Concours centrales 2014 Physique MP Corrig . O.Ansor

Les tlescopes infrarouges

I. Dtection de rayonnement infrarouge I.A Gnralits sur les dtecteurs I.A.1) photodiodes phototransistor barrettes CCD . dtecteurs utiliss dans le domaine visible. I.A.2) typiquement le domaine IR stend de 0,8m 3 mm . I.A.3) T est la temprature thermodynamique dquilibre thermique entre les parois du corps noir et le rayonnement environnant. m est la longueur donde au maximum dmission du corps noir (maximum de luminance spectrale). I.A.4) sur terre, 300T K 100m m . dans lespace, 30T K , 100m m . Dans les deux cas le maximum dmission des rcepteurs eux mme est dans lIR. Leur rayonnement va donc noyer le rayonnement des objets clestes do la ncessit de refroidir les instruments des tlescopes.

I.B Principe du bolomtre 1.B.1) On impose le courant laide dun gnrateur de courant de courant lectromoteur I.

I.B.2) le 1ier principe de la thermodynamique appliqu au bolomtre (indilatable incompressible) entre t et t+dt, scrit :

( ) ( ) ( )( )2 20 0( ) reue th i th S i th SdTdU t Q C R T I G T T R I R G T Tdt = = + = + + .

soit: ( ) ( ) ( )2

0

0 0 0

1thi S

th th th

C R IdT T TG R dt G R G R

+ = + +

. De la forme : ( )idT Tdt + = (1) . avec :

( )0th

th

CG R

=

et ( ) ( ) ( )2

0

0 0

1i i S

th th

R I TG R G R

= + +

.

I.B.3) pour 0 < la solution de (1) est convergente. Le fonctionnement du systme est donc stable. I.B.4) En rgime permanent , ( ) ( ) ( )200

1P i S i

th

T T R IG R

= = + +

.

I.C Temps de rponse du bolomtre

I.C.1) pour ( ) ( )2

00

0

0, 0, 0i i Sth

R It T

G R

> = = = + =

et ( )0 0 expdT tT T t Adt

+ = = +

.

( ) ( ) 00 0T T A = = = + .do : ( ) ( )0 0 exp tT t

= +

.

est lintersection de la tangente la courbe T(t) lorigine avec laxe des temps.

I.C.2) A flux lectromagntique absorb gal, la temprature dun bolomtre de faible capacit thermique augmente plus rapidement que dans le cas dune grande capacit (1ier principe). Le temps de rponse du bolomtre augmente alors avec sa capacit thermique.

la fraction absorbe de flux incident est dautant plus importante que la poutre est moins conductrice. Lnergie interne du bolomtre varie plus lentement si la conductance de la poutre est plus grande. Le temps de rponse diminue donc avec la conductance thermique de la poutre. I.D Sensibilit du bolomtre I.D.1) en rgime forc et en notation complexe, ( ) ( )0 0 expi it j t = + et ( ) ( )1 0 expt T j t = + + . Par superposition : ( ) ( )21 0 00

1S i

th

T T R IG R

= + +

.

( ) ( ) ( )( )( )0 0

00 0

11

j tj t j t

th th

j e e eG R G R j

++ = = = +

.

( ) ( ) ( )00 2 2 2 20 1 1thA

G R

= =

+ +. ( )

0

0th

AG R

=

.

I.D.2) ( )0 0 1 0 0 j tSV R I R I T T V R I e = + = + . ( )1 0 0 1 SV R I R I T T= + et ( )( )0 00 0 0 2 20 1thR IV R I

G R

= = +

.

I.D.3)

( ) ( )( ) ( )0 0 max2 2 2 20 0 1 1thV R I SS

G R

= = =

+ + .

I.D.4) Courbe SdB.

I.D.5) le filtre est un passe bas de premier ordre de pulsation de coupure 3dB 1

c = .

En dehors de la bande passante, la rponse du bolomtre est assez lente pour que sa temprature puisse suivre les variations rapides du flux incident. Do la chute de sensibilit hautes frquences. I.D.6) pour augmenter la sensibilit aux hautes frquence, il faut augmenter la largeur de la bande passante

( )0thc

th

G RC

=

et ce en en augmentant la conductance thG de la poutre. pour que la temprature puisse. Ceci

est en accord avec le gain de rapidit de la rponse du bolomtre : qd thG augmente c augmente et diminue.

II. Un tlescope unitaire du VLT II.A Montage de type Cassegrain

II.A.1) 1 11 1 1 1 2M RM F S F

= .

II.A.2) 1 22 2 2 2 2M RM F S F

= .

II.A.3) le systme est afocal :

1 1 2 11 1 2 2 1 1 2 1 22 1 1 1 2 2

M M R RM F F M S S S F S F S F S F

= = = .

AN :

1 2 12,14S S m= .

II.A.4) 1 1'

1B

F Bi f et

'

1 1 1 1' '

2 2 2

'BF B f Ri Gf f R = .

II.B Rsolution limite par la diffraction II.B.1) le rayon de la tache dAiry entourant limage gomtrique intermdiaire F1 est

' 11

1, 221,22 #4,32

RR f mD D

= = .

II.B.2) 1 1'

2 1 2

1,22R RRGR f D R

= = = .

II.B.3) Critre de Rayleigh : au minimum de rsolution, le maximum dintensit de la tche dAiry de B centre en B1 coricide avec le premier minimum nul de celle de A centre en F1. Ainsi, les

deux images sont discernables si '

1

1, 22B A

Ri i f D = = .

II.B.4) Limite de rsolution du tlescope :

( )min 1, 22B A mini i i D

= = .

III. Le tlescope interfrentiel VLTI III.A observation dune source ponctuelle dans la direction de laxe optique III.A.1) A est linfini sur laxe optique. Son image travers L est au foyer principal image F. III.A.2) le chemin optique entre deux points conjugu est constant, donc : ( ) ( )1 2' 'AT F AT F= . Do :

( ) ( )0 1 2' ' 0AT F AT F = = . III.A.3) le rle de la ligne retard est de compenser la diffrence de marche due la diffrence des trajets suivis par les deux ondes provenant des tlescopes. III.A.4) pour avoir interfrences, la diffrence de marche ne doit pas excder la longueur de cohrence temporelle des sources. Do la ncessit de la ligne retard. III.A.5) Le contraste vaut 1 dans le cas o les deux ondes issues de T1 et T2 ont la mme intensit. En

effet : 1 2max min 1 2min 1 2

21

maw

I II IC I II I I I

= = = =+ +

.

III.A.6) lintensit rsultante en x est : ( )( ) ( )1 2 11 cos 2 1 cosAI I I C I = + + = + . 2

et '

axa f

pi = . Soit : ( ) 1 22 1 cos

'A

axI x I fpi

= +

.

III.A.7) linterfrange est la priode spatiale i de la rpartition dintensit ( )AI x . soit : 'fi

a

= .

III.A.8) dans le plan focal (x,F,y) on observe un ensemble de franges rectilignes parallles Fy symtriques par rapport la frange centrale x=0.

III.B Observation dune source ponctuelle dans une direction diffrente de celle de laxe optique III.B.1) ' 'B Bx F B f i= .

III.B.2)

( )'12 1 cos 'BI I = + . ( )2 '

' et ''

BB

axai f

pi +

= . Do :

( ) ( )'1 22 1 cos'

BB

a x xI x I f

pi

= +

.

III.B.3) les deux rpartitions ( )AI x et ( )BI x sont de mme priode spatiale i. linterfrange est le mme. III.C observation de deux sources ponctuelles III.C.1) Les deux sources tant indpendantes mettent des ondes sans relation de phases (qui prsentent un dphasage alatoire). Ces sources ne sont donc pas cohrentes entre elles. III.C.2) lintensit rsultante est la somme des deux intensits. De plus les radiations sont de mme puissance

lumineuse '0 1 12 2I I I= = . ( ) ( ) ( ) ( )0 222 cos cos' '

BA B A B

a x xaxI x I x I x I f fpipi

= + = + +

.

( ) ( ) ( ) ( )0 02 2 / 22 1 cos cos 2 1 , cos' '

B BBA B B

a x x a x xaiI x I I a if fpi pipi

= + = +

.

III.C.3) le contraste C = sannule priodiquement pour : 12

m Ba i m = + , m entier. soit : 12m B

a mi

= +

.

III.C.4) on augmente la distance entre les deux tlescopes, on dduit, lorsque les franges se brouillent pour la premire fois, lcart angulaire

02Bi

a

= .

III.C.5) La diffraction module lintensit des franges mais pas leur contraste. Donc : 0mi = .

IV. Positionnement du tlescope spatial James Webb au point de Lagrange L2 IV.A Etude prliminaire

IV.A.1) La terre est en mouvement circulaire uniforme dans Rh, donc : 2TT

T pi=

et TTv

R = . Et daprs le PFD :

2

21S T ST

T TM M GMvM G

R R R R= = et

3

2TS

RTGM

pi= .

IV.A.2) R0 est en rotation circulaire uniforme par rapport Rh. ce mouvement nest pas une translation rectiligne uniforme, donc R0 nest pas galilen.

IV.B Equilibre des forces IV.B.1) la condition dquilibre relatif du tlescope dans R0 scrit : ( )2 2 0

S Tx x ie

M m M mG u G u FrR r

+ =+

.

( )2 22ie T T xF m SL m R r u= = +

. Do : ( )

( ) ( )22 2 3

SS TT

R r R r MM Mr G RR r

+ ++ = =

+

(1).

IV.B.2)

( ) ( )( )22

2 31 1SS

TT

M r R rM rM RM R r

+ + =

+

( )2 2 3

22 2 331 21 1 1 1

1 /S S S

T T T

M r M r M rr r rM R R M R R R M Rr R

= + + =

+ . Do :

1/3

3T

S

Mr R

M

.

IV.B.3) AN : 6#1,5.10r km .100R

r R= .

IV.C tude de la stabilit du point de Lagrange

IV.C.1)

( ) ( )/ // 1 13 2 2 2S P S PS S S S

S P P P P PGM m GM m GM m GM mF SP E E C C

SP SP SP R r x y z

= = = = + = + + + + +

.

( ) ( )/ // 2 23 2 2 2T P T PT T T T

T P P P P PM m M m M m GM mF G SP G E E G C CTP TP TP r x y z

= = = = + = +

+ + +

.

( ) ( ) ( ) ( )22 32312ie ieie T T T x P P P SF m SP m R r x u E E m R r x CGMyu yR = = + + = = + + +

.

IV.C.2) 2 0yF L P i

et 2 0zF L P i : les composantes suivant yu

et zu

sont des forces de rappel orientes vers L2,

au contraire, 2 0xF L P i : la composante suivant xu

en diverge.

Le point de Lagrange est stable vis--vis les perturbations perpendiculaires la direction ST , instable vis--vis les perturbations parallles ST.

V. Refroidissement cryognique du tlescope Herschel

V.A principe dun interrupteur thermique

V.A.1) le premier principe de la thermodynamique appliqu au gaz intrieur llment compris entre r et r+dr , z et z+dz et et

d + scrit :( 0conv

Q = , 0rayQ = , 0W = , gazdu c dT= V constant )

( ) ( ) ( )( )

( )

, ,

,

,

gaz th th

th

rd dzdr c dT j t r rd dzdt j t r dr r dr d dzdtrj t r

d dzdrdtr

T t rr d dzdrdt

r r

= + +

=

=

do lquation diffrentielle vrifie par T : ( ),( , ) 1gaz T r tT r tc dT rr r r r

= .

V.A.2) en rgime permanent : 0 0T d dT drr dT Ct dr dr r

= = =

. Do : 21

lnc iRT T CR

=

et : ( ) ( ) 12

1

ln

lni c i

r

RT r T T T

RR

= +

.

V.A.3) ( ) ( ) ( )2

0

2 2 2z h

th r thz

dT rj r rd dzu hrj r hr hCdr

pi

pi pi pi+

= = = =

i . Soit : ( )2

1

2ln

i cT ThRR

pi =

.

V.A.4) ( )i cG T T

=

.

2

1

2

ln

hGRR

pi =

.

V.A.5) le dispositif peut jouer le rle dinterrupteur thermique si 0G . Cest le cas dun gaz mauvais conducteur, dans un cylindre de faible hauteur et de grande paisseur e.

V.B Choix du fluide rfrigrant V.B.1) Pompage pression constante.

V.B.2) Lhlium reste ltat liquide (superfluide) ci basses tempratures. Aux faibles tempratures T, il existe une pression p(T) au dessous de la quelle lhlium ne prsente plus de phase solide.

V.B.3) systme ferm : constitu t de la masse liquide m(t) et t+dt de la masse liquide m(t+dt) et de la masse dm transforme en vapeur.

Le rcipient est calorifug. La pression uniforme. La transformation est donc isenthalpique : ( ) ( ) 0H t dt H t+ = ( )[ ] [ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )liq gaz liq liq liq gaz liqm t dt h t dt dmh t dt m t h t m t h t h t dt dm h t dt h t dt+ + + + = + + + += .

Do : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00( ) ( )0 ln ( )vap vap

liq vapliq liq

m t cm t c c

l ldm t mdT t dm t l dT t T t Tm t

+ = = =

.

V.B.4) 4 3e eH Hl l> . Lhlium 4 est le mieux adapt ce processus car il donnerait un abaissement de temprature plus important pour la mme masse vapore.

V.B.5) avec lhlium 3 on obtient une temprature 1 0, 24T K plus faible que la temprature 1 0,6T K obtenue avec lhlium 4. Dans ces conditions, lhlium 3 est le mieux adapt au refroidissement . V.C Fonctionnement du cryo-rfrigrateur

V.C.1) ( )0 0 03

1 expe

liqvap f f

H

cm m m m T T

l

= =

. 300fT mK= .

V.C.2) ( )3 0 3 03

1 expe e

e

liqextract vap H H f

H

cQ m l m l T Tl

= =

.

V.C.3) rendement : ( )3 0 3 01 1 3

1 expe ee

vap H H liqextractf

lectrique H

cm l m lQ T TW P P l

= = =

.

V.C.4) premire phase :

V.C.5) deuxime phase :