EXERCICE 1 (5 points )
Commun tous les candidats
La courbe C donne ci-dessous est la reprsentation graphique,
dans un repre orthonormal, dune
fonction f dfinie et drivable sur ] 1;+[. On sait que la
fonction f est croissante sur ] 1; 1] etsur [3,+[ et que la droite
D est asymptote C en +.
1 2 3 4 512
1
2
1
C D
I. Etude graphique de la fonction fChaque question comporte
trois affirmations, une seule des trois est exactes. Indiquer sur
votre copie
le numro de la question et recopier laffirmation exacte sans
justifier votre choix.Une bonne rponse
rapporte 0,5 point ; une mauvaise rponse retire 0,25 point ;
labsence de rponse donne 0 point.
1. Une asymptote C est la droite dquation :
y = 1 x = 1 x = 1.
2. La droite D a pour quation :
y =5
2x 10 y =
5
2x 9 y = 3x 10.
3. Le nombre driv de f en 0 est 1 3 3.
4. Le nombre de solutions de lquation f(x) = 0 sur ] 1;+[ est :
2 1 3.
II. Etude dune fonction g
On note g la fontion dfinie sur ] 1;+[ par g(x) = exp(f(x)).1.
Dterminer lim
x+g(x) puis lim
x1g(x).
2. Etudier les variations de g sur ] 1;+[ et en dresser le
tableau de variation.3. Dterminer g(1) et g(0).4. Dterminer, avec
la prcision permise par le graphique, lensemble des solutions
sur
] 1;+[ de linquation g(x) e2.
2
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2006
MATHEMATIQUES
- Srie ES -
Enseignement Obligatoire
LIBAN
EXERCICE 1
I. Etude graphique de la fonction f
1. C2. Ac) Bd) C
Explications.
1. C admet pour asymptote la droite forme des points dont
labscisse vaut 1 cest--dire la droite dquation x = 1.
2. La droite D passe par le point (4, 0). Or5
2 4 9 = 10 9 = 1 "= 0 et 3 4 10 = 12 10 = 2 "= 0. Les rponses B
et
C sont donc fausses
3. f (0) est le coefficient directeur de la tangente (C) au
point dabscisse 0. Cette tangente passe par les points (0; 1)
et
(0, 5; 2, 5). Donc f (0) =2, 5 1
0, 5 0=
1, 5
0, 5= 3.
4. Les solutions de lquation f(x) = 0 sur ] 1,+[ sont les
abscisses des points dintersection de C avec laxe desabscisses. On
compte 3 points dintersection et donc 3 solutions.
II. Etude dune fonction g
1. limx+ f(x) = +. Donc limx+ g(x) = limx+ ef(x) = limX+ eX =
+.
limx1 f(x) = . Donc limx1 g(x) = limx1 ef(x) = limX eX = 0.
limx+ g(x) = + et limx1g(x) = 0.
2. La fonction g est drivable sur ]1,+[ et pour tout rel x >
1, on a g (x) = f (x)ef(x). Mais pour tout rel x > 1,ef(x) >
0. Le signe de g (x) est donc le signe de f (x). Sur le graphique,
on voit que la fonction f est strictement positivesur ] 1, 1[,
strictement ngative sur ]1, 3[, strictement positive sur ]3,+[ et
sannule en 1 et 3.Tableau de variation de g
x 1 1 3 +g (x) + 0 0 +
e2 +g
0 e1
3. g (1) = f (1) ef(1) = 0 e2 = 0 et g (0) = f (0) ef(0) = 3 e1
= 3e.
g (1) = 0 et g (0) = 3e.
4. Soit x un rel strictement suprieur 1. g(x) e2 ef(x) e2 f(x)
2. Sur le graphique, on voit que les abscissesdes points de C dont
lordonne est infrieure ou gale 2 est lintervalle ] 1; 4, 7].
Donc
S =] 1; 4, 7].
1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits rservs.
