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Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 1/62 03/07/2009
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_______________________________________________
ELU Bases de calcul des structures : l’eurocode EN 1990
Les matériaux : le béton et l’acier
Les classes d’exposition, l’enrobage
Détermination des armatures dans les poutres rectangulaires en flexion simple
Ce n'est pas un cours, mais une compilation d'éléments permettant de comprendre la philosophie de l'Eurocode et parfois de justifier partiellement l'origine des expressions en particulier pour le cisaillement, le calcul de l’ouverture des fissures. Cela peut vous aider de créer ou adapter votre propre cours. Si vous détectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer à l’adresse : [email protected] Bibliographie
♦ Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de l’école des Ponts et Chaussées
♦ Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des Ponts et Chaussées
♦ Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr
♦ Poutres et dalles en environnement agressif Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr
♦ Calcul des structures en béton Henri Thonier site : btp.equipement.gouv.fr
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SOMMAIRE
1. SITUATION DE PROJET ____________________________________________________________4
2. COMBINAISONS FONDAMENTALES : ____________________________________________________5
2.1 ÉTATS LIMITES ULTIMES, POUR LES SITUATIONS DE PROJET DURABLES ET TRANSITOIRES ___________ 5 2.2. TABLEAU A1.1 (F): VALEURS DES COEFFICIENTS ψ POUR LES BATIMENTS_____________________ 5 PAR EXEMPLE , L’ETUDE D’UN MUR DE SOUTENEMENT OU D’UN VOILE DE SOUS-SOL S’EFFECTUERA SOIT AVEC L’APPROCHE 2 SOIT AVEC L’APPROCHE 3 _______________________________________________________ 6 2.3. RAPPELS DE L’EC 7 _____________________________________________________________ 7 2.4. EXEMPLE ÉTAT LIMITE D’EQUILIBRE STATIQUE (E.Q.U.) ___________________________________ 7 2.5. ACTIONS ACCIDENTELLES _________________________________________________________ 7 2.6. ACTIONS SISMIQUES _____________________________________________________________ 7 2.7. ETATS LIMITES DE SERVICE ________________________________________________________ 8 VERIFICATIONS A EFFECTUER________________________________________________________________________ 8 2.8. EXEMPLE N°1 : BATIMENT COURANT _________________________________________________ 9 2.8.1. HYPOTHESE : BATIMENTS COURANTS TELS QUE :_______________________________________________ 9 2.8.2. POUR DES ELEMENTS NE PARTICIPANT PAS AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC NE
REPRENANT PAS L’ACTION DU VENT.___________________________________________________________________ 9 2.8.3. POUR DES ELEMENTS PARTICIPANT AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC REPRENANT
L’ACTION DU VENT. (RAREMENT ETUDIES EN BTS BATIMENT)______________________________________________ 10 2.9. EXEMPLE N° 2_________________________________________________________________ 11 2.9.1. HYPOTHESES : BATIMENTS _______________________________________________________________ 11 2.9.2. POUR DES ELEMENTS NE PARTICIPANT PAS AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC NE
REPRENANT PAS L’ACTION DU VENT. 021 ======== FF ______________________________________________________ 11 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 11 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 12 2.9.3. POUR DES ELEMENTS PARTICIPANT AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC REPRENANT
L’ACTION DU VENT. (RAREMENT ETUDIES EN BTS BATIMENT)______________________________________________ 12 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 12 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 12 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 13 2.9.4. VALEURS DE CALCUL D’ACTIONS (EQU) ENSEMBLE A TABLEAU A1.2 (A) (F) _______________________ 14 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 14 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 14 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 14 2.9.5. NOTE 1 DANS LES CAS OU LA VERIFICATION DE L'EQUILIBRE STATIQUE INCLUT EGALEMENT LA
RESISTANCE D'ELEMENTS TABLEAU A1.2 (A) (F) ________________________________________________________ 14 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 14 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 14 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 14
BETON ELU________________________________________________________________________ 15
3.1. CLASSES DE RESISTANCE ________________________________________________________ 15
4. CARACTERISTIQUES DES ACIERS DU BETON ARME _________________________________________ 21
4.1. PROPRIETES__________________________________________________________________ 21 4.2. PROPRIETES MECANIQUES _______________________________________________________ 21 4.3. DIAGRAMME CONTRAINTE-DEFORMATION A L'E.L.U.: __________________________________ 22
5. - CLASSES D’EXPOSITION EN FONCTION DE L’ENVIRONNEMENT : TABLEAU 4.1________________________23
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5.1. COMPLEMENTS DE L’ANF ________________________________________________________ 24 5.2. CLASSES INDICATIVES DE RESISTANCE POUR LA DURABILITE ______________________________ 27 5.3. ENROBAGE ___________________________________________________________________ 28 5.3.1. DEFINITION DE L’ENROBAGE : ____________________________________________________________ 28 5.3.2. L’ENROBAGE PERMET D’ASSURER : ________________________________________________________ 28 5.3.3. L’ENROBAGE MINIMUM cmin ; L’ENROBAGE NOMINAL nomc _____________________________________ 28
5.3.4.-: GROUPEMENT DE BARRES A HAUTE ADHERENCE__________________________________________________ 31 5.3.5. - CONDITIONS DE BETONNAGE CORRECT : ___________________________________________________ 31 5.4. MODULATIONS DE LA CLASSE STRUCTURALE RECOMMANDEE, EN VUE DE LA DETERMINATION DES ENROBAGES MINIMAUX CMIN,DUR DANS LES TABLEAUX 4.4N ET 4.5NF. _______________________________ 32 5.4.1. CLASSE STRUCTURALE__________________________________________________________________ 32 5.5. DETERMINATION DES ENROBAGES MINIMAUX CMIN,DUR DANS LES TABLEAUX 4.4N ______________ 33 5.6 ORGANIGRAMME POUR LA DETERMINATION DE L’ENROBAGE : ___________________________________ 34
6. REGLE DES 3 PIVOTS. ELU__________________________________________________________36
NOTATIONS ET DIAGRAMMES________________________________________________________________________ 36
7. - PROCEDURES DE CALCUL : ___________________________________________________________ 37
8. DEMARCHE DE PROJET____________________________________________________________38
9. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES EN FLEXION SIMPLE, SECTION
RECTANGULAIRE : ___________________________________________________________________39
10. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES EN FLEXION SIMPLE, SECTION
RECTANGULAIRE : ___________________________________________________________________40
10.1. INTERFERENCE E.L.S. ET E.L.U.: __________________________________________________ 41 10.2. ORGANIGRAMME (TYPE DE M PERCHAT) POUR DETERMINER UNE VALEUR DE ulµµµµ _______________ 43
10.3. PROCEDURE POUR DETERMINER UNE EXPRESSION DE ulµµµµ ________________________________ 44
10.4. DEMONSTRATION DE LA VALEUR FORFAITAIRE théo
ls2σσσσ ____________________________________ 49
11. EPURE D'ARRET DE BARRES: ________________________________________________________ 51
11.1. LONGUEUR DE BARRES, SECTIONS D'ACIER:___________________________________________ 55 11.1.1. DETERMINATION PRATIQUE:_________________________________________________________ 55 11.2. .FERRAILLAGE D'UNE POUTRE:_____________________________________________________ 57
12. DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES DROITES: METHODOLOGIE______________________58
13. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE : ______________59
14. POUR UN EFFORT TRANCHANT MODERE, ORGANIGRAMME SIMPLIFIE DE CALCUL DES ARMATURES
TRANSVERSALES EN FLEXION SIMPLE : _____________________________________________________60
15. ORGANIGRAMME SIMPLIFIE DE CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES (BTS) ____________________ 61
16. DONNEES POUR UN SUJET U 4.1 ______________________________________________________62
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1. SITUATION DE PROJET
Il s’agit de la période au cours de laquelle la structure est censée rester utilisable en étant normalement entretenue, sans qu’il soit nécessaire de procéder à de grosses réparations.
Tableau 2.1(F) — Durée indicative d'utilisation de projet Catégorie de
durée d'utilisation de
projet
Durée indicative d'utilisation de projet
(années)
Exemples
1 10 Structures provisoires (1) 2 25 Éléments structuraux remplaçables, 3 25 Structures agricoles et similaires 4 50 Structures de bâtiments courants 5 100 Structures des bâtiments monumentaux ou
stratégiques (1) Les structures ou parties de structures qui peuvent être démontées dans un but de réutilisation ne doivent normalement pas être considérées comme provisoires.
Les situations de projet au nombre de 4 sont classées comme suit :
• les situations durables , correspondant aux conditions normales d’utilisation de l’ouvrage ; • les situations transitoires qui font référence à des conditions temporaires applicables à la structure (phases
de construction ou de réparation) • les situations accidentelles qui font référence à des conditions exceptionnelles applicables à la structure ou
à son exposition par exemple à un incendie, une explosion, un choc, la neige exceptionnelle. • situations sismiques , qui font référence à des conditions exceptionnelles applicables à la structure lors de
tremblements de terre.
Les bâtiments courants étudiés sont des projets de catégorie 4 (durée de vie 50 ans)
1.6 .EN 1990 A1.1
2.1.3
EN 1991 eurocode 1
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2. COMBINAISONS FONDAMENTALES :
2.1. États limites ultimes, pour les situations de projet durables et transitoires
∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>
++++++++++++1 1
011j i
i,ki,i,Q,k,QPj,kj,G Q""Q""P""G ψψψψγγγγγγγγγγγγγγγγ 106. seule utilisée d’après l’annexe nationale
ou on prend la plus défavorable des 2 expressions obte nues, pour la première en réduisant l’action variab le dominante, la
seconde en réduisant le coef relatif aux actions pe rmanentes défavorables : 850,j ====ξξξξ
++++++++++++
++++++++
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
>>>>≥≥≥≥
≥≥≥≥≥≥≥≥
1011
1
10
1
ii,ki,i,Q,k,QP
jj,kj,Gj
ii,ki,i,QP
jj,kj,G
""""""
""""
QQPG
QPG
ψψψψγγγγγγγγγγγγγγγγξξξξ
ψψψψγγγγγγγγγγγγ
b.
a.
106
106
Lorsque la précontrainte est absente :
++++++++++++
++++++++++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
≥≥≥≥
≥≥≥≥
101
10110
501501001151
501501001351
ii,ki,,kinf,ksup,k
ii,ki,,k,inf,ksup,k
,,G,G,
,,G,G,
ψψψψ
ψψψψψψψψ
b.
a.
106
106
Lorsque la précontrainte est absente 6.10 se réduit à ::
γ γ γ ψG j k jj
Q k Q i i k ii
G Q Q, , , , , , ,∑ ∑+ +>
1 1 01
6.10 le symbole « + » signifie : doit être combiné à
- Gk j, : valeur caractéristique de l’action permanente j
- γ G j, :coefficient de sécurité partiel de l’action permanente j
- Qk ,1 : valeur caractéristique de l’action variable dite dominante
- Qk i, : valeurs caractéristiques des autres actions variables dites d'accompagnement ( avec i ≥ 2 )
- γ Q,1 : coefficient de sécurité partiel affecté à l'action dominante
- γ Q i, : coefficient de sécurité partiel affecté à chaque type d'action d'accompagnement
- ψ0,i : coefficients traduisant le fait qu’il soit très improbable que plusieurs actions variables atteignent toutes
ensemble et au même moment leurs valeurs caractéristiques.
2.2. Tableau A1.1 (F): Valeurs des coefficients ψψψψ pour les bâtiments
Valeur caractéristique : 0ψψψψ ; valeur fréquente : 1ψψψψ ; valeur quasi-permanente : 2ψψψψ
Action ΨΨΨΨ0 ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 Charges d'exploitation des bâtiments , catégorie (voir EN 1991-1.1) - Catégorie A : habitation, zones résidentielles - Catégorie B : bureaux - Catégorie C : lieux de réunion - Catégorie D : commerces - Catégorie E : stockage
0,7 0,7 0,7 0,7 1,0
0,5 0,5 0,7 0,7 0,9
0,3 0,3 0,6 0,6 0,8
- Catégorie F : zone de trafic, véhicules de poids ≤ 30 kN - Catégorie G : zone de trafic, véhicules de poids compris entre 30 et 160 kN - Catégorie H : toits
0,7 0,7 0
0,7 0,5 0
0,6 0,3 0
Charges dues à la neige sur les bâtiments (voir EN 1991-1-3) : - pour lieux situés à une altitude H> 1000 m a.n.m. et pour Saint-pierre et Miquelon - pour lieux situés à une altitude H≤ 1000 m a.n.m.
0,70 0,50
0,50 0,20
0,20
0 Charges dues au vent sur les bâtiments (voir EN 1991-1-4) 0,6 0,2 0 Température (hors incendie) dans les bâtiments (voi r EN 1991-1-5) 0,6 0,5 0
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COMBINAISON FONDAMENTALE
En 1990 EXPRESSION GENERALE pour les bâtiments
EQU 6.10 tableau A1.2 (A)(F) NOTE 1
A.A 21 i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 501501900101 ψψψψ
Dans les cas où la vérification de l'équilibre statique inclut également la résistance d'éléments structuraux, voir la note 1 de l’annexe nationale.
STR /GEO SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES
6.10 tableau A1.2 (B)(F)
Pour le dimensionnement des éléments structuraux non soumis à des actions géotechniques (EN 1990 A1.3.1 (4))
B.A 21 i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 501501001351 ψψψψ
Les valeurs caractéristiques de toutes les actions permanentes d'une même origine sont multipliées par γγγγG,sup si l'effet total résultant de ces actions est défavorable, et γγγγ G,inf si cet effet est favorable. Par exemple, toutes les actions provenant du poids p ropre de la structure peuvent être considérées comme émanant d'une même o rigine ; cela s'applique également si différents matériaux sont c oncernés.
STR /GEO SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES
6.10 tableau A1.2 (C)(F)
Éventuellement pour le dimensionnement des éléments structuraux soumis à des actions géotechniques (EN 1990 A1.3.1 (4))
C.A 21 i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 301301001001 ψψψψ
D’après l’annexe nationale, Il convient pour vérifi er le dimensionnement d’utiliser Pour les bâtiments la combinaison fondamentale est b asée sur l’expression 6.10 voir clause A.1.3 AN Pour les bâtiments courants sans étages en sous sol, l’approche 2 est recommandée : il faut utiliser le tableau A1.2 (B) (F) voir AN A1.3 note Il convient de vérifier le dimensionnement des élém ents structuraux (semelles, pieux, murs de soubasse ment, etc.)
(STR) soumis à des actions géotechniques, et la rési stance du terrain (GEO, voir 6.4.1), en utilisant l' une des trois approches suivantes complétées, pour les actions gé otechniques et les résistances par l’EN 1997 :
Approche 1 : Application, dans des calculs séparés, de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2(C) et du Tableau A1.2(B) aux actions géotechniques, aussi bien aux qu’aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.
Il faut envisager 2 études séparées : Équation B.A 21 pour toutes les actions
Équation C.A 21 pour toutes les actions
Dans des cas courants, le dimensionnement des fondations est régi par le Tableau A1.2(C) et la résistance structurale est régie par le Tableau A1.2(B) ; NOTE Dans certains cas, l'application de ces tableaux est plus complexe, voir l’EN 1997.
Approche 2 : Application de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2 (B) aux actions géotechniques ainsi qu’aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.
Équation B.A 21 pour toutes les actions
Approche 3 : Application de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2(C) aux actions géotechniques et, simultanément, application de coefficients partiels du Tableau A1.2(B) aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.
Équation B.A 21 pour les actions appliquées à la structure (except ées les actions d’origine géotechnique)
ou en provenance de celle-ci et Équation C.A 21 pour les actions géotechniques
Pour les bâtiments possédant plusieurs étages en sou s sol, dotés de parois assurant à la fois une fonct ion porteuse et une fonction de soutènement, l’approche 3 peut être spécifiée :
application de valeurs de calcul du tableau A1.2 © (F) i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 301301001001 ψψψψ aux
actions géotechniques et simultanément , applicati on de coefs partiels du tableau A1.2 (B) aux autres actions appliquées à la structure. L’approche 2 peut aussi être spécifiée dans les doc uments de marché Par exemple , l’étude d’un mur de soutènement ou d’un voile de sous-sol s’effectuera soit avec l’approche 2 soit avec l’approche 3 Avec l’ Approche n° 2 2121 RMB.A ++++++++ voir EC 7
1M Facteurs partiels pour les paramètres du sol Mγγγγ tous égaux à 1
2R Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations superficielles, ouvrages de so utènement, …. Voir EC7 Conclusion : utilisons exclusivement l’approche 2 p our STR/GEO, elle est recommandée dans l’ouvrage de M Calgaro et Cortade et de plus elle est proche de nos habitu des
EN 1990 A1.3.1 (5)
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2.3. Rappels de l’EC 7
Approche Approche n° 1
111 RMA ++++++++
122 RMA ++++++++
Il faut vérifier les 2 combinaisons, considérer la plus défavorable Pour toutes les actions
1A i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 501501001351 ψψψψ
Pour toutes les actions
2A i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 301301001001 ψψψψ
Approche n° 2
211 RMA ++++++++
Préconisée par Calgaro Pour toutes les actions
1A i,ki
i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>
++++++++++++1
01 501501001351 ψψψψ
STR /GEO
SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES
STR résistance des
structures de bât soumise à des
actions géotechniques
GEO Défaillance ou déformation
excessive du sol Approche n° 3
3221 RMAouA ++++++++ 1A pour les actions provenant de la structure
2A pour les actions géotechniques
Facteurs partiels pour les paramètres du sol Mγγγγ 1M 2M
Angle de frottement interne 'ϕϕϕϕγγγγ 1
251,'tan'tan
'
ϕϕϕϕγγγγ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
====
Résistance en compression simple quγγγγ 1 41,
cohésion effective 'cγγγγ 1 251,
Cohésion non drainée cuγγγγ 1 41,
Poids volumique γγγγγγγγ 1 1
Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations superficielles et ouvrages de soutènement
Résistance Symbole Ensemble 1R 2R 3R
Portance v;Rγγγγ 1 41, 1
Glissement h;Rγγγγ 1 11, 1
Résistance des terres (pour soutènement) e;Rγγγγ 1 41, 1
Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations sur pieux (voir A.3.3.2)
Pour les pieux foncés, forés et à la tarière continu e
Pγγγγ représente la résistance en pointe, Sγγγγ représente la résistance par frottement latéral su r le fût des pieux en
compression, t,Sγγγγ représente la résistance par frottement latéral su r le fût des pieux en tractionon,
ensemble 2R Pγγγγ = Sγγγγ = 1,1 et t,Sγγγγ 1,15
2.4. Exemple État limite d’équilibre statique (E.Q. U.)
1,5 Q
1,1 G
A B
0,9 G
Cela consiste à vérifier le non-soulèvement d’un appui par exemple. Cette vérification se rencontre dans le cas de poutres dont la travée se prolonge en console, et dont l’appui B est du type plaque d’appui.
2.5. Actions accidentelles
∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>
++++++++++++++++1 1
211211j i
i,ki,,k,,dj,k Q""Q)ou(""A""P""G ψψψψψψψψψψψψ dA représente l’action accidentelle de calcul
2.6. Actions sismiques
∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ ≥≥≥≥
++++++++++++1 1
2j i
i,ki,Edj,k Q""A""P""G ψψψψ EdA représente l’action sismique de calcul
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2.7. Etats limites de service
2.7.1. Vérifications à effectuer Les vérifications vis-à-vis des états-limites de service se traduisent par l’inéquation suivante :
E Cd d≤
avec :
Ed : effet de calcul d’actions, déterminé en fonction de l’une des combinaisons définies ci-dessous. Il faut déterminer le cas de
chargement le plus défavorable
Cd : valeur de calcul de matériaux correspondant au critère d’aptitude au service considéré
Combinaison caractéristique ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>
++++++++++++1 1
01j i
i,ki,,kj,k Q""Q""P""G ψψψψ Correspond à un état limite irréversible
Combinaison fréquente ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>
++++++++++++1 1
2111j i
i,ki,,k,j,k Q""Q""P""G ψψψψψψψψ
Combinaison quasi permanente ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ ≥≥≥≥
++++++++1 1
2j i
i,ki,j,k Q""P""G ψψψψ
Exemple : Bâtiment bureaux ou habitation neige alti tude <1000m, pour des éléments ne participant pas a u
contreventement de l’ouvrage et donc ne reprenant p as l’action du vent Combinaison caractéristique QG ++++ 0 7G S , Q+ + ×
0 5G Q , S+ + ×
Combinaison fréquente Q,G 50++++ 0 2 0 3G , S , Q+ × + ×
Combinaison quasi permanente Q,G 30++++
EN 1990 2.3.4
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2.8. Exemple n°1 : bâtiment courant
2.8.1. Hypothèse : bâtiments courants tels que :
Charge d’exploitation (habitation, bureaux, lieux d e réunion, commerce, parkings) : 700 ,====ψψψψ
neige altitude<1000m 500 ,====ψψψψ
vent 600 ,====ψψψψ
La charge d’entretien n’est pas compatible avec la neige et le vent La charge d’exploitation d’entretien n’intervient que localement (si répartie, agit sur une surface de 10m2 au plus (rapport des dimensions de la surface au plus égale à 2) : par exemple l’étude d’une panne.
0210 ============ ψψψψψψψψψψψψ
Le poids propre des cloisons mobiles peut être assi milé à une charge uniformément répartie qu’il convi ent d’ajouter aux charges d’exploitation.
2.8.2. Pour des éléments ne participant pas au cont reventement de l’ouvrage et donc ne reprenant pas l’action du vent.
EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante
1 10 0 90 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante
STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante
1 35 1 00 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante
G,351
Q,501
S, S0501 ψψψψ
G,351
G,351 Q,501
Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable de neige avec la valeur de combinaison
G,351
Q, Q0501 ψψψψ
S,501
G,351
G,351 Q, Q0501 ψψψψ
Charge de neige dominante Accompagnement : action variable de la surcharge d’exploitation avec la valeur de combinaison
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2.8.3. pour des éléments participant au contrevente ment de l’ouvrage et donc reprenant l’action du vent. (rarement étudiés en BTS bâtiment)
EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S , , W+ + + × × + × × charge d’exploitation
dominante
1 10 0 90 1 50 1 50 0 7 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q , , W+ + + × × + × × neige dominante
STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S , , W+ + + × × + × × charge d’exploitation
dominante
1 35 1 00 1 50 1 50 0 7 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q , , W+ + + × × + × × neige dominante
1 35 1 00 1 50 1 50 0 7 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , W , , Q , , S+ + + × × + × × vent dominant
il faut considérer en plus des cas précédents :
W, W0501 ψψψψG,351
Q, Q0501 ψψψψ
S,501
G,351
G,351 Q, Q0501 ψψψψ
W, W0501 ψψψψ
W, W0501 ψψψψ
Charge de neige dominante Accompagnement : action variable de la surcharge d’exploitation et du vent avec la valeur de combinaison
W, W0501 ψψψψG,351
G,351
G,351
W, W0501 ψψψψ
W, W0501 ψψψψ
S, S0501 ψψψψ
Q,501
Q,501
Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable de neige et du vent avec les valeurs de combinaison
W, W0501 ψψψψG,351
G,351
G,351
W, W0501 ψψψψ
W, W0501 ψψψψ
Q,501
Q,501
Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable du vent avec la valeur de combinaison Sur la toiture la surcharge d’entretien n’est pas compatible avec le vent
GW,501
W,501
W,501
G
G
Charge de vent dominante Charges verticales favorables
W,501
G,351
Q, Q0501 ψψψψG,351
G,351 Q, Q0501 ψψψψ
W,501
W,501
Charge de vent dominante Charges verticales défavorables Sur la toiture la surcharge d’entretien n’est pas compatible avec le vent
W,501
G,351
Q, Q0501 ψψψψG,351
G,351 Q, Q0501 ψψψψ
W,501
W,501
S, S0501 ψψψψ
Charge de vent dominante Charges verticales défavorables
Remarque : L’ Eurocode XP ENV 1991-1 (avril 1996) admettait po ur les bâtiments des combinaisons simplifiées pour 2 ou plus d’actions variables. (n’ apparaissent plus dans la version finale) (ELU) : États limites ultimes (combinaisons simpli fiées), pour les situations de projet durables et transitoires ;
++++++++++++
++++++++
WQ
SWQou
SQ
,G,n
max 351351 ;
++++++++++++
++++++++
WQ
SWQou
SQ
,Gn
min 351
(ELS) États limites de Service (combinaisons simpl ifiées) pour les combinaisons rares ou fréquentes;
++++++++++++
++++++++
WQ
SWQou
SQ
,Gn
90
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 11/62 03/07/2009
2.9. Exemple n° 2
21p22p
11p12p
2F
1F
Étude d’un bâtiment à 2 niveaux constitué d’une travée se prolongeant en console. Définition des cas de chargement basés sur l’ensemble B B.A 21 conformément au DAN. États limites ultime s, situation de projet définitive ou provisoire et situation de projet accidentelle (neige exceptionnelle)
2.9.1. Hypothèses : bâtiments
charge d’exploitation (habitation, bureaux, lieux d e réunion, commerce, parkings : 700 ,====ψψψψ )
neige altitude < 1000m : 500 ,====ψψψψ ; Vent : 600 ,====ψψψψ ,
La toiture terrasse (ou toiture) est non accessible . La charge d’entretien sur la toiture terrasse (ou t oiture) n’est pas compatible avec la neige et le ve nt. Le poids propre des cloisons mobiles peut être assi milé à une charge uniformément répartie qu’il convi ent d’ajouter aux charges d’exploitation.
EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante
1 10 0 90 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante
STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante
1 35 1 00 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante
2.9.2. Pour des éléments ne participant pas au cont reventement de l’ouvrage et donc ne reprenant pas l’action du vent. 021 ======== FF
En considérant les surcharges sur le plancher domin antes
11p 12p 21p 22p
1 Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++
2 Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351
3 Q,G 501++++ G Q,G 501++++ G
4 G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++
5 G Q,G 501++++ G Q,G 501++++
Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++
Q,G, 501351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++
G,351 Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++
Q,G 501++++ Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++
Q,G 501++++ G S,G 750++++ S,G 750++++
G Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 12/62 03/07/2009
En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante
11p 12p 21p 22p
Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++
Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++
G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++
Q,G 051++++ G S,G 51++++ S,G 51++++
G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++
Situation exceptionnelle : neige exceptionnelle AS considérée comme accidentelle
11p 12p 21p 22p
QG Q2ψψψψ++++ QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++
QG Q2ψψψψ++++ G ASG ++++ ASG ++++
G QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++
2.9.3. Pour des éléments participant au contrevente ment de l’ouvrage et donc reprenant l’action du vent. (rarement étudiés en BTS bâtiment)
En considérant les surcharges sur le plancher domin antes
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ G,351 W,90
Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 W,90
Q,G 501++++ G Q,G 501++++ G W,90
G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 G,351 W,90
G Q,G 501++++ G G W,90
Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90
Q,G, 501351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90
G,351 Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90
Q,G 501++++ Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,90
Q,G 501++++ G S,G 750++++ S,G 750++++ W,90
G Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,90
En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante
11p 12p 21p 22p
Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90
Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90
G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90
Q,G 051++++ G S,G 51++++ S,G 51++++ W,90
G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++ W,90
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 13/62 03/07/2009
Situation exceptionnelle : neige exceptionnelle AS considérée comme accidentelle
11p 12p 21p 22p
QG Q2ψψψψ++++ QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ
QG Q2ψψψψ++++ G ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ
G QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ
G G ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ
En considérant l’action du vent dominante
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ G,351 W,51
Q,G, 051351 ++++ G,351 Q,G, 051351 ++++ G,351 W,51
Q,G 051++++ G Q,G 051++++ G W,51
G,351 Q,G, 051351 ++++ G,351 G,351 W,51
G Q,G 051++++ G G W,51
Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51
Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51
G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51
Q,G 051++++ G S,G 750++++ S,G 750++++ W,51
G Q,G 051++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,51
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2.9.4. Valeurs de calcul d’actions (EQU) ensemble A tableau A1.2 (A) (F) En considérant les surcharges sur le plancher domin antes
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,90 Q,G, 50111 ++++ G,90 G,11 W,90
En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,90 Q,G, 05111 ++++ S,G, 5190 ++++ S,G, 5111 ++++ W,90
G,90 G,11 S,G, 5190 ++++ S,G, 5111 ++++ W,90
En considérant l’action du vent dominante
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,90 Q,G, 05111 ++++ G,90 G,11 W,51
G,90 Q,G, 05111 ++++ S,G, 75090 ++++ S,G, 75011 ++++ W,51
2.9.5. NOTE 1 Dans les cas où la vérification de l'équilibre stat ique inclut également la résistance d'éléments tableau A1.2 (A) (F) Pour les éléments structuraux, une vérification combinée peut être définie pour le projet individuel, fondée sur le Tableau A1.2(A)(F) de la présente Annexe Nationale, en remplacement de deux vérifications séparées fondées sur les Tableaux A1.2(A)(F) et A1.2(B)(F) de la présente Annexe Nationale, avec l'ensemble de valeurs suivant : γγγγ Gj,sup = 1,35
γγγγ Gj,inf = 1,15
γγγγ Q,1 = 1,50 si défavorable (0 si favorable)
γγγγ Q,i = 1,50 si défavorable (0 si favorable)
à condition que l'application de γγγγ G,inf = 1,00 à la fois à la partie favorable et à la partie défavorable des actions
permanentes, n'entraîne pas un effet plus défavorable. En considérant les surcharges sur le plancher domin antes
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,151 Q,G, 501351 ++++ G,151 G,351 W,90
G Q,G 501++++ G G W,90
En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,151 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51151 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90
G,151 G,351 S,G, 51151 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90
G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++ W,90
G G S,G 51++++ S,G 51++++ W,90
En considérant l’action du vent dominante
11p 12p 21p 22p 21 FF ====
G,151 Q,G, 051351 ++++ G,151 G,351 W,51
G,151 Q,G, 051351 ++++ S,G, 750151 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51
G Q,G 051++++ G G W,51
G Q,G 051++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,51
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3. Béton ELU
3.1. classes de résistance
L’élément le plus caractéristique de la section 3 est l’introduction des classes de résistance du béton correspondant à une valeur spécifiée de la résistance caractéristique à la compression (à 28 jours).
14 classes sont définies (introduisant les bétons à hautes performances, la nomenclature de chaque classe est de la forme Y/CX ou X et Y sont respectivement les valeurs (en Mpa) de la résistance à la compression
mesurée sur cylindre et sur cube : C f fck ck cube/ , de 1512 /C à 10590/C .
Le projet doit être élaboré à partir d’une classe de résistance du béton correspondant à une valeur spécifiée de la
résistance caractéristique à la compression à 28 jours d'âge. résistance caractéristique " notée fck . tableau 3.1 partiel
classe de résistance en béton C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50
fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1
0 05ctk , ,f
0 95ctk , ,f
1,1
2,0
1,3
2,5
1,5
2,9
1,8
3,3
2,0
3,8
2,2
4,2
2,5
4,6
2,7
4,9
2,9
5,3
Résistance à la compression : La résistance en compression du béton est désignée par des classes de résistance liées à la résistance caractéristique (fractile 5%) mesurée sur cylindre fck ou sur cube cube,ckf , conformément à l'EN 206-1.
0 1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰ (‰)
PARABOLE RECTANGLE
diagramme réel
diagramme de calcul à l'ELUR
cdf
f ck
σ c
2cεεεε 2cuεεεε
εc
MPaf ck 50≤≤≤≤
32 1053 −−−−==== ,cuεεεε
3
2 102 −−−−====cεεεε
σc : contrainte réelle de compression dans le béton
εc : déformation relative du béton comprimé
f ck : résistance caractéristique à la compression du béton âgé de 28 jours
fcd : résistance de calcul du béton à la compression à
l' E.L.U C
ckcccd
ff
γγγγαααα==== 3.15
Cγγγγ : coefficient de sécurité partiel appliqué au
béton voir 2.4.2.4
51,C ====γγγγ situations transitoire et durable
21,C ====γγγγ situations accidentelles
ccαααα : coefficient utilisé pour tenir compte des
effets à long terme sur la résistance à la compression et des effets défavorables dus à la manière dont la charge est appliquée.
1800 ≤≤≤≤≤≤≤≤ cc, αααα
1====ccαααα voir annexe nationale
Diagrammes des déformations et des contraintes, dan s la zone comprimée dans une section droite de pout re fléchie : en pratique, on substitue au diagramme de calcul th éorique « parabole-rectangle » un diagramme simplif ié équivalent de forme rectangulaire.
3.1.7(3)
Tableau 3.1 EN 206-1
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A défaut de résultats d'essai, on admet que pour t ≤≤≤≤ 28 jours: (ces expressions sont intéressantes pour un certain nombre de phases ( décoffrage d’éléments préfabriqués)
(((( )))) (((( )))) joursttftf MPacmck 2838 <<<<<<<<−−−−====
( ) ( )cm cc cmf t t fββββ= × (3.1)
(((( )))) jourstftf ckck 28≥≥≥≥====
(5) II peut être nécessaire de spécifier la résistance en compression du béton, (((( ))))tf cm , à
l'instant t , pour un certain nombre de phases (décoffrage, transfert de précontrainte par exemple),
jourst 3≤≤≤≤ II convient de fonder des valeurs plus précises sur des essais
(6) La résistance en compression du béton à l'âge t dépend du type de ciment, de la température et des conditions de cure. Pour une température moyenne de 20°C et une c ure conforme à l'EN 12390, la résistance en compression du béton à différents âges t , (((( ))))tf cm , peut être estimée à l'aide des Expressions (3.1) et (3.2).
( ) ( )cm cc cmf t t fββββ= × (3.1) (((( ))))
−−−−
====
2128
1/
ts
cc etββββ (3.2)
(((( ))))tf cm est la résistance moyenne en compression du béton à l'âge de t jours
cmf est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours, conformément au Tableau 3.1
(((( ))))tccββββ est un coefficient qui dépend de l'âge t du béton.
t est l'âge du béton, en jours
s est un coefficient qui dépend du type de ciment :
= 0,20 pour les ciments de classe de résistance CEM 42,5 R, CEM 53,5 N et CEM 53,5 R (Classe R) = 0,25 pour les ciments de classe de résistance CEM 32,5 R, CEM 42,5 N (Classe N) = 0,38 pour les ciments de classe de résistance CEM 32,5 N (Classe S)
Dans le cas où une cure thermique est appliquée à l'élément, on se reportera à 10.3.1.1 (3).
Zone comprimée
Axe neutre
Section droite Déformations Contraintes normales de compression
Répartitionparabole-rectangle
Répartitionrectangulaire-simplifié
cdfηηηηcdf
sσσσσsσσσσ
cεεεε
sεεεε sF
cF
sA
xλλλλd
Zone tendue
Le coefficient λλλλ définit la hauteur utile de la zone de béton comprimé
80,====λλλλ MPaf ck 50≤≤≤≤ 3.19
(((( ))))400
5080
−−−−−−−−==== ckf
,λλλλ MPafMPa ck 9050 ≤≤≤≤<<<< 3.20
Le coefficient ηηηη définit la résistance effective 1====ηηηη MPaf ck 50≤≤≤≤ 3.21
(((( ))))200
501
−−−−−−−−==== ckfηηηη MPafMPa ck 9050 ≤≤≤≤<<<< 3.22
Réduire cdfηηηη de 10% si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée
3.1.2
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Classes de résistance du béton Expression analytique commentaires
f ck (MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90
cube,ckf
(MPa)
15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105
cmf (MPa) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 8++++==== ckcm ff (MPa)
ctmf (MPa) 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 (((( ))))32300 ckctm f,f ××××====
pour 6050/C≤≤≤≤
[[[[ ]]]]101122 /fln,f cmctm ++++××××====
pour 6050/C>>>>
050,,ctkf
(MPa)
1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5 ctm,,ctk f,f ××××==== 70050
fractile 5%
950,,ctkf
(MPa)
2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 ctm,,ctk f,f ××××==== 31950
fractile 95%
cmE (GPa) 27 29 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41 42 44 [[[[ ]]]] 301022 ,cmcm /fE ==== cmf en (MPa)
correctif en fonction des granulats basalte X 1,2 quartzites X 1 calcaires X 0,9 grés X 0,7
1cεεεε (((( ))))000 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 Voir Figure 3.2
1cεεεε (((( ))))000 8270 310 ,f, ,
cm ≤≤≤≤××××====
1cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 Voir Figure 3.2
Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
1cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100982782 /f, cm−−−−++++====
2cεεεε (((( ))))000 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Voir Figure 3.3
Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
2cεεεε (((( ))))000 (((( )))) 53050085002 ,
ckf,, −−−−++++====
2cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Voir Figure 3.3
Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
2cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100903562 /f, ck−−−−++++====
n
2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
(((( ))))[[[[ ]]]]41009042341 /f,,n ck−−−−++++====
3cεεεε (((( ))))000 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 Voir Figure 3.4
Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
3cεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4050550751 /f,, ck −−−−++++====
3cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Voir Figure 3.4
Pour MPaf ck 50≥≥≥≥
3cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100903562 /f, ck−−−−++++====
Clause 3.1.3 (2) Note sur Le module d'élasticité du béton donné par le Tableau 3.1 DAN Le module d'élasticité du béton donné par le Tableau 3.1 de la norme NF EN 1992-1-1 (NF P18-7111-1) s'applique directement pour les granulats de masse volumique comprise entre 2,5 et 2,7 (c'est généralement le cas de granulats de type silico-calcaire). Des valeurs différentes de celles proposées dans le Tableau 3.1 peuvent être proposées pourvu qu’elles soient justifiées par des essais, sachant que la valeur du module d’élasticité peut s’écarter de plusieurs dizaines de % des valeurs proposées pour d’autres raisons que la nature des granulats notamment la présence d’air entraîné et le volume de pâte. Des valeurs différentes peuvent être envisagées pour le cas des fondations profondes, écrans de soutènement, et autres ouvrages de fondations profondes. Elles sont fixées dans les normes correspondantes.
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Classes de résistance du béton Expression analytique commentaires
f ck (MPa)
12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90
λλλλ 80,====λλλλ 0,788 0,775 0,75 0,725 0,7 hauteur utile de la zone de béton comprimé
(((( ))))400
5080
−−−−−−−−==== ckf
,λλλλ si MPaf ck 50>>>>
ηηηη 1====ηηηη 0,975 0,95 0,9 0,85 0,8 la résistance effective
(((( ))))200
501
−−−−−−−−==== ckfηηηη si MPaf ck 50>>>>
νννν 0,572 0,562 0,552 0,54 0,528 0,516 0,504 0,492 0,48 0,468 0,456 0,432 0,408 0,384 coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l’effort tranchant 6.2.2 (6)
−−−−====250
160 ckf,νννν
1νννν 601 ,====νννν (6.10.aN) 0,55 0,5 0,5 Pour les éléments en béton armé ou en béton précontraint, si la contrainte de calcul des armatures d'effort tranchant est inférieure à 80 % de la limite
caractéristique d'élasticité ykf
on peut adopter pour : 1νννν
50200901 ,/f, ck >>>>−−−−====νννν pour
ckf > 60 MPa (6.10.bN)
0,0785
0,0907
0,10137
0,11333
0,12415
0,1341
0,1433
0,152 0,1603
0,1681
0,17558
0,18965
0,2027
0,215
minv
1 20 034 /min ck
C
,v f
γγγγ= pour les dalles
bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré.
3 2 1 20 053 /min ck
C
,v k f
γγγγ= poutres et
dalles autres que celles ci-dessus
1 20 035 /min ck
C
,v f
γγγγ= voiles
min,wρρρρ
en °/000
5,6 6,4 7,2 8 8,8 9,5 10,2 10,8 11,4 11,9 12,4 13,4 14 ,4 15,2 min,wρρρρ pourcentage minimum
d’armatures d’effort tranchant
yk
ckmin,w f
f,080====ρρρρ 9.5N
min,lρρρρ
en °/00
1,3 1,3 1,3 1,35 1,51 1,67 1,82 1,98 2,14 2,19 2,29 2,4 2,5 2,6
dbA
w
min.smin,l ====ρρρρ
pourcentage d’armatures longitudinales condition de non fragilité
==== 00130260 ,;
f
f,max
yk
ctmmin.sρρρρ
9.1N ;
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 19/62 03/07/2009
Loi de comportement du béton : Diagramme bilinéai re
σ c
εc
cdf
f ck
3cuεεεε3cεεεε1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰
1,75‰
σ c
εc
3cuεεεε3cεεεε1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰
1,75‰
28
27====ηηηηηηηη cdf
diagramme simplifiéde calcul à l'ELUR
x
xx9
7====λλλλ
MPaf ck 50≤≤≤≤
MPaf ck 50≤≤≤≤
xx9
7====λλλλx
cdfηηηη
28
27====ηηηη
cdf
1,75‰
3,5‰
3cuεεεε
3cεεεε
ε cσ c σ c
cF
x18
7
xbfF wcdc 4
3====
MPaf ck 50≤≤≤≤ MPaf ck 50≤≤≤≤ Déterminons l’intensité de la résultante : cF
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 20/62 03/07/2009
xfF cdc 4
3==== le coefficient de remplissage : 4
3====ψψψψ
Équations du diagramme des contraintes en fonction de l’ordonnée y
yxfx
y cdc
2
20 ====≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ cdc fxy
x ====≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ2
Déterminons le moment par rapport à l’axe neutre hypothèse : section rectangulaire
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++========x
xwcd
x
wcd
c dybfdyybxf
dAM
2
2
0
2
ΩΩΩΩ
σσσσ
2 2 21 3 33 3 11 11
12 8 72 4 18 18w cd w cd w cd w cd cb f x b f x b f x b f x x xF+ = = =
Nous en déduisons le bras de levier x18
11
Nous en déduisons la position de la résultante par rapport à la fibre supérieure : x18
7
La hauteur du diagramme rectangulaire simplifié (plafonné) est représenté xx9
7====⇒⇒⇒⇒ λλλλ
3 7 27
4 9 28c cd w cd w w cdF f b x x f b xb f xλ η η ηλ η η ηλ η η ηλ η η η= = = ⇒ =
2827====ηηηη valeur proche de 1 d’ou la simplification admise en 3.1.7(3)
Démarche pour dimensionner les armatures
Calcul du moment réduit : 2
uu
w cd
Mb d f
µµµµ =
1
500434 7
1 15yk
s ydS
ff , MPa
,σσσσ
γγγγ= = = =
(((( )))) )( uu µµµµ−−−−−−−−==== 5627397
1αααα coefficient représentant la hauteur de béton comprimé d.x uαααα====
71
18u uz d αααα = −
11
us
u s
MA
z σσσσ= équation alternative 1
1
0 75 u w cds
s
, b dfA
αααασσσσ
=
L’application numérique montre que les résultats so nt très très proches de la méthode classique, (1/10 00 ); comme il n’y a pas d’économie à attendre de cette m éthode, on peut l’oublier.
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 21/62 03/07/2009
4. CARACTERISTIQUES DES ACIERS DU BETON ARME
4.1. Propriétés
Leur nuance, désignant la valeur spécifiée de la limite d'élasticité caractéristique ( f yk ou limite d’élasticité conventionnelle à
0,2% k,f 20 ) en N/mm2. 400 600ykf à MPa= , la nuance courante en France est 500S
(Il existe des aciers doux 215S , 235S . Ces aciers n’entrent pas dans le champ de l’EC2. Ces aciers ne sont pratiquement plus utilisés en béton armé sauf dans des cas très spécifiques : lorsque de nombreux pliages dépliages sont à prévoir et pour les crochets de levage d’éléments préfabriqués.)
Module d’élasticité longitudinale (Module d’Young) MPaEs 200000====
Masse volumique 7850kg
Coefficient de dilatation thermique 1510 −−−−−−−− K
Limite supérieure réelle d'élasticité ,maxyf
La résistance en traction tf .
La ductilité est définie : allongement relatif sous charge maximale ;ukεεεε t ykf f k=
Aptitude au pliage.
Leurs caractéristiques d’adhérence. ( Rf annexe C)
Leurs dimensions de la section et tolérances Leur soudabilité. Résistance à la fatigue Dimensions de la section et tolérances Résistance au cisaillement et résistance des soudures dans le cas de treillis soudés et des raidisseurs en armatures en treillis. Chaque livraison doit donner lieu à la délivrance d'un certificat donnant toutes les informations nécessaires à l'identification des produits, en fonction des éléments ci-dessus, et, si besoin, des informations complémentaires.
4.2. Propriétés mécaniques
Résistance : La limite d'élasticité f yk et la résistance à la traction f tk sont respectivement définies comme les valeurs caractéristiques
(fractile de 5%) de la limite d'élasticité et de la charge maximale sous traction directe, chacune de ces valeurs étant divisée par l'aire nominale de la section.
Pour les produits dont la limite d'élasticité f yk n'est pas fortement prononcée, cette valeur peut être remplacée par la limite caractéristique
d'élasticité conventionnelle à 0,2% d'allongement rémanent. f k0 2,
Caractéristiques de ductilité : Forme du produit : barres et fils redressés et trei llis soudés Dans le présent code, trois classes de ductilité so nt définies Classe A Ductilité normale Classe B Haute ductilité Classe C Très Haute ductilité
%,uk 52≥≥≥≥εεεε ; valeur du rapport %uk 5≥≥≥≥εεεε ; valeur du rapport : %,uk 57≥≥≥≥εεεε
1 05t
y k
fk ,f = ≥
1 08t
y k
fk ,f = ≥
la plus courante 1 15 1 35t
y k
f, k ,f ≤ = <
où εuk représente la valeur caractéristique de l'allongement sous charge maximale. (fig. 3.7)
L’identification d’une barre, du point de vue de sa classe de ductilité, est immédiate : classe B, l’inclinaison des nervures est contrariée sur les 2 cotés de la barre (disposition en arête de poisson) Classe A, l’inclinaison est toujours dans le même sens.
Figure 3.7 diagramme contraintes-déformations de l’ acier de béton armé types acier profilé à froid Acier laminé à chaud
σ
ε0,2% ukεεεε
k,f 20
k,t kff 20====
σ
ε
ykf
ukεεεε
ykt kff ====
Annexe C.1 Tableau C.1
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 22/62 03/07/2009
4.2.1. - DIAGRAMME CONTRAINTE-DEFORMATION à l' E.L.U.: Pour les aciers en barres et les treillis-soudés les diagrammes contrainte-déformation sont définis conventionnellement par le graphe suivant :
Diagramme de calcul (à utiliser pour optimiser la s ection des armatures)
Branche supérieure inclinée, avec limite de déformation égale à udεεεε et une
contrainte maximale yk
s
fk
γγγγ pour ukεεεε , avec t
y k
fk
f
=
α
ydfykf
udεεεε
sEtan ====αααα
s
yd
E
fukεεεε
AB
diagramme simplifié
diagramme de calcul
sσσσσ
sεεεε
A
B
ykkf
S
ykfk
γγγγ
S
ykyd
ff
γγγγ====
Diagramme de calcul Branche supérieure horizontale, sans nécessité de vérifier la limite de déformation. Avec les BTS « bâtiment », pour simplifier, on pourrait utiliser ce diagramme ⇒⇒⇒⇒ pivot unique B
α
ydfykf
sEtan ====αααα
s
yd
E
fukεεεε
AB
diagramme simplifié
diagramme de calcul
sσσσσ
sεεεε
A
B
ykkf
S
ykyd
ff
γγγγ====
Exemple de l’acier de classe B la plus courante 1 08k ,=
La valeur de 500
434 81 15
ykyd
S
ff , MPa
,γγγγ= = = correspond une déformation
35
10172102
8434 −−−−======== ,,
E
f
s
yd
La déformation max 3 30 9 0 9 50 10 45 10ud uk, ,ε εε εε εε ε − −= = × =
L’équation de (((( ))))ss εεεεσσσσ pour la branche inclinée du diagramme bilinéaire ( 434 8s , MPaσσσσ > )
( ) ( )3 3
1 0 08 434 8
50 10 2 17 10s s yd yd yd yd
yd yd yds uk uk
s s s
f kf f f k , ,f f f ,E E E
σ εσ εσ εσ ε
ε ε εε ε εε ε εε ε ε− −
− − − ×= = =−− − −
( ) ( )1yd yds s yd s
yd suk
s
f k ff
f EE
σ ε εσ ε εσ ε εσ ε εεεεε
− = + −
−
( ) ( ) ( )3
33 3
10 2 170 08 434 8434 8 2 17 10 434 8 34 78
50 10 2 17 10 47 83s
s s s
,, ,, , , ,
, ,
εεεεσ ε εσ ε εσ ε εσ ε ε −
− −
−×= + − = +−
La contrainte qui lui correspond ( ) ( )45 2 17434 8 34 78 466
47 83s ud
,, , MPa
,σ εσ εσ εσ ε
−= + = constitue la contrainte max.
autre expression ( ) ( )1s s yd yd
yd yds uk
s s
f f k
f f
E E
σ εσ εσ εσ ε
ε εε εε εε ε
− −=
− −
( ) ( )1
yds
ss s yd yd
yduk
s
f
Ef f k
f
E
εεεεσ εσ εσ εσ ε
εεεε
−− = −
−
en notant le pourcentage de déformation
s
yduk
s
yds
E
fE
f
p
−−−−
−−−−====
εεεε
εεεε ( ) ( )1s s ydf pk pσ εσ εσ εσ ε = − +
Les diagrammes de calcul à l’E.L.U. des aciers se dé duisent des diagrammes réels en effectuant une affi nité
parallèlement à la droite passant par l’origine dan s le rapport Sγγγγ1 .
dans le cas général 151,S ====γγγγ et 1====Sγγγγ dans le cas d'action accidentelle
3.2.7
2.4.2.4
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 23/62 03/07/2009
5. - Classes d’exposition en fonction de l’environnement : tableau 4.1
Tableau 4.1 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement (norme NF EN 206-1)
Désignation de la classe
Description de l'environnement Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition
1 - Aucun risque de corrosion ni d'attaque
X0 - Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique - Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec
- Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est très faible
2 - Corrosion induite par carbonatation
XC1 - Sec ou humide en permanence - Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est faible - Béton submergé en permanence dans de l'eau
XC2 - Humide, rarement sec - Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau - Un grand nombre de fondations
XC3 - Humidité modérée - Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est moyen ou élevé - Béton extérieur abrité de la pluie
XC4 - Alternativement humide et sec - Surfaces de béton soumises au contact de l'eau, mais n'entrant pas dans la clases d'exposition XC2
3 - Corrosion induite par les chlorures
XD1 - Humidité modérée - Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne
XD2 - Humide, rarement sec - Piscines - Eléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures
XD3 - Alternativement humide et sec - Eléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures - Chaussées - Dalles de parcs de stationnement de véhicules
4 - Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer
XS1 - Exposé à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer
- Structures sur ou à proximité d'une côte
XS2 - Immergé en permanence - Eléments de structures marines
XS3 - Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns
- Eléments de structures marines
5 - Attaque gel/dégel
XF1 - Saturation modérée en eau, sans agent de déverglaçage
- Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel
XF2 - Saturation modérée en eau, avec agents de déverglaçage
- Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents de déverglaçage
XF3 - Forte saturation en eau, sans agents de déverglaçage - Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel
XF4 - Forte saturation en eau, avec agents de déverglaçage ou eau de mer
- Routes et tabliers de pont exposés aux agents de déverglaçage. - Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents de déverglaçage et au gel. - Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel
6 - Attaques chimiques
XA1 - Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2
- Sols naturels et eau dans le sol
XA2 - Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, Tableau 2
- Sols naturels et eau dans le sol
XA3 - Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2
- Sols naturels et eau dans le sol
A l’abri de la pluie, clos ou non, sans condensation. intérieur de bâtiment
Fondations, murs de soutènement
Voile,… Parement vertical extérieur
Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât.
A l’abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux de piscine. Dalle de bât. ou de pont protégée par une étanchéité. Parement extérieur protégés par des revêtements empêchant l’eau d’être en contact avec l’élément
Parement horizontal extérieur
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 24/62 03/07/2009
Note : La composition du béton affecte à la fois la protection des armatures et la résistance du béton aux attaques. L'Annexe E donne des classes de résistance indicatives pour les différentes classes d'exposition. Ceci peut conduire à choisir des classes résistance supérieures à celles requises par le calcul structural. Dans ce cas, il convient d'adopter pour fctm la résistance la plus élevée pour le calcul du ferraillage minimal et la maîtrise de l'ouverture des fissures (voir 7.3.2 – 7.3.4)
Un élément BA peut être soumis à plusieurs classes d’environnement, c’est la classe la plus défavorabl e qui est déterminante pour : l’ enrobage,….
5.1. Compléments de l’ANF
Notes au Tableau 4.1 NOTE 1 Le béton non armé se trouve dans d’autres classes d’exposition que X0 dès lors que ce béton comporte des armatures ou des pièces métalliques noyées et que l’environnement n’est pas classé « très sec ». NOTE 2 Les parties des bâtiments à l’abri de la pluie, que ceux ci soient clos ou non, sont à classer en XC1 à l’exception des parties exposées à des condensations importantes à la fois par leur fréquence et leur durée qui sont alors à classer en XC3. C’est le cas notamment de certaines parties - d’ouvrages industriels, - de buanderies, - de papeteries - de locaux de piscines - ……. …………….. NOTE 3 Sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d’art et les parties extérieures des bâtiments non protégées de la pluie, comme par exemple les façades, les pignons et les parties saillantes à l’extérieur, y compris les retours de ces parties concernés par les cheminements et/ou rejaillissements de l’eau. NOTE 4 Ne sont à classer en XD3 que les parties d’ouvrages soumises à des projections fréquentes et très fréquentes et contenant des chlorures et sous réserve d’absence de revêtement d’étanchéité assurant la protection du béton. Ne sont donc à classer en XD3 que les parties des parcs de stationnement de véhicules exposées directement aux sels contenant des chlorures (par exemple les parties supérieures des dalles et rampes) et ne comportant pas de revêtement pouvant assurer la protection du béton pendant la durée de vie du projet. NOTE 5 Sont à classer en XS3 les éléments de structures en zone de marnage et/ou exposés aux embruns lorsqu’ils sont situés à moins de 100 m de la côte, parfois plus, jusqu’à 500 m, suivant la topographie particulière. Sont à classer en XS1 les éléments de structures situés au delà de la zone de classement XS3 et situés à moins de 1 km de la côte, parfois plus, jusqu’à 5 km, lorsqu’ils sont exposés à un air véhiculant du sel marin, suivant la topographie particulière. NOTE 6 En France, les classes d’exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 sont indiquées dans la carte donnant les zones de gel, sauf spécification particulière notamment fondée sur l’état de saturation du béton (voir Annexe E en E.2 ou voir l’AN de l’EN 206-1 en NA 4.1, figure NA.2 et Note). Pour ces classes d’exposition XF, et sous réserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l’enrobage sera déterminé par référence à une classe d’exposition XC ou XD, comme indiqué en 4.4.1.2 (12). Les classes de référence à retenir pour l’enrobage uniquement sont les suivantes :
Classe d’exposition
XF1 XF2 XF3 XF4 Type de salage (cf. Recommandations GEL 2003)
Peu fréquent
XC4 Sans objet
XC4 si le béton est formulé sans entraîneur d’air XD1 si le béton est formulé avec entraîneur d’air
Sans objet
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 25/62 03/07/2009
fréquent
Sans objet
XD1, XD3 Pour éléments très exposés (*)
Sans objet
XD2, XD3 Pour éléments très exposés (*)
Très fréquent
Sans objet
Sans objet
Sans objet
XD3
(*) Pour les ponts : corniches, longrines d’ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 26/62 03/07/2009
NOTE sur le GEL CARTE DE GEL (CF. norme NF EN 206-1)
GEL FAIBLE : jours3<<<< /an avec une température <-5°C GEL SÉVÈRE : jours10≥≥≥≥ /an avec une température <-10°C GEL MODÉRÉ : dans les autres cas Nota : La sévérité potentielle des dégradations dépend du nombre de cycles de gel-dégel, de la durée du gel (maintien prolongé du béton à de basses températures), de la température minimale atteinte et de la vitesse de chute de la température
Gel faible ou modéré XF1 (sans agent de déverglaçage) XF2 (avec agent de déverglaçage)
Gel sévère XF3 (sans agent de déverglaçage) XF4 (avec agent de déverglaçage)
NIVEAUX DE SALAGE Les niveaux de salage sont définis par référence à la carte des zones de rigueur hivernale Hi (SETRA de novembre 1994 «Aide à l’élaboration du dossier d’organisation de la viabilité hivernale »). n= nombre de jours de salage salage peu fréquent 10<<<<n H1 salage fréquent 3010 <<<<<<<< n H2 salage très fréquent 30>>>>n H3 et H4
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 27/62 03/07/2009
NOTE 7 Les exemples informatifs donnés pour les classes XA1, XA2 et XA3 sont à comprendre et préciser comme suit : - Éléments de structures en contact avec un sol agressif ou un liquide agressif - Ouvrages de Génie Civil soumis à des attaques chimiques (par exemple certains bâtiments de catégorie E (voir le 1.1.1 (1)P)), suivant les documents particuliers du marché. NOTE 8 Les risques de lixiviation et d’attaque par l’eau pure (par exemple condensation) sont à traiter dans les classes d’exposition XA1, XA2 et XA3 suivant leur sévérité.
5.2. Classes indicatives de résistance pour la dura bilité
(1) Le choix d'un béton à durabilité convenable pour la protection du béton et la protection des armatures de béton armé vis-à-vis de la corrosion passe par la considération de sa composition. Ceci peut amener à une résistance à la compression du béton plus élevée que celle exigée pour le dimensionnement de la structure. Le lien entre les classes de résistance du béton et les classes d'exposition (voir le Tableau 4.1) peut être décrit par des classes indicatives de résistance.
Tableau E.1.1 NF : Annexe Nationale Classes indicatives de résistance minimales
Classes d'exposition selon le Tableau 4.1 Corrosion
Corrosion induite par carbonatation
Corrosion induite par les chlorures
Corrosion induite par les chlorures de l'eau de mer
XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 Classe indicative de
résistance C20/25 C20/25 C25/30 C25/30 C30/37 C35/45 C30/37 C35/45
Dommages au béton
Aucun risque
Attaque par gel et dégel Attaque chimique
X0 XF1 XF2 XF3 XA1 XA2 XA3 Classe indicative de
résistance - C25/30 C25/30 C30/37 C30/37 C35/45 C40/50
Tableau E.1.2 NF : Annexe Nationale Classes indicatives de résistance minimales des pr oduits en béton préfabriqués
Classes d'exposition selon le Tableau 4.1 Corrosion
Corrosion induite par carbonatation
Corrosion induite par les chlorures
Corrosion induite par les chlorures de l'eau de mer
XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 Classe indicative de
résistance C25/30 C30/37
C30/37 C35/45 C35/45 C35/45 C40/50 C35/45 C40/50 C40/50
Dommages au béton
Aucun risque
Attaque par gel et dégel Attaque chimique
X0 XF1 XF2 XF3 XA1 XA2 XA3 Classe indicative de
résistance C20/25 C35/45 C35/45 C35/45 C35/45 C35/45 C40/50
4.2
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 28/62 03/07/2009
5.3. Enrobage
5.3.1. Définition de l’enrobage : L’enrobage est la distance entre la surface de l’ar mature (épingles, étriers et cadres compris, ainsi que les armatures de peau ) la plus proche de la surface du béton (parement) et cette dernière.
5.3.2. L’enrobage permet d’assurer : • la bonne transmission des forces d’adhérence (section 8) • l’absence d’épaufrures • résistance au feu EN 1992-1-2 • protection de l’acier contre la corrosion.
Cl
Ct
a
b
φ l
tφ
Ct
Cl
Ct
La notion d’enrobage concerne toutes les armatures (de résistance, de répartition, de peau y compris les armatures d’effort tranchant tels que les étriers et les épingles.).
c : enrobage ou couverture des aciers : distance par rapport au nu des armatures
lc : enrobage des aciers longitudinaux
tc : enrobage des aciers transversaux
gd : coefficient granulaire (Ø du plus gros granulat)
tφφφφ : diamètre des aciers transversaux
lφφφφ : diamètre des aciers longitudinaux
a : largeur d’un paquet de barres
b : hauteur d’un paquet de barres
5.3.3. L’enrobage minimum cmin ; l’enrobage nominal nomc
L’enrobage nominal doit être calculé pour chaque él ément ba, c’est une caractéristique géométrique intrinsèque qui doit être spécifiée sur les plans. L’enrobage minimum cmin requis doit d’abord être déterminé, il sera augmenté d’une valeur devc∆∆∆∆ correspondant
aux tolérances, le résultat obtenu constitue l’enrobage nominal nomc requis qui devra être spécifié sur les plans et
pris en compte dans les calculs. devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== 4.1
mm;cccc;cmaxc add,durst,dur,durdurmin,bmin,min 10∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ γγγγ −−−−−−−−++++====
bmin,c enrobage minimal vis-à-vis des exigences d'adhérence, voir 4.4.1.2 (3)
Il faut vérifier, pour chaque barre, l’enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou au diamètre équivalent du paquet de barres.
durmin,c enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement, voir 4.4.1.2 (5)
γγγγ∆∆∆∆ ,durc marge de sécurité, Annexe Nationale. La valeur recommandée est γγγγ∆∆∆∆ ,durc = 0 mm.
st,durc∆∆∆∆ réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable, Annexe Nationale. La valeur
recommandée est st,durc∆∆∆∆ = 0 mm.
add,durc∆∆∆∆ réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, Annexe Nationale. La
valeur recommandée, sans spécification supplémentaire, est add,durc∆∆∆∆ = 0 mm.
devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== 4.1 mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====
4.4.1.2 (5)
4.4.1.2 (3)
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 29/62 03/07/2009
(3) Pour assurer à la fois une transmission sans risque des forces d'adhérence et un béton suffisamment compact, il convient que l'enrobage minimal ne soit pas inférieur à bmin,c donné dans le Tableau 4.2.
Tableau 4.2 : Enrobage minimal bmin,c requis vis-à-vis de l'adhérence
Exigence vis-à-vis de l'adhérence
Disposition des armatures Enrobage minimal *
bmin,c
Armature individuelle Diamètre de la barre φφφφ
Paquet Diamètre équivalent nφφφφ (voir 8.9.1)
*: Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer bmin,c de 5mm
L'enrobage minimal des armatures de béton armé, conformes à l'EN 10080, dans un béton de masse volumique courante, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par. durmin,c .
tableau 4.4 enrobages minimaux dur,minc requis pour un béton de classe structurale courante S4
Degrés d’exposition, conformément au tableau 4.1 X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3
Enrobage minimal (mm)
armatures passives
10 15 25 30 35 40 45
Valeur de valeur devc∆∆∆∆ correspondant aux tolérances généralement mmcdev 10====∆∆∆∆ Clause 4.4.1.3 (3) Note
La valeur à utiliser pour devc∆∆∆∆ est la suivante :
– Lorsque la réalisation est soumise à un système d'assurance qualité dans lequel la surveillance inclut des mesures de l'enrobage des armatures avant coulage du béton, il est possible de réduire la marge de calcul pour tolérance d'exécution, de
sorte que : mmcmm dev 105 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆
– Lorsqu'on peut garantir l'utilisation d'un appareil de mesure très précis pour la surveillance ainsi que le rejet des éléments non conformes (éléments préfabriqués, par exemple), il est possible de réduire la marge de calcul pour tolérance d'exécution, de
sorte que : mmcdev 100 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆
– Lorsque la conception et l'exécution des éléments d’ouvrages y compris leur ferraillage sont soumis à un système d’assurance qualité couvrant toutes les phases de la conception à l’exécution et comprenant les impositions suivantes et ce pour toutes les classes d’exposition, en phase de conception et dessin : élaboration des dessins de détail à une grande échelle des ferraillages sensibles
(coupe sur bandeau, lisse, parapet,…), précisant les enrobages et les façonnages, en phase de ferraillage : réception des aciers façonnés et contrôle de leurs dimensions, en phase mise en place dans coffrage : élaboration des plans de calage des aciers (type de cales, fréquence des cales,
fixation des cales,….) ; réception des ferraillages et contrôle des enrobages avant coulage, en phase de mise en œuvre du béton : le cas échéant et en tant que de besoin, confection d’un élément témoin,
mmcdev 100 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆
enrobage nominal = béton coulé au contact avec un b éton de propreté mmk 301 ====
enrobage nominal = béton en contact direct avec le sol mmk 652 ====
Remarque NOTE : L’attention est attirée sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage nomc
supérieur à 50 mm. (risque d’épaufrures, on peut dans ce cas réaliser des chanfreins) Il est donc recommandé, en cas d’environnement agressif, d’utiliser les dispositions du Tableau 4.3NF et les clauses 4.4.1.2 (7) et (8) et 4.4.1.3 (3) pour diminuer l’enrobage ou des aciers inox ou diminuer la tolérance par la mise en place d’un système de qualité…
4.4.1.3(4)
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 30/62 03/07/2009
L’attention est également attirée sur les difficult és de bétonnage auxquels risque de conduire un enro bage
nomc inférieur à la dimension nominale du plus gros gran ulat. 4.4.1.2(5) NOTE NA
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5.3.4. -: Groupement de barres à haute adhérence
Les paquets jusqu’à 3 barres sont autorisés en trac tion Les paquets de 4 barres sont autorisés pour des bar res verticales en compression et dans les zones de recouvrement
sens du coulage
Paquets interdits
En pratique, les groupements sont limités à 2 barre s. Lorsque deux barres en contact sont disposées l'une au-dessus de l'autre, et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, il n'est pas nécessaire de traiter ces barres comme un paquet.
5.3.5. - Conditions de bétonnage correct :
-
1
2
n max
g
k
e sup d k
20 mm
φφφφ≥ + 11 ====k mmk 52 ====
Lorsque toutes les barres du paquet ont le même diamètre φφφφ :
mmnbn 55≤= φφφφφφφφ ; bn nombre de barres du paquet
gd plus grande dimension nominale d’un granulat
Le rapport des diamètres d’un paquet ne doit pas excéder 1,7
sinon nφφφφ est le diamètre d’une barre fictive équivalente de
même aire et de même centre de gravité que pour l’ensemble des barres composant le paquet.
2 55n ii
mmφ φφ φφ φφ φ= ≤∑
C e
Paquet de barresou barres isolées
φnφn
φnC
e
φn
Remarque : pour la sécurité incendie, on a intérêt à séparer les différents lits d’armatures. Clause 8.2 (2) Note DAN
Les valeurs de k1 et k2 à utiliser sont celles recommandées sauf dispositions contraires dans les normes spécifiques à certains types d’ouvrages de fondations profondes (par exemple la norme NF EN 1536 pour les pieux forés, la norme NF P 94 262 pour les fondations profondes, la norme NF P 94-282 pour les écrans de soutènement)..
8.2
8.9.1 (4)
8.9
8.9.1 (4)
Plausible mais pénalisé par le diamètre équivalent
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5.4. Modulations de la classe structurale recommand ée, en vue de la détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N et 4.5NF.
- L'enrobage minimal requis des armatures de béton armé vis-à-vis de la durabilité dépend de la « classe structurale » de l’élément projeté.
- On distingue 6 classes structurales notées : S1, S2, S3, S4, S5 et S6.
- Plus la classe structurale d’un élément de structure est élevée et plus la valeur minimale de l'enrobage requis pour ses armatures de béton armé vis-à-vis de la durabilité sera importante.
- Les classes structurales à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. La Classe Structurale recommandée pour une durée d'uti lisation de projet de 50 ans est la classe S4. - Le Tableau 4.3N ci-après donne les modifications de Classe Structurale recommandées en fonction des critères du projet et de l’élément de structure étudié.
Tableau 4.3NF : Modulations de la classe structural e recommandée, en vue de la détermination des enrobages minimaux durmin,c dans les Tableaux 4.4N et 4.5NF.
5.4.1. Classe structurale
Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Critère X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1/
XA1 3) XD2/XS2/
XA2 3) XD3/XS3/
XA3 3)
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
100 ans : majoration
de 2
Durée d'utilisation de projet
25 ans et moins : minoration
de 1
25 ans et moins : minoration
de 1
25 ans et moins : minoration
de 1
25 ans et moins : minoration
de 1
25 ans et moins : minoration
de 1
25 ans et moins :
minoration de 1
25 ans et moins : minoration
de 1
≥ C30/37 minoration de 1 point
≥ C30/37 minoration
de 1 point
≥ C30/37 minoration
de 1 point
≥ C35/45 minoration
de 1 point
≥ C40/50 minoration
de 1 point
≥ C40/50 minoration
de 1 point
≥ C45/55 minoration
de 1 point
Classe de résistance 1)
≥ C50/60 : minoration
de 2
≥ C50/60 : minoration de 2
≥ C55/67 : minoration de 2
≥ C60/75 : minoration de 2
≥ C60/75: minoration de 2
≥ C60/75: minoration de 2
≥ C70/85 : minoration de 2
Nature du liant
Béton de classe ≥ C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1
Béton de classe ≥ C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1
Béton de classe ≥ C40/50 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1
Enrobage compact 2)
minoration de 1
minoration de 1
minoration de 1
minoration de 1
minoration de 1
minoration de 1
minoration de 1
Note 1 : Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d’un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d’adopter, sur la base d’indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages », ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes. Note 2 : Ce critère s’applique dans les éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie : - Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages industriels. - Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, ou faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages métalliques - Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l’accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration. Note 3 : Pour les classes d’exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d’une justification de la nature de l’agent agressif.
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5.5. détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N
- Les valeurs recommandées de durmin,c sont indiquées dans le Tableau 4.4N de la norme NF EN 1992-1-1
(Eurocode 2), rappelé ci-dessous. Tableau 4.4N : Valeurs de l'enrobage minimal durmin,c requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des
armatures de béton armé conformes à l’EN 10080
Exigence environnementale pour durmin,c (mm)
Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe structurale X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3 /XS3
S1 10 10 10 15 20 25 30 S2 10 10 15 20 25 30 35 S3 10 10 20 25 30 35 40 S4 10 15 25 30 35 40 45 S5 15 20 30 35 40 45 50 S6 20 25 35 40 45 50 55
Exemple : détermination de la classe structurale d’un élément de structure et de l’enrobage minimal / durabilité - Cas d’une dalle située à l’extérieur donc soumise aux intempéries et au contact de l’eau. - Classe de résistance du béton utilisé : C30/37 - Durée d’utilisation du projet : 100 ans Détermination de la classe d’EXPOSITION : XC4 (voir tableau 4.1) La classe STRUCTURALE recommandée par l’Eurocode 2 pour une durée d'utilisation de projet de 50 ans est S4 et nous avons : Une minoration de 1 point car élément assimilable à une dalle (voir tableau 4.3NF) Une majoration de 2 points car la durée d'utilisation du projet est de 100 ans (voir tableau 4.3N) donc la classe STRUCTURALE de la dalle est : S4 – 1 point + 2 points = S5 l'enrobage minimal cmin,dur (mm)= 35 mm
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1.1.1 Organigramme pour la détermination de l’enro bage :
Calcul de c min,b = max. (FFFF des armatures ou FFFFn des paquets de barres ) Il faut vérifier, pour chaque barre, l’enrobage min imum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou
au diamètre éq uivalent du paquet de barres.t
Dans du tableau 4.3NF ci -contre, on calcule la majoration ou la minoration de classe à appliquer à partir de la classe d’exposition de l’élément ba étudié X…
cmin = max. (c min,b ; c min,dur ; 10 mm)
Enrobage : C nom = cmin + ∆∆∆∆cdev Cnom = cmin + 10 mm Déterminons Cnom pour les armatures les plus proches du parement, généralement les armatures
transversales ou d’effort tranchant : mmmm;c;maxc durmin,tnom 1010 += φφφφ
Pour les armatures longitudinales, il faut vérifier :
[ ] 10nom t l nc ou mmφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ+ ≥ + soit [ ] mmouc tnlnom 10+−≥ φφφφφφφφφφφφ et gnom dc ≥
soit [ ] 10 10nom t min,dur l n t gc max max ;c ; ou ; mm mm;dφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φ= − +
Données : classe structurante S4 (projet pour 50 ans) classe d’exposition de l’élément ba étudié X… dg plus grande dimension nominale des granulats FFFF diamètre de l’armature ou FFFFn pour un paquet de barres fck, classe de résistance du béton
Dans le tableau 4.4N ci -contre, on détermine l’enrobage en fonction de la classe fictive Si
tolérances : ∆ ∆ ∆ ∆cdev = 10 mm
Détermination de : la Classe fictive Si
4====i + majorations éventuelles – minorations éventuelles
*
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Proposition d’enrobage nominal devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== éléments coulés en place ou préfabriqués
Hypothèses : Ces valeurs sont déterminées pour un b éton de classe de résistance indicative tableau mmcdev 10====∆∆∆∆ ; classe structurale S4 bâtiment
Exposition de l’élément, situation
A l’abri de la pluie, clos ou non, sans condensation. Intérieur de bâtiment :
Fondations, mur de soutènement
A l’abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux de piscine. Dalle de bât. ou de pont protégée par une étanchéité. Parement extérieur. protégés par des revêtements empêchant l’eau d’être en contact avec l’élément
Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât. Parement vertical extérieur
Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât. Parement horizontal extérieur
Face supérieure de dalle de parking, rampe, non protégées par une étanchéité pendant la durée de vie de l’ouvrage sinon XC1, XC3 ou XC4/XF1
< 1 km de la côte
(cette distance peut être portée à 5
km m suivant
topographie particulière)
< 100 m de la côte (cette
distance peut être
portée à 500 m suivant
topographie particulière)
Classe d’exposition
1XC 2XC 3XC 4XC / 1XF 4XC / 3XF 3XD 1XS 3XS
Classes indicatives de résistance
2520/C 2520/C 3025/C 3025/C 3730 /C 4535/C
3730 /C
4535/C
dur,minc 15 25 25 30 30 45 35 45 Dalles
20
- 30
-
35 50 30 50
Poutres
25
- 35
40
40
- 45 55
Poteaux
25
- 35
40
-
- 45 55
Voiles
25 35 35 40 - - 45 55 Semelles de fondation
- 35 30 sur béton de propreté
sinon 65
- - - - - -
Minoration possible de devc∆∆∆∆ de 0 à 10 mm, si assurance qualité.
Minoration possible de dur,minc si classe de résistance supérieure à celle indiquée (voir tableaux 4.3NF et 4.4NF)
Proposition d’enrobage nominal devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== Produits en béton préfabriqués en usine Classe
d’exposition 1XC 1XC 2XC 3XC 4XC /
1XF 4XC /3XF
3XD
1XS 3XS
Classes indicatives de résistance
3025 /C 3730 /C 3730 /C 4535/C
4535/C 4535/C 5040 /C 4535/C
5040/C
dur,minc 15 10 20 20 25 25 45 40 45 Dalles
20
10
- 15
-
20 50 45 50
Poutres
25
20
- 30
35
35
- 50 55
Poteaux
25
20
- 30
35
-
- 50 55
Voiles
25 20 30 30 35 - - 50 55
Minoration possible de devc∆∆∆∆ de 0 à 10 mm, si assurance qualité.
Minoration possible de dur,minc si classe de résistance supérieure à celle indiquée (voir tableaux 4.3NF et 4.4NF)
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6. Règle des 3 pivots. ELU
pivot A
1a
A
B
C
45 10-3
2 10 -3
3,5 10-3
raccourcissements allongements
section droite avant déformation
1b
section droite après déformation
paraboleux
31020 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤ cεεεεcdf
cdf<<<<
ulεεεε
Pivot B
2a
A
B
C
45 10 -32 10 -3
3,5 10-3
raccourcissements allongements
section droite avant déformation
2b
section droite après déformation
parabole
rectangle
h73
ux
310172 −−−−============ ,E
f
E
f
ss
yk
s
ydul γγγγ
εεεε
sεεεε
cdf
notations et diagrammes
A
B
45 10-3
3,5 10-3
section droite avant déformation
section droite après déformation
diagramme des contraintes
efforts normauxdiagramme des déformations
1sA
2sA
dh
2d
wb
ux
cεεεε
2sεεεε
1sεεεε
2sσσσσcdf
ux,80
1sσσσσ 1sN
2sN
cN
[[[[ ]]]]uu ,dz αααα401−−−−====
22 ddz −−−−====
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7. - Procédures DE CALCUL :
Pour les ouvrages en B.A. devant satisfaire aux prescriptions de l’EUROCODE 2., tout élément doit être justifié par une vérification à l'E.L.S et à L'E.L.U. Toutefois, dans les cas courants, la procédure de calcul peut être réduite. Pour cela, il convient d’imposer des limites d’ouverture de fissure, spécifiées dans les DPM, en accord avec le client, en tenant compte de la nature de l’élément BA étudié et de son environnement. Toutefois, en l’absence de spécifications, il est raisonnable de considérer une ouverture maximale de fissure de l’ordre de mm,w itelimk 40====
pour la classe d’exposition XC1 (intérieur des bâtiments) sous les combinaisons d’actions quasi-permanentes et mm,w itelimk 30==== pour les classes d’exposition XC de 2 à 4.
En fonction de la condition de la classe d’exposition, pour la partie d'ouvrage à étudier, on peut limiter les calculs de la façon suivante : La frontière entre les 2 états-limites pour le dimensionnement est à fixer ! (ou à reconsidérer). L’ouvrage de Cortade et Calgaro chap. 13 indique que lorsque la fissuration doit être contrôlée, il faut réduire la contrainte dans
les armatures. Lorsque la contrainte sσσσσ doit être inférieure à 51351 ,à,
f yk, il y a de fortes chances pour que l’ELS soit
dimensionnant. Pour un béton classique (C40/50 pour les ouvrages d’art et C25/30 en bâtiment) et des armatures HA, le B.A.E.L. 99 imposait à l’ELS une contrainte limite des armatures de 250 Mpa pour la fissuration préjudiciable et 200 Mpa pour la fissuration très préjudiciable.
classe
d’exposition
Dimensionnement
armatures section min. 7.3.2
vérification de la contrainte
de traction 7.2(5) non déterminante
Vérification des contraintes
compression du béton 7.2(2)
fissuration 7.3
déformation 7.4
X0
XC1 mm,w itelimk 40====
XC2à 4
ELU
prépondérant
ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤
mm,w itelimk 30====
mm,w itelimk 20==== XD1 à 2
XS1 à 3
XD3
XF1 à 4
Il peut être
pertinent de
vérifier l’ELS de
compression du
béton
(ce n’est pas
une obligation)
XA1 à 3
Fissuration
Prépondérante ELS prépondérant
tableau 7.4
Pour l’ouverture des fissures : Méthode simplifiée 7 .3.3 Utilisation des tableaux 7.2 et 7.3 ou Calcul de l’ouverture des
fissures et vérifier.
D’après les notes 2 et 3 (relative aux bâtiments de catégorie d’usage A à D, c’est-à-dire tous les bât iments exceptés les bâtiments de catégories d’usage : E aires de st ockage et locaux industriels, F et G aires de circu lation et stationnement dans les bâtiments ainsi que les ouvr ages de génie civil) du tableau 7.1 NF (valeurs rec ommandées
de maxw en fonction de la classe d’exposition pour la combi naison de charges spécifiée) sauf demande spécifiqu e
des Documents Particuliers du Marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par les dispos itions
constructives minimales données ailleurs que dans l a clause 7.3, le calcul de maxw n’est pas requis.
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8. Démarche de projet
matériaux Critère de déformation caractéristiques géométriques
de la section droite Maîtrise de la fissuration Enrobage Sollicitations armatures Calcul des contraintes en service Critères relatif à la compression du béton et traction des armatures
Classe d’exposition
EN 206-1 Tableau E1N(AN)
béton ../..C ckf
acier ykf S500 classe B MPaf yk 500====
Coffrage wb ; h Tableau 7.4(NF )
Tableau 7.1(NF)
Calcul ouverture théorique des fissures
Classe structurale 4S
♦ moment de flexion ELU u,EdM uM====
♦ moment de flexion ELS combinaison caractéristique cc,serM
combinaison quasi permanente qp,serM
Dimensionnement à l’ELU ♦ section 1sA
♦ diamètre φφφφ ♦ espacement s
nomc EC2 Section 3
♦ Contrainte dans l’acier sσσσσ
♦ Contrainte dans le béton cσσσσ
Contrôle de la fissuration Sans calcul direct Tableau 7.2 (NF) φφφφ Tableau 7.3 (NF) s
Contraintes limites max,sσσσσ ♦ (il peut être pertinent mais ce n’est pas une obli gation)
classes XD1 à 3 ; XS 1 à 3 ; XF 1 à 4 σc ckf≤ 0 6, 7.2 (2)
♦ Pour toutes les classes yks f,80≤≤≤≤σσσσ 7.2 (5)
Ouverture conventionnelle des fissures max,kw
ou
max,ss σσσσσσσσ ≤≤≤≤
max,kww ≤≤≤≤
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9. Organigramme de calcul des armatures longitudinales en flexion simple, section
rectangulaire :
cadres ;
Le bras de levier peut s’écrire aussi ( ) 1 1 21 0 4
2u
u u
( )z d , dαααα
+ − µ= − =
Il faut déterminer la hauteur utile réelle réelled , celle-ci doit être supérieure à la valeur forfait aire considérée.
Si on veut affiner, éventuellement recalculer 1sA . Compte tenu de la hauteur utile réelle réelled .
Le pourcentage d’armatures db
A
w
ss
11 ====ρρρρ
Min normal fortement ferraillé int erdit
Données Classe structurale : 4S Environnement :Classe d’exposition ..X
wb ; h
béton ../..C ckf
acier S500 classe B MPaf yk 500====
500
4351 15
ykyd
S
ff MPa
,γγγγ= = =
m/kNg m/kNq
m/kNq,g,pu 51351 ++++====
moment de flexion ELU u,EdM uM====
0560,u ≤≤≤≤µµµµ
Oui Pivot A
Non Pivot B
1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ
====>>>> db,;db
f
f,maxAA ww
yk
ctmmin,ss 001302601
cs A,A 0401 <<<<
non
les armatures comprimées ne sont pas nécessaires
h,d 90≤≤≤≤
cd ck Cf f / γγγγ=
mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====
Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====
2u
uw cd
M
b d fµµµµ =
ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤
( )1 3
0 8
45 10u w cd
s
s
, b dfA
αααασσσσ −
=
(((( )))) (((( ))))31 1045401 −−−−−−−−====
su
us ..,.d
MA
σσσσαααα
(((( )))) Mpas 4661045 3 ====−−−−σσσσ
(((( ))))31
1 104580 −−−−========
s
cdu
w
ss
f.,
dbA
σσσσααααρρρρ
( )11 1
0 8 u w cds
s s
, b dfA
αααασ εσ εσ εσ ε
= ( ) ( )11 11 0 4
us
u s s
MA
d , α σ εα σ εα σ εα σ ε=
− ×
(((( )))) (((( ))))3111 10172247278434 −−−−−−−−++++==== ,,, sss εεεεεεεεσσσσ
(((( ))))11
11 80
ss
cdu
w
ss
f.,
dbA
εεεεσσσσααααρρρρ ======== (((( )))) (((( ))))11
1 401 ss
cd
u
us
f, εεεεσσσσαααα
µµµµρρρρ−−−−
====
1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ
31
13 5 10 u
su
, αααα
ααααεεεε − −=
les armatures comprimées sont nécessaires, elles sont maintenues par des armatures transversales
φφφφ15≤≤≤≤s
NON
OUI
9.2.1.2 (3)
1sρρρρ 4% 3% 0,13% 1% 2%
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 40/62 03/07/2009
10. Organigramme de calcul des armatures longitudinales en flexion simple, section
rectangulaire :
Le bras de levier peut s’écrire aussi (((( ))))2
211401
)(.d.,.dz u
uu
µµµµ−−−−++++====−−−−==== αααα
Il faut déterminer la hauteur utile réelle réelled , celle-ci doit être supérieure à la valeur forfait aire considérée.
Le pourcentage d’armatures db
A
w
ss
11 ====ρρρρ
Min normal fortement ferraillé int erdit
Données Classe structurale : 4S Environnement :Classe d’exposition ..X
wb ; h
béton ../..C ckf
acier S500 classe B MPaf yk 500====
diagramme élasto-plastique parfait
500
4351 15
ykyd
S
ff MPa
,γγγγ= = =
m/kNg m/kNq
m/kNq,g,pu 51351 ++++====
moment de flexion ELU u,EdM uM====
Oui Pivot B
====>>>> db,;db
ff
,maxAA wwyk
ctmmin,ss 001302601
cs A,A 0401 <<<<
non
les armatures comprimées ne sont pas nécessaires
0 9d , h≤
cd ck Cf f / γγγγ=
mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====
Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====
2u
uw cd
M
b d fµµµµ =
ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤
1
0 8 u w cds
yd
, b dfA
f
αααα=
( )1 1 0 4u
su yd
MA
d , fαααα=
−
yd
cdu
w
ss f
f.,
dbA ααααρρρρ 801
1 ========
1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ NON
9.2.1.2 (3)
les armatures comprimées sont nécessaires, elles sont maintenues par des armatures transversales
φφφφ15≤≤≤≤s
1sρρρρ 4% 3% 0,13% 1% 2%
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 41/62 03/07/2009
10.1. Interférence E.L.S. et E.L.U.:
On démontre qu’il existe un autre moment limite réd uit ulµµµµ tel que :
Pour la classe d’exposition définie par le maître d’ œuvre est associée une vérification de la contraint e de compression du béton Pour satisfaire l’état limite de compression : ♦ pour les classes d’exposition XD, XS, XF il peut être pertinent de limiter (ce n’est pas une obligation)
ckc f,60≤≤≤≤σσσσ
il faut que : Ed ,u
u ul ,c cc yk ckEd ,c
Mf ( , f , f )
Mµ µ γµ µ γµ µ γµ µ γ≤ = =
Ed ,cM moment sous combinaison caractéristique de charges
♦ Pour toutes les classes d’exposition ckc f,450≤≤≤≤σσσσ
Cette vérification n’est à effectuer que pour des éléments en béton précontraint
il faut que : Ed ,u
u ul ,qp qp yk ckEd ,qp
Mf ( , f , f )
Mµ µ γµ µ γµ µ γµ µ γ≤ = =
Ed ,qpM moment sous combinaison quasi permanente de charges
La contrainte de compression est plus faible mais le moment l’est aussi
La valeur de ul ,qpµµµµ est voisine de 20, pour des bétons courants !
De plus pour que l’acier soit bien utilisé (contrai nte sur le palier plastique) 37170,ulsu ====≤≤≤≤ µµµµµµµµ
En effet, au delà de cette limite, la contrainte dans l’armature étant inférieure à yk
S
f
γγγγ il est mal utilisé, la section des armatures
tendues croît. Le rôle des armatures comprimées est alors de bloquer à yk
S
f
γγγγ la contrainte des aciers tendus à l’ELU
Estimation
Pour les bâtiments courants en prenant 40,GQ ====
GQGEdu M,M,M,M 95151351 ====++++====
1 40Ed ,cc G Q GM M M , M= + =
Catégories A B 2 1 12Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393Ed ,uc
Ed ,c
M,
Mγγγγ = = 1 741Ed ,u
qpEd ,qp
M,
Mγγγγ = =
Catégories C D 2 1 24Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393c ,γγγγ = 1 5731Ed ,uqp
Ed ,qp
M,
Mγγγγ = =
Catégorie E 2 1 32Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393c ,γγγγ = 1 477Ed ,uqp
Ed ,qp
M,
Mγγγγ = =
Action ΨΨΨΨ0 ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 Charges d'exploitation des bâtiments , catégorie (voir EN 1991-1.1) - Catégorie A : habitation, zones résidentielles - Catégorie B : bureaux - Catégorie C : lieux de réunion - Catégorie D : commerces - Catégorie E : stockage
0,7 0,7 0,7 0,7 1,0
0,5 0,5 0,7 0,7 0,9
0,3 0,3 0,6 0,6 0,8
Coef d’équivalence : s
c ,eff
En
E= ;
eff,c
cmeff,c
EE
ϕϕϕϕ++++====
1 avec le coef de fluage à long terme ( )0
Ed ,qpc ,eff
Ed ,c
M,t
Mϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ= ∞ ×
pour la combinaison caractéristique soit n=16,78 pour fck=25MPa, n=15,75 pour fck=30MPa, n=15,3 pour fck=35MPa, n=14,86 pour fck=40MPa,
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 42/62 03/07/2009
Les valeurs ou expressions de ulccµµµµ étaient données par les ouvrages de M Perchat
Pour les éléments étudiés en bâtiment, nous avons ulul µµµµµµµµ <<<< ⇒⇒⇒⇒ (((( ))))ulculsul ;inf µµµµµµµµµµµµ ====
acier bien utilisé acier mal utilisé
ELU le plus défavorable ELS le plus défavorable
ELU déterminant pour le dimensionnement
Les armatures comprimées sont nécessaires(ligaturées tous les )
0560,uµµµµ
φφφφ.15
480,ulsµµµµulcµµµµ
(((( ))))ulculsul ;inf µµµµµµµµµµµµ ====
µ µ≤ ul µ µul < < 0 48,
Nécessité d'aciers comprimés 2sA
Dimensionnement à l’E.L.U. ELS de compression du béton est implicitement vérifié
1ère méthode: Dimensionnement à l’E.L.U. Organigramme identique à celui utilisé avec le BAEL9 9 avec une valeur forfaitaire de la contrainte dans les armatures comprimées
22 2 1 1
3 81 1
2 3
s l s ck
ul
i c
n k f
k
δδδδσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γ
γγγγγγγγ
= = − µ − −
dd2
2 ====δδδδ
s
c ,eff
En
E=
eff,c
cmeff,c
EE
ϕϕϕϕ++++====
1 avec le coef de fluage à long terme
( ) ( )0 0Ed ,qp Ed ,qp
c ,effEd Ed ,c
M M,t ,t
M Mϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= ∞ × = ∞ × pour la combinaison caractéristique
ckck f,fk 601 ========cσσσσ autre notation c ,limσσσσ
pour les classes XD1à3, XS1 à 3 XF1 à 4 601 ,kk i ========
sous combinaison caractéristique des charges vaeur approchée de n : 15====n
µµµµ−−−−−−−−−−−−====
γγγγ
δδδδγγγγσσσσul
ckls
,
f
9632113
219 2
2
Cette expression forfaitaire permet de trouver la s ection d’acier que l’on obtiendrait avec la méthode exacte à l’ELS. C’est un artifice de calcul. L’intérêt réside dans l’utilisation d’une même procédure de c alcul, pour toute valeur de
µu ≤ 0 48, , basée sur le calcul aux ELU,
2ième méthode: Dimensionnement à l’E.L.S. (inconvénient, la méthode fait appel à une démarche différente). Pour ne pas avoir des armatures comprimées, il serait préférable de redimensionner la section de béton.
Ne pas oublier les vérifications à l’E.L.S. concerna nt: ♦ Maîtrise de la fissuration ♦ Déformation (flèche)
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 43/62 03/07/2009
10.2. Organigramme (type de M Perchat) pour déterminer un e valeur de ulµµµµ
Données initialisation pourcentage d’armatures tendues obtenues à l’ELU pourcentage d’armatures homogénéisée hauteur de la section de béton comprimé à l’ELS équation du moment statique
Valeur de ulµµµµ
ckf ; MPaf yk 500==== ; ser
u
MM
====γγγγ ; ckc f'k====σσσσ ; n
uµµµµ = 0,3
[[[[ ]]]] c
s
yk
ck
u
us f
f
γγγγγγγγ
µµµµµµµµρρρρ 2
2111 −−−−++++
==== [[[[ ]]]] yk
ck
u
us f
f,
µµµµµµµµρρρρ
21153311 −−−−++++
==== db
A
w
ss
11 ====ρρρρ
11 ss n' ρρρρρρρρ ====
dy 11 αααα====
++++++++−−−−====
111
211
ss '
'ρρρρ
ρρρραααα
uik µµµµααααγαγαγαγα >>>>
−−−−3
180
69 11
serMγγγγ > uM
usc
ik µµµµγγγγγγγγααααγαγαγαγα >>>>
−−−−23
1 11
ulu µµµµµµµµ ====
uu µµµµ∆∆∆∆µµµµ ++++ uu µµµµ∆∆∆∆µµµµ −−−−
non oui
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 44/62 03/07/2009
10.3. Procédure pour déterminer une expression de ulµµµµ
Dimensionnement aux E.L.U.
ckcd
C
ff
γγγγ=
dy uu α=
( )uu , µα 211251 −−=
cdw
uu fdb
M2
====µµµµ
11
80
s
ucdws
fdb,A
σσσσαααα====
( )1
1
0 8 1 25 1 1 2w cd u
ss
, b d f ,A
µµµµ
σσσσ
− −=
Dimensionnement aux E.L.S.
(((( )))) 02 11
21 ====−−−−−−−− ydnA
ybs
w
++++++++−−−−====
1
11
211
s
w
w
s
nAdb
bnA
y
−−−−====32
11 yd
ybM c
wser σσσσ
De et on élimine 21ybw ⇒⇒⇒⇒
3
2
3
22 11
1cs
cs
wser
dnAnAdbyM
σσσσσσσσ −−−−
++++====
On remplace dans l’expression de 1y donnée
3
2
3
22112 11
1
1 csc
sw
s
w
w
sser
dnAnAdb
nAdb
bnA
Mσσσσσσσσ −−−−
++++
++++++++−−−−====
On utilise les résultats de l’ELU On remplace suA donné par
cs
ucdwc
s
ucdww
ucd
s
s
ucdser d
fdb,n
fdb,ndb
f,nfd,
nM σσσσσσσσ
αααασσσσσσσσ
αααααααα
σσσσσσσσ
αααα11
1
1
80
3
280
3
2
80
211
802 −−−−
++++
++++++++−−−−====
En utilisant buo
uu fdb
M2
=µ
−−−−
++++
++++++++−−−−
========
3
280
3
21
80
21180
2
1
1
1
s
ucd
s
ucd
uc
su
ser
u
f,nf,n
n,
M
M
σσσσαααα
σσσσαααααααασσσσ
σσσσµµµµγγγγ
Remplaçons uα par son expression fonction de uµ ( )uu , µα 211251 −−=
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
−−−−
−−−−−−−−++++
−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−
========
3
221125180
3
21
21125180
21121125180
2
1
1
1
s
ucd
s
ucd
uc
su
ser
u
,f,n
,f,n
,n,
M
M
σσσσµµµµ
σσσσµµµµ
µµµµσσσσ
σσσσµµµµγγγγ
Expression de cσσσσ
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 45/62 03/07/2009
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
−−−−
−−−−−−−−++++
−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−
====
3
2211
3
21
211
211211
12
1
1
1
s
ucd
ucd
su
suc
nfnf
n
σσσσµµµµ
µµµµσσσσµµµµ
γγγγσσσσµµµµσσσσ
0>>>>u
c
d
d
µµµµσσσσ
, cσσσσ est une fonction croissante de uµ .
(((( ))))n,f,f,,f ykckulculucc γγγγµµµµσσσσµµµµµµµµσσσσσσσσ 1========⇔⇔⇔⇔====
Si cc σσσσσσσσ >>>> , la section de béton comprimé est insuffisante pour équilibrer la section droite, il faut placer des
armatures comprimées.
avec l’hypothèse d’un diagramme élasto-plastique parfait s
yks
f
γγγγσσσσ ====1
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
−−−−
−−−−−−−−++++
−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−
====
3
2211
3
21
211
2
11211
12
s
yk
ulcd
ulcd
s
yk
ul
s
ykul
c
fnf
nf
fn
f
γγγγ
µµµµµµµµ
γγγγµµµµ
γγγγγγγγ
µµµµσσσσ
s
c ,eff
En
E=
eff,c
cmeff,c
EE
ϕϕϕϕ++++====
1 ( ) ( )0 0
Ed ,qp Ed ,qpc ,eff
Ed Ed ,c
M M,t ,t
M Mϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= ∞ × = ∞ ×
Cette expression permet de déterminer ulµ
Pour un B500 500ydf MPa= 15====n
(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
−−−−−−−−−−−−++++
−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−
====
3
22110153301
211
95658611211
197157
ulck
ulck
ul
ck
ul
f,f
,f'k,
µµµµµµµµ
µµµµ
µµµµγγγγ
γγγγ
cc σσσσσσσσ ====ykck f,f,n
fixés
baul ++++==== γγγγµµµµulµµµµ
ckf
ELS
ELU
02 ≠≠≠≠sA
Avec un tableur, pour chaque valeur de ckf , nous pouvons obtenir
l’équation (((( ))))γγγγµµµµ ful ====
Cette fonction peut être approchée par une fonction affine ba ++++γγγγ On constate que lorsque la résistance caractéristique du béton augmente cette droite se déplace vers les ordonnées positives et de plus la pente augmente.
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 46/62 03/07/2009
On peut remarquer que ces valeurs sont inférieures à celles obtenues avec le BAEL.
ckc f,60≤≤≤≤σσσσ
Pour 41,====γγγγ
ckf ulµµµµ
25ckf MPa= 2260,
30ckf MPa= 2460,
35ckf MPa= 2620,
40ckf MPa= 2760,
45ckf MPa= 2870,
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 47/62 03/07/2009
Graphiques pour ckc f,60≤≤≤≤σσσσ expressions approchées de ulµµµµ
0.2150 1.35450.2175 1.36450.2200 1.37440.2225 1.38440.2250 1.39420.2275 1.40410.2300 1.41390.2325 1.42370.2350 1.43340.2375 1.44310.2400 1.45280.2425 1.46250.2450 1.47210.2475 1.48160.2500 1.49120.2525 1.5007
0.2150
0.2200
0.2250
0.2300
0.2350
0.2400
0.2450
0.2500
0.2550
1.35
45
1.36
45
1.37
44
1.38
44
1.39
42
1.40
41
1.41
39
1.42
37
1.43
34
1.44
31
1.45
28
1.46
25
1.47
21
1.48
16
1.49
12
1.50
07
Série1
0.2350 1.35760.2375 1.36710.2400 1.37650.2425 1.38590.2450 1.39520.2475 1.40460.2500 1.41390.2525 1.42310.2550 1.43240.2575 1.44160.2600 1.45080.2625 1.45990.2650 1.46900.2675 1.47810.2700 1.48720.2725 1.49620.2750 1.50530.2775 1.51420.2800 1.52320.2825 1.53210.2850 1.54100.2875 1.5499
0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.2950
1.35
76
1.37
65
1.39
52
1.41
39
1.43
24
1.45
08
1.46
90
1.48
72
1.50
53
1.52
32
1.54
10
1326025650 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ
γγγγµµµµul
25ckf MPa=
30ckf MPa=
γγγγµµµµul
135902730 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 48/62 03/07/2009
0.2500 1.35450.2525 1.36360.2550 1.37270.2575 1.38170.2600 1.39070.2625 1.39970.2650 1.40870.2675 1.41760.2700 1.42650.2725 1.43540.2750 1.44430.2775 1.45310.2800 1.46190.2825 1.47070.2850 1.47950.2875 1.48820.2900 1.49700.2925 1.5057
0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.3000
1.35
45
1.36
36
1.37
27
1.38
17
1.39
07
1.39
97
1.40
87
1.41
76
1.42
65
1.43
54
1.44
43
1.45
31
1.46
19
1.47
07
1.47
95
1.48
82
1.49
70
1.50
57
Série1
0.2625 1.35180.2650 1.36060.2675 1.36950.2700 1.37830.2725 1.38700.2750 1.39580.2775 1.40450.2800 1.41320.2825 1.42190.2850 1.43060.2875 1.43920.2900 1.44780.2925 1.45640.2950 1.46500.2975 1.47360.3000 1.48210.3025 1.49060.3050 1.4991
0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.30000.30500.31000.3150
1.35
18
1.36
06
1.36
95
1.37
83
1.38
70
1.39
58
1.40
45
1.41
32
1.42
19
1.43
06
1.43
92
1.44
78
1.45
64
1.46
50
1.47
36
1.48
21
1.49
06
1.49
91
0.2750 1.35610.2775 1.36480.2800 1.37340.2825 1.38200.2850 1.39060.2875 1.39910.2900 1.40770.2925 1.41620.2950 1.42470.2975 1.43320.3000 1.44170.3025 1.45010.3050 1.45850.3075 1.46690.3100 1.47530.3125 1.48370.3150 1.49200.3175 1.5004
0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.30000.30500.31000.31500.32000.3250
1.35
61
1.36
48
1.37
34
1.38
20
1.39
06
1.39
91
1.40
77
1.41
62
1.42
47
1.43
32
1.44
17
1.45
01
1.45
85
1.46
69
1.47
53
1.48
37
1.49
20
1.50
04
Série1
35ckf MPa=
45ckf MPa=
40ckf MPa=
γγγγµµµµul
γγγγµµµµul
γγγγµµµµul
130902810 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ
1276028850 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ
1245029450 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 49/62 03/07/2009
10.4. Démonstration de la valeur forfaitaire théols2σσσσ
Lorsque ulµµ > , l’E.L.S. est le plus défavorable, de plus les armatures comprimées sont nécessaires.
Néanmoins nous allons dimensionner à l’E.L.U. mais en considérant une contrainte de compression dans les armatures ls2σσσσ fictive pour que le dimensionnement à l’E.L.U. soit équivalent au dimensionnement E.L.S.
Nous nous proposons de déterminer cette contrainte sclσ .
Dimensionnement ELU
(((( )))) ls
Rclus dd
MMA
222 σσσσ−−−−
−−−−====
(((( ))))s
yklss
ul
Rcls f
A,d
MA
γγγγ
σσσσαααα
1
401 221
++++
−−−−====
Dimensionnement ELS
22 2
ser Rc ,serls
s
M MA
( d d )σσσσ−
=−
2 21
1 113
Rc ,serl s ss
ss
M AA
x( d )
σσσσσσσσσσσσ
= +−
1 2 12 1
1 1s c s c
x d d xn et n
x xσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ− −= =
cw
serl,Rcserl db
M
σσσσ2====µµµµ
cdw
ulul fdb
M2
====µµµµ serl
ul
MM
====γγγγ
1
cc ck cd ulserl ul ul
c c c c
f f
k
αααασ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγ
µµ = µ = µ =
ckck f,fk 601 ========cσσσσ pour les classes XD1à3, XS1 à 3 XF1 à 4
sous combinaison caractéristique des charges
( ) ( )2 2
12 2 2 2
ser serl w c ser serl wsc ck
s s
b d b dA k f
( d d ) ( d d )
µ µ σ µ µµ µ σ µ µµ µ σ µ µµ µ σ µ µσ σσ σσ σσ σ
− −= =
− −
La section déterminée à l’E.L.U est égale à celle déterminée à l’ELS
( )22 2 2 2
ser Rc ,serlu Rcls
s l s
M MM MA
d d ( d d )σ σσ σσ σσ σ−−= =
− −
[[[[ ]]]]serl,RcserRclu MMMM −−−−====−−−− γγγγ
22
1
sls σσσσσσσσγγγγ ==== 22 sls γσγσγσγσσσσσ ====
−−−−====
−−−−====1
21
1
212 1
xd
fnkx
dxn ckcs σσσσσσσσ avec dx serl
−−−−−−−−==== µµµµ
3
811
2
31
En posant d
d22 ====δδδδ
−−−−−−−−
−−−−====
serl
cks fnk
µµµµ
δδδδσσσσ
3
811
2
31 2
12 utilisons ul
serli ck γγγγγγγγµµ =
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 50/62 03/07/2009
22 2 1 1
3 81 1
2 3
s l s ck
ul
i c
n k f
k
δδδδσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γ
γγγγγγγγ
= = − µ − −
On peut prendre 15====n 601 ,k ====
µµµµ−−−−−−−−−−−−====
γγγγ
δδδδγγγγσσσσul
ckls
,
f
9632113
219 2
2
Les valeurs des sections d’armatures tendues obtenues à l’ELU et l’ELS sont très proches (à vérifier), le dimensionnement à l’ELU convient, l’erreur commise est très faible. Il existe d’autres expressions, par exemple celle de M Perchat.
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 51/62 03/07/2009
11. EPURE D'ARRET DE BARRES:
II convient que les armatures longitudinales tendues soient capables de résister à l'effort de traction supplémentaire généré par l'effort tranchant
1. force de traction des armatures principales due à l’existence de l’effort tranchant
La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression
(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆∆∆∆∆ cotcotVFz
M;F
zM
minF Edtdmax,Ed
tdEd
td −−−−====
++++====
2
1 6.18 avec z d= 0 9,
α
s
d θ z=0,9d
EdMz EdV
EdV
ααααcotVEd
α
ααααsin
VEd
EdV
θθθθsin
VEd
θθθθcotVEd
EdN
tdF
cdF
tdF∆∆∆∆
tdcd FF ∆∆∆∆∆∆∆∆ ====
θθθθcotVEd2
1
θθθθcotVEd2
1
θααααcotVEd2
1
effort
dans la bielle
(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd−−−−====
2
1
ααααcotVEd2
1
effort dans
l'armature
d'effort tranchant
cdF
tdF
EdV EdMEdN
EdV
2z
2z
[[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotVEd−−−−
[[[[ ]]]]ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd−−−−====
2
1
A B
CD
A B
C D
membrure comprimée
membrure tendue
bielles
armatures
d'effort tranchant bw bw
EdV[[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotVEd
−−−−
zM Ed
zM Ed
EdM EdV
(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd −−−−====2
1
(((( ))))ααααθθθθ cotcotVEd −−−−2
1
θθθθcotVEd
ααααcotVEd
effort tranchantmoment de flexion
θθθθcotVEd
θθθθ
ααααcotVEd
projection horizontale.
de l'effort dans la bielle
projection horizontale.
de l'effort dans l'armature
d'effort tranchant
fig 6.5
.. 6.2.3 (7)
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 52/62 03/07/2009
Cela équivaut à admettre un décalage de la courbe e nveloppe des moments de ( )1
2la z cot cotθ αθ αθ αθ α= −
Justification
Dans la section droite de la poutre (voir fig 6.5), l’âme est soumise à un effort tranchant EdV et un effort normal
(((( ))))ααααθθθθ cotcotVEd −−−−
(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd −−−−====2
1 6.18 représente la contribution de l’effort tranchant à l’effort normal appliqué à la
membrure tendue (armatures longitudinales)
A l’ELU le calcul de la section des armatures tendues :zM
Ftd
∆∆∆∆∆∆∆∆ ====
lEd a
MV
∆∆∆∆==== soit ( )
( ) ( )1
1 122 2
Edtd
lEd Ed Ed
V cot cot zF zMa cot cot z z cot cot
V V V
θ αθ αθ αθ α∆∆∆∆∆∆∆∆ θ α θ αθ α θ αθ α θ αθ α θ α−
= = = = − = −
Pour les bâtiments : d,z 90==== Une contribution identique est appliquée à la membrure comprimée qui s’en trouve soulagée d’autant.
En pratique, la détermination de sN dans la section d’abscisse θθθθcotz
x2
−−−− doit être réalisée avec le moment
sollicitant la section droite d’abscisse x . Pour tenir compte de cette remarque, la détermination des longueurs des barres (épure d’arrêt des armatures longitudinales) sera réalisée sur une courbe enveloppe dilatée (ou décalée) dans le sens le plus défavorable. Pour des armatures d’effort tranchant droites, la va leur imposée (valeur réglementaire) de ce décalage est la valeur
θθθθθθθθ
tanz
cotz
al 22========
Comme θθθθ varie le long de la poutre, 521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ 6.7, cette valeur la varie le long de la poutre, on prendra la valeur la
plus défavorable constante le long de la travée.
Nous verrons que lorsque l’effort tranchant est modéré 52,cot ====θθθθ d’où z,al 251==== .
Si θθθθcot est inconnu , on peut considérer forfaitairement z,al 251====
Pour des éléments sans armatures d’effort tranchant (dalles) dal ==== .
..9.2.1.3 (2)
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 53/62 03/07/2009
Détermination du décalage par M H. Thonier ( tome 7 conception et calcul des structures de bâtiments page 250) Soit un treillis multiple constitué de n treillis élémentaires.
L’espacement des cours d’armatures transversales : [[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotnz
s ++++====
Sur le tronçon considéré A1 B1, on suppose s constant. Le segment A1 B3 de longueur s constitue la membrure tendue de n treillis élémentaires
(((( ))))ααααθθθθ cotcotz ++++s
treilli
s n°
1
treilli
s n°
2
treilli
s n°
3
x
θθθθcotz ααααcotz
s s
treillis n°1
treillis n°2
treillis n°3
A3A2 A1
C3
B3
C2
B2
C1
B1
z
Hypothèse : On considère que chacun des treillis reprend un même moment
de flexion : (((( ))))n
xM, le
choix de (((( ))))xM peut se justifier par le fait que l’on se place en sécurité en considérant la valeur du moment la plus grande soit en C1 sur le tronçon considéré A1 B1.
Déterminons l’effort tdF dans la membrure tendue en sommant les efforts normaux déterminés pour chacun des
treillis élémentaires. Cet effort existe au point A1 d’abscisse 0====x
Pour le treillis n° 1 : (((( ))))
nzxM
z
M C ====1
Pour le treillis n° 2 : (((( ))))nz
sxMz
M C −−−−====2
Pour le treillis n° 3 : (((( ))))nz
sxMz
M C 23 −−−−====
Pour le treillis n° i : (((( ))))(((( ))))
nzsixM
z
MiC 1−−−−−−−−====
Pour le treillis n° n : (((( ))))(((( ))))
nzsnxM
z
MnC 1−−−−−−−−====
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]snxM...sixM...sxMsxMsxMxMnz
Ftd 11321 −−−−−−−−++++++++−−−−−−−−++++++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++====
(((( ))))(((( ))))∑∑∑∑ −−−−−−−−====n
td sixMnz
F1
11
Soit (((( ))))(((( ))))∑∑∑∑ −−−−−−−−====n
m sixMn
M1
11
: mM représente le moment correspondant à l’effort tdF dans la membrure au
point A1 d’abscisse x=0 zFM tdm ====
Soit )x(fM m ==== ; l’abscisse correspondant au moment mM est fourni par la fonction inverse )M(fx m1−−−−====
Déterminons l’abscisse a correspondant à mM (((( ))))(((( ))))
−−−−−−−−==== ∑∑∑∑−−−−n
sixMn
fa1
1 11
Hypothèse : on fait l’hypothèse que sur le tronçon considéré M est une fonction affine :
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))0
000
VxMM
xx.VMxM−−−−====−−−−====
pour l’abscisse x (((( )))) (((( )))) (((( )))) x.VMxM 00 −−−−====
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 54/62 03/07/2009
pour l’abscisse sx −−−− (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))sx.VMsxM −−−−−−−−====−−−− 00
pour l’abscisse (((( ))))six 1−−−−−−−− (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))six.VMsixM 1001 −−−−−−−−−−−−====−−−−−−−−
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
−−−−++++−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑nnn
i.s.Vx.V.nM.nn
six.VMn
sixMn 111
10001
1001
11
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))s
n.Vx.VMs
nn.Vx.nVM.n
nsixM
n
n
2
1000
2
1000
11
1
1
−−−−++++−−−−====
−−−−++++−−−−====−−−−−−−−∑∑∑∑
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))02
10000
2
10001
1 1
1
1
V
sn
.Vx.VMMs
n.Vx.VMfsixM
nfa
n
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−====
−−−−−−−−==== −−−−−−−− ∑∑∑∑
(((( ))))s
nxa
2
1−−−−−−−−====
En remplaçant s et x par leurs expressions : [[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotnz
s ++++==== θθθθcotzx ====
(((( )))) (((( )))) [[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))n
ncotz
nn
cotzcotcotnzn
cotzsn
xa2
1
2
11
2
1
2
1 −−−−−−−−
−−−−−−−−====++++−−−−−−−−====
−−−−−−−−==== ααααθθθθααααθθθθθθθθ
−−−−−−−−
++++====n
cotzn
cotza
11
2
11
2
ααααθθθθ
Pour déterminer tdF dans la membrure tendue (armatures longitudinales tendues) dans une section droite, il faut
considérer le moment dans une section éloignée de a . a correspond au décalage de la courbe des moments pour tenir compte de l’effort tranchant.
Cette expression doit être comparée avec celle imposée par l’EC2 : (((( ))))
2
ααααθθθθ cotzcotzal
−−−−====
Pour des cours d’armatures verticaux :
++++====n
cotza
11
2
θθθθ
1====n θθθθcotza ====
2====n ααααθθθθ cotzcotza
4
1
4
3 −−−−====
3====n ααααθθθθ cotzcotza
3
1
3
2 −−−−====
4====n ααααθθθθ cotzcotza
8
3
8
5 −−−−====
∞∞∞∞====n (((( ))))la
cotzcotza ====
−−−−====2
ααααθθθθ expression EC2
Formons le rapport :
−−−−++++++++====
−−−−
−−−−−−−−
++++====
ααααθθθθααααθθθθ
ααααθθθθ
ααααθθθθ
cotcotcotcot
ncotzcotzn
cotzn
cotz
aa
l
11
22
11
2
11
2 1>>>>
Ce rapport est toujours supérieur à 1, donc l’expression donnée de l’EC2 n’est pas sécuritaire.
Avec des cours verticaux na
a
l
11++++====
Ce rapport est max. pour 1====n soit 2====la
a θθθθcotzaa l ======== 2
Cherchons minn ; s/cotzn θθθθ==== [[[[ ]]]] 2175090750 ,d,/d,d,/zs/cotzn maxminmin ================ θθθθ
Pour être toujours du côté de la sécurité, il faudr ait adopter : θθθθcotzaa l ======== 2
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 55/62 03/07/2009
r
IL FAUT DECALER LA COURBE ENVELOPPE DANS LE SENS LE PLUS DEFAVORABLE DE al
M
x
courbe enveloppe théorique
courbe enveloppe dilatée
la la
la la
11.1. Longueur de barres, sections d'acier:
Pour déterminer le ferraillage dans une poutre, on procède en superposant le tracé du diagramme des moments résistants des aciers choisis (le moment résistant est le moment maximum que peuvent reprendre globalement dans toutes les sections droites, les aciers effectivement mis en place) et la courbe enveloppe décalée des moments de flexion. Pour le tracé du diagramme des moments résistants, il faut tenir compte des diamètres choisis, de l'emprise de chaque lit, des dispositions d'ancrage.
11.1.1. DETERMINATION PRATIQUE: On calcule les sections d'aciers maximums en travée et sur les appuis compte tenu de la condition de n on fragilité (ou
pourcentage minimum min,sA ) [[[[ ]]]]min,sthéoriquess
réelss A;AsupA ≥≥≥≥
On détermine le nombre de barres et la répartition en lits d'armatures, pour une poutre courante nombr e de barres par
lit = ( )10 m
wb
Le premier lit est toujours le plus proche du parement. On détermine le diagramme des moments RESISTANTS:
exemple aux ELU: soit 2 lits d’armatures d’aires respectives (((( ))))1sA et (((( ))))2sA
( )1 1uR s usM A zσσσσ= ( )2 2uR s usM A zσσσσ=
(((( )))) [[[[ ]]]]uuu
d,dz µµµµαααα 211
2401 −−−−++++====−−−−==== 435 466yk
sS
fMPa MPaσσσσ
γγγγ= ≤ ≤
Si on utilise le diagramme des aciers élasto-plastique parfait alors 435yks
S
fMPaσσσσ
γγγγ= =
Si on veut optimiser, on peut choisir le id réel relatif au ième lit
On détermine la longueur de chaque lit. Pour cela i l faut que la courbe des moments RESISTANTS "englobe" la courbe ENVELOPPE DECALEE des moments agissants .
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 56/62 03/07/2009
Figure 9.2 : illustration de l’épure d’arrêt des a rmatures longitudinales, tenant compte de l’effet d es fissures inclinées et de la résistance des armatures sur leu r longueur d’ancrage
La figure ci-dessous donnée dans l’EC2 représente en ordonnée le moment de flexion (sur la figure de l’ EC2 effort de traction dans les armatures).
Généralement, nous représentons les diagrammes des moments (l’ordonnée est le moment de flexion) Sur l’appui le moment a été écrêté ou le moment est considéré au nu de l’appui
diagramme enveloppe du moment de flexion agissant MEd
diagramme enveloppe du moment de flexion résistant
longueur des armatures inférieures
bdl
la
diagramme enveloppe du moment de flexion décalé (pour tenir compte de l'effort tranchant)
R,EdM 3
R,EdM 2
B
C
AB
C R,EdM
la
bdl
bdl bdl
bdl
bdlla
longueur des armatures supérieures chapeaux
R,EdM 1
ia2a
C
B
bdl
bdlbdl
R,EdM 1
R,EdM 2
R,EdM 3
A la
A
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 57/62 03/07/2009
11.2. .Ferraillage d'une poutre:
Les dispositions suivantes sont les principes de ferraillage à respecter lors du dimensionnement des aciers d'une poutre.
ACIERS LONGITUDINAUX DE FLEXION : vérifier le pourcentage minimal condition de non fr agilité. disposer les aciers symétriquement par rapport au plan de symétrie vertical mettre 2 aciers par lit minimum en 1 lit pour poutres plates, poutres dalles, en 2 ou 3 lits pour des poutres moyennement armées, en 4 lits ou plus pour les poutres fortement armées
on groupera par 2 lits à partir de 3 lits 2 barres superposées ne constituent pas un paquet (si les conditions d’adhérence sont bonnes généralement pour les armatures inférieures, ce n’est pas le cas pour les chapeaux) Il est aussi possible d’utiliser des paquets de 3 barres. 1 2 3 4 5 6 lits
les diamètres ne doivent pas dépasser 10wb
ne pas disposer de diamètre différent de plus de 2 crans (ex: HA14 avec HA 10,12,16,20. dans un paquet, le rapport des diamètres doit être inférieur à 1,7. arrêter les barres d'un même lit au même endroit pour éviter des erreurs d’implantation sur chantier. pour les barres qui doivent être pliées ou dépliées (voir la fiche d’identification) prolonger au moins le premier lit jusqu’aux appuis
ACIERS SUPERIEURS DE CONSTRUCTION:
même nombre de barres que le premier lit inférieur
section de l'ordre de 10sA
à disposer en un seul lit à mettre en recouvrement avec les chapeaux (la longueur de scellement droit dépend du diamètre le plus faible) peuvent être utilisés comme aciers résistants dans l'épure d'arrêt de barres
ACIERS DE PEAU:
- voir dispositions constructives. La section est calculée lorsque la hauteur de la poutre est supérieure à 1 mètre.
Lorsque les armatures longitudinales sont constituées de diamètre mm32≥≥≥≥φφφφ ou lorsque l’enrobage mmc 70≥≥≥≥
..7.3.3 (3)
.. annexe J1
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 58/62 03/07/2009
12. Détermination des armatures transversales droites: Méthodologie
Méthode basée sur l’inclinaison variable des bielle s : 521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ ⇔⇔⇔⇔ °°°°≥≥≥≥≥≥≥≥°°°° 2245 θθθθ
hyp : armatures d’âme droites °= 90α structure non précontrainte 1====cwαααα
Pour la détermination des armatures transversales, au voisinage de l’appui, l’Eurocode permet de considérer l’effort tranchant
réduit = minimum entre )d(Vy et )cotz(Vy θθθθ s les charges sont uniformément réparties.
En BTS on peut se contenter de considérer l’effort tranchant (en valeur absolue) aux 2 extrémités (((( ))))0i,EdV ; (((( ))))ii,Ed LV .
On montre que plus θθθθ est faible, plus la section d’armatures transversales nécessaire est faible, mais en contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des moments (ce qui entraîne une augmentation des armatures longitudinales). Principe de la méthode des bielles d’inclinaison var iable
Le principe consiste à incliner les bielles sur l’horizontale d’un angle θθθθ le plus petit possible pour réduire s
Asw tout en
contrôlant la contrainte dans la bielle max,RdEd VV ≤≤≤≤ . (Pour cette vérification, il faut considérer l’effort tranchant non réduit.)
Si EdV est faible , °°°°==== 22θθθθ ⇔⇔⇔⇔ 52,cot ====θθθθ c’est la grande majorité des cas en bâtiment (on p ourrait se limiter à ce cas
cependant pour l’épreuve U41, nous avons choisi °°°°==== 45θθθθ , cela simplifie la modélisation d’une poutre ba par un treillis aisi que sa justification)
Si EdV est élevé, θθθθ est déterminé par max,RdEd VV ==== .
Si EdV est très élevé, °°°°====≤≤≤≤ 45maxθθθθθθθθ et il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton, déterminé par
max,RdEd VV ==== .
Il faut donc déterminer ττττττττ ====cdfv/ 1 avec w
Ed
b.zV
====ττττ
Si on veut exploiter la résistance des bielles au ma ximum, on écrit :
max,RdEd VV ≤≤≤≤ ⇔⇔⇔⇔ max,Rdττττττττ ≤≤≤≤ ⇔⇔⇔⇔ 500 ,≤≤≤≤≤≤≤≤ ττττ
Comparons ττττ
Si 50,>>>>ττττ ⇔⇔⇔⇔ max,RdEd VV >>>> il faudrait incliner les bielles d’un angle °°°°>>>> 451θθθθ ce que le règlement ne permet pas
alors il faut redimensionner ou augmenter la résist ance du béton pour obtenir max,RdEd VV ≤≤≤≤
Pour °°°°==== 45θθθθ , ⇒⇒⇒⇒ 1
1
2Rd ,max w cdV b z fνννν= 1
1
2Ed Rd ,max w cdV V b z fνννν≤ =
On peut agir sur wb ou d (hauteur h ) ou cdf .
Dans l’intervalle 503450 ,, ≤≤≤≤<<<< ττττ Nous sommes dans les conditions d’atteinte simultanée de l’état limite ultime dans les bielles et dans les armatures
transversales. La solution est toujours optimale. De 2
2θθθθττττ sin==== 6.9 on en déduit [[[[ ]]]]ττττθθθθ 22
11 sinarc====
cd
ywdw
fv
f
1
ρρρρψψψψ ==== s.b
A
w
sww ====ρρρρ 1
2
1
θθθθθθθθ
ττττψψψψ sincot
======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒s
Asw Il est préférable d’utiliser 1θθθθ
ττττψψψψcot
==== car
la valeur de ττττ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant réduit.
Dans l’intervalle 34500 ,≤≤≤≤<<<< ττττ droite OB
Ceci peut se produire lorsque, pour des raisons architecturales, nous disposons d’une âme de dimensions excessives. EdV est
faible. L’optimisation bielles-armatures transversales n’est plus possible. Si nous voulons réduire au max. les armatures transversales, il faut choisir °°°°==== 821,θθθθ , mais dans ce cas les armatures
longitudinales seront plus importantes. Choix 521 ,cot ====θθθθ . M Thonier considère les bielles toujours inclinées à 45 °. Pour des bielles inclinées à 21,8, si le ga in en poids d’acier n’est parfois pas très important bien que l’incidence du décalage des armatures longitudinales n’intervienne que sur le 2ième lit et les suivants s’ils existent, par contre sur le façonnage et la confection de la cage d’armatures, il faudra moins de temps car il y aura environ 2 fois moins de cours d’armatures transversales ; il est cependant possible que les entreprises qui sont spécialisées dans la confection des cages d’armatures ne fassent pas de distinction entre les armatures transversales et longitudinales et appliquent un prix unique au kilo.
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13. Organigramme de calcul des armatures
d’effort tranchant en flexion simple :
L’angle 1θθθθ des bielles est choisi
°°°°==== 8211 ,θθθθ 521 ,cot ====θθθθ L’angle 1θθθθ des bielles est déterminé par
En considérant effort tranchant réduit EdrV
Distance entre les brins dans un cours
[[[[ ]]]]mm;d,mins max,t 600750====
♦ choix de la section d’acier
Calcul du premier espacement avec 6.8 Cette valeur de 1θθθθcot sera utilisée pour toutes les sections de la partie de poutre ayant un V de même signe . Calcul de s sur le reste de la poutre ; Vérificatio n des Bielles d’about ; Ancrage des armatures longitudinales à prolonger sur appui.
Données : wb h ; Classe structurale : 4S
Environnement :Classe d’exposition ..X
béton ../..CC
ckcdck
fff
γγγγ====
Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====
mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d
z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90==== en béton armé (((( ))))
cd
MPack f
f, 11 250
160 νννννννν
−−−−====
acier B500 classe B MPaf yk 500====
MPa,
ff
S
ywkywd 435
151
500 ============γγγγ
m/kNq,g,pu 51351 ++++====
effort tranchant max. de calcul (appui) EdV pour
vérifier la compression des bielles Pour la détermination des armatures transversales : effort tranchant réduit (transmissions directes) et si charges unif. réparties le minimum de l’effort tranchant sur le tronçon de longueur θθθθcotz (EC2) et θθθθcotz,50 d’après l’étude du treillis.
( ) ( )1 3
1100NRd ,c Rd ,c ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =
6.2.
(((( ))))c,Rd
NEd VV >>>> oui
non les armatures d’effort tranchant sont nécessaires vérification compression des bielles
1 1
Ed
w cd cd
V
zb v f v fττττ ττττ= =
521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ
500 ,≤≤≤≤≤≤≤≤ ττττ
3450,≤≤≤≤ττττ
oui
521 ,cotττττ
θθθθττττψψψψ ======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒
sAsw
1
w ywd
cd
f
v f
ρρρρψψψψ=
s.b
A
w
sww ====ρρρρ
yk
ckmin,w f
f,080====ρρρρ 9.5N
distance max. des cours : d,s max,l 750====
sw w ,min w maxA b sρρρρ≥
sAsw
12
1
θθθθθθθθ
ττττψψψψ sincot
======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒s
Asw
ψψψψρρρρ
====cd
ywdw
fv
f
1 s.b
A
w
sww ====ρρρρ
non
les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2
50,>>>>ττττ non
oui
Il faut redimensionner le coffrage
[[[[ ]]]]ττττθθθθ 22
11 sinarc====
La résistance des bielles est surabondante
épuisement simultané des bielles et des armatures transversales ;
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14. Pour un effort tranchant modéré,
Organigramme simplifié de calcul des armatures
transversales en flexion simple :
vérification compression des bielles
II. Données : wb h ; Classe structurale : 4S
II. Environnement :Classe d’exposition ..X
II. béton ../..CC
ckcdck
fff
γγγγ====
II. Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====
II. mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d
III. z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90====
II. (((( ))))
cd
MPack f
f, 11 250
160 νννννννν
−−−−====
II. acier B500 classe B MPaf yk 500====
II. MPa,
ff
S
ywkywd 435
151
500 ============γγγγ
II. m/kNq,g,pu 51351 ++++====
effort tranchant max. de calcul (appui) EdV
( ) ( )1 3
1100NRd ,c Rd ,c ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =
6.2.
(((( ))))c,Rd
NEd VV >>>> oui
non
max,RdEd VV ≤≤≤≤oui
swRd ,s ywd
AV zf cot
sθθθθ= 6.8
2 5swEd ywd
AV zf ,
s≤
⇒⇒⇒⇒ 0 4sw Ed
ywd
A V,
s zf≥
choix de la section d’acier s.b
A
w
sww ====ρρρρ
sw w ,min w l ,maxA b sρρρρ≥
Calcul du premier espacement avec
2 5 sw ywd
Ed
, A zfs
V≤
yk
ckmin,w f
f,080====ρρρρ 9.5N
d,s max,l 750====
0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=
les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2
les armatures d’effort tranchant sont nécessaires on se fixe 52,cot ====θθθθ
( )1w cd
Rd ,max
b z fV
tan cot
ννννθ θθ θθ θθ θ
=+
6.9
10 345Rd ,max w cdV , b z fνννν=
non
L’angle 1θθθθ des bielles doit être augmenté, il est déterminé
521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ épuisement simultané des bielles et des cadres ;
La résistance des bielles est surabondante
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15. Organigramme simplifié de calcul des armatures transversales (BTS)
vérification de la compression des bie lles
(((( ))))
++++==== 2
2001 ;
dmink mm
cc,Rd
,C
γγγγ180====
Le pourcentage ρl d’acier longitudinal de flexion d.b
A
w
sll ====ρρρρ 020,≤≤≤≤
Asl : aire de la section des armatures tendues, prolon gée d’une longueur supérieure à bdld ++++ au delà de la
section considérée.( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)
210340 /ck
Cmin f
,v
γγγγ==== pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré.
21230530 /ck
Cmin fk
,v
γγγγ==== poutres et dalles autres que celles ci-dessus
Données : wb h ; Classe structurale : 4S
Environnement :Classe d’exposition ..X
béton ../..CC
ckcdck
fff
γγγγ====
Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====
mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d
z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90====
wb plus petite largeur de la section droite
dans la zone tendue II.
(((( ))))
cd
MPack f
f, 11 250
160 νννννννν
−−−−====
acier B500 classe B MPaf yk 500====
MPa,
ff
S
ywkywd 435
151
500 ============γγγγ
m/kNq,g,pu 51351 ++++====
effort tranchant max. de calcul (appui) EdV
( ) ( )1 3100N
Rd ,c Rd ,c l ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =
6.2.
(((( ))))c,Rd
NEd VV >>>> oui
non
max,RdEd VV ≤≤≤≤oui
swRd ,s ywd
AV zf cot
sθθθθ= 6.8
on se fixe 1====θθθθcot sw
Ed ywd
AV zf
s≤ ⇒⇒⇒⇒
sw Ed
ywd
A V
s zf≥
choix de la section d’acier s.b
A
w
sww ====ρρρρ sw w ,min w l ,maxA b sρρρρ≥
Calcul du premier espacement avec sw ywd
Ed
A zfs
V≤
yk
ckmin,w f
f,080====ρρρρ 9.5N
d,s max,l 750====
0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=
les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2
les armatures d’effort tranchant sont nécessaires
( )1w cd
Rd ,max
b z fV
tan cot
ννννθ θθ θθ θθ θ
=+
6.9
on se fixe 1====θθθθcot soit °°°°==== 45θθθθ
10 5Rd ,max w cdV , b z fνννν=
non
L’angle °°°°==== 45θθθθ des
bielles ne peut pas être augmenté. Il faut redimensionner le coffrage
La résistance des bielles est surabondante
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16. Données pour un sujet U 4.1
Respecter les notations de l’EC2 • Classe structurale : 4S • Environnement : Classe d’exposition ..X
• Section droite : wb ; h
• Matériaux :
béton par exemple : 3730 /C MPaf ck 30==== MPa,
ff
C
ckcd 20
51
30 ============γγγγ
acier 500B classe B MPaf yk 500==== MPa,
ff
S
ykyd 435
151
500 ============γγγγ
• gd valeur maximale de la plus grosse dimension nominal e d’un granulat
• Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== donné ou à justifier
Enrobage minimal minc mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====
min,bc enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou au
diamètre équivalent du paquet de barres, il faut le vérifier pour chaque barre.
min,durc est à déterminer pour l’armature la plus proche du parement ( par exemple les cadres, .. s’ils existent)
Valeur de valeur devc∆∆∆∆ correspondant aux tolérances mmcdev 10====∆∆∆∆
• Charges : m/kNg m/kNq m/kNq,g,pu 51351 ++++====
moment de flexion ELU u,EdM uM====
4.4.1.2 (5)
4.4.1.2 (3)