CANAUX BINAIRES EN CASCADE

par Julicn LOEB

So~AIaF.. - - On indique une mdthode qui permet de calculer l'ambiguitJ apportde par un nombre quelconque de canaux en cascade, l~tant donn~ pour chacun de ceux-ci le ]eu de probabilltds caract&istiques a~ (symbole I conserve) et

b~ (symbole 0 conservJ) on ddfinit la mat,'ice [ a~ 1-- h,] [ 1 - - a, bn = lain. Si [A] est la matrlce de l'ensemble des canaux

en cascade, on a [A! -~ [An] [An-~] ... [A~]. On simplifie le calcul au moyen d'un changement de variables et on trouve aisgment tes ieux r~sultats suivants : i) la mise en cascade d'un notwel JlJment apr~s un ~t~ment donn~ ne peut qu'augmenter l'ambigu~tg ; 2) la mise en cascade d'une infinitg d'dl~ments identlques donne un canal de

capacitd nulle. La mdthode est propos~e pour l'dtude de syst~mes complets de tglgcommunlcation.

PL A N . - - - J. Introduction. - - 2. Matr ices de probab i l i tds . - - 3. S i m p l i f i c a t i o n --- 4. ]~volution d u po in t f l yura t i [ . --- 5. Conclusion.

I. - - I N T R O D U C T I O N .

Le bruit dans un canal binaire a d6jh 6t6 6tudi6 (cf. par exemple [1]) et on sait caleuler l'ambiguYt6 correspondant aux donn6es suivantes :

q probabilit6 pour que le symbote d'entrge solt 1, (1) l - - q probabilit6 pour que le symbole d'entrge soil 0, a probabilit6 pour que le canal transforme t en 1, I - - a probabilit6 pour que le canal t ransformet en 0, b probabilit6 pour que le canal transforme 0 en 0, I - - b probabilit6 pour que le canal transforme 0 en t.

L 'obje t de la pr6sente 6tude est de calculer l 'effet d 'un nombre quelconque de canaux binaires en cascade. Dans la r6f6rence [2] on porte tou t de suite son a t tent ion sur la capacit6 et on examine son 6volution en suivant les 616ments de la chalne. Une autre m6thode peut ~tre sugg6r6e : calculer les (4) nombres A et B eorrespondant h n canaux en cascade, h part i r de leurs syst~mes de probabilit6s a~ bk. Une lois en possession de A et B, on calcule sans peine l 'ambiguit6 H~ sur le graphique de la figure I qui reproduit eelui de la r6f6rence [1, page 30] dans le eas off q = 112 (adaptat ion parfaite). S'il n 'en est pas ainsi, il faut utiliser un autre graphique, [par exemple celui de la page 31 pour q ~ 1/4].

2 - - M A T I ~ I C E S D E P B O B A B I L I T ~ S .

Comme l ' indique [2!, l 'ensemble des nombres a et b sert h 6crire une matrice.

L'ensemble q, l - - q est un vecteur dont les composantes seront 6crites X~ et X2. Si l 'on cherche d 'abord les probabilit6s q~ et I - q~ de recevoir respectivement I e t 0, le calcul se f a i t h l 'aide des th6or~mes 616mentaires sur les probabilit6s.

Pour que I soil resu, il faut : ou bien que I soil correctement transmis :

probabilit6 qa ; ou bien que 0 soil incorrectement transmis :

probabilit6 (1 - - q) ( - - I - - b). Pour que 0 soil re ,u , il faut :

on bien que 0 soil correctement transmis : probabilit6 ( l - q) b ;

- - ou bien que i soit incorrectement transmis : probabilit~ q (1 - - a).

Si maintenant on pose X] = q', X'~ = 1 - - q ' , O n a :

x l = a x , + (I - b) G ,

X~ = (1 - a) X~ + bX.,.

(]) peut s'6crire, cn langage matriciel

(2! [X'] = [A] IX],

Si maintenant on met h la suite du canal A un canal A'

I hi, cA'l : [ 5 a' ;

l a matrice C repr6sentant les p['opri6t6s statis- tiques de l 'ensemble est :

(5) [C] = [A'] [A]

qui s'6crit : ra'a+ (i-- b' l-- a) ~'~-- b)+ (i-- b')bl

(6) C = [ ( t - - a ' ) a + b ' ( l - - a ) a ' ( l - - b ) + bb']"

On v6rifie que Cll q- C~l ~--- J, CI~ § C~2 = i.

D'ailleurs, on pouvai t t rouver les C~j directement . Par exemple, C u est la probabili t6 pour que 1 6tant transmis, I solt regu : cela se peut de deux fa~ons :

I e s t correctement transmis par les deux canaux : probabilit4 a a'.

I e s t chang6 en 0 par l e t er canal et le 2 e le r6ta- blit : probabilit6 (1 - - a ) ( l - b') d'ofi

Cl i ~- aa' -~ ( l - - a ) (l - - b'). Nous avons ainsi le moyen de calculer la matrice

des probabilit~s d 'un nombre quelconque de canaux A 1 As ... A~ en cascade. C'est :

(7) [A] = [A~] [A,,_l] . . . . [A,] [A~].

- - 4 2 - -

t . 13, n os 1-2, 1958] C A N A U X B I N A I R E S ~ N CAi~CADE ~ / ~

3 . ~ S I M P L I F I C A T I O N .

En fait, la notation mat,'iciellc cst inutilement lourde, en raison des relations

Al l 4- A21 = Axe 4- A== = 1. 11 nc serf ~ rien d'/,:,'i,-~, les valeurs (le (.'~e el. dc

('~t clans (6). Appelons pour plus d~" sym6trie :

(8) .," = C~ b" = G~.

],'6qua! ion (6) s'6('4'it

(9, b . . . . b ( . ' = b ...... :l i - I - . (

0 0 , I O,2 0,~ O,i

h Hu = H (capacit6 nulle), quelle que soit la valeur initiale de q. Nous prendrons comme nouveaux axes de coordonn6es les droitcs 0~ et OF = 0~.

La coordonn6e Oy jouera un r61e important car clle donne directcmeut, he l l e seule, la valour ,le Hu quand a ~ b, a' -- b' ere ....

Les formules de changem,,~)t Waxes sont :

(1.o) ,, = 1!2 + (x + ,j) ~ /2 /~ , b = :I[2 .~ (!1---.T~ \ /21~.

IIen est de m~me pour a'b' ctc .... L'6quation (9) devient ainsi :

1

0 ,6

D o c~,t %2 o,3 o,4 0,5 0 ,6 o,7 o,8 c ,9

a Ftc-, 1 , - - C a l c u [ de [ ' a m b i g u i l 6 p o u r q ~ 1/2 e n f o n c t i o n d e s p r o b a b i l i t 6 s d ' e r r e u r a e t b.

4 . - - I ~ - V O L U T I O N D U P O I N T F I G U B A T I F .

I B 0,5 0,6 o, ~] o , s 0,9 •

Le syst6me a" b" etc.., repr6sentera, ici encore, les coordonn6es du point figuratif sur le graphique de la figure 1.

Les 6quations (9) von~ nous perm~ttre de trouver des r6sultats simples sur la marche du point figura- tif du syst6me quand on ajoute Fun apr6s l 'autre les 616ments de la chaine. La figure 2 donne les 616ments du changement d'axes que nous allons effectuer, l~a d,,oite c~ ~,orre.~pond, on le salt,

0,~

0,~

-0,5

0.~

O,1

o

C

x" + y" = (x + y) y" y /2 + x ", ou ( i t) y"-,~:"=(y - x) ; / V S - - x ' :

z" = zy ' V/~ + .~', (12) y,, = yy ,~ /~ .

Du syst6me ([2), on peut d6duire tr6s facilement les r6sultats suivants :

1) Si l'on met en cascade, ~ la suite d 'un 616ment x, y, un 616ment x 'y ' , ]'ambiguit6 H~ ne peut qu'augmenter.

- - 4 3 - -

3/3

Nous 6tablirons la d6monstration dans le cas oh l'on part du point M (fig. 2) avec un deuxi~me 61~ment quelconque x'y' .

?l ' '

t

Fro. 2. ~ l~volution du point figuratif dans le eas d'une cascade de eanaux binaires.

x = O, Y = yo,

On a, comme coordonn6es du point final M"

~X H ~ t (13) , x ,

r v" = roy' V2.

Le point M" ne peut pas 6tre n' importe oh dans le plan. Son domaine est limit~ par la condition :

a ' = 112 ~, (x' + y ')V~/2 < 1.

La limitc de ce domaine est ainsi :

(i~) x' ~ y ' = V:il2. En rempla~ant dans (14) x' et y' par leurs valeurs

til6cs de (~3) en fonction de x" et y" il vient :

(15) x" + y" lyo V2 = v"-212

(16) y" + ~" yoV~= y0

J . L O E B [ANNALES DES T~LI~GOMMUNICATION S

C'est l '~quation de la droite M~ (fig. 2). Donc M" est dans la r6gion hachur6e (il y a sym6-

trie par rapport h l 'axe O,;). Or la courbe Mp h ambiguit6 constante est normale en M h My. Ainsi M ' correspond obligatoirement fi une ambi- guit6 plus forte, donc ~ une capacit6 plus petite.

2) La raise en cascade d 'un nombre infini d'616- ments dont l 'une des probabilit6s caract6ristiques a ou best inf6rieure '~ I donne un canal de capacit6 z6ro.

En effet, cette raise en s6rie donne un point M" dont la coordonn6e y" tend vers z6ro :

y " = YO X l i m n ~ ( y ' ~/'~)n, car y' V/2 < t.

M" tend vers un point situ6 sur l 'axe ~{3 qui correspond h une ambiguit6 6gale h l'entropie.

5 . - - C O N C L U S I O N .

La m6thode propos6e, qui ne met en jeu au cours du calcul que les propri6t6s inh6rentes h chaque 616merit sans qu'il soit besoin d'y m~ler les propridtds du signal, permet de r6soudre les cas les plus compli- qu6s de mise en cascade des canaux les plus divers. C'est donc l ' instrument qu'il faut pour appliquer la th6orie de l ' information aux dispositifs pratiques de t616communication.

Manuscr i t re~u le I i mars i957. Manuscr i t rg~,isg, re~u le t3 septembre 1957.

BIBLIOGRAPHIE

[1] Loss (3.), Les deux types d'erreurs dues au bruit. Ann. T~l~communic. (f~vr. 1954), 9, n ~ 2, pp. 29- 34, 7 fig., 5 r6f. bibl.

[2] SILYERMAN (R. A.), On binary channels and their cascades. (Sur les canaux de transmission binaires et leurs cascades.) Trans. Inst. Radio. Engrs. profess. Group. Inform. Theory, U. S. A., (d6c. 1955), II, t, 3, 6 fig., 6 r6f. bibl.

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