la mthode danalyse employe, lorsquune poutre ou une dalle est continue au droit dun appui suppos ne pas crer de gne la rotation, au droit dun voile, par exemple), le moment de calcul sur appui, dtermin pour une porte gale lentraxe des appuis, peut tre minor dune valeur (M Ed ; cela correspond un crtage du moment sur appui. Cela se dmontre en remplaant la raction dappui par une charge linique sur la profondeur dappui de mme intensit.

( M Ed ;i ! FEd ,sup;i FEd ,sup;i

FEd ,sup;i ti 2 ( M Ed ;i ! ti 8 valeur de calcul de la raction dappui (on pourrait noter Ri )ti {5.9} 8est la profondeur dappui i (fig. 5.4b)

ti

Lorsque des appareils dappui sont utiliss, il convient de prendre pour t la valeur de la largeur de lappareil dappui. Intrt de lcrtage : Lorsquune poutre sappuie sur un mur en maonnerie, les armatures sont calcules avec le moment sur lappui du modle (et non au nu des appuis car rserv aux poutres lies monolithiquement avec lappui). Pour calculer les armatures sur lappui constitu dune maonnerie, il est intressant dutiliser le moment crt.


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Leff ;i 2

M

M i 1 pi .Leff ;ii

M ti ;max !

M i M i 1 M i 1 M i M i0 2 16 M i0

2

M i0

M n 2 ;i

M n1;i M i 1Leff ;i / 2

Mi

pi

a1;i

Ln ;i

a 2 ;i Leff ;i

Leff ;i ! Ln ;i a1;i a 2 ;iquations du moment de flexion et de l'effort tranchant relatives une trave i. Pour toute trave i, ces quations ont mme forme. On dit qu'elles sont intrinsques par rapport aux diffrentes traves. L'abscisse x varie de 0 Leff ;i .

x M i x ! M i0 x M i 1 .1 L eff ; i M M i 1 Vi x ! Vi 0 x i L eff ; i

Mi . x Leff ;i pour

pour

x 0 , Leff ;i

A

?

x 0 , Leff ;i

A

?pi

Dterminons les moments au nu des appuis hypothse dun chargement uniformment rparti

M i0 x !posons

pi x Leff ;i x 2

M i0 ! a 2 ;i Leff ;i

pi L2 eff ;i 8

x M i0 x ! 4 M i0 L eff ;i

1 x L eff ;i

E 1;i !

a1;i Leff ;i

E 2 ;i !


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M n1;i ! 4 M i0E1;i E1;i M i 1 E1;i M i E1;i 1 1

M n 2 ;i ! 4 M i0E 2 ;i E 2 ;i M i 1E 2 ;i M i E 2 ;i 1 1

Ces 2 quations permettent datteindre les moments au nu des appuis. Supposons que la porte effective corresponde la distance entre les axes des appuis : avec t i ! a 2 ;i a1;i 1 et

a 2 ;i ! a1;i 11) M ai ! M i ( M Ed ;i daprs lEC2

FEd ,sup;i t i2 pi 2 ti 8 2 t t avec M n 2 ;i M i ! Vi i pi i M n1 ;i 1 M i ! Vi 2 8 t2 t 3) M i M n 2 ;i M n1;i 1 / 2 ! pi i FEd ;i i ! 2( M Ed ;i 8 4en RDM M ai ! 3) et 2) M i M ai ! ( M Ed ;i M ai ! M i ( M Ed ;i

M n 2 ;i M n1 ;i 1

2)

M ai !2 i

M n 2 ;i M n1;i 1 2

(M Ed ;i pi

t i2 8

ti t en utilisant leffort tranchant pi 2 8 t2 t2 t2 pi i ! 2 ( M Ed ;i pi i pi i 8 8 8

ou (M Ed ; i piM n 2 ;i M ai M n1;i 1 1 .FEd ,sup;i .t i 8 Mi M n 2 ;i M aiM n1;i 1

t i2 8

FEd ,sup; i t2 pi i ti 8 1 .F Ed ,sup;i .t i 8

(M Ed ;i ! Mi

(M Ed ;i !

pi

FEd ,sup;i arctan2 / 3 a 2 ;ia 2 ;i a1;i 1

ti

a1;i 1 ti Ri

ti

Ri

noteFEd ,sup;iDans laxe de lappui le moment de flexion est not

noteFEd ,sup; i

M ai . Il est ngatif.

Pour des appuis monolithiques, on peut considrer une diffusion de leffort normal de compression, ce qui se traduit par une augmentation de la hauteur efficace de la section droite (+ t i 3 ) ; cela se traduit par une augmentation de la hauteur utile et donc du bras de levier. Gnralement le calcul de la section des armatures au nu de lappui est plus dfavorable que le calcul dans laxe de lappui. Dans le cadre dune dtermination manuelle (preuve U 4.1 du BTS bt.), on peut se contenter de demander la dtermination des moments de flexion sur appuis thoriques : M i . Pour une dtermination des armatures sur lappui considr, lauteur du sujet peut donner la valeur au nu de lappui.


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2.

Analyse structurale : mthodes de calcul permettant de dterminer les sollicitations ( moment de flexion, effort tranchant )2.1. Analyse lastique linaire 5.4

Le calcul des lments (poutres dalles,..) aux E.L.S. ou aux E.L.U. peut tre effectu avec les mthodes classiques du calcul des structures (matriau lastique linaire). On peut utiliser par exemple le thorme de Clapeyron (formule ou thorme des 3 moments). Pour les portiques on utilise la mthode des forces (dite aussi des coupures) ou des dplacements. Utilisation de formulaires usuels de R.D.M. On adopte les hypothses suivantes : Sections non fissures :

II

en tenant compte que des dimensions du coffrage ; exemple dune section rectangulaire ;

bw h / 12 Relations contraintes-dformations linaires Valeur moyenne ou quivalente du module dlasticit.

3

Ecm

(pour le calcul des dplacements par exemple

E cm / 2 )Pour les effets des dformations dorigine thermique, des tassements et du retrait lE.L.U. voir Les dalles et poutres continues peuvent gnralement tre analyses en considrant qu'elles reposent sur des appuis simples.

5.4 (3)

Remarques concernant lAnalyse vis--vis de ltat limite de serviceLes analyses effectues vis--vis des tats limites de service fondes sur la thorie de llasticit linaire, cest dire le RDM classique sont conformes la loi de comportement des matriaux (bton et acier) Toutes les mthodes danalyse doivent vrifier les conditions dquilibre.

... 5.5

2.2.

Analyse linaire avec redistribution limite des moments

Si l'on procde une redistribution des moments, son influence doit couvrir tous les lments du projet : la flexion, l'effort tranchant, l'ancrage et les arrts des armatures ainsi que la fissuration. 5.5(1)P Pour la vrification des lments structuraux lELU, lanalyse linaire lastique peut tre utilise. Les moments de flexion sont dtermins par les mthodes classiques de la R.D.M., puis redistribus, cest--dire que les moments dans les sections les plus sollicites sont alors multiplies par un coefficient rducteur H , les moments dans les autres sections tant augments en consquence pour maintenir lquilibre. (clauses 5.5(2) et (3)) En ELS la redistribution nest pas autorise (elle nest pas mentionne dans 5.5). Le calcul (et la vrification) des contraintes de compression du bton sur les appuis sera effectu partir des moments dtermins en lasticit linaire sans redistribution. Clause 5.5 (4) Pour les poutres ou les dalles continues dont le rapport entre portes (adjacentes) contigus est compris entre 0,5 et 2 ( 0 ,5 eli l i 1 e 2 ) et sollicits principalement

des efforts de flexion, la vrification explicite de la capacit de rotation des zones critiques nest pas exige sous rserve que : a) pour des btonsxu d

fck e 50 MPa : fck " 50 MPa :

H u k1 k 2

xu d

H u k3 k 4

b)

pour des aciers haute ductilit classe B ou C (voir annexe C), pour des aciers haute ductilit classe A (voir annexe C),H u k6 ! 0 , 8

H u k5 ! 0 , 7

avec : H : rapport du moment aprs redistribution au moment avant redistributionAlbouy Christian Lyce Le Garros Auch Page 14/122 11/01/2012

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Note : le coefficient rducteur H peut tre choisi diffremment en fonction du cas de charge considr. 5.5(4) AN x u : hauteur de l'axe neutre l'tat-limite ultime aprs redistribution Le termexu se rapporte la section dans laquelle on rduit le moment. d

d : hauteur utile.

k1 ! 0 ,44 k3 ! 0 , 54

k 2 ! k 4 ! 1, 25( 0 , 6

0 , 0014 ) I cu2

k 5 ! 0 ,70 k6 ! 0 , 80

Pour des btons courantsH ! 0 , 44 1, 25 xu d

f ck e 50 Mpa : I cu 2 ! 3,5 10 3 voir tableau 3.1

Pour des aciers haute ductilit classe B ou C : La valeur de

H u k5 ! 0 , 7

Mu xu correspondant H ! 0,7 est 0,208 ,.soit Q u ! ! 0 ,152 d bw d 2 f cd

0,152 , il faut prendre H u 0,7 . x xu x Cherchons les valeurs de u pour lesquelles H ! 0 , 44 1, 25 u u 1 ! E u u 0,448 d d d Mu u 0 ,294 cest dire des sections fortement sollicites. Pour celles-ci on ne Qu ! bw d 2 f cd

pour des valeurs de Q u

peut pas redistribuer le moment. Cest pour ces sections fortement sollicites que la redistribution serait intressante mais non applicable do lintrt limit de cette redistribution. Pour chaque appui i, le moment maximum M i ,u sur celui-ci est associ un cas de chargement. Le problme, cest que x u est inconnu, il se dduit de M i ,H u (moment aprs redistribution priori inconnu) :M i ,H u xu ! E u ! 1,25 1 1 2 Q u avec Q u ! d bw d 2 fcd

xu , il faut procder par itrations successives. d x Pour prdterminer une valeur par excs de u , il faut considrer une valeur de moment d

Comme H est une fonction croissante de

suprieure sa valeur aprs distribution : en prenant comme moment, le moment avant redistribution M i ,u . H peut tre choisi diffrent pour chaque cas de chargement tudi. Il est plus conomique dappliquer la redistribution uniquement pour les cas de chargement donnant le moment max. sur les appuis, cela permet de diminuer la section darmatures sur les appuis sans changer la longueur des chapeaux, par contre le choix de H ne doit pas conduire une augmentation des armatures en trave. Gnralement les appuis voisins de rive sont les plus sollicits. Prenons lexemple de la trave 1. Recherchons une expression approche de H . Au milieu de la trave le moment obtenu avec le moment sur lappui aprs redistribution :M1H M10 . 2 Il faut que : M t1H e M t1max soit : M t 1H !


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M t 1H !

HM 1 M10 e M t 1 max ; 2

H e2

M2

t 1 max

M10

M1

;

H u2

M

0 1

M t1 max M1

Expression exacte pour un chargement uniformment rparti : H est racine dune quation du second degr : M t1H ! M 10 HM1 HM 1 e M t 1 max 2 16 M 10

Rappel : Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme moment dterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la raction de calcul transmis l'appui (poteau, voile etc.), il convient de retenir la plus grande des valeurs lastiques ou des valeurs redistribues. Note : Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit pas infrieur 0,65 fois le moment obtenu avec un encastrement parfait. Charge uniformment rpartie pu : trave de rive 01 de longueur L1n au nu des appuis, le moment dencastrement parfait sur lappui 1 :2 M1 ! pu1 L1n / 8

; pour une trave intermdiaire i

M i ! M i 1 ! pui L2 / 12 in

(4) Quelle que soit la mthode d'analyse employe, lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui suppos ne pas crer de gne la rotation (au droit d'un voile ou dune maonnerie, par exemple), le moment de calcul sur appuis, dtermin pour une porte gale l'entr'axe des appuis, peut tre minor d'une valeur ( M Ed telle que :

(M Ed !

1 .FEd ,sup .t FEd ,sup 8

: reprsente la raction de calcul de l'appui

t : reprsente la profondeur de l'appui Note : Lorsque des appareils d'appuis sont utiliss, il convient de prendre pour t la valeur de la largeur de l'appareil d'appui. D'une manire gnrale, aucune redistribution n'est admise dans les portiques n uds dplaables. L'application de la thorie de l'lasticit linaire n'exige en principe pas de mesures spciales pour assurer la ductilit, pourvu que l'on vite les trs importants pourcentages d'acier dans les sections critiques. Cependant, lorsque les moments obtenus dans le cadre de l'lasticit linaire sont redistribus, il est ncessaire de vrifier que les sections critiques ont une capacit de rotation suffisante pour supporter cette redistribution.


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2.3.

Analyse plastique : (hors programme BTS)

... 5.6.1

5.6.2

Les mthodes bases sur lanalyse plastique ne doivent tre utilises que pour les vrifications lELU. Toutefois il est admis d'appliquer le principe de superposition aux sollicitations values par les diverses mthodes de calculs indiques dans les prsentes rgles. ' Lanalyse plastique est base soit sur : La mthode statique : (borne infrieure) La mthode cinmatique : (borne suprieure) La ductilit des sections critiques doit tre suffisante pour que le mcanisme envisag se produise. La capacit de rotation des sections droites plastifies nest pas vrifier si les trois conditions sont satisfaites : Domaine de validit : y Le rapport des moments sur appuis intermdiaires aux moments en trave est compris entre 0,5 et 2 : 0 ,5 eM i 1 M i ; e2 M ti M ti

y Les armatures doivent tre de haute ductilit : classe B ou classe C. y Laire de la section des armatures tendues est limite de telle sorte que:xu e 0,25 pour les btons des classes e C50/60 ( E u ! 0 , 25 Qu ! 0 ,18 ) d xu e 0,15 pour les btons de classe u C55/67 d

Capacit de rotation clause 5.6.3 y La mthode simplifie utilise pour les poutres et les dalles continues portant dans une direction est base sur la capacit de rotation dun tronon de poutre de longueur gale 1,2 h ( h hauteur de la poutre). On admet que ces zones subissent une dformation plastique (formation de rotules plastiques). La vrification de la rotation plastique lELU est considre comme satisfaite si lon montre que, sous laction considre, la rotation calcule U s est infrieure ou gale la rotation plastique admissible : U pl ,d .U s e U pl ,d ! kP v U pl ,d P ! 3 kP ! P / 3 P! M Ed VEd d

U s la rotation calcule de la rotule plastique (figure 5.5) kP coefficient de correction dpendant de llancement vis vis de leffort tranchant.

P d est la distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal aprs M redistribution : P d ! Ed est une expression approch. VEd Pour le moment maximum sur un appui, il y a 2 distances (2 traves encadrent cet appui). Si on prend la plus petite distance, on se place en scurit. Exemple dune trave de rive, chargement uniformment rparti : la rotule plastique est dfinie par son abscisse kL1 . La distance entre le point de moment nul de la trave 1 et le moment maximal sur lappui 1 est. 1 2k L1 . Il faudrait dterminer la distance entre le point de moment nul de la trave2 et lappui 1. La distance entre le point de moment nul et le moment maximal en trave 1 est P L1 .Albouy Christian Lyce Le Garros Auch Page 17/122 11/01/2012

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0 kL1trave 1

1 (1-k)L1 L1 kL1trave 2

L2

kL1 Mt1,pl

(1-2k)L1

M1,plPour U pl ,d P ! 3 voir figure 5.6N. Cette abaque a t tablie pour une distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal aprs redistribution gale 3d. y Dans la rgion des rotules plastiquesxu ne doit pas excder les valeurs suivantes : d

xu ! 0,45 pour les btons des classes e C50/60 d xu ! 0,35 pour les btons de classe u C55/67 d

y Pour un chargement monotone croissant, la contrainte dans larmature augmente progressivement jusqu atteindre I s 0 !f yd Es

, seuil partir duquel la rotule plastique

commence se former. Pour valuer la variation de rotation sur la longueur de la rotule prise forfaitairement 1, 2h , on fera lhypothse dune courbure constante (la courbure est maximale au centre de la rotule et minimale la distance de 0,6 h.Us ! 1 dx r 0 ,6 h0 ,6 h

Is 1 Ic Is ! ! r d d xu

Pour simplifier, on considre la valeur minimale de la courbure I s 0 !

f yd Es

, E u est aussi considr

constant et dtermin pour la valeur du moment plastique dou un calcul de la valeur de U s par dfaut.Us ! 1 dx r 0 ,6 h0 ,6 h

f yd I 1 1 ; ! s0 ! r d x u d 1 E u E s

U s ! 1, 2

f yd h d 1 E u E s

2.4.

analyse non-linaire (hors programme BTS)

Dans ce sous-chapitre, l'expression "analyse non-linaire" s'applique des analyses qui prennent en compte le comportement non linaire des sections droites en bton arm ou prcontraint. Les analyses qui tiennent compte d'un comportement non linaire rsultant de la dformation d'un lment (dplacement de la ligne moyenne) sont appeles "analyses du second ordre" (ainsi une "analyse non linaire du second ordre" prendra en compte les deux effets).


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2.5.

Appuis de rive

... 9.2.1.2

Pour un appui de rive formant une construction monolithique avec ses appuis, il convient de dimensionner la section des armatures sur appuis pour un moment de flexion rsultant de lencastrement partiel. Ce moment est ngatif, les armatures sont en chapeau. Sur un appui de rive, le moment thorique est nul. Cependant il convient de considrer un moment forfaitaire (en valeur absolue) de 0 ,15 M t 1,max . La section minimale des armatures longitudinales sapplique.

... 9.2.1.1

2.6.

Modlisation

Pour les lments porteurs horizontaux b.a. suivants : y poutres continues ; y dalles pleines continues ( V e 0,5 ) ainsi que les dalles confectionnes partir de prdalles qui portent dans un sens : Dans le cadre dune dtermination manuelle (preuve U 4.1), on peut se contenter dutiliser une analyse lastique linaire : le Thorme des 3 moments est tout indiqu pour dterminer les moments de flexion sur appuis. Dtermination des sollicitations.On peut monter aux tudiants en projet, manuellement ou avec un logiciel, lintrt des clauses 5.3.2.2 (3) et (4). Il faut cependant exclure leur utilisation pour un sujet dexamen tout comme les autres mthodes (analyse lastique linaire avec redistribution des moments ou une analyse de type plastique en utilisant le thorme statique). Ces mthodes permettent doptimiser le poids dacier (gain dacier par rapport la mthode lastique linaire), elles ne sont donc intressantes que pour les Bureaux dtudes.

2.7.

valuation des sollicitations. Les diffrentes mthodes de calcul

2.7.1. Poutres continues : rappel de La RDM.Le matriau constitutif de la poutre doit vrifier le domaine de validit nonc en RDM : tre homogne, isotrope et lastique. De plus les poutres continues tant des systmes hyperstatiques, les mthodes issues de la RDM sont appeles mthodes de calcul en continuit thorique. Il existe plusieurs mthodes mais la plus adapte est mon avis la mthode ou thorme des 3 moments.

2.7.2. Thorme des 3 moments : rappels

pi i-1 Litrave i0 0 bi .M i 1 c i a i 1 .M i bi 1 .M i 1 ! U di U gi

pi+1

i

Li+1trave i +1

i+1

avec:i

L x dx 0 0 U gi rotation gauche de l'appui i, dans la trave isostatique associe i, U gi ! M i0 x v v Li EI i x 0Li 1

0 0 U di rotation droite de l'appui i, dans la trave isostatique associe i+1, U di !

x M x v 1 L 0 i 1 0

dx v EI i 1 x i 1


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80950709.doc Ces rotations sont dtermines dans le systme

S , dnomm systme isostatique associ ;0 0

dans ce systme, les appuis de rive de chacune des traves ne sont pas sollicits par des couples, les valeurs des rotations ne dpendent que des actions appliques sur les traves. Dans le cas ou un couple serait appliqu un appui j ( j{ o, j{ n ), ce couple doit tre considr comme appliqu en j et appartenant soit la trave j ou bien la trave j+1 mais pas aux deux simultanment. Ce couple intervient alors dans le calcul des rotations isostatiques.

M i 1 , M i , M i 1 sont les moments de flexion de continuit respectivement sur les appuis i-1, i, i+1,*

bi et c i les coefficients de souplesse de la trave i. a i 1 et bi 1 les coefficients de souplesse de la trave i+1.

x dx a i ! 1 Li EI i x 0 Lii x x dx bi ! 1 L Li EI i x 0 i

2

L

x dx ci ! L EI i x 0 i Li

2

Cette relation relie les 3 moments de flexion conscutifs des 2 traves adjacentes i et i+1. C'est une relation de rcurrence, l'indice i variant de 1 n-1.

M 0 , M n sont connus, c'est dire statiquement dtermins, s'il existe des consoles ou des couplesappliqus sur les appuis de rive, sinon nuls. On dispose de n-1 quations n-1 inconnues

M 1 ,...., M i ,....M n 1

La rsolution de ce systme donne les moments sur les appuis. Avec inertie (moment quadratique) constante dans chaque trave i :

EI i ! cte ci ! ai ! Li 3 EI i bi ! Li 6 EI i

L L Li L 0 0 M i 1 2 i i 1 M i i 1 M i 1 ! 6 E U di U gi Ii I i I i 1 I i 1

Avec inertie (moment quadratique) constante le long de la poutre : EI ! cte Avec inertie (moment quadratique) constante le long de la poutre : EI ! cte Chargement uniforme sur chaque trave Poutre continue constitue de portes identiques L . Avec inertie (moment quadratique) constante le long de la poutre : EI ! cte Chargement uniforme trave i.

0 0 Li M i 1 2 Li Li 1 M i Li 1 M i 1 ! 6 EI U di U gi

1 Li M i 1 2 Li Li 1 M i Li 1 M i 1 ! pi 1 L31 pi L3 i i 4L2 4

M i 1 4 M i M i 1 !

?pi 1 pi A

pi sur chaque


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2.7.3. quations du moment de flexion et de l'effort tranchant relatives une trave i.Pour toute trave i, ces quations ont mme forme. On dit qu'elles sont intrinsques par rapport aux diffrentes traves. L'abscisse x varie de 0 Li.

x M i x ! M i0 x M i 1 1 Li M M i 1 Vi x ! Vi 0 x i Li

x Mi Li pour

pour x A0 , Li ?

x A0 , Li ?

2.7.4. Dtermination des actions de contact.

AVi ( Li ) y

i

Vi+1 ( 0 )

y

Vi Li Ri Vi 1 0 ! 0 Ri ! Vi l i Vi 1 0 Ri

y

M M i 1 Vi Li ! Vi 0 Li i Li M Mi Vi 1 0 ! Vi 0 1 0 i 1 Li 1

M Mi Ri ! Vi 0 Li Vi 0 1 0 i 1 Li 1 M Mi Ri ! Ri0 i 1 Li 1

M i M i 1 Li

M i M i 1 Li

Cette relation permet de dterminer les actions de contact pour les charges appliques en trave, il faut ajouter celles dues aux transmissions directes (forces appliques directement sur les appuis). Une autre solution consiste raisonner sur la poutre complte et se positionner sur chacun des appuis en appliquant la dfinition des moments de flexion.


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3.

CAS DE CHARGEMENT

5.1.3

Daprs larticle 5.1.3, les cas de chargement ELU envisager pour ltude des poutres continues sont : Les cas 3, 4, 5 sont des cas de chargement simplifis permettant dobtenir les moments et efforts tranchants max. aux appuis.

1,50 q

1,50 q 1,35 g

10 i-2

i+1

1,50 q

1,50 q 1,35 g

20 i-2 i-1

Li

i

i+1

1,50 q

30 i-2 i-1

1,35 g

Li1,50 q

i

i+1

40 i-2 i-1

1,35 g

Li1,50 q

i

i+1

50 i-2 i-1

1,35 g

Li

i

i+1

Pour 2 traves les 3 premiers cas de chargement Pour 3 traves les 4 premiers cas de chargement Pour 4 traves les 5 premiers cas de chargement n 1 cas de chargement Pour n traves


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80950709.doc Pour ltude dune poutre de n traves, on peut envisager Principe de superposition.

n 1 cas de chargement lmentaires et utiliser le

CE nr

10 i-2 i-1

g

Li

i

i+1

20

q

i-2

i-1

Li

i

i+1

30 i-2

q

i-1

Li

i

i+1

40 i-2 i-1

q

Li

i

i+1

50 i-2 i-1

q

Li

i

i+1


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80950709.doc Dans le cas de poutres continues dont la trave de rive se prolonge en console, il faudrait envisager le cas de chargement avec g au lieu de 1,35 g : soit les cas ci-dessous. Le cas 1 donne le moment max. sur appui 1 (statiquement dtermin pour un chargement max. de la console) Les cas ci-dessous donnent les moments max. et mini. en traves

1,50 q

1,50 q 1,35 g

1,50 q

11 2 i-1

i

i+1

1,50 q

1,50 q

1,50 q

1'1 2 i-1

gi i+1

1,50 q

1,50 q 1,35 g

1,50 q

21 2 i-1

i

i+1

1,50 q

1,50 q

1,50 q

2'1 2 i-1

g

i

i+1

Les moments max. sur lappui : i (simplification = les 2 traves qui encadrent lappui i tudi sont charges par 1,5q)

1,50 q 1,35 g

1

2

i-1

i

i+1

1,50 q

g1 1 2 2

i-1

i+1


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80950709.doc En toute rigueur, les cas de chargement donnant les moments max. aux appuis devraient tre dduits des lignes dinfluence: Max, sur lappui i

1,50 q 1,35 g

1,50 q

1

2

i-1

i

i+1

1,50 q

1,50 q

g1 2

i-1

i

i+1


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4.

valuation des charges transmises par le hourdis aux poutres de bordure et des poutrelles aux poutres.

Position du BAELPour lvaluation des charges transmises par les hourdis aux poutres de bordure (secondaires ou principales) on nglige leffet de continuit du hourdis. Les dalles sont considres comme articules sur leur pourtour.

B.6.2,1

B.6.2,11 cas des planchers charge d'exploitation modre Dans la transmission des charges des poutrelles aux poutres, on peut admettre la discontinuit des diffrents lments, exception faite toutefois : j des traves de rive des poutrelles et des poutres o, sur le premier appui intermdiaire, il est tenu compte de la solidarit, soit en prenant en compte les moments de continuit adopts, soit forfaitairement en majorant les ractions correspondant aux traves indpendantes de 15 % s'il s'agit de poutrelles deux traves et de 10 % s'il s'agit de poutrelles plus de deux traves ; j des traves de rive prolonges par une console o l'on tient compte de l'effet de console.

B.8.1,1 valuation des charges verticales sur les poteaux Les charges verticales agissant sur les poteaux peuvent tre values en faisant, s'il y a lieu, application de la loi de dgression des charges variables dans les btiments tages, telle qu'elle est nonce par les normes en vigueur et en admettant la discontinuit des diffrents lments de planchers (hourdis, poutrelles et poutres). Toutefois, dans les btiments comportant des traves solidaires supportes par deux files de poteaux de rive et une ou plusieurs files de poteaux centraux, dfaut de calculs plus prcis, les charges values en admettant la discontinuit des traves doivent tre majores : de 15 % pour les poteaux centraux dans le cas de btiments deux traves ; de 10 % pour les poteaux intermdiaires voisins des poteaux de rive dans le cas des btiments comportant au moins trois traves, les charges values sur les poteaux de rive dans l'hypothse de la discontinuit n'tant pas rduites. Dans le cas d'lments de rive prolongs par des parties en porte faux, il est tenu compte de l'effet de console dans l'valuation des charges transmises aux poteaux, en admettant la discontinuit des traves au droit des poteaux voisins des poteaux de rive. COMMENTAIRE La rgle ci-dessus a t admise par souci de simplification ; pour les poteaux intermdiaires, elle ne conduit pas des charges trs notablement diffrentes de celles que donneraient des calculs plus complexes ; elle conduit surestimer les charges des poteaux de rive, ce qui compense dans une certaine mesure, quant la scurit, la non-prise en compte des sollicitations de flexion de ces poteaux. L'attention est attire sur le fait que ngliger les moments de flexion dans les poteaux de rive n'est lgitime que si le rapport de la raideur des planchers la raideur des poteaux est, soit suffisamment grand (cas le plus frquent), soit suffisamment petit (cas exceptionnel) (cf.B.8.2,10).


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A ma connaissance le seul article traitant de ce problme dans lEurocode 2 est : ... 5. 1.3(1) 5.1.3 Cas de charge et combinaisons )12) (1)P Les combinaisons d'actions considres (voir l'EN 1990 Section 6) doivent tenir compte des cas de charge pertinents, permettant l'tablissement des conditions de dimensionnement dterminantes dans toutes les sections de la structure ou une partie de celle-ci. Note : Lorsqu'une simplification dans le nombre des dispositions de charges utiliser dans un pays donn est requise, on se reportera son Annexe Nationale. Pour les btiments, on recommande de retenir les dispositions de charges simplifies ciaprs : (a) une trave sur deux supporte les charges variables et les charges permanentes de calcul ( K Q Qk + K G Gk+ Pm), les autres traves supportant seulement la charge permanente de calcul,

80950709.doc Comment dterminer forfaitairement laction dune dalle continue portant dans une direction sur une poutre ou dune poutre secondaire continue sur une poutre principale ?

K G Gk + Pm K G Gk+ K G Gk + Pm.

(b) deux traves adjacentes quelconques supportent les charges variables et les charges permanentes de ( K Q Qk + Pm), toutes les autres traves supportant seulement la charge permanente de calcul,

Clause 5.1.3 (1)P Note (1) Pour l'application en France de la norme europenne EN 1992-1-1:2004, les simplifications dans les dispositions de charges utiliser sont fondes sur le principe suivant : les cas de charge utiliser sont ceux que l'on utiliserait si les lments ports reposaient isostatiquement sur les lments porteurs ; les actions ainsi obtenues sur les lments porteurs sont forfaitairement majores ou minores en fonction de l'hyperstaticit ainsi nglige. Une faon destimer ces majorations et minoration est fournie par ltude des cas a) et b) .

Proposition personnelle Pour lvaluation des charges transmises par les dalles sur les appuis ou poutres de bordure, on considre dune part quelles sont articules sur leurs contours (isostatiques) et dautre part lutilisation de la mthode des lignes de rupture ( l ELU) pour dfinir les surfaces dinfluence. On nglige leffet de continuit des dalles (ou hourdis). On peut ensuite dterminer : - la charge uniformment rpartie quivalente / moment de flexion pour la dtermination des armatures dans celle-ci . - la charge uniformment rpartie quivalente / leffort tranchant pour la descente de charges Les portes considrer sont celles dfinies larticle 5.3.2.2 et non plus aux nus des appuis. (pour ltude des dalles et le trac des lignes de rupture) Pour lvaluation des charges transmises par des poutrelles continues sur des poutres principales ou des porteurs verticaux. On constate que ce sont les 2 appuis voisins de rive qui sont fortement majors/modle isostatique associ en raison de la continuit de la poutre. On pourrait considrer les traves isostatiques en plaant des articulations sur les appuis intermdiaires et pour tenir compte de la continuit majorer forfaitairement les actions uniquement aux appuis voisins de rive (en toute rigueur cela supposerait de minorer les actions de contact de rive mais pour simplifier, on peut considrer les actions de contact dtermines dans le modle isostatique). Charger au max. uniquement les 2 traves qui encadrent lappui tudi. Utilisation de laide mmoire de RDM type: Jean Goulet Dunod, cela suppose la dtermination des moments en lasticit linaire sans redistribution des moments. Si on effectue une redistribution des moments, les moments sur appuis voisins de rive diminuant, cela se traduit par une nouvelle redistribution des actions aux appuis. Pour la premire trave, si le moment diminue, leffort tranchant sur lappui voisin de rive diminue aussi et donc laction de contact. On peut le vrifier en analysant les formules intrinsques relatives leffort tranchant.

M M i 1 V i x ! V i0 x i Li

pour

0 x A , Li ?2

V1 l1 ! V10 L1

M1 L1

pour

x ! L1

pL pL V1 l1 ! 0 ,575 pL1 ! 1,15 1 M 1 ! 0 ,6 1 2 8

soit une raction dappui

R1 ! 1,15 pL1


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80950709.docM H.Thonier propose pour les poutres :

3RXUOHVWUDQVPLVVLRQVGHVFKDUJHVSDUGHVOPHQWVDXWUHVTXHOHVKRXUGLVLOIDXWGLVWLQJXHUOHFDV GHVSODQFKHUVFKDUJHGH[SORLWDWLRQPRGUHHWOHVDXWUHV /HV SODQFKHUV VRQW USXWV FKDUJH GH[SORLWDWLRQ PRGUH VL WRXWHV OHV FRQGLWLRQV VXLYDQWHV VRQW VDWLVIDLWHV1) constructions courantes :

q e 5 KN / m 2

et

q e 2g

2) Les moments quadratiques des sections droites sont les mmes dans les diffrentes traves en continuit. 3) Les portes conscutives vrifient : 0 ,8 e Li / Li 1 e 1,25 4) La fissuration ne compromet pas la tenue du bton arm ni celle des revtements

cette condition 4 aurait pu tre remplace par les classes dexposition XC0 et XC1 'DQV OD WUDQVPLVVLRQ GHV FKDUJHV GHV SRXWUHOOHV DX[ SRXWUHV GHV SODQFKHUV FKDUJH GH[SORLWDWLRQ PRGUHRQSHXWDGPHWWUHODGLVFRQWLQXLWGHVGLIIUHQWVOPHQWVH[FHSWLRQIDLWHWRXWHIRLV GHV WUDYHV GH ULYH GHV SRXWUHOOHV HW GHV SRXWUHV R VXU OH SUHPLHU DSSXL LQWHUPGLDLUH LO HVW WHQX FRPSWH GH OD VROLGDULW VRLW HQ SUHQDQW HQ FRPSWH OHV PRPHQWV GH FRQWLQXLW DGRSWV VRLW IRUIDLWDLUHPHQWHQPDMRUDQWOHVUDFWLRQVFRUUHVSRQGDQWDX[WUDYHVLQGSHQGDQWHVGHVLOVDJLW GHSRXWUHOOHVGHX[WUDYHVHWVLOVDJLWGHSRXWUHOOHVSOXVGHGHX[WUDYHV GHVWUDYHVGHULYHSURORQJHVSDUXQHFRQVROHRORQWLHQWFRPSWHGHOHIIHWGHFRQVROH 'DQVODWUDQVPLVVLRQGHVFKDUJHVGHVSRXWUHOOHVDX[SRXWUHVGHVDXWUHVSODQFKHUVRQGRLWWHQLUFRPSWH GHV OD FRQWLQXLW GHV SRXWUHOOHV HQ HQYLVDJHDQW TXH OHV FKDUJHV YDULDEOHV VRQW DSSOLTXHV VXU OHV WUDYHVGHSDUWHWGDXWUHGHODSRXWUHSULQFLSDOHPDLVVDQVSRXVVHUSOXVORLQOWXGHGHVFKDUJHPHQWV SDUWUDYHVDOWHUQHV - Charges verticales transmises aux poteaux supportant des planchers : /HV FKDUJHV YHUWLFDOHV DJLVVDQW VXU OHV SRWHDX[ SHXYHQW WUH YDOXHV HQ IDLVDQW VLO \ D OLHX DSSOLFDWLRQ GHV ORLV GH GJUHVVLRQ HW HQ DGPHWWDQW OD GLVFRQWLQXLW GHV GLIIUHQWV OPHQWV GHV SODQFKHUVKRXUGLVSRXWUHOOHVHWSRXWUHV7RXWHIRLVOHVFKDUJHVDLQVLREWHQXHVVRQWPDMRUHU GHSRXUOHVSRWHDX[FHQWUDX[GDQVOHFDVGHSRXWUHVGHX[WUDYHV GHSRXUOHVSRWHDX[LQWHUPGLDLUHVYRLVLQVGHVSRWHDX[GHULYHGDQVOHFDVGHSRXWUHVSOXVGH GHX[ WUDYHV OHV FKDUJHV YDOXHV SRXU OHV SRWHDX[ GH ULYH GDQV OK\SRWKVH GH OD GLVFRQWLQXLW QWDQWSDVUGXLWHV 'DQV OH FDV GOPHQWV GH ULYH SURORQJV SDU GHV SDUWLHV HQ SRUWH IDX[ LO HVW WHQX FRPSWH GH OHIIHWGHFRQVROHGDQVOYDOXDWLRQGHVFKDUJHVWUDQVPLVHVDX[SRWHDX[HQDGPHWWDQWODGLVFRQWLQXLW GHVWUDYHVDXGURLWGHVSRWHDX[YRLVLQVGHVSRWHDX[GHULYH Majorer de 15% correspond un moment M 1 ! 0 ,6

pL1 pour une poutre continue de 2 traves. 8

2

Pour les autres cas : tenir compte de la continuit au sens de la RDM mais en ne chargeant que les 2 traves situes de part et dautre de lappui tudi. Pour les poteaux : majorer de 15% ou 10% les ractions isostatiques dun appui voisin de rive dune poutre respectivement de 2 traves et de plus de 2 traves. Il faut penser les mthodes de - Caquot minore ou non - forfaitaire sont des mthodes lastiques avec redistributions.


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80950709.doc

Utilisation de laide mmoire de RDM type: jean Goulet Dunod Dtermination des actions de contact (raction dappui max. pour une charge rpartie g sur lensemble des traves et pour une charge variable q (type dexploitation) occupant les positions les plus dfavorables par traves entires. Les portes conscutives doivent tre sensiblement de mmes portes et vrifient par exemple :

0 ,8 e Li / Li 1 e 1,25On considre des poutres continues 3, 4, 5, n traves identiques.Poutre de 2 traves Majoration de 25% de la raction dappui sur lappui central

q g

q g1,25( g q )N

0

N

1

N

2

0

Nq

1

N 25%

2

g

0en rive

N

1

( g q )N

N

2

0 ,375 gN 0 ,4375qNou pour simplifier 0 ,5g q N


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80950709.doc Poutre de 3 travesMajoration de 10% de la raction dappui voisin de rive pour Majoration de 20% de la raction dappui voisin de rive pour

g q

q g

q g( 1,1g 1,2q )N 2

0

N

1

N

2

N

3

0

Nq g

1

N

N

3

20% q 10% g

20% q 10% g

0

N en rive 0 ,40 gN 0 ,45qNou pour simplifier 0 ,5g q N Poutre de 4 traves

N

1

( g q )N

N

2

3

q g

0

Nq g

1

N

2

N

3

4

N

2 0

N

1

( 1,15 g 1,23q )N

N

N

3

N

4

q 23% q

23% q 15% g

g 15% g( g q )N

0

N

1en rive

N

2

N

3

( g q )N

4

N

0 ,40 gN 0 ,45qNou pour simplifier 0 ,5g q N sous lappui central R2 ;max ! 0 ,93 gN 1,15qNou pour simplifier g q N


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80950709.doc Poutre de 5 traves

q g

0

Nq g

1

N

2

N

3

4

N

N

5

2 0

3

N

1

( 1,132 g 1,218q )N

N

N

( 1,132 g 1,218q )N 4

N

N

5

q g

21,8% q 13,2% g

21,8% q 13 ,2% g

0

N

1

( g q )N

Nen rive

2

N

3

4

N

( g q )N 5

N

0 ,40 gN 0 ,45qNou pour simplifier 0 ,5g q N N sous es 2 appuis centraux R2 ;max ! R3;max ! 0 ,98 gN 1,17qNou pour simplifier g q


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80950709.doc Poutre de n traves

q g

0

Nq g

1

i

N

N

i 1

N

n 1

n

N

0

Nq g

1

i ( 1,133 g 1,217q )N

i 1

N 21,7% q 13,3% g

N

( 1,133 g 1,217q )N n 1

n

N

N

21,7% q 13,3% g

0

N

1

( g q )N

i

Nen rive

N

i 1

n 1

N

( g q )N

n

N

0 ,40 gN 0 ,45qNou pour simplifier 0 ,5g q N Ri ;max ! gN 1,183qNou pour simplifier g q N

Simplification pour un nombre de traves tel que :

nu4

q gi i 1

0

Nq g

1

1,15 g 1,23q N

1,15 g 1,23q N

n 1

n

N 23% q 15% g

N

N 23% q 15% g

N

0

N

1

( g q )N

i

N

N

i 1

n 1

N

( g q )N

n

N


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5.

tude des dalles5.1. Dfinition dune dalle 5.3.1.(4)" y Soit V ! x "yavec

"x e "y

" x , " y sont les portes utiles

(autres notations

Lx ; Ly )

y Un lment peut tre assimil une dalle si la plus petite dimension dans son plan (sa porte) est suprieure ou gale cinq fois son paisseur totale.

y En notanty

Lx

la plus petite dimension dans son plan.

L x u 5h

5.3.1.(5)

Une dalle principalement soumise des charges uniformment rparties pourra tre considre porteuse dans un sens dans les cas suivants : a) elle prsente deux bords libres (sans appuis) et sensiblement parallles : on la dnomme poutre-dalle. Remarque : lappellation de poutre-dalle nest pas utilise dans lEC 2 b) elle correspond la partie centrale d'une dalle pratiquement rectangulaire portant sur quatre cts et dont le rapport de la plus grande la plus faible porte est suprieur 2. Si on note

V!

Lx Ly

si

V e 0,5

la dalle porte dans un sens celui de

Lx

y Dans le cas de planchers nervures croises et caissons. 5.3.1.(6) On peut analyser ce plancher sans le dcomposer en lments discrets si : La distance entre les nervures nexcde pas 1500 mm. La hauteur de la nervure sous la table de compression (retombe) nexcde pas 4 fois sa largeur. L'paisseur de la table de compression est suprieure ou gale 1/10 de la distance libre entre nervures, sans tre Infrieure 50 mm. La distance libre entre nervures transversales nexcde pas 10 fois l'paisseur totale de la dalle. L'paisseur minimale de la table de compression peut tre ramene de 50 40 mm lorsque des entrevous permanents sont disposs entre les nervures. Cette disposition n'est applicable qu'aux entrevous base de matriaux rsistants tels que le bton ou ta terre cuite.

5.2.

Dfinition dune poutre dalle

Remarque : lappellation de poutre-dalle nest pas utilise.

poutre 0,3 poutre mince 1 5 bw h

poutre courante

poutre large

poutre dalle

poutre cloison

bw


h

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5.3.

Dalles pleines coules en placeLeff u 5h et ( poutre-dalle b u 5h )

..9.3

Cet article concerne les dalles pleines portant dans les deux sens et les dalles pleines portant dans un seul sens et pour lesquelles (Voir l'article 5.3.1).

5.3.1. Armature de flexiony Les rgles {relatives lpure darrt des barres longitudinales tendues, lancrage des armatures infrieures sur les appuis } donnes en 9.2.1.3 (1) et 4(1) (3) et 5 (1) (2) sappliquent. En particulier, pour les dispositions constructives concernant les armatures principales, l'article 9.3 est applicable, avec pour dcalage de la courbe des moments: y

al ! d

(dans l'article 9.2.13 armatures deffort tranchant non ncessaires).

II convient de prvoir des armatures secondaires transversales dans les dalles portant dans un seul sens. (dalles uni-directionnelles) En rgle gnrale, la section d'armatures transversales secondaires (de rpartition) doit tre au moins gale 20% de la section d'armatures principales. ..9.3.1.1(2) Soit

x

le sens porteur, les armatures dans la direction y doivent vrifier

Asy u

Asx 5

(exprimes / m de largeur)

Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres principales suprieures ne sont pas ncessaires lorsquil nexiste aucun moment de flexion transversal. y Le 9.2.1.1 (1) et (3) donnent les pourcentages d'acier minimal et maximal dans la direction principale. Pour une largeur dun mtre Avec y

2 f Asmm u max 0 ,26 ctm bt d ; 0 ,0013bt d f yk As 2armatures comprimes

As1 As 2

0 ,04 Ac

As1

armatures tendues,

La distance maximale entre les barres est la suivante :

s max, slabs , h

tant l'paisseur totale de la dalle.

- pour les armatures principales, max 2 h ;250 mm , dans le cas o il y a des charges concentres,

max 3h ;400mm , dans le cas contraire ;

..9.3.1.1

- pour les armatures secondaires,

max 3h ;400mm , dans le cas o il y a des charges concentres, max 3 ,5h ;450mm , dans le cas contraire ; ..9.3.1.2

5.3.2. Armatures des dalles au voisinage des appuis Pour les dalles portant dans 2 directions (et dfaut dpure darrt des barres pour les dalles unidirectionnelles). En labsence de directives de lEC2 et des Recommandations Professionnelles nous utiliserons la norme antrieure : le BAEL. Pour tous les appuis intermdiaires (non de rive), la longueur des chapeaux, partir du nu des appuis, est au moins gale 0,20 la plus grande porte utile des 2 traves encadrant lappui considr (avec un minimum gal : lbd z ). Dans les dalles, la moiti de l'armature calcule en trave doit se poursuivre sur les appuis (clause 9.3.1.2) et y tre ancre conformment 8.4.4. Les armatures du second lit seront arrtes une distance des appuis au plus gale 1/10 de la porte au nu. Complments sur lancrage des armatures sur appuis En cas dabsence de charges mobiles importantes (cas o lintensit de la charge mobile est infrieure au quart de la rsultante de la charge variable totale applique sur la surface totale du panneau) Pour les dalles armes de Treillis Souds, lancrage par une soudure, vis dans la clause tableau 8.2 de lEC2 implique quune ligne de soudure soit dispose sur les lments dappui une distance au moins gale 15 mm dans le cas dun appui en bton, arm ou non, prfabriqu ou non, (et 50 mm dans le cas dappui en maonnerie : ajout en labsence de prcision de lEC2,). Pour les dalles arme daciers en barres, les aciers prolongs sur appuis y sont ancrs par une longueur au moins gale : lb ,min ! max 0 , 3lb ,rqd ;10J ;100mm

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80950709.docS'il existe sur un des cts d'une dalle un encastrement partiel, non pris en compte dans lanalyse, les armatures suprieures doivent pouvoir quilibrer au moins 25% du moment maximal de la trave adjacente. Dans le cas de l'appui de rive, la proportion du moment maximal quilibrer par les armatures suprieures peut tre rduite 15% du moment maximal dans la trave isostatique associe ; ces armatures doivent tre prvues sur une longueur au moins gale 0,2 fois la porte adjacente la plus grande (de mme en rive) avec un minimum gal depuis le nu de l'appui.

l bd , compte ..9.3.1.3

5.3.3. Armatures d'angle

Si les dispositions d'appui sont telles que le soulvement de l'angle d'une dalle est empch, il convient de prvoir des armatures appropries.

5.3.4. Armatures des bords libresFigure 9.8 : armatures de bord dune dalle Le long d'un bord libre (sans appui), une dalle doit normalement comporter des armatures longitudinales et transversales gnralement disposes de la manire indique fig. 9.8. Les armatures propres de la dalle peuvent jouer le rle d'armatures de bord.

trier en U

bord libre

h > 2h..9.3.1.4armatures longitudinales

Pour les dalles dpaisseur courante (entre 200 et 350 mm) et des btons courants ( f ck e 50 MPa ), une section de 200 mm2 / m, soit 4U HA8 / m permet de couvrir la condition de ferraillage minimal prs des bords.

5.3.5. Armatures d'effort tranchantSi

..9.3.213

Vrification pour que les armatures dme ne soient pas ncessaires

V Ed e V N Rd ,c ! max v min bw d ; C Rd ,c .k 100V l f ck bw d en flexion simple 0 ,18 Kc f ck en MPa

?

A

Les armatures dme ne sont pas ncessaires

.. 6.2.2

C Rd ,c !

200 k ! min 1 ;2 d mm

v min !v min

0 ,034 1 / 2 f ck pour les dalles bnficiant dun effet de redistribution transversale sous le cas de charge considr. Kc 0 ,053 3 / 2 1/ 2 pour les poutres et les dalles autres que ci-dessus (incapables de reprendre un moment ! .k . f ck KcAsl e 0,02 bw .d

transversal ?) Pour ces lments, il faut un placer le pourcentage min darmatures deffort tranchant donn en 9.2.2 mme si elles ne sont requises par le calcul. 6.2.1(4)

Le pourcentage

V l dacier longitudinal de flexion

Vl !

Asl : aire de larmature prolonge dune longueur suprieure d l bd au-del de la section considre. l bd tant la longueur dancrage) bw est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, en mm. bw ! 1000mmDaprs 6.2 (4) Le ferraillage minimal peut tre omis pour des lments tels que dalles pleines nervures ou alvoles lorsquune redistribution transversale des charges est possible. .. 6.2.(4)

Une dalle comportant des armatures d'effort tranchant doit avoir une paisseur au moins gale

200mm .

..9.3.2

Pour la disposition des armatures d'effort tranchant, 9.2.2 est applicable l'exception des modifications apportes par les prsentes rgles.


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80950709.docDans les dalles, si

1 V Ed e V Rd ,max 3

(Voir l'article 6.2), l'armature d'effort tranchant peut tre entirement constitue de

barres releves ou de cadres, triers, pingles. L'espacement longitudinal maximal entre les cours de cadres ou triers est donn par linclinaison des armatures deffort tranchant. L'espacement longitudinal maximal des barres releves est Il convient de limiter

s max ! 0 ,75d cot E . Avec E 1

s max ! d

1,5d

lespacement transversal max. des armatures deffort tranchant.

5.4.

Modlisation

Pour les lments porteurs horizontaux b.a. suivants : poutres continues ; dalles pleines continues ( V e 0,5 ) ainsi que les dalles confectionnes partir de prdalles qui portent dans un sens. Dans le cadre dune dtermination manuelle (preuve U 4.1), on peut se contenter dutiliser une analyse lastique linaire : le Thorme des 3 moments est tout indiqu pour dterminer les moments de flexion sur appuis. Dtermination des sollicitations.On peut monter aux tudiants en projet, manuellement ou avec un logiciel, lintrt des clauses 5.3.2.2 (3) et (4). Il faut cependant exclure leur utilisation pour un sujet dexamen tout comme les autres mthodes (analyse lastique linaire avec redistribution des moments ou une analyse de type plastique en utilisant le thorme statique ou cinmatique). Ces mthodes permettent doptimiser le poids dacier (gain dacier par rapport la mthode lastique linaire), elles ne sont donc intressantes que pour les Bureaux dtudes.

Les dalles pleines isostatiques telles que ( V " 0,5 ) portent dans 2 sens. Le rglement et le document dapplication nationale tant muets, je pense quon peut utiliser par exemple la mthode base sur lannexe E3 du BAEL ( R ! 0 ). Pour les dalles continues telles que ( V " 0,5 ), le rglement ne donne pas de mthode forfaitaire pour lvaluation des moments sur appuis et dans les traves. Dans lattente dune publication, on pourrait utiliser la mthode propose dans le BAEL (A.8.2,32).


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5.5.

Dalle pleine unique simplement appuye sur ses 4 cts avec V !

N x " 0,5 N yy0 Vay

EC2 muet

5.5.1. Dalles isostatiquesLes mthodes de dtermination des sollicitations voques dans ce chapitre sont gnralement bases sur la thorie des plaques en considrant un matriau lastique linaire. Les sollicitations sont values pour des bandes de dalle de 1,000 m de large : les moments sont dtermins au centre de la dalle, les efforts tranchants sur les appuis. On obtient donc :0 - M x et M 0 y

T 0 Mx

N yen kN.m/m. en kN/m.0 Vax0 0 - Vax et Vay

T M0 y

0 Vax

V x

Note : - Lexposant 0 indique que l'on considre les sollicitations dans une dalle simplement appuye sur son contour (isostatique).

V!

N x " 0,5 N y

avec

"x e "y

" x , " y sont les

N xR !0V!0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

0 Vay

portes utiles Cas d'une charge uniformment rpartie

p sur la surface du panneau.N x N y

bton fissur

Les valeurs des moments flchissants sont dtermines au centre de la dalle en fonction de la valeur de la charge rpartie p et des portes

Qx0,0965 0,0892 0,0820 0,0750 0,0683 0,0620 0,0561 0,0506 0,0456 0,0410 0,0368

Qy0,2584 0,2889 0,3289 0,3781 0,4388 0,5124 0,5964 0,6871 0,7845 0,8887 1,0000

N et N . x y0 2 M x ! Q x . p .N x

0 M 0 ! Q y .M x y0 Vay !

0 Vax !

p .N x 2 V

p .N x 3


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5.5.2. ANNEXE : dalles continues dont le rapport des portes V !

N x " 0,5 N y

Les dalles rectangulaires encastres (totalement ou partiellement) peuvent tre calcules la flexion sur la base Les dalles rectangulaires encastres (totalement ou partiellement) peuvent tre calcules la flexion sur la base des efforts qui sy dvelopperaient si elles taient articules sur leur contour. Les valeurs maximales des moments en trave et sur appuis, dans les 2 directions sont values, des fractions, 0 0 fixes forfaitairement, de la valeur maximale des moments de flexion M x et M y dtermins dans le panneau associsuppos articul sur son contour ayant mmes portes et charges appliques.

En trave, les moments de flexion maximaux calculs dans lhypothse de larticulation peuvent tre rduits de 15% 25% selon les conditions dencastrement. Les moments dencastrement sur les grands cots sont valus respectivement au moins 40% et 50% des moments flchissants maximaux valus dans lhypothse de larticulation. Les moments dencastrement sur les petits cots sont gaux ceux valus pour les grands cots dans lhypothse que ces grands cots sont encastrs (totalement ou partiellement) dans les mmes conditions que les petits cots. De part et dautre de chaque appui intermdiaire, que ce soit dans la direction x ou y, on retient la plus grande des valeurs absolues des moments valus gauche et droite de lappui considr. 0 Pour la dalle note i , lorsquil sagit de la porte principale, si on dsigne par M ix le moment maximal calcul dans lhypothse de larticulation, par M i 1x et M ix les valeurs absolues prises en compte pour les moments sur appuis (de gauche et de droite) et par M tix le moment maximal considr en trave, on doit vrifier lingalit :

M tix

M i 1 x M ix 0 u 1,25 M ix 2

Mthode pratique propose : On choisit les moments sur les appuis et on en dduit les moments en trave. y Dans le sens principal x En rive pour un appui en bton (voile ou poutre) k a ,rive , x ! 0,15 , (lEC2 indique 15% du moment max. de la trave de rive, comme ce moment est inconnu on lui substitue le moment isostatique) Attention : si en rive la dalle se prolonge en console, le moment sur lappui de rive est statiquement dtermin ; si lappui de rive est un mur en maonnerie, ka ,rive ,x ! 0 . Sur tous les appuis intermdiaires les valeurs du moment de flexion seront dtermines en multipliant par 0,5 la valeur la plus grande des moments isostatiques des 2 dalles encadrant lappui tudi.0 0 M i 1 x ! k i 1 x M ix ! 0 , 5 v max M i01 x ; M ix

0 M ix ! k ix M i0,x ! 0 , 5 v max M ix ; M i01 x

On en dduit les diffrents coefficients k ix . Puis on dtermine les coefficients des moments en trave :

k ix k k tix u min max 0 ,75 ; 1,25 i 1 x 2

; 1

y Dans le sens porteur y Les moments sur appuis doivent tre gaux ceux des grands cots. 0 de M iy ! k iy M iy on en dduit k iy Sur les appuis M iy ! max M i 1 x ; M ix

?

A

En trave k tiy u min max 0 ,75 ; 1,25

k i 1 y k iy ; 1 , gnralement k tiy ! 0,75 2

: Pour simplifier, on pourrait considrer les coefficients et moments forfaitaires suivants: j k i ! 0 , 5 sur tous les appuis intermdiaires j En trave, avec en rive une poutre ou un voile ka ,rive ! 0 ,15 ,0 - pour une dalle de rive M t1 x ! 0 ,925 M10x et pour une dalle intermdiaire M tix ! 0 ,75 M ix


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80950709.doc0 - pour une dalle de rive M t 1 y ! 0 ,925 M 10y et pour une dalle intermdiaire M tiy ! 0 ,75 M iy

j En trave, avec en rive un mur en maonnerie, ka ,rive ,x ! 0 ,0 - pour une dalle de rive M t1 x ! M10x et pour une dalle intermdiaire M tix ! 0 ,75 M ix

0 - pour une dalle de rive M t1 y ! M10y et pour une dalle intermdiaire M tiy ! 0 ,75 M iy

Autre mthode utilise On choisit les moments sur les appuis et on en dduit les moments en trave. y Dans le sens principal x En rive pour tous les appuis rputs articuls : en bton (voile ou poutre) et mur en maonnerie, on choisira : ka ,rive ,x ! 0 . Attention : si en rive la dalle se prolonge en console, le moment sur lappui de rive est statiquement dtermin. Sur tous les appuis intermdiaires, les valeurs du moment de flexion seront dtermines en multipliant par 0,5 la valeur la plus grande des moments isostatiques des 2 dalles encadrant lappui tudi.0 0 M i 1 x ! k i 1 x M ix ! 0 , 5 v max M i01 x ; M ix

0 M ix ! k ix M i0,x ! 0 , 5 v max M ix ; M i01 x

On en dduit les diffrents coefficients sur les appuis de la dalle i : k i 1 x et k ix . Puis on dtermine les coefficients des moments en trave :

k k ix k tix u min max 0 ,75 ; 1,25 i 1 x 2

; 1

y Dans le sens porteur y Les moments sur appuis doivent tre gaux ceux des grands cots. 0 Sur les appuis : M iy ! max M i 1 x ; M ix de M iy ! k iy M iy on en dduit k iy

?

A

En trave : k tiy u min max 0 ,75 ; 1,25

k i 1 y k iy ; 1 , gnralement k tiy ! 0,75 2

: Pour simplifier, on pourrait considrer les coefficients et moments forfaitaires suivants : j ki ! 0 ,5 sur tous les appuis intermdiaires j En trave, avec en rive un appui rput articul : ka ,rive ,x ! 0 ,0 - pour une dalle de rive M t1 x ! M10x et pour une dalle intermdiaire M tix ! 0 ,75 M ix

0 0 - pour une dalle de rive M t 1 y ! M1 y et pour une dalle intermdiaire M tiy ! 0 ,75 M iy


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6.

Les appuis de rive Efforts aux abouts des poutres : bielle dabout et ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis d'extrmit: 9.2.1(4)6.1. Dterminations des actions daprs lEN 1992-1-1 : appui simple dextrmit

6.1.1. Expression de leffort de traction ancrerLarticle 9.2.1(3) Leffort de traction ancrer peut tre dtermin conformment 6.2.3 (7) (lments avec armatures deffort tranchant), en incluant leffet de leffort normal sil existe ou en appliquant la rgle de dcalage :

FE !

VEd al VEd cot U ! 2 z

(9.3)

Pour des armatures deffort tranchant a l !

z cot U 2

Justification en utilisant 6.2.3(7) Les bielles de bton, en zone courante de la poutre, sont inclines de Leffort dans larmature se dtermine partir du moment situ

U

.

x a l : Ftd x !

M x a l z

Leffort de traction supplmentaire dans les armatures longitudinales

( Ftd x !

M x al M x VEd a l VEd cot U ! ! 2 z zVEd cot U VEd al ! {9.3}, 2 z

Sur lappui de rive, le moment de flexion tant nul, seul existe cet effort

FEd ! ( Ftd 0 !

Cette force conditionne la section droite du 1er lit darmatures longitudinales et son ancrage.

6.1.2. Modlisation de la bielle daboutSi on admet que les charges sont transmises par une bielle incline U' par rapport l'axe de la poutre. Cela conduit au schma mcanique suivant: VEd : valeur de l'effort tranchant au nu de l'appui. Autre notation utilise : VEd ,nu . Reprenons la modlisation en treillis, isolons uniquement la bielle d'about. Cette bielle est incline U' sur laxe de la poutre. On suppose quun seul lit arrive sur lappui : diamtre des barres : Jl Soit

t la largeur de lappui : t ! a cnom 2 s0 a reprsente la profondeur dappui utile.a 2 s0 cot U' a b ! ?a 2 s 0 cot U ' Asin U '

Lpaisseur de la bielle dans la direction parallle laxe moyen de la poutre: Daprs la fig. 6.27de lEC2, lpaisseur de la section droite de la bielle :


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(z+s0 )cot Uz cot U ! z cot U' 2 lb d

W Rd ,2

a b ! ? 2 s0 cot U ' Asin U ' a

s0 s0 c nom 2s 0 ?a 2 s 0 cot U' A a

U'Jl

zbw

U

tbp R ! VEd

figure 57 : bielle dabout conforme lEN 1992-1-16.1.3. quilibre du tronon de bielle dabout (uniquement le bton)

VEd effort tranchant au nu de lappui ( VEd ,nu ) FEd reprsente laction de larmature infrieure sur le tronon de bielle, transmise par adhrence. Fb leffort de compression dans la bielleSi nous avions isol le tronon de bielle de bton ainsi que le tronon darmature,

FEd reprsenterait leffort normal dans

larmature. Ce tronon est soumis 3 forces, elles sont concourantes, traduisons gomtriquement que la rsultante est nulle.

FEd cot U ! V Ed 2 Cette force FEd conditionne linclinaison de la bielle dabout. cot U ' !a b ! ?a 2 s 0 cot U ' Asin U '

W Rd , 2

Fb !

V Ed sin U '

U'F ! V Ed cot U'

Ed W Rd ,1

R ! VEd

figure 58 : isolement de la bielle de bton dabout


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Fb !

V Ed sin U '

R ! VEd

U'FEd ! V Ed cot U 'Figure 59: traduction de lquilibre de la bielle daboutLquilibre donne : Larmature doit tre capable de reprendre un effort normal gal :

FEd ! VEd cot U ' ;

cot U' !

cot U 2

On peut en dduire leffort normal de compression dans la bielle dabout La bielle est soumise un effort gal :

Fb !

V Ed sin U '

Fb ! V Ed FEd

2

2

6.1.4. Vrification de la bielle en compression :Pour une bielle incline U' , leffort normal dans celle-ci est : Fb !

V Ed sinU '

Nous devons vrifier que la contrainte de compression est infrieure :

f W Rd ,max ! k2R ' fcd ! 0 ,85 1 ck fcd , {6.61} 250 La largeur de la bielle de bton est gale :, a b ! a 2 s 0 cot U' sinU ' Aire de la section droite de la bielle : a 2 s 0 cot U' sinU '.bw .

?

A

?

A

b p largeur du poteauLa vrification de la bielle s'crit Soit W Rd ,bielle ou

bw largeur de la poutre

soit bb ! Min bw ; b p

?

A

W Rd ,2 !V Ed sinU '

Fb Fb eW la contrainte dans la bielle = ab bb ?a 2s0 cot U ' Asin U ' bb Rd ,max VEd e W Rd ,max bb ?a 2 s0 cot U ' Asin 2 U '

en remplaant Fb !

Vrification de lappui constitu par le poteau : Pour V Ed , il faudrait considrer leffort tranchant rduit + les charges appliques directement sur lappui.

b p largeur du poteau

bw largeur de la poutre W Rd ,1 !

soit bb ! Min bw ; b p

?

A

La compression sur la surface dappui doit aussi vrifier :

VEd e W Rd ,max abb

6.1.5. Vrification du lit infrieur sur appuiVrification de la section des aciers :

FEd !

VEd cot U 2

As ,appui !

VEd cot U 2 f yd

Vrification de lancrage Il existe 2 interprtations : Albouy Christian Lyce Le Garros Auch Page 42/122 11/01/2012

80950709.doc y La longueur d'ancrage (3) La longueur d'ancrage est

l bd conformment 8.4.4, mesure partir de la ligne de contact

entre la poutre et l'appui (nu de lappui). La pression transversale peut tre prise en compte pour un appui direct. Voir la Figure 9.3. Figure 9.3. Ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis d'extrmit

lbd

lbda) appui direct b) appui indirect

a) appui direct : poutre reposant sur un mur ou un poteau b) appui indirect : poutre encastre dans une autre poutre y Si on se rfre la figure 6.27 de leurocode, la longueur dancrage est compte partir de lintersection de la barre avec la bielle. (Dans le cadre dun dimensionnement laide dun modle bielles tirants) Exemple numrique

6.1.6. Exemple numrique Donnesbw bp d z VEd t = = = = = = = = = = = 0,25 0,3 0,61 0,549 0,32 0,6 1,5 0,025 0,006 0,02 3 m m m m MN m m m m 3 HA 20 en une seul lit

(me) (poteau)(hauteur utile) (bras de levier = 0,9 d)

cot Ucnom t l nb barres Rsultats s0 a bb

au choix entre 1 et 2,5

= = =

0,041 0,493 0,25

m m

= cnom + w + /2 = t cnom 2 s0 = Min[bw ; bp]

cot U ' ! cot U ' U' ab= = = 0, 75 53,13 0,394 m

FEd cot U ! V Ed 2

a b ! ?a 2 s 0 cot U' AsinU '

W Ed 2FEd As,inf Lbd,rqd Lbd Ancrage droit disponible

W Rd ,2 != = = = = 3,25 0,24 5,52 0,475 0,559 OK MPa MN cm2 m m

Fb V Fb ! Ed sinU ' ab bb

FEd ! VEd cot U '< 9,42 = 40,5 x 5,52 / 9,42 Origine le nu de lappui = h - cnom scellement droit vrifi


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6.2.

Efforts aux abouts des poutres et ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis d'extrmit: bielle dabout mthode Thonier

Hypothse : le dcalage donn par le rglement ne permet pas dtre en scurit. M. H Thonier , dans son ouvrage ( tome 7 conception et calcul des structures de btiments) propose de considrer

a l ! z cot U

soit le double de la valeur indique par lEC2 soit

FEd ! VEd cot U

FEd !

M Ed z

z hU'

U

E

U'

z cot U cot E

6.2.1. Justification

6.2.3.(5) l ! z cot U Soit n 1 le nombre despacements constants s1 sur l ! z cot U , le treillis multiple est constitu de n treillis On considre que leffort tranchant est constant sur lmentaires Soit

s0

la distance entre le nu de lappui et le 1er cours

n = partie entire

z cot U s 0 a / 2 1 s1

Hypothse : chaque treillis lmentaire est sollicit par un mme effort tranchant Pour le treillis n i , la bielle est incline dun angle

V Ed / nVEd cot N i n

N i , leffort dans la membrure tendue est gal :

zUN1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7

a 2

s0

s1

s1

s1

s1

s1

s1

V EdaAlbouy Christian Lyce Le Garros Auch

z cot U

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80950709.doc Leffort total dans les armatures tendues arrivant sur lappui :

FEd ! 1

n

VEd cot N i n

FEd !n

VEd ni

cot N cot N ! ?cot Ni i 1 1

n

n

1

cot N 2 ... cot N i ... cot N n A

cot N1 n

!

1 a a a a 2 s 0 2 s 0 s1 ... 2 s 0 i 1s1 ... 2 s 0 n 1s1 z

1 a 1 a n1 n ns 0 s1 ... i 1s1 n 1s1 ! n ns 0 i s1 z 2 1 1 z 2 n V a 1 a ( n 1 ) n( n 1 ) FEd ! Ed s0 s1 cot N i ! z n 2 ns0 2 s1 z 2 2 1 Le treillis unique quivalent au treillis multiple possde une bielle dabout incline dun angle U' 1 a ( n 1) FEd ! VEd cot U ' cotU' ! s 0 s1 z 2 2

cot N i !

rapport

FEd FEd?EC 2A

!

2 cot U ' a 2 s0 ( n 1 )s1 ! cot U z cot U z cot U s0 a / 2 1 z cot U ! n 1s1 s 0 a / 2 s1

en supposant que n !

FEd ( n 1 )s1 2 s0 a 2 cot U ' 1 ! ! ! 1 ?EC 2A cot U n 1 s1 s0 a / 2 n 1 s1 FEd 1 s0 a / 2 FEd Ce rapport est toujours suprieur 1. 1e e 2, EC 2 FEd ? AOr pour tre en scurit il faudrait que :

FEd ! VEd cot U

. Cela correspondrait une bielle dabout incline du mme

angle U que les bielles intermdiaires. On se rapproche de la valeur de lEC2 pour des valeurs de n leve. n 1 2 3

41 a 3s s0 1 2 z 2

51 a 4s s0 1 2 z 2

61 a 5s s0 1 z 2 2

g

cotU '1 a ( n 1 ) 2 s0 2 s1 z

1 a s0 z 2

1 a s s0 1 z 2 2

1 a 2s s0 1 z 2 2

FEd FEd ?EC 2A

2

1 1

1 s1 s0 a / 2

1 1

1 1 1 1 1 1 1 2 s1 3 s1 4 s1 5s1 1 1 1 s0 a / 2 s0 a / 2 s0 a / 2 s0 a / 2

1

En prenant

s0 ! s1 2

FEd ! VEd cot U '

;

1 1 cot U' ! ?a ns1 A ; FEd ! 2 cot U ' !! 1 EC 2 2z 2 n 1 cot U FEd ? A 1 a 1 s1 et linclinaison

La valeur de

n la plus petite sera obtenue pour lespacement le plus grand s1 ! 0 ,75d

cot U ! 1

z cot U s 0 a / 2 0 ,9d s 0 a / 2 n ! min 1 ! 1} 2 s1 0 ,75d Albouy Christian Lyce Le Garros Auch Page 45/122 11/01/2012

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z

U'a 2

U

VEda

z cot U ! z cot U ' 2

EC 21 a z cot U 2 s0 2

1 a z cot U 2 s0 2

U'Uz cot U' !

z

Ua n 1 s0 s1 2 2

a 2

z cot U '

VEda

( n 1) z cot U ' ! z cot U s1 2 z cot U ' ! 1 a z cot U 2 s0 2

s0 reprsente la distance entre le nu de lappui et le premier cours darmatures dme. a peut reprsenter la profondeur dappui utileAlbouy Christian Lyce Le Garros Auch Page 46/122 11/01/2012

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6.3.

Proposition partir du calcul de langle dinclinaison de la bielle dabout dtermin par M. Thonier

Sur la figure ci-dessous le point F qui dfinit linclinaison de la bielle peut tre dtermin partir de la dmonstration de M Thonier paragraphe prcdent

s1 premier espacement des cours darmatures transversales.

s0

distance entre le nu de lappui et le premier cours ; par exemple

s0 !

s1 2

Langle dinclinaison est not Leffort de glissement = FEd en supposant que n !

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