Calcul Des Potelets Selon L_EuroCode 3

CH5 : Calcul des potelets

Calcul des potelets 1- Introduction : Les potelets sont le plus souvent des profilés en I ou H destinés à rigidifier la clôture (bardage) et résister aux efforts horizontaux du vent. Leurs caractéristiques varient en fonction de la nature du bardage (en maçonnerie ou en tôle ondulée) et de la hauteur de la construction. Ils sont considérés comme articulés dans les deux extrémités.

Bardage (Tôle nervurée)

b

Potelet

Poteau

Lisse de bardage

h

2- Détermination des sollicitations : Le Potelet, travaille à la flexion sous l’action de l’effort du vent provenant du bardage et des lisses, et à la compression sous l’effet de son poids propre, du poids du bardage et des lisses qui lui est associé, et de ce fait fonctionne à la flexion composé. 2.1- Evaluation des charges et surcharges : a- charges permanentes (G) : (charge concentrée) G = poids propre du potelet + poids propres des lisses + poids propre du bardage. b- surcharge climatiques : (dans le plan de l’âme) surcharge du vent (V) : Combinaisons de charges :

VG 5.135.1 +

1


3- Principe de dimensionnement : Pour les éléments comprimés et fléchis, très élancés, on les dimensionne souvent sous la condition de la flèche. 3.1- Condition de flèche : La vérification de la flèche se fait sous le vent (non pondéré).

zy

y

V

z La flèche autour de l’axe yy :

200.

.384

5 4 lfIElVf ad

yy =≤×=

l : longueur du potelet le plus chargé.

ElVI y

3.384

1000×≥

On choisit la section du profilé dans les tableaux ayant au moins la valeur de supérieure ou égale à la valeur trouvée.

yI

3.2. Vérification à la sécurité : Le potelet est sollicité à la flexion (due au vent) et à la compression (due à son poids propre, aux poids du de bardage et des lisses). En aucun cas, il ne supporte la toiture (il est assujetti au portique par appui glissant). Il travaille à la flexion composée. La vérification à la sécurité est donnée par les formules suivantes :

G 3.2.1. Vérification à la résistance : (poteau court)

zy

y

V

z

Pour une section comprenant des semelles : • Si 1/.50.0,25.0( MyWplSd fANMinN γf ) : présence d’effort normal Section de classe 1 et 2 : Flexion autour de l’axe : yy

Ryy MM ≤

2


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−

=a

nMM plyRy 5.011

G Flexion autour de l’axe : zz

3

Rzz MM ≤

O L

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=2

11

aanMM plzRz

fw tbAA .2−= (aire de l’âme) )5.0;/min( AAa W=

pl

Sd

NN

n =

GN 35.1=

8)5.1( 2lVM y×

=

0

.

M

ypl

fAN

γ=

0

.

M

yplyply

fWM

γ=

0

.

M

yplzplz

fWM

γ=

G : poids propre des éléments supportés par le potelet ; G = poids des lisses + Poids du bardage + Poids propre du potelet

.2.2. Vérification à la stabilité : (Poteau élancé)

zy

y

V

Si : 2.0max fλ → (il y a risque de flambement)

1.0.min

fpl

Sd

NN

χ → (présence de l’effort normal)

z

ù : ),(max zyMax λλλ = et );(min zyMin χχχ =

a vérification à la stabilité est donnée par la formule suivante :

3


. yySd MkN

A

C

Cl O O

0.1.min

≤+plypl MNχ

vec :

1

.

M

ypl

fAN

γ=

1

.

M

yplyply

fWM

γ=

yy

Sdyy Af

Nk

.

.1

χµ

−= avec 5.1≤yk

ely

elyplyMyyy W

WW −+−= )42( βλµ avec 9.0≤yµ

G : poids propre des éléments supportés par le potelet ;

G = Poids des lisses + Poids du bardage + Poids propre du potelet

alcul de l’élancement réduit maxλ :

[ ] 5.0

1

maxmax Aβλ

λλ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5.0

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

yfEπλ : élancement critique d’Euler

),(max zyMax λλλ = : élancement maximale de l’élément.

y

yy i

l=λ ;

z

zz i

l=λ ;

:yl longueur de flambement par rapport à l’axe yy :zl longueur de flambement par rapport à l’axe zz

:yi rayon de giration par rapport à l’axe yy :zi rayon de giration par rapport à l’axe zz

0.1=Aβ : pour les sections transversales de classe 1,2 ou3.

alcul du coefficient de réduction minχ à l’aide du Tableau 3 (voir le Tableau 5.5.2 de ’Eurocode 3) :

n calcul );(max zyMax λλλλ ==

n lit la valeur de minχχ = directement dans le tableau 3 en fonction de l’élancement réduit λ et de la courbe de flambement appropriée.

4


Tableau 1 Choix de la courbe de flambement correspondant à une section Type de Section limites Axe de

flambement Courbe de

flambement 2.1/ fbh

mmt f 40≤

mmtmm f 10040 ≤p

yy − zz −

yy − zz −

a b

b c

Section en I laminées

2.1/ ≤bh

mmt f 100≤

mmt f 100f

yy − zz −

yy − zz −

b c

d d

Sections en U, L, T et sections pleines

Quel qu’il soit

c

z

z

y y

b

h

tf

Pour les autres cas : voir Tableau 5.5.3 de l’Eurocode 3.

Tableau 2 : Détermination des points de maintien Facteur Axe de flexion Points maintenus suivant la direction

Myβ yy − zz −

Mzβ zz − yy −

MLTβ yy − yy −

5


Tableau 3 : Coefficients de réduction χ

Courbe de flambement λ a b c d 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

1.0000 0.9775 0.9528 0.9243 0.8900 0.8477 0.7957 0.7339 0.6656 0.5960 0.5300 0.4703 0.4179 0.3724 0.3332 0.2994 0.2702 0.2449 0.2229 0.2036 0.1867 0.1717 0.1585 0.1467 0.1362 0.1267 0.1182 0.1105 0.1036

1.0000 0.9641 0.9261 0.8842 0.8371 0.7837 0.7245 0.6612 0.5970 0.5352 0.4781 0.4269 0.3817 0.3422 0.3079 0.2781 0.2521 0.2294 0.2095 0.1920 0.1765 0.1628 0.1506 0.1397 0.1299 0.1211 0.1132 0.1060 0.0994

1.0000 0.9491 0.8973 0.8430 0.7854 0.7247 0.6622 0.5998 0.5399 0.4842 0.4338 0.3888 0.3492 0.3145 0.2842 0.2577 0.2345 0.2141 0.1962 0.1803 0.1662 0.1537 0.1425 0.1325 0.1234 0.1153 0.1079 0.1012 0.0951

1.0000 0.9235 0.8504 0.7793 0.7100 0.6431 0.5797 0.5208 0.4671 0.4189 0.3762 0.3385 0.3055 0.2766 0.2512 0.2289 0.2093 0.1920 0.1766 0.1630 0.1508 0.1399 0.1302 0.1214 0.1134 0.1062 0.0997 0.0937 0.0882

Tableau 4. Facteur de moment uniforme équivalent Mβ Diagramme de moment Facteur de moment uniforme équivalent

Mβ Moments d’extrémités

ψβ ψ 7.08.1 −=M

1M

11 ≤≤− ψ

1M

Pour les autres cas :

Moments dus à d

Si : 4.0≥LTλ →

voir Figure 5.5.3 de

QM

QM

es charges transver

il y a risque de

ψ

3.1, =QMβ

4.1, =QMβ

l’Eurocode 3.

sales

6

déversement


La formule de vérification est la suivante : Section de classe 1 et 2 :

0.1.

≤+ yLTSd MkN

a

A

P

C C

a

..min plyLTpl MN χχ

vec :

1

.

M

ypl

fAN

γ= et

1

.

M

yplpl

fWM

γ=

yz

SdLTLT Af

Nk

..

1χµ

−= et 0.1≤LTk

15.0.15.0 −= MLTzLT βλµ et 9.0≤LTµ

MLTβ est un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement.

[ ] 5.0

1

. wLT

LT βλλ

λ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vec : επλ 9.931 ==yf

E et yf

235=ε

LTλ : élancement de l’élément vis-à-vis du déversement

our les profilés laminés en I ou H

25.02

5.01 /

/2011)(

/

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

=

f

z

zLT

thiLC

iLλ

alcul du coefficient de réduction pour le déversement LTχ :

alcul analytique :

[ ] 0.115.022≤

−+=

LTLTLT

LTλϕϕ

χ

vec : [ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαϕ +−+=

7


[ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαϕ +−+=

[ ] 5.022

1

LTLTLT

LTλϕϕ

χ−+

=

Calcul de LTχ à l’aide du tableau 3 ( voir Tableau 5.5.2 de l’Eurocode 3). Les valeurs du coefficient de réduction LTχ pour l’élancement réduit approprié LTλ peuvent être obtenues à partir du tableau 3 , avec LTλλ = et LTχχ = , en utilisant :

• La courbe a pour les profils laminés. • La courbe c pour les profils soudés.

Exemple d’application : Soit à dimensionner le potelet de la face pignon (petite face) le plus chargé de la figure ci – dessous dans le cas des deux variantes suivantes : Variante 1 : le potelet supporte en plus de son poids propre le poids du bardage (bacs acier) de 12.0 kg/m2 , le poids des isolants ainsi que le poids des lisses qui lui revient (IPE 120). Variante 2 : le potelet supporte en plus de son poids propre le poids du bardage (brique creuse) de 120 kg/m2 , le poids des isolants ainsi que le poids des lisses qui lui revient (IPE 200). La pression engendrée par le vent dans les deux cas est de : . 2/100 mkgV +=

Traverse (ou ferme)

4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.0 m

Lisse de bardage

Poteau

Potelet le plus chargé

1.5 m

2.0 m 2.0 m 2.0 m

8


Solution 1 : (Bardage en acier) 1- Calcul des charges et surcharges revenants au potelet le plus chargé (potelet du

milieu) : 1.1- Charges permanentes G : (verticale concentrée) Bardage (bac acier):………………………………………………...12 kg/m2

Poids propre de la lisse (IPE 120) : …………………………….…..10.4 kg/ml Accessoires de pose :………………………………………………...5 kg/m2

Isolants :……………………………………………………………...5 kg/m2

Poids propre du potelet : (à déterminer) Longueur de la lisse : m4Nombre de lisses supportées par le potelet : 4 lisses Surface tributaire revenant au potelet le plus chargé : 2)5.74( m×L’entre axe des potelets : m4

kgG 4.8265.74)5512()444.10( =××+++××= 1.2- Surcharges climatiques V : (horizontale suivant le plan de l’âme) Vent : ……………………………………..………………………….100kg/m2

mlkgV /4000.4100 =×=

2- Dimensionnement du potelet : 2.1- Sous la condition de flèche : La vérification de la flèche se fait sous les charges non (non pondéré).

mlkgV /400=

200..

3845 4 lf

IElV

f adz

ny =≤×=

ml 5.7= : longueur du potelet le plus chargé (potelet du milieu).

46

323

6.2092101.2384

750104001000.384

1000 cmElVI y =

×××××

=×≥−

On choisit la section du profilé dans les tableaux ayant au moins la valeur de supérieur ou égale à la valeur trouvée.

yI

Ce qui correspond à un profilé IPE 220 : ( ) 48.2771 cmI y =Caractéristiques géométriques de l’IPE 220

3. 252cmW yel = ; 3

. 24.37 cmW zel =3

. 4.285 cmW ypl = ; 3. 1.58 cmW zpl =

9


48.2771 cmI y = ; 481.204 cmI z =

cmiy 11.9= ; cmiz 48.2=

mlkgp /2.26= ; 24.33 cmA = 2.2- Vérification à la stabilité : Le potelet est sollicité à la flexion (due au vent) et à la compression (due à son poids propre, aux poids des bacs de bardage et des lisses). En aucun cas, il ne supporte la toiture (il est assujetti au portique par appui glissant). Il travaille à la flexion composée. La vérification à la stabilité est donnée par les formules suivantes : Calcul de l’élancement réduit vis-à-vis du flambement maxλ :

[ ] 5.0

1

maxmax Aβλ

λλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

avec 0.1=Aβ pour les sections de classes 1,2, et 3.

9.932350

101.25.06

5.0

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ππλ

yfE

),(max zyMax λλλ =

3.8211.97500.1

=×

==y

yy i

lλ

6.8048.2

200===

z

zz i

lλ

3.82),(max == zyMax λλλ :yl longueur de flambement autour de l’axe yy :zl longueur de flambement autour de l’axe zz :0l longueur du poteau :yi rayon de giration par rapport à l’axe yy :zi rayon de giration par rapport à l’axe zz

[ ] 88.00.19.933.825.0

1

maxmax =×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Aβλ

λλ

2.0max fλ → il y a risque de flambement Calcul de l’élancement réduit vis-à-vis du déversement LTλ :

[ ] 5.0

1

. wLT

LT βλλ

λ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10


Avec : 9.931 =λ

LTλ : élancement de l’élément vis-à-vis du déversement Pour les profils laminés en I ou H

73.67

92.0/2248.2/200

2011132.1

48.2/200

//

2011)(

/25.02

5.0

25.02

5.01

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

f

zz

zzLT

thilC

ilλ

[ ] 72.00.19.9373.67. 5.0

1

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= w

LTLT β

λλ

λ

4.072.0 f=LTλ → il y a risque de déversement

Vérification s’il y a présence d’effort normal :

Si 1.0.min

fpl

Sd

NN

χ→ il y a présence d’effort normal

7462.0min =χ (après interpolation)

kgG 10235.72.265.74)5512()444.10( =×+××+++××=

1.0026.06.713547462.0

102335.1.

35.1. minmin

p=××

==plpl

Sd

NG

NN

χχ→ l’effort normal est négligeable

Nature de la sollicitation :

2.0max ≥λ (il y a risque de flambement)

4.0≥LTλ (il y a risque de déversement)

1.0.min

ppl

Sd

NN

χ → pas d’effort normal

Le poteau travaille à la flexion simple avec déversement

fW .

yplwLTM

yyplwLTdevr MMM .

1

. .... βχγ

βχ ===

0.1=wβ pour les sections de classes 1 et classes 2.

mkgVlM y .8.42188

5.74005.18

5.1 22

=××

==

11


kgmfW

MM

yyplypl 2.6097

1.11023504.285. 2

1

.. =

××==

−

γ

Calcul du coefficient de réduction pour le déversement LTχ : Calcul analytique :

[ ] 0.115.022≤

−+=

LTLTLT

LTλϕϕ

χ

avec : [ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαϕ +−+=

21.0=LTα pour les sections laminées 72.0=LTλ [ ] [ ] 81.072.0)2.072.0(21.015.0)2.0(15.0 22 =+−+=+−+= LTLTLTLT λλαϕ

[ ] [ ] 846.72.081.081.0

115.0225.022=

−+=

−+=

LTLTLT

LTλϕϕ

χ

kgmMMM yplwLTdevr 23.51582.60970.1846.0.. . =××=== βχ

OKkgmMkgmM ru ..................................23.51588.4218 == p

la section IPE 220 est adéquate.

12


Solution 2 : (Bardage en brique creuse) 1. Calcul des charges et surcharges revenants au potelet le plus chargé (potelet du

milieu) : 1.1- Charges permanentes G : (verticale concentrée) Bardage (mur en brique):……………………………………….…....120 kg/m2

Poids propre de la lisse (IPE 200) : …………………………….…….22.4 kg/ml Isolants + Accessoires de pose :………………………………………30.0 kg/m2

Poids propre du potelet : (à déterminer) Longueur de la lisse : m4Nombre de lisses supportées par le potelet : 4 lisses Surface tributaire revenant au potelet le plus chargé : 2)5.74( m×L’entre axe des potelets : m4

kgG 4.48585.74)30120()444.22( =××++××= 1.2- Surcharges climatiques V : (horizontale suivant le plan de l’âme) Vent : ……………………………………..………………………….100kg/m2

mlkgV /4000.4100 =×=

2- Dimensionnement du potelet : a. Sous la condition de flèche : Même chose que la solution 1. Ce qui correspond à un profilé IPE 220 : ( ) 48.2771 cmI y =Caractéristiques géométriques de l’IPE 220

mlkgp /2.26= ; 24.33 cmA = Vérification s’il y a présence de l’effort normal :

kgG 50555.72.264.4858 =×+= kgGN Sd 3.6824505535.135.1 =×==

1.0128.06.713547462.0

3.6824.min

f=×

=pl

Sd

NN

χ→ il y a présence de l’effort normal

Le poteau travaille à la flexion composée avec le déversement et la formule de vérification est la suivante : Pour les sections de classe 1 et 2 :

13


. yLTSd MkN

a

P

O

L

0.1..min

≤+plyLTpl MN χχ

vec :

kgN Sd 3.6824=

mkgVlM y .8.42188

5.74005.18

5.1 22

=××

==

kgfA

NM

ypl 6.71354

1.123504.33.

1

=×

==γ

kgmfW

MM

yplpl 2.6097

1.11023504.285. 2

1

=××

==−

γ

yz

LTLT Af

Nk.

.1χµ

−= et 0.1≤LTk

15.0.15.0 −= MLTzLT βλµ et 9.0≤LTµ

MLTβ est un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement.

outre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie : 3.1=MLTβ (Tableau 4)

n tire la valeur de zχ dans les tableaux de χ en fonction de zλ .

[ ] 85.00.19.936.805.0

1

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= A

zz β

λλ

λ

7541.0=zχ (après interpolation linéaire)

9.0018.015.03.186.015.015.0.15.0 p=−××=−= MLTzLT βλµ

99.023504.337541.0

6559018.01..

1 =××

×−=−=

yz

SdLTLT Af

Nk

χµ

72.0=LTλ : Tableau → 7957.0=LTχ

0.198.060977957.0

8.421899.06.713547462.0

3.6824..

.min

p=×

×+

×=+

plyLT

yLT

pl MMk

NN

χχ………vérifiée

’IPE 220 convient comme potelet.

14

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