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joel-barbara
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EXERCICE 3 (5 points )(Commun tous les candidats)
Partie AOn considre lalgorithme suivant : Les variables sont le rel U et les entiers naturels k et N .
Entre Saisir le nombre entier naturel non nul NTraitement Affecter U la valeur 0
Pour k allant de 0 N 1Affecter U la valeur 3U 2k + 3
Fin pourSortie AfficherU .
Quel est laffichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie BOn considre la suite (un) dfinie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un 2n+ 3.
1. Calculer u1 et u2.
2. a. Dmontrer par rcurrence que, pour tout entier naturel n, un ! n.b. En dduire la limite de la suite (un).
3. Dmontrer que la suite (un) est croissante.
4. Soit la suite (vn) dfinie, pour tout entier naturel n, par vn = un n + 1.a. Dmontrer que la suite (vn) est une suite gomtrique.b. En dduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n 1.
5. Soit p un entier naturel non nul.a. Pourquoi peut-on affirmer quil existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n ! n0,un ! 10p ?On sintresse maintenant au plus petit entier n0.
b. Justifier que n0 " 3p.c. Dterminer laide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donne en entre, affiche en sortie la valeurdu plus petit entier n0 tel que, pour tout n ! n0, on ait un ! 10p.
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EXERCICE 3
Partie A
Si N = 3, k varie de 0 2.Etape 1 k = 0 puis U = 3 0 2 0+ 3 = 3Etape 2 k = 1 puis U = 3 3 2 1+ 3 = 10Etape 3 k = 2 puis U = 3 10 2 2+ 3 = 29Laffichage en sortie est donc 29.
Partie B
1) u1 = 3u0 2 0+ 3 = 3 0+ 3 = 3 et u2 = 3u1 2 1+ 3 = 3 0+ 3 = 9 2+ 3 = 10.2) a) Montrons par rcurrence que pour tout entier naturel n, un ! n.
Pour n = 0, u0 = 0 et en particulier u0 ! 0. Lingalit est donc vraie quand n = 0. Soit n ! 0. Supposons que un ! n.
un+1 = 3un 2n + 3 ! 3n 2n + 3 = n + 3 ! n + 1.
On a montr par rcurrence que pour tout entier naturel n, un ! n.
b) Pour tout entier naturel n, un ! n et limn+
n = +. Donclim
n+un = +.
3) Soit n N.un+1 un = 3un 2n + 3 un = 2(un n) + 3 ! 3 (daprs la question prcdente)
et en particulier un+1 un ! 0 ou encore un " un+1. Ainsi, pour tout entier naturel n, un " un+1 et donc
la suite (un) est croissante.
4) a) Soit n N.vn+1 = un+1 (n + 1) + 1 = 3un 2n + 3 n = 3un 3n + 3 = 3(un n + 1) = 3vn.
La suite (vn) est une suite gomtrique de raison q = 3.
b) v0 = u0 0+ 1 = 1 puis pour tout entier naturel n,
vn = v0 qn = 3n.Mais alors, pour tout entier naturel n, un = vn + n 1 = 3n + n 1.
Pour tout entier naturel n, un = 3n + n 1.
5) a) Soit p un entier naturel non nul. Puisque limn+
un = +, il existe un entier n0 tel que, pour n ! n0, un ! 10p.b) Soit p un entier naturel non nul. u3p = 33p + 3p 1 = 27p + 3p 1 ! 10p + 3 1 1 ! 10p puis, pour n ! 3p,un ! 10p car la suite (un) est croissante.Donc lentier 3p est un rang partir duquel on a un ! 10p. Puisque n0 est le plus petit des rangs partir duquelun ! 10p, on a n0 " 3p.
c) u0 = 0 < 103, u1 = 3 < 103, u2 = 10 < 103, u3 = 29 < 103, u4 = 84 < 103, u5 = 247 < 103, u6 = 734 < 103,u7 = 2193 ! 103. Donc, si p = 3 alors n0 = 7.
d)
Entre Saisir le nombre entier naturel non nul pTraitement Affecter N la valeur 0
Tant que 3 n + n 1 < 10p
Affecter N la valeur N + 1Fin tant que
Sortie AfficherN.
http ://www.maths-france.fr 6 c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits rservs.