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L. P. Kairouan Devoir de synthèse N°3 Prof: Chouihi

Le : 08 - 05 - 08 Durée : 4heures Classes: 4M1+3

Exercice N°1 (4 points)Partie A

Pour chacune des propositions suivantes une et une seule réponse est correcte ; noter sur votre copie le

numéro de la question et la lettre correspondante à la bonne réponse.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( )O, i, jr r

1) Soit l’hyperbole H de centre O, de sommet S(3,0) et de foyer F(5,0) ; H a pour équation réduite:

a)2 2x y 1

9 16- = b)

2 2x y 19 16- = - c)

2 2x y 116 9

- =

2) La parabole de foyer F(2,0) et de directrice D : x = - 2 a pour équation :

a) y² = 4x b) x² = 8y c) y² = 8x

3) Soit S l’application du plan dans le plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel

que : z ' 2iz 1 i= - - + .

a) S est une similitude directe de rapport 2, de centre A(1– i) et d’angle2p

-

b) S = h o SD où h est l’homothétie de rapport 2 et de centre A(1–i) et SD est la symétrie axiale d’axe

D : y = -x.

c) S est une similitude indirecte de rapport 2, de centre A(1– i) et d’axe D : y = x .

Partie B

On donne l’arbre de probabilités suivant tel que P(D) = 0,027

0,05 DA

D 0,2

0,04 D 0,3 B

D

DC

D

a) Déterminer P (AÇD), P (BÇD), en déduire P (CÇD)

b) Recopier sur votre copie l’arbre de probabilités et la compléter.

c) Déterminer P(C / D)

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Exercice N°2 (4 points)Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société fait contrôler les chaudières

pendant l’été. Des études statistiques menées donnent les résultats suivants :

Ø 20% des chaudières sont sous garantie.

ØParmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 0,01.

ØParmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse

est de 0,1. On appelle G l’événement suivant : « La chaudière est sous garantie ».

1) Calculer la probabilité des événements suivants :

A « La chaudière est sous garantie et défectueuse »

B « La chaudière est défectueuse »

2) On sait que la chaudière est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie.

3) Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie, il coûte 20 dinars si la chaudière n’est plus

sous garantie et n’est pas défectueuse, il coûte 200 dinars si la chaudière n’est plus sous garantie et

défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

Exercice N°3 (4 points)

Dans l’espace E rapporté à un repère orthonormé ( O, kji ,, ), on donne les points A(0 ;3 ;0) et B(0 ;0 ;4)

et C(2, 0, 4).

1) a) Montrer que la droite (BC) est orthogonale à la droite (OA).

b) Montrer que la droite (BC) est orthogonale à la droite (OB).

c) En déduire que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OAB).

2) Déterminer le volume du tétraèdre OABC.

3) Montrer que les points O, A, B et C se trouvent sur une sphère dont on déterminera le centre et le

rayon.

4) A tout réel kÎ]0, 4[ on associe le point M(0,0,k).

Le plan contenant M et orthogonal à l’axe (O, kr

) coupe les droites (OC), (AC) et (AB) respectivement

en N, P et Q.

a) Montrer que le quadrilatère MNPQ est un rectangle.

b) Pour quelle valeur de k la droite (PM) est elle orthogonale à la droite (AC) ?

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Problème (8 points)

A. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) =x x

x xe ee e

-

-

-+

1°) a) Dresser le tableau de variations de f.

b) Tracer la courbe représentative (C ) de f dans un repère orthonormé (O, ji, ).

2°) a) Montrer que f est une bijection de IR sur ] – 1,1 [.

b) Expliciter f - 1(x) ; pour tout x Î ] – 1,1 [.

c) Construire la courbe ( C ’) de f - 1 dans le même repère (O, ji, )..

3°) Calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ’), l’axe des ordonnées et la droite

d’équation : y = 1.

4°) a) Montrer que pour tout xÎIR, [f(x)]2 =2x

2x

4e1(e 1)²

-+

b) Soit G = {M(x,y)ÎP tels que : y = f(x) et 0 £ x £ 1} et S le solide obtenu par rotation de G autour de

l’axe des abscisses. Calculer le volume de S.

B. On considère les ensembles :

E = { M(x,y) Î P ;

t - t

t - t

t - t

(e e )x 5e e

, t IR6y

e e

ì -=ï +ï Îí

ï =ï +î

} et H = { M(x,y) ÎP ;

t t

t t

(e e )x 3; t IR2

y 2(e e )

-

-

ì +=ï Îí

ï = -î

}

1°) Pour tout réel t, on pose : u(t) =t te e

2

-+ et v(t) =t te e

2

-- .

Pour tout réel t, établir les égalités :

a) [u(t)]2 – [v(t)]2 = 1 b) [f(t)]2 + 21

[u(t)] = 1

2°) a) Montrer que E a pour équation : x² y² 125 9

+ = .

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de E.

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de H.

3°) Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : 1, 1 + i, i et – 1 + i.

a) Montrer qu’il existe un unique déplacement R transformant A en C et B en D.

b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de R.

4°) a) Déterminer, par son équation cartésienne, l’ensemble E’ image de E par R.

b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de E’.

Fin

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A.S : 07/ 08 4M1+31/2

L.P. Kairouan Correction du devoir de synthèse N°3 Prof : Chouihi

Exercice N°1

Partie A1) a)2) c)3) b)Commentaire pour 3)Ø S est une similitude indirecte (de la forme

z’ = a z +b )Ø De rapport 2i- = 2Ø De centre A car zA’ = zA

Ø D’axe D = {MÎP tel que S(M) = h(M)}NB : on peut procéder par élimination !

Partie Ba) p(AÇD) = p(A).p(D/A) = 0,2´0,05 = 0,01 p(BÇD) = p(B).p(D/B) = 0,3´0,04 = 0,012 p(CÇD) = p(D) – p(AÇD) – p(BÇD) = 0,005

b) 0,05 DA

0,95 D 0,2

0,04 D0,3 B

0,96 D

0,5 0,01 DC

0,99 D

c) p(C/D) = p(C D)p(D)Ç = 5

27Exercice N°2

1) p(A) =p(GÇD)=p(G)´p(D/G)=0,2´0,01 = 0,002 P(B) = p(D) = p(G)´p(D/G) + p(G) p(D / G)´ =

0,002 + 0,8 ´ 0,1 = 0,082

2) p = p(G/D) = p(G D)p(D)Ç = 2 1

82 41= »0,0243

3) X(W) = {0, 20, 200}p(X = 0) = p(G) = 0,2p(X = 20) =p(G D)Ç = p( G )´p( D / G )

= 0,8´0,9 = 0,72P(X = 200) = p(G D)Ç = p(G )´p( D / G )

= 0,8´0,1 = 0,08E(x) = 20´0,72 + 200´0,08 = 30,4

Exercice N°3

1) a)2 0

BC 0 OA 3 00 0

æ ö æ öç ÷ ç ÷· =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

uuur uuur

donc (BC)^(OA).

b)2 0

BC 0 OB 0 00 4

æ ö æ öç ÷ ç ÷· =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

uuur uuur

donc (BC)^(OB).

c)(BC) (OA)(BC) (OB)(OA) et (OB) sont sécantes

^ìï ^íïî

alors (BC)^(OAB)

2) En remarquant que OAB est rectangle en O eten tenant compte du fait que (BC) ^ (OAB) ondéduit que :

V(OABC) = 16

OA´OB´BC = 4

3) Soit W(x,y,z)A OB OC O

W = Wìï W = Wíï W = Wî

Û6y 9 08z 16 04x 8z 20 0

- + =ìï- + =íï- - + =î

ÛW( 32

,2,1)

R = OW = 292

4) a) N( k2

,0,k) ; P( k 3, k 3, k2 4- + ) et

Q( 30, k 3, k4

- + )

Il suffit de vérifier que MN QP=uuuur uuur

et queMN MQuuuur uuuur

g =0.

b) k = 3613

Problème1) a) Df = IR. f est continue et dérivable sur IR

f(x) =x 2x 2x

x 2x 2x

e (e 1) e 1e (e 1) e 1

-

-

- -=

+ + donc limf 1

-¥= -

f(x) =x 2x 2x

x 2x 2x

e (1 e ) 1 ee (1 e ) 1 e

- -

- -

- -=

+ + donc limf 1

+¥=

f’(x) = x x4

(e e )²-+f 0

x -¥ + ¥f’(x) +

f(x) 1-1

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A.S : 07/ 08 4M1+32/2

2) a) f est strictement croissante sur IR donc elleréalise une bijection de IR sur f<IR> et comme fest continue sur IR alors f<IR> = ] limf , lim f

-¥ +¥[

= ]-1, 1[

b)1 f (y) xf (x) y

y IRx ] 1,1[

- =ì = ìÛí í ÎÎ - îî

f(y) = x Ûy y

y ye ee e

-

-

-+

= x Û ey(1 – x) = e-y(1 + x)

Û e2y(1 – x) = 1 + x Û 2y 1 xe1 x+

=-

Û 2y = 1 xln( )1 x+-

donc 1 1 1 xf (x) ln( )2 1 x

- +=

-c) C’ est l’image de C par rapport à D : y = x3) par raison de symétrie par rapport à D, l’aire Ademandé est égal à celui de la partie limitée par lacourbe C, l’axe des abscisses et la droited’équation : x = 1 ; donc

A =1 1x x 1

00f (x)dx ln(e e ) ln(e e ) ln 2- -é ù= + = + -ë ûò

x x 2x 2x

x x 2x 2x

2x 2x

2x 2x 2x 4x 2x

2x

2x

e e e e 24) a) [f(x)]² =e e e e 2e e 2 4 41

e e 2 e (e 1 2e )4e1

(e 1)²

- -

- -

-

- -

- + -=

+ + ++ + -

= = -+ + + +

= -+

b) V=1 2

0f (x)dxpò =

2x1

2x0

4e(1 )dx(e 1)²

p -+ò

=1

2x0

2xe 1

é ùp +ê ú+ë û= 2

2e 1p+

B.1) a) et b) simple calcul !

2) a)

x f (t)5y 13 u(t)

ì =ïïíï =ïî

et comme [f(t)]2 + 21

[u(t)] = 1

donc x² y² 125 9

+ = .

E est une ellipse de foyer F(4,0) de directrice

associée à F la droite D : x = 254

et d’excentricité

e = 45

.

b)

x u(t)3y v(t)4

ì =ïïíï =ïî

et comme [u(t)]2 – [v(t)]2 = 1 donc

x² y² 19 16- = .

H est une hyperbole de foyer F(5,0), de directrice

associée à F la droite D’: x = 95

.

3) a) AB =1 & CD = 1[ AB = CD & AB¹ 0] donc il existe un uniquedéplacement R transformant A en C et B en D.b) La transformation complexe associée à R est dela forme z’ = az + b avec a = 1

R(A) CR(B) D

=ìí =î

Ûa b ia(1 i) b 1 i+ =ì

í + + = - +îÛ

a ib 0=ì

í =îDonc z’ = iz et par suite R est la rotation de centre

O et d’angle2p .

4) a) M’ = R(M) Û z’ = iz Û z = -iz’

Û x + iy = -i(x’ + iy’) Ûx y 'y x '=ì

í = -î

M Î E Ûx² y² 125 9

+ = Ûx ' ² y ' ² 19 25

+ =

Donc E’ a pour équation : x² y² 19 25+ =

b) E’ est une ellipse de foyer F’(0,4), de directrice

associée à F’ la droite d’équation : y = 254

et

d’excentricité e = 45

.

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