COURS Christian ALBOUY Bton Arm EC2

Cours de- Bton Arm EC2 - _______________________________________________ Cen'estpasuncours,maisunecompilationd'lmentspermettantdecomprendrelaphilosophiedel'Eurocodeet parfoisdejustifierpartiellementl'originedesexpressionsenparticulierpourlecisaillement,lecalculdelouverturedes fissures.Cela peut vous aider de crer ou adapter votre propre cours. Si vous dtectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer ladresse : christian.albouy@ac-toulouse.fr Bibliographie Applicationdeleurocode2.CalculdesbtimentsenbtonJean-ArmandCalgaroetJacquesCortadePressesde lcole des Ponts et ChaussesTome 7 Conception et calcul des structures de btiment LEurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de lcole des Ponts et Chausses Poutres en bton : effort tranchant et bielles dappui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Poutres et dalles en environnement agressif Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Calcul des structures en btonHenri Thonier site : btp.equipement.gouv.fr Albouy Christian - Lyce Le Garros Auch SOMMAIRE 1.LES POUTRES_______________________________________________________________ 7 1.1.DEFINITION GEOMETRIQUE REGLEMENTAIRE DUNE POUTRE ...................................................... 9 1.2.SCHEMATISATION DE LA STRUCTURE : CHOIX DES LIAISONS AUX APPUIS, PORTEES A CONSIDERER, LARGEUR PARTICIPANTE DE LA TABLE DE COMPRESSION ................................................................... 10 1.2.1.LARGEURS PARTICIPANTES (EFFICACES) DES TABLES DE COMPRESSION (POUR TOUS LES ETATS LIMITES)10 1.2.2.PORTEES UTILE (DE CALCUL) DES POUTRES ET DALLES DANS LES BATIMENTS11 1.2.3.LES APPUIS13 2.ANALYSE STRUCTURALE : METHODES DE CALCUL PERMETTANT DE DETERMINER LES SOLLICITATIONS ( MOMENT DE FLEXION, EFFORT TRANCHANT )_____________________________________________17 2.1.ANALYSE ELASTIQUE LINEAIRE ............................................................................................... 19 2.2.ANALYSE LINEAIRE AVEC REDISTRIBUTION LIMITEE DES MOMENTS ........................................... 19 2.3.ANALYSE PLASTIQUE : (HORS PROGRAMME BTS) ................................................................... 22 2.4.ANALYSE NON-LINEAIRE (HORS PROGRAMME BTS) ................................................................. 23 2.5.APPUIS DE RIVE .................................................................................................................... 24 2.6.MODELISATION ..................................................................................................................... 24 2.7.VALUATION DES SOLLICITATIONS. LES DIFFERENTES METHODES DE CALCUL ........................... 24 2.7.1.POUTRES CONTINUES : RAPPEL DE LA RDM.24 2.7.2.THEOREME DES 3 MOMENTS : RAPPELS24 2.7.3.QUATIONS DU MOMENT DE FLEXION ET DE L'EFFORT TRANCHANT RELATIVES A UNE TRAVEE I.26 2.7.4.DETERMINATION DES ACTIONS DE CONTACT.26 3.CAS DE CHARGEMENT ________________________________________________________ 27 4.VALUATION DES CHARGES TRANSMISES PAR LE HOURDIS AUX POUTRES DE BORDURE ET DES POUTRELLES AUX POUTRES.________________________________________________________________33 5.TUDE DES DALLES__________________________________________________________ 43 5.1.DEFINITION DUNE DALLE ....................................................................................................... 45 5.2.DEFINITION DUNE POUTRE DALLE .......................................................................................... 45 5.3.DALLES PLEINES COULEES EN PLACE ..................................................................................... 46 5.3.1.ARMATURE DE FLEXION46 5.3.2.ARMATURES DES DALLES AU VOISINAGE DES APPUIS46 5.3.3.ARMATURES D'ANGLE46 5.3.4.ARMATURES DES BORDS LIBRES47 5.3.5.ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT47 5.4.MODELISATION ..................................................................................................................... 48 5.5.DALLE PLEINE UNIQUE SIMPLEMENT APPUYEE SUR SES 4 COTES AVEC5 0,yx> >> > = == =ll .............. 49 5.5.1.DALLES ISOSTATIQUES49 5.5.2.ANNEXE : DALLES CONTINUES DONT LE RAPPORT DES PORTEES5 0,yx> >> > = == =ll 49 6.LES APPUIS DE RIVEEFFORTS AUX ABOUTS DES POUTRES : BIELLE DABOUT ET ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS D'EXTREMITE: 9.2.1(4)_________________________________53 6.1.DETERMINATIONS DES ACTIONS DAPRES LEN 1992-1-1 : APPUI SIMPLE DEXTREMITE ............. 55 6.1.1.EXPRESSION DE LEFFORT DE TRACTION A ANCRER55 6.1.2.MODELISATION DE LA BIELLE DABOUT55 6.1.3.QUILIBRE DU TRONON DE BIELLE DABOUT (UNIQUEMENT LE BETON)56 6.1.4.VERIFICATION DE LA BIELLE EN COMPRESSION :57 6.1.5.VERIFICATION DU LIT INFERIEUR SUR APPUI57 6.1.6.EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES58 6.2.EFFORTS AUX ABOUTS DES POUTRES ET ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS D'EXTREMITE: BIELLE DABOUT METHODE THONIER ................................................................ 59 6.2.1.JUSTIFICATION59 6.3.PROPOSITION A PARTIR DU CALCUL DE LANGLE DINCLINAISON DE LA BIELLE DABOUT DETERMINE PAR M. THONIER ............................................................................................................................ 62 6.3.1.VERIFICATION DE LA COMPRESSION DANS LA BIELLE DABOUT64 6.3.2.VERIFICATION DE LAPPUI CONSTITUE PAR LE POTEAU :64 6.3.3.ANCRAGE DES ARMATURES LONGITUDINALES65 6.3.4.EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES65 6.4.METHODE DE M THONIER ...................................................................................................... 66 6.5.METHODE DE M THONIER MODIFIEE ....................................................................................... 71 6.6.BIELLES DABOUT ;METHODE BASEE SUR LA THEORIE DES BIELLES ET TIRANTS (ARTICLE DE M. CORTADE) ...................................................................................................................................... 75 6.6.1.VERIFICATION DE LAPPUI CONSTITUE PAR LE POTEAU :76 6.6.2.ANCRAGE DES ARMATURES LONGITUDINALES76 6.6.3.VERIFICATION DU LIT INFERIEUR SUR APPUI77 6.6.4.EXEMPLE NUMERIQUE DONNEES77 6.7.COMPARAISON DES DIFFERENTES METHODES ........................................................................ 77 7.APPUIS INTERMEDIAIRES DE POUTRE CONTINUE______________________________________ 79 7.1.MODELISATION ..................................................................................................................... 81 7.2.APPUI INTERMEDIAIRE (FIG. 6.26) METHODE BASEE SUR LA THEORIE DES BIELLES ET TIRANTS ... 83 7.3.ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES AU NIVEAU DES APPUIS INTERMEDIAIRES (ASPECT REGLEMENTAIRE) ........................................................................................................................... 84 7.4.SYNTHESE : ......................................................................................................................... 85 8.- TRACTION SIMPLE - LES TIRANTS_______________________________________________ 87 8.1.- DEFINITION ..................................................................................................................... 89 8.2.- JUSTIFICATION A LE.L.U................................................................................................ 89 8.2.1.- HYPOTHESES :89 8.2.2.- SOLLICITATION DE CALCUL :Edu 89 8.2.3.- DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES :89 8.3.JUSTIFICATION AL'E.L.S : ............................................................................................... 91 8.3.1.- HYPOTHESES :91 8.3.2.- SOLLICITATION DE CALCUL : ser 91 8.3.3.METHODE91 8.3.4.: CALCUL DE LOUVERTURE DES FISSURES92 8.4.ARMATURES MINIMALES ........................................................................................................ 94 8.4.1.POUR LA MAITRISE DE LA FISSURATION94 8.4.2.POUR LA CONDITION DE NON-FRAGILITE : yk sf = == = 95 CONDITION DE NON FRAGILITEBAEL 199995 8.4.3.ARMATURES TRANSVERSALES95 9.- COMPRESSION SIMPLE - LES POTEAUX -___________________________________________ 97 9.1.DEFINITION GEOMETRIQUE .................................................................................................... 99 9.2.JUSTIFICATION A L'E.L.U : .............................................................................................. 100 9.2.1.- DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES : As100 9.3.- DIMENSIONNEMENT DU COFFRAGE .......................................................................... 100 9.3.1.- DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES TRANSVERSALES101 9.3.1.1.- Diamtre t et espacement des cours t , cls 101 9.3.2.- ARMATURES TRANSVERSALES :103 9.3.3.- SECURITE104 9.4.ORGANIGRAMME ................................................................................................................ 105 9.5.METHODE SIMPLIFIEE PROPOSEE PAR M. H. THONIER ........................................................ 107 9.5.1.CONDITIONS DEMPLOI107 9.5.2.FORMULE DU TYPE :| || | | || |yd cd c h Rdf f A k + ++ + = == =108 9.6.ORGANIGRAMME POTEAU RECTANGULAIRE .......................................................................... 109 9.7.ORGANIGRAMME POTEAU CIRCULAIRE ................................................................................. 110 9.8.ORGANIGRAMME POTEAU RECTANGULAIRE .......................................................................... 111 9.9.ORGANIGRAMME POTEAU CIRCULAIRE ................................................................................. 112 10.CALCUL DES SEMELLES FILANTES ET RECTANGULAIRES SOUS CHARGE CENTREE________________113 10.1.SOL DE FONDATION ........................................................................................................... 115 10.2.DIAGRAMME DES MOMENTS POUR UNE SEMELLE FILANTE. .................................................... 115 10.3.EXPRESSION DU MOMENT REGLEMENTAIRE ......................................................................... 116 10.4.MODELISATION BIELLES-TIRANT EQUIVALENTE ..................................................................... 117 10.5.CALCUL DES ARMATURES ................................................................................................... 117 10.6.DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES ......................................................................................... 118 10.6.1.DIAMETRE MINIMAL DARMATURES118 10.6.2.CONDITION DE NON FRAGILITE118 LARTICLE 9.8.2 RELATIF AUX SEMELLES DE FONDATION DE POTEAUX ET DE VOILES NINDIQUE PAS DE SECTION MINIMALE DARMATURES. ................................................................................................. 118 10.6.3.ENROBAGE118 10.6.4.SEMELLES SOUS POTEAUX CIRCULAIRES118 10.6.5.TAT LIMITE DE SERVICE VIS-A-VIS DE LA FISSURATION (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES)118 10.6.6.ARMATURES MINIMALES DE CHAINAGE (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES)118 10.6.7.ANCRAGES DES ARMATURES118 10.6.8.- ARMATURES EN ATTENTE RELATIVES AU FERRAILLAGE DES POTEAUX OU VOILES118 10.7.REMARQUE : POUR OBTENIR DES SECTIONS DARMATURES IDENTIQUES DANS LES 2 DIRECTIONS :................................................................................................................................ 119 10.8.VERIFICATION DE NON-POINONNEMENT ............................................................................ 120 10.9.ANCRAGE DES BARRES ...................................................................................................... 122 11.MURS DE SOUTENEMENT (ANALYSE DE LA STABILITE)__________________________________ 125 11.1.RAPPELS DE LEC 7 .......................................................................................................... 127 11.2.EXEMPLE DE METHODE ANALYTIQUE SIMPLIFIEE DE CALCUL DE LA CAPACITE PORTANTEANNEXE D128 11.2.1.SYMBOLES UTILISES DANS LANNEXE D128 11.2.2.CONDITIONS NON DRAINEES128 11.2.3.CONDITIONS DRAINEES129 11.3.ANNEXE E DE EC.7.1(INFORMATIVE) EXEMPLE DE METHODE SEMI-EMPIRIQUE POUR L'ESTIMATION DE LA CAPACITE PORTANTE....................................................................................... 130 11.4.VERIFICATION DE LA STABILITE EXTERNE DES MURS DE SOUTENEMENT ................................. 131 11.4.1.DONNEES, HYPOTHESES131 11.4.2.CHOIX DU TYPE DE MUR131 11.4.3.PREDIMENSIONNEMENT131 11.5.JUSTIFICATION DE LA STABILITE EXTERNE ........................................................................... 132 11.5.1.GENERALITES132 11.6.HYPOTHESES .................................................................................................................... 135 11.7.VERIFICATION QUE LON PEUT ENVISAGER A LU.4.1 ............................................................ 136 12.LES JOINTS DE DILATATION___________________________________________________137 13.ELEMENTS EXPOSES (RECOMMANDATIONS PROFESSIONNELLES)__________________________141 14.LES CHAINAGES ___________________________________________________________ 145 15.LES VOILES______________________________________________________________151 Page 7/154 Page 8/154 Page 9/1541. Les poutres 1.1.Dfinition gomtrique rglementaire dune poutre Lh3poutre - cloison poutre Lporteh hauteur totale bwh10,3poutre-dalleassimil une dallepoutre cloison poutre mincepoutre courantepoutre largepoutre5hbw La largeurbw recommande dune poutre doit vrifierbw 150pour pouvoir loger au moins 2 aciers longitudinaux et un cadre. Dfinition dune poutre-dalle : Dalle prsentant 2 bords libres. : Remarque : Cette appellation nest pas utilise dans lEC2 Lh5 dalle L,lporteh hauteur totale Une dalle de dimensions y x y xl l l l est telle que : h lx5 Unedalleprincipalementsoumisedeschargesuniformmentrpartiespourratreconsidreporteusedansun sens dans les cas suivants : elle prsente deux bords libres (sans appuis) et sensiblement parallles : on la dnomme poutre-dalle. ellecorrespondlapartiecentraled'unedallepratiquementrectangulaireappuyesurquatrectsetdontle rapport de la plus grande la plus faible porte est suprieur 2. Si on note yxLL= == = ou yxll= == = si5 0, < : 3 4uxk kd +b) pour des aciers haute ductilit classe B ou C (voir annexe C),50 7 k , =pour des aciers haute ductilit classe A (voir annexe C), 60 8 k , =avec : : rapport du moment aprs redistribution au moment avant redistribution Note :lecoefficientrducteur peuttrechoisidiffremmentenfonctionducasdecharge considr. 5.5(4) AN ux: hauteur de l'axe neutre l'tat-limite ultime aprs redistribution ... 5.5 5.4 (3) 5.4 Page 20/154Le terme dxu se rapporte la section dans laquelle on rduit le moment. d: hauteur utile. 44 01, k = == =30 54 k , = 2 420 00141 25 0 6cu,k k , ( , ) = = + 70 05, k = == =60 80 k , =Pour des btons courants Mpa fck50 : 3210 5 3 = == = ,cu voir tableau 3.1 0 44 1 25ux, ,d = +Pour des aciers haute ductilit classe B ou C : 50 7 k , =La valeur de dxu correspondant 7 0, = == = est208 0, ,.soit152 02,f d bMcd wuu= == = = == = pour des valeurs de152 0,u < >> > )portentdans2sens.Lerglementetledocument dapplicationnationaletantmuets,jepensequonpeututiliserparexemplelamthodebasesurlannexeE3du BAEL ( 0 = == = ). Pourlesdallescontinuestellesque( 5 0, > >> > ),lerglementnedonnepasdemthodeforfaitairepour lvaluationdesmomentssurappuisetdanslestraves.Danslattentedunepublication,onpourraitutiliserla mthode propose dans le BAEL (A.8.2,32). Page 49/1545.5.Dalle pleine unique simplement appuye sur ses 4 cts avec5 0,yx> >> > = == =ll EC2 muet 5.5.1.Dalles isostatiques Les mthodes de dtermination des sollicitations voques dans ce chapitresontgnralementbasessurlathoriedesplaquesen considrant un matriau lastique linaire.Lessollicitationssontvaluespourdesbandesdedallede 1,000 m de large : les moments sont dtermins au centre de la dalle, les efforts tranchants sur les appuis. On obtient donc : - 0xM et0yMen kN.m/m. - 0axVet0ayV en kN/m.

Note:- Lexposant0indiquequel'onconsidrelessollicitations dansunedallesimplementappuyesursoncontour (isostatique). 5 0,yx> >> > = == =ll avec x y l lxl , ylsont les portes utiles y0yMr0xMrylxl0ayV0ayV0axV Cas d'une charge uniformment rpartiep sur la surface du panneau. Les valeurs des moments flchissants sont dtermines au centre de la dalle en fonction de la valeur de la charge rpartiep et des portes xl etyl . 2 0x x x. p . M l = == =0 0x y yM . M = == =( (( ( ) )) ) + ++ += == =20 xax. pVl 30 xay. pVl= == = 5.5.2.ANNEXE : dalles continues dont le rapport des portes5 0,yx> >> > = == =ll Lesdallesrectangulairesencastres(totalementoupartiellement)peuventtrecalculeslaflexionsurlabase Lesdallesrectangulairesencastres(totalementoupartiellement)peuventtrecalculeslaflexionsurlabase des efforts qui sy dvelopperaient si elles taient articules sur leur contour. Les valeurs maximales des moments en trave et sur appuis, dans les 2 directions sont values, des fractions, fixesforfaitairement,delavaleurmaximaledesmomentsdeflexion 0xM et0yM dterminsdanslepanneauassoci suppos articul sur son contour ayant mmes portes et charges appliques. En trave, les moments de flexion maximaux calculs dans lhypothse de larticulation peuvent tre rduits de 15% 25% selon les conditions dencastrement.Les moments dencastrement surlesgrands cots sontvalus respectivement au moins 40%et 50%des moments flchissants maximaux valus dans lhypothse de larticulation. 0 = == = bton fissur yxll= == = x y 0,500,09650,2584 0,550,08920,2889 0,600,08200,3289 0,650,07500,3781 0,700,06830,4388 0,750,06200,5124 0,800,05610,5964 0,850,05060,6871 0,900,04560,7845 0,950,04100,8887 1,000,03681,0000 Page 50/154Lesmomentsdencastrementsurlespetitscotssontgauxceuxvaluspourlesgrandscotsdans lhypothse que ces grands cots sont encastrs (totalement ou partiellement) dans les mmes conditions que les petits cots. De part et dautre de chaque appui intermdiaire, que ce soit dans la direction x ou y, on retient la plus grande des valeurs absolues des moments valus gauche et droite de lappui considr. Pour la dalle notei , lorsquil sagit de la porte principale, si on dsigne par 0ixMle moment maximal calcul dans lhypothse de larticulation, par x iM1 et ixM les valeurs absolues prises en compte pour les moments surappuis(degaucheetdedroite)etpar tixM lemomentmaximalconsidrentrave,ondoitvrifier lingalit : 0125 12ixix x itixM ,M MM + ++ ++ ++ + Mthode pratique propose :On choisit les moments sur les appuis et on en dduit les moments en trave. Dans le sens principal x En rive pour un appui en bton (voile ou poutre)15 0, kx , rive , a= == = , (lEC2 indique 15% du moment max. de la travederive,commecemomentestinconnuonluisubstituelemomentisostatique)Celasupposeque lappui soit capable de reprendre ce moment. En toute rigueur, il faudrait calculer llment dappui compte tenu de ce moment : torsion de la poutre. Autre solution scuritaire que lon peut considrer : 0a ,rive , xk =sur tous les appuis de rive rputs articuls. Attention :sienriveladalleseprolongeenconsole,lemomentsurlappuideriveeststatiquement dtermin ; si lappui de rive est un mur en maonnerie,0a ,rive , xk = . Sur tous les appuis intermdiaires les valeurs du moment de flexion seront dtermines en multipliant par 0,5 la valeur la plus grande des moments isostatiques des 2 dalles encadrant lappui tudi. ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1 1 10 5 0 5i x i x ix i x ix ix ix i , x ix i xM k M , max M ; M M k M , max M; M += = = = On en dduit les diffrents coefficients ixk . Puis on dtermine les coefficients des moments en trave :( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + 1225 1 75 01;k k, ; , max min kix x itix Dans le sens porteur y Les moments sur appuis doivent tre gaux ceux des grands cots. Sur les appuis| || | | || |ix x i iyM ; M max M1 = == =de 0iy iy iyM k M = == =on en dduit iykEn trave ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + 1225 1 75 01;k k, ; , max min kiy y itiy , gnralement75 0, ktiy = == =: Pour simplifier, on pourrait considrer les coefficients et moments forfaitaires suivants: 0 5ik , =sur tous les appuis intermdiairesEn trave, avec en rive une poutre ou un voile0 15a ,rivek , = ,- pour une dalle de rive 01 1925 0x x tM , M = == = et pour une dalle intermdiaire 075 0ix tixM , M = == =- pour une dalle de rive 01 1925 0y y tM , M = == = et pour une dalle intermdiaire 075 0iy tiyM , M = == =En trave, avec en rive un mur en maonnerie,0a ,rive , xk = ,- pour une dalle de rive 01 1 t x xM M = et pour une dalle intermdiaire 075 0ix tixM , M = == =- pour une dalle de rive 01 1 t y yM M = et pour une dalle intermdiaire 075 0iy tiyM , M = == = Page 51/154Autre solution Mthode pratique propose :On choisit les moments sur les appuis et on en dduit les moments en trave. Dans le sens principal x En rive pour tous les appuis rputs articuls : en bton (voile ou poutre) et mur en maonnerie, on choisira : 0a ,rive , xk = . Attention :sienriveladalleseprolongeenconsole,lemomentsurlappuideriveeststatiquement dtermin. Surtouslesappuisintermdiaires,lesvaleursdumomentdeflexionserontdterminesenmultipliantpar 0,5 la valeur la plus grande des moments isostatiques des 2 dalles encadrant lappui tudi. ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1 1 10 5 0 5i x i x ix i x ix ix ix i , x ix i xM k M , max M ; M M k M , max M; M += = = = On en dduit les diffrents coefficients sur les appuis de la dalle i : 1 i xk et ixk . Puis on dtermine les coefficients des moments en trave :( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + 1225 1 75 01;k k, ; , max min kix x itix Dans le sens porteur y Les moments sur appuis doivent tre gaux ceux des grands cots. Sur les appuis :| || | | || |ix x i iyM ; M max M1 = == = de 0iy iy iyM k M = == =on en dduit iykEn trave : ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + 1225 1 75 01;k k, ; , max min kiy y itiy , gnralement75 0, ktiy = == =: Pour simplifier, on pourrait considrer les coefficients et moments forfaitaires suivants : 0 5ik , =sur tous les appuis intermdiairesEn trave, avec en rive un appui rput articul :0a ,rive , xk = ,- pour une dalle de rive 01 1 t x xM M = et pour une dalle intermdiaire 075 0ix tixM , M = == =- pour une dalle de rive 01 1 t y yM M = et pour une dalle intermdiaire 075 0iy tiyM , M = == = Remarque :cettemthodeconduitunmomentisostatiquedanslatravederivebienquundeses appuis soit continus. Page 52/154 Page 53/154 Page 54/154 Page 55/1546.Les appuis de riveEfforts aux abouts des poutres : bielle dabout et ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis d'extrmit: 9.2.1(4) 6.1.Dterminations des actions daprs lEN 1992-1-1 : appui simple dextrmit6.1.1.Expression de leffort de traction ancrer Larticle 9.2.1(3) Leffort de traction ancrer peut tre dtermin conformment 6.2.3 (7) (lments avec armatures deffort tranchant), en incluant leffet de leffort normal sil existe ou en appliquant la rgle de dcalage : 2Ed l EdEV a V cotFz = = (9.3) Pour des armatures deffort tranchant cotzal2= == = Justification en utilisant 6.2.3(7) Les bielles de bton, en zone courante de la poutre, sont inclines de . Leffort dans larmature se dtermine partir du moment situ la x + ++ +:( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )za x Mx Fltd+ ++ += == =Leffort de traction supplmentaire dans les armatures longitudinales( )( ) ( )2l Ed l EdtdMx a Mx V a V cotF xz z + = = =Sur lappui de rive, le moment de flexion tant nul, seul existe cet effort( ) 02Ed Ed lEd tdV cot V aF Fz = = ={9.3},Cette force conditionne la section droite du 1er lit darmatures longitudinales et son ancrage. 6.1.2.Modlisation de la bielle dabout Si on admet que les charges sont transmises par une bielle incline ' par rapport l'axe de la poutre.Cela conduit au schma mcanique suivant: EdV : valeur de l'effort tranchant au nu de l'appui. Autre notation utilise : Ed ,nuV . Reprenons la modlisation en treillis, isolons uniquement la bielle d'about. Cette bielle est incline ' sur laxe de la poutre. On suppose quun seul lit arrive sur lappui : diamtre des barres :l Soith la largeur de lappui : 02s c a hnom + ++ + + ++ + = == = areprsente la profondeur dappui utile.Lpaisseur de la bielle dans la direction parallle laxe moyen de la poutre:' cot s a 02 + ++ +Daprs la fig. 6.27de lEC2, lpaisseur de la section droite de la bielle:| || | | || | ' sin ' cot s a ab 02 + ++ + = == = Page 56/154wbEdV R = == =nomc02s0sabdlh0spb' l | || | | || |' sin ' cot s a ab 02+ ++ + = == =| || | | || |' cot s a 02+ ++ +z 2 cot z2 , Rd ' cot z =(z+s )cot 0 figure 57 : bielle dabout conforme lE 1992-1-1 6.1.3.quilibre du tronon de bielle dabout (uniquement le bton)EdVeffort tranchant au nu de lappui (Ed ,nuV ) EdFreprsente laction de larmature infrieure sur le tronon de bielle, transmis par adhrence.bFleffort de compression dans la bielle Si nous avions isol le tronon de bielle de bton ainsi que le tronon darmature, EdFreprsenterait leffort normal dans larmature. Ce tronon est soumis 3 forces, elles sont concourantes, traduisons gomtriquement que la rsultante est nulle. 2 cotVF' cotEdEd= == = = == =Cette force EdFconditionne linclinaison de la bielle dabout. EdV R = == =| || | | || |' sin ' cot s a ab 02 + ++ + = == =1 , Rd 2 , Rd ' sinVFEdb = == =' ' cot V FEd Ed = == = figure 58 : isolement de la bielle de bton dabout Page 57/154 EdV R = == =' cot V FEd Ed = == =' sinVFEdb = == =' Figure59: traduction de lquilibre de la bielle dabout Lquilibre donne : Larmature doit tre capable de reprendre un effort normal gal : Ed EdF V cot ' =;2 cot' cot = == =On peut en dduire leffort normal de compression dans la bielle daboutLa bielle est soumise un effort gal :' sinVFEdb = == = 2 2Ed Ed bF V F + ++ + = == =6.1.4.Vrification de la bielle en compression : Pour une bielle incline ' , leffort normal dans celle-ci est : ' sinVFEdb = == =Nous devons vrifier que la contrainte de compression est infrieure : 20 85 1250ckRd ,max cd cdfk ' . f , f | |= = |\ , {6.61} La largeur de la bielle de bton est gale :,| || | | || | ' sin ' cot s a ab 02 + ++ + = == = Aire de la section droite de la bielle : | || | | || |wb '. sin ' cot s a 02 + ++ + .pblargeur du poteau wblargeur de la poutresoit| || | | || |p w bb ; b Min b = == =La vrification de la bielle s'critSoit bielle , Rd ou 2bRd ,b bFa b =la contrainte dans la bielle = | |02bRd ,maxbFa s cot ' sin ' b + en remplaant ' sinVFEdb = == =| | ( )202EdRd ,maxbVb a s cot ' sin ' + Vrification de lappui constitu par le poteau : Pour EdV , il faudrait considrer leffort tranchant rduit + les charges appliques directement sur lappui. pblargeur du poteau wblargeur de la poutresoit| || | | || |p w bb ; b Min b = == =La compression sur la surface dappui doit aussi vrifier : 1EdRd , Rd ,maxbVab = 6.1.5.Vrification du lit infrieur sur appui Vrification de la section des aciers : 2EdEdV cotF =2Eds ,appuiydV cotAf = Vrification de lancrage Il existe 2 interprtations : Page 58/154 La longueur d'ancrage (3) La longueur d'ancrage est bdlconformment 8.4.4, mesure partir de la ligne de contact entre la poutre et l'appui (nu de lappui). La pression transversale peut tre prise en compte pour un appui direct. Voir la Figure 9.3. Figure 9.3. Ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis d'extrmit bdlbdla) appui directb) appui indirect a) appui direct : poutre reposant sur un mur ou un poteau b) appui indirect : poutre encastre dans une autre poutre Si on se rfre la figure 6.27 de leurocode, la longueur dancrage est compte partir de lintersection de la barre avec la bielle. (Dans le cadre dun dimensionnement laide dun modle bielles tirants) Exemple numrique 6.1.6.Exemple numrique Donnes bw=0,25m(me) bp=0,3m(poteau) d=0,61m(hauteur utile) z=0,549m(bras de levier = 0,9 d) VEd=0,32MN h=0,6m cot =1,5au choix entre 1 et 2,5 cnom=0,025m t=0,006m l=0,02m nb barres=33 HA 20 en une seul lit Rsultats s0=0,041m= cnom + w + /2 a =0,493m= h cnom 2 s0 bb=0,25= Min[bw ; bp]cot ' =0, 75 2 cotVF' cotEdEd= == = = == =' =53,13 ba=0,394m | || | | || | ' sin ' cot s a ab 02 + ++ + = == =2 Ed =3,25MPa 2bRd ,b bFa b = ' sinVFEdb = == =FEd= 0,24MNEd EdF V cot ' = As,inf =5,52cm2< 9,42 Lbd,rqd =0,475m= 40,5 x 5,52 / 9,42 Lbd Ancrage droit disponible=0,559m Origine le nu de lappui= h - cnom

OKscellement droit vrifi Page 59/1546.2. Effortsauxaboutsdespoutresetancragedesarmaturesinfrieuresau niveau des appuis d'extrmit: bielle dabout mthode Thonier Hypothse : le dcalage donn par le rglement ne permet pas dtre en scurit.M. H Thonier , dans son ouvrage ( tome 7 conception et calcul des structures de btiments) propose de considrer cot z al= == =soit le double de la valeur indique par lEC2 soit Ed EdF V cot = ( (( ( ) )) ) cot cot z + ++ +z hzMFEdEd= == = ' ' 6.2.1.Justification On considre que leffort tranchant est constant sur cot z l = == = Soit1 nle nombre despacements constants 1ssur cot z l = == = , le treillis multiple est constitu den treillis lmentaires Soit 0sla distance entre le nu de lappui et le 1er coursn = partie entire1210+ ++ +( (( ( ( (( (

s/ a s cot z Hypothse : chaque treillis lmentaire est sollicit par un mme effort tranchantn / VEd Pour le treillis ni , la bielle est incline dun angle i , leffort dans la membrure tendue est gal : iEdcotnV a1 2 3 4 5 6 7 EdV0s1s1s1s1s1s1s cot z2az 6.2.3.(5) Page 60/154Leffort total dans les armatures tendues arrivant sur lappui : 1nEdEd iVF cotn = 1nEdEd iVF cotn =| || | | || |n inicot ... cot ... cot cot cot + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + = == = 2 11 ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ( (( (

| || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + | || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + + ++ + + ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = 1 0 1 0 1 0 011212 2 21s n sa... s i sa... s sasazcotni ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == =( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = 1110 1 1 1 01211 121s i nsanzs n s i ... s nsanzcotn ni ( (( ( ( (( (

+ ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = 1 012121s) n ( nnsanzcotni 0 112 2EdEdV a ( n )F s sz ( | |= + + |(\ Le treillis unique quivalent au treillis multiple possde une bielle dabout incline dun angle' Ed EdF V cot ' =( (( ( ( (( (

+ ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == =1 02121s) n (saz' cot rapport | |( )0 122 12EdECEda s ( n )sF cot 'cot z cotF ( + + = =en supposant que( (( ( ) )) ) 2 1 120 110/ a s s n cot zs/ a s cot zn + ++ + + ++ + = == = + ++ +( (( ( ( (( (

= == = | |( ) ( )1 021 1 001 2 2 111 1 212EdECEdF ( n )s s a cot 'n s cot n s s a /Fs a / ( ( + + (= = = + ( + ++ (+ Ce rapport est toujours suprieur 1.| | 21 2EdECEdFF ,Or pour tre en scurit il faudrait que : Ed EdF V cot =. Cela correspondrait une bielle dabout incline du mme angle que les bielles intermdiaires. On se rapproche de la valeur de lEC2 pour des valeurs de n leve. n123456 ' cot ( (( ( ( (( (

+ ++ + | || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ +1 02121s) n (saz ( (( ( ( (( (

| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ +021saz ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ +2 2110ssaz ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ +222110ssaz ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ +232110ssaz ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ +242110ssaz ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ +252110ssaz | | 2EdECEdFF 2 211101/ a ss+ ++ ++ ++ ++ ++ + 2211101/ a ss+ ++ ++ ++ ++ ++ + 2311101/ a ss+ ++ ++ ++ ++ ++ + 2411101/ a ss+ ++ ++ ++ ++ ++ + 2511101/ a ss+ ++ ++ ++ ++ ++ + 1 En prenant 0 12 s s =Ed EdF V cot ' =;| || | | || |121ns az' cot + ++ + = == = ; | |( )212 112 111EdECEdF cot 'n cotFas ( ( ( (= == + ( ( + (+ ( La valeur den la plus petite sera obtenue pour lespacement le plus grandd , s 75 01 = == =et linclinaison1 = == = cot2 175 02 9 012010 + ++ +( (( ( ( (( (

= == =) )) )` `` ` + ++ +( (( ( ( (( (

= == =d ,/ a s d ,s/ a s cot zmin n Page 61/154 aEdV2aEC2' cot zcot z = == =2z' aEdV2az' cot z 1 0212snsa' cot z + ++ + + ++ + = == = ( (( ( ( (( (

= == =121s) n (cot z ' cot z ( (( ( ( (( (

| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + + ++ + = == =02 21sacot z ' cot z ( (( ( ( (( (

| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + + ++ +02 21sacot z ( (( ( ( (( (

| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + + ++ +02 21sacot z ' 0sreprsente la distance entre le nu de lappui et le premier cours darmatures dme. apeut reprsenter la profondeur dappui utile Page 62/154 6.3.Propositionpartirducalculdelangledinclinaisondelabielledabout dtermin par M. Thonier Sur la figure ci-dessous le point F qui dfinit linclinaison de la bielle peut tre dtermin partir de la dmonstration de M Thonier paragraphe prcdent 1spremier espacement des cours darmatures transversales.0sdistance entre le nu de lappui et le premier cours ; par exemple 210ss = == =Langle dinclinaison est not' Leffort de glissement =Ed EdF V cot ' =0 112 2a ( n )z cot ' s s ( | |= + + |(\ en supposant que( (( ( ) )) ) 2 1 120 110/ a s s n cot zs/ a s cot zn + ++ + + ++ + = == = + ++ +( (( ( ( (( (

= == = 112( n )z cot ' z cot s (= (

012 2az cot ' z cot s (| |= + + |(\

soit en ngligeant le terme20 / s12 2az cot ' z cot ( + ( Langle inclinaison de la bielle dabout est dtermin ainsi que la position du point F s0Fcd2lbda2a1s uRd,2Ftd2s0s0Fcd1Rd,1 Ltudedecettebielledaboutsefaitsuivantlathoriedes bielles et tirants dcrite au chapitre 6.5.4 de lEurocode, suivant le schma ci-contre fig 27 du rglement. appui dextrmit Pour le dtail de la mise en uvre de cette mthode on se reportera lEurocode (6.5.4(4)b). Page 63/154Si on fait lhypothse dune rpartition des contraintes uniforme sur lappui, le support de la raction dappui VEdpasse par le milieu de DI et intercepte larmature longitudinale en H. Le point H = point de concours de laxe de la bielle dabout, de larmature et de la raction dappui (les 3 forces sont concourantes donc la bielle est statiquement quilibre) Le point H nest pas exactement au milieu de AJ, mais au milieu de IB Dans le schma ci-dessous la notation 0sest issue de la figure 6.27 de lEC2 ( ne pas confondre avec la distance du nu de lappui et le premier courspar exemple 210ss = == =nomc02s0sbdlh0spbzEdV cot z JBH K F ECaADI1 Ed wb' MK' cot s 012 2az cot (+ ( 12 2az cot (+ ( ' wb2 Ed 02s0s0spbEdV JBHFEaAD1 Ed IM' ' sinVEd ' cot VEd ba0s cot Page 64/154EdVeffort tranchant sur lappui (effort tranchant thorique dduit de la RDM, valcul au nu de lappui Ed ,nuV ) aprofondeur ou zone dappui sur le poteau02s c a hnom + ++ + + ++ + = == =; ( (( ( ) )) )02s c h anom + ++ + = == =z bras de levier hdimension du poteau dans le sens de la poutre pblargeur du poteau wblargeur de la poutre bblargeur de la bielle =) b ; b min(w p

l diamtre des armatures longitudinales t diamtre des cadres 0sdistance de laxe des barres longitudinales au parement infrieur de la poutre : 20lt nomc s + ++ + + ++ + = == = ne pas confondre avec la distance entre le premier cours darmatures dme et le nu de lappui (mme notation) Le bord de la bielle ct trave fait langle avec laxe moyen de la poutre. Soit ' langle moyen de la bielle dabout( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =2 21acot zz' cot baou 2adimension minimum de la bielle dabout perpendiculaire son axe, de valeur approche par dfaut : ba AM sin ' = Dterminons AM = AJ - JM AJ= 0 02 a s s cot + +Coordonnes des points B, E et M, intersection de la droite EB et de lacier avec pour origine des coordonnes le point J :022aE s ; z (+ ( et| || | | || |0 02 s ; s Bquation de la droite EB :y x = +do | |01 2B By x s = = Pente de EB : ( )02z sa =Pour0My = :012Mx JM s (= = = ( = ( )0022asz s ( ( ( = 0002 2 2 z s a /sz s ( ( 00 0 002 2 22z s a /AM a s s cot sz s ( = + + ( 6.3.1.Vrification de la compression dans la bielle dabout La compression dans la bielle est ' sinVEd

La contrainte dans la bielle est| |2 2Ed EdEdb bbV Vsin ' a bsin ' AM b = = Celle-ci doit tre infrieure la contrainte maximum dans un nud soumis compression et traction soit : 20 85 1250ckRd ,max cd cdfk 'f , f | |= = |\ , {6.61} 6.3.2.Vrification de lappui constitu par le poteau : De mme 1 Ed contrainte dappui sur le poteau doit tre < max , Rd 6.5.4 Page 65/154La compression sur la surface dappui doit aussi vrifier ( )102Ed EdEd Rd ,maxb nom bV Va b h c s b = = ( +

6.3.3.Ancrage des armatures longitudinalesLquilibre de la bielle dabout exige que leffort dans larmature longitudinale sur lappui = Ed EdF V cot ' = . On ancrera donc les barres infrieures pour cette valeur et non pas pour 2Ed Ed lEdV cot V aFz = =qui est indique dans le rglement. Il serait logique de considrer la longueur dancrage partir du point de la barre o elle entre dans la bielle, c'est--dire cot s0 avant le nu de lappui (point A voir figure). La longueur du tronon droit est( (( ( ) )) ) cot s a + ++ + + ++ + 20 Si cette longueur est insuffisante, il faut placer un crochet. 6.3.4.Exemple numrique Donnes bw=0,25m(me) bp=0,3m(poteau) d=0,61m(hauteur utile) z=0,549m(bras de levier = 0,9 d) VEd=0,32MN h =0,6m cot =1,5au choix entre 1 et 2,5 cnom=0,025m t=0,006m l=0,02m nb barres=33 HA 20 en une seul lit Rsultats s0=0,041m= cnom + w + /2 a =0,493m= h cnom 2 s0 bb=0,25= Min[bw ; bp]cot ' =0,975 ' =45,74 AM=0,410m 2 Ed =5,07MPa FEd= 0,312MNEd EdF V cot ' = As,inf =7,17cm2< 9,42 Lbd,rqd =0,61m= 40 x 7,17 / 9,42 Lbd AJ=0,637mAJ =h - cnom + s0.cot OKscellement droit vrifi Remarque 1. Leffort ancrer vaut : FEd = 0,312 MN au lieu de 2EdEdV cotF == 0,24 MN avec la solution 1. LEC2, formule non scuritaire. Page 66/1546.4.Mthode de M Thonier 1.1.Dterminations des actions : appui simple dextrmitLancrage de la bielle dabout est effectu conformment la figure 6.27 de lEurocode 2. s0Fcd2lbda2a1s uRd,2Ftd2s0s0Fcd1Rd,1 figure 6.27 Ltudedecettebielledaboutsefaitsuivant lathoriedesbiellesettirantsdcriteau chapitre6.5.4delEurocode2,suivantle schma ci-contre fig 6. 27 de lEurocode 2. appui dextrmit Pourledtaildelamiseenuvredecette mthodeonsereporteralEurocode (6.5.4(4)b). La dmonstration ci-dessous est faite avec un seul lit dacier.Soient les notations suivantes : z bras de levier wb largeur de lme pb largeur du poteau bb largeur de la bielle( (( ( ) )) )p w bb ; b min b = == = pa longueur du poteau EdV effort tranchant de calcul : effort tranchant au nu de lappui Ed ,nuVissu de la RDM, avant lapplication de la clause 6.2.1(8) nomc enrobage nominal des aciers infrieurs l diamtre des aciers longitudinaux t diamtre des aciers transversaux 02nom t ls c = + +distance de laxe de larmature avec le parement 0 12s c a anom p = == = profondeur dappui utile Page 67/154wbnomc02s0sbdla0spbzEdV BNEpa1 cot s0AA DK1 Ed MQl PLGFA Ed cot V A Ed cot V (z+s )cot 00,5(z+s )cot 00,5(z+s )cot 0 figure 0sa0spbpa1A 1 Ed 2 Ed EdVA Ed cot V AEdsinV A 02s cot s0l N BQAMDGK LFP2 / 2 / sin A

figure La Fig. 6.27 de lEC2-1-1 indique une limite gauche de la bielle incline la verticale L du point Q et une limite droite en F. Il est plus prcis de dire que la bielle a une longueur QP ou ce qui va dans la scurit une longueur AF. Page 68/154CoordonnesdespointsQ,BetK(intersectiondeladroiteBQetdelalignemoyennede larmature) avec pour origine des coordonnes le point A : p nomBa c ; z( et | |0 02 Q s; s Pente de BQ : 002 s c as znom p = == = quation de la droite BQ : + ++ + = == = x y do( (( ( ) )) ) 2 10 = == = = == = s x yB B

Pour0Ky = :00 0 00 02 212 2p nom p nomKa c s z a cx AK s s sz s z s +((| |= = = = = ((| \ Longueur dappui KF des bielles inclines sur lacier : KF=AD +DF -AK D : intersection de lacier et de la verticale du nu de lappui. 0 p nom KKF a s cot c x = + 0 002p nomp nomz a cKF a s cot c sz s +(= + ( M milieu de KF do 02KFMD MF DF s cot = = ( )0BE z s cot = +N milieu de BE : ( )02 2z sBEB cot += = Do la longueur horizontale de la bielle incline de A = projection sur lhorizontale de MN ( )000 5 2A p nom p nomsz cot MD B , z cot a c z a cz s (= + = + + ( ( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =0025 0s zs c acot , cotnom pA ] Contraintemoyennedanslabielle.Labielledinclinaison A sappuiesurlaciersurune longueur : 20 0 002p nomaz s z cot s cot c z s zKFz s + = = Daprslafigure6.27lacontraintesexerceenpartiebassedelabiellesurunesectiondroite dpaisseurAsin La contrainte en partie basse de la bielle vaut :( )2211 1 Ed AEd EdEdbA A b b A bV cotV Vsin sin b b sin b += = =Daprslafigure6.27lacontraintesexerceenpartiehautedelabiellesurunesectiondroite dpaisseur ( )0 Az s cot sin +La contrainte en partie haute de la bielle vaut : ( ) ( )( )( )220 0 011 1 Ed AEd EdEdhA A w w A wV cotV Vsin z s cot sin b b z s cot sin b z s cot += = =+ + + | |2 Ed Edb Edhmax ; = Page 69/154Effort de traction dans le tirant infrieur : A Ed Edcot V F = == =indpendant de langle (inclinaison descoursdarmaturesdme)etnonz / a V Fl Ed Ed= == = commeindiqudanslexpression(9.3)de lEC2-1-1 avec( ) 2la z cot cot / = qui conduirait :( ) 0 5Ed EdF , V cot cot = Formules simplifies. A Ed Edcot V F = == =( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =zacot , cotpA 5 0 ;( )22 2 21 11Ed EdEd Ed Ab p A w A b p wV Vmax ; V cot max ;b a sin bz cot sin b a bz cot ((= = + (( (( 1.2.Vrification de la bielle en compression : 20 85 1250ckRd ,max cd cdfk 'f , f | |= = |\ , {6.61} La vrification s'crit : 2 Ed Rd ,max 1.3.Vrification de lappui constitu par le poteau : Lavaleurde EdV considrer=lefforttranchantaunudelappui+leschargesappliques directement sur lappui. pblargeur du poteau wblargeur de la poutresoit| || | | || |p w bb ; b Min b = == =La compression sur la surface dappui doit aussi vrifier : 1EdRd , Rd ,maxbVab = 1.4.Vrification de la section et de lancrage du lit infrieur sur appui Ed Ed AF V cot =Ed As ,appuiydV cotAf = (3) La longueur d'ancrage est bdlconformment 8.4.4, est mesure partir de lintersection de la bielle avec la barre conformment la figure 6.27. Page 70/154 1.5.Exemple numrique onnes bw=0,250m(me) bp=0,300m(poteau) d=0,610m(hauteur utile) z=0,549m(bras de levier = 0,9 d) VEd=0,320MN ap=0,600m cot =1,5au choix entre 1 et 2,5 cnom=0,025m t=0,006m l=0,020m nb barres=33 HA 20 en une seul lit Rsultats As=9,42cm2 s0 =0,041m= cnom + t + /2 a1=0,493m= ap cnom 2 s0 bb=0,250= Min[bw ; bp]Acot =1,235 ( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =0025 0s zs c acot , cotnom pA A =0,68rd A =39 KF= =0,594m 20 0 002p nomaz s z cot s cot c z s zKFz s + = = Edb5,44MPa 2 2EdEdb AVb sin = Edh3,65MPa ( )( )201Ed AEdhwV cotb z s cot +=+ Ed2=5,44 | |2 Ed Edb Edhmax ; =FEd=0,3953MN = Ed Ed AF V cot =As,inf=9,1cm2< 9,42 Lbd,rqd =0,772m= 40 x 9,1 / 9,42 Lbd AF=0,637m 0 p nomAF a c s cot = + scellement droit non vrifi ancrage courbe Remarque 1. Leffort ancrer vaut : FEd = 0,3953 MN au lieu de FEd = 0,5VEd cot = 0,24 MN avec la formule non scuritaire de LEC2. Remarque 2. La formule simplifie donne : ( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =zacot , cotpA 5 0 = 0,5 [1,5 + 0,6/0,549] = 1,296;A Ed Edcot V F = == = = 0,415 MN ( )22 2 21 11Ed EdEd Ed Ab p A w A b p wV Vmax ; V cot max ;b a sin bz cot sin b a bz cot ((= = + (( (( 2 Ed = max (5,72 ;4,17) = 5,72MPa Page 71/1546.5.Mthode de M Thonier modifieLancrage de la bielle dabout est effectu conformment la figure 6.27 de lEC2-1-1. s0Fcd2lbda2a1s uRd,2Ftd2s0s0Fcd1Rd,1 Ltudedecettebielledaboutsefaitsuivantlathoriedes bielles et tirants dcrite au chapitre 6.5.4 de lEurocode, suivant le schma ci-contre fig 27 du rglement. appui dextrmit Pour le dtail de la mise en uvre de cette mthode on se reportera lEurocode (6.5.4(4)b). La dmonstration ci-dessous est faite avec un seul lit dacier.Soient : z bras de levier wb largeur de lme pb largeur du poteau bb largeur de la bielle( (( ( ) )) )p w bb ; b min b = == = pa longueur du poteau EdV effort tranchant de calcul : effort tranchant au nu de lappui Ed ,nuVissu de la RDM, avant lapplication de la clause 6.2.1(8) nomc enrobage nominal des aciers infrieurs l diamtre des aciers longitudinaux t diamtre des aciers transversaux 02nom t ls c = + + 0 12s c a anom p = == = La Fig. 6.27 de lEN 19922-1-1 indique une limite gauche de la bielle incline la verticale du point B et une limite droite en A. Il est plus prcis de dire que la bielle a une longueur BN ou ce qui va dans le sens de la scurit une longueur AM. La bielle unique dappui a une largeur EC en tte, une largeur AM en pied et une inclinaison moyenne A . Lquilibre statique du nud exige que laxe de la bielle passe par H, intersection de larmature et de laction dappui. La ligne moyenne HF de la bielle dabout est dfinie par : F milieu de EC et H. En considrant par hypothse une rpartition uniformecteEd=2 , H est milieu de BE La section droite de la bielle est dfinie par bbet AAM sin Page 72/154 wbnomc02s0sbdla0spbzEdV JBHKF ECpa1 cot s0AA D E"1 Ed ME'( )0z s cot +( )02z scot +( )02z scot +l NupA Ed cot V B'xy0sa0spbJBHEpa1AA DE" 1 Ed 2 Ed EdVE'A Ed cot V AEdsinV A M""02s cot s0abNl FB'A Page 73/154 Coordonnes des points B, E et M, intersection de la droite EB et de lacier avec pour origine des coordonnes J : | || | | || | z ; c a Enom p et| || | | || |0 02 s ; s B Pente de EB : 002 s c as znom p = == = quation de la droite EB : + ++ + = == = x y do( (( ( ) )) ) 2 10 = == = = == = s x yB B

Pour0 = == =My :00 0 00 02 212 2p nom p nomMa c s z a cx JM s s sz s z s +((| |= = = = = ((| \ Longueur dappui AM des bielles inclines sur lacier : 0 p nomAM a s cot c JM = + ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + = == =00 02s zc a zs c cot s a AMnom pnom p H milieu de BE do ( )0122 2p nomDE''HE' a c s = = ( (( ( ) )) ) cot s z EC0+ ++ + = == =( )02 2z sECE' K EF cot += = = Do la longueur horizontale de la bielle incline de A : ( )0 00 5 2A p nomz cot HK HE' E' K , z s cot a c s ( = = + = + + 0 020 5p nomAs cot a c scot , cotz + (= + ( ] Contrainte moyenne dans la bielleLa bielle dinclinaison A sappuie sur lacier sur une longueur : 20 0 002p nomaz s z cot s cot c z s zAMz s + = = La contrainte vaut : 2 2EdEdb AVb sin =avec : bb = largeur de la bielle) b ; b min(w petpa= longueur du poteau Effort de traction dans le tirant infrieur : A Ed Edcot V F = == =indpendant de langle des cours darmatures dme et non z / a V Fl Ed Ed= == =comme indiqu dans lexpression (9.3) de lEC2-1-1 avec2la z ot / =qui conduirait : 0 5Ed EdF , V cot = . Formules simplifies.( (( ( ( (( (

+ ++ + = == =zacot , cotpA 5 0 ;2 2EdEdb AVb sin = ;A Ed Edcot V F = == = Page 74/154

Exemple numrique Donnes bw=0,25m(me) bp=0,3m(poteau) d=0,61m(hauteur utile) z=0,549m(bras de levier = 0,9 d) VEd=0,32MN ap=0,6m cot =1,5au choix entre 1 et 2,5 cnom=0,025m t=0,006m l=0,020m As=942mm2 nb barres=33 HA 20 en une seul lit Rsultats s0=0,041m= cnom + t + l/2 a=0,493m= ap cnom 2 s0 bb=0,25= Min[bw ; bp]Acot =1,255 0 020 5p nomAs cot a c scot , cotz + (= + ( A =0,673rd A =38,6 AM = =0,594m 20 0 002p nomaz s z cot s cot c z s zAMz s + = = Ed2=5,55MPa 2 2EdEdb AVb sin =FEd=0,402MNA Ed Edcot V F = == =As,inf=924mm2< 942 Lbd,rqd =0,795m= 40,5 x 924 / 942bonnes conditions dadhrence Lbd AJ=0,637m 0 p nomAJ a c s cot = + scellement droit non vrifi ancrage courbe Remarque 1. Leffort ancrer vaut : FEd = 0,402 MN au lieu de FEd = 0,5VEd cot = 0,24 MN avec la formule non scuritaire de LEC2. Page 75/1546.6.Bielles dabout ;Mthode base sur la thorie des bielles et tirants (article de M. Cortade) s0Fcd2lbda2a1s uRd,2Ftd2s0s0Fcd1Rd,1 Ltudedecettebielledaboutsefaitsuivantlathoriedes bielles et tirants dcrite au chapitre 6.5.4 de lEurocode, suivant le schma ci-contre fig 27 du rglement. appui dextrmit Pour le dtail de la mise en uvre de cette mthode on se reportera lEurocode (6.5.4(4)b). wbEdV R = == =nomc02s0sabdlh0sl pb' z cotz2 cotz2 cot z a ' cot s + ++ + 02 Partons du schma de fonctionnement suivant qui satisfait les principes de lEurocode : EdVeffort tranchant sur lappui z bras de levier h dimension du poteau dans le sens de la poutre pbdimension du poteau dans lautre sens bbdimension de la bielle : le plus petit de pbet wbaprofondeur ou zone dappui sur le poteau02s c a hnom + ++ + + ++ + = == = . ( (( ( ) )) )02s c h anom+ ++ + = == =l diamtre des armatures longitudinales t diamtre des cadres 0sdistance de laxe des barres longitudinales au parement infrieur de la poutre : 20lt nomc s + ++ + + ++ + = == =Le bord de la bielle ct poutre fait langle calcul ci-avant avec la fibre moyenne de la poutre. Sur les armatures longitudinales, la bielle sappuie sur une longueur de cot s a0+ ++ + Page 76/154Soit ' langle moyen de la bielle dabout ( (( ( ) )) ) | || | | || |) )) )` `` ` + ++ + + ++ + + ++ + = == = cotzcot sc s hz' cotnom2122100 ( (( ( ) )) ) | || | | || |) )) )` `` ` ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + + ++ + = == = cotzsc s hz' cotnom2122100 badimension minimum de la bielle dabout perpendiculaire son axe de valeur approche par dfaut : ( (( ( ) )) ) ' sin a ' cot s ab + ++ + 02 pblargeur du poteau wblargeur de la poutresoit| || | | || |p w bb ; b Min b = == =La compression dans la bielle est ' sinVEd

La contrainte dans la bielle est2EdEdb bVa bsin ' = ( )2 202EdEdbVb s cot ' a sin ' =+

Celle-ci doit tre infrieure la contrainte maximum dans un nud soumis compression et traction soit : 20 85 1250ckRd ,max cd cdfk 'f , f | |= = |\ , {6.61} De mme a , Rd contrainte dappui sur le poteau doit tre < max , Rd 6.6.1.Vrification de lappui constitu par le poteau : la compression sur la surface dappui doit aussi vrifier ( )102Ed EdEd Rd ,maxb nom bV Vab h c s b = = ( +

( ) ( )20 02 2Ed EdRd ,maxb nom bV VMax ;b s cot ' a sin ' h c s b `+( + ) avec ( (( ( ) )) ) | || | | || |) )) )` `` ` ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + + ++ + = == = cotzsc s hz' cotnom2122100

20lt nomc s + ++ + + ++ + = == =Si cette ingalit nest pas satisfaite, ce qui est parfois difficile avec5 2, cot = == = , on peut diminuer cot(jusqu 1). Ceci augmentera la quantit daciers deffort tranchant mais peut permettre defaire passer la bielle et diminue lancrage des aciers longitudinaux. Si ce nest pas suffisant, on modifiera les dimensions du poteau ou de la poutre. 6.6.2.Ancrage des armatures longitudinalesLquilibre de la bielle dabout exige que EdEdFcot 'V = . On ancrera donc les barres infrieures pour cette valeur et non pas pour 2Ed Ed lEdV cot V aFz = =qui est indique dans le rglement.. La longueur dancrage est compter partir du point de la barre o elle entre dans la bielle, c'est--dire cot s0 avant le nu de lappui (voir figure). La longueur du tronon droit est( (( ( ) )) ) cot s a + ++ + + ++ + 20 La longueur d'ancrage est bdlconformment 8.4.4, est mesure partir de la ligne de contact entre la poutre et i'appui (nu de lappui). La pression transversale peut tre prise en compte pour un appui direct. Voir la Figure 9.3. Si cette longueur est insuffisante, il faut placer un crochet. 6.5.4 Page 77/1546.6.3.Vrification du lit infrieur sur appui Ed EdF V cot ' =Eds ,appuiydV cot 'Af =

6.6.4.Exemple numrique Donnes bw=0,25m(me) bp=0,3m(poteau) d=0,61m(hauteur utile) z=0,549m(bras de levier = 0,9 d) VEd=0,32MN h=0,6m cot =1,5au choix entre 1 et 2,5 cnom=0,025m t=0,006m l=0,020m As=942mm2 nb barres=33 HA 20 en une seul lit Rsultats s0=0,041m= cnom + t + l/2 a=0,493m= h cnom 2 s0 bb=0,25= Min[bw ; bp]cot ' =1,311 ( (( ( ) )) ) | || | | || |) )) )` `` ` ( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + + ++ + = == = cotzsc s hz' cotnom2122100 ' =0,652rd ' =37,4 ba=0,364m ( (( ( ) )) ) ' sin a ' cot s ab + ++ + 02 Ed2=5,8MPa 2EdEdb bVa bsin ' =FEd=0,42MNEd EdF V cot ' =As,inf=965mm2> 942 Lbd,rqd =0,818m= 40,5 bonnes conditions dadhrence Lbd =0,637m0 nomh c s cot + scellement droit non vrifi ancrage courbe 6.7.Comparaison des diffrentes mthodes cot ' ' en Ed2 en MPaFEden MN Mthode de l EC20,7553,133,250,24 Mthode utilisant une dmonstration de linclinaison de la bielle dabout M Thonier0,95745,745,070,312 Mthode de M Thonier1,235394,540,3953 Mthode de M Thonier modifie. 1,25538,65,550,402 Mthode de M Cortade1,31137,45,80,42 9.2.1.4 (1) Page 78/154 Page 79/154 Page 80/154 Page 81/1547.APPUIS INTERMEDIAIRES DE POUTRE CONTINUE 7.1.Modlisation i32 14'i 'i + ++ + Figure 56 Considrons la poutre suivante constitue de 2 traves isostatiques. Enlabsencedechapeaux,les2travesquiencadrentcetappuiisontarticulessurcelui-ci. Lindice 0 indique que leffort tranchant est relatif une trave isostatique Ils sont dtermins aux nus des appuis. 'i i , Ed Edcot V F = == = 01 2 = == =i 'icotcot 'i i , Ed Edcot V F+ ++ + + ++ += == = 02 2+ ++ ++ ++ + = == =i 'icotcot Les efforts normaux dans les bielles sont : 'ii , EdbsinVF = == = 03

2123 Ed i , Ed bF V F + ++ + = == = 'ii , EdbsinVF+ ++ ++ ++ += == = 04

2224 Ed i , Ed bF V F + ++ + = == =+ ++ + Considrons la poutre continue, les chapeaux ralisent effectivement cette continuit. chapeaux32145i'i 'i + ++ + Figure 57 Le moment sur appui est gnralement ngatif, soit EdiMsa valeur absolue : 9.2.1.4 Page 82/154Les moments sur appuis dans une poutre continue modifient la rpartition des efforts tranchants.Le moment de flexion sur lappui i a pour effet de diminuer les efforts dans les barres 1 et 2. Lemomentdeflexionsurappuiquiestquivalentaux2forcesdemmeintensitdistantede z=0,9d formant un couple. Le moment ngatif agit favorablement, il contribue diminuer leffort de traction initial dans larmature longitudinale infrieure gnr par leffort tranchant.z = 0,9dMEdi = Fcdi . zi13Ftdi=FcdiFtdi0,9dMEdi Fcdi='i VEdi- Figure58 d ,Mcot V FEdi 'i i , Ed Ed9 01 = == = 2 = == =i 'icotcot d ,Mcot V FEdi 'i i , Ed Ed9 02 = == =+ ++ + + ++ + 2+ ++ ++ ++ + = == =i 'icotcot Les expressions des efforts dans les bielles 3 et 4 ne sont pas modifies. 'ii , EdbsinVF = == = 3

2123 Ed i , Ed bF V F + ++ + = == = 'ii , EdbsinVF+ ++ ++ ++ += == = 4

2224 Ed i , Ed bF V F + ++ + = == =+ ++ + Relation dans une trave i entre les sollicitations : ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )ii ii iLM Mx V x V1 0 = == = iL x 0VuVui+1(0)Vui+1r(0)Vui(Li)Vuir(Li) Diagramme de leffort tranchant au voisinage de lappui i Page 83/1547.2.appui intermdiaire (fig. 6.26) Mthode base sur la thorie des bielles et tirants Fcd,a= Fcd,ar+ Fcd,ala aFcd,1 c01a2aFcd,0Fcd,2Fcd,arFcd,alRd,1Rd,aRd,2 fig 6.26 Ce cas est trait au 6.5.4(4)a de lEurocode. Lorsque aucun tirant nest ancr dans le nud, les contraintes calcules doivent tre infrieures :cdckcd max , Rdf .ff '. k | || | | || |

\ \\ \| || | = == = = == =25011 (quation 6.60). 1 Ed al , cdV F = == =et2 Ed ar , cdV F = == = , les indices 1 et 2 dsignant respectivement les poutres gauche et droite de lappui not a.Nous allons modliser ces bielles pour une poutre continue comme ci-dessous. pbdimension du poteau dans lautre sens bbdimension de la bielle : le plus petit depb et wb En fonction de la gomtrie de ce schma les contraintes sont :( (( ( ) )) )p bEd Edp bRdaa bV Va bR2 1 + ++ += == = = == = On peut admettre, daprs la clause 6.5.4 (8) que:Rda Rd Rd = == = = == =2 1

Lquilibre du nud suppos non pesant contrainte normale hydrostatique (identique sur toutes les faces). Sur la facette verticale du nud, labsence de contrainte doit tre compense par une force dans le tirant horizontal dont lintensit est =Rda A A wcot a cot a . b 2 2 1 12 Dans le cas o les deux angles 1 et 2 sont gaux et tels que5 2, cot = == = on trouve le schma ci-dessous Dans ce cas si 1 EdVet 2 EdVsont diffrents les contraintes 1 Rd et 2 Rd sont aussi diffrentes. Lquilibre du nud exige lexistence dun tirant horizontal (la barre qui traverse le nud est soumise un effort normal).Remarque concernant max , Rd Daprs la clause 6.5.4 (8) cdckcd max , Rdf .f, f '. k | || | | || |

\ \\ \| || | = == = = == =2501 85 02 (quation 6.61). Contrainte sur le poteau ( (( ( ) )) )p bEd Edp bRdaa bV Va bR2 1 + ++ += == = = == = Page 84/1547.3.Ancragedesarmaturesinfrieuresauniveaudesappuisintermdiaires (aspect rglementaire) Ancrage des armatures infrieures au niveau des appuis intermdiaires 9.2.1(5) L'aire de la section des armatures indique en 9.2.1.4 (1) s'applique. II convient que la longueur d'ancrage ne soit pas infrieure 10dans le cas des barres droites, audiamtredumandrindanslecasdescrochetsetdescoudesavecdesdiamtresdebarreau moins gaux 16 mm, ou deux fois le diamtre du mandrin dans les autres cas (voir la Figure 9.4(a)).Cesvaleursminimalessontnormalementvalablesmaisuneanalyseplusfinepeuttre effectue, conformment 6.6. (3) II convient de spcifier, dans des documents du contrat, les armatures exiges pour rsister des moments positifs ventuels (par exemple : tassement de l'appui, explosion, etc.). II convient quecesarmaturessoientcontinues,cequipeuttreralisaumoyenderecouvrements(voirla Figure 9.4 (b) ou (c)). 10 L b)bdl c) 10 L mdmd l a)bdl Figure59 fig. 9.4 : Ancrage au niveau des appuis intermdiaires 9.2.1.2(2)Auxappuisintermdiairesdespoutrescontinues,lepourcentagetotaldarmatures tendues stA dune section en T (attention, sur appui le moment tant ngatif, la section rsistante dunepoutreavecretombeestrectangulaire)peutserpartirpeuprsgalemententreles parties interne et externe de la membrure. (Voir fig. 9.1) Aux appuis intermdiaires des poutres continues, le pourcentage total darmatures tendues stAdune section en T (attention, sur appui le moment tant ngatif, la section rsistante est rectangulaire) peut se rpartir peu prs galement entre les parties interne et externe de la membrure. (Voir fig. 9.1) Figure 9.1 :parties interne et externe de la membrure dune poutre en T agencement des armatures tendues dans une poutre en T effbwbfhdt , sAsA 9.2.1.2 (2) 9.2.1.5 Page 85/154 7.4.Synthse : A partir du comparatif des diffrentes mthodes : VEd = 0,32 MPa cot ' ' en Ed2 en MPaFEden MNFEd/ VEd Mthode de l EC20,7553,133,250,240,75 Mthode utilisant une dmonstration de linclinaison de la bielle dabout M Thonier0,95745,745,070,3120,975 Mthode de M Thonier1,235394,540,39531,236 Mthode de M Thonier modifie. 1,25538,65,550,4021,256 Mthode de M Cortade1,31137,45,80,421,32 En prenant comme hypothse :0 cot =VALEURS DE EdFPoutresDalles Dcalage horizontal de la courbe enveloppe des moments 2la zcot = 9.2.1.3 la d =6.2.2(5) Appui dextrmitExpression non scuritaire 0 5Ed, cot V (9.2.1.4) Valeur forfaitaire approche conseille 1 25Ed, V 0 9EdV, (9.2.1.4) Appui intermdiaire Si valeur de0EdF , il faut ancrer la barre de 10 dans lappui. EdM: valeur algbrique du moment sur lappui intermdiaire 0 50 9EdEdM, cot V, d + 1 250 9EdEdM, V, d+ 0 9 0 9EdEdVM, , d+La valeur conseille doit tre utilise quelle que soit la valeur de linclinaison des bielles choisie, elle : constitue une borne suprieure de 9.2.1.3 avec2 5 cot , = . est trs proche de celle dtermine en utilisant la mthode des bielles, par exemple celle de M Thonier Au niveau BTS, loption choisie est :1 cot = . En utilisant la modlisation du Treillis de Ritter-Morsch, avec mme inclinaison 45 des bielles courantes et celle dabout on obtient : Ed EdF V = . Page 86/154 Page 87/154 Page 88/154 Page 89/1548.- TRACTION SIMPLE - LES TIRANTS 8.1. - DEFINITION RappeldeRDM :lorsquedansunepiceenBA,lessollicitationsserduisentuniquementuneffortnormalde traction, la pice en BA est appele tirant. Si le tirant est vertical, on le nomme suspente.Pour les tirants horizontaux, si le poids propre est de quelque importance (non ngligeable), il introduit un moment de flexion qui combin avec leffort normal de traction donne la flexion compose avec effort normal de traction. 8.2. - JUSTIFICATION A LE.L.U. 8.2.1. - HYPOTHESES : Hypothses communes lE.L.U. et lE.L.S. - Bernoulli ; - Adhrence parfaite Acier-Bton ; - Le bton tendu est suppos fissur et nglig. Hypothse spcifique lELU -A l'E.L.U l'allongement unitaires des aciers est limit : Pour le diagramme bilinaire avec branche suprieure incline : 45 . (310 45 ) 3 30 9 0 9 50 10 45 10ud uk, , = = =Lacontraintequiluicorrespond :( )( ) 45 2 17434 8 34 78 4662 83s ud,, , MPa, = + = constituela contrainte max.Pour le diagramme lasto-plastique parfait : pas de limitation de la dformation Pour une dformation suprieure :3510 17 210 28 434 = == = = == = ,,Efsyd ; 500434 81 15ykydSff , MPa, = = = Le centre de gravit des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (bton + armatures) et par consquent avec le point d'application de Nu. 8.2.2. - SOLLICITATION DE CALCUL :Edu

Combinaison de base la plus courante Q , G G ,min max5 1 35 1 + ++ + + ++ + 8.2.3. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES : L'effort de traction n'est quilibr que par les armatures longitudinales. yxx CoupureSection droiteG G1 s

2 sA1 sA2 s

Edu

La connaissance du diagramme des dformations entrane la connaissance du diagramme des contraintes. Par hypothse, nous allons fixer la dformation de la section droite 310 45 = == =su . A..4.3,3. Page 90/154 CoupureGy45 103 CoupureGy( (( ( ) )) )310 45 = == = .ud s ( (( ( ) )) )310 45 = == = .ud s diagramme des dformationsdiagramme des contraintes efforts normaux dans la section CoupureGyN( (( ( ) )) )13110 45s ud sA . . = == = = == = ( (( ( ) )) )23210 45s ud sA . . = == = = == =

Sdu= effort normal en E.L.U suA = aire totale d'acier tendu Lacontraintel'E.L.U,pourunallongementunitaire=45, est note( (( ( ) )) )310 45 s : elle est suprieure ou gale ykSf Silesarmaturessontdisposessymtriquementparrapport au plan Gxz :

Rdu tant appliqu en G et 2 1 s s Rdu + ++ + = == =avec 2 1 s s= == = 2 1 s s suA A A + ++ + = == = avec 2 1 s sA A = == = Condition de rsistance : Ed ,u Rd ,uleffort normal appliqu doit tre infrieur leffort normal rsistant avec ykRd ,u suSf A = ou ( )345 10Rd ,u su s A = d'oEd ,usuykS

Af ou( )345 10Ed ,usus

A - Page 91/1548.3.JUSTIFICATION AL'E.L.S : Daprs la note 2 pour tous les ouvrages dans les classes dexposition0 X ,1 XCDaprslanote3(pourlesbtimentsdecatgoriedusageAD,cest--diretouslesbtimentsexceptsles btiments de stockage et industriels, dans les classes dexposition2 XC , 3 XCet4 XC )Sauf demandespcifiquedesDocumentsParticuliers du March, la matrise de la fissuration est suppose assure parlesdispositionsconstructivesminimalesdonnesailleursquedanslaclause7.3,lecalculde maxw nestpas requis. 8.3.1. - HYPOTHESES : Hypothses communes lELU et lELS - Bernoulli ; - Adhrence parfaite Acier-Bton ; - Le bton tendu est suppos fissur et nglig. Hypothses spcifiques lELS - L'acier possde un comportement linaire lastique. - La contrainte normales dans les aciers est limite s en fonction des conditions de fissuration. s est fixe par le projeteur ou dtermine. La condition 25 18 0,ff ,ykyk s= == = sous combinaison caractristique de chargespour toutes les classes dexposition nest pas dterminante Le centre de gravit des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (bton + armatures) et par consquence avec le point d'application de ser . 8.3.2.- SOLLICITATION DE CALCUL : ser Combinaison caractristique des charges Q G+ ++ +Combinaison quasi-permanente des charges Q G2 + ++ + 8.3.3.Mthode Les ouvertures de fissures peuvent tre calcules conformment 7.3.4. Une option simplifie consiste limiter le diamtre ou l'espacement des barres comme indiqu en 7.3.3. .7.3.1 .7.2.5 Page 92/154 8.3.4.: calcul de louverture des fissures ssers

A= w wk k itelim( (( ( ) )) )lim , k cm sm max , rw s wk : ouverture de la fissure de calcul max , rs: espacement maximal des fissures sm est la dformation moyenne de l'armature de bton arm sous la combinaison de charges considre, incluant l'effet des dformations imposes et en tenant compte de la participation du bton tendu. Seul est pris en compte l'allongement relatif au-del de l'tat correspondant l'absence de dformation du bton au mme niveau cm est la dformation moyenne du bton entre les fissures (2)( (( ( ) )) )cm sm peut tre calcul au moyen de l'expression : ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )ssseff , p eeff , peff , ctt scm smE,Efk 6 01 ( (( (( (( (( (( (( (( (( (( ( ( (( (

+ ++ + = == = {7.9} s est la contrainte dans les armatures de bton arm tendues, en supposant la section fissure. cmseEE= == = sE:module dlasticit longitudinalMPa Es200000 = == = eff , cseff , pAA= == = eff , c w eff , ch . b A = == = ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) | || | | || | 2 3 5 2 / h ; / x h ; d h , min heff , c = == =eff , cAest l'aire de la section effective de bton autour des armatures tendues, c'est--dire l'aire de la section de bton autour des armatures de traction, de hauteureff , ch , o eff , ch est la plus petite des trois valeurs ci-aprs : ( (( ( ) )) ) d h , 5 2 , ,( (( ( ) )) ) 3 / x h ou2 / h tkest un facteur dpendant de la dure de la charge 6 0, kt = == =dans le cas d'un chargement de courte dure4 0, kt = == =dans le cas d'un chargement de longue dure On peut remplacer lexpression {7.9} prcdente par une expression quivalente ( (( ( ) )) )ssseff , cscmcmeff , cttsscm smE,AAEEEfkE 6 0 1 | || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = Lexpression {7.9} peut scrire :( (( ( ) )) )| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == =( (( (( (( (( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = seff , cscmcmeff , cttsseff , cscmseff , cscmscmeff , cttsscm smAAEEEfkE AAEEAAEEEfkE1 1 .7.3.4 .figure 7.1 c Page 93/154eff , p max , r/ k k k c k s 4 2 1 3+ ++ + = == = {7.11} eff , cseff , pAA= == = 425 04, k = == =si l espacement des armatures adhrentes( (( ( ) )) ) 2 5 / c + ++ + eff , p max , r/ k k , c k s 2 1 3425 0 + ++ + = == = {7.11}mm c si , k 25 4 33 = == =sinon ( (( ( ) )) )323254 3 | || | | || |

\ \\ \| || |= == =mmc, ksi l espacement des armatures adhrentes( (( ( ) )) ) 2 5 / c + ++ + > >> >alors | || | | || | ) x h ( , ; / k k , c k max seff , p max , r + ++ + = == = 3 1 425 02 1 3 avec cenrobage ; 8 01, k = == =;12 = == = ken traction pure diamtre des barres. Lorsque plusieurs diamtres de barres sont utiliss dans une mme section, il convient de retenir un diamtre quivalent eq . Dans le cas dune section comportant 1nbarres de diamtre 1 et 2nbarres de diamtre 2 , il convient dadopter : 2 2 1 122 221 1 n nn neq+ ++ ++ ++ += == =si l espacement des armatures adhrentes( (( ( ) )) ) 2 5 / c + ++ + eff , p max , r/ k k , c k s 2 1 3425 0 + ++ + = == =( (( ( ) )) ) | || | | || |( (( ( ) )) )lim , kssseff , p eeff , peff , ctt seff , p cm sm max , rwE, ;Efkmax . / k k , c k s ) )) ) ` `` ` ( (( (( (( (( (( (( (( (( (( ( ( (( (

+ ++ + + ++ + = == = 6 01425 02 1 3 ( (( ( ) )) )lim , kssseff , cscmcmeff , cttssseff , ccm sm max , rwE, ;AAEEEfkEmax .AA. , . , c k s ) )) ) ` `` ` ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + ( (( ( ( (( (

+ ++ + = == = 6 0 1 8 0 425 03 Il faut envisager 2 cas : Cas 1 si ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + = == = ) )) ) ` `` ` ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + seff , cscmcmeff , cttssssseff , cscmcmeff , cttssAAEEEfkE E, ;AAEEEfkEmax 1 6 0 1 lim , kseff , cscmcmeff , cttssseff , cwAAEEEfkE.AA. , . , c k ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + ( (( ( ( (( (

+ ++ + 1 8 0 425 03 lim , keff , p seff , cttcmeff , cttsseff , pwEfkEfkE. . , c k ( (( (( (( ( ( (( (

( (( (( (( ( ( (( (

+ ++ + 1 134 03 0134 0134 023 3 ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || | + ++ + | || || || | | || |

\ \\ \| || | eff , p seff , ctteff , p seff , cttcmeff , cttsslim , kcmeff , cttssEfk . . , .Efk . c kEf. kE. , wEf. kE. c k inquation du second degr en eff , p 1

eff , cseff , pAA= == = ssersus

A

A= = 6 0, kt = == =dans le cas d'un chargement de courte dure4 0, kt = == =dans le cas d'un chargement de longue dure Il faut mettre lexpression sous la forme :( (( ( ) )) ) , A f As eff . c Page 94/154Cas 2 : si ssssseff , cscmcmeff , cttssE,E, ;AAEEEfkEmax 6 0 6 0 1 = == = ) )) ) ` `` ` ( (( (( (( ( ( (( (

| || || || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ + en considrant la borne inf. de ( (( ( ) )) )cm sm ( (( ( ) )) ) | || | | || |lim , ksseff , p cm sm max , rwE, . / k k , c k s + ++ + = == = 6 0 425 02 1 3 | || | | || |lim , ksseff , pwE, . / k k , c k + ++ + 6 0 425 02 1 3 | || | | || | 2 13425 016 01 1k k ,c k,Ewsslim , keff , p( (( ( ( (( (

avec 1 8 02 1= == = = == = k , k| || | | || | 34 01666 113,c kE, wsslim , keff , p( (( ( ( (( (

| || | | || | 34 01 10 333 3 135,c k,wslim , keff , p( (( ( ( (( (

eff , cseff , pAA= == = ssersus

A

A= = Si les dimensions du tirant ne sont pas connues, lexpression:( (( ( ) )) ) , A f As eff . c fourni eff . cASi le coffrage est donn, on dtermine la section dacier ncessaire ainsi que le diamtre des armatures pour la matrise de la fissuration 8.4.Armatures minimales 8.4.1.Pour la matrise de la fissuration Traction pure : ctseff , ctc min , sAfk k A = == = 1 = == =ck , h b Aw ct = == = ;h bfk Awsctmmin , s = == =k est un coefficient qui tient compte de l'effet des contraintes non-uniformes auto-quilibres conduisant une rduction des efforts dus aux dformations gnes : 00 1, k = == = pour les mes telles quemm h 300 ou les membrures d'une largeur wbinfrieure 300 mm 65 0, k = == = pour les mes telles quemm h 800 > >> >les membrures d'une largeur wbsuprieure 800 mm les valeurs intermdiaires peuvent tre obtenues par interpolation k1,000,65300 800h (mm)bw (mm)ou La valeur de , s est choisie parmi les valeurs donnes soit par le Tableau 7.2N en fonction du diamtre de barres utilise soit par le Tableau 7.3N en fonction de l'espacement. Il est loisible d'effectuer une interpolation linaire de ces valeurs. ..7.3.2 Page 95/1548.4.2.Pour la condition de non-fragilit : yk sf = == = Et titre de simplification, on peut admettre : En traction pure :1 = == =ck , h b Aw ct = == = , yk sf = == = ;1 65 0 k , cykctmwykctmmin , sAffk h bffk A = == = = == = Les armatures, correspondant aux tirants, doivent tre entirement ancres, avec une longueur dancrage bdlconformment 8.4. condition de non fragilitBAEL 1999 Lesarmatureslongitudinalesdoiventprsenterunesectionminimale.Cettesectiondoittresuffisantepour quilibrerl'effortquesupporteraitlebtonseulavantfissuration,lacontraintenormaledetractiondanslesarmatures longitudinales devant rester infrieure la limite lastiquefykde l'acier utilis. Soit leffort normal susceptible de provoquer la fissuration du bton :f Actm c.avecAc aire de la section droite de bton (cet effort normal peut tre engendr par des actions accidentelles exceptionnelles ou des redistributions defforts) Soit leffort maximal qui peut tre repris par les armatures longitudinales lorsqu'elles travaillent la limite lastique : A fs yk. d'o c ctm yk sA . f f . A Condition de non-fragilit dans les tirants Cette condition exprime que leffort susceptible de fissurer le bton, sil existe, doit tre repris par les armatures sans dommages (contrainte infrieure la limite lastique). Si ce ntait pas le cas, leffortf Actm c.se reporterait sur les armatures mais celles-ci seront soumises une contrainte suprieure la limite lastique do une probable rupture. Cette rupture est brutale, elle ne prvient pas comme dans le cas des matriaux dits fragiles. Lorsque cette condition est observe, les fissures qui apparaissent sur le tirant ont une ouverture faible et sont uniformment rparties (ce phnomne est appel fissuration systmatique) 8.4.3.Armatures transversales Armatures transversales63l maxtmax mm ; ( ( Avec espacement maxs a = ( a = petite dimension de la section droite) 9.9 (2) Page 96/154 Page 97/154 Page 98/154 Page 99/1549. - COMPRESSION SIMPLE - LES POTEAUX - 9.1. Dfinition gomtriqueUn lment peut tre considr comme un poteau, si sa hauteur L nest pas infrieure 3 fois la dimension du grand cot).h L 3 Lh3voile poteau plus grande dimension transversaleh Les dimensions transversales de la section droite du poteau Unlmentestconsidrcommeunpoteausisa longueurhorizontaleestauplusgalequatrefoisson paisseur.Danslecascontraire,ilestconsidrcomme un voile.Cetarticleconcernelespoteauxdontlaplusgrande dimensionhn'estpassuprieure4foislapluspetite dimensionb . b h 4 btant la plus petite dimension du poteau h tant la plus grande dimension du poteau hbb h 4 On peut admettre comme rgle de bonne construction que la dimension minimale de la section droite dun poteau doit vrifier :h mm 140 pourlespoteauxdesectionpleinecoulsenplaceverticalementetpourlespoteaux prfabriqus couls horizontalement. Diamtre des armatures longitudinales : min l (EC2 -DAN mmmin8 = == = ) 5.3.1 ...2.5.2.1 (2) )12)... 5.3.1 (7) )12)... 5.3.1 (7) )12)....9.5. 2(1) )12)...9.5 ...9.5 Page 100/154 9.2.JUSTIFICATION A L'E.L.U : 9.2.1.- DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES : As Donnes: yk ck max c Edf , f , , A , u , Edcorrespond la valeur de leffort normal max. dans le poteaupour la combinaison daction ELU ( la base de celui-ci, compte tenu de son poids propre pondr) Dans le cas gnral 1 5C, =et1 15S, = Inconnue:As Le rglement impose des pourcentages minimaux et maximaux d'armatures longitudinales : La section minimale darmatures longitudinale,As ,min, se dduit de la condition suivante : Pour EC-DAN( (( (( (( ( ( (( (

= == =cydEdmin , sA,;f ,max A1002 0 10 0 {9.12N} Ac= aire de la section brute transversale de bton fyd limite lastique de calcul de larmature Ed effort normal de calcul ou force de compression axiale de calcul La section maximale des armaturesen dehors des zones de recouvrement A As c ,max =4100 dans les zones de recouvrement A As c ,max =8100 Le diamtre des barres longitudinalesmmmin8 = == = 9.3.- DIMENSIONNEMENT DU COFFRAGE Position du problme Donnes: yk ck Edf , f , Edcorrespond la valeur de leffort normal max. dans le poteau pour la combinaison fondamentale ELU ( sa base, compte tenu de son poids propre pondr priori inconnu) Dans le cas gnral 1 5C, =et1 15S, = Inconnues:le coffrage du poteau (dimensions de la section droite)b h , b As ..9.5.2(2)..9.5.2(2) ..9.5.2(3) ..9.5.2(1) Page 101/1549.3.1. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES TRANSVERSALES 9.3.1.1. - Diamtre t et espacement des cours t , cls | || || || | | || |

\ \\ \| || | 46max l; max t max l diamtre des armatures longitudinales les plus grosses Le diamtre des fils de treillis soud doit tre au moins5 Espacement des cours En dehors des zones de recouvrement Les armatures transversales doivent maintenir : - toutes les barres prises en compte dans les calculs de rsistance 20400l ,mincl ,t cl ,t maxs s Min mmb =min l = diamtre de la plus petite armature longitudinale rsistante b = plus petite dimension transversale l t , clst Il convient dancrer convenablement les armatures transversales. Il convient de rduire lespacement dun facteur0 6 ,(multiplier ,max clspar6 0, ): dans les sections situes une distance au plus gale la plus grande dimension de la section transversale du poteau ( h) ; ces sections peuvent se trouver au-dessus et au dessous dune poutre ou dune dalle. dans les jonctions par recouvrement darmatures longitudinales lorsque le diamtre maximal des barres longitudinales est suprieur 14mm ( 14 > >> >l ). Un minimum de 3 barres (cours darmatures) transversales rgulirement disposes dans la longueur de recouvrement est ncessaire. Lorsque la direction des barres longitudinales change (aux changements de dimensions du poteau par exemple),ilconvientdecalculerlespacementdesarmaturestransversalesentenantcomptedes effortstransversauxassocis.Ceseffetspeuventtreignorssilechangementdedirectionest infrieur ou gal 1 pour 12. Ilconvientquechaquebarrelongitudinale(oupaquetdebarreslongitudinales)placdansunangle soit maintenue par des armatures transversales. mm 150 Ilconvientdansunezonecomprime,denepas disposerdebarrenontenueplusde150mm dune barre tenue. ..9.5.3 ..9.5.3(5) ..9.5.3(4) ..9.5.3(3) ..9.5.3(1) ..9.5.3(2) ..9.5.3(6) Page 102/154s = espacement courantZone derecouvrement espacement = 0,6 sb* Au niveau dun plancher, cette solution est satisfaisante car, si les poutres sont constitues de soffites prfabriqus, alors le repos de 20mm sur les poteaux BA est respect et les armatures du poteau ne gnent en aucune faon leur mise en place Lorsque des barres changent de direction (par exemple lors des changements des sections des poteaux, il convient de calculer lespacement des armatures transversales, en prenant en compte les forces latrales qui en rsultent. La longueur de recouvrement des armatures comprimes :15 3 2 1= == = = == = = == = = == = La longueur de recouvrement de calcul : min , rqd , bl l . l0 6 4 0 = == = bdsdrqd , bfl 4= == = {8.3}( (( ( ) )) ) mm ; ; l , max lrqd , b min ,200 15 3 06 0 {8.11} avec ctd bdf . . . , f2 125 2 = == = ( 12 = == = pour mm 32 ) et ( 11 = == = car bonnes conditions d'adhrencecomme la proportion 1 de barres avec recouvrement est suprieure % 505 16, = == = (si armatures transversales soudes7 04, = == = sinon14 = == = ) Pour un recouvrement classique (armatures transversales non soudes) : bdsdf, l 45 10 = == = Pour unMPa fck25 = == = MPasd435 = == = 600= == = lPour unMPa fck30 = == = MPasd435 = == = 550= == = lCes valeurs sont trs suprieures aux valeurs utilises avec le BAEL ( comparer avec sl ,6 0 soit plus du double) Remarque. Attentes de poteaux. (M. H. Thonier) Les longueurs dattentes de poteaux peuvent tre dtermines en prenant en compte la contrainte sd effective de lacier dans la zone de recouvrement. Par exemple, pour le cas o il nexiste pas de moment du 1er ordre dans la zone dattentes, on peut ngliger les effets du 2e ordre. La section est soumise une compression centre NEd.Soit NRd1 le moment rsistant dans la zone la plus sollicite du poteau ( mi-hauteur pour un poteau bi-articul). Posons : = yd s cd c1 Rdf . A f . AN+ = csAA et = cdydff Il vient : NRd1 = .Ac. fcd (1 + .) alors quen zone dattentes, o il ny a pas de risque de flambement, la charge rsistante scrit : NRd2 = Ac. fcd (1 + .) Soit As0 la section dacier ncessaire dans la zone dattente, on doit avoir :NEd =Ac.fcd + As0.fyd = Ac.fcd (1 + .0) = Ac.fcd (1 + .0) NRd1 = .Ac.fcd (1 + .) De cette expression : Ac.fcd (1 + .0) .Ac.fcd (1 + .) On dtermine le rapport place en mis Acierncessaire Acier = 0 + .1 ) . 1 .(

La contrainte de lacier vaut : sd = fyd . 0 ConclusionPour les poteaux, le recouvrement sera pris gal : 0 7l 71 1 ( ) + = csAA= == = cdydff= == = et coefficient de flambement Application pour un bton fck = 25 MPa, des aciers de diamtre < 40 mm et de fyk = 500 MPa Lb,rqd = bdsdf.4 (8.3)fbd = 2,25 2.fctd (8.2)avec 2= 1[ 8.4.2 (2)] La longueur dattente est donne par L0 = 1. 2. 3. 4. 5. 6.Lb,rqd (8.10) avec 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 1(Tab. 8.2) pour les barres comprimes 6 = 1,5 (Tab. 8.3)car toutes les barres sont en recouvrement dans la mme section 8.7.3 Page 103/154On doit vrifier :L0 Max[0,3 6.Lb,rqd ; 15 ; 200 mm] (8.11) fctd = 5 , 1f05 , 0 , ctk = 5 , 18 , 1 = 1,2 MPafbd = 2,25 x 1,2 = 2,7 MPa Lb,rqd pour sd = 15 , 1fyk = 434,8 MPa :Lb,rqd = 7 , 2 48 , 434 = 40,2 arrondi 40 La longueur des attentes devient :L0 = Max[60 .0 ; 15 ; 200 mm] Exemple. Donnes : = 0,75 ; = 0,03 ;fck = 25 MPa ; fyk = 500 MPa;< 40 = 7 , 168 , 434 = 26 0 = + .1 ) . 1 .( = 0,429 comme6.Lb,rqd [0,3 6.Lb,rqd ] L0 = Max[60 0,429; 15 ; 200] = Max[25,8 ; 200] contre0,645 = 27 pour le BAEL. Remarque personnellecherchons une borne suprieure avec un bton fck 25 MPa 71 1 1 11 1maxmax max( )( ) ( ) + = = 86 0,max = == = 26255 115 1500= == = = == =,,max 04 0,max = == = 70 13 , Il peut arriver que 7 soit ngatif : par exemple lorsque le poteau est arm au voisinage du pourcentage minimum qui est de lordre de 0,2%pour un fck = 25 MPa ,26 =711 0 ( ) = < pour86 0, le coef 70 0 63 , % < >> >acier classe500 S: fyd limite lastique de calculIl faut redimensionner pour que 120 lancement Dlilo o4= == = = == = Lalongueurdeflambement (longueur efficace)l l = == =0

Rd Ed

| || | | || |yd cd c h Rdf f A k + ++ + = == = pourm , D 600 0 < >> >500 S fLalongueurdeflambement (longueur efficace)l = == =0l oui 262186 0| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == = , lancement 1012bl= == = 3 132,| || | | || |

\ \\ \| || |= == = non Rd Ed | || | | || |yd cd c h Rdf f A k + ++ + = == =( (( ( ) )) )| || | | || || || | | || || || | | || |yd cdmc Rdf f b , , A + ++ + + ++ + = == = 6 1 5 0 75 0 Ac : aire de la section droite de bton rectangulaireb ,hb' d= == = enrobagerelatif ;2 / c ' dl t nom + ++ + + ++ + = == = distance' d delaxedesacierslaparoilaplusproche| || | | || | mm ; b , Min ' d 100 3 0 Dtermination des armaturessAChoix dune valeur de % 0 = == = ; ( (( ( ) )) )| || | | || |cdmEdbhf b , ,5 0 75 0 + ++ + = == = On remplace par son expression fonction deb2029613186 062186 0| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == =| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == =b, ,l pour60 3 103 11832,,b| || || || | | || |

\ \\ \| || |= == = | || | | || |

\ \\ \| || |= == =l pour120 60 > >> > On peut se fixerb h = == =ou une autre relation On choisit une valeur de 1bmultiple de 50 mm avecm , b 150 01 et choix de 1b h Onpeutaussisefixerunevaleur% 1 parexemplelasectionMinimale60 ( (( (( (( ( ( (( (

= == =cydEdmin , sA,;f ,max A1002 0 10 0 Page 112/1549.9. Organigramme poteau circulaire Pour les poteaux bi-articul, dimensionnement du coffrage de la section droite. 60 Donnes Poteau bt de classe structurale4 S(dure dutilisation du projet de 50 ans) Classe dexposition.... Xoption scurit feu Edeffort normal (ELU) (chargement centr) longueur libre l du poteau bton : classe de rsistance.. / .. C:ckf cdfage du btonj 28 > >> >acier classe500 S: fyd limite lastique de calculLalongueurdeflambement (longueur efficace)l l = == =0

oui 252184 0| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == = ,

lancement 104Dl= == = 24 127,| || | | || |

\ \\ \| || |= == = non Rd Ed | || | | || |yd cd c h Rdf f A k + ++ + = == =( (( ( ) )) )| || | | || || || | | || || || | | || |yd cdmc Rdf f D , , A + ++ + + ++ + = == = 8 1 5 0 7 0Ac : aire de la section droite de btonD' d= == = enrobage relatif ;2 / c ' dl t nom + ++ + + ++ + = == =distance' dde laxe des aciers la paroi la plus proche| || | | || | mm ; D , Min ' d 100 3 0 Dtermination des armaturessAOn se fixe une valeur% 0 = == = ( (( ( ) )) )| || | | || |cdmc Rdf D , , A5 0 7 0 + ++ + = == = On remplace par son expression fonction deD 20213184 052184 0| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == =| || | | || |

\ \\ \| || |+ ++ += == =D, ,l pour60 24 1075 6,D ,| || || || | | || |

\ \\ \| || |= == =l pour120 60 > >> > Choix de 1Dvaleur multiple de 50 mmm , D 200 01 Onpeutaussisefixerunevaleur% 1 parexemplela sectionMinimale( (( (( (( ( ( (( (

= == =cydEdmin , sA,;f ,max A1002 0 10 0 Page 113/154 Page 114/154 Page 115/15410.Calcul des semelles filantes et rectangulaires sous charge centre 10.1.Sol de fondation Soit dVla charge verticale (ELU) au niveau de la base de la fondation (assise) La charge ultime extrieure tient compte du poids de la semelle, du sol situ au-dessus, du dallage ventuel et de la charge variable sur le dallage. Soit' Aaire de la surface effective de la fondation (en compression centre, aire totale de la surface horizontale de la fondation en contact avec le sol ; si chargement excentr, utilisation de la mthode de Meyerhof ) La portance de calcul du sol de fondation est note :dR; (soit la contrainte de calcul ' ARqdd= == =; la notation dqnexiste pas dans lEC 1997) Critre de rsistance : d dR V 10.2.Diagramme des moments pour une semelle filante. bEd

b

Ed' b' b

Edh dM| || | | || |28b ' b' b

Ed | || | | || |' bb b ' bb' b

b

Ed Ed Ed8 82 = == =( (( ( ( (( (

| || | | || | b ' b

Ed 8 Diagramme des moments pour une semelle filante. Le moment au nu du voile :| || | | || |28b ' b' b

Ed Le moment max. dans la section mdiane de la semelle :| || | | || | b ' b

Ed 8 Page 116/15410.3.Expression du moment rglementaire Leurocodeproposedecalculerlemomentdansunesectionsitueb ,35 0 delaxedupoteau,enprenanten compte que les charges du sol sur la semelle. Son expression :| || | | || |27 08b , ' b' b

Ed La mthode des bielles articles 5.6.4 et 6.5 de lEC2-1-1 nest pas satisfaisante du point de vue conomique, elle conduit des rsultats suprieurs (jusqu' 25% ) Semelle filante tronon de longueur 1 mtre bEd

' b' b

Edh db ,15 0235 02 2( (( ( ( (( (

= == = b ,' b' b

MEdEdb ,35 0Msectiondecalcul Semelle isole bEd

' bh db ,15 0235 02 2( (( ( ( (( (

= == = b ,' b' b

MEdEdb ,35 0Msectiondecalculx' c' c ' b

Ed Remarque : Le moment maximal est obtenu dans laxe du voile o il a pour valeur : ( (( ( ) )) )8 4 4 2b ' bb ' b MEd Edmax = == = | || | | || |

\ \\ \| || | = == = (valeur pessimiste) Considrons le moment calcul en ne prenant en compte que laction du sol sur une distance x depuis lextrmit de la semelle :( (( ( ) )) )22x' b

x MEd= == = . Dterminons la valeur de x pour laquelle on obtient le moment max. ( (( ( ) )) )2 82x' b b ' b MEd Edmax= == = = == = . quation du second degr en x :| || | | || |

\ \\ \| || | = == =' bb ' bx 121 Sibpetit devant' b:' bb' bb21 1 | || | | || |

\ \\ \| || | b ,' b' bb ' bx 25 02 2121 = == = | || | | || |

\ \\ \| || | Page 117/15410.4.modlisation bielles-tirant quivalente hbiellesdebtoncomprimes O O'AA'bizd2Ed

2Ed

2Ed

2Ed

4' b' b' bb ,' b 135 022( (( ( ( (( (

( (( ( ( (( (

' bb, b , 35 0 1 35 0 10.5.calcul des armatures Le calcul des aciers est effectu par la mthode des moments [EC2, 9,8,2,2 (3)] avec un porte--faux major de 0,15 fois la largeur du poteau (Fig.9 .13 de lEC2-1-1). La charge de calcul Eddoit dj tre majore des coefficients de scurit en combinaison caractristique de lELU. Semelles filantes : | || | | || |' bb , ' b b ,' b' b

MEd EdEd87 035 02 22 2 = == =( (( ( ( (( (

= == =Semelles isoles rectangulaires choix( (( ( ) )) )y xd ; d Min d = == = Si bton de propretmm cnom30 = == =( (( ( ) )) ) 30 2 3 + ++ + = == = h dMoment : | || | | || |' bb , ' b b ,' b' b

MEd EdEdx87 035 02 22 2 = == =( (( ( ( (( (

= == = | || | | || |' cc , ' c c ,' c' c

MEd EdEdy87 035 02 22 2 = == =( (( ( ( (( (

= == = Moment rduit : cdEdxuxf d ' cM2= == = Acier // Ox et b cdEdyuyf d ' bM2= == = Acier // Oy et c Brasde levier : u u= 1 25 1 1 2 , .( )( (( ( ) )) )u u. , . d z 4 0 1 = == =( (( ( ) )) )u u. d , z 2 1 1 5 0 + ++ + = == =Acier // Oxet b: sykuxEdxsxf. zMA = == = Acier // Oyet c: sykuyEdysyf. zMA = == = On peut dterminer sxAet syA en considrant respectivement xdet yd . On peut dterminer sxAet syA en considrant respectivement un bras de levier interne forfaitaire x uxd , z 9 0 = == = , y uyd , z 9 0 = == =Semelles sous poteaux circulaires. Pour le calcul des armatures de la semelle, on assimile le poteau circulaire un poteau carr de mme section droite (mme aire). Page 118/15410.6.Dispositions constructives 10.6.1. Diamtre minimal darmatures Diamtre minimal darmatures :8minmm =clause 9.8.2.1(1) Note AN 10.6.2. Condition de non fragilit Larticle9.8.2relatifauxsemellesdefondationdepoteauxetdevoilesnindiquepasdesection minimale darmatures. 10.6.3. enrobage L'enroba