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R OYAUME DU M AROC Minist` re de lEducation Nationale eEnseignement Secondaire et Technique
Minist` re de lEnseignement e Sup rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientique
Concours National Commun dAdmission aux Grandes Ecoles dIng nieurs eSession 2002
E PREUVE DE M ATH E MATIQUES IIDur e 4 heures e
Concours PC
Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde Lusage de la calculatrice est interdit
L nonc de cette epreuve, particuli` re aux candidats du concours PC, e e e comporte 4 pages. Lusage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont informs que la prcision des raisonnements ainsi que le soin apport a la rdaction e e e ` e seront des elments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le rsultat e e dune question non rsolue sils lindiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec e ee e prcision les r f rences des questions abordes. e
Notations et rappelsSoit un entier naturel sup rieur ou egal a . On note lalg` bre des matrices carr es e ` e e ` ou ) ; la matrice identit de est not e et est la e e dordre a coefcients dans ( matrice dont tous les coefcients valent . On munit de la norme
d nie pour e
par :
max
On admet que si
et
sont deux el ments de alors e
.
On d signe enn par lensemble des matrices e ou nuls et v rient : e
dont tous les coefcients sont positifs
I. Etude dexemples1. Le cas de la dimension . Soit
. On pose
et
.
; d terminer les e (b) Dans cette question et la suivante, on suppose que et que e valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associ s. est-elle diagonalisable dans ? Si oui, la diagonaliser. (c) Etudier alors la convergence et calculer la limite eventuelle de la suite .
(a) Donner une condition n cessaire et sufsante sur e
,
,
et pour que
soit dans .
2. Etude dun exemple en dimension n e Soient et deux r els, avec , et sont egaux a , les autres valant . ` (a) Calculer pour tout
la matrice dont les coefcients diagonnaux
` e (b) Exprimer a laide des matrices et puis en d duire, pour tout e expression de comme combinaison lin aire de et .
.
, une
(d) Retrouver le r sultat de la question pr c dente en calculant les valeurs propres de puis e e e en justiant quelle est diagonalisable dans . Epreuve de Math matiques II e 1/4
. Montrer que et en d duire le e (c) On suppose que et que comportement de la suite . Si elle converge, quelle est sa limite ?
Tournez la page S.V.P.
II. Etude dune suite de matricesConsid rons une matrice r elle e e dont tous les coefcients sont strictement positifs ; on e e ` suppose de plus que et sa matrice transpos e, not e , appartiennent a . On a donc :
On note
min
, et pour tout
, on posemin
On d signe par e On note lensemble
max
la base canonique de et on pose
et pour tout on pose
.
1.
(b) Montrer que est une norme sur . (b) On note la projection sur (a) Montrer que et
(a) Montrer que est un hyperplan de . sont suppl mentaires dans . e parall` lement a . e `
2.
Pour , exprimer en fonction de Ecrire alors la matrice de dans la base canonique de .
et
.
3. On d signe par e
Montrer que est stable par .
lendomorphisme de canoniquement associ a la matrice e` sur . Soit .
.
4. On d signe par e (a) Montrer que
lendomorphisme induit par
puis en d duire que e (b) Montrer de m me que e (c) Conclure que 5. On pose (a)
converge vers le vecteur nul.
, ( fois). de lespace vectoriel norm e Montrer que pour tout , la suite
et pour
(b) En d duire que nest pas valeur propre de . e (c) V rier que est valeur propre de e 6. (a) V rier que e et montrer que lespace propre associ est . e
.2/4 Tournez la page S.V.P.
Epreuve de Math matiques II e
(b) Montrer que pour tout , la suite 7. Pour tout On note
converge vers . .
,
, on pose et pour tout
,
.
(a) V rier que pour tout e
et tout
,
.
(b) Exprimer en fonction de converge, dans , vers la matrice . conclure alors que la suite
et
III. Quelques propri t s de matrices appartenant a ee `Dans cette partie, ment associ a la matrice e` associ . e A- Premiers r sultats e 1. Montrer que est une valeur propre de . 2. En faisant une traduction matricielle de l galit e e max , montrer que .
d signe un el ment de et lendomorphisme de canoniquee e . Soit une valeur propre de et un vecteur propre
et en choisissant un indice tel que
3. Dans la suite, on pose (b)
min
.
(a) En utilisant une m thode analogue a la pr c dente, montrer que e ` e e
. e Dessiner le cercle , de centre et de rayon , et le disque ferm sur un .) m me graphique. (on rappelle que e ;
4. On suppose que 5. On suppose que (a) V rier que e (b) On pose
montrer que si
est de module alors
.
.
et conclure que
est une matrice inversible.
et, pour tout ,
avec la convention
; montrer
` puis en d duire une e (c) Pour tout , exprimer le produit a laide de et e expression de linverse de sous forme de la somme dune s rie de matrices. B- Toute valeur propre de 1. Soit un entier naturel que
puis en d duire que la suite e que que cette suite est de C AUCHY).
est convergente.(On pourra montrer
de module est une racine de lunit e;
montrer par r currence que si e
sont des complexes tels tels
alors il existe un complexe non nul et des r els positifs e
que pour tout
Dans la suite de cette partie, on suppose que max . On pose
et on choisit
tel que
Epreuve de Math matiques II e
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Tournez la page S.V.P.
2.
(a) Exprimer
a laide de `.
et et en d duire que est non vide. e
(b) Montrer que (c) V rier que e
et en d duire, dune part que e
(d) D duire de ce qui pr c` de que e e e
dautre part, en utilisant un r sultat pr c dent, justier lexistence de e e e e famille de r els positifs tels que
et dune
et que 3.
(a) Montrer quon peut construire une suite nie telle que
d l ments de ee
max
.
et que (b) En d duire alors quil existe e
tel que
4. Dans cette question, on suppose que tous les coefcients de
sont strictement positifs :
En utilisant la question 2. (d) pr c dente, montrer que lespace propre de , associ a la valeur e e e` ` ou ` . propre , est egal a
F IN DE L E PREUVE
Epreuve de Math matiques II e
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