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Brevet 3° - Mathématiques, fiche de révision

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Révisions brevet : MathsArithmétique

I. Nombres entiers

On appelle diviseurs communs à a et b, les nombres entiers qui divisent à la fois a et b.Pour déterminer le PGCD on effectue

− L'algorithme de différence : la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul.

− L'algorithme d'euclide : la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD, est, alors, le dernier diviseur.

2 nombres entiers sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1

II. Calculs numériques

Dans une suite d'opérations, on effectue dans l'ordre :– Calculs entre parenthèses– Puissances & Racines carrées– Multiplications & Divisions (de la gauche vers la droite)– Additions & Soustractions (de la gauche vers la droite)

La somme de deux nombres relatifs de signes contraires a pour signe, le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue : positif + positif = positif ; négatif + négatif = négatif

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.Le produit de deux nombres relatifs de signe contraire est négatif.

Pour simplifier une fraction, on divise (ou on multiplie) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Pour effectuer une multiplication de fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

III. Puissances

La notation an (où n est une entier plus grand que 1) désigne le produit de n facteurs égaux à a.an=a×a× ... ×a

IV. Racines carrées

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V. Calcul littéral

Réduire une expression littérale, c'est rassembler les termes de même nature (mêmes lettres et mêmes exposants)

x1 = x ; x0 = 1 ; 1x = xOrdonner une expression littérale, c'est ranger les termes suivants les puissances (dé)croissantes et suivant l'ordre alphabétique.Développer (ou distribuer) une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme.Factoriser (ou mettre en facteurs) une expression littérale, c'est transformer une somme en un produit.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

VI. Equations

On appelle équation carrée, une équation de la forme x2 = a, où a est un nombre quelconque.Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs, au moins, est nul.Résoudre un système d'équations, c'est trouver toutes les solutions communes aux deux équations : On ajoute, membre à membre, les deux équations après les avoir multipliées par des coefficients convenablement choisis pour éliminer une des deux inconnues.

VII. Statistiques

On appelle population un ensemble soumis à une étude statistique.On appelle individu un élément d'une population.On appelle caractère le critère suivant lequel on étudie la population.Suivant les cas le caractères peut être discret (âge, pointure, couleur des yeux, ...) ou continu (la taille, les salaires,... ). Dans ce dernier cas les valeurs sont données par classe ([160, 165[ pour la taille).On appelle effectif total le nombre total d'individus dans la population.On appelle fréquence le rapport entre l'effectif d'une valeur et l'effectif total.On appelle moyenne (ou moyenne arithmétique) le rapport entre la somme des valeurs et le nombre de valeurs.On appelle moyenne pondérée, une moyenne dans laquelle chaque valeur possède un coefficient.On appelle médiane la valeur située au milieu de la liste quand celle-ci est classée dans l'ordre (dé)croissant. Si le nombre de valeurs est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs situées au milieu.

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Géométrie

Thalès : Deux triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès si les points (A, B, D) et (A, C, E) sont alignés dans le même ordre. Si les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès et si les droites (BC) et (DE) sont parallèles, alors AB/AD=AC/AE=BC/DE

Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Autrement dit : Si ABC

est un triangle rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.

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Dans le triangle :

− La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. (C'est l'axe de symétrie du segment). Les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle. (cercle qui contient les 3 sommets)

− Une hauteur d'un triangle est une droite (ou un segment) perpendiculaire à un côté et contenant le sommet opposé. (A' est le pied de la hauteur issue de A). Les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un point appelé orthocentre du triangle.

− La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure. Les 3 bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit au triangle. (cercle intérieur tangent aux 3 côtés)

− Une médiane d'un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Les 3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. (ou centre d'équilibre)

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