62
Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 1/62 03/07/2009 - _______________________________________________ ELU Bases de calcul des structures : l’eurocode EN 1990 Les matériaux : le béton et l’acier Les classes d’exposition, l’enrobage Détermination des armatures dans les poutres rectangulaires en flexion simple Ce n'est pas un cours, mais une compilation d'éléments permettant de comprendre la philosophie de l'Eurocode et parfois de justifier partiellement l'origine des expressions en particulier pour le cisaillement, le calcul de l’ouverture des fissures. Cela peut vous aider de créer ou adapter votre propre cours. Si vous détectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer à l’adresse : [email protected] Bibliographie Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de l’école des Ponts et Chaussées Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des Ponts et Chaussées Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Poutres et dalles en environnement agressif Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr Calcul des structures en béton Henri Thonier site : btp.equipement.gouv.fr

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_______________________________________________

ELU Bases de calcul des structures : l’eurocode EN 1990

Les matériaux : le béton et l’acier

Les classes d’exposition, l’enrobage

Détermination des armatures dans les poutres rectangulaires en flexion simple

Ce n'est pas un cours, mais une compilation d'éléments permettant de comprendre la philosophie de l'Eurocode et parfois de justifier partiellement l'origine des expressions en particulier pour le cisaillement, le calcul de l’ouverture des fissures. Cela peut vous aider de créer ou adapter votre propre cours. Si vous détectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer à l’adresse : [email protected] Bibliographie

♦ Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de l’école des Ponts et Chaussées

♦ Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des Ponts et Chaussées

♦ Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr

♦ Poutres et dalles en environnement agressif Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr

♦ Calcul des structures en béton Henri Thonier site : btp.equipement.gouv.fr

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SOMMAIRE

1. SITUATION DE PROJET ____________________________________________________________4

2. COMBINAISONS FONDAMENTALES : ____________________________________________________5

2.1 ÉTATS LIMITES ULTIMES, POUR LES SITUATIONS DE PROJET DURABLES ET TRANSITOIRES ___________ 5 2.2. TABLEAU A1.1 (F): VALEURS DES COEFFICIENTS ψ POUR LES BATIMENTS_____________________ 5 PAR EXEMPLE , L’ETUDE D’UN MUR DE SOUTENEMENT OU D’UN VOILE DE SOUS-SOL S’EFFECTUERA SOIT AVEC L’APPROCHE 2 SOIT AVEC L’APPROCHE 3 _______________________________________________________ 6 2.3. RAPPELS DE L’EC 7 _____________________________________________________________ 7 2.4. EXEMPLE ÉTAT LIMITE D’EQUILIBRE STATIQUE (E.Q.U.) ___________________________________ 7 2.5. ACTIONS ACCIDENTELLES _________________________________________________________ 7 2.6. ACTIONS SISMIQUES _____________________________________________________________ 7 2.7. ETATS LIMITES DE SERVICE ________________________________________________________ 8 VERIFICATIONS A EFFECTUER________________________________________________________________________ 8 2.8. EXEMPLE N°1 : BATIMENT COURANT _________________________________________________ 9 2.8.1. HYPOTHESE : BATIMENTS COURANTS TELS QUE :_______________________________________________ 9 2.8.2. POUR DES ELEMENTS NE PARTICIPANT PAS AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC NE

REPRENANT PAS L’ACTION DU VENT.___________________________________________________________________ 9 2.8.3. POUR DES ELEMENTS PARTICIPANT AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC REPRENANT

L’ACTION DU VENT. (RAREMENT ETUDIES EN BTS BATIMENT)______________________________________________ 10 2.9. EXEMPLE N° 2_________________________________________________________________ 11 2.9.1. HYPOTHESES : BATIMENTS _______________________________________________________________ 11 2.9.2. POUR DES ELEMENTS NE PARTICIPANT PAS AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC NE

REPRENANT PAS L’ACTION DU VENT. 021 ======== FF ______________________________________________________ 11 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 11 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 12 2.9.3. POUR DES ELEMENTS PARTICIPANT AU CONTREVENTEMENT DE L’OUVRAGE ET DONC REPRENANT

L’ACTION DU VENT. (RAREMENT ETUDIES EN BTS BATIMENT)______________________________________________ 12 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 12 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 12 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 13 2.9.4. VALEURS DE CALCUL D’ACTIONS (EQU) ENSEMBLE A TABLEAU A1.2 (A) (F) _______________________ 14 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 14 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 14 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 14 2.9.5. NOTE 1 DANS LES CAS OU LA VERIFICATION DE L'EQUILIBRE STATIQUE INCLUT EGALEMENT LA

RESISTANCE D'ELEMENTS TABLEAU A1.2 (A) (F) ________________________________________________________ 14 EN CONSIDERANT LES SURCHARGES SUR LE PLANCHER DOMINANTES _________________________________ 14 EN CONSIDERANT LA NEIGE SUR LA TOITURE TERRASSE DOMINANTE __________________________________ 14 EN CONSIDERANT L’ACTION DU VENT DOMINANTE ________________________________________________ 14

BETON ELU________________________________________________________________________ 15

3.1. CLASSES DE RESISTANCE ________________________________________________________ 15

4. CARACTERISTIQUES DES ACIERS DU BETON ARME _________________________________________ 21

4.1. PROPRIETES__________________________________________________________________ 21 4.2. PROPRIETES MECANIQUES _______________________________________________________ 21 4.3. DIAGRAMME CONTRAINTE-DEFORMATION A L'E.L.U.: __________________________________ 22

5. - CLASSES D’EXPOSITION EN FONCTION DE L’ENVIRONNEMENT : TABLEAU 4.1________________________23

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5.1. COMPLEMENTS DE L’ANF ________________________________________________________ 24 5.2. CLASSES INDICATIVES DE RESISTANCE POUR LA DURABILITE ______________________________ 27 5.3. ENROBAGE ___________________________________________________________________ 28 5.3.1. DEFINITION DE L’ENROBAGE : ____________________________________________________________ 28 5.3.2. L’ENROBAGE PERMET D’ASSURER : ________________________________________________________ 28 5.3.3. L’ENROBAGE MINIMUM cmin ; L’ENROBAGE NOMINAL nomc _____________________________________ 28

5.3.4.-: GROUPEMENT DE BARRES A HAUTE ADHERENCE__________________________________________________ 31 5.3.5. - CONDITIONS DE BETONNAGE CORRECT : ___________________________________________________ 31 5.4. MODULATIONS DE LA CLASSE STRUCTURALE RECOMMANDEE, EN VUE DE LA DETERMINATION DES ENROBAGES MINIMAUX CMIN,DUR DANS LES TABLEAUX 4.4N ET 4.5NF. _______________________________ 32 5.4.1. CLASSE STRUCTURALE__________________________________________________________________ 32 5.5. DETERMINATION DES ENROBAGES MINIMAUX CMIN,DUR DANS LES TABLEAUX 4.4N ______________ 33 5.6 ORGANIGRAMME POUR LA DETERMINATION DE L’ENROBAGE : ___________________________________ 34

6. REGLE DES 3 PIVOTS. ELU__________________________________________________________36

NOTATIONS ET DIAGRAMMES________________________________________________________________________ 36

7. - PROCEDURES DE CALCUL : ___________________________________________________________ 37

8. DEMARCHE DE PROJET____________________________________________________________38

9. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES EN FLEXION SIMPLE, SECTION

RECTANGULAIRE : ___________________________________________________________________39

10. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES EN FLEXION SIMPLE, SECTION

RECTANGULAIRE : ___________________________________________________________________40

10.1. INTERFERENCE E.L.S. ET E.L.U.: __________________________________________________ 41 10.2. ORGANIGRAMME (TYPE DE M PERCHAT) POUR DETERMINER UNE VALEUR DE ulµµµµ _______________ 43

10.3. PROCEDURE POUR DETERMINER UNE EXPRESSION DE ulµµµµ ________________________________ 44

10.4. DEMONSTRATION DE LA VALEUR FORFAITAIRE théo

ls2σσσσ ____________________________________ 49

11. EPURE D'ARRET DE BARRES: ________________________________________________________ 51

11.1. LONGUEUR DE BARRES, SECTIONS D'ACIER:___________________________________________ 55 11.1.1. DETERMINATION PRATIQUE:_________________________________________________________ 55 11.2. .FERRAILLAGE D'UNE POUTRE:_____________________________________________________ 57

12. DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES DROITES: METHODOLOGIE______________________58

13. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE : ______________59

14. POUR UN EFFORT TRANCHANT MODERE, ORGANIGRAMME SIMPLIFIE DE CALCUL DES ARMATURES

TRANSVERSALES EN FLEXION SIMPLE : _____________________________________________________60

15. ORGANIGRAMME SIMPLIFIE DE CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES (BTS) ____________________ 61

16. DONNEES POUR UN SUJET U 4.1 ______________________________________________________62

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Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 4/62 03/07/2009

1. SITUATION DE PROJET

Il s’agit de la période au cours de laquelle la structure est censée rester utilisable en étant normalement entretenue, sans qu’il soit nécessaire de procéder à de grosses réparations.

Tableau 2.1(F) — Durée indicative d'utilisation de projet Catégorie de

durée d'utilisation de

projet

Durée indicative d'utilisation de projet

(années)

Exemples

1 10 Structures provisoires (1) 2 25 Éléments structuraux remplaçables, 3 25 Structures agricoles et similaires 4 50 Structures de bâtiments courants 5 100 Structures des bâtiments monumentaux ou

stratégiques (1) Les structures ou parties de structures qui peuvent être démontées dans un but de réutilisation ne doivent normalement pas être considérées comme provisoires.

Les situations de projet au nombre de 4 sont classées comme suit :

• les situations durables , correspondant aux conditions normales d’utilisation de l’ouvrage ; • les situations transitoires qui font référence à des conditions temporaires applicables à la structure (phases

de construction ou de réparation) • les situations accidentelles qui font référence à des conditions exceptionnelles applicables à la structure ou

à son exposition par exemple à un incendie, une explosion, un choc, la neige exceptionnelle. • situations sismiques , qui font référence à des conditions exceptionnelles applicables à la structure lors de

tremblements de terre.

Les bâtiments courants étudiés sont des projets de catégorie 4 (durée de vie 50 ans)

1.6 .EN 1990 A1.1

2.1.3

EN 1991 eurocode 1

Page 5: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 5/62 03/07/2009

2. COMBINAISONS FONDAMENTALES :

2.1. États limites ultimes, pour les situations de projet durables et transitoires

∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>

++++++++++++1 1

011j i

i,ki,i,Q,k,QPj,kj,G Q""Q""P""G ψψψψγγγγγγγγγγγγγγγγ 106. seule utilisée d’après l’annexe nationale

ou on prend la plus défavorable des 2 expressions obte nues, pour la première en réduisant l’action variab le dominante, la

seconde en réduisant le coef relatif aux actions pe rmanentes défavorables : 850,j ====ξξξξ

++++++++++++

++++++++

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

>>>>≥≥≥≥

≥≥≥≥≥≥≥≥

1011

1

10

1

ii,ki,i,Q,k,QP

jj,kj,Gj

ii,ki,i,QP

jj,kj,G

""""""

""""

QQPG

QPG

ψψψψγγγγγγγγγγγγγγγγξξξξ

ψψψψγγγγγγγγγγγγ

b.

a.

106

106

Lorsque la précontrainte est absente :

++++++++++++

++++++++++++

∑∑∑∑

∑∑∑∑

≥≥≥≥

≥≥≥≥

101

10110

501501001151

501501001351

ii,ki,,kinf,ksup,k

ii,ki,,k,inf,ksup,k

,,G,G,

,,G,G,

QQ

QQ

ψψψψ

ψψψψψψψψ

b.

a.

106

106

Lorsque la précontrainte est absente 6.10 se réduit à ::

γ γ γ ψG j k jj

Q k Q i i k ii

G Q Q, , , , , , ,∑ ∑+ +>

1 1 01

6.10 le symbole « + » signifie : doit être combiné à

- Gk j, : valeur caractéristique de l’action permanente j

- γ G j, :coefficient de sécurité partiel de l’action permanente j

- Qk ,1 : valeur caractéristique de l’action variable dite dominante

- Qk i, : valeurs caractéristiques des autres actions variables dites d'accompagnement ( avec i ≥ 2 )

- γ Q,1 : coefficient de sécurité partiel affecté à l'action dominante

- γ Q i, : coefficient de sécurité partiel affecté à chaque type d'action d'accompagnement

- ψ0,i : coefficients traduisant le fait qu’il soit très improbable que plusieurs actions variables atteignent toutes

ensemble et au même moment leurs valeurs caractéristiques.

2.2. Tableau A1.1 (F): Valeurs des coefficients ψψψψ pour les bâtiments

Valeur caractéristique : 0ψψψψ ; valeur fréquente : 1ψψψψ ; valeur quasi-permanente : 2ψψψψ

Action ΨΨΨΨ0 ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 Charges d'exploitation des bâtiments , catégorie (voir EN 1991-1.1) - Catégorie A : habitation, zones résidentielles - Catégorie B : bureaux - Catégorie C : lieux de réunion - Catégorie D : commerces - Catégorie E : stockage

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8

- Catégorie F : zone de trafic, véhicules de poids ≤ 30 kN - Catégorie G : zone de trafic, véhicules de poids compris entre 30 et 160 kN - Catégorie H : toits

0,7 0,7 0

0,7 0,5 0

0,6 0,3 0

Charges dues à la neige sur les bâtiments (voir EN 1991-1-3) : - pour lieux situés à une altitude H> 1000 m a.n.m. et pour Saint-pierre et Miquelon - pour lieux situés à une altitude H≤ 1000 m a.n.m.

0,70 0,50

0,50 0,20

0,20

0 Charges dues au vent sur les bâtiments (voir EN 1991-1-4) 0,6 0,2 0 Température (hors incendie) dans les bâtiments (voi r EN 1991-1-5) 0,6 0,5 0

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COMBINAISON FONDAMENTALE

En 1990 EXPRESSION GENERALE pour les bâtiments

EQU 6.10 tableau A1.2 (A)(F) NOTE 1

A.A 21 i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 501501900101 ψψψψ

Dans les cas où la vérification de l'équilibre statique inclut également la résistance d'éléments structuraux, voir la note 1 de l’annexe nationale.

STR /GEO SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES

6.10 tableau A1.2 (B)(F)

Pour le dimensionnement des éléments structuraux non soumis à des actions géotechniques (EN 1990 A1.3.1 (4))

B.A 21 i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 501501001351 ψψψψ

Les valeurs caractéristiques de toutes les actions permanentes d'une même origine sont multipliées par γγγγG,sup si l'effet total résultant de ces actions est défavorable, et γγγγ G,inf si cet effet est favorable. Par exemple, toutes les actions provenant du poids p ropre de la structure peuvent être considérées comme émanant d'une même o rigine ; cela s'applique également si différents matériaux sont c oncernés.

STR /GEO SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES

6.10 tableau A1.2 (C)(F)

Éventuellement pour le dimensionnement des éléments structuraux soumis à des actions géotechniques (EN 1990 A1.3.1 (4))

C.A 21 i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 301301001001 ψψψψ

D’après l’annexe nationale, Il convient pour vérifi er le dimensionnement d’utiliser Pour les bâtiments la combinaison fondamentale est b asée sur l’expression 6.10 voir clause A.1.3 AN Pour les bâtiments courants sans étages en sous sol, l’approche 2 est recommandée : il faut utiliser le tableau A1.2 (B) (F) voir AN A1.3 note Il convient de vérifier le dimensionnement des élém ents structuraux (semelles, pieux, murs de soubasse ment, etc.)

(STR) soumis à des actions géotechniques, et la rési stance du terrain (GEO, voir 6.4.1), en utilisant l' une des trois approches suivantes complétées, pour les actions gé otechniques et les résistances par l’EN 1997 :

Approche 1 : Application, dans des calculs séparés, de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2(C) et du Tableau A1.2(B) aux actions géotechniques, aussi bien aux qu’aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.

Il faut envisager 2 études séparées : Équation B.A 21 pour toutes les actions

Équation C.A 21 pour toutes les actions

Dans des cas courants, le dimensionnement des fondations est régi par le Tableau A1.2(C) et la résistance structurale est régie par le Tableau A1.2(B) ; NOTE Dans certains cas, l'application de ces tableaux est plus complexe, voir l’EN 1997.

Approche 2 : Application de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2 (B) aux actions géotechniques ainsi qu’aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.

Équation B.A 21 pour toutes les actions

Approche 3 : Application de valeurs de calcul provenant du Tableau A1.2(C) aux actions géotechniques et, simultanément, application de coefficients partiels du Tableau A1.2(B) aux autres actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci.

Équation B.A 21 pour les actions appliquées à la structure (except ées les actions d’origine géotechnique)

ou en provenance de celle-ci et Équation C.A 21 pour les actions géotechniques

Pour les bâtiments possédant plusieurs étages en sou s sol, dotés de parois assurant à la fois une fonct ion porteuse et une fonction de soutènement, l’approche 3 peut être spécifiée :

application de valeurs de calcul du tableau A1.2 © (F) i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 301301001001 ψψψψ aux

actions géotechniques et simultanément , applicati on de coefs partiels du tableau A1.2 (B) aux autres actions appliquées à la structure. L’approche 2 peut aussi être spécifiée dans les doc uments de marché Par exemple , l’étude d’un mur de soutènement ou d’un voile de sous-sol s’effectuera soit avec l’approche 2 soit avec l’approche 3 Avec l’ Approche n° 2 2121 RMB.A ++++++++ voir EC 7

1M Facteurs partiels pour les paramètres du sol Mγγγγ tous égaux à 1

2R Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations superficielles, ouvrages de so utènement, …. Voir EC7 Conclusion : utilisons exclusivement l’approche 2 p our STR/GEO, elle est recommandée dans l’ouvrage de M Calgaro et Cortade et de plus elle est proche de nos habitu des

EN 1990 A1.3.1 (5)

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2.3. Rappels de l’EC 7

Approche Approche n° 1

111 RMA ++++++++

122 RMA ++++++++

Il faut vérifier les 2 combinaisons, considérer la plus défavorable Pour toutes les actions

1A i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 501501001351 ψψψψ

Pour toutes les actions

2A i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 301301001001 ψψψψ

Approche n° 2

211 RMA ++++++++

Préconisée par Calgaro Pour toutes les actions

1A i,ki

i,,kinf,ksup,k Q,Q,G,G, ∑∑∑∑>>>>

++++++++++++1

01 501501001351 ψψψψ

STR /GEO

SITUATIONS DURABLES ET TRANSITOIRES

STR résistance des

structures de bât soumise à des

actions géotechniques

GEO Défaillance ou déformation

excessive du sol Approche n° 3

3221 RMAouA ++++++++ 1A pour les actions provenant de la structure

2A pour les actions géotechniques

Facteurs partiels pour les paramètres du sol Mγγγγ 1M 2M

Angle de frottement interne 'ϕϕϕϕγγγγ 1

251,'tan'tan

'

ϕϕϕϕγγγγ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

====

Résistance en compression simple quγγγγ 1 41,

cohésion effective 'cγγγγ 1 251,

Cohésion non drainée cuγγγγ 1 41,

Poids volumique γγγγγγγγ 1 1

Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations superficielles et ouvrages de soutènement

Résistance Symbole Ensemble 1R 2R 3R

Portance v;Rγγγγ 1 41, 1

Glissement h;Rγγγγ 1 11, 1

Résistance des terres (pour soutènement) e;Rγγγγ 1 41, 1

Facteurs partiels de résistance Rγγγγ pour les fondations sur pieux (voir A.3.3.2)

Pour les pieux foncés, forés et à la tarière continu e

Pγγγγ représente la résistance en pointe, Sγγγγ représente la résistance par frottement latéral su r le fût des pieux en

compression, t,Sγγγγ représente la résistance par frottement latéral su r le fût des pieux en tractionon,

ensemble 2R Pγγγγ = Sγγγγ = 1,1 et t,Sγγγγ 1,15

2.4. Exemple État limite d’équilibre statique (E.Q. U.)

1,5 Q

1,1 G

A B

0,9 G

Cela consiste à vérifier le non-soulèvement d’un appui par exemple. Cette vérification se rencontre dans le cas de poutres dont la travée se prolonge en console, et dont l’appui B est du type plaque d’appui.

2.5. Actions accidentelles

∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>

++++++++++++++++1 1

211211j i

i,ki,,k,,dj,k Q""Q)ou(""A""P""G ψψψψψψψψψψψψ dA représente l’action accidentelle de calcul

2.6. Actions sismiques

∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ ≥≥≥≥

++++++++++++1 1

2j i

i,ki,Edj,k Q""A""P""G ψψψψ EdA représente l’action sismique de calcul

Page 8: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 8/62 03/07/2009

2.7. Etats limites de service

2.7.1. Vérifications à effectuer Les vérifications vis-à-vis des états-limites de service se traduisent par l’inéquation suivante :

E Cd d≤

avec :

Ed : effet de calcul d’actions, déterminé en fonction de l’une des combinaisons définies ci-dessous. Il faut déterminer le cas de

chargement le plus défavorable

Cd : valeur de calcul de matériaux correspondant au critère d’aptitude au service considéré

Combinaison caractéristique ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>

++++++++++++1 1

01j i

i,ki,,kj,k Q""Q""P""G ψψψψ Correspond à un état limite irréversible

Combinaison fréquente ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ >>>>

++++++++++++1 1

2111j i

i,ki,,k,j,k Q""Q""P""G ψψψψψψψψ

Combinaison quasi permanente ∑∑∑∑ ∑∑∑∑≥≥≥≥ ≥≥≥≥

++++++++1 1

2j i

i,ki,j,k Q""P""G ψψψψ

Exemple : Bâtiment bureaux ou habitation neige alti tude <1000m, pour des éléments ne participant pas a u

contreventement de l’ouvrage et donc ne reprenant p as l’action du vent Combinaison caractéristique QG ++++ 0 7G S , Q+ + ×

0 5G Q , S+ + ×

Combinaison fréquente Q,G 50++++ 0 2 0 3G , S , Q+ × + ×

Combinaison quasi permanente Q,G 30++++

EN 1990 2.3.4

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2.8. Exemple n°1 : bâtiment courant

2.8.1. Hypothèse : bâtiments courants tels que :

Charge d’exploitation (habitation, bureaux, lieux d e réunion, commerce, parkings) : 700 ,====ψψψψ

neige altitude<1000m 500 ,====ψψψψ

vent 600 ,====ψψψψ

La charge d’entretien n’est pas compatible avec la neige et le vent La charge d’exploitation d’entretien n’intervient que localement (si répartie, agit sur une surface de 10m2 au plus (rapport des dimensions de la surface au plus égale à 2) : par exemple l’étude d’une panne.

0210 ============ ψψψψψψψψψψψψ

Le poids propre des cloisons mobiles peut être assi milé à une charge uniformément répartie qu’il convi ent d’ajouter aux charges d’exploitation.

2.8.2. Pour des éléments ne participant pas au cont reventement de l’ouvrage et donc ne reprenant pas l’action du vent.

EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante

1 10 0 90 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante

STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante

1 35 1 00 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante

G,351

Q,501

S, S0501 ψψψψ

G,351

G,351 Q,501

Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable de neige avec la valeur de combinaison

G,351

Q, Q0501 ψψψψ

S,501

G,351

G,351 Q, Q0501 ψψψψ

Charge de neige dominante Accompagnement : action variable de la surcharge d’exploitation avec la valeur de combinaison

Page 10: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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2.8.3. pour des éléments participant au contrevente ment de l’ouvrage et donc reprenant l’action du vent. (rarement étudiés en BTS bâtiment)

EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S , , W+ + + × × + × × charge d’exploitation

dominante

1 10 0 90 1 50 1 50 0 7 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q , , W+ + + × × + × × neige dominante

STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S , , W+ + + × × + × × charge d’exploitation

dominante

1 35 1 00 1 50 1 50 0 7 1 50 0 6k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q , , W+ + + × × + × × neige dominante

1 35 1 00 1 50 1 50 0 7 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , W , , Q , , S+ + + × × + × × vent dominant

il faut considérer en plus des cas précédents :

W, W0501 ψψψψG,351

Q, Q0501 ψψψψ

S,501

G,351

G,351 Q, Q0501 ψψψψ

W, W0501 ψψψψ

W, W0501 ψψψψ

Charge de neige dominante Accompagnement : action variable de la surcharge d’exploitation et du vent avec la valeur de combinaison

W, W0501 ψψψψG,351

G,351

G,351

W, W0501 ψψψψ

W, W0501 ψψψψ

S, S0501 ψψψψ

Q,501

Q,501

Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable de neige et du vent avec les valeurs de combinaison

W, W0501 ψψψψG,351

G,351

G,351

W, W0501 ψψψψ

W, W0501 ψψψψ

Q,501

Q,501

Charge d’exploitation dominante Accompagnement : action variable du vent avec la valeur de combinaison Sur la toiture la surcharge d’entretien n’est pas compatible avec le vent

GW,501

W,501

W,501

G

G

Charge de vent dominante Charges verticales favorables

W,501

G,351

Q, Q0501 ψψψψG,351

G,351 Q, Q0501 ψψψψ

W,501

W,501

Charge de vent dominante Charges verticales défavorables Sur la toiture la surcharge d’entretien n’est pas compatible avec le vent

W,501

G,351

Q, Q0501 ψψψψG,351

G,351 Q, Q0501 ψψψψ

W,501

W,501

S, S0501 ψψψψ

Charge de vent dominante Charges verticales défavorables

Remarque : L’ Eurocode XP ENV 1991-1 (avril 1996) admettait po ur les bâtiments des combinaisons simplifiées pour 2 ou plus d’actions variables. (n’ apparaissent plus dans la version finale) (ELU) : États limites ultimes (combinaisons simpli fiées), pour les situations de projet durables et transitoires ;

++++++++++++

++++++++

WQ

SWQou

SQ

,G,n

max 351351 ;

++++++++++++

++++++++

WQ

SWQou

SQ

,Gn

min 351

(ELS) États limites de Service (combinaisons simpl ifiées) pour les combinaisons rares ou fréquentes;

++++++++++++

++++++++

WQ

SWQou

SQ

,Gn

90

Page 11: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 11/62 03/07/2009

2.9. Exemple n° 2

21p22p

11p12p

2F

1F

Étude d’un bâtiment à 2 niveaux constitué d’une travée se prolongeant en console. Définition des cas de chargement basés sur l’ensemble B B.A 21 conformément au DAN. États limites ultime s, situation de projet définitive ou provisoire et situation de projet accidentelle (neige exceptionnelle)

2.9.1. Hypothèses : bâtiments

charge d’exploitation (habitation, bureaux, lieux d e réunion, commerce, parkings : 700 ,====ψψψψ )

neige altitude < 1000m : 500 ,====ψψψψ ; Vent : 600 ,====ψψψψ ,

La toiture terrasse (ou toiture) est non accessible . La charge d’entretien sur la toiture terrasse (ou t oiture) n’est pas compatible avec la neige et le ve nt. Le poids propre des cloisons mobiles peut être assi milé à une charge uniformément répartie qu’il convi ent d’ajouter aux charges d’exploitation.

EQU 1 10 0 90 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante

1 10 0 90 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante

STR/GEO 1 35 1 00 1 50 1 50 0 5k ,sup k ,inf, G , G , Q , , S+ + + × × charge d’exploitation dominante

1 35 1 00 1 50 1 50 0 7k ,sup k ,inf, G , G , S , , Q+ + + × × neige dominante

2.9.2. Pour des éléments ne participant pas au cont reventement de l’ouvrage et donc ne reprenant pas l’action du vent. 021 ======== FF

En considérant les surcharges sur le plancher domin antes

11p 12p 21p 22p

1 Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++

2 Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351

3 Q,G 501++++ G Q,G 501++++ G

4 G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++

5 G Q,G 501++++ G Q,G 501++++

Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++

Q,G, 501351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++

G,351 Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++

Q,G 501++++ Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++

Q,G 501++++ G S,G 750++++ S,G 750++++

G Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++

Page 12: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante

11p 12p 21p 22p

Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++

Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++

G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++

Q,G 051++++ G S,G 51++++ S,G 51++++

G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++

Situation exceptionnelle : neige exceptionnelle AS considérée comme accidentelle

11p 12p 21p 22p

QG Q2ψψψψ++++ QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++

QG Q2ψψψψ++++ G ASG ++++ ASG ++++

G QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++

2.9.3. Pour des éléments participant au contrevente ment de l’ouvrage et donc reprenant l’action du vent. (rarement étudiés en BTS bâtiment)

En considérant les surcharges sur le plancher domin antes

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ G,351 W,90

Q,G, 501351 ++++ G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 W,90

Q,G 501++++ G Q,G 501++++ G W,90

G,351 Q,G, 501351 ++++ G,351 G,351 W,90

G Q,G 501++++ G G W,90

Q,G, 501351 ++++ Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90

Q,G, 501351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90

G,351 Q,G, 501351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,90

Q,G 501++++ Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,90

Q,G 501++++ G S,G 750++++ S,G 750++++ W,90

G Q,G 501++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,90

En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante

11p 12p 21p 22p

Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90

Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90

G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51351 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90

Q,G 051++++ G S,G 51++++ S,G 51++++ W,90

G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++ W,90

Page 13: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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Situation exceptionnelle : neige exceptionnelle AS considérée comme accidentelle

11p 12p 21p 22p

QG Q2ψψψψ++++ QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ

QG Q2ψψψψ++++ G ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ

G QG Q2ψψψψ++++ ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ

G G ASG ++++ ASG ++++ WW2ψψψψ

En considérant l’action du vent dominante

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ G,351 W,51

Q,G, 051351 ++++ G,351 Q,G, 051351 ++++ G,351 W,51

Q,G 051++++ G Q,G 051++++ G W,51

G,351 Q,G, 051351 ++++ G,351 G,351 W,51

G Q,G 051++++ G G W,51

Q,G, 051351 ++++ Q,G, 051351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51

Q,G, 051351 ++++ G,351 S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51

G,351 Q,G, 051351 ++++ S,G, 750351 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51

Q,G 051++++ G S,G 750++++ S,G 750++++ W,51

G Q,G 051++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,51

Page 14: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 14/62 03/07/2009

2.9.4. Valeurs de calcul d’actions (EQU) ensemble A tableau A1.2 (A) (F) En considérant les surcharges sur le plancher domin antes

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,90 Q,G, 50111 ++++ G,90 G,11 W,90

En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,90 Q,G, 05111 ++++ S,G, 5190 ++++ S,G, 5111 ++++ W,90

G,90 G,11 S,G, 5190 ++++ S,G, 5111 ++++ W,90

En considérant l’action du vent dominante

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,90 Q,G, 05111 ++++ G,90 G,11 W,51

G,90 Q,G, 05111 ++++ S,G, 75090 ++++ S,G, 75011 ++++ W,51

2.9.5. NOTE 1 Dans les cas où la vérification de l'équilibre stat ique inclut également la résistance d'éléments tableau A1.2 (A) (F) Pour les éléments structuraux, une vérification combinée peut être définie pour le projet individuel, fondée sur le Tableau A1.2(A)(F) de la présente Annexe Nationale, en remplacement de deux vérifications séparées fondées sur les Tableaux A1.2(A)(F) et A1.2(B)(F) de la présente Annexe Nationale, avec l'ensemble de valeurs suivant : γγγγ Gj,sup = 1,35

γγγγ Gj,inf = 1,15

γγγγ Q,1 = 1,50 si défavorable (0 si favorable)

γγγγ Q,i = 1,50 si défavorable (0 si favorable)

à condition que l'application de γγγγ G,inf = 1,00 à la fois à la partie favorable et à la partie défavorable des actions

permanentes, n'entraîne pas un effet plus défavorable. En considérant les surcharges sur le plancher domin antes

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,151 Q,G, 501351 ++++ G,151 G,351 W,90

G Q,G 501++++ G G W,90

En considérant la neige sur la toiture terrasse dom inante

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,151 Q,G, 051351 ++++ S,G, 51151 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90

G,151 G,351 S,G, 51151 ++++ S,G, 51351 ++++ W,90

G Q,G 051++++ S,G 51++++ S,G 51++++ W,90

G G S,G 51++++ S,G 51++++ W,90

En considérant l’action du vent dominante

11p 12p 21p 22p 21 FF ====

G,151 Q,G, 051351 ++++ G,151 G,351 W,51

G,151 Q,G, 051351 ++++ S,G, 750151 ++++ S,G, 750351 ++++ W,51

G Q,G 051++++ G G W,51

G Q,G 051++++ S,G 750++++ S,G 750++++ W,51

Page 15: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 15/62 03/07/2009

3. Béton ELU

3.1. classes de résistance

L’élément le plus caractéristique de la section 3 est l’introduction des classes de résistance du béton correspondant à une valeur spécifiée de la résistance caractéristique à la compression (à 28 jours).

14 classes sont définies (introduisant les bétons à hautes performances, la nomenclature de chaque classe est de la forme Y/CX ou X et Y sont respectivement les valeurs (en Mpa) de la résistance à la compression

mesurée sur cylindre et sur cube : C f fck ck cube/ , de 1512 /C à 10590/C .

Le projet doit être élaboré à partir d’une classe de résistance du béton correspondant à une valeur spécifiée de la

résistance caractéristique à la compression à 28 jours d'âge. résistance caractéristique " notée fck . tableau 3.1 partiel

classe de résistance en béton C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1

0 05ctk , ,f

0 95ctk , ,f

1,1

2,0

1,3

2,5

1,5

2,9

1,8

3,3

2,0

3,8

2,2

4,2

2,5

4,6

2,7

4,9

2,9

5,3

Résistance à la compression : La résistance en compression du béton est désignée par des classes de résistance liées à la résistance caractéristique (fractile 5%) mesurée sur cylindre fck ou sur cube cube,ckf , conformément à l'EN 206-1.

0 1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰ (‰)

PARABOLE RECTANGLE

diagramme réel

diagramme de calcul à l'ELUR

cdf

f ck

σ c

2cεεεε 2cuεεεε

εc

MPaf ck 50≤≤≤≤

32 1053 −−−−==== ,cuεεεε

3

2 102 −−−−====cεεεε

σc : contrainte réelle de compression dans le béton

εc : déformation relative du béton comprimé

f ck : résistance caractéristique à la compression du béton âgé de 28 jours

fcd : résistance de calcul du béton à la compression à

l' E.L.U C

ckcccd

ff

γγγγαααα==== 3.15

Cγγγγ : coefficient de sécurité partiel appliqué au

béton voir 2.4.2.4

51,C ====γγγγ situations transitoire et durable

21,C ====γγγγ situations accidentelles

ccαααα : coefficient utilisé pour tenir compte des

effets à long terme sur la résistance à la compression et des effets défavorables dus à la manière dont la charge est appliquée.

1800 ≤≤≤≤≤≤≤≤ cc, αααα

1====ccαααα voir annexe nationale

Diagrammes des déformations et des contraintes, dan s la zone comprimée dans une section droite de pout re fléchie : en pratique, on substitue au diagramme de calcul th éorique « parabole-rectangle » un diagramme simplif ié équivalent de forme rectangulaire.

3.1.7(3)

Tableau 3.1 EN 206-1

Page 16: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 16/62 03/07/2009

A défaut de résultats d'essai, on admet que pour t ≤≤≤≤ 28 jours: (ces expressions sont intéressantes pour un certain nombre de phases ( décoffrage d’éléments préfabriqués)

(((( )))) (((( )))) joursttftf MPacmck 2838 <<<<<<<<−−−−====

( ) ( )cm cc cmf t t fββββ= × (3.1)

(((( )))) jourstftf ckck 28≥≥≥≥====

(5) II peut être nécessaire de spécifier la résistance en compression du béton, (((( ))))tf cm , à

l'instant t , pour un certain nombre de phases (décoffrage, transfert de précontrainte par exemple),

jourst 3≤≤≤≤ II convient de fonder des valeurs plus précises sur des essais

(6) La résistance en compression du béton à l'âge t dépend du type de ciment, de la température et des conditions de cure. Pour une température moyenne de 20°C et une c ure conforme à l'EN 12390, la résistance en compression du béton à différents âges t , (((( ))))tf cm , peut être estimée à l'aide des Expressions (3.1) et (3.2).

( ) ( )cm cc cmf t t fββββ= × (3.1) (((( ))))

−−−−

====

2128

1/

ts

cc etββββ (3.2)

(((( ))))tf cm est la résistance moyenne en compression du béton à l'âge de t jours

cmf est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours, conformément au Tableau 3.1

(((( ))))tccββββ est un coefficient qui dépend de l'âge t du béton.

t est l'âge du béton, en jours

s est un coefficient qui dépend du type de ciment :

= 0,20 pour les ciments de classe de résistance CEM 42,5 R, CEM 53,5 N et CEM 53,5 R (Classe R) = 0,25 pour les ciments de classe de résistance CEM 32,5 R, CEM 42,5 N (Classe N) = 0,38 pour les ciments de classe de résistance CEM 32,5 N (Classe S)

Dans le cas où une cure thermique est appliquée à l'élément, on se reportera à 10.3.1.1 (3).

Zone comprimée

Axe neutre

Section droite Déformations Contraintes normales de compression

Répartitionparabole-rectangle

Répartitionrectangulaire-simplifié

cdfηηηηcdf

sσσσσsσσσσ

cεεεε

sεεεε sF

cF

sA

xλλλλd

Zone tendue

Le coefficient λλλλ définit la hauteur utile de la zone de béton comprimé

80,====λλλλ MPaf ck 50≤≤≤≤ 3.19

(((( ))))400

5080

−−−−−−−−==== ckf

,λλλλ MPafMPa ck 9050 ≤≤≤≤<<<< 3.20

Le coefficient ηηηη définit la résistance effective 1====ηηηη MPaf ck 50≤≤≤≤ 3.21

(((( ))))200

501

−−−−−−−−==== ckfηηηη MPafMPa ck 9050 ≤≤≤≤<<<< 3.22

Réduire cdfηηηη de 10% si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée

3.1.2

Page 17: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 17/62 03/07/2009

Classes de résistance du béton Expression analytique commentaires

f ck (MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90

cube,ckf

(MPa)

15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105

cmf (MPa) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 8++++==== ckcm ff (MPa)

ctmf (MPa) 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 (((( ))))32300 ckctm f,f ××××====

pour 6050/C≤≤≤≤

[[[[ ]]]]101122 /fln,f cmctm ++++××××====

pour 6050/C>>>>

050,,ctkf

(MPa)

1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5 ctm,,ctk f,f ××××==== 70050

fractile 5%

950,,ctkf

(MPa)

2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 ctm,,ctk f,f ××××==== 31950

fractile 95%

cmE (GPa) 27 29 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41 42 44 [[[[ ]]]] 301022 ,cmcm /fE ==== cmf en (MPa)

correctif en fonction des granulats basalte X 1,2 quartzites X 1 calcaires X 0,9 grés X 0,7

1cεεεε (((( ))))000 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 Voir Figure 3.2

1cεεεε (((( ))))000 8270 310 ,f, ,

cm ≤≤≤≤××××====

1cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 Voir Figure 3.2

Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

1cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100982782 /f, cm−−−−++++====

2cεεεε (((( ))))000 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Voir Figure 3.3

Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

2cεεεε (((( ))))000 (((( )))) 53050085002 ,

ckf,, −−−−++++====

2cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Voir Figure 3.3

Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

2cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100903562 /f, ck−−−−++++====

n

2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

(((( ))))[[[[ ]]]]41009042341 /f,,n ck−−−−++++====

3cεεεε (((( ))))000 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 Voir Figure 3.4

Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

3cεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4050550751 /f,, ck −−−−++++====

3cuεεεε (((( ))))000 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Voir Figure 3.4

Pour MPaf ck 50≥≥≥≥

3cuεεεε (((( ))))000 (((( ))))[[[[ ]]]]4100903562 /f, ck−−−−++++====

Clause 3.1.3 (2) Note sur Le module d'élasticité du béton donné par le Tableau 3.1 DAN Le module d'élasticité du béton donné par le Tableau 3.1 de la norme NF EN 1992-1-1 (NF P18-7111-1) s'applique directement pour les granulats de masse volumique comprise entre 2,5 et 2,7 (c'est généralement le cas de granulats de type silico-calcaire). Des valeurs différentes de celles proposées dans le Tableau 3.1 peuvent être proposées pourvu qu’elles soient justifiées par des essais, sachant que la valeur du module d’élasticité peut s’écarter de plusieurs dizaines de % des valeurs proposées pour d’autres raisons que la nature des granulats notamment la présence d’air entraîné et le volume de pâte. Des valeurs différentes peuvent être envisagées pour le cas des fondations profondes, écrans de soutènement, et autres ouvrages de fondations profondes. Elles sont fixées dans les normes correspondantes.

Page 18: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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Classes de résistance du béton Expression analytique commentaires

f ck (MPa)

12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90

λλλλ 80,====λλλλ 0,788 0,775 0,75 0,725 0,7 hauteur utile de la zone de béton comprimé

(((( ))))400

5080

−−−−−−−−==== ckf

,λλλλ si MPaf ck 50>>>>

ηηηη 1====ηηηη 0,975 0,95 0,9 0,85 0,8 la résistance effective

(((( ))))200

501

−−−−−−−−==== ckfηηηη si MPaf ck 50>>>>

νννν 0,572 0,562 0,552 0,54 0,528 0,516 0,504 0,492 0,48 0,468 0,456 0,432 0,408 0,384 coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l’effort tranchant 6.2.2 (6)

−−−−====250

160 ckf,νννν

1νννν 601 ,====νννν (6.10.aN) 0,55 0,5 0,5 Pour les éléments en béton armé ou en béton précontraint, si la contrainte de calcul des armatures d'effort tranchant est inférieure à 80 % de la limite

caractéristique d'élasticité ykf

on peut adopter pour : 1νννν

50200901 ,/f, ck >>>>−−−−====νννν pour

ckf > 60 MPa (6.10.bN)

0,0785

0,0907

0,10137

0,11333

0,12415

0,1341

0,1433

0,152 0,1603

0,1681

0,17558

0,18965

0,2027

0,215

minv

1 20 034 /min ck

C

,v f

γγγγ= pour les dalles

bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré.

3 2 1 20 053 /min ck

C

,v k f

γγγγ= poutres et

dalles autres que celles ci-dessus

1 20 035 /min ck

C

,v f

γγγγ= voiles

min,wρρρρ

en °/000

5,6 6,4 7,2 8 8,8 9,5 10,2 10,8 11,4 11,9 12,4 13,4 14 ,4 15,2 min,wρρρρ pourcentage minimum

d’armatures d’effort tranchant

yk

ckmin,w f

f,080====ρρρρ 9.5N

min,lρρρρ

en °/00

1,3 1,3 1,3 1,35 1,51 1,67 1,82 1,98 2,14 2,19 2,29 2,4 2,5 2,6

dbA

w

min.smin,l ====ρρρρ

pourcentage d’armatures longitudinales condition de non fragilité

==== 00130260 ,;

f

f,max

yk

ctmmin.sρρρρ

9.1N ;

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Loi de comportement du béton : Diagramme bilinéai re

σ c

εc

cdf

f ck

3cuεεεε3cεεεε1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰

1,75‰

σ c

εc

3cuεεεε3cεεεε1‰ 2‰ 3‰ 3,5‰

1,75‰

28

27====ηηηηηηηη cdf

diagramme simplifiéde calcul à l'ELUR

x

xx9

7====λλλλ

MPaf ck 50≤≤≤≤

MPaf ck 50≤≤≤≤

xx9

7====λλλλx

cdfηηηη

28

27====ηηηη

cdf

1,75‰

3,5‰

3cuεεεε

3cεεεε

ε cσ c σ c

cF

x18

7

xbfF wcdc 4

3====

MPaf ck 50≤≤≤≤ MPaf ck 50≤≤≤≤ Déterminons l’intensité de la résultante : cF

Page 20: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 20/62 03/07/2009

xfF cdc 4

3==== le coefficient de remplissage : 4

3====ψψψψ

Équations du diagramme des contraintes en fonction de l’ordonnée y

yxfx

y cdc

2

20 ====≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ cdc fxy

x ====≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ2

Déterminons le moment par rapport à l’axe neutre hypothèse : section rectangulaire

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++========x

xwcd

x

wcd

c dybfdyybxf

dAM

2

2

0

2

ΩΩΩΩ

σσσσ

2 2 21 3 33 3 11 11

12 8 72 4 18 18w cd w cd w cd w cd cb f x b f x b f x b f x x xF+ = = =

Nous en déduisons le bras de levier x18

11

Nous en déduisons la position de la résultante par rapport à la fibre supérieure : x18

7

La hauteur du diagramme rectangulaire simplifié (plafonné) est représenté xx9

7====⇒⇒⇒⇒ λλλλ

3 7 27

4 9 28c cd w cd w w cdF f b x x f b xb f xλ η η ηλ η η ηλ η η ηλ η η η= = = ⇒ =

2827====ηηηη valeur proche de 1 d’ou la simplification admise en 3.1.7(3)

Démarche pour dimensionner les armatures

Calcul du moment réduit : 2

uu

w cd

Mb d f

µµµµ =

1

500434 7

1 15yk

s ydS

ff , MPa

,σσσσ

γγγγ= = = =

(((( )))) )( uu µµµµ−−−−−−−−==== 5627397

1αααα coefficient représentant la hauteur de béton comprimé d.x uαααα====

71

18u uz d αααα = −

11

us

u s

MA

z σσσσ= équation alternative 1

1

0 75 u w cds

s

, b dfA

αααασσσσ

=

L’application numérique montre que les résultats so nt très très proches de la méthode classique, (1/10 00 ); comme il n’y a pas d’économie à attendre de cette m éthode, on peut l’oublier.

Page 21: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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4. CARACTERISTIQUES DES ACIERS DU BETON ARME

4.1. Propriétés

Leur nuance, désignant la valeur spécifiée de la limite d'élasticité caractéristique ( f yk ou limite d’élasticité conventionnelle à

0,2% k,f 20 ) en N/mm2. 400 600ykf à MPa= , la nuance courante en France est 500S

(Il existe des aciers doux 215S , 235S . Ces aciers n’entrent pas dans le champ de l’EC2. Ces aciers ne sont pratiquement plus utilisés en béton armé sauf dans des cas très spécifiques : lorsque de nombreux pliages dépliages sont à prévoir et pour les crochets de levage d’éléments préfabriqués.)

Module d’élasticité longitudinale (Module d’Young) MPaEs 200000====

Masse volumique 7850kg

Coefficient de dilatation thermique 1510 −−−−−−−− K

Limite supérieure réelle d'élasticité ,maxyf

La résistance en traction tf .

La ductilité est définie : allongement relatif sous charge maximale ;ukεεεε t ykf f k=

Aptitude au pliage.

Leurs caractéristiques d’adhérence. ( Rf annexe C)

Leurs dimensions de la section et tolérances Leur soudabilité. Résistance à la fatigue Dimensions de la section et tolérances Résistance au cisaillement et résistance des soudures dans le cas de treillis soudés et des raidisseurs en armatures en treillis. Chaque livraison doit donner lieu à la délivrance d'un certificat donnant toutes les informations nécessaires à l'identification des produits, en fonction des éléments ci-dessus, et, si besoin, des informations complémentaires.

4.2. Propriétés mécaniques

Résistance : La limite d'élasticité f yk et la résistance à la traction f tk sont respectivement définies comme les valeurs caractéristiques

(fractile de 5%) de la limite d'élasticité et de la charge maximale sous traction directe, chacune de ces valeurs étant divisée par l'aire nominale de la section.

Pour les produits dont la limite d'élasticité f yk n'est pas fortement prononcée, cette valeur peut être remplacée par la limite caractéristique

d'élasticité conventionnelle à 0,2% d'allongement rémanent. f k0 2,

Caractéristiques de ductilité : Forme du produit : barres et fils redressés et trei llis soudés Dans le présent code, trois classes de ductilité so nt définies Classe A Ductilité normale Classe B Haute ductilité Classe C Très Haute ductilité

%,uk 52≥≥≥≥εεεε ; valeur du rapport %uk 5≥≥≥≥εεεε ; valeur du rapport : %,uk 57≥≥≥≥εεεε

1 05t

y k

fk ,f = ≥

1 08t

y k

fk ,f = ≥

la plus courante 1 15 1 35t

y k

f, k ,f ≤ = <

où εuk représente la valeur caractéristique de l'allongement sous charge maximale. (fig. 3.7)

L’identification d’une barre, du point de vue de sa classe de ductilité, est immédiate : classe B, l’inclinaison des nervures est contrariée sur les 2 cotés de la barre (disposition en arête de poisson) Classe A, l’inclinaison est toujours dans le même sens.

Figure 3.7 diagramme contraintes-déformations de l’ acier de béton armé types acier profilé à froid Acier laminé à chaud

σ

ε0,2% ukεεεε

k,f 20

k,t kff 20====

σ

ε

ykf

ukεεεε

ykt kff ====

Annexe C.1 Tableau C.1

Page 22: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 22/62 03/07/2009

4.2.1. - DIAGRAMME CONTRAINTE-DEFORMATION à l' E.L.U.: Pour les aciers en barres et les treillis-soudés les diagrammes contrainte-déformation sont définis conventionnellement par le graphe suivant :

Diagramme de calcul (à utiliser pour optimiser la s ection des armatures)

Branche supérieure inclinée, avec limite de déformation égale à udεεεε et une

contrainte maximale yk

s

fk

γγγγ pour ukεεεε , avec t

y k

fk

f

=

α

ydfykf

udεεεε

sEtan ====αααα

s

yd

E

fukεεεε

AB

diagramme simplifié

diagramme de calcul

sσσσσ

sεεεε

A

B

ykkf

S

ykfk

γγγγ

S

ykyd

ff

γγγγ====

Diagramme de calcul Branche supérieure horizontale, sans nécessité de vérifier la limite de déformation. Avec les BTS « bâtiment », pour simplifier, on pourrait utiliser ce diagramme ⇒⇒⇒⇒ pivot unique B

α

ydfykf

sEtan ====αααα

s

yd

E

fukεεεε

AB

diagramme simplifié

diagramme de calcul

sσσσσ

sεεεε

A

B

ykkf

S

ykyd

ff

γγγγ====

Exemple de l’acier de classe B la plus courante 1 08k ,=

La valeur de 500

434 81 15

ykyd

S

ff , MPa

,γγγγ= = = correspond une déformation

35

10172102

8434 −−−−======== ,,

E

f

s

yd

La déformation max 3 30 9 0 9 50 10 45 10ud uk, ,ε εε εε εε ε − −= = × =

L’équation de (((( ))))ss εεεεσσσσ pour la branche inclinée du diagramme bilinéaire ( 434 8s , MPaσσσσ > )

( ) ( )3 3

1 0 08 434 8

50 10 2 17 10s s yd yd yd yd

yd yd yds uk uk

s s s

f kf f f k , ,f f f ,E E E

σ εσ εσ εσ ε

ε ε εε ε εε ε εε ε ε− −

− − − ×= = =−− − −

( ) ( )1yd yds s yd s

yd suk

s

f k ff

f EE

σ ε εσ ε εσ ε εσ ε εεεεε

− = + −

( ) ( ) ( )3

33 3

10 2 170 08 434 8434 8 2 17 10 434 8 34 78

50 10 2 17 10 47 83s

s s s

,, ,, , , ,

, ,

εεεεσ ε εσ ε εσ ε εσ ε ε −

− −

−×= + − = +−

La contrainte qui lui correspond ( ) ( )45 2 17434 8 34 78 466

47 83s ud

,, , MPa

,σ εσ εσ εσ ε

−= + = constitue la contrainte max.

autre expression ( ) ( )1s s yd yd

yd yds uk

s s

f f k

f f

E E

σ εσ εσ εσ ε

ε εε εε εε ε

− −=

− −

( ) ( )1

yds

ss s yd yd

yduk

s

f

Ef f k

f

E

εεεεσ εσ εσ εσ ε

εεεε

−− = −

en notant le pourcentage de déformation

s

yduk

s

yds

E

fE

f

p

−−−−

−−−−====

εεεε

εεεε ( ) ( )1s s ydf pk pσ εσ εσ εσ ε = − +

Les diagrammes de calcul à l’E.L.U. des aciers se dé duisent des diagrammes réels en effectuant une affi nité

parallèlement à la droite passant par l’origine dan s le rapport Sγγγγ1 .

dans le cas général 151,S ====γγγγ et 1====Sγγγγ dans le cas d'action accidentelle

3.2.7

2.4.2.4

Page 23: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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5. - Classes d’exposition en fonction de l’environnement : tableau 4.1

Tableau 4.1 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement (norme NF EN 206-1)

Désignation de la classe

Description de l'environnement Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition

1 - Aucun risque de corrosion ni d'attaque

X0 - Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique - Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec

- Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est très faible

2 - Corrosion induite par carbonatation

XC1 - Sec ou humide en permanence - Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est faible - Béton submergé en permanence dans de l'eau

XC2 - Humide, rarement sec - Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau - Un grand nombre de fondations

XC3 - Humidité modérée - Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est moyen ou élevé - Béton extérieur abrité de la pluie

XC4 - Alternativement humide et sec - Surfaces de béton soumises au contact de l'eau, mais n'entrant pas dans la clases d'exposition XC2

3 - Corrosion induite par les chlorures

XD1 - Humidité modérée - Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne

XD2 - Humide, rarement sec - Piscines - Eléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures

XD3 - Alternativement humide et sec - Eléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures - Chaussées - Dalles de parcs de stationnement de véhicules

4 - Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer

XS1 - Exposé à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer

- Structures sur ou à proximité d'une côte

XS2 - Immergé en permanence - Eléments de structures marines

XS3 - Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns

- Eléments de structures marines

5 - Attaque gel/dégel

XF1 - Saturation modérée en eau, sans agent de déverglaçage

- Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel

XF2 - Saturation modérée en eau, avec agents de déverglaçage

- Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents de déverglaçage

XF3 - Forte saturation en eau, sans agents de déverglaçage - Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel

XF4 - Forte saturation en eau, avec agents de déverglaçage ou eau de mer

- Routes et tabliers de pont exposés aux agents de déverglaçage. - Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents de déverglaçage et au gel. - Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel

6 - Attaques chimiques

XA1 - Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2

- Sols naturels et eau dans le sol

XA2 - Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, Tableau 2

- Sols naturels et eau dans le sol

XA3 - Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2

- Sols naturels et eau dans le sol

A l’abri de la pluie, clos ou non, sans condensation. intérieur de bâtiment

Fondations, murs de soutènement

Voile,… Parement vertical extérieur

Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât.

A l’abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux de piscine. Dalle de bât. ou de pont protégée par une étanchéité. Parement extérieur protégés par des revêtements empêchant l’eau d’être en contact avec l’élément

Parement horizontal extérieur

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Note : La composition du béton affecte à la fois la protection des armatures et la résistance du béton aux attaques. L'Annexe E donne des classes de résistance indicatives pour les différentes classes d'exposition. Ceci peut conduire à choisir des classes résistance supérieures à celles requises par le calcul structural. Dans ce cas, il convient d'adopter pour fctm la résistance la plus élevée pour le calcul du ferraillage minimal et la maîtrise de l'ouverture des fissures (voir 7.3.2 – 7.3.4)

Un élément BA peut être soumis à plusieurs classes d’environnement, c’est la classe la plus défavorabl e qui est déterminante pour : l’ enrobage,….

5.1. Compléments de l’ANF

Notes au Tableau 4.1 NOTE 1 Le béton non armé se trouve dans d’autres classes d’exposition que X0 dès lors que ce béton comporte des armatures ou des pièces métalliques noyées et que l’environnement n’est pas classé « très sec ». NOTE 2 Les parties des bâtiments à l’abri de la pluie, que ceux ci soient clos ou non, sont à classer en XC1 à l’exception des parties exposées à des condensations importantes à la fois par leur fréquence et leur durée qui sont alors à classer en XC3. C’est le cas notamment de certaines parties - d’ouvrages industriels, - de buanderies, - de papeteries - de locaux de piscines - ……. …………….. NOTE 3 Sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d’art et les parties extérieures des bâtiments non protégées de la pluie, comme par exemple les façades, les pignons et les parties saillantes à l’extérieur, y compris les retours de ces parties concernés par les cheminements et/ou rejaillissements de l’eau. NOTE 4 Ne sont à classer en XD3 que les parties d’ouvrages soumises à des projections fréquentes et très fréquentes et contenant des chlorures et sous réserve d’absence de revêtement d’étanchéité assurant la protection du béton. Ne sont donc à classer en XD3 que les parties des parcs de stationnement de véhicules exposées directement aux sels contenant des chlorures (par exemple les parties supérieures des dalles et rampes) et ne comportant pas de revêtement pouvant assurer la protection du béton pendant la durée de vie du projet. NOTE 5 Sont à classer en XS3 les éléments de structures en zone de marnage et/ou exposés aux embruns lorsqu’ils sont situés à moins de 100 m de la côte, parfois plus, jusqu’à 500 m, suivant la topographie particulière. Sont à classer en XS1 les éléments de structures situés au delà de la zone de classement XS3 et situés à moins de 1 km de la côte, parfois plus, jusqu’à 5 km, lorsqu’ils sont exposés à un air véhiculant du sel marin, suivant la topographie particulière. NOTE 6 En France, les classes d’exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 sont indiquées dans la carte donnant les zones de gel, sauf spécification particulière notamment fondée sur l’état de saturation du béton (voir Annexe E en E.2 ou voir l’AN de l’EN 206-1 en NA 4.1, figure NA.2 et Note). Pour ces classes d’exposition XF, et sous réserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l’enrobage sera déterminé par référence à une classe d’exposition XC ou XD, comme indiqué en 4.4.1.2 (12). Les classes de référence à retenir pour l’enrobage uniquement sont les suivantes :

Classe d’exposition

XF1 XF2 XF3 XF4 Type de salage (cf. Recommandations GEL 2003)

Peu fréquent

XC4 Sans objet

XC4 si le béton est formulé sans entraîneur d’air XD1 si le béton est formulé avec entraîneur d’air

Sans objet

Page 25: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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fréquent

Sans objet

XD1, XD3 Pour éléments très exposés (*)

Sans objet

XD2, XD3 Pour éléments très exposés (*)

Très fréquent

Sans objet

Sans objet

Sans objet

XD3

(*) Pour les ponts : corniches, longrines d’ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation

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NOTE sur le GEL CARTE DE GEL (CF. norme NF EN 206-1)

GEL FAIBLE : jours3<<<< /an avec une température <-5°C GEL SÉVÈRE : jours10≥≥≥≥ /an avec une température <-10°C GEL MODÉRÉ : dans les autres cas Nota : La sévérité potentielle des dégradations dépend du nombre de cycles de gel-dégel, de la durée du gel (maintien prolongé du béton à de basses températures), de la température minimale atteinte et de la vitesse de chute de la température

Gel faible ou modéré XF1 (sans agent de déverglaçage) XF2 (avec agent de déverglaçage)

Gel sévère XF3 (sans agent de déverglaçage) XF4 (avec agent de déverglaçage)

NIVEAUX DE SALAGE Les niveaux de salage sont définis par référence à la carte des zones de rigueur hivernale Hi (SETRA de novembre 1994 «Aide à l’élaboration du dossier d’organisation de la viabilité hivernale »). n= nombre de jours de salage salage peu fréquent 10<<<<n H1 salage fréquent 3010 <<<<<<<< n H2 salage très fréquent 30>>>>n H3 et H4

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NOTE 7 Les exemples informatifs donnés pour les classes XA1, XA2 et XA3 sont à comprendre et préciser comme suit : - Éléments de structures en contact avec un sol agressif ou un liquide agressif - Ouvrages de Génie Civil soumis à des attaques chimiques (par exemple certains bâtiments de catégorie E (voir le 1.1.1 (1)P)), suivant les documents particuliers du marché. NOTE 8 Les risques de lixiviation et d’attaque par l’eau pure (par exemple condensation) sont à traiter dans les classes d’exposition XA1, XA2 et XA3 suivant leur sévérité.

5.2. Classes indicatives de résistance pour la dura bilité

(1) Le choix d'un béton à durabilité convenable pour la protection du béton et la protection des armatures de béton armé vis-à-vis de la corrosion passe par la considération de sa composition. Ceci peut amener à une résistance à la compression du béton plus élevée que celle exigée pour le dimensionnement de la structure. Le lien entre les classes de résistance du béton et les classes d'exposition (voir le Tableau 4.1) peut être décrit par des classes indicatives de résistance.

Tableau E.1.1 NF : Annexe Nationale Classes indicatives de résistance minimales

Classes d'exposition selon le Tableau 4.1 Corrosion

Corrosion induite par carbonatation

Corrosion induite par les chlorures

Corrosion induite par les chlorures de l'eau de mer

XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 Classe indicative de

résistance C20/25 C20/25 C25/30 C25/30 C30/37 C35/45 C30/37 C35/45

Dommages au béton

Aucun risque

Attaque par gel et dégel Attaque chimique

X0 XF1 XF2 XF3 XA1 XA2 XA3 Classe indicative de

résistance - C25/30 C25/30 C30/37 C30/37 C35/45 C40/50

Tableau E.1.2 NF : Annexe Nationale Classes indicatives de résistance minimales des pr oduits en béton préfabriqués

Classes d'exposition selon le Tableau 4.1 Corrosion

Corrosion induite par carbonatation

Corrosion induite par les chlorures

Corrosion induite par les chlorures de l'eau de mer

XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 Classe indicative de

résistance C25/30 C30/37

C30/37 C35/45 C35/45 C35/45 C40/50 C35/45 C40/50 C40/50

Dommages au béton

Aucun risque

Attaque par gel et dégel Attaque chimique

X0 XF1 XF2 XF3 XA1 XA2 XA3 Classe indicative de

résistance C20/25 C35/45 C35/45 C35/45 C35/45 C35/45 C40/50

4.2

Page 28: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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5.3. Enrobage

5.3.1. Définition de l’enrobage : L’enrobage est la distance entre la surface de l’ar mature (épingles, étriers et cadres compris, ainsi que les armatures de peau ) la plus proche de la surface du béton (parement) et cette dernière.

5.3.2. L’enrobage permet d’assurer : • la bonne transmission des forces d’adhérence (section 8) • l’absence d’épaufrures • résistance au feu EN 1992-1-2 • protection de l’acier contre la corrosion.

Cl

Ct

a

b

φ l

Ct

Cl

Ct

La notion d’enrobage concerne toutes les armatures (de résistance, de répartition, de peau y compris les armatures d’effort tranchant tels que les étriers et les épingles.).

c : enrobage ou couverture des aciers : distance par rapport au nu des armatures

lc : enrobage des aciers longitudinaux

tc : enrobage des aciers transversaux

gd : coefficient granulaire (Ø du plus gros granulat)

tφφφφ : diamètre des aciers transversaux

lφφφφ : diamètre des aciers longitudinaux

a : largeur d’un paquet de barres

b : hauteur d’un paquet de barres

5.3.3. L’enrobage minimum cmin ; l’enrobage nominal nomc

L’enrobage nominal doit être calculé pour chaque él ément ba, c’est une caractéristique géométrique intrinsèque qui doit être spécifiée sur les plans. L’enrobage minimum cmin requis doit d’abord être déterminé, il sera augmenté d’une valeur devc∆∆∆∆ correspondant

aux tolérances, le résultat obtenu constitue l’enrobage nominal nomc requis qui devra être spécifié sur les plans et

pris en compte dans les calculs. devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== 4.1

mm;cccc;cmaxc add,durst,dur,durdurmin,bmin,min 10∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ γγγγ −−−−−−−−++++====

bmin,c enrobage minimal vis-à-vis des exigences d'adhérence, voir 4.4.1.2 (3)

Il faut vérifier, pour chaque barre, l’enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou au diamètre équivalent du paquet de barres.

durmin,c enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement, voir 4.4.1.2 (5)

γγγγ∆∆∆∆ ,durc marge de sécurité, Annexe Nationale. La valeur recommandée est γγγγ∆∆∆∆ ,durc = 0 mm.

st,durc∆∆∆∆ réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable, Annexe Nationale. La valeur

recommandée est st,durc∆∆∆∆ = 0 mm.

add,durc∆∆∆∆ réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, Annexe Nationale. La

valeur recommandée, sans spécification supplémentaire, est add,durc∆∆∆∆ = 0 mm.

devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== 4.1 mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====

4.4.1.2 (5)

4.4.1.2 (3)

Page 29: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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(3) Pour assurer à la fois une transmission sans risque des forces d'adhérence et un béton suffisamment compact, il convient que l'enrobage minimal ne soit pas inférieur à bmin,c donné dans le Tableau 4.2.

Tableau 4.2 : Enrobage minimal bmin,c requis vis-à-vis de l'adhérence

Exigence vis-à-vis de l'adhérence

Disposition des armatures Enrobage minimal *

bmin,c

Armature individuelle Diamètre de la barre φφφφ

Paquet Diamètre équivalent nφφφφ (voir 8.9.1)

*: Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer bmin,c de 5mm

L'enrobage minimal des armatures de béton armé, conformes à l'EN 10080, dans un béton de masse volumique courante, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par. durmin,c .

tableau 4.4 enrobages minimaux dur,minc requis pour un béton de classe structurale courante S4

Degrés d’exposition, conformément au tableau 4.1 X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

Enrobage minimal (mm)

armatures passives

10 15 25 30 35 40 45

Valeur de valeur devc∆∆∆∆ correspondant aux tolérances généralement mmcdev 10====∆∆∆∆ Clause 4.4.1.3 (3) Note

La valeur à utiliser pour devc∆∆∆∆ est la suivante :

– Lorsque la réalisation est soumise à un système d'assurance qualité dans lequel la surveillance inclut des mesures de l'enrobage des armatures avant coulage du béton, il est possible de réduire la marge de calcul pour tolérance d'exécution, de

sorte que : mmcmm dev 105 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆

– Lorsqu'on peut garantir l'utilisation d'un appareil de mesure très précis pour la surveillance ainsi que le rejet des éléments non conformes (éléments préfabriqués, par exemple), il est possible de réduire la marge de calcul pour tolérance d'exécution, de

sorte que : mmcdev 100 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆

– Lorsque la conception et l'exécution des éléments d’ouvrages y compris leur ferraillage sont soumis à un système d’assurance qualité couvrant toutes les phases de la conception à l’exécution et comprenant les impositions suivantes et ce pour toutes les classes d’exposition, en phase de conception et dessin : élaboration des dessins de détail à une grande échelle des ferraillages sensibles

(coupe sur bandeau, lisse, parapet,…), précisant les enrobages et les façonnages, en phase de ferraillage : réception des aciers façonnés et contrôle de leurs dimensions, en phase mise en place dans coffrage : élaboration des plans de calage des aciers (type de cales, fréquence des cales,

fixation des cales,….) ; réception des ferraillages et contrôle des enrobages avant coulage, en phase de mise en œuvre du béton : le cas échéant et en tant que de besoin, confection d’un élément témoin,

mmcdev 100 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∆∆∆∆

enrobage nominal = béton coulé au contact avec un b éton de propreté mmk 301 ====

enrobage nominal = béton en contact direct avec le sol mmk 652 ====

Remarque NOTE : L’attention est attirée sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage nomc

supérieur à 50 mm. (risque d’épaufrures, on peut dans ce cas réaliser des chanfreins) Il est donc recommandé, en cas d’environnement agressif, d’utiliser les dispositions du Tableau 4.3NF et les clauses 4.4.1.2 (7) et (8) et 4.4.1.3 (3) pour diminuer l’enrobage ou des aciers inox ou diminuer la tolérance par la mise en place d’un système de qualité…

4.4.1.3(4)

Page 30: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 30/62 03/07/2009

L’attention est également attirée sur les difficult és de bétonnage auxquels risque de conduire un enro bage

nomc inférieur à la dimension nominale du plus gros gran ulat. 4.4.1.2(5) NOTE NA

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5.3.4. -: Groupement de barres à haute adhérence

Les paquets jusqu’à 3 barres sont autorisés en trac tion Les paquets de 4 barres sont autorisés pour des bar res verticales en compression et dans les zones de recouvrement

sens du coulage

Paquets interdits

En pratique, les groupements sont limités à 2 barre s. Lorsque deux barres en contact sont disposées l'une au-dessus de l'autre, et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, il n'est pas nécessaire de traiter ces barres comme un paquet.

5.3.5. - Conditions de bétonnage correct :

-

1

2

n max

g

k

e sup d k

20 mm

φφφφ≥ + 11 ====k mmk 52 ====

Lorsque toutes les barres du paquet ont le même diamètre φφφφ :

mmnbn 55≤= φφφφφφφφ ; bn nombre de barres du paquet

gd plus grande dimension nominale d’un granulat

Le rapport des diamètres d’un paquet ne doit pas excéder 1,7

sinon nφφφφ est le diamètre d’une barre fictive équivalente de

même aire et de même centre de gravité que pour l’ensemble des barres composant le paquet.

2 55n ii

mmφ φφ φφ φφ φ= ≤∑

C e

Paquet de barresou barres isolées

φnφn

φnC

e

φn

Remarque : pour la sécurité incendie, on a intérêt à séparer les différents lits d’armatures. Clause 8.2 (2) Note DAN

Les valeurs de k1 et k2 à utiliser sont celles recommandées sauf dispositions contraires dans les normes spécifiques à certains types d’ouvrages de fondations profondes (par exemple la norme NF EN 1536 pour les pieux forés, la norme NF P 94 262 pour les fondations profondes, la norme NF P 94-282 pour les écrans de soutènement)..

8.2

8.9.1 (4)

8.9

8.9.1 (4)

Plausible mais pénalisé par le diamètre équivalent

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5.4. Modulations de la classe structurale recommand ée, en vue de la détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N et 4.5NF.

- L'enrobage minimal requis des armatures de béton armé vis-à-vis de la durabilité dépend de la « classe structurale » de l’élément projeté.

- On distingue 6 classes structurales notées : S1, S2, S3, S4, S5 et S6.

- Plus la classe structurale d’un élément de structure est élevée et plus la valeur minimale de l'enrobage requis pour ses armatures de béton armé vis-à-vis de la durabilité sera importante.

- Les classes structurales à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. La Classe Structurale recommandée pour une durée d'uti lisation de projet de 50 ans est la classe S4. - Le Tableau 4.3N ci-après donne les modifications de Classe Structurale recommandées en fonction des critères du projet et de l’élément de structure étudié.

Tableau 4.3NF : Modulations de la classe structural e recommandée, en vue de la détermination des enrobages minimaux durmin,c dans les Tableaux 4.4N et 4.5NF.

5.4.1. Classe structurale

Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Critère X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1/

XA1 3) XD2/XS2/

XA2 3) XD3/XS3/

XA3 3)

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

100 ans : majoration

de 2

Durée d'utilisation de projet

25 ans et moins : minoration

de 1

25 ans et moins : minoration

de 1

25 ans et moins : minoration

de 1

25 ans et moins : minoration

de 1

25 ans et moins : minoration

de 1

25 ans et moins :

minoration de 1

25 ans et moins : minoration

de 1

≥ C30/37 minoration de 1 point

≥ C30/37 minoration

de 1 point

≥ C30/37 minoration

de 1 point

≥ C35/45 minoration

de 1 point

≥ C40/50 minoration

de 1 point

≥ C40/50 minoration

de 1 point

≥ C45/55 minoration

de 1 point

Classe de résistance 1)

≥ C50/60 : minoration

de 2

≥ C50/60 : minoration de 2

≥ C55/67 : minoration de 2

≥ C60/75 : minoration de 2

≥ C60/75: minoration de 2

≥ C60/75: minoration de 2

≥ C70/85 : minoration de 2

Nature du liant

Béton de classe ≥ C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1

Béton de classe ≥ C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1

Béton de classe ≥ C40/50 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1

Enrobage compact 2)

minoration de 1

minoration de 1

minoration de 1

minoration de 1

minoration de 1

minoration de 1

minoration de 1

Note 1 : Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d’un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d’adopter, sur la base d’indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages », ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes. Note 2 : Ce critère s’applique dans les éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie : - Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages industriels. - Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, ou faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages métalliques - Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l’accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration. Note 3 : Pour les classes d’exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d’une justification de la nature de l’agent agressif.

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5.5. détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N

- Les valeurs recommandées de durmin,c sont indiquées dans le Tableau 4.4N de la norme NF EN 1992-1-1

(Eurocode 2), rappelé ci-dessous. Tableau 4.4N : Valeurs de l'enrobage minimal durmin,c requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des

armatures de béton armé conformes à l’EN 10080

Exigence environnementale pour durmin,c (mm)

Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe structurale X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3 /XS3

S1 10 10 10 15 20 25 30 S2 10 10 15 20 25 30 35 S3 10 10 20 25 30 35 40 S4 10 15 25 30 35 40 45 S5 15 20 30 35 40 45 50 S6 20 25 35 40 45 50 55

Exemple : détermination de la classe structurale d’un élément de structure et de l’enrobage minimal / durabilité - Cas d’une dalle située à l’extérieur donc soumise aux intempéries et au contact de l’eau. - Classe de résistance du béton utilisé : C30/37 - Durée d’utilisation du projet : 100 ans Détermination de la classe d’EXPOSITION : XC4 (voir tableau 4.1) La classe STRUCTURALE recommandée par l’Eurocode 2 pour une durée d'utilisation de projet de 50 ans est S4 et nous avons : Une minoration de 1 point car élément assimilable à une dalle (voir tableau 4.3NF) Une majoration de 2 points car la durée d'utilisation du projet est de 100 ans (voir tableau 4.3N) donc la classe STRUCTURALE de la dalle est : S4 – 1 point + 2 points = S5 l'enrobage minimal cmin,dur (mm)= 35 mm

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1.1.1 Organigramme pour la détermination de l’enro bage :

Calcul de c min,b = max. (FFFF des armatures ou FFFFn des paquets de barres ) Il faut vérifier, pour chaque barre, l’enrobage min imum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou

au diamètre éq uivalent du paquet de barres.t

Dans du tableau 4.3NF ci -contre, on calcule la majoration ou la minoration de classe à appliquer à partir de la classe d’exposition de l’élément ba étudié X…

cmin = max. (c min,b ; c min,dur ; 10 mm)

Enrobage : C nom = cmin + ∆∆∆∆cdev Cnom = cmin + 10 mm Déterminons Cnom pour les armatures les plus proches du parement, généralement les armatures

transversales ou d’effort tranchant : mmmm;c;maxc durmin,tnom 1010 += φφφφ

Pour les armatures longitudinales, il faut vérifier :

[ ] 10nom t l nc ou mmφ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ+ ≥ + soit [ ] mmouc tnlnom 10+−≥ φφφφφφφφφφφφ et gnom dc ≥

soit [ ] 10 10nom t min,dur l n t gc max max ;c ; ou ; mm mm;dφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φφ φ φ φ= − +

Données : classe structurante S4 (projet pour 50 ans) classe d’exposition de l’élément ba étudié X… dg plus grande dimension nominale des granulats FFFF diamètre de l’armature ou FFFFn pour un paquet de barres fck, classe de résistance du béton

Dans le tableau 4.4N ci -contre, on détermine l’enrobage en fonction de la classe fictive Si

tolérances : ∆ ∆ ∆ ∆cdev = 10 mm

Détermination de : la Classe fictive Si

4====i + majorations éventuelles – minorations éventuelles

*

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Proposition d’enrobage nominal devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== éléments coulés en place ou préfabriqués

Hypothèses : Ces valeurs sont déterminées pour un b éton de classe de résistance indicative tableau mmcdev 10====∆∆∆∆ ; classe structurale S4 bâtiment

Exposition de l’élément, situation

A l’abri de la pluie, clos ou non, sans condensation. Intérieur de bâtiment :

Fondations, mur de soutènement

A l’abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux de piscine. Dalle de bât. ou de pont protégée par une étanchéité. Parement extérieur. protégés par des revêtements empêchant l’eau d’être en contact avec l’élément

Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât. Parement vertical extérieur

Parties aériennes d’ouvrages d’art ou de bât. Parement horizontal extérieur

Face supérieure de dalle de parking, rampe, non protégées par une étanchéité pendant la durée de vie de l’ouvrage sinon XC1, XC3 ou XC4/XF1

< 1 km de la côte

(cette distance peut être portée à 5

km m suivant

topographie particulière)

< 100 m de la côte (cette

distance peut être

portée à 500 m suivant

topographie particulière)

Classe d’exposition

1XC 2XC 3XC 4XC / 1XF 4XC / 3XF 3XD 1XS 3XS

Classes indicatives de résistance

2520/C 2520/C 3025/C 3025/C 3730 /C 4535/C

3730 /C

4535/C

dur,minc 15 25 25 30 30 45 35 45 Dalles

20

- 30

-

35 50 30 50

Poutres

25

- 35

40

40

- 45 55

Poteaux

25

- 35

40

-

- 45 55

Voiles

25 35 35 40 - - 45 55 Semelles de fondation

- 35 30 sur béton de propreté

sinon 65

- - - - - -

Minoration possible de devc∆∆∆∆ de 0 à 10 mm, si assurance qualité.

Minoration possible de dur,minc si classe de résistance supérieure à celle indiquée (voir tableaux 4.3NF et 4.4NF)

Proposition d’enrobage nominal devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== Produits en béton préfabriqués en usine Classe

d’exposition 1XC 1XC 2XC 3XC 4XC /

1XF 4XC /3XF

3XD

1XS 3XS

Classes indicatives de résistance

3025 /C 3730 /C 3730 /C 4535/C

4535/C 4535/C 5040 /C 4535/C

5040/C

dur,minc 15 10 20 20 25 25 45 40 45 Dalles

20

10

- 15

-

20 50 45 50

Poutres

25

20

- 30

35

35

- 50 55

Poteaux

25

20

- 30

35

-

- 50 55

Voiles

25 20 30 30 35 - - 50 55

Minoration possible de devc∆∆∆∆ de 0 à 10 mm, si assurance qualité.

Minoration possible de dur,minc si classe de résistance supérieure à celle indiquée (voir tableaux 4.3NF et 4.4NF)

Page 36: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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6. Règle des 3 pivots. ELU

pivot A

1a

A

B

C

45 10-3

2 10 -3

3,5 10-3

raccourcissements allongements

section droite avant déformation

1b

section droite après déformation

paraboleux

31020 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤ cεεεεcdf

cdf<<<<

ulεεεε

Pivot B

2a

A

B

C

45 10 -32 10 -3

3,5 10-3

raccourcissements allongements

section droite avant déformation

2b

section droite après déformation

parabole

rectangle

h73

ux

310172 −−−−============ ,E

f

E

f

ss

yk

s

ydul γγγγ

εεεε

sεεεε

cdf

notations et diagrammes

A

B

45 10-3

3,5 10-3

section droite avant déformation

section droite après déformation

diagramme des contraintes

efforts normauxdiagramme des déformations

1sA

2sA

dh

2d

wb

ux

cεεεε

2sεεεε

1sεεεε

2sσσσσcdf

ux,80

1sσσσσ 1sN

2sN

cN

[[[[ ]]]]uu ,dz αααα401−−−−====

22 ddz −−−−====

Page 37: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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7. - Procédures DE CALCUL :

Pour les ouvrages en B.A. devant satisfaire aux prescriptions de l’EUROCODE 2., tout élément doit être justifié par une vérification à l'E.L.S et à L'E.L.U. Toutefois, dans les cas courants, la procédure de calcul peut être réduite. Pour cela, il convient d’imposer des limites d’ouverture de fissure, spécifiées dans les DPM, en accord avec le client, en tenant compte de la nature de l’élément BA étudié et de son environnement. Toutefois, en l’absence de spécifications, il est raisonnable de considérer une ouverture maximale de fissure de l’ordre de mm,w itelimk 40====

pour la classe d’exposition XC1 (intérieur des bâtiments) sous les combinaisons d’actions quasi-permanentes et mm,w itelimk 30==== pour les classes d’exposition XC de 2 à 4.

En fonction de la condition de la classe d’exposition, pour la partie d'ouvrage à étudier, on peut limiter les calculs de la façon suivante : La frontière entre les 2 états-limites pour le dimensionnement est à fixer ! (ou à reconsidérer). L’ouvrage de Cortade et Calgaro chap. 13 indique que lorsque la fissuration doit être contrôlée, il faut réduire la contrainte dans

les armatures. Lorsque la contrainte sσσσσ doit être inférieure à 51351 ,à,

f yk, il y a de fortes chances pour que l’ELS soit

dimensionnant. Pour un béton classique (C40/50 pour les ouvrages d’art et C25/30 en bâtiment) et des armatures HA, le B.A.E.L. 99 imposait à l’ELS une contrainte limite des armatures de 250 Mpa pour la fissuration préjudiciable et 200 Mpa pour la fissuration très préjudiciable.

classe

d’exposition

Dimensionnement

armatures section min. 7.3.2

vérification de la contrainte

de traction 7.2(5) non déterminante

Vérification des contraintes

compression du béton 7.2(2)

fissuration 7.3

déformation 7.4

X0

XC1 mm,w itelimk 40====

XC2à 4

ELU

prépondérant

ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤

mm,w itelimk 30====

mm,w itelimk 20==== XD1 à 2

XS1 à 3

XD3

XF1 à 4

Il peut être

pertinent de

vérifier l’ELS de

compression du

béton

(ce n’est pas

une obligation)

XA1 à 3

Fissuration

Prépondérante ELS prépondérant

tableau 7.4

Pour l’ouverture des fissures : Méthode simplifiée 7 .3.3 Utilisation des tableaux 7.2 et 7.3 ou Calcul de l’ouverture des

fissures et vérifier.

D’après les notes 2 et 3 (relative aux bâtiments de catégorie d’usage A à D, c’est-à-dire tous les bât iments exceptés les bâtiments de catégories d’usage : E aires de st ockage et locaux industriels, F et G aires de circu lation et stationnement dans les bâtiments ainsi que les ouvr ages de génie civil) du tableau 7.1 NF (valeurs rec ommandées

de maxw en fonction de la classe d’exposition pour la combi naison de charges spécifiée) sauf demande spécifiqu e

des Documents Particuliers du Marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par les dispos itions

constructives minimales données ailleurs que dans l a clause 7.3, le calcul de maxw n’est pas requis.

Page 38: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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8. Démarche de projet

matériaux Critère de déformation caractéristiques géométriques

de la section droite Maîtrise de la fissuration Enrobage Sollicitations armatures Calcul des contraintes en service Critères relatif à la compression du béton et traction des armatures

Classe d’exposition

EN 206-1 Tableau E1N(AN)

béton ../..C ckf

acier ykf S500 classe B MPaf yk 500====

Coffrage wb ; h Tableau 7.4(NF )

Tableau 7.1(NF)

Calcul ouverture théorique des fissures

Classe structurale 4S

♦ moment de flexion ELU u,EdM uM====

♦ moment de flexion ELS combinaison caractéristique cc,serM

combinaison quasi permanente qp,serM

Dimensionnement à l’ELU ♦ section 1sA

♦ diamètre φφφφ ♦ espacement s

nomc EC2 Section 3

♦ Contrainte dans l’acier sσσσσ

♦ Contrainte dans le béton cσσσσ

Contrôle de la fissuration Sans calcul direct Tableau 7.2 (NF) φφφφ Tableau 7.3 (NF) s

Contraintes limites max,sσσσσ ♦ (il peut être pertinent mais ce n’est pas une obli gation)

classes XD1 à 3 ; XS 1 à 3 ; XF 1 à 4 σc ckf≤ 0 6, 7.2 (2)

♦ Pour toutes les classes yks f,80≤≤≤≤σσσσ 7.2 (5)

Ouverture conventionnelle des fissures max,kw

ou

max,ss σσσσσσσσ ≤≤≤≤

max,kww ≤≤≤≤

Page 39: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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9. Organigramme de calcul des armatures longitudinales en flexion simple, section

rectangulaire :

cadres ;

Le bras de levier peut s’écrire aussi ( ) 1 1 21 0 4

2u

u u

( )z d , dαααα

+ − µ= − =

Il faut déterminer la hauteur utile réelle réelled , celle-ci doit être supérieure à la valeur forfait aire considérée.

Si on veut affiner, éventuellement recalculer 1sA . Compte tenu de la hauteur utile réelle réelled .

Le pourcentage d’armatures db

A

w

ss

11 ====ρρρρ

Min normal fortement ferraillé int erdit

Données Classe structurale : 4S Environnement :Classe d’exposition ..X

wb ; h

béton ../..C ckf

acier S500 classe B MPaf yk 500====

500

4351 15

ykyd

S

ff MPa

,γγγγ= = =

m/kNg m/kNq

m/kNq,g,pu 51351 ++++====

moment de flexion ELU u,EdM uM====

0560,u ≤≤≤≤µµµµ

Oui Pivot A

Non Pivot B

1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ

====>>>> db,;db

f

f,maxAA ww

yk

ctmmin,ss 001302601

cs A,A 0401 <<<<

non

les armatures comprimées ne sont pas nécessaires

h,d 90≤≤≤≤

cd ck Cf f / γγγγ=

mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====

Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====

2u

uw cd

M

b d fµµµµ =

ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤

( )1 3

0 8

45 10u w cd

s

s

, b dfA

αααασσσσ −

=

(((( )))) (((( ))))31 1045401 −−−−−−−−====

su

us ..,.d

MA

σσσσαααα

(((( )))) Mpas 4661045 3 ====−−−−σσσσ

(((( ))))31

1 104580 −−−−========

s

cdu

w

ss

f.,

dbA

σσσσααααρρρρ

( )11 1

0 8 u w cds

s s

, b dfA

αααασ εσ εσ εσ ε

= ( ) ( )11 11 0 4

us

u s s

MA

d , α σ εα σ εα σ εα σ ε=

− ×

(((( )))) (((( ))))3111 10172247278434 −−−−−−−−++++==== ,,, sss εεεεεεεεσσσσ

(((( ))))11

11 80

ss

cdu

w

ss

f.,

dbA

εεεεσσσσααααρρρρ ======== (((( )))) (((( ))))11

1 401 ss

cd

u

us

f, εεεεσσσσαααα

µµµµρρρρ−−−−

====

1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ

31

13 5 10 u

su

, αααα

ααααεεεε − −=

les armatures comprimées sont nécessaires, elles sont maintenues par des armatures transversales

φφφφ15≤≤≤≤s

NON

OUI

9.2.1.2 (3)

1sρρρρ 4% 3% 0,13% 1% 2%

Page 40: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 40/62 03/07/2009

10. Organigramme de calcul des armatures longitudinales en flexion simple, section

rectangulaire :

Le bras de levier peut s’écrire aussi (((( ))))2

211401

)(.d.,.dz u

uu

µµµµ−−−−++++====−−−−==== αααα

Il faut déterminer la hauteur utile réelle réelled , celle-ci doit être supérieure à la valeur forfait aire considérée.

Le pourcentage d’armatures db

A

w

ss

11 ====ρρρρ

Min normal fortement ferraillé int erdit

Données Classe structurale : 4S Environnement :Classe d’exposition ..X

wb ; h

béton ../..C ckf

acier S500 classe B MPaf yk 500====

diagramme élasto-plastique parfait

500

4351 15

ykyd

S

ff MPa

,γγγγ= = =

m/kNg m/kNq

m/kNq,g,pu 51351 ++++====

moment de flexion ELU u,EdM uM====

Oui Pivot B

====>>>> db,;db

ff

,maxAA wwyk

ctmmin,ss 001302601

cs A,A 0401 <<<<

non

les armatures comprimées ne sont pas nécessaires

0 9d , h≤

cd ck Cf f / γγγγ=

mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====

Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====

2u

uw cd

M

b d fµµµµ =

ulu µµµµµµµµ ≤≤≤≤

1

0 8 u w cds

yd

, b dfA

f

αααα=

( )1 1 0 4u

su yd

MA

d , fαααα=

yd

cdu

w

ss f

f.,

dbA ααααρρρρ 801

1 ========

1 25 1 1 2u u, ( )αααα = − − µ NON

9.2.1.2 (3)

les armatures comprimées sont nécessaires, elles sont maintenues par des armatures transversales

φφφφ15≤≤≤≤s

1sρρρρ 4% 3% 0,13% 1% 2%

Page 41: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 41/62 03/07/2009

10.1. Interférence E.L.S. et E.L.U.:

On démontre qu’il existe un autre moment limite réd uit ulµµµµ tel que :

Pour la classe d’exposition définie par le maître d’ œuvre est associée une vérification de la contraint e de compression du béton Pour satisfaire l’état limite de compression : ♦ pour les classes d’exposition XD, XS, XF il peut être pertinent de limiter (ce n’est pas une obligation)

ckc f,60≤≤≤≤σσσσ

il faut que : Ed ,u

u ul ,c cc yk ckEd ,c

Mf ( , f , f )

Mµ µ γµ µ γµ µ γµ µ γ≤ = =

Ed ,cM moment sous combinaison caractéristique de charges

♦ Pour toutes les classes d’exposition ckc f,450≤≤≤≤σσσσ

Cette vérification n’est à effectuer que pour des éléments en béton précontraint

il faut que : Ed ,u

u ul ,qp qp yk ckEd ,qp

Mf ( , f , f )

Mµ µ γµ µ γµ µ γµ µ γ≤ = =

Ed ,qpM moment sous combinaison quasi permanente de charges

La contrainte de compression est plus faible mais le moment l’est aussi

La valeur de ul ,qpµµµµ est voisine de 20, pour des bétons courants !

De plus pour que l’acier soit bien utilisé (contrai nte sur le palier plastique) 37170,ulsu ====≤≤≤≤ µµµµµµµµ

En effet, au delà de cette limite, la contrainte dans l’armature étant inférieure à yk

S

f

γγγγ il est mal utilisé, la section des armatures

tendues croît. Le rôle des armatures comprimées est alors de bloquer à yk

S

f

γγγγ la contrainte des aciers tendus à l’ELU

Estimation

Pour les bâtiments courants en prenant 40,GQ ====

GQGEdu M,M,M,M 95151351 ====++++====

1 40Ed ,cc G Q GM M M , M= + =

Catégories A B 2 1 12Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393Ed ,uc

Ed ,c

M,

Mγγγγ = = 1 741Ed ,u

qpEd ,qp

M,

Mγγγγ = =

Catégories C D 2 1 24Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393c ,γγγγ = 1 5731Ed ,uqp

Ed ,qp

M,

Mγγγγ = =

Catégorie E 2 1 32Ed ,qp G Q GM M M , Mψψψψ= + = 1 393c ,γγγγ = 1 477Ed ,uqp

Ed ,qp

M,

Mγγγγ = =

Action ΨΨΨΨ0 ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 Charges d'exploitation des bâtiments , catégorie (voir EN 1991-1.1) - Catégorie A : habitation, zones résidentielles - Catégorie B : bureaux - Catégorie C : lieux de réunion - Catégorie D : commerces - Catégorie E : stockage

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8

Coef d’équivalence : s

c ,eff

En

E= ;

eff,c

cmeff,c

EE

ϕϕϕϕ++++====

1 avec le coef de fluage à long terme ( )0

Ed ,qpc ,eff

Ed ,c

M,t

Mϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ= ∞ ×

pour la combinaison caractéristique soit n=16,78 pour fck=25MPa, n=15,75 pour fck=30MPa, n=15,3 pour fck=35MPa, n=14,86 pour fck=40MPa,

Page 42: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 42/62 03/07/2009

Les valeurs ou expressions de ulccµµµµ étaient données par les ouvrages de M Perchat

Pour les éléments étudiés en bâtiment, nous avons ulul µµµµµµµµ <<<< ⇒⇒⇒⇒ (((( ))))ulculsul ;inf µµµµµµµµµµµµ ====

acier bien utilisé acier mal utilisé

ELU le plus défavorable ELS le plus défavorable

ELU déterminant pour le dimensionnement

Les armatures comprimées sont nécessaires(ligaturées tous les )

0560,uµµµµ

φφφφ.15

480,ulsµµµµulcµµµµ

(((( ))))ulculsul ;inf µµµµµµµµµµµµ ====

µ µ≤ ul µ µul < < 0 48,

Nécessité d'aciers comprimés 2sA

Dimensionnement à l’E.L.U. ELS de compression du béton est implicitement vérifié

1ère méthode: Dimensionnement à l’E.L.U. Organigramme identique à celui utilisé avec le BAEL9 9 avec une valeur forfaitaire de la contrainte dans les armatures comprimées

22 2 1 1

3 81 1

2 3

s l s ck

ul

i c

n k f

k

δδδδσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γ

γγγγγγγγ

= = − µ − −

dd2

2 ====δδδδ

s

c ,eff

En

E=

eff,c

cmeff,c

EE

ϕϕϕϕ++++====

1 avec le coef de fluage à long terme

( ) ( )0 0Ed ,qp Ed ,qp

c ,effEd Ed ,c

M M,t ,t

M Mϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= ∞ × = ∞ × pour la combinaison caractéristique

ckck f,fk 601 ========cσσσσ autre notation c ,limσσσσ

pour les classes XD1à3, XS1 à 3 XF1 à 4 601 ,kk i ========

sous combinaison caractéristique des charges vaeur approchée de n : 15====n

µµµµ−−−−−−−−−−−−====

γγγγ

δδδδγγγγσσσσul

ckls

,

f

9632113

219 2

2

Cette expression forfaitaire permet de trouver la s ection d’acier que l’on obtiendrait avec la méthode exacte à l’ELS. C’est un artifice de calcul. L’intérêt réside dans l’utilisation d’une même procédure de c alcul, pour toute valeur de

µu ≤ 0 48, , basée sur le calcul aux ELU,

2ième méthode: Dimensionnement à l’E.L.S. (inconvénient, la méthode fait appel à une démarche différente). Pour ne pas avoir des armatures comprimées, il serait préférable de redimensionner la section de béton.

Ne pas oublier les vérifications à l’E.L.S. concerna nt: ♦ Maîtrise de la fissuration ♦ Déformation (flèche)

Page 43: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 43/62 03/07/2009

10.2. Organigramme (type de M Perchat) pour déterminer un e valeur de ulµµµµ

Données initialisation pourcentage d’armatures tendues obtenues à l’ELU pourcentage d’armatures homogénéisée hauteur de la section de béton comprimé à l’ELS équation du moment statique

Valeur de ulµµµµ

ckf ; MPaf yk 500==== ; ser

u

MM

====γγγγ ; ckc f'k====σσσσ ; n

uµµµµ = 0,3

[[[[ ]]]] c

s

yk

ck

u

us f

f

γγγγγγγγ

µµµµµµµµρρρρ 2

2111 −−−−++++

==== [[[[ ]]]] yk

ck

u

us f

f,

µµµµµµµµρρρρ

21153311 −−−−++++

==== db

A

w

ss

11 ====ρρρρ

11 ss n' ρρρρρρρρ ====

dy 11 αααα====

++++++++−−−−====

111

211

ss '

'ρρρρ

ρρρραααα

uik µµµµααααγαγαγαγα >>>>

−−−−3

180

69 11

serMγγγγ > uM

usc

ik µµµµγγγγγγγγααααγαγαγαγα >>>>

−−−−23

1 11

ulu µµµµµµµµ ====

uu µµµµ∆∆∆∆µµµµ ++++ uu µµµµ∆∆∆∆µµµµ −−−−

non oui

Page 44: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 44/62 03/07/2009

10.3. Procédure pour déterminer une expression de ulµµµµ

Dimensionnement aux E.L.U.

ckcd

C

ff

γγγγ=

dy uu α=

( )uu , µα 211251 −−=

cdw

uu fdb

M2

====µµµµ

11

80

s

ucdws

fdb,A

σσσσαααα====

( )1

1

0 8 1 25 1 1 2w cd u

ss

, b d f ,A

µµµµ

σσσσ

− −=

Dimensionnement aux E.L.S.

(((( )))) 02 11

21 ====−−−−−−−− ydnA

ybs

w

++++++++−−−−====

1

11

211

s

w

w

s

nAdb

bnA

y

−−−−====32

11 yd

ybM c

wser σσσσ

De et on élimine 21ybw ⇒⇒⇒⇒

3

2

3

22 11

1cs

cs

wser

dnAnAdbyM

σσσσσσσσ −−−−

++++====

On remplace dans l’expression de 1y donnée

3

2

3

22112 11

1

1 csc

sw

s

w

w

sser

dnAnAdb

nAdb

bnA

Mσσσσσσσσ −−−−

++++

++++++++−−−−====

On utilise les résultats de l’ELU On remplace suA donné par

cs

ucdwc

s

ucdww

ucd

s

s

ucdser d

fdb,n

fdb,ndb

f,nfd,

nM σσσσσσσσ

αααασσσσσσσσ

αααααααα

σσσσσσσσ

αααα11

1

1

80

3

280

3

2

80

211

802 −−−−

++++

++++++++−−−−====

En utilisant buo

uu fdb

M2

−−−−

++++

++++++++−−−−

========

3

280

3

21

80

21180

2

1

1

1

s

ucd

s

ucd

uc

su

ser

u

f,nf,n

n,

M

M

σσσσαααα

σσσσαααααααασσσσ

σσσσµµµµγγγγ

Remplaçons uα par son expression fonction de uµ ( )uu , µα 211251 −−=

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

−−−−

−−−−−−−−++++

−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−

========

3

221125180

3

21

21125180

21121125180

2

1

1

1

s

ucd

s

ucd

uc

su

ser

u

,f,n

,f,n

,n,

M

M

σσσσµµµµ

σσσσµµµµ

µµµµσσσσ

σσσσµµµµγγγγ

Expression de cσσσσ

Page 45: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 45/62 03/07/2009

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

−−−−

−−−−−−−−++++

−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−

====

3

2211

3

21

211

211211

12

1

1

1

s

ucd

ucd

su

suc

nfnf

n

σσσσµµµµ

µµµµσσσσµµµµ

γγγγσσσσµµµµσσσσ

0>>>>u

c

d

d

µµµµσσσσ

, cσσσσ est une fonction croissante de uµ .

(((( ))))n,f,f,,f ykckulculucc γγγγµµµµσσσσµµµµµµµµσσσσσσσσ 1========⇔⇔⇔⇔====

Si cc σσσσσσσσ >>>> , la section de béton comprimé est insuffisante pour équilibrer la section droite, il faut placer des

armatures comprimées.

avec l’hypothèse d’un diagramme élasto-plastique parfait s

yks

f

γγγγσσσσ ====1

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

−−−−

−−−−−−−−++++

−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−

====

3

2211

3

21

211

2

11211

12

s

yk

ulcd

ulcd

s

yk

ul

s

ykul

c

fnf

nf

fn

f

γγγγ

µµµµµµµµ

γγγγµµµµ

γγγγγγγγ

µµµµσσσσ

s

c ,eff

En

E=

eff,c

cmeff,c

EE

ϕϕϕϕ++++====

1 ( ) ( )0 0

Ed ,qp Ed ,qpc ,eff

Ed Ed ,c

M M,t ,t

M Mϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= ∞ × = ∞ ×

Cette expression permet de déterminer ulµ

Pour un B500 500ydf MPa= 15====n

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

−−−−−−−−−−−−++++

−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−−−−−

====

3

22110153301

211

95658611211

197157

ulck

ulck

ul

ck

ul

f,f

,f'k,

µµµµµµµµ

µµµµ

µµµµγγγγ

γγγγ

cc σσσσσσσσ ====ykck f,f,n

fixés

baul ++++==== γγγγµµµµulµµµµ

ckf

ELS

ELU

02 ≠≠≠≠sA

Avec un tableur, pour chaque valeur de ckf , nous pouvons obtenir

l’équation (((( ))))γγγγµµµµ ful ====

Cette fonction peut être approchée par une fonction affine ba ++++γγγγ On constate que lorsque la résistance caractéristique du béton augmente cette droite se déplace vers les ordonnées positives et de plus la pente augmente.

Page 46: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 46/62 03/07/2009

On peut remarquer que ces valeurs sont inférieures à celles obtenues avec le BAEL.

ckc f,60≤≤≤≤σσσσ

Pour 41,====γγγγ

ckf ulµµµµ

25ckf MPa= 2260,

30ckf MPa= 2460,

35ckf MPa= 2620,

40ckf MPa= 2760,

45ckf MPa= 2870,

Page 47: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 47/62 03/07/2009

Graphiques pour ckc f,60≤≤≤≤σσσσ expressions approchées de ulµµµµ

0.2150 1.35450.2175 1.36450.2200 1.37440.2225 1.38440.2250 1.39420.2275 1.40410.2300 1.41390.2325 1.42370.2350 1.43340.2375 1.44310.2400 1.45280.2425 1.46250.2450 1.47210.2475 1.48160.2500 1.49120.2525 1.5007

0.2150

0.2200

0.2250

0.2300

0.2350

0.2400

0.2450

0.2500

0.2550

1.35

45

1.36

45

1.37

44

1.38

44

1.39

42

1.40

41

1.41

39

1.42

37

1.43

34

1.44

31

1.45

28

1.46

25

1.47

21

1.48

16

1.49

12

1.50

07

Série1

0.2350 1.35760.2375 1.36710.2400 1.37650.2425 1.38590.2450 1.39520.2475 1.40460.2500 1.41390.2525 1.42310.2550 1.43240.2575 1.44160.2600 1.45080.2625 1.45990.2650 1.46900.2675 1.47810.2700 1.48720.2725 1.49620.2750 1.50530.2775 1.51420.2800 1.52320.2825 1.53210.2850 1.54100.2875 1.5499

0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.2950

1.35

76

1.37

65

1.39

52

1.41

39

1.43

24

1.45

08

1.46

90

1.48

72

1.50

53

1.52

32

1.54

10

1326025650 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ

γγγγµµµµul

25ckf MPa=

30ckf MPa=

γγγγµµµµul

135902730 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ

Page 48: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 48/62 03/07/2009

0.2500 1.35450.2525 1.36360.2550 1.37270.2575 1.38170.2600 1.39070.2625 1.39970.2650 1.40870.2675 1.41760.2700 1.42650.2725 1.43540.2750 1.44430.2775 1.45310.2800 1.46190.2825 1.47070.2850 1.47950.2875 1.48820.2900 1.49700.2925 1.5057

0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.3000

1.35

45

1.36

36

1.37

27

1.38

17

1.39

07

1.39

97

1.40

87

1.41

76

1.42

65

1.43

54

1.44

43

1.45

31

1.46

19

1.47

07

1.47

95

1.48

82

1.49

70

1.50

57

Série1

0.2625 1.35180.2650 1.36060.2675 1.36950.2700 1.37830.2725 1.38700.2750 1.39580.2775 1.40450.2800 1.41320.2825 1.42190.2850 1.43060.2875 1.43920.2900 1.44780.2925 1.45640.2950 1.46500.2975 1.47360.3000 1.48210.3025 1.49060.3050 1.4991

0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.30000.30500.31000.3150

1.35

18

1.36

06

1.36

95

1.37

83

1.38

70

1.39

58

1.40

45

1.41

32

1.42

19

1.43

06

1.43

92

1.44

78

1.45

64

1.46

50

1.47

36

1.48

21

1.49

06

1.49

91

0.2750 1.35610.2775 1.36480.2800 1.37340.2825 1.38200.2850 1.39060.2875 1.39910.2900 1.40770.2925 1.41620.2950 1.42470.2975 1.43320.3000 1.44170.3025 1.45010.3050 1.45850.3075 1.46690.3100 1.47530.3125 1.48370.3150 1.49200.3175 1.5004

0.20000.20500.21000.21500.22000.22500.23000.23500.24000.24500.25000.25500.26000.26500.27000.27500.28000.28500.29000.29500.30000.30500.31000.31500.32000.3250

1.35

61

1.36

48

1.37

34

1.38

20

1.39

06

1.39

91

1.40

77

1.41

62

1.42

47

1.43

32

1.44

17

1.45

01

1.45

85

1.46

69

1.47

53

1.48

37

1.49

20

1.50

04

Série1

35ckf MPa=

45ckf MPa=

40ckf MPa=

γγγγµµµµul

γγγγµµµµul

γγγγµµµµul

130902810 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ

1276028850 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ

1245029450 ,,ul −−−−==== γγγγµµµµ

Page 49: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 49/62 03/07/2009

10.4. Démonstration de la valeur forfaitaire théols2σσσσ

Lorsque ulµµ > , l’E.L.S. est le plus défavorable, de plus les armatures comprimées sont nécessaires.

Néanmoins nous allons dimensionner à l’E.L.U. mais en considérant une contrainte de compression dans les armatures ls2σσσσ fictive pour que le dimensionnement à l’E.L.U. soit équivalent au dimensionnement E.L.S.

Nous nous proposons de déterminer cette contrainte sclσ .

Dimensionnement ELU

(((( )))) ls

Rclus dd

MMA

222 σσσσ−−−−

−−−−====

(((( ))))s

yklss

ul

Rcls f

A,d

MA

γγγγ

σσσσαααα

1

401 221

++++

−−−−====

Dimensionnement ELS

22 2

ser Rc ,serls

s

M MA

( d d )σσσσ−

=−

2 21

1 113

Rc ,serl s ss

ss

M AA

x( d )

σσσσσσσσσσσσ

= +−

1 2 12 1

1 1s c s c

x d d xn et n

x xσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ− −= =

cw

serl,Rcserl db

M

σσσσ2====µµµµ

cdw

ulul fdb

M2

====µµµµ serl

ul

MM

====γγγγ

1

cc ck cd ulserl ul ul

c c c c

f f

k

αααασ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγσ γγ σ γ γγ

µµ = µ = µ =

ckck f,fk 601 ========cσσσσ pour les classes XD1à3, XS1 à 3 XF1 à 4

sous combinaison caractéristique des charges

( ) ( )2 2

12 2 2 2

ser serl w c ser serl wsc ck

s s

b d b dA k f

( d d ) ( d d )

µ µ σ µ µµ µ σ µ µµ µ σ µ µµ µ σ µ µσ σσ σσ σσ σ

− −= =

− −

La section déterminée à l’E.L.U est égale à celle déterminée à l’ELS

( )22 2 2 2

ser Rc ,serlu Rcls

s l s

M MM MA

d d ( d d )σ σσ σσ σσ σ−−= =

− −

[[[[ ]]]]serl,RcserRclu MMMM −−−−====−−−− γγγγ

22

1

sls σσσσσσσσγγγγ ==== 22 sls γσγσγσγσσσσσ ====

−−−−====

−−−−====1

21

1

212 1

xd

fnkx

dxn ckcs σσσσσσσσ avec dx serl

−−−−−−−−==== µµµµ

3

811

2

31

En posant d

d22 ====δδδδ

−−−−−−−−

−−−−====

serl

cks fnk

µµµµ

δδδδσσσσ

3

811

2

31 2

12 utilisons ul

serli ck γγγγγγγγµµ =

Page 50: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 50/62 03/07/2009

22 2 1 1

3 81 1

2 3

s l s ck

ul

i c

n k f

k

δδδδσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γσ γ

γγγγγγγγ

= = − µ − −

On peut prendre 15====n 601 ,k ====

µµµµ−−−−−−−−−−−−====

γγγγ

δδδδγγγγσσσσul

ckls

,

f

9632113

219 2

2

Les valeurs des sections d’armatures tendues obtenues à l’ELU et l’ELS sont très proches (à vérifier), le dimensionnement à l’ELU convient, l’erreur commise est très faible. Il existe d’autres expressions, par exemple celle de M Perchat.

Page 51: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 51/62 03/07/2009

11. EPURE D'ARRET DE BARRES:

II convient que les armatures longitudinales tendues soient capables de résister à l'effort de traction supplémentaire généré par l'effort tranchant

1. force de traction des armatures principales due à l’existence de l’effort tranchant

La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression

(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆∆∆∆∆ cotcotVFz

M;F

zM

minF Edtdmax,Ed

tdEd

td −−−−====

++++====

2

1 6.18 avec z d= 0 9,

α

s

d θ z=0,9d

EdMz EdV

EdV

ααααcotVEd

α

ααααsin

VEd

EdV

θθθθsin

VEd

θθθθcotVEd

EdN

tdF

cdF

tdF∆∆∆∆

tdcd FF ∆∆∆∆∆∆∆∆ ====

θθθθcotVEd2

1

θθθθcotVEd2

1

θααααcotVEd2

1

effort

dans la bielle

(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd−−−−====

2

1

ααααcotVEd2

1

effort dans

l'armature

d'effort tranchant

cdF

tdF

EdV EdMEdN

EdV

2z

2z

[[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotVEd−−−−

[[[[ ]]]]ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd−−−−====

2

1

A B

CD

A B

C D

membrure comprimée

membrure tendue

bielles

armatures

d'effort tranchant bw bw

EdV[[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotVEd

−−−−

zM Ed

zM Ed

EdM EdV

(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd −−−−====2

1

(((( ))))ααααθθθθ cotcotVEd −−−−2

1

θθθθcotVEd

ααααcotVEd

effort tranchantmoment de flexion

θθθθcotVEd

θθθθ

ααααcotVEd

projection horizontale.

de l'effort dans la bielle

projection horizontale.

de l'effort dans l'armature

d'effort tranchant

fig 6.5

.. 6.2.3 (7)

Page 52: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 52/62 03/07/2009

Cela équivaut à admettre un décalage de la courbe e nveloppe des moments de ( )1

2la z cot cotθ αθ αθ αθ α= −

Justification

Dans la section droite de la poutre (voir fig 6.5), l’âme est soumise à un effort tranchant EdV et un effort normal

(((( ))))ααααθθθθ cotcotVEd −−−−

(((( ))))ααααθθθθ∆∆∆∆ cotcotVF Edtd −−−−====2

1 6.18 représente la contribution de l’effort tranchant à l’effort normal appliqué à la

membrure tendue (armatures longitudinales)

A l’ELU le calcul de la section des armatures tendues :zM

Ftd

∆∆∆∆∆∆∆∆ ====

lEd a

MV

∆∆∆∆==== soit ( )

( ) ( )1

1 122 2

Edtd

lEd Ed Ed

V cot cot zF zMa cot cot z z cot cot

V V V

θ αθ αθ αθ α∆∆∆∆∆∆∆∆ θ α θ αθ α θ αθ α θ αθ α θ α−

= = = = − = −

Pour les bâtiments : d,z 90==== Une contribution identique est appliquée à la membrure comprimée qui s’en trouve soulagée d’autant.

En pratique, la détermination de sN dans la section d’abscisse θθθθcotz

x2

−−−− doit être réalisée avec le moment

sollicitant la section droite d’abscisse x . Pour tenir compte de cette remarque, la détermination des longueurs des barres (épure d’arrêt des armatures longitudinales) sera réalisée sur une courbe enveloppe dilatée (ou décalée) dans le sens le plus défavorable. Pour des armatures d’effort tranchant droites, la va leur imposée (valeur réglementaire) de ce décalage est la valeur

θθθθθθθθ

tanz

cotz

al 22========

Comme θθθθ varie le long de la poutre, 521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ 6.7, cette valeur la varie le long de la poutre, on prendra la valeur la

plus défavorable constante le long de la travée.

Nous verrons que lorsque l’effort tranchant est modéré 52,cot ====θθθθ d’où z,al 251==== .

Si θθθθcot est inconnu , on peut considérer forfaitairement z,al 251====

Pour des éléments sans armatures d’effort tranchant (dalles) dal ==== .

..9.2.1.3 (2)

Page 53: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 53/62 03/07/2009

Détermination du décalage par M H. Thonier ( tome 7 conception et calcul des structures de bâtiments page 250) Soit un treillis multiple constitué de n treillis élémentaires.

L’espacement des cours d’armatures transversales : [[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotnz

s ++++====

Sur le tronçon considéré A1 B1, on suppose s constant. Le segment A1 B3 de longueur s constitue la membrure tendue de n treillis élémentaires

(((( ))))ααααθθθθ cotcotz ++++s

treilli

s n°

1

treilli

s n°

2

treilli

s n°

3

x

θθθθcotz ααααcotz

s s

treillis n°1

treillis n°2

treillis n°3

A3A2 A1

C3

B3

C2

B2

C1

B1

z

Hypothèse : On considère que chacun des treillis reprend un même moment

de flexion : (((( ))))n

xM, le

choix de (((( ))))xM peut se justifier par le fait que l’on se place en sécurité en considérant la valeur du moment la plus grande soit en C1 sur le tronçon considéré A1 B1.

Déterminons l’effort tdF dans la membrure tendue en sommant les efforts normaux déterminés pour chacun des

treillis élémentaires. Cet effort existe au point A1 d’abscisse 0====x

Pour le treillis n° 1 : (((( ))))

nzxM

z

M C ====1

Pour le treillis n° 2 : (((( ))))nz

sxMz

M C −−−−====2

Pour le treillis n° 3 : (((( ))))nz

sxMz

M C 23 −−−−====

Pour le treillis n° i : (((( ))))(((( ))))

nzsixM

z

MiC 1−−−−−−−−====

Pour le treillis n° n : (((( ))))(((( ))))

nzsnxM

z

MnC 1−−−−−−−−====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]snxM...sixM...sxMsxMsxMxMnz

Ftd 11321 −−−−−−−−++++++++−−−−−−−−++++++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++====

(((( ))))(((( ))))∑∑∑∑ −−−−−−−−====n

td sixMnz

F1

11

Soit (((( ))))(((( ))))∑∑∑∑ −−−−−−−−====n

m sixMn

M1

11

: mM représente le moment correspondant à l’effort tdF dans la membrure au

point A1 d’abscisse x=0 zFM tdm ====

Soit )x(fM m ==== ; l’abscisse correspondant au moment mM est fourni par la fonction inverse )M(fx m1−−−−====

Déterminons l’abscisse a correspondant à mM (((( ))))(((( ))))

−−−−−−−−==== ∑∑∑∑−−−−n

sixMn

fa1

1 11

Hypothèse : on fait l’hypothèse que sur le tronçon considéré M est une fonction affine :

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))0

000

VxMM

xx.VMxM−−−−====−−−−====

pour l’abscisse x (((( )))) (((( )))) (((( )))) x.VMxM 00 −−−−====

Page 54: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 54/62 03/07/2009

pour l’abscisse sx −−−− (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))sx.VMsxM −−−−−−−−====−−−− 00

pour l’abscisse (((( ))))six 1−−−−−−−− (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))six.VMsixM 1001 −−−−−−−−−−−−====−−−−−−−−

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

−−−−++++−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑nnn

i.s.Vx.V.nM.nn

six.VMn

sixMn 111

10001

1001

11

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))s

n.Vx.VMs

nn.Vx.nVM.n

nsixM

n

n

2

1000

2

1000

11

1

1

−−−−++++−−−−====

−−−−++++−−−−====−−−−−−−−∑∑∑∑

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))02

10000

2

10001

1 1

1

1

V

sn

.Vx.VMMs

n.Vx.VMfsixM

nfa

n

−−−−++++−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−====

−−−−−−−−==== −−−−−−−− ∑∑∑∑

(((( ))))s

nxa

2

1−−−−−−−−====

En remplaçant s et x par leurs expressions : [[[[ ]]]]ααααθθθθ cotcotnz

s ++++==== θθθθcotzx ====

(((( )))) (((( )))) [[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))n

ncotz

nn

cotzcotcotnzn

cotzsn

xa2

1

2

11

2

1

2

1 −−−−−−−−

−−−−−−−−====++++−−−−−−−−====

−−−−−−−−==== ααααθθθθααααθθθθθθθθ

−−−−−−−−

++++====n

cotzn

cotza

11

2

11

2

ααααθθθθ

Pour déterminer tdF dans la membrure tendue (armatures longitudinales tendues) dans une section droite, il faut

considérer le moment dans une section éloignée de a . a correspond au décalage de la courbe des moments pour tenir compte de l’effort tranchant.

Cette expression doit être comparée avec celle imposée par l’EC2 : (((( ))))

2

ααααθθθθ cotzcotzal

−−−−====

Pour des cours d’armatures verticaux :

++++====n

cotza

11

2

θθθθ

1====n θθθθcotza ====

2====n ααααθθθθ cotzcotza

4

1

4

3 −−−−====

3====n ααααθθθθ cotzcotza

3

1

3

2 −−−−====

4====n ααααθθθθ cotzcotza

8

3

8

5 −−−−====

∞∞∞∞====n (((( ))))la

cotzcotza ====

−−−−====2

ααααθθθθ expression EC2

Formons le rapport :

−−−−++++++++====

−−−−

−−−−−−−−

++++====

ααααθθθθααααθθθθ

ααααθθθθ

ααααθθθθ

cotcotcotcot

ncotzcotzn

cotzn

cotz

aa

l

11

22

11

2

11

2 1>>>>

Ce rapport est toujours supérieur à 1, donc l’expression donnée de l’EC2 n’est pas sécuritaire.

Avec des cours verticaux na

a

l

11++++====

Ce rapport est max. pour 1====n soit 2====la

a θθθθcotzaa l ======== 2

Cherchons minn ; s/cotzn θθθθ==== [[[[ ]]]] 2175090750 ,d,/d,d,/zs/cotzn maxminmin ================ θθθθ

Pour être toujours du côté de la sécurité, il faudr ait adopter : θθθθcotzaa l ======== 2

Page 55: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 55/62 03/07/2009

r

IL FAUT DECALER LA COURBE ENVELOPPE DANS LE SENS LE PLUS DEFAVORABLE DE al

M

x

courbe enveloppe théorique

courbe enveloppe dilatée

la la

la la

11.1. Longueur de barres, sections d'acier:

Pour déterminer le ferraillage dans une poutre, on procède en superposant le tracé du diagramme des moments résistants des aciers choisis (le moment résistant est le moment maximum que peuvent reprendre globalement dans toutes les sections droites, les aciers effectivement mis en place) et la courbe enveloppe décalée des moments de flexion. Pour le tracé du diagramme des moments résistants, il faut tenir compte des diamètres choisis, de l'emprise de chaque lit, des dispositions d'ancrage.

11.1.1. DETERMINATION PRATIQUE: On calcule les sections d'aciers maximums en travée et sur les appuis compte tenu de la condition de n on fragilité (ou

pourcentage minimum min,sA ) [[[[ ]]]]min,sthéoriquess

réelss A;AsupA ≥≥≥≥

On détermine le nombre de barres et la répartition en lits d'armatures, pour une poutre courante nombr e de barres par

lit = ( )10 m

wb

Le premier lit est toujours le plus proche du parement. On détermine le diagramme des moments RESISTANTS:

exemple aux ELU: soit 2 lits d’armatures d’aires respectives (((( ))))1sA et (((( ))))2sA

( )1 1uR s usM A zσσσσ= ( )2 2uR s usM A zσσσσ=

(((( )))) [[[[ ]]]]uuu

d,dz µµµµαααα 211

2401 −−−−++++====−−−−==== 435 466yk

sS

fMPa MPaσσσσ

γγγγ= ≤ ≤

Si on utilise le diagramme des aciers élasto-plastique parfait alors 435yks

S

fMPaσσσσ

γγγγ= =

Si on veut optimiser, on peut choisir le id réel relatif au ième lit

On détermine la longueur de chaque lit. Pour cela i l faut que la courbe des moments RESISTANTS "englobe" la courbe ENVELOPPE DECALEE des moments agissants .

Page 56: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 56/62 03/07/2009

Figure 9.2 : illustration de l’épure d’arrêt des a rmatures longitudinales, tenant compte de l’effet d es fissures inclinées et de la résistance des armatures sur leu r longueur d’ancrage

La figure ci-dessous donnée dans l’EC2 représente en ordonnée le moment de flexion (sur la figure de l’ EC2 effort de traction dans les armatures).

Généralement, nous représentons les diagrammes des moments (l’ordonnée est le moment de flexion) Sur l’appui le moment a été écrêté ou le moment est considéré au nu de l’appui

diagramme enveloppe du moment de flexion agissant MEd

diagramme enveloppe du moment de flexion résistant

longueur des armatures inférieures

bdl

la

diagramme enveloppe du moment de flexion décalé (pour tenir compte de l'effort tranchant)

R,EdM 3

R,EdM 2

B

C

AB

C R,EdM

la

bdl

bdl bdl

bdl

bdlla

longueur des armatures supérieures chapeaux

R,EdM 1

ia2a

C

B

bdl

bdlbdl

R,EdM 1

R,EdM 2

R,EdM 3

A la

A

Page 57: Ba Elu EC2 Pour Nostega

Albouy Christian Lycée Le Garros Auch Page 57/62 03/07/2009

11.2. .Ferraillage d'une poutre:

Les dispositions suivantes sont les principes de ferraillage à respecter lors du dimensionnement des aciers d'une poutre.

ACIERS LONGITUDINAUX DE FLEXION : vérifier le pourcentage minimal condition de non fr agilité. disposer les aciers symétriquement par rapport au plan de symétrie vertical mettre 2 aciers par lit minimum en 1 lit pour poutres plates, poutres dalles, en 2 ou 3 lits pour des poutres moyennement armées, en 4 lits ou plus pour les poutres fortement armées

on groupera par 2 lits à partir de 3 lits 2 barres superposées ne constituent pas un paquet (si les conditions d’adhérence sont bonnes généralement pour les armatures inférieures, ce n’est pas le cas pour les chapeaux) Il est aussi possible d’utiliser des paquets de 3 barres. 1 2 3 4 5 6 lits

les diamètres ne doivent pas dépasser 10wb

ne pas disposer de diamètre différent de plus de 2 crans (ex: HA14 avec HA 10,12,16,20. dans un paquet, le rapport des diamètres doit être inférieur à 1,7. arrêter les barres d'un même lit au même endroit pour éviter des erreurs d’implantation sur chantier. pour les barres qui doivent être pliées ou dépliées (voir la fiche d’identification) prolonger au moins le premier lit jusqu’aux appuis

ACIERS SUPERIEURS DE CONSTRUCTION:

même nombre de barres que le premier lit inférieur

section de l'ordre de 10sA

à disposer en un seul lit à mettre en recouvrement avec les chapeaux (la longueur de scellement droit dépend du diamètre le plus faible) peuvent être utilisés comme aciers résistants dans l'épure d'arrêt de barres

ACIERS DE PEAU:

- voir dispositions constructives. La section est calculée lorsque la hauteur de la poutre est supérieure à 1 mètre.

Lorsque les armatures longitudinales sont constituées de diamètre mm32≥≥≥≥φφφφ ou lorsque l’enrobage mmc 70≥≥≥≥

..7.3.3 (3)

.. annexe J1

Page 58: Ba Elu EC2 Pour Nostega

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12. Détermination des armatures transversales droites: Méthodologie

Méthode basée sur l’inclinaison variable des bielle s : 521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ ⇔⇔⇔⇔ °°°°≥≥≥≥≥≥≥≥°°°° 2245 θθθθ

hyp : armatures d’âme droites °= 90α structure non précontrainte 1====cwαααα

Pour la détermination des armatures transversales, au voisinage de l’appui, l’Eurocode permet de considérer l’effort tranchant

réduit = minimum entre )d(Vy et )cotz(Vy θθθθ s les charges sont uniformément réparties.

En BTS on peut se contenter de considérer l’effort tranchant (en valeur absolue) aux 2 extrémités (((( ))))0i,EdV ; (((( ))))ii,Ed LV .

On montre que plus θθθθ est faible, plus la section d’armatures transversales nécessaire est faible, mais en contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des moments (ce qui entraîne une augmentation des armatures longitudinales). Principe de la méthode des bielles d’inclinaison var iable

Le principe consiste à incliner les bielles sur l’horizontale d’un angle θθθθ le plus petit possible pour réduire s

Asw tout en

contrôlant la contrainte dans la bielle max,RdEd VV ≤≤≤≤ . (Pour cette vérification, il faut considérer l’effort tranchant non réduit.)

Si EdV est faible , °°°°==== 22θθθθ ⇔⇔⇔⇔ 52,cot ====θθθθ c’est la grande majorité des cas en bâtiment (on p ourrait se limiter à ce cas

cependant pour l’épreuve U41, nous avons choisi °°°°==== 45θθθθ , cela simplifie la modélisation d’une poutre ba par un treillis aisi que sa justification)

Si EdV est élevé, θθθθ est déterminé par max,RdEd VV ==== .

Si EdV est très élevé, °°°°====≤≤≤≤ 45maxθθθθθθθθ et il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton, déterminé par

max,RdEd VV ==== .

Il faut donc déterminer ττττττττ ====cdfv/ 1 avec w

Ed

b.zV

====ττττ

Si on veut exploiter la résistance des bielles au ma ximum, on écrit :

max,RdEd VV ≤≤≤≤ ⇔⇔⇔⇔ max,Rdττττττττ ≤≤≤≤ ⇔⇔⇔⇔ 500 ,≤≤≤≤≤≤≤≤ ττττ

Comparons ττττ

Si 50,>>>>ττττ ⇔⇔⇔⇔ max,RdEd VV >>>> il faudrait incliner les bielles d’un angle °°°°>>>> 451θθθθ ce que le règlement ne permet pas

alors il faut redimensionner ou augmenter la résist ance du béton pour obtenir max,RdEd VV ≤≤≤≤

Pour °°°°==== 45θθθθ , ⇒⇒⇒⇒ 1

1

2Rd ,max w cdV b z fνννν= 1

1

2Ed Rd ,max w cdV V b z fνννν≤ =

On peut agir sur wb ou d (hauteur h ) ou cdf .

Dans l’intervalle 503450 ,, ≤≤≤≤<<<< ττττ Nous sommes dans les conditions d’atteinte simultanée de l’état limite ultime dans les bielles et dans les armatures

transversales. La solution est toujours optimale. De 2

2θθθθττττ sin==== 6.9 on en déduit [[[[ ]]]]ττττθθθθ 22

11 sinarc====

cd

ywdw

fv

f

1

ρρρρψψψψ ==== s.b

A

w

sww ====ρρρρ 1

2

1

θθθθθθθθ

ττττψψψψ sincot

======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒s

Asw Il est préférable d’utiliser 1θθθθ

ττττψψψψcot

==== car

la valeur de ττττ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant réduit.

Dans l’intervalle 34500 ,≤≤≤≤<<<< ττττ droite OB

Ceci peut se produire lorsque, pour des raisons architecturales, nous disposons d’une âme de dimensions excessives. EdV est

faible. L’optimisation bielles-armatures transversales n’est plus possible. Si nous voulons réduire au max. les armatures transversales, il faut choisir °°°°==== 821,θθθθ , mais dans ce cas les armatures

longitudinales seront plus importantes. Choix 521 ,cot ====θθθθ . M Thonier considère les bielles toujours inclinées à 45 °. Pour des bielles inclinées à 21,8, si le ga in en poids d’acier n’est parfois pas très important bien que l’incidence du décalage des armatures longitudinales n’intervienne que sur le 2ième lit et les suivants s’ils existent, par contre sur le façonnage et la confection de la cage d’armatures, il faudra moins de temps car il y aura environ 2 fois moins de cours d’armatures transversales ; il est cependant possible que les entreprises qui sont spécialisées dans la confection des cages d’armatures ne fassent pas de distinction entre les armatures transversales et longitudinales et appliquent un prix unique au kilo.

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13. Organigramme de calcul des armatures

d’effort tranchant en flexion simple :

L’angle 1θθθθ des bielles est choisi

°°°°==== 8211 ,θθθθ 521 ,cot ====θθθθ L’angle 1θθθθ des bielles est déterminé par

En considérant effort tranchant réduit EdrV

Distance entre les brins dans un cours

[[[[ ]]]]mm;d,mins max,t 600750====

♦ choix de la section d’acier

Calcul du premier espacement avec 6.8 Cette valeur de 1θθθθcot sera utilisée pour toutes les sections de la partie de poutre ayant un V de même signe . Calcul de s sur le reste de la poutre ; Vérificatio n des Bielles d’about ; Ancrage des armatures longitudinales à prolonger sur appui.

Données : wb h ; Classe structurale : 4S

Environnement :Classe d’exposition ..X

béton ../..CC

ckcdck

fff

γγγγ====

Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====

mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d

z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90==== en béton armé (((( ))))

cd

MPack f

f, 11 250

160 νννννννν

−−−−====

acier B500 classe B MPaf yk 500====

MPa,

ff

S

ywkywd 435

151

500 ============γγγγ

m/kNq,g,pu 51351 ++++====

effort tranchant max. de calcul (appui) EdV pour

vérifier la compression des bielles Pour la détermination des armatures transversales : effort tranchant réduit (transmissions directes) et si charges unif. réparties le minimum de l’effort tranchant sur le tronçon de longueur θθθθcotz (EC2) et θθθθcotz,50 d’après l’étude du treillis.

( ) ( )1 3

1100NRd ,c Rd ,c ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =

6.2.

(((( ))))c,Rd

NEd VV >>>> oui

non les armatures d’effort tranchant sont nécessaires vérification compression des bielles

1 1

Ed

w cd cd

V

zb v f v fττττ ττττ= =

521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ

500 ,≤≤≤≤≤≤≤≤ ττττ

3450,≤≤≤≤ττττ

oui

521 ,cotττττ

θθθθττττψψψψ ======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒

sAsw

1

w ywd

cd

f

v f

ρρρρψψψψ=

s.b

A

w

sww ====ρρρρ

yk

ckmin,w f

f,080====ρρρρ 9.5N

distance max. des cours : d,s max,l 750====

sw w ,min w maxA b sρρρρ≥

sAsw

12

1

θθθθθθθθ

ττττψψψψ sincot

======== 6.8 ⇒⇒⇒⇒s

Asw

ψψψψρρρρ

====cd

ywdw

fv

f

1 s.b

A

w

sww ====ρρρρ

non

les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2

50,>>>>ττττ non

oui

Il faut redimensionner le coffrage

[[[[ ]]]]ττττθθθθ 22

11 sinarc====

La résistance des bielles est surabondante

épuisement simultané des bielles et des armatures transversales ;

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14. Pour un effort tranchant modéré,

Organigramme simplifié de calcul des armatures

transversales en flexion simple :

vérification compression des bielles

II. Données : wb h ; Classe structurale : 4S

II. Environnement :Classe d’exposition ..X

II. béton ../..CC

ckcdck

fff

γγγγ====

II. Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====

II. mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d

III. z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90====

II. (((( ))))

cd

MPack f

f, 11 250

160 νννννννν

−−−−====

II. acier B500 classe B MPaf yk 500====

II. MPa,

ff

S

ywkywd 435

151

500 ============γγγγ

II. m/kNq,g,pu 51351 ++++====

effort tranchant max. de calcul (appui) EdV

( ) ( )1 3

1100NRd ,c Rd ,c ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =

6.2.

(((( ))))c,Rd

NEd VV >>>> oui

non

max,RdEd VV ≤≤≤≤oui

swRd ,s ywd

AV zf cot

sθθθθ= 6.8

2 5swEd ywd

AV zf ,

s≤

⇒⇒⇒⇒ 0 4sw Ed

ywd

A V,

s zf≥

choix de la section d’acier s.b

A

w

sww ====ρρρρ

sw w ,min w l ,maxA b sρρρρ≥

Calcul du premier espacement avec

2 5 sw ywd

Ed

, A zfs

V≤

yk

ckmin,w f

f,080====ρρρρ 9.5N

d,s max,l 750====

0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=

les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2

les armatures d’effort tranchant sont nécessaires on se fixe 52,cot ====θθθθ

( )1w cd

Rd ,max

b z fV

tan cot

ννννθ θθ θθ θθ θ

=+

6.9

10 345Rd ,max w cdV , b z fνννν=

non

L’angle 1θθθθ des bielles doit être augmenté, il est déterminé

521 ,cot ≤≤≤≤≤≤≤≤ θθθθ épuisement simultané des bielles et des cadres ;

La résistance des bielles est surabondante

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15. Organigramme simplifié de calcul des armatures transversales (BTS)

vérification de la compression des bie lles

(((( ))))

++++==== 2

2001 ;

dmink mm

cc,Rd

,C

γγγγ180====

Le pourcentage ρl d’acier longitudinal de flexion d.b

A

w

sll ====ρρρρ 020,≤≤≤≤

Asl : aire de la section des armatures tendues, prolon gée d’une longueur supérieure à bdld ++++ au delà de la

section considérée.( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)

210340 /ck

Cmin f

,v

γγγγ==== pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré.

21230530 /ck

Cmin fk

,v

γγγγ==== poutres et dalles autres que celles ci-dessus

Données : wb h ; Classe structurale : 4S

Environnement :Classe d’exposition ..X

béton ../..CC

ckcdck

fff

γγγγ====

Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++====

mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10==== ⇒⇒⇒⇒ d

z inconnu ⇒⇒⇒⇒ d,z 90====

wb plus petite largeur de la section droite

dans la zone tendue II.

(((( ))))

cd

MPack f

f, 11 250

160 νννννννν

−−−−====

acier B500 classe B MPaf yk 500====

MPa,

ff

S

ywkywd 435

151

500 ============γγγγ

m/kNq,g,pu 51351 ++++====

effort tranchant max. de calcul (appui) EdV

( ) ( )1 3100N

Rd ,c Rd ,c l ck min wV sup C k f ;v b dρρρρ =

6.2.

(((( ))))c,Rd

NEd VV >>>> oui

non

max,RdEd VV ≤≤≤≤oui

swRd ,s ywd

AV zf cot

sθθθθ= 6.8

on se fixe 1====θθθθcot sw

Ed ywd

AV zf

s≤ ⇒⇒⇒⇒

sw Ed

ywd

A V

s zf≥

choix de la section d’acier s.b

A

w

sww ====ρρρρ sw w ,min w l ,maxA b sρρρρ≥

Calcul du premier espacement avec sw ywd

Ed

A zfs

V≤

yk

ckmin,w f

f,080====ρρρρ 9.5N

d,s max,l 750====

0 75 600t ,maxs inf( , d ; mm )=

les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises 6.2.2

les armatures d’effort tranchant sont nécessaires

( )1w cd

Rd ,max

b z fV

tan cot

ννννθ θθ θθ θθ θ

=+

6.9

on se fixe 1====θθθθcot soit °°°°==== 45θθθθ

10 5Rd ,max w cdV , b z fνννν=

non

L’angle °°°°==== 45θθθθ des

bielles ne peut pas être augmenté. Il faut redimensionner le coffrage

La résistance des bielles est surabondante

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16. Données pour un sujet U 4.1

Respecter les notations de l’EC2 • Classe structurale : 4S • Environnement : Classe d’exposition ..X

• Section droite : wb ; h

• Matériaux :

béton par exemple : 3730 /C MPaf ck 30==== MPa,

ff

C

ckcd 20

51

30 ============γγγγ

acier 500B classe B MPaf yk 500==== MPa,

ff

S

ykyd 435

151

500 ============γγγγ

• gd valeur maximale de la plus grosse dimension nominal e d’un granulat

• Enrobage nominal : devminnom ccc ∆∆∆∆++++==== donné ou à justifier

Enrobage minimal minc mm;c;cmaxc durmin,bmin,min 10====

min,bc enrobage minimum vis à vis des conditions d’adhérence, celui-ci étant lié au diamètre de la barre ou au

diamètre équivalent du paquet de barres, il faut le vérifier pour chaque barre.

min,durc est à déterminer pour l’armature la plus proche du parement ( par exemple les cadres, .. s’ils existent)

Valeur de valeur devc∆∆∆∆ correspondant aux tolérances mmcdev 10====∆∆∆∆

• Charges : m/kNg m/kNq m/kNq,g,pu 51351 ++++====

moment de flexion ELU u,EdM uM====

4.4.1.2 (5)

4.4.1.2 (3)