Session 2012

BACCALAUREAT GENERAL

MATHEMATIQUESSrie S

Enseignement Obligatoire

Dure de lpreuve : 4 heures

Coefficient : 7

Ce sujet comporte 5 pages numrotes de 1 5.

Lutilisation dune calculatrice est autorise.

Le sujet est compos de 4 exercices indpendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.

La qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pourune part importante dans lapprciation des copies.

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EXERCICE 1 (5 points )(Commun tous les candidats)Les cinq questions sont indpendantes.Pour chaque question, une affirmation est propose. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse,en justifiant la rponse. Une rponse correcte et justifie rapporte un point.

1. Dans lespace rapport un repre orthonormal(O,i ,j ,k)

, on considre la droite D donton donne une reprsentation paramtrique, et le plan P dont on donne une quation cartsienne :

D

x = 1 2ty = tz = 5 4t

(t R) et P : 3x+ 2y z 5 = 0.

Affirmation 1 : la droite D est strictement parallle au plan P .

2. Dans lespace rapport un repre orthonormal(O,i ,j ,k)

, on considre le point A(1; 9; 0)et le plan P dquation cartsienne 4x y z + 3 = 0.

Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est gale 3

2.

3. Soit la fonction f dfinie pour tout rel x par : f(x) = 31 + e2x

.

On note C la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre du plan.Affirmation 3 : la courbe C admet deux asymptotes parallles laxe des abscisses.

4. Pour tout rel x, on pose F (x) =

x

1

(2 t)et dt.

Affirmation 4 : F (x) est ngatif ou nul quelle que soit la valeur du rel x suprieur 1.

5. On considre lintgrale I =

e

1

t2 ln t dt.

Affirmation 5 : la valeur exacte de lintgrale I est 2e3 + 1

9.

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EXERCICE 2 (5 points )(Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit)Le plan est muni dun repre orthonormal direct (O;u ,v ).

On note r la rotation de centre O et dangle pi6

.

On considre le points A, daffixe zA = 3 + i, le point A1 daffixe zA1 = zA o zA dsigne le

conjugu de zA.On note enfin B limage du point A1 par la rotation r et zB laffixe du point B.

1. a. crire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dansle repre. On prendra 2 cm comme unit graphique.

b. Vrifier que zB = 2e2ipi

3 sous forme exponentielle, puis crire le nombre complexe zB sousforme algbrique.Placer alors le point B dans le mme repre.

2. On considre le vecteur unitaire w tel que (u ,w ) = pi12

et la droite passant par O de vecteurdirecteur w .a. Dmontrer que le triangle OAB est rectangle isocle en O.b. Tracer la droite , puis dmontrer que est la bissectrice de langle

(OA,

OB

).

En dduire que les points A et B sont symtriques par rapport la droite .

3. On note B1 le symtrique de B par rapport laxe (O;u ) et B limage de B1 par la rotation r.Dmontrer que B = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou dinitiative, mme non aboutie, sera prise encompte dans lvaluation.Soit C le point daffixe

2(1 + i) et D le symtrique de C par rapport la droite .

Construire les points C et D, puis calculer laffixe du point D.

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EXERCICE 3 (5 points )(Commun tous les candidats)

Soit k un entier naturel suprieur ou gal 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches.Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste prlever au hasard successive-ment et avec remise deux boules dans cette urne. On tablit la rgle de jeu suivante :

- un joueur perd 9 euros si les deux boules tires sont de couleur blanche ;- un joueur perd 1 euro si les deux boules tires sont de couleur noire ;- un joueur gagne 5 euros si les deux boules tires sont de couleurs diffrentes ; on dit dans ce casl quil gagne la partie.

Partie ADans la partie A, on pose k = 7.Ainsi lurne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilit que le joueur gagne la partie, cest--direla probabilit quil ail tir deux boules de couleurs diffrentes. Dmontrer que p = 0, 42.

2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indpendantes.On note X la variable alatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnes par le joueur,et pn la probabilit que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties.a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramtres n et p.b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au millime.c. Dterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilit

de gagner au moins une fois soit suprieure 99%.

Partie BDans la partie B, le nombre k est un entier naturel suprieur ou gal 2.Un joueur joue une partie.On note Yk la variable alatoire gale au gain algbrique du joueur.

1. a. Justifier lgalit : p(Yk = 5) =6k

(k + 3)2.

b. crire la loi de probabilit de la variable alatoire Yk.

2. On note E(Yk) lesprance mathmatique de la variable alatoire Yk.On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque lesprance E(Yk) est strictement positive.Dterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

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EXERCICE 4 (5 points )(Commun tous les candidats)

1. On considre lalgorithme suivant :

Entre Saisir un rel strictement positif non nul aSaisir un rel strictement positif non nul b (b > a)Saisir un entier naturel non nul N

Initialisation Affecter u la valeur aAffecter v la valeur bAffecter n la valeur 0

Traitement TANTQUE n < NAffecter n la valeur n+ 1

Affecter u la valeur a+ b2

Affecter v la valeura2 + b2

2Affecter a la valeur uAffecter b la valeur v

Sortie Afficher, afficher v.

Reproduire et complter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4,b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millime.

n a b u v

0 4 912

Dans la suite, a et b sont deux rels tels que 0 < a < b. On considre les suites (un) et (vn) dfiniespar : u0 = a, v0 = b et, pour tout entier naturel n :

un+1 =un + vn

2et vn+1 =

u2n + v

2n

2.

2. a. Dmontrer par rcurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0.

b. Dmontrer que, pour tout entier naturel n : v2n+1 u2n+1 =(un vn

2

)2.

En dduire que, pour tout entier naturel n, on a un 6 vn.

3. a. Dmontrer que la suite (un) est croissante.b. Comparer v2n+1 et v2n. En dduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Dmontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes.

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