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C O M M I S S I O N 9 : R i ~ . G L E M E N T A T I O N I N T E R -
N A T I O N A L E D E S T t t A V A U X G ~ . O D ~ . S I -
Q U E S
MM. William Bowie, Pr6s iden t ; Roussilhe, Secr6taire.
S O U S - C O M M I S S I O N D E S T R I A N G U L A T I O N S t
MM. Maury, Pr6s iden t ; Baeschlin, Secr6taire; le Colonel Be- neg, le Gdndral Bo~kovid, Dominguez, tteuvelink, le Gdndral Ishii, le Brigadier Jack, le Major Klingenberg, Kruttschnitt, le Capi- taine Mc Caw, Ogilvie, le Gdndral Pettier, le Commandant Plessner, Roussilhe, Sanchez, Schermerhorn, van der Slerr, le
G~ndral Vacchelli.
S O U S - C O M M I S S I O N D E S N I V E L L E M E N T S DE P B ~ . C I S I O N t
MM. Vignal, Pr6s iden t ; William Bowie, de Cifuentes, le
Major Klingenberg, Ogilvie, Schermerhorn, le Gdndral Selig- mann, Semerdd.
P R O C ~ . S - V E R B A L DE L A SI~ANCE U N I Q U E
Jeadi 1~ ao~tt 1930, 12 h. 30 ,n.
Le P r 6 s i d e n t expose le g rand int6rgt de's t ravaux de la Com-
miss ion , mats il consta te qu 'e l le c o m p r e n d u n trbs grand n o m -
bre de Membres , et que de n o m b r e u s e s s6ances seraient n6ces-
saires p o u r 6 tudier toutes les ques t ions qui sont de son ressort .
i. Par ddcision de la Section de G4od6sie dans sa 8 ~ s~ance pld- nibre, le vendredi 22 aofit ~ 93o, matin, ces deux Sous-Commissions ont 6td transform6es en Commissions permanentes rempla~ani la Com- mission de R~glementation internationale des travaux g~od~siques : Commission 9 : Commission des Triangulations et Commission io :
mmiss ion des Nivellements de Precision.
- - 2 5 0
En r6alit6, les deux principales de ces questions sont les
triangulations et les nivellements : Le Pr6sident propose done
la constitution de deux Sous-Commissions charg6es respective-
ment de l 'examen de ces questions.
he Major Klingenberg met en 6vidence l'intdrgt, pour cer-
rains Membres de la Commission, d'assister aux d6bats des
deux Sous-Commissions.
Le Pr6sident r6pond que rien ne sera plus facile si les Pr6si-
dents des deux Sous-Commissions s 'entendent pour fixer les.
dates et heures de leurs r6uni6ns respectives.
La Commission, sur la proposition de son Pr6sident, nomme
M. Maury, Pr6sident de la Sous-Commission des Triangulations
et M. Vignal, Pr6sident de la Sous-Commission des Nivellements.
Elle fixe ensuite la composition des deux Sous-Commissions ~.
Le Secr6taire : Le Pr6sident :
Sign6 : Boussilhe. Sign6 : William Bowie�9
S O U S - C O M M I S S I O N D E S T R I A N G U L A T I O N S P B O G ~ . S - V E R B A U X D E S S J ~ A N C E S
~re s 6 a n c e .
Vendredi, 15 ao~t t930, 9 h. ~0 m.
Presents : MM. Maury, Pr6sident'; Baeschlin, Secr6taire; le
Colonel Beaeg, le Gdndral Bogkovi6, Heavelink, le Gdndral Ishii, le Brigadier Jack, le Major Klingenberg, le Capitaine Mc Caw, le Gdndral Perrier, Roussilhe, Schermerhorn, van der Sterr.
Le Pr6sident propose de revoir le texte des r6solutions adop-
t~es h l'Assembl6e de Prague" afin de les compl6ter et de leur
donner une forme d6finitive, comme le pr4voit la circulaire du
Secr~taire de la Section en date du 3t d~cembre ,9a9 L
I�9 Voir plus haut, p. ~59. ~. Bulletin g~oddsique n ~ 25, octobre-novembre-ddcembre 19u 9,
p. x53 h 167. 3. Ibid., p. 15l-i5a.
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Afiu d'~viter tout malentendu, il fait remarquer qu' i l y au-
rait lieu de mettre en tdte de la r~daetion nouvelle une remar-
que exprimant que le texte arr~t~ n'a pas pour but de cr ier une
r4glementation rigide, mais a uniquement la port~e de reeom-
mandations, dict~es par l'exp~rience, et destin4es h faeiliter la
comparaison des r~seanx entre eux et .l'incorporation dans une
compensation d 'ensemble de plusieurs r6seaux voisins.
Adopt6 h l 'unanimit6.
M. Roussilhe sugg~re de substituer un autre mot au mot
rdglementation pour d~signer la Commission.
Le G6n6ral Per r ie r est d'avis de garder le terme rdglementa- tion.
Le Pr6sident signale ensuite la remarque faite par le G~n~ral
Perrier dans sa circulaire pr4cit~e, au sujet des divergences
entre le texte franqais des r~solutions 4tabli h Prague et le texte
anglais proposd par M. W. Bowie. Il convient de relire ces tex-
tes en y apportant les modifications qui paraltront indiqu~es
et en commenqant par les r~solutions relatives aux Bases.
La Sous-Commission n'a aucune remarque ~ formuler sur
les paragraphes Longuear et Appareils de mesare. Le Pr6sident signale que dans le paragraphe Prdcautions
expdrimentales il est parl6 h l'alin6a i ~ d'errear probable. Or,
il est fait usage dans le reste du texte, comme indice de pr6ci-
sion de l'erreur moyenne. Il serait logique, pour 6viter route
confusion, de n 'employer qu 'une seule et mgme erreur : l 'erreur
moyenne.
Adopt6 h l 'unanimit6.
Le Pr6sident, h propos de l'alin~a 3 ~ propose de completer
les prescriptions ant~rieures de mani~re h pouvoir rendre les
mesures comparables entre elles.
La Sous-Commission formule h cet effet un certain nombre
de recommandat ions. (Voir plus loin Proposition de la Sons- Commission des Triangalations, proposition 3).
MM. Maury, le G~n~ral Perrier, le Capitaine Me Caw, le
Colonel Bene~, l e 66n~ra l Bo~kovi6, le Major K l i n g e n b e r g ,
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Roussi lhe et van der Sterr prennent part h u n 6change de vues
sur les m6thodes de mesnre et d '6talonnage en campagne. Cette
discussion r6v~le la vari6t6 des modes d 'emploi des ills. ll n'est
pas possible de formuler une recommandat ion dormant satis-
faction h tousles 6gards.
Le Major Klingenberg fait remarquer qu'il r6sulte de cer-
taines exp6riences que les piquets tenseurs doivent 6tre cons-
truits de telle fa~on que Ies observateurs n'agissent pas sur le
fil pendant qu'ils font les lectures. On arrive ams~ h 6carter
l 'erreur individuelle d 'un couple d 'observateurs sur le r6sultat
final quand les observateurs changent de place.
La Sons-Commission, constatant des diffdrences importantes
dans le mode d'emploi des ills utilis6s, admet h l 'unanimit6 la
suggestion que des exposds des diverses m6thodes employ6es
soient publi6s daus le Bulletin gdoddsique, aux fins d 'une
6tude plus approfondie.
2e, 3e e t 4e s 6 a n c e s .
La Sons-Commission a poursuivi son examen du texte des
r6solutions paru au Bulletin gdoddsiqae n ~ u/t, au cours de trois
sdances ult6rieures. Certaines questions ont particulibrement
retenu son attention, no tamment la r6partition de bases et les
points de Laplace.
Le r6sultat de ces discussions se trouve contenu dans les
propositions de la Sous-Commission. (Voir ci-apr~s.)
Le Secrdtaire,
Sign6 : Baeschlin.
P I ~ O P O S I T I O N S D E L A S O U S - C O M M I S S I O N D E S T R I A N G U L A T I O N S
I. - - Les r6solutions qui d6coulent des propositions de la
Sous-Commission des Triangulations n 'on t pas pour but d'6ta-
blir une r6glementation rigide, elles ont uniquement la port~e
de recommandations dict6es par l 'exp6rience et destinies
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faciliter la comparaison des r6seaux entre eux et l ' incorpora-
tion dans une compensation d'ensemble de plusieurs r4seaux
voisins.
B a s e s .
2. - - Pour 6viter toute confusion il y a lieu d 'exprimer dans
le texte des r~solutions les indices de pr6cision en e r r e u r s
moyennes .
3. - - II y a lieu de compl6ter les prescriptions relatives
l 'indice de pr6cision des mesures de bases ailn de rendre ces
indices comparables entre eux.
La Sous-Commission recommande notamment :
a) De diviser la base en sections de i ~ 2 kilom~tres.
b) De calculer l 'erreur moyenne de la base en partant des
r~sidus fournis par chaaune des mesures de section.
c) De prier les Laboratoires d'6talonnage de fournir ~ l 'appui
des r~sultats des comparaisons, l 'erreur moyenne des valeurs
donn~es.
d) D'inviter ces Laboratoires ~ comparer entre elles les bases
de comparaison utilis6es pour la d~termination des ~quations
des ills on des rubans.
e) De demander ~ ces Laboratoires la d~termination du coef-
ficient de dilatation de chaque ill.
f ) D'engager les observateurs ~ comparer les differences
d'6quations des ills, tir~es des bulletins d'~talonnage, aux va-
leurs de ces mgmes diff6rences obtenues par les mesures d 'une
m~me port~e ~ l'aide des divers ills.
g) De faire le calcul de la correction d'altitude de la base en
partant des altitudes moyennes des port6es.
h) De former le carr6 de l 'erreur moyenne totale par la
somme des carr~s des erreurs moyennes partielles qui sont :
l 'erreur moyenne accidentelle, d~duite des mesures sur le ter-
rain, et les erreurs moyennes provenant de l'6talonnage.
i) De provoquer, de la part 'des Services qui utilisent les ru-
bans d ' invar au lieu des ills, l'expos~ de leurs m~thodes d 'em-
ploi et des r6sultats obtenus.
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h. - - La Commission constate des diff6rences impor tan les darts le mode d 'emploi des fils et le nombre de ces ills; elle sugg~re que des expos6s de ces diverses mdthodes soient pu- bli6s dans le Bulletin gdoddsique au.x fins d'6tudes plus appro- fondies.
T r i a n g u l a t i o n s de premier ordre.
5. - - La Sous-Commission maint ien t la d6fiaition des trian-
gulations de t.r ordre donn6e darts le Bulletin gdoddsique n ~ ah,
pages t57-~58. Cependant elle fail r emarquer ce qui suit :
Les perfectionnemenis r6alis6s dans la technique des obser-
vations astronomiques de campagne permet ten t la fixation commode de points de Laplace qui peuvent gtre utilis6s ~ deux fins :
a) la d6termination d 'un az imut g6od6sique en par tant de l'azimu.t astronomique ;
b) la fixation des d6viations de la verticale par rappor t h u n point origine choisi.
La Sous-Commission recommande , pour les nouveaux r6-
seaux, la d6termination de points de Laplace r6partis rationnel- lement h mesure de leur d6veloppement , et pour les rdseaux anciens un compl6ment des observations as t ronomiques exis- tantes.
Elle sugg6re que, pour la prochaine Assembl6e g6n6rale, on 6tudie les principes d 'une dis tr ibut ion rationnelle des points de
Laplace et la pr6cision h obteni r darts les d6terminations de latitude, longitude et azimut .
6. - - La Sous-Commission est d 'ayis de suppr imer les sug- gestions relatives h l '61imination de certaines observations dis- cordantes,~qui figurent page t6~, paragraphe Observations, et
estime qu' i l y a lieu de faire confiance aux observateurs at aux organismes qui les contr61ent, pour qu'i ls r~glent eux-mgmes leurs m6thodes d 'observation et .d '61iminat ion 6ventuelle des mesures discordantes, afin de r,!aliser les fermetures pr6vues.
7 . - Pour ce qui concerne la mesure des angles, la Sous-
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Commission est d 'a , is que i'usage des th6odolites rdp6titeurs
n'est pas h recommander pour les triangulations de ~.r ordre,
vu l e s erreurs syst6matiques qu'ils donnent.
8. - - Les valeurs mesur6es sur le terrain seront affectdes de
routes les corrections qui influent sur la troisi~me d6cimale de
la seconde (sexag6simale). Ces corrections comprennent les
corrections de l 'altitude et de la ligne gdoddsique.
9- -- La compensation se fera par la m6thode des directions.
Les r6sultats des compensations de stations seront consid6r6s
comme consti tuant des observations directes pour l'6tablisse-
ment de la compensation g6n6rale,
Normalement, les r6sultats des compensations de station au-
font mgme poids. S'il y avait lieu de tenir compte de diffdrenees
de poids, les coefficients seraient arrondis ~ un petit nombre
de chiffres significatifs (~ par exemple).
R 6 p a r t i t i o n d es Bases .
to. - - La Sous-Commission insiste pour que la question de
la r6partition des bases soit examin6e de plus pros par les Ser-
vices comp4tents, au cours des trois ann6es h venir, afin de
pouvoir 6tablir des recominandations basdes sur une experience
plus longue, les suggestions du Bullelin gdoddsique n ~ 24,
p. 165-~66 6tant prises comme guide.
i i . - La Sous-Commission estime ne pas gtre en mesure
actuellement de fixer des valeurs limites pour les fermetures
sur les bases. Il faut d'ailleurs distinguer parmi les bases, les
bases mesurdes et les bases ddveloppdes (cSt6s de rattachement
aux rdseaux), l 'op6ration du d6veloppement 6taut consid6r6e
comme ind6pendante du r6seau proprement dit et se l imitant
la liaison de la base h .un cStd de l 'ordre de grandeur des
cSt6s de premier ordre.
II faut donc distinguer la limile de l 'erreur h ne pas d6passer
dans le ddveloppement et la limite de l 'erreur ~ ne pas d6pas-
ser dans la fermeture sur une nouvelle base d6velopp6e.
I7
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Ces limites doivent r6sulter de l'exp6rience. La Sous-Com-
mission propose de demander l'6tude de cette question aux
organismes officiels, charg6s des triangulations, chacun en ce
qui concerne les travaux qu'il a ex6cut6s. Elle attire h ce propos
l 'attention sur l'int6rgt qu'il y aurait ~ publier les Rapports gdndraux relatifs aux Bases et aux Triangulations r6dig6s
l'occasion des Assembl6es g6n6rales de Rome, Madri d. Prague
et Stockholm, rest6s jusqu'h pr6sent manuscrits, vn l'insufll-
sance des cr6dits dent dispose la Section.
A l t i t u d e s . D i s t a n c e s z e n i t h a l e s R e f r a c t i o n .
~ u . - Pour la r6duction des directions observ6es ~t l'ellip-
soide de r6f6rence, un nivellement tr igonom6trique suftit en
g6n6ral. On profitera de cette op6ration du nivellement trigo-
nom6trique pour 6tudier la valeur du coefficient de r6fraction
et ses variations.
Pour la r6duction des bases ~ la surface de r6f6rence, l'alti-
rude moyenne dolt gtre connue ~ 5 m6tres pr6s. 11 suffit doric en
gdn6ral de d6terminer les altitudes par nivellement trigonom6-
trique entre stations de premier ordre ou stations secondaires.
i3. - - Les 6changes de rues qui ont eu lieu au cours de
l 'examen des recommaudations g6n6rales se rapporlant aux
Bases et aux Triangulations de tot ordre out montr6 que la
technique des mesures et des calculs se perfectionne de ma-
nitre continue.
La Sous-Commission estime qu'i l importe de maintenir, un
contact continu entre les techniciens qui s 'occupent de cette
branche de la G6od6sie, dans le double but d'unifier et d 'am6.
liorer les m6thodes et d'assurer aux divers r6seaux l 'homog6-
n6it6 n6cessaire.
Elle demande instamment que soit constitu6e d~s maintenant
une Commission des Triangulations permanente, dent l'activit6
s'6tendrait 6videmment ~ la fois aux mesures de bases et aux
triangulations et h laquelle appartiendraient les Bapporteurs
g6n6raux correspondants.
- - 257 - -
Lea propositioD~ ci-dessus de la Sous-Commission des Trian-
gulations ont ~ adopt~es par ]a Section de G~od6sie dans sa 8" s~ance pl~ni~re, le vendredi 22 aofit, matin. Il en r~sulte quelques modif icat ions pour les r~solutions adopt~es au sujet des Bases et des Triangulat ions de premier ordre par l 'Assem- bl~e g6n~rale de Prague ' , d'od les textes franqais et anglais
d6finitifs suivants.
R ~ - S O L U T I O N S PROPOS~.ES A U S U J E T DE S B A S E S ET DES T R I A N G U L A T I O N S DE P R E M I E R ORDRE"
l q e m a r q u e p r 6 1 i m i n a i r e .
Le texte qui suit n'a pas pour but d'6tablir une r6glementa- tion rigide, il a un iquement la port6e de recommandat ions dict~es par l 'exp6rience et destinies '~ faciliter la comparaison des r6seaux et 6ventuellement leur incorporation dans une compensat ion d 'ensemble .
B a s e s .
L o n g u e u r . - - Plus la base est courte, plus son d6veloppe-
ment pour about i r h u n c5t6 de la triangulation devient ardu.. A pr6sent que la mesure des bases, gr~ice aux ills et rubans
d'invar, n 'offre plus les difficult6s d'autrefois, l ' int6rgt qui s 'attaehait aux bases courtes, pour r6aliser des dconomies de temps et d 'argent , a compl6tement disparu. La longueur de la
base ne d6pend plus que de la configuration du terrain et des exigences d 'un bon rat tachement .
A p p a r e i l s de m e s u r e . - - Les appareils/~ rbgles ne seront em-
I. Bulletin ggodgsique n ~ 2~, octobre-novembre-ddcembre i929, p. 153-I67.
~. Adoptdes par la Section de Gdoddsie clans sa 8" sdanee pldni~re, le vendredi 22 aoSt, matin.
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pioy6s d6sormais que dams des cas exceptionnels, par exemple
la mesure d'une eourte base d'6talonnage, a v e c l a plus haute
pr6cision r6alisable. II est probable qu 'on n'en construira plus.
En dehors des cas pr6cit6s, ies appareils ~ ills ou ~ rubaus
d' invar seront normalement utilis6s, h cause de leur coBmodit6
d 'emploi et c o m b e dormant une pr6cision plus que suffisante,
6taut donn6 celles des mesures d'angles.
Prdcautions exp~rimentales.- On n'oubliera pas toutefois
que cette pr6cision risque de ne pas ~tre atteinte, si l 'on ne
tient pas compte d'un cerlain hombre de prescriptions absolu-
ment imp6ratives :
l) Les ills ou rubans d'invar doivent ~tre mani6s a,ec le plus
grand soin.
a) II-s seront 6taloun6s avant et apr~s la mesure de base, h
des 6poques aussi rapproch~es que possible de eette mesure.
II est d6sirable de connaltre pour chaque fil ou ruban :
a) L'6talon de longueur auquel il a 6t6 compar6.
b) L'erreur moyeune de cette comparaison (il est souhaitable
qu'elle soit inf6rieure ~ ~o ~).
c) Soll coefficient de dilatation propre.
Daus les pays tr6s ~loign6s d 'un laboratoire d'6talonnage, il
est recommand6 d'6tablir une base de comparaison mesur6e
aux ills.
3) Pour parer aux accidents, il est indispensable de tenir en
r6serve, pendant la mesure de la base, deux ou plusieurs ills
ou rubans auxquels on ne touche pas ou auxquels on ne touche
que pour leur comparer sur le terrain les ills ou rubans em-
ploy6s ~ la mesure.
h) II importe que les conditions d 'emploi des ills ou rubans
soient absolument ideutiques h celles de l'6talonnage. En par-
ticulier, v6rifier que la tension est exactement la mgBe, dans un
cas comBe dams l'autre.
5) Se m6fier de la crasse et des poussi6res adh6rentes aux ills
ou rubans, qui modifient leurs poids.
6) II convient, pendant les op6rations ex6cut6es dans les
pays chauds, ainsi qu'au eours des transports vers ces r6gions,
_h 2 5 9 -
d ' e x p o s e r le m o i n s poss ib l e les i l ls ou rubans aux hau tes t e m -
pe ra tu re s .
Le proc~d6 de m e s u r e su ivan t a donn6 d 'exce l len t s r6su l t a t s :
A l i g n e r et j a l o n n e r d ' avance toute la base au m o y e n de p i q u e t s
espac6s h peu pros e x a c t e m e n t de la l ongueu r d ' u n e por tSe ;
c o n s t r u i r e ensu i t e les t e rmes ex t remes , de mani~re que l e u r
d i s t ance soi t un m u l t i p l e de la p o r t , e , et un n o m b r e de t e rmes
i n t e rm6d ia i r e s , m o i n s i m p o r t a n t s , d i s tan t s 4ga l emen t d ' u n
m u l t i p l e exact de la p o r t , e, de faqon h d iv i se r la base en sec-
t ions de i h.u k i l om~t re s de l ongueur .
Oe ~vite a ins i les a p p o i n t s et l ' 6 t ab l i s semen t fas t id ieux et
a l~atoi re de rep~res de fin de journ4e , d ' une s tabi l i t~ suspec te .
On regagne en rap id i t~ et en prec is ion, p e n d a n t la m e s u r e , le
t e m p s passd h ces p rdcau t ions p r6para to i res .
II est r e c o m m a n d 5 de m e s u r e r la base dans les deux sens.
P r d c i s i o n ?t r e c h e r c h e r . - - Si l 'on d6signe p a r c o la base
mesur6e , pa r c le c5t6 de d6pa r t de la t r i angu la t ion qui est
ra t tach6 h la base et pa r �9 une fonct ion des angles compens6s
de la f g u r e de r a t t a c h e m e n t , on a :
log c ~ - log c o A- ~.
Soient e t l ' e r r e u r m o y e n n e de log c, [~z l ' e r r eu r m o y e n n e de
log c,, -tl~ l ' e r r e u r m o y e n n e de ~, ou a :
2
En s ' a p p u y a n t su r cet te loi de fo rma t ion des e r r eu r s , on
voi t a i s6men t q u ' i l est i nu t i l e de m e s u r e r une base avec une
p rdc i s ion exagdr6e. Le t e rme "~t 6taut p r6pond6ran t , le c5t6 de
d 6 p a r t n ' es t gu~re m i e u x d6 te rmin6 , que l ' e r r eu r m o y e n n e de
la m e s u r e s'61~ve au 500.000 ~ ou au t .ooo.ooo" de la l o n g u e u r
de la base.
l~tant donn6 qu ' avec des i l ls ou des rubans , b ien 6tudi6s et
b i en man i6s , la p rdc i s ion du 5oo.ooo" est n o r m a l e m e n t a t t e in t e
et que cel le du i . ooo .ooo ~ (et au delft) est des p lu s f r6quen tes ,
- - 260 - -
les op6rateurs soigneux seront toujours certains qua les erreurs
de mesure de leur base sont de nature h n'avoir qu 'une in-
fluence absolument insignifiante.
Etude de la p r d c i s i o n . - Nous supposerons que des pr6cau-
tions particuli6res et un agencement appropri6 des observations
ont ~cart6 les erreurs syst6matiques : 6talonnage, tension, tem-
pdrature, nivellement, alignement, 6quation personnelle des
observateurs, etc...
Le mode de calcul des erreurs accidentelles varie beaucoup
suivant les diff~rents auteurs et suivant la mani~re dont est
mesur~e la base.
I1 peut arriver que les diverses sections n'aient pas 6t~ me-
sur6es un m~me nombre de fois, qu'elles l 'aient ~t6 avec des
appareils diff6rents, etc... Nous ne saurions envisager tous ces
cas. D'ailleurs, depuis que l 'emploi des ills et rubans s'est
g6n6ralis6, ces anomalies de mesure sont de moins en moins
fr6quentes.
Nous consid6rerons doric seulement le cas g6n6ral d 'une base
divis6e en n sections qui ont 6t6 respectivement robjet de
p,, p . . . . . p,, mesures inddpendantes avec diffdrents ills. Soit,
pour une section, Ev" la somme des carrds des 6carts des Ion-
gueurs obtenues par rapport h leur moyenne, a l 'erreur
mo2~enne quadratique de cette moyenne, on a :
, / ~v"
: +--- V p (P ~ , ) '
Soit E l 'erreur moyenne quadratique de la base enti~re
(somme des longueurs des sections) on a :
•// Xv: Ev~ Xv ~ . E - ~ • p , ( p , _ _ ,) + p , ( p , _ _ ,) + . . . + p,,(p,,__ , )
L'erreur moyenne kilom6trique d 'une section longue de k
kilom6tres est : s
- - 2 6 1 - -
e t celle de la base, longue de K ki|om~tres est :
E E =
Nous conseillons aux divers Services gdod6siques d 'employer
toujours ces formules simples (bien entendu quand elles seront
applicables) afin qu t leurs r6sultats soitnt comparables.
R e m a r q u e . - - Les bulletins d'dtalonnage permettent de d6ter-
miner les diff6rences de longueur des ills ou rubans entre eux.
Ces diff6rences peuvent gtre. d6duites, soit h l'aide d'une base
de comparaison, soit par Its mesures tlles-mgmes au eours
desquelles une mgme longueur a 6t6 mesur6e" avec des ills ou
rubans diff6rents.
I1 est conseill6 de comparer entre tiles les diff6rences ainsi
d~duites h celles qui sont tir6es des bulletins d'6talonnage.
Correc t ion d 'a l t i tude. - - La longueur mesur6e de la base est
ramen6e ~ la surface de rdfdrence par une correction. II est
recommand6 de calculer cette correction c par section,
l'aide de la formule :
H H ~ c ~ - - - - - S ~ + S R--;
oh S est la longueur de la section,
H la moyenne des altitudes des portdes successives des i l ls
ou rubans ,
R le rayon de courbure de l'ellipsoide suivant l 'azimut de la base,
le second terme pouvant gtre n6gligeable.
E r r e u r lotale. - - Pour rendre les bases comparables entre elles,
il faut tenir compte, ~ c6t6 de l 'erreur moyenne quadratique E,
d 'autres erreurs; notamment de celles qui r6sultent de la com-
paraison des ills ou rubans h L'6talon fondamental de longueur.
- - 262 - -
des incertitudes qui entachent les coefficients de dilatation, des
observations de temp6rature, d'altitude, de latitude, etc...
Si e,, e,, e~... repr6sentent les erreurs accidentelles dues ~ ces
diverses causes, l 'erreur totale Et de la base sera calcul6e con-
ventionnellement par la formule :
E t = -+- ~/E" -+- E e'
Ee' atteint rapidement l 'ordre de grandeur de E ~.
1I
T r i a n g u l a t i o n s d e p r e m i e r o r d r e .
D d f i n i t i o n s . - I1 semble qu'il ne pent y avoir ancun doute
sur ce qu 'on appelle triangulation de l ~ ordre ((( precise trian-
gulation ))) : C'est une triangulation h longs cSt6s, darts laquelle
les angles sont tous observes, avec des instruments et des m6-
rhodes dormant une grande pr6cision.
Comme le crit6rium le plus imm6diat de la valeur d'une
triangulation consiste darts les erreurs de fermeture des trian-
gles, nuns admettons que le nora de triangulation de ~~ ordre
ne peut s 'appliquer qu'aux triangulations dans lesquelles la
mo3,enne des valeurs absolues des erreurs de fermeture ne
ddpasse pas ordinairement ~" sexag6simale ou 3",~ cent6si-
males, ou dans lesquelles tr6s pcu de ces ~aleurs atteignent
3" ou 9",3. Une triangulation de v" ordre pent gtre primordiale ((~ first
order triangulation ))) ou compl6mentaire (c~ supplemen-
tar 3, triangulation ))>. Les triangulations primordiales sont les
chalnes qui forment l 'ossature de la description g~om6trique
d 'un pays. Elles sont observ6es avec les instruments et les mS-
rhodes dormant la pr6cision maximum possible. Les instru-
ments h pr6fdrer sont ceux qui sont uniquement dispos6s pour
la mesure des angles azimutaux (cercles azimutaux, (( direction-
theodolites ))). II serait illusoire d'6dicter des prescriptions sur
les m6thodes ~i employer (m6thode des directions, des angles,
des secteurs) : routes ont leurs avantages et leurs inconv~nients
- - 263 - -
et il convient de s 'adapter aux circonstances. Mais il importe
de pr6ciser que dans toute triangulation de t" ordre primor-
diale, le poids d 'une direction finale observ6e, avec les ins-
truments habituellemeut employ'ds, est en g~ndral 20 ou 2h lois.
le poids d 'une observation isol6e de direction.
Les tr iangulations compl6mentaires comportent, soit des sta-
tions choisies dans la r~gion de la chalne primordiale, le long
de cette chalne, pour en serrer les mailles, soit des stations
situ6es h l ' int~rieur d 'une figure limit6e par des chalnes pr imor-
~liales et r~parties de faqon h couvrir tout l ' intdrieur de cet te
figure d 'un r~seau de premier ordre homog~ne. Ces triangula -~
tions compl6mentaires peuvent ~tre ex6cut6es h l'aide d' instru-
ments (theodolites, instruments universels) dormant une pr6ci-
sion moindre que ceux en usage pour les triangulations pri-
mordiales; le poids d 'une direction finale observde peut
descendre jusqu 'h to ou l~ lois le poids d 'une observation
isolde de direction, les fermetures des triangles ne pouvant tou-
tefois exc~der ~" ~ 3", soit 6",2 ~ 9",3.
L o n g a e u r des c6tds . - - Essayer de r6glementer la longueur
des cSt6s d 'une triangulation de I e r ordre serait illusoire.
Cette longueur d6pend de trop de circonstances : nature du
terrain, visibilit6, etc... Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'il ne
faut passer d 'un c5t6 court ~ un c5t6 long que par une figure
aussi bien conform6e que possible.
R e c o n n a i s s a n c e . - - On ne doit pas oublier que de la mani~re
plus ou moins habile et s6rieuse dont a 6t6 faite la reconnais-
saf~ce, d6pendent la rapidit6, la qualit6 et le prix de revient,
plus ou moins avantageux, des observations ult6rieures. En
premier ordre, une erreur de reconnaissance, d6voil6e seule-
ment au momen t des observations, peut avoir une influence
funeste sur les travaux. Ce sour les g6od6siens les mieux exer-
c6s, ayant dt~j'~ la pratique des ol~servations, qui doivent dtre
charg6s des reconnaissances.
R e p b r e s et s i g n a u x . - - II est d6ce~ant de constater combien,
dans certains pays ou pour certaines triangulations, on se pr6oc-
m 264 - -
cupe peu d'6tablir des reputes d6fiant les destructions, qu'elles soient dues aux intemp6ries, ~ l 'ceuvre du temps ou ~ la main des hommes . Le caract~re essentiel des rep~res g6od6siques de
p remier ordre devrait gtre d 'avoir une existence assur6e pour plusieurs si~cles. Toute 6conomie faite sur leur 6tablissement et sur celui des signaux destin6s ~ rester en place, est une 6co-
nomie mal entendue. A quelles d6penses de temps et d 'argent n~est-on pas expos6 si quelques ann6es apr6s l '6tablissement
d 'un signal ou d 'un repute, on ne le retrouve plus lorsqu'on y
revient pour de nouvelles op6rations? L'extrgme solidit6 des reputes, m g m e cach6s et souterrains,
et aussi celle des signaux permanents , de prudentes disposi- tions pour un rep6rage des centres g6od6siques, bien compris et durable, des prescriptions 16gales assurant la protection de tonte
construction g6od6sique, des recensements et r6visious p6rio- diques de ces constructions pour parer de suite aux d6t6riora-
tions et aux destructions, sont des mesures de la plus haute importance, trop souvent n6glig6es et sur lesquelles il eonvient
d 'a t t i rer l 'attention de tous les Services g6od6siques. I1 ne faut pas 16siner sur la hau teur des s ignaux de premier
ordre, s'ils doivent rester sur place pour servir ul t6rieurement des observations de deuxi~me et troisi~me ordre. Pendant la
reconnaissance du premier ordre, on se pr6occupe en g6n6ral trop peu des autres ordres : par exemple, routes les r6gions
imm6dia tement voisines 6chapperont ~ un signal de premier ordre qui, situ6 dans les arbres, d6passe leur sommet tout juste de la quantit6 n6cessaire pour aperce~oir les autres signaux de
p remier ordre, tr~s 61oign6s et le plus souvent tl l 'horizon.
C o n f i g u r a t i o n des cha lnes et r d s e a u x . - - La reconnaissance du premier ordre doit arr~ter une chaine (ou un r~seau) bien conform~e, et adopter la plus avantageuse des diff4rentes
configurations qui peuvent se pr6senter, compatibles avec les circonstanccs locales et les n6cessit~s du travail. Sous ce rap-
port, on utilisera avec profit les r~gles s imples du (( Coast and Geodetic Survey )), bas6es sur la consid6ration de l 'expression qui reprdsente le carr6 de l 'erreur moyenne relative d 'un c5t6 c,
- - 265 - -
calcul~ dans une f igure donn6e, p a r un e n c h a l n e m e n t de
t r i ang les , en p a r t a n t d ' u n c~5t6 connu c o .
_ D - - C ft d ' • ~ Z [~'A + ~A~B + ~'B], 3 D
d, e r r e u r m o y e n n e d ' u n e d i r ec t ion finale observ6e;
D, n o m b r e des d i r e c t i o n s observ6es dans la f igure ;
C, n o m b r e des c o n d i t i o n s auxque l l e s la f igure do l t sa t i s fa i re ;
A, ang le oppos6 au c6t6 connu et B, angle oppos6 au c5t6
calcul6 c o m m e base du t r i ang le su ivant de la cha ine ;
~A, ~B, a c c r o i s s e m e n t s des l o g a r i t h m e s des s i n u s co r res -
p o n d a n t ~ des a c c r o i s s e m e n t s des arcs, 6gaux h une se-
c o n d e ' .
En tou t cas, une cha ine p r i m o r d i a l e ne do l t pas c o m p r e n d r e
u n i q u e m e n t des t r i ang l e s accolds. El le do l t se c o m p o s e r d ' u n e
success ion de f igures te l le q u ' o n pu i s se ca lculer le d e r n i e r eSt6
en p a r t a n t du p r e m i e r p a r deux encha i ne m e n t s i n d 6 p e n d a n t s ,
pa r e x e m p l e une s6rie de quadr i l a t~ res fi d iagona les observ6es .
Par cont re , i l es t i n u t i l e , sous pr6texte de vis ibi l i t6s r6c ip ro -
ques, de m u l t i p l i e r exag6r6men t le n o m b r e des d i r ec t i ons h
obse rver . On i n t r o d u i t de nouve l les e r r eu r s et on rend la com-
pensa t ion b ien p lu s p6n ib le .
i. Une table d ' a rgumen t s A et B, donne les quanlitds :
~A A- CA ~B A- ~-~B,
exprimfies en unitds de la fie ddcimale du logarithme. Elle se trouve dans les ouvrages suivants : W. Bowtn, Primary Triangulation on lhe one hundred and fourth Meridian and on the thirty ninth Parallel, etc. Coast and Geodetic Survey, Special Publication No. ~9, Washington, ~9~, P- 6-7, et C. V. HODGSON. Manual oJ first order Triangulalion, Coast and Geodetic Survey, Special Publication No. 120, Washington, 19a6, p. It-iS.
Pour l 'dtablissement de la formule, voir WnlonT and HAYFORD, The Adjustment of Observalions, New-York, Van Nostrand, Second Edition, i9o6 , p. t~3 et ~67.
Pour arr6ter la configurat ion d 'une chaine ou d 'un rdseau et le plan des observations, on peut s ' inspirer aussi des travaux du G6- ndral Schreiber.
- - 266 - -
O b s e r v a t i o n s . - - L'exp6rience montre l 'existence d '6carts
parfois consid6rables entre les lectures, malgr6 les soins ap-
port6s par les observateurs aux point6s.
Ils sont dus aux erreurs de phase des signaux et aux r~frac-
tions lat6rales. Les mesures devront gtre agenc6es de mani~re
contrebalancer autant que possible ces effets. Pour le reste, il y
a lieu de faire confiance aux observateurs et aux organismes
qui les contr61ent pour qu ' i l s rbglent leurs m6thodes d 'obser-
ra t ion et d'61imination 6ventuelle des mesures discordantes, de
mani6re ~ r6aliser les fermetures de tr iangles pr6vues.
Pour ce qui concerne le choix des ins t ruments , l 'exp~rience a
permis de constater que les in s t rumen t s r6p~titeurs donnent des
erreurs syst6matiques assez impor tan tes pour que leur emploi
dans les mesures de x" ordre ne soit pas h recommander .
C o r r e c t i o n s a u x a n g l e s . - - Les correct ions aux valeurs des
angles mesur6s sur le terrain seront calcul6es si elles influent
sur la 3" d6cimale de la seconde sexagdsimale. On calculera
donc les corrections de l ' a l t i tude et de la ligne g6od6sique, mais
au bureau et non sur le terrain.
C o m p e n s a t i o n . - - La compensat ion a pour effet de rendre la
t r iangulat ion gdom6tr ique; les angles compens6s fournissent
par le calcul les mgmes valeurs de c6t6s, d 'az imuts et de coor-
donn6es quei que soit l ' encha lnement uti l is6 pour ces calculs.
L 'emploi de la m6thode des moindres carr6s donne aux cor-
rections le caract6re d 'e r reurs accidentelles et fait cont r ibuer
chaque observation au r6sultat final pour la par t qui lui revient
16gitimement.
De plus, elle permet le calcul d6finitif, par des formules
rigoureuses, d 'un certain nombre de quantit4s qui donnent
une id6e exacte de la pr6cision des observations, comme l 'er-
reur moyenne de l 'unit6 de poids, les erreurs relatives des bases
de v6rification calcul6es en par tan t de la longueur mesur6e de
la base fondamentale, etc.
Une t r iangulat ion de t "r ordre non compens6e est inad-
missible.
- - 2 6 7 - -
Le travail de calcul peut gtre simplifi6 en sectionnant le
r6seau en groupes, li6s rigidement entre eux.
Cependant, on ne doit pas h6siter h aborder des compensa-
tions compor tant un assez grand hombre d'6quations normales
r6soudre (5o h ~oo par exemple) surtout pour les r6seaux qui
pr6sentent peu d'enchevgtrement.
Les inconnues seront de pr6f6rence les corrections aux direc-
tions observ6es et non celles aux angles.
Ces directions sont d6duites des compensations de stations, si
la m6thode d 'observation exige ces compensations. II suffit de
consid6rer alors les directions comme des r6sultats d'observa-
tions directes et, normalement, leur poids sera uniforme. S'il y
avait lieu cependant de tenir compte de diff6rences dams la
pr6cision de ces valeurs, il est recommand6 d 'arrondir les
coefficients de poids h u n petit hombre de chiffres significatifs
(2 par exemple).
Cri tdr iums de la precision des observations. - - Les crit6riums
suivants de la pr6cision des observations seront obligatoire-
ment fournis, sauf le n " 6, b), qui, fort int6ressant, donne lieu
de laborieux calculs :
~. - - Les erreurs de fermeture, E, des triangles, en signalant
leurs valeurs absolues moyenne et maximum. Nous avons indi-
qu6 les valeurs de ces erreurs admissibles pour une triangula-
tion de premier ordre.
2. - - Les corrections apport6es aux directions par la com-
pensation, en signalant leurs valeurs absolues moyenne et
m a x i m u m .
3. - - L'erreur moyenne m de l 'unit6 de poids adopt6e dams
la compensat ion (poids d 'une direction finale observ6e ~ l'aide
d 'un ins t rument du type employ6 et par n r6it6rations, poids n
lois sup6rieur ~ celui d'une observation de direction isol6e,
effectu6e avec le mgme instrument).
Cette erreur moyenne se calcule :
a) par la discussion de l 'ensemble des observations azimu-
tales, abstraction faite de toute compensation;
- - 2 f i e - -
b) par la compensat ion :
m~-~-~/~pv" p poids d 'une direction, v correction den t elle est affectS, r nombre des 6quations de condit ion;
c) par la formule approch6e de l 'ancienne Association g6od6-
sique internationale (formule du G6n6ral Ferrero, appliqu6e l 'erreur moyenne d 'une direction) :
j s l r n = - + - V 3 N X V/~--,
E, erreur de fermeture d 'un triangle, N, hombre total des triangles.
6.. - - Les fermetures sur les bases : diff6rences entre leurs
valeurs mesur6es et leurs valeurs calcul6es par la triangulation, a p r ~ compensat ion et sans accord des bases, en partant d'au-
tres bases prises pour bases de d6part. On les obtient de deux
mani~res : a) Leurs logari thmes sent fournis par les termes constants
des 6quations d'accord entre les bases de d6part et les autres
bases. b) Par la compensat ion. On sait d6terminer l ' e r reur moyenne
d 'une fonction des quantit6s compens6es. La triangulation comprise entre deux bases a ~t6, en g6n6ral, consid6r6e, pour la compensation, comme constitu6e par plusieurs parties acco-
16es successivement. On obtient de proche en proche les erreurs moyennes de leurs c6t6s de jonct ion calcul6s en par tant de la base de d6part, que l 'on peut supposer , pour simplifier, mesur6e sans erreur . La derni~re figure donne l ' e r reur moyenne
de la base d'arriv6e, qui n'est autre que la fermet 'ure sur cette base. Les calculs sent longs, mais ils ont l ' avantage de donner une id6e exacte du mode de propagat ion des erreurs darts la triangulation, c'est-~-dire de la d iminu t ion de la pr6cision
- - 2 6 9 - -
d e s l ongueurs des c6t6s h mesure qu 'on s'61oigne de la base de
d6par t ' .
A titre de rense ignement , indiquons ici que dans les bonnes
t r iangula t ions de p remie r ordre modernes , l ' e r reur moyenne
d 'un angle final observ6, rapidement calcul6e par la fo rmule
de Ferrero pr imi t ive , est en moyenne -4- t",2 = -4- 3", 7, ce
qui donne pour l ' e r r eu r moyenne d 'une direct ion finale obser-
v6e + _ _ _ o " , 8 = ~ " , 5 et pour son erreur probable ~____o",5
= ~ _ 1", 5.
I I I
R 6 p a r t i t i o n d e s b a s e s .
Une jud ic ieuse r6par t i t ion des bases dans l ' ensemble d ' une
t r iangula t ion a une impor tance capitale.
Le g6od6sien, appel6 h dresser le plan d 'une nouvel le trian-
gulat ion, doi t avoir une id6e nette des erreurs moyennes rela-
tives h c ra indre sur les bases (~ : r .ooo.ooo par exemple) et
des e r reurs m o y e n n e s ~ craindre sur les direct ions finales ob -
serv6es (+____ o",8 ou -4- ~",5 par exemple), dans une chalne ou
un r6seau n o r m a l e m e n t conform6, quand on op~re avec les
i n s t rumen t s et les m6thodes qu 'on se propose d ' employer . Par
des compara i sons avec des op6rations ant6rieures et par des
calculs provisoi res approch6s , il doit se faire une id6e des
erreurs h c ra indre sur les cbt6s calcul6s et de la loi su ivant
laquelle elles a u g m e n t e n t / i part i r de la base de d6part . II fixera
alors la r fpa r t i t i on des bases de manibre que ces er reurs ne
d6passent pas, d ' u n e base ~ la suivante, une l imite pr6Mable-
merit assign6e.
Inver sement , si les exigences du terra in et la con fo rma t ion
de la t r i angu la t ion imposen t ~ peu prbs les emp lacemen t s d e s
t. Par exemple, pour la triangulation du nouvel Arc de M6ridien 6quatorial mesur6 en Amdrique du Sud par le Service gdographique de l'&rmde frangaise, l 'erreur moyenne relative d 'un c6t6, qui est de i : I96 .915 pour le cStd d.e ddpart ddduit de la base centrale, s'dl~ve pour la base nord (h 270 km. de la base cen~rale) h r : ~5.144 et pour la base sud (/t 46o km. de la base centrale) h ~ : 4a.974.
- - 270 - -
bases, on choisira les instruments et les m6thodes de mani~re
atteindre la pr6cision requise dans le calcul des cbt6s.
C'est sous la condition absolue d 'une semblable ~tude pr61i-
minaire que la triangulation sera pour ainsi dire 6quilibr6e. I1
est aussi absurde de mesurer des bases trop rapproch6es les
unes des autres que dangereux de se contenter de bases trop
peu nombreuses et trop 61oign6es.
La r@artition des bases se pr6sente sous un aspect diff6rent
suivant que le r4seau est compos6 d 'un quadrillage de grandes-
chaines, ou qu'il est continu.
La longueur des bases intervient 6galement quand elle d6-
passe une dizaine de kilombtres; la r6union au c5t6 de ratta-
chement peut en g6n6ral se faire dans de bonnes conditions de
pr6cision, par une figure simple et bien conform6e.
D'un .autre c5t6, il faut tenir compte des exigences du terrain
et de la conformation du r6seau.
H est ditticile actuellement de fixer les r6gles d'une distribu-
tion rationnelle sanctionn6e par l 'exp6rience.
On peut cependant se rendre compte d 'une mani~re approxi-
mative de l 'erreur ~ craindre sur un c5t6 calcul6 en utilisant,
comme le fait le (( Coast and Geodetic Survey )), l'expression
du carr6 de l 'erreur moyenne relative d 'uu c5t6 plus haut
indiqu6e :
h D - - C ~d" • "--'-D-- ~v[~'A A- ~A~B + ~'B]
A que l 'on 6crit : 3 d ' R .
Le facteur R e s t calcul6 par l 'encha.lnement de triangles le
plus favorable qui correspond au min imum de R.
IV
Points origines. Mesures astronomiques .
i. - - Le calcul des coordonn6es des sommets d 'un r6seau se
fait de proche en proche, en partant d 'un point o5 sont connus :
la latitude, la longitude, et l 'azimut d 'un c5t6 issu de ce point.
2 7 1 - -
Ces donn6es sont, ou bien emprunt6es ~ un r6seau volsin ou
fixdes par des observations astronomiques pr~cises. Dans ce
dernier cas, il est bon de tenir eompte des recommandations
suivantes : a) Choisir le point origine, autant qu'ii est-possible, dans
une r6gion o~ il y a peu de chances de rencontrer des d6via-
tions de la ~r importantes.
b) Fixer la latitude avec une erreur moyenne de l"ordre de
grandeur de o",~.
La longitude peut ~tre prise arbitrairement, mais il est d6si-
rable, dans un but de coordination, que ia ~aleur adopi6e soit
fix6e par rapport au m~ridien de Greenwich avec une approxi-
mation 6gale ~ celle de la latitnde.
L'azimut sera fix6 avec une erreur moyenne ne d6passant pas
l 'erreur moyenne d 'une direction finale observ6e.
c) Les valeurs fournies par l 'observation directe seront cor-
rig6es comme suit :
La latitude sera ramen6e h la surface de r6f6rence et au pSle
moyen fixd par le Service international des Latitudes.
La longitude, quand elle est rapport6e h Greenwich, sera
6galement r6duite au p61e moyen.
L'azimut sera ramen6 h la surface de r6f6rence et au pSle
moyen.
a. - - I1 est de r~gle de faire en divers points distribu6s sur le
rdseau de premier ordre des observations astronomiques desti-
n6es h gtre compar6es aux va|eurs calculdes par le transport
des coordonn6es.
Ces observations eornprennent au moins des ddterminations
de latitude et d 'az imut ; cependant on s'efforcera de les eom-
pl6ter par des observations de longitude de mani6re h obtenir
des (( points de Laplace ~) off la diff6rence (longitude astrono-
mique - - longitude g6od6sique) est li6e h la diff6rence (azimut
astronomique - - azimut gdoddsique) par la relation simple :
- - ~ = 0 , - - ) , ) s i n A G A
0, longitude, r latitude, ~, azimut). 18
272 - -
Les valeurs observ6es seront 6galement ramen6es h la surface de r6f6rence et au pSle moyen.
I1 est d6sirable que la pr6cision de ces observations soit de mgme ordre que celle du point origine.
II n'est pas possible de fixer actuel lement les principes d 'une distribution rationnelle de ces points. 11 semble indiqu6 de les prendre d 'autant plus rapproch6s que la pr6sence de d6viations de la verticale importantes est plus h craindre.
V
A l t i t u d e s . D i s t a n c e s z 6 n i t h a l e s . R 6 f r a c t i o n s .
Tout point gdod6sique de ~~ ordre dolt avoir son alt i tude absolue bien d6termin6e.
La meilleure solution est 6v idemment de faire about i r en ce
point une ligne de nivel lement de pr6cision; mais cette possi- bilit6 est un cas exceptionnel.
Ces altitudes sont utilis6es pour la r6duction h la surface de r6f6rence des directions observ6es et des longueurs des bases.
Pour les r6ductions des directions, un nivel lement tr igonom6- trique suffit. Pour lea corrections aux bases, l 'a l t i tude doit gtre connue/L 5 m~tres pr~s.
Lorsqu'i l est fait usage du nivel lement t r igonom6trique, il est recommand6 d 'observer les distances z6nithales aux deux
extr6mit6s de chaque c5t6 et de pr6f6rence clans l ' intervalle compris entre 3 heures au plus apr6s le lever du soleil et 3 heu- res au moins avant son coucher.
Sous les hautes latitudes, quand les jours sont courts, les observations seront faites aussi pros que possible du mil ieu du jour . Les mesures prises h d 'autres instants et sp6cialement la nuit donnent en gdn6ral de mauvais r6sultats.
l~tant donn6 les grandes variat ions des valeurs des angles verticaux h des heures diff6rentes et pour des jours diff6rents, il n 'est gu~re impor tant de r6p6ter un grand nombre de lois les mesures de ces angles et d 'ut i l iser mgme un cercle r6it6ra- teur, si toutefois les divisions sont cor rec tement faites. I1 est
pr6f6rable de faire un certain hombre de mesures , r6parties sur
- - 273 - -
un intervalle de a heures, par exemple, que de faire un nombre
beaucoup plus grand de mesures en une demi-heure ou moins
Quaud on d6sire mettre h profit ces observations pour tirer
du nivellement tr igonom6trique les r6sultats les plus pr6cis
qu'il peut donner, il sera proc6d6 h ['6tude de la r6fraction sur
quelques cSt6s longs, h l'aide d'observations simultan~es aux
deux extr6mit6s. L'analyse des r6sultats obtenus permettra de
lier le coefficient de r6fraction h la densit6 de l'air par des for-
mules appropri~es.
Lorsque les diff6rences d'altitudes ainsi obtenues trigonom6-
triquement consti tuent le seul moyen d'avoir les altitudes abso-
lues des signaux, au prix du rattachement de l 'un d'eux ~ la
mer, elles doivent 6tre compens6es. C'est d'ailleurs par cette
compensation qu 'on pourra se rendre compte de la loi de pro-
pagation des erreurs h craindre sur les diff6rences d'altitude, et
notamment des erreurs h craindre sur l'altitude absolue des
bases non rattach6es h un nivellement de precision.
R E S O L U T I O N S P R O P O S E D O N T H E S U B J E C T
O F F I R S T - O R D E R B A S E S A N D T R I A N G U L A T I O N S l
P r e l i m i n a r y R e m a r k .
The following text does not set out to establish a rigid
specification but aims only at making recommendations dic-
tated by experience and designed to facilitate comparisons
between networks and possibly their working-up as compen-
sated wholes.
B a s e s .
L e n g t h . - - The shorter the base, the more troublesome bec-
omes its expansion to connect with a side of the triangulation.
I. Adopted by the Secii(~n of Geodesy at the 8 th regular session, Friday Morning, August, 2~, 193o.
- - 274 - -
Now that the m e a s u r e m e n t o f a base , t hanks to invar w i r e s
and tapes, no longer p r e sen t s the d i f f icu l t ies tha t i t d i d severa l
years ago, the advantage of u s i n g s h o r t bases in o rde r to save
t ime and money has c o m p l e t e l y d i s a p p e a r e d . The l e n g t h ot
the base s h o u l d n o w depend so le ly on the conf igu ra t ion of the
g r o u n d and the exigencies of a good c o n n e c t i o n w i th the t r i an -
g u l a t i o n .
M e a s u r i n g A p p a r a t u s . - - Base ba r s s h o u l d hereaf te r be em-
p loyed only in excep t iona l cases, for e x a m p l e the m e a s u r e m e n t
o f a shor t base for the p u r p o s e of s t a n d a r d i z a t i o n w i t h the
g rea tes t a t t a inab le p rec i s ion , It is i n d e e d p robab le tha t no
m o r e base bars wi l l be c o n s t r u c t e d . Excep t in rare cases,
therefore , inva r wi res or t apes w i l l be used for base m e a s u r e -
m e n t s both because of thei r conven i ence and because they give
more than suff icient accuracy , a s s u m i n g a lways tha t of the
ang les suffices.
E x p e r i m e n t a l P r e c a u t i o n s . - - I t s h o u l d no t be forgot ten tha t
the d i s i r ab le accuracy in base m e a s u r e m e n t s may no t be
a t t a ined i f cer ta in i m p e r a t i v e ru les a re n o t fo l lowed :
i . - - The invar wi res and tapes s h o u l d be ha nd l e d w i t h the
g r e a t e s t care.
2. - - Invar wi res shou ld be s t a n d a r d i z e d be fore and a f te r the
m e a s u r e m e n t of the base and at t imes as nea r as poss ib le to
tha t of the m e a s u r e m e n t i tself .
I t is des i rab le to know in the case o f each wi re or tape :
a) The s t a n d a r d of l eng th w i t h w h i c h i t has been c o m p a r e d .
b) The mean e r ror of this c o m p a r i s o n ( less than i o ~ to be
a i m e d at).
c) Its own coefficient of expans ion .
In places very d i s l a n t f rom a s t a n d a r d i z i n g l a bo ra t o ry a
c o m p a r i s o n - b a s e , m e a s u r e d by w i r e s , s h o u l d be es tab l i shed .
5. - - To a l low for acc iden ts i t is e s sen t i a l to ho ld in reserve ,
d u r i n g the m e a s u r e m e n t of a base , two o r m o r e wi res or tapes
w h i c h are not touched or are on ly used for c o m p a r i s o n in the
f ie ld w i th the w o r k i n g wi res or tapes .
- - 2 7 5 -
/t. - - I t is i m p o r t a n t that the w i r e s should be used in the
f ield u n d e r the s ame cond i t i ons as ob ta ined d u r i n g the s t anda r -
d iza t ion . In p a r t i c u l a r , i t is i m p o r t a n t to make sure tha t the
t ens ion is exact ly the s ame in b o t h cases.
5. - - G u a r d aga ins t the adhe rence of d i r t , dus t and m o i s t u r e
to the w i r e , as these w o u l d change i ts we igh t .
6. - - W h i l s t w o r k i n g in hot c l ima te s and d u r i n g t r a n s p o r t
t h r o u g h such reg ions wi res and tapes shou ld be exposed as
l i t t l e as p o s s i b l e to h igh t e m p e r a t u r e s .
The f o l l o w i n g m e t h o d has g iven exce l len t resu l t s : Al ign
and s take ou t the w h o l e base in advance w i th s takes accu ra t e ly
in l ine and spaced a l m o s t exact ly a w i r e length a p a r t ; next set
up the t e r m i n a l m a r k s of the base at a d i s tance apa r t equal to
an exac t m u l t i p l e of the wi re length , l ikewise a n u m b e r of
s u b s i d i a r y i n t e r m e d i a t e m a r k s sa t i s fy ing the same cond i t ion
and d i v i d i n g the base up in to sec t ions of [ to a k i l om e t r e s in
l eng th . Avoi(~ the t r o u b l e s o m e and r i sky e s t a b l i s h m e n t of
spec ia l m a r k e r s for th is p u r p o s e , the s t ab i l i t y of wh ich is
a l w a y s u n d e r susp ic ion . The r a p i d i t y and accuracy ga ined
d u r i n g the m e a s u r e m e n t more than repays the t ime spen t in
this p r e p a r a t o r y w o r k .
I t is . r e c o m m e n d e d tha t the base be measu red in bo th d i r ec -
t ions .
Accuracy to be sought. - - If we des igna te lhe measf i red base
by c o, by c the s ide of d e p a r t u r e that is connected to the base ,
and by ~ a func t ion of the a d j u s t e d angles of the c o n n e c t i n g
f igure , we have :
l o g c = l o g c o + r
Let e z be the mean e r ro r of log c, ~ the mean e r ro r o f
log c o, ~qt the m e a n e r ro r of ,~ ; w e then have
e l - - i~l + r~l-
R e a s o n i n g f rom th is law of the a c c u m u l a t i o n of e r ro rs , we
can eas i ly see tha t i t is use less to m e a s u r e a base w i t h an
- - 276 - -
exaggera ted accuracy . Once the t e rm "q~ is p r e p o n d e r a n t , the
s ide of d e p a r t u r e is b u t l i t t le be t t e r d e t e r m i n e d if we m e a s u r e
the base to ~ par t in ~.ooo.ooo in s t ead of to i pa r t in 5oo.0oo.
K n o w i n g that w i t h wires , c a re fu l ly m a n i p u l a t e d , an accuracy
of ~ in 5oo.ooo is n o r m a l l y a t t a ined , and tha t an accuracy o f
in i .ooo .ooo (or an even g r ea t e r accuracy) is very f requen t ,
carefu l ope ra to r s can feel conf iden t that the e r ro r s of measu re -
m e n t of the i r base are of such a size as to have on ly an i n s ign i -
f icant inf luence .
A Study of the Precision. - - We shal l a s s u m e that spec ia l
p r ecau t ions and an a p p r o p r i a t e p r o g r a m m e of obse rva t ions have
obvia ted the sy s t ema t i c e r rors , such as those of s t a n d a r d i z a t i o n ,
tension, t e m p e r a t u r e , leve l l ing , a l i g n m e n t , p e r s o n a l equa t ion
of the observers , etc.
The m e t h o d of c o m p u t a t i o n o f acc iden ta l e r ro r s var ies g rea t ly
acco rd ing to d i f ferent au tho r s and a c c o r d i n g to the m a n n e r in
w h i c h the base has been m e a s u r e d .
I t may happen that the d i f fe ren t sec t ions were not m e a s u r e d
the same n u m b e r o f t imes , that they were m e a s u r e d wi th d i f fe ren t
appa ra tus , e tc . . . We canno t cons ide r al l these cases. Moreover,
s ince the e m p l o y men t of tapes a n d wi res has beco m e genera l , I hese
var ia t ions of m e a s u r e m e n t have b e c o m e less and less f requen t .
We shal l c o n s i d e r then on ly the gene ra l case of a base divi -
ded into n sec l ions w h i c h have, respec t ive ly , been measu red
i n d e p e n d e n t l y p,, p , ... p,, t imes w i t h d i f fe ren t tapes. For one
sect ion let 2v" he the s u m of the squa res of tim res idua l s of
the lengths re fe r red to t he i r mean , and ~ the mean square
e r ror . Then we have for each sec t ion :
L/ vV~ : = + - , )
Let E be the mean square e r ro r of the en t i r e base . We then
have :
p Vv 2 Vv: Vv~ S = - + - ,(p-~-~ i ) + p , ( p , - - , ) + "'" + p,,(p, ,--~)
277
The mean error per kilometre of a section, k kilometres long,
is :
s
and that of the base, K kilometres long, is :
E E J
We advise the various geodetic services always to employ
these formulas (where they are applicable, of course) in order
that their results may be comparable with each other.
R e m a r k . - The schedules of standardization observations
give the differences in length of the wires or tapes amongst
themselves. These differeaces can be deduced either with the
aid of a comparison base or from the field measurements
themselves, in the course of which a given length has been
measured with the different wires or tapes. Differences so
deduced should be compared with those resulting directly from
the standardization.
Correction ./or Alt i tude. - - The measured length of the base
is reduced to the surface of reference by a correction. It is
recommended that this correction c be calculated for each sec-
tion from the formula :
H H ~ c = - - S ~ - + S B---;
where
S is the length of the section,
H the mean altitude o f the saccessive wire or tape-lengths.
and R the radius of curvature of the spheroid in the azimuth
of the base.
The second term may be negligible.
- - 278 - -
T o t a l E r r o r . - - I n order to render bases comparable amongst
themselves it is necessary to take into accotint not only the
mean square error E but also others, notably those of the
comparisons of the wires or tapes wi th the fundamental length
standard and those due to uncertainties in the coefficients of
expansion, in temperature measurement, altitude, etc:..
If e t, e,, e 3 ... represent the accidental errors due to these
various causes, the total probable e r r o r E t Of the base will be
calculated as usual by the formula :
E t = ~ V / E ~ + ) 2 e ~
Ze' rapidly attains the order of magnitude of E'.
II
F i r s t O r d e r T r i a n g u l a t i o n s .
D e f i n i t i o n s . - - There is little possibility of doubt avismg as
to what should be called first-order triangulation (precise
triangulation). It is a triangulation with long sides, with all
the angles observed, made with inst ruments and by methods
yielding a high precision.
Since the most immediate criterion of the merit of a trian-
gulation, and the one which can be most readily used by the
observer in the field, is the error of closure of the triangle, the
name of ~c first-order ~ is given to that triangulation in
which the mean or average of the closing errors of the trian-
gles is ordinarily less than t" sexagesimal or 3",t centesimal,
and in which very few of these errors exceed 3" (9".3 centesi-
mal).
Triangulation of the first-order may be either primary (first-
order triangulation) or supplementary. The primary triangu-
lations are the arcs or chains which form the geometric frame-
work of a country. Those instruments and methods are used
which give the greatest possible accuracy. Tim instruments
(theodolites) to be preferred are those that are made primarily
for the measurement of horizontal angles. No law can be laid
- - 279 - -
down regarding the methods of observing to be used such as
the method of directions, or of angles. Each has its advantages
and its disadvantages and it is best to let the circumstances
govern. But it is important to state definitely that, in any
triangulation of the primary or first order, with the instru-
ments usually employed, the weight of a final observed direc-
tion is in general 2o or 24 times that of a single observation of
direction.
Supplementary schemes of first-order triangulation are com-
posed either of stations selected in the region but outside of
the primary chain to give greater width to the area controlled
by the triangulation, or else of stations situated in the interior
of the primary scheme and distributed so as to cover the whole
interior of the scheme with a homogeneous net. Observations
at the stations of this supplementary scheme may be executed
with instruments (theodolites, universal instruments) capable
of less accuracy than those used for the primary scheme; the
weight of a final observed direction may come down to do io
or i~ times the weight of a single observation of direction, the
triangle closures nevertheless not exceedin~ 2" to 3", or 6".2 tc
9".3.
Length o f the Sides. - - It is impossible to regulate the length
of the sides of triangulation of the first-order. This length
depends on too many circumstances : the nature of the terrain,
visibility, etc... All that can be specified is that the transition
from a short side to a long one should not be made except by
means of a figure of the best possible shape.
R e c o n n a i s s a n c e . - It should not be forgotten that the tho-
roughness and skill with which the reconnaissance has been
made governs the rapidity, the quality and the cost of the later
observations. In triangulation of the first order especially, an
error of reconnaissance, not found until the observations are
about to be made, may have a serious effect on the speed and
cost of the work. Whenever possible the most skilfnl geode-
sists, with experience in observing, should have charge of
reconnaissance.
- - 280 - -
Slal ion m a r k s and s ignals . - - It is disappointing to find how
little attention has been given, in certain countries or for cer-
tain arcs of triangulation, to the establishment of monuments ,
or station marks, which are not likely to be destroyed by
weather, by the work of time, or by the hand of man. The
essential character of geodetic station marks of the first-order
should be such as to assure an existence for several centuries.
Every saving at the expense of permanency made in the setting
of these marks or in building the signals intended to remain
in place is mistaken economy. To what expense of time and
of money are we not liable if, some years after the establish-
ment of a signal or a station mark, we cannot recover it on
revisiting it for new operations.
An extreme solidity of station marks, even those hidden and
set underground, and of permanent signals also; a well-plan-
ned system of permanent reference marks; legal regulations
ensuring the protection of every geodetic structure; listing and
periodical revision of these structures to guard against later
deterioration or destruction - - all these are measures of the
highest importance, toc often neglected, to which the attention
of all geodetic services is directed.
First order beacons should not be stinted for height if they
are to remain in place to serve subsequently for second and
third-order observations. During reconnaissance for first order
triangulation too little thought is generally given to the subsi-
diary triangulation. For example, the first order signal, situa-
ted among trees and overtopping them by just exactly the
amount necessary to render visible the other first-order signals,
which are very distant and most often on the horizon, might
be invisible from all the regions in the immediate vicinity of
the station.
Conf igura t ion o.I Chains and Nets . - - Reconnaissance for first
order triangulation should provide a well-formed chain (or net
and should adopt the most advantageous of the different avai-
lable configurations. In this connection we can use with profit
the simple rules of the ~ Coast and Geodetic Survey ~, based
- - 281 - -
on the cons ide ra t ion of the expression which represen ts the
probable er ror of a s ide c, computed in a given f igure t h rough
a cha in of t r iangles , s t a r t i ng from a know side c o :
3 D - - C - d ~ X - - Z[~'A + ~A~B + ~'B] h D
in which
d, is the p r o b a b l e er ror of a final observed direct ion ;
D, the n u m b e r of d i rec t ions observed in a figure ;
C, the n u m b e r of cond i t ions in the figure wh ich m u s t be
satisfied ;
A, the angle oppos i te the side to be de te rmined , a nd B the
angle opposi te the k n o w n side, in each t r i ang le of the
cha in used and
~A and ~B, are the i nc r emen t s of the l oga r i t hms of the
s ines of these angles co r respond ing with l" in the arcs ' .
In any case a p r i m a r y chain of first order t r i a n g u l a t i o n
should no t be composed solely of connected s ing le t r iangles .
It should , w i th only occasional exceptions, be composed of a
succession of f igures such that one can compute the last side
from the first t h rough two independen t chains , as for example
~. A lable with A and B as arguments givcs the quantit ies
~ A -4- ~.~ ~B + ~B 2
expressed in uni ts of the 6 th place of logarithms, q t is to be found in the following works : W. BowzE, Primary Triangnlalioa on lhe one hundred'and /ourlh Meridian and on lhe thinly-ninlh Parallel, etc. Coast and Geodetic Survey, Special Publication No. 19, Washington, 191~, p. 6- 7, and C. V. HODGSON, Manual offirsl order Triangulation, Coast and Geodetic Survey, Special Publication No. 12o, Washington, 1926, p..~-15.
For the establishment of the formula see Wm6HT and HAYronl), The Adjustment of Obsenvations, New-York, Van Nostrand, Second Edition, i9o6 , p. x~3 and 167.
For settling the configuration of a chain or network and the pro- gramme of observations the works of General Sehreiber may also be consulted.
- - 2 8 2 -
a series of quadrilaterals with observed diagonals or of central
point figur6s.
On the other hand, it is useless, by overlapping figures, to
increase greatly the number of directions to be observed. New
errors are introduced and the adjusment is rendered more
tedious.
O b s e r v a t i o n s . - - Experience shows the existence of discre-
pancies, sometimes considerable, between readings in spite of
the care taken by the observers in pointing.
They are due to phase errors of the beacons and to lateral
refraction. Observations should be carried out in such a way
as to compensate for these effects as far as possible.
For the rest, it is as well to place confidence in the obser-
vers and the authorities behind them, for the control of their
methods of observation and possible rejection of discordant
measures in such a way as to achieve triangle closures of the
prescribed accuracy.
As regards the choice of instruments, experience allows of
the conclusion that repeating inst rumeuts give systematic
errors large enough to render their use on first-order trian-
gulation inadvisable.
C o r r e c t i o n s to t h e A n g l e s . - - The corrections to the values of
the angles measured on the ground will be calculated if they
influence the 3 "d decimal place of sexagesimal seconds. These
corrections will of course be those for elevation and for the
geodetic line but they will be calculated in the office and not
in the field.
A d j u s t m e n t . - - The effect of adjus tment is to render the
triangulation geometrical; the adjusted angles give the same
computed values of sides, azimuths and co-ordinates whatever
the route taken. The use of the method of least squares gives
the corrections the character of accidental errors and causes
each ob,~ervation to contribute just its legitimate amount to the
final result.
- - 283 - -
Fur ther , it renders possible the calculation by r igorous for-
mula of a cer tain number of quanti t ies giving an exact idea
of the precision of the observat ions, such as the mean error of
an observat ion wi th unit weight, the relative errors of check
bases calculated from the measured fundamenta l base, etc.
An unadjus ted first order t r iangulat ion is inadmissible . The
work of computa t ion may be s implif ied by dividing the network
up into blocks r igidly tied to one another. Nevertheless there
should be no hesi tat ion about embark ing on an ad jus tment
involv ing the solut ion of a rather large number of normal
equat ions (5o to too for example), especially where the network
is not very in t r i ca te ' .
The unknowns should preferably be corrections to observed
di rect ions and not to observed angles.
These direct ions are to be deduced from station ad jus tmen t
j f the method of observat ion calls for such adjus tment . The
direct ions may then be considered as the results of direct
observat ion and, ordinar i ly , their weights will be uniform. In
case it is necessary to take into account differences in their
accuracy their weights wil l advisedly be rounded off to a smal l
n u m b e r of significant figures, say two.
Criteria of the Accuracy of the Observations. ~ The fol lowing
* cr i ter ia of accuracy of the observat ions should be obtained
from the ad jus tmen t (except No. 4. b) and made available in
reports on arcs of t r iangulat ion.
i . The closing errors, E, of tr iangles, with their mean
(average) and m a x i m u m values. The values of the average
and m a x i m u m errors of closure that should not be exceeded
in t r iangula t ion of the first order have already been given.
a. The correct ions appl ied to the directions by the adjus t -
ment , w i th their mean and m a x i m u m values.
~. With modern computing machines, one computer by himself has solved a system of 345 normal equations in 8~ ~/2 days of seven hours of work each.
- - 2 8 4 - -
3. The mean error, m , of an observation of unit weight adopted in the adjus tment (that is, the weight of a final direc- tion observed by aid of an ins t rument of the type used, and by
n repetitions, is n times as great as that of a single observa- tion of direction made with the same ins t rument) .
This mean error is computed by one of the following
methods : a) by the discussion of the whole of the observat ions of
horizontal directions apart f rom any ad jus tment whatever ; b) by the adjustment , using the formula,
ill which p is the weight of a single direction, v the correc-
tion by which it is affected, and r the n u m b e r of condition equations ;
c) by the approximate formula of the old Internat ional Geodetic Association (General Ferrero 's formula , applied to the mean error of a direction) :
_E' i m ~ - ~ - V 3 N •
in which E is the error of closure of a tr iangle and N the
total number of triangles.
4. The closures on the bases, which are the differences bet- ween their measured values and their values computed through
the tr iangulation, after a jus tment without length conditions, s tart ing from other bases taken as bases of departure. They can be obtained in two ways :
a) Their logar i thms are given by constant te rms of the length equations between adjacent bases.
b) By the adjustment . It is general ly known how to deter- mine the mean error of a function of adjusted quantit ies. The triangulation included between two bases is in general divided
- - 285 - -
for the a d j u s t m e n t in to one o r m o r e por t ions tied on in suc-
cess ion . I t is p o s s i b l e to ob ta in , s tep by step the mean e r ro r s
of the c o m m o n s ides of these sect ions c o m p u t e d f rom the base
of d e p a r t u r e , w h i c h for the sake of s impl i c i ty may be a s s u m e d
to be free f rom e r ro r . The las t f igure gives the mean e r r o r o f
the ba se o f a r r iva l , w h i c h is me re ly the c losure on th is base .
The c o m p u t a t i o n s are long , b u t they have the advan t age o f
g iv ing an exact idea of the m o d e of p ropaga t ion of the e r ro r s
t h r o u g h II~e t r i a n g u l a t i o n , that is, the d i m i n u t i o n of the ac-
cu racy of the l e n g t h s o f the m e a s u r e d s ides as we w o r k a w a y
f rom the base of d e p a r t u r e ' .
As a m a t t e r of i n f o r m a t i o n , le t us note here that for good
m o d e r n f i r s t - o rde r t r i a n g u l a t i o n s , the mean e r ro r of a f inal
obse rved angle , c o m p u t e d r a p i d l y f rom Fe r r e ro ' s o r i g i n a l for-
mu la , is on the average + ~ , 2 ( + 3 ,7 cen te s ima l ) w h i c h
gives for the mean e r r o r of a final observed d i r ec t ion -+- o",8
(____ 2",5 cen t e s ima l ) and for i ts p robab le e r ror _____ 0",5(____+ i" ,5
cen te s ima l ) .
III
D i s t r i b u t i o n o f B a s e s .
A j u d i c i o u s d i s t r i b u t i o n of bases in the en t i re t r i a n g u l a t i o n
is of g rea t i m p o r t a n c e .
The geodes i s t , ca l l ed u p o n to d r a w up a p l an for a n e w
t r i angu l a t i on , s h o u l d have a c lear idea of the mean e r ro r to be
expec ted in the base (x in i . ooo .ooo for example) and in the
f inal obse rved d i r e c t i o n s ( - t - o",8 ---~ • a",5 c e n t e s i m a l for
example ) in a n o r m a l cha in or ne t when the w o r k is done
w i t h the i n s t r u m e n t s and m e t h o d s that i t is p r o p o s e d to use .
By c o m p a r i s o n w i t h p r e v i o u s ope ra t ions and by a p p r o x i m a t e
i. For example, for the t r iangulat ion of the New Arc of the Equatorial Meridian, the mean relative error of a side, which is
: i96.915 for the side of depar ture reckoned from the central base, increases for the nor th base (270 kin. from [he central base) to i : 45.1~t4 and for the south base (~6o km. from the central base) to i : ~ .974.
- - 286 - -
prelimininary computations, he should form an idea of the
errors to be expected on the computed sides and of the law by
which they increase in going from the base of departure. He
should then decide upon such a distribution of bases that
these errors will not exceed, from one base to the next, the
limit later assigned.
Conversely, if the exigencies of the terrain and the shape of
the triangulation practically determine the sites of the bases,
he will choose instruments and methods so as to attain the
required accuracy in the computat ion of the sides.
Such a preliminary study is absolutely prerequisite in order
that the triangulation may be, so to speak, balanced. It is
as absurd to measure the bases too close together as it is
dangerous to be satisfied with bases too few and too far
apart.
The problem of the distribution of bases differs according to
whether the network is in the form of a grid with long chains
or is a continuous one.
The length of the bases comes also into account when it
exceeds about ten kilometers; they generally may be joined
under good conditions of accuracy to the side of connection,
by means of a simple and well formed figure.
On the other hand it is hecessary to take account of the
exigencies of the terrain and the form of the network.
It is difficult to lay down actual regulations for a reasonable
distribution based upon experience.
It is possible, however, to obtain an approximate estimate
of the error to be expected in a calculated side using, after
the (( Coast and Geodetic Survey )), the expression given early
for the relative mean square error of a side :
- - h d ' R X D - - C 3 D
which can be written
3
- - 287 - -
The factor R is calculated for the most favourable series ol ~
triangles, corresponding with the min imum value of R.
IV
Origins . As tronomica l Measurements .
~. - - The coordinates of the stations of a triangulation are
calculated from point to point, starting from a station at
which latitude, longitude and the azimuth of a side starting
from here are known. The datum point is either derived from
a neighbouring network or fixed by precise astronomical ob-
servation. In the later case the following recommendations
hold good.
a) Choose the origin, if possible, in a region where no great
deviation of the vertical is to be feared.
b) Determine the latitude with a mean error of the order of
magni tude o ~. t.
Longitude can be arbitrary but it is better, with the object
of co-ordination, to fix the adopted value with the meridian
of Greenwich as origin and with the same precision as the
latitude.
Determine the azimuth with a mean error not exceeding
that of a final observed direction.
c) Cor rec t observed values as follows :
Reduce the latitude to the surface of reference and to the
(c mean pole ~> fixed by the International Latit~tde Service. Reduce the longitude also, if relative to Greenwich, to the
mean pole. Reduce the azimuth to the surface of reference
and to the mean pole.
u. - - At various points scattered over the first-order network
there should be carried out astronomical observations for
comparison with the values obtained by point to point working
in the network.
These observations comprise at least latitude and azimuth,
including, further, longitude at certain stations so as to obtain
(( Laplace Points )) where the difference (astronomical longitude
I9
- - 288 - -
minus geodetic longitude) is connected with the difference (astronomical azimuth minus geodetic azimuth) by the simpie rela tion
~ - - % : ()'A - - )'~) s i n ?
(k longitude, ~ latitude, :~ azimuth) . Observed values should be reduced to the surface of reference
and to the mean pole. The precision of these observations should equal that of the
s imilar observations at the origin. It is impossible to lay down definite rules for a reasonable
dislr ibution of these points. Obviously they should be the more closely distributed the greater is the likelihood of large
deflexions of the vertical.
V
E l e v a t i o n s . Z e n i t h D i s t a n c e s . R e f r a c t i o n s .
Every first order geodetic point should have its absolute elevation well determined. The best solution is evidently to have a line of precise levelling runn ing to the point but this possibili ty is an exceptional case.
These elevations are used in the reductions of observed directions and of the lengths of bases to the surface of reference.
For the reduction of directions t r igonometr ical levelling suf- fices. For the corrections to bases elevations mus t be known within 5 metres.
When tr igonometr ical levelling is used it is recommended that vertical angles be taken at both ends of each side and that
the observations be made not less than three hours after sun- rise nor less than three hours before sunset.
In high latitudes, when the days are short, the observations will be made as close as possible to midday. Observations made at other times, and especially at night, generally give had results.
Given the fact that great variat ions in vertical angles occur at different hours and on different days there is not much
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advantage in repeating the observations a great number ot'
tinres and using a repeating circle, assuming always, that the
bisections are correctly made. It is preferable to make a
certain number of observations spread over an interval, say,
of 2 hours than to make a much greater number in half an
hour.
When it is desired to work up these observations to obtain
the most accurate results possible from the trigonometrical
levelling an investigation of refraction on a few long sides will
be made by means of simultaneous observations at each end of
a line. A study of the results so obtained will establish a
relationship between the coefficient of an refraction and the
density of the air, in the shape of appropriate formula.
When such trigonometrical height differences constitute the
only means of obtaining the absolute elevations of the stations
through one of their number connected with sea-level, they
must be adjusted. Incidenlally there comes to light through
this adjustment the law of propagation of er,'ors in such
height differences and notably the errors to be expected in
the absolute heights of bases not connected with precise
levelling.
- - 290 - -
SOUS-COMMISSION DES NIVELLEMENTS DE PRECISION
P R O C ~ . S - V E B B A U X D E S S~.A.NCES
i r e s ~ a n c e .
Jeudi, Ill aoCtt 1930, 17 h.
Pr6sents : MM. lJignal, Pr6sident;
Schermerhorn, le Gdndral Seligmann. Assiste ~ la s6ance : M. Petrelius.
de Cifuentes, Ogilvie,
Adoption pal" la Sons-Commission d'un plan de travail.
La Sous-Commission d6cide de prendre comme base de son
6rude les r6solutions adopt6es au sujet des Nivellements de
haute Precision par l'Assembl6e g6n6rale de Prague, en aofit-
septembre ~927 . Elle envisagera d 'abord les points soulev~s
dans la correspondance 6chang6e en i929, entre MM. W. Bowie
et Vignal, au sujet de ces r6solutions. Puis elle examinera les
questions qui lui seront soumises par ses membres, tant sur
ces r6solutions que sur tout autre objet. Les r6solutions et la
correspondance en question out 6t6 publi6es dans le Bulletin g~oddsique, n ~ 2h, octobre-novembre d6cembre i929, p. i83 h
2o 9. Dans la suite des pr6sents Proc~s-verbaux, c'est h c e s
textes qu'on se r6f~rera.
M. Schermerhorn exprirne l 'opinion qu'il y aurait int~rgt,
pour la Sous-Commission, h donner aux techniciens,, sur les
meilleures m6thodes de nivellement h employer, des indica-
tions plus prScises et plus pratiques que celles ayant fait l 'objet
des r6solutions de Prague. A titre d ' indication, il donne
l'exemple suivant : divers moyens sont employ~s, lots des
vis6es, pour faire l 'estime des fractions de division (estime ~t
rue, d6placement parall61e de la ligne de vis6~ au moyen de la
rotation d'une lame transparente 6paisse h faces planes et pa-
rallbles, inclinaison 16g~re de la ligne de vis6e) ; selon M. Scher-
- - 2 9 1 - -
merhorn, il serait utile que la Sous-Commission indiqu/lt celui
de ces precedes qu ' i l convient de pr~f~rer aux autres. La $ous-Commission est d'avis que l '~tude de questions de
cette nature pr~senterait un haut degr6 d'int~r~t; mais elle estime qu 'en raison de.leur difficultY, et patrols aussi des int~- r~ts industr iels et commerciaux pouvant y ~tre li~s, ces ques- tions ne sauraieut ~tre examinees avec frui t qu'apr~s une pre- parat ion s~rieuse. Elle pense qu'elles devraient ~tre ~tudi~es au pr~alable par un ou plusieurs de ses membres , ou par le Rappor teur g~n~ral des Nivellements de Precision, et faire
l 'objet de rappor ts ou de discussions pu.bli~s an Bulletin ggodd- siqae. La Sons-Commission, dent chaque m e m b r e pourrai t ainsi se faire ~ l 'avance une opinion r~fl~chie, serait par suite mieux ~ m~me d 'aborder et de r~soudre les probl~mes pos~s, au cours de l 'Assembl~e g~n6rale qui suivrait ces publications. La Sous-Commiss ion verrait d 'ailleurs avec int~r~t chacun des Services uat ionaux s 'occupant de nivellements publ ier les r~- sultats de ses recherches et de ses experiences : elle y trouve- rait d 'excellents ~l~ments pour ses d~lib~rations ~ventuelles.
La Sous-Commission aborde alors l '6tude des rSsolutions de Prague, en commenqan t par les points soulev6s dans la corres- pondance entre MM. W. Bowie et Vigaal.
Portde ~ attribuer aux rdsolulions de la Sous-Commission.
La Sous:Commission, examinant tout d 'abord la port6e des r~solutions h prendre par elle, est d 'avis qu'elles .ferment deux groupes bieu distincts. Certaines d 'entre elles fixent des condi- tions pr~cises, const i tuant la ddfinition des Nivellements de haute Precis ion; destindes "h cr6er entre les techniciens un mfime langage, elles ont un caractbre absolu. D'autres indi- quent les moyens ~ employer pour r~aliser des nivellements
sat isfaisant h la d6finition pr~c6dente, et consti tuent par suite de s imples conseils; il serait m6me dangereux, pour le progr~s futur de l ' a r t des nivellements, de leur at t r ibuer une valeur trop imp6rat ive. En r6sum6, pour appar teni r ~ la cat4gorie des
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Nivellements de haute Pr6cision, un nivellement doit satisfaire
aux conditions de ddfinition de ces nivellements, et non pas
avoir 6t6 r6alis~, par tel ou tel moyen. La Sous-Commission, pour pr6ciser sa pens6e ~ ce sujet,
d6cide de modifier de la manibre suivante les sous-titres des
r6solutions de l'Assembl6e de Prague, qui deviendrout celles
de l'Assembl6e de Stockholm :
Les r6solutions se composeront de deux parties. La premibre,
intitul6e A. Ddfinition des Nivellements de haute Prdcision, comprendra rancien chapitre I - -Prdc is ion . La seconde partie,
intitul6e B. Conseils pour l'ex~cution des Nivellements de haute Prdcision, comprendra les auciens chapitres II -- Instruments, II[ - - Mdthodes d'opdrations et de calculs et IV - - Compensation, qui seront dordnavant num6rot6s respectivement I, II et Ill.
Graduation des mires.
Le texte admis h Prague recommande que les plus petites
divisions des mires, dans le cas od l 'on fait l 'estime ~ vue et
pour des port6es normales de 50 h 7 ~ aient au plus une
hauteur de 0,5 cm. M. W. Bowie, dans sa correspondauce avec
M. Vignal, indique qu'au (t Coast and Geodetic Survey )), on
emploie des mires dont la plus petite division est de i cm. II
demande une modification du texte de Prague eu vue d'ad-
mettre ce mode de graduation.
L a Sous-Commission estime que la perte de pr6cision due
l'61argissement des divisions pout 6tre compens6e par l'emploi,
pratiqu6 aux t~tats-Unis dans le calcul des nivellements, de la
moyenne des lectures faitee sur trois ills. Ii n 'y a done pas
d'inconv6nient, h son avis, h rectifier le texte de Prague dans
le sens pr6conis6 par M. W. Bowie, et ~ iaisser davantage h l'ap-
pr6ciation des techniciens la hauteurdes plus petites divisions.
On doit cependant, selon elle, rappeler que, daus le cas de
l 'estime ~ rue, cette hauteur doit d6crolt-re avec la longueur
habituelle des port6es, en dormant un exemple h titre de sim-
ple indication. La division centim6trique est admissible pour
les tri!s grandes port6es employdes aux Etats-Unis; mais la
- - 293 --
Sous-Commission-pense que des divisions plus larges que
cm. sont ~ d6conseiller.
La Sous-Commission, en d6finitive, est d'avis de remplacer,
page i85, lignes 5 ~, 1 i, le premier paragraphe de l'article Mires par le texte suivant :
Darts le cas o~t le niveau n'est pas muni d'un disposit i f supprimant l'estime dt rue, et olt ton fai t par suite l'estime des
fractions de division, la plus petite division des mires dolt dtre en rapport avec la Iongueur habituelle des portges, et d'autant plus faible que ies portges sont habituellement plus courtes. A insi, pour des opdrations en terrain accidentg, o~t les portges ne ddpas- sent gu~re, en moyenne, 20 ~t 25 mdtres, la plus pelite division des mires devrait dtre rgduite ~t 2 ram. Elle ne devrait pas, d'aut-re part, exc~der I cm.
Plusieurs membres de la Sous-Commission font alors obser-
ver que le texle pr6c6dent, comme d'ailleurs plusieurs autres
passages des r6solutions examin6es, ne saurait s 'appliquer aux
port6es exceptionnelles que peut n6cessiter la travers6e de cer-
tains obstacles naturels.
La Sous-Commission, apr6s discussion, est d'avis que ces
obstacles naturels doivent 6tre 6tudiSs isol6ment. II .convient
d'utiliser, darts chaque cas d'esp6ce, des dispositions sp6ciales
en rue d'obtenir, entre les deux ,'cpSres cntourant l 'obstacle,
une pr6cision du mgme ordre que celle du nivellement normal
de haute pr6cision ~ courtes port6es que l'on pourrait ex6cuter
si l 'obstacle n'existait pas. II parait ditticile d ' indiquer, darts
les r~solutions /I adopter, t o u s l e s proc6dSs qui peuvent 5tre
mis en oeuvre ~ cet effet. D'ailleurs les conseils contenus darts
les dites r6solutions doivent s'appliquer plut6t aux nivelle-
merits normaux qu 'aux cas exceptionnels.
La Sous-Commission d6cide finalement de renvoyer, apr~s le
titre de la seconde pattie des r6solutions Conseils pour l'exgcu- tion des Nivellements de haute Precision, ~ une note plac6e en
bas de page, ainsi conque :
Les prdsents conseils ne s'appliquent pas aux portdes excep-
tionnelles que peat ndcessiter la traversde d'obstacles naturels tels que rivi~res, etc.
- - 2 9 4 - -
2 e s ~ a n c e .
Samedi; 16 aodt 1930, 15 h. 30 m.
Pr6sents : MM. Vignal, Pr6sident; W. Bowie, de Cifnentes, Schermerhorn, Semerdd.
Assiste h la s6ance : M. Petrelius.
La $ous-Commission continue l ' examen des questions soule- vfe.s par la correspondence entre MM. W. Bowie et Vignal.
Emploi d'arcs-bontants.
Le texte admis ~ Prague r ecommande l ' emploi d 'un ou mieux de deux arcs-boutants pour assurer la verticalit6 et l ' i m m o b i - lit6 absolues de la mire au m o m e n t des lectures. M. W. Bowie, dans sa correspondance avec M. Vignal, expr ime l 'avis que des porte-mire habiles peuvent, sans arcs-boutants , maln ten i r la
mire suffisamment verticale et i m m o b i l e ; il pense que l ' emploi d 'arcs boutants ralentit l~g~rement l 'a l lure des travaux.
La Sous-Commission d6cide de renoncer ~ recommander , ~ . p roprement parler, l ' emploi d 'arcs-boutants . Mais elle juge
utile de signaler que cet emploi peut gtre commode pour aider le porte-mire ~ assurer la verticalit6 et l ' immobi l i t6 de la mi re .
La Sous-Commission, en cons6quence, est d 'avis de remplacer ,
page 185, ligues ao/i a4, le 4" pa ragraphe de l 'article Mires par le texte suivant :
Pour assurer lear verticalitd an moment des lectures, les mires doivent dtre munies de nivelles sphdriqnes de 0,2 ~ 0,5 m. de rayon de courbure. En outre, U pent gtre commode, pour maintenir plus Jacilement les mires immobiles dans la position verticale, de les manir de poigndes et d'employer an, ou mienx deux arcs-boutants.
Discussion sur l'ntilitd pour nn porte-mire de rester en station
pour la visge arr~re apr~s la visde event.
Dans sa correspondance avec M. Vignal, M. W. Bowie avait propos6 d'ajouter au texte de Prague un article d'aprb, s lequel,
- - 295 - -
]orsque les deux mires ont une graduation parfaite et que
leurs cotes au talon sont 6gales, on peut sans inconv6nient,
duns une s6rie de nivel6es, placer toujours la mgme mire en
avant. Cette manibre de proc6der a l 'avanlage d'acc616rer les
opdrations, daus le cas des grandes nivel~es employfies aux
Etats-Uuis.
La Sous-Commission est d'avis que, darts l 'hypoth6se admise
par M. W. Bowie de mires bieu construites, la pratique d6crite
par lui est tout ~ fail admissible; mais elle observe que le texte
de Prague, muet ~ cet 6gard, ne la d6conseille pas.
Plusieurs membres estiment d'ailleurs qu'en plaqant alterna-
tivement lcs deux mires sur les points nivel6s successifs, on
obtient u ue 16g6re s6curit6 suppl6mentaire.
La Sous-Commission j uge i nu tile dans ces condi lions d'ajou ter
une pr6cision au texte de Prague, et pr6fbre s'en rapporter sur
ce point ~ i 'initiative des technicieus.
M. W. Bowie se range ~ cet avis.
Longueur des portdes.
D'apr6s le texte admis h Prague, les port@s ne ddpasseraient
pas 75 m~tres au max imum, sau f duns le ca~ de circonstances almosphdriques particulikrement favorables.
Dans sa correspondance avec M. Vignal, M. W. Bowie pro-
posait de remplacer ce texte par le suivant : Les portdes doivent gtre d'une longueur telle que l'observateur puisse avoir le maxi - mum de rendement compatible avec la prdcision exigde par les iastructions. Da~s aucune circonstance cependant, la porlde max imum n'excddera 150 m~tres. Une Idg~re incertitude sur les
graduations par an j our ensoleillg n'empgche pas des observa- tions acceplables. Les erreurs de lecture sur la mire dues dt cette
incert,.tude oat une rgpartition to.at ~ fa i l accidentelle. La Sous-Commission ne volt que des avantages h assouplir le
texte de Prague qui. bien que n'exeluaut pas les portdes sup6-
rieures h 75 m~tres, peut paraitre uu peu rigide. Elle estime
par suite qu 'on peut ne pas donner de pr6cision num6rique sur
la longueur max imum admissible des port6es, et qu'il suflit de
- - 296 - -
rappeler que l 'erreur h craindre du fait de la r~fraction et des
ondulations croIt plus rite que la port6e.
M. 8emer~d estime que l 'ordre de grandeur de cette erreur
peut ~tre ~valu6, dans des conditions atmosph6riques moyen-
nes, h un demi-millimbtre pour des port6es de 75 mbtres, et
uu millim~tre pour des port6es de ~2o m o r e s .
Plusieurs membres pr~fbrent aussi ne pus paraltre conseiller
(le hater l 'allure des nivellemeuts, les techuiciens devaut rester
juges du meilleur compromis ~ 6tablir entre la rapidit6 des
op6rations et leur prScision.
M. Vignal indique hce propos que, d'apr~s l'exp6rience du
Service du _Nivellement g6n~ral de la France, pour des mires
divis6es en demi-centim~tres sur lesquelles on fait I'estime h
rue, et pour des circonstances atmosph6riques moyennes, le
maximum de pr6cision est obtenu avec des potties de 50 h
7 ~ m~tres.
La Sous-Commission, finalement, est d'avis de remplacer,
page ~85, trois derni~res ligues, le 3 ~ paragraphe de l'article
Opdrations sur le terrain par le texte suivant :
3 ~ Les portdes ne doivent pas ~tre trop longaes. L 'erreur
craindre da ./all de la rdjraction crolt plus rite que les portdes.
On les rdglera, saivant les circonstances almosphdriqaes, de
faqon que cette erreur reste compatible avec la ddfinition des Niveilements de haste Prdcision.
Hauteur des vis~es.
D'apr~s le texte de Prague, le fil niveleur doit tomber autant
que possible, et sans que ce soit une obligation absolue, ~ plus
de 50 cm. du talon de la mire. Dans sa correspondance avec
M. Vignal, M. W. Bowie a propos6 de r6gler la hauteur des
vis6es de faqon que le plus has des ills tombe h plus de 2o cm.
du talon de la mire.
La Sous-Commission observe que ces deux r~gles sont tr~s
voisines. D~sireuse d'assouplir autant que possible ses recom-
mandations, elle estime que le choix de la formule exacte ira-
- - 297 --
posant aux vis6es un minimum de hauteur est un pen arbi-
traire et peut ~tre laiss6 h l'initiative des technieiens.
En cons6quence, elle est d'avis de remplaeer, page i86, ligues
3 ~t 6, le 5 ~ paragraphe de l 'arlicle Opdralions sur le terrain par le texte suivant :
5 ~ II fau l goiter de faire sur les premiers ddcimbtres inJd- rieurs de la mire les lectures utilisdes duns le calcul des diffgren- ces de niveau.
M. W. Bowie, h propos des diverses questions que la Sous- Commiss ion vient d ' examiner , concernant l 'alternance des mires, la longueur des port6es, la hauteur des vis~es, comme h propos de routes les rbgles h suivre au cours des op6rations sur le terrain, expr ime l 'avis qu' i l convient surtout d 'a t t i rer l 'atten- lion des techniciens sur le danger des causes d 'erreurs syst6ma- tiques.
La Sous-Commission reviendra sur cette consid6ration apr~s avoir 6puis6 l '6tude des points soulev6s dans la 'correspondance entre MM. W. Bowie et Vignal.
Choix de l'interoalle de comparaison enlre les nivellements aller el retour.
Le texte admis h Prague recommande de comparer entre eux,
de rep~re it repbre, et mdme, si possible, de piquet it piquet, les r4sultats des deux nivel lements aller et retour. Daus sa corres- pondance a~ec M. Vignal, M. W. Bowie a exprim6 l 'opinion qu'il y avait peu h gagner h faire cette comparaison de piquet
piquet; il est d 'avis de simplifier les m6thodes conseill6es et tt'ouve suffisante la comparaison de rep~re h rep~re.
M. Vignal observe que le texte de Prague admet parfaite- ment la comparaison de rep~re h rep6re; il est ime que la
comparaison de piquet ~t piquet, si on peut la faire, donne une 16g~re s6curit6 suppl6mentaire; elle peut r~v61er, en effet, l 'existence de petites fautes de lecture ou de calage qui n 'appa-
ral traient plus n6cessairement dans les discordances portant sur des intervalles plus longs.
M. le Major Klingenberg, retenu aux s6ances de la Corn-
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mission des Triangulations, a remis h M. Vignal une Note expr imant ses vues sur les Nivellements de Precision. Dans cette Note, il est, sur la question en discussion, du mgme avis
que M. Vignal. La p lupar t des m em br es j j ugen t cependant la rgement suffi-
sante la comparaison entre repbres; ils pensent que, si la com- paraison entre piquets peut gtre parfois plus sdre, le texte de Prague la recommande de faqon trop pr6cise, au risque de
sembler la surest imer.
hi. $chermerhorn indique qu 'aux Pays-Bas on effectue nor- malement la comparaison entre repbres, mais qu 'on prend des iutervalles de comparaison plus 6troits toutes les fois qu 'une raison quelconque fait souhaiter une surveillance plus stricte
des op6rations. La Sous-Commission est f inalement d 'avis de donner plus
d'dlasticit6 au texte de Prague en laissant daYantage ~ l'initiatix e des techniciens le choix de l ' intervalle de comparaison. Elle
juge cependant utile de signaler, dans la r6daction h adopter, que le dit intervalle de comparaison peut ~tre inf6rieur h la dis-
tance entre rep~res cons6cutifs, qu ' i l n 'est pas recommandable de l'6tendre au delh de cette distance, et qu ' i l )" a int6rgt h le rSduire quand on veut pour un mot i f quelcouque am61iorer le contrSle de la pr6cision.
Eu cons6quence, elle d6cide de remplacer, page ~86, lignes 9 t3, le d6but du ~" paragraphe de l 'article Calculs par le para-
graphe suivant :
2 ~ Les diffgrences de niveau obtenues, dt l'aller et au retour,
seront comparges entre elles, au moins de rep~re it rep~re. L'in-
tervalle de comparaison sera choisi assez petit pour permettre,
dans chaque cas, an bon contr6le de la prdcision.
- - 2 9 9 - -
3o s 6 a n c e .
Mardi, 19 ao~t t930, 11 h. 30 m.
Pr6sents : MM. Vignal, Pr6sident; de Cifaentes, Schermer- horn.
Assiste h la s6ance : M. Petrelius.
La Sons-Commission continue l 'examen des questions soule- v6es par la correspondance entre MM. W. Bowie et Vignal.
Valeur m a x i m u m ?t admettre pour la discordance accidentelle.
Le texte de Prague eonseille de faire r6it6rer les nivel lements quand la cliscordance entre les op6rations d'aller et de retour, relev6e pour un intervalle de longueur L km., exc~de la valeur
-t- 8 ram. v/L. Darts sa correspondance avec M. Vignal, M. W. Bowie expr ime l 'opinion que ceite tol6rance est trop
l a rge , ' e t pour ra i t ~tre ramen6e, sinon h -t--I, m m . v/L, du
moins h --I- 5 ou 6 ram. v/L. M. Viffnal observe que la tol6rance admise ~t Prague r$sulte
de la d6finition m~me des Nivellements de haute Pr6cision. En
effet, pour un nivel lement dont l 'erreur probable aceidentelle ~q satisfait jus te ~t cette d6finition (~q = -+-i mm. par kin.), la dire tol6rance revient h rejeter les discordances exc~dant quatre lois la discordance probable accidentelle. D'ailleurs, le texte de Prague indique s implement la valeur m a x i m u m qu'il conseille de ne pas d4passer pour la tolerance ~t adopter ; il admet par fa i tement la fixation de tolerances inf~rieures ~t cette
valeur. .. La p lup a r t des m e m b r e s de la Sous-Commission, sans m6con-
naitre ces a rguments th6oriques, est iment que, darts la prati- que, il convient d ' adme t t r e une tol6rance inf6rieure ~ la valeur m a x i m u m donn6e par le texte de Prague. Cela tient ~ ce que les Nivellements de haute Pr6cision r6alis6s ~ l 'heure actuelle ont g6n6ralement une erreur probable accidentelle ~q inf6rieure
la l imite fix6e par la d6finition des Nivellements de haute
- - 300
Pr$cision; d6s lots, si l'on adopte pour eux, comme il est logi-
que de le faire, une lol6rance 6gale ~ 4 lois leur discor-
dance probable accidenteile r6elle, on dolt trouver pour cette
tol6rauce une Yaleur inf6rieure ~ celle donn6e par le texte de
Prague.
M. le Major Klingenberg, daus la Note qu'il a remise
M. Vignal, observe que l ' indication d 'une tol6rance trop
large risque d'entralner les praticiens $ op6rer avec moins de
soin.
La $ous-Commission, apr~s en avoir d61ib6r6, estime qu'en
bonne logique, la tol6rance h admettre doit ~tre en rapport avec
l 'erreur probable accidentelle -,~ effectivemeut r6alis6e pour des
nivellements analogues h ceux qu'on examine..Cette erreur pro-
bable accidentelle ~ peut facilement gtre d6termiude, au pr6a-
lable, sur des nivellements effectu6s par la mgme m6thode, au
moyen de la formule figurant darts la d6finition des Nivelle-
merits de haute Pr6cision. La Sous-Commission est d'avis que
la tol6rance h admettre doit gtre @ale h 3 h h fois la valeur de
la discordance probable accidentelle correspondant h l 'erreur
probable accidentelle r6elle -~.
Ces consid6rations la conduisent h conseiller, comme ,ealeur
limite d'une discordance relev6e sur un intervalle de comparai-
son de L km., l 'adoption de la tol6rance A suivante, en mm. :
Le texte destin6 ~t remplacer celui de Prague devant, eomme
ce dernier, concerner h la lois les discordances accidentelles et
syst6matiques, la Sous-Commission ne l'a mis au point qu'apr6s
avoir 6tudi6 la valeur maximum h admettre pour la discor-
dance syst6matique.
Valeur maximum ~t admeltre pour la discordance systdmatique.
Le texte admis ~ Prague recommande de r6it6rer les nivelle-
ments quand la discordance s),st6matique entre les op6rations
d'aller et de retour, relev6e sur une longueur de L km. com-
- - 3 0 1 - -
p r e n a n t une dizaine au moins d ' intervalles de comparaison,
exc/~de les l imites S ci-dessous : pour une longuenr L de i h l o k m . , S ~ h m m . X L; pour une longueur L de plusieurs dizaines de k in . ,
S ~ - - - • J,5 m m . X L; pour une longueur L interm6diaire, le coefficient de L a
une valeur interm6diaire.
Dans sa correspondance avec M. Vignal, M. W. Bowie a exprim6 l 'opinion que ces tol6rances sont trop larges et qu'elles pourraient gtre r6duites d 'environ 3o ~ La question
est la mgme que celle qui vient d'gtre examin6e, concernant la discordance accidentelle.
M. Vignal montre que les tol6rances admises ~ Prague r6sul- tent de la d6finition mgme des Nivellements de haute Pr6cision. En effet, pour un nivellement dont l ' e r reur probable syst6ma-
tique n satisfait juste ~ cette d6finition (n ~ -+- o,2 ram. par kin.), et lorsque la discordance syst6matique est relev6e sur une grande longueur, la tol6rance du texte de Prague revient h rejeter les discordances exc6dant h fois la discordance proba- ble syst6matique; et lorsque la discordance syst6matique est relev6e sur des longueurs moindres, son caract~re syst6matique 6rant moins accus6, la tol6rance est 61argie, darts une propor- tion empi r ique fournie par l 'exp6rience. D'ailleurs, ici encore, le texte de Prague indique seulement des valeurs maxima ~t adopter pour la tol6rance, qui peut parfa i tement gtre choisie
inf6rieure ~t ces valeurs. La p lu pa r t d e s m e m b r e s de la Sous-Commission est iment
que, c o m m e dans le cas des erreurs accidentelles, il convient, dans la pra t ique , d 'admet t re des tol6rances inf6rieures aux valeurs m a x i m a donn6es par le texte de Prague. Cela tient encore h ce qu 'en fait, la tol6rance b adopter est li6e b la pr6ci- sion des op6rations, qui est g6n6ralement sup6rieure h la l imite th6orique fix~e par la d6finition des Nivellements de haute Pr6- cision. D'autre part , l 'observation de M. le Major Klingenberg s 'appl ique encore, selon laquelle l ' indication de tol6rances trop larges risque d 'ent ra iner les praticiens h op6rer avec moins de
soin.
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La Sous-C0mmission, apr6s en avoir d61,ib6r6, est ime qu 'en bonue logique les tol6rances h admet t re doivent gtre en rapport avec l 'erreur probable syst6matique z effectivement r6alis6e
pour des nivellements analogues ~ ceux qu 'on examine. Cette erreur probable syst6matique z peut faci lement gtre d6termi- n6e, an pr6alable, sur des nivel lements effectu6s par ia m~me m6thode, au moyen d 'une des deux formules figurant dans la d6finition des Nivellements de haute Pr6cision. La Sous-Com-
mission est d'avis que, pout' de longs trajets, la tol6rance S admet t re dolt gtre 6gale ~ 3 ~ 6 lois la valeur de la discordance probable syst6matique correspondant h l ' e r reur probable syst6-
'mat ique r6elle z; pour des trajets plus courts, elle pense que le caract~re syst6matique de la discordance 6tant moins net tement 6tabli, la tolerance peut gtre 61argie, darts la" proport ion empi- rique exp6rimentale d6jh admise h Prague.
La Sous-Commission est conduite par ces consid6rations conseiller, comme l imi/e de la discordance syst6matique, rele- v6e sur une longueur de L kin. comprenan t une dizaine au moins d ' intervalles de comparaison, l ' adopt ion des tol6rances
snivantes, en roB. : p o u r u n e l o n g u e u r L d e [ ~3 kin., S : - + - t 5 ~ 2 o z L ; pour une longueur L de plusieurs dizaines de kin.,
S = - - l - 6 ~ 8 (~ L; pour une longueur interm6diaire, le coefficient de z L a u n e
valeur intermddiaire.
La Sous-Commission, comme conclusion de sa double 6rude des valeurs maxima ~t admet t re pour les discordances acciden-
telles et syst6matiques, d~cide de remplacer , page i86, entre la ligne ~3 et la derni~re ligne, toute la seconde part ie de l 'article Calculs par le texte suivant :
l l y aura lieu de rditdrer, & titre de vdrification, les parties da cheminement pour lesquelles la comparaison f e ra apparatlre des discordances supdrieures aux toldrances ci-apr~s :
Soient ~ et z les erreurs probables, accidentelle et systdma- tique, en ram. par kin., calculdes au moyen des /ormules ci-des-
3 0 3 - -
sus, de nivellements effectu~s par la m~me m~thode que les nivel-
lements dtudids ; Discordance accidentelle : la discordance, pour un intervalle
de comparaison de longueur L km., ne doitpas ddpasser, en mm.,
la valeur : A ~ --f- 6 ~ 8 ~ v/-L. Discordance syst6matique : la discordance systdmatique, rele-
vde sur une longueur de L kin. comprenant une dizaine au moins
d'intervalles de comparaison, ne dolt pas ddpasser, en mm., les
valeurs suivantes :
pour une longueur L de I ~t 3 km. : S ~ ++_ t5 ~ 20 ~ L;
pour une long ueur L de plusieurs dizaines de kin. : S ~ -~ - 6 dt 8 ~L ;
pour une longueur L comprise entre trois et quelques dizaines
de km., la limite admissible S est comprise entre les prdcd-
dentes, et le coefficient de ~L est d'autant plus faible que cette longueur L est plus grande.
D~signation des nivellements des divers ordres de precision.
Dans sa correspondance avec M. Vignal, M. W. Bowie pro-
pose de remplacer la d~signation de Nivelleme~ts de haule Pre-
cision par celle de Nivellements de t "~ Ordre. Cela permet t ra i t de d6finir des Nivel lements de 2" Ordre, de 3 ~ Ordre.. . , dont la pre- cision serait moindre .
M. le Major Kl ingenberg, dans la Note qu' i l a remise h M. Vignal, observe que les techniciens sont souvent enclins appeler nivellement de prdcision un nivel lement ex6cut6 avec
unr pr6cision ordinaire . I1 ajoute que l 'ancienne d6finition des Nivellements de Prdcision, adopt6e h Berlin en i867, correspond /i un degr6 de pr6cision qu' i l est aujourd 'hui trbs facile de rdali- set, tandis que la d6finition des Nivellements de haute Prdcision,
admise h H a m b o u r g en ~9ia et reprise h Prague en i927, reste au contraire sens ib lement moins ais6e h satisfaire.
La Sous-Commission remarque d 'abord que darts certains pays, les n ivel lements sont r6partis en Nivellements de t "~ Ordre,
de 2 ~ Ordre, etc .... autan t et plus pour des raisons de classement adminis t ra t i f que d 'apr~s leur pr6cision ; le remplacement de la
d6signation actuelle de Nivellemenls de haute Prdcision par celle
~O
- - 304 - -
de Nivellements de l ~r Ordre pourra i t doric soulever quelques difticult6s. D'ailleurs la Sous-Commiss ion estime avoir surtout
s 'occuper des nivellements les plus precis, normalement
r6alisables dans les conditions techniques actuelles; d~s |ors la pr6sence du mot prdeision lui paral t heureuse dans la d6finition
qu'elle donne de ces nivellements. D'autre part, la Sous-Commission consid~re que de nom-
breux pays n 'ont pas encore 6tabli de r6seau de Nivellements de
haute Prdcision : e l le juge doric pr6matur6 de suppr imer d~s pr6sent l 'ancienne cat6gorie des IVivellements de Prdcision, d6-
finie h Berlin en i867. En cons6quence, la Sous-Commiss ion d6cide de ne rien
changer, pour le moment , aux d6signations des Nivellements de haute Prdcision et des Nivellements de Prdcision.
Causes d'erreurs systdmatiques.
La Sous-Commission, ayant achev6 l '6tude des questions sou- lev~es dans la correspoadance entre MM. W. Bowie et Vignal, passe ~ rexamen des suggestions de ses diYers membres .
M. Vignal rappelle I'avis exprim6, lots de la derni6re sdance,
par M. W. Bowie, selon lequel il convient d 'a t t i rer l 'at tention des techniciens sur les s6rieux inconv6nients qu'offrent, pour
la valeur des op6rations, les causes d 'erreurs syst6matiques. La Sous-Commission adopte cet avis et d6cide d 'ajouter,
page x86, apr~s la ligne 6, ~ la fin de l 'article Opdrations sur le
terrain, un 6" paragraphe ainsi con~u : 6 ~ Les opgrations seront conduites de mani~re ~t rgduire le
plus possible l'iufluence des causes pouvant entralner des erreurs
systdmatiques.
Compensation des rr de nivellements.
M. le Major Klingenberg, dans la Note qu'il a remise M. Vignal, observe que les r6solutions admises ~ Prague ne
contiennent aucune indication sur les corrections orthom6tri- ques on dynamiques, non plus que sur les poids ~ at t r ibuer
- - 305 - -
aux diverses sections d 'un r~seau lors de la compensation cies erreurs de fermeture. II estime que mention devrait Ore faite
de ces questions, afin d 'en souligner l ' importance. On pourra i t d 'ai l leurs se borner, selon lui, ~ indiquer quelques ouvrages de
r6f~rence o6 ces probl~mes sont trait~s.
La Sous-Commission adopte cet avis. En consequence, elle d~cide en p remier lieu d 'ajouter , page 18 7, imm6dia tement apr~s le titre Compensation, deux nouveaux paragraphes, ainsi
conqus : i ~ Pour le calcul ddfinitif des altiludes des rep~res, on effec-
luera les corrections orthomdlriques ou dynamiques, destindes tenir compte du dd]aut de paralldlisme des surfaces de niveau. a ~ la compensation des erreurs (fun rdseau, on tiendra
compte de l'erreur probable totale ~ craindre sur chaque section, rdsultant d la lois des errears accidenlelles et systdmatiques.
3 ~ En dehors des altitudes ..... (reprendre ici le libell6 ancien
du chapitre Compensation'). La Sous-Commission d~cide en outre de renvoyer, par un
mgme signe placd h la fin des deux paragraphes nouveaux ainsi introduits , h la note suivante plac~e en bas de page :
Voir ~ce sujet : F. R. HELMEaT, Die mathemat ischen und physikalischen Theorieen der hSheren Geodfisie, Leipzig, G.B. Treubner, 1880; Cu. LALLEMAND, Trait~ de Nivellement de h~lute Pr6cision, 2" ddition, Paris et Libge, Bdranger, t91~ ; HEr~aY G. AvEas, Manual of First Order Leveling, Special Publi- cation No. t~0, U. S. Coast and Geodetic Survey, Washington, 1929.
Mode de calcul de l'erreur probable systdmatique.
M. de Cifuentes fait observer que, duns la d6finition des Nivel- lements de haute Pr6cision admise h I Iambourg en 19in et reprise h Prague en 19~ 7, l ' indication du mode de calcul de l 'e r reur probable syst6matique peut s0ulever certaines objec- tions. Lorsqu'en effet, le long d 'une ligne isol6e ou le long des c6t6s des mailles polygonales d 'un r~seau, la discordance systS- matique n 'est pus h peu pr$s r6gulibre, alors la valeur trouv~e
pour l ' e r reur probable systSmatique, d6duite des discordances
- - 306 - -
syst~matiques observ~es ( formule II), est d 'autant plus faible que la ligne isol~e ou les cSt~s de mailles sont plus longs. Cet inconvenient se r~percute, quoiqu'~ un degr~ moindre, sur le
calcul de l 'erreur probable accidentelle ( formule I). M. de Cifuentes est ime que la d~finition et le mode de calcul de l 'erreur probable syst~matique d 'un Nivellement de haute
Precision auraient besoin d'etre 4tudi4s h nouveau.
La Sous-Commission, adoptant cette maui~r.e de voir, d~cide d 'abord de compl4ter, page I83, la DJfinition des Nivellements de haute PrJcision (ancien chapitre PrJcision du texte de Pra- gue), par une note en has de page ainsi r~dig~e :
Si la ligne ou le c6td de maille sont tr~s longs et comportent des errears systdmatiques tr~s irrdgali$res, il est bon de les rid- composer en tronfons distincts, pas lrop nombreux et suffisam- ment longs, pour lesqaels la discordance systdmatique parait ~t pea prks rdgulibre.
Un mSme signe renvoyant h cette note sera plac4 h la fin des membres de phrase suivants de la dite page x83 :
lignes i5 et 16, L, la longaeur d'une ligne isolde, oa d'an cStd de maille polygonale dans le cas d'un r~seau.
lignes ~u h u4, S, la discordance systdmatiqae totale relevde, pour une ligne enti~re ou pour an c6td de maille, entre les rdsul- tats des deax niveilements.
'Dans ce second m e m b r e de phrase, les roots ligne enti$re seront remplac4s par les roots ligne isolde puisque la nouvelle note introduite indique que la discordance syst6matique S peut
~tre calcul~e pour des tron~ons de la l igne isol~e, et non pour la ligne enti~re.
En outre, la Sous-Commission charge M. de Cifuentes, qui
accepte, de vouloir bien examiner h nouveau la d4finition des Nivellements de haate Prdcision, en ce qui concerne les erreurs
syst~matiques. Le Rappor t qu ' i l aura 6tabli h ce sujet servira de base h une nouvelle 6tude, par la Sous-Commission, de cette importante question, lots de la prochaine Assembl6e g6ndrale de la Section de G6od~sie de l 'Uuion.
- - 307 - -
Adoption ddfinitive des rdsolations noavelles concernant les NiveUements de haute Prdcision.
M. Vigna l d o n n e u n e lecture d ' e n s e m b l e des modif ica t ions
apport~es pa r la Sous -Commiss ion aux Rdsolut ions admises
Prague, qu i , apr~s adop t ion par la Section de Gdod4sie, devien-
d ron t les Rdsolutions relatives aux Nivellements de haute Prd-
cision adopt~es par l'Assemblde gdndrale de Stockholm en 1930.
La Sous -Commiss ion adopte ~ l ' u n a n i m i t d les dites R~solu-
t ions, a i n s i modifides* :
Voza relati] aax appareils mardmdtriqaes et aa Niveilement de haute Prdcision de Belgique.
MYI. Heuvelink, le Gdndral Seligmann et Vignal prdsentent le projet de voeu suivant :
Texte franfais .
L'Union gdoddsique et gdophysique internationale, considdrant le grand intdrdt qu'il y aurait 5 dtudier les relations existant
entre le niveau moyen de la Met du Nord sur les cdtes hollandaise, beige et f ranfa ise , et celui de la Mdditerrande dt Marseille, dmet le double vveu suivant :
t ~ Que de nouveaux appareils margmdtriqaes soient crdds le long de ia Mer du Nord�82 spdcialement sur les c6tes belge et
f ranfa ise ; 2 + Qu'an l~ivellement de haute Prdcision soil dtabli en Belgique,
le long de la cdte, et relid aux rdseaux hollandais et f ranfa is .
Texte anglais.
The Section o f Geodesy o f the Internatiot~al Geodetic and Geo-
physical lJnion, considering that there would be great interest in
t. Elles ont dt~ adoptSes par la Section de Gdod~sie dans sa 8 + s~ance pldni~re, le Yendredi 22 aofit, matin.
- - 3 0 8 -
the study of the relations existinq between the mean level o f the
North Sea on the coasts of Holland, Belgium and France, and
that of the Mediterranean Sea at Marseilles, expresses the follow-
ing two desires :
t ~ that new tidal stations should be established along the
North Sea, especially on the coasts o f Belgium and France,
2 ~ that a Levelling of high Precision should be established
in Belgium along the coast, and that it should be connected with
the nets o f Holland and France.
I.a 8 o u s - C o m m i s s i o n a d o p t e ce voeu h l ' u n a n i m i t 6 ' .
V(~u tendant ~t la constitution d'une Commission permanente
des Nivellements de Prdcision.
P l u s i e u r s m e m b r e s de la S o u s - G o m m i s s i o n p r ~ s e n t e n t le
voeu s u i v a n t :
Texte franqais.
La Sous-Colnmission des Nivellements de Prdcision formde par
la Commission de Rdglemet~tation internationale des Travaux
gdoddsiques,
considdraut que les dchanges de rues ayant eu lieu au cours de
l'examen des rdsolutions relatives aux A, ivellemenls de haule Prd-
vision oat mis en dvidence le perfectionnement conlina des ins-
truments el des modes de calculs relatifs attx Nivellements ;
qu'il importe de maintenir an contact permanent entre les tech-
niciens s'occupant de cette branche de la Gdoddsie, en rue d'amd-
liorer les mdthodes et d'assurer aux divers rdseaux I'homogdadild
ndcessaire;
dmet ~t l'unanimitd le voeu :
que soit conslitude une Commission de caracl~re permanent,
ayant parrot ses atlribulions l'dlude des questions relatives aux
Nivellemenls, el comprenant, entre aatres membres, le Rapporteur
gdndral sur les Nivellemenls de Prdcision.
i . Voeu adopt6 par la Section de G~od~sie darts sa-8 ~ s6ance pl6- nibre le vendred i 22 aoht , ma t in , ct par l 'Un ion d a n s sa 3 ~ s6ance plY- nibre le samedi a3 aodt , mat in .
- - 309 - -
Texte anglais.
The Sub-Committee on precise Levelling formed by the Com- mittee on International Specifications ]or Geodetic Work,
considering thht the exchanges of views having taken place during the examination of the resolutions relative to Levelling of high Precision have shown the continuous improvement o f instru- ments and methods of czmputations relating to Levelling, and
that it is important to maintain a permanent contact among those engaged in this branch of Geodesy, in order to improve the methods and to insure the necessary homogeneity of the different nets,
expresses unanimously the following desire :
that a permanent Committee should be constituted, having among its functions the study of questions relating to Levelling, and thai one of its members should be the General Rapporleur upon Levelling of Precision'.
R I ~ S O L U T I O N S P B O P O S ~ . E S A U S U J E T D E S N I V E L L E M E N T S D E I:1AIJTE P R ~ . C I S I O N 2
A) DI~FINITION DES NIVELLEMENTS DE HAUTE PR]~CISION
C o n f o r m 6 m e n t h la d6cision prise h H a m b o u r g en T91a, pour
gtre rang6s dans la cat6gorie in te rna t iona le des Nivellements de haute Prdcision, uue l igne, un groupe de l ignes ou u n r6seau
doivent avoi r 6t6 nivel6s deux fois, en seas oppos6s, et les er-
reurs probables , u n i f o r m 6 m e h t calcul6es au moyen des fo rmules
ci-apr~s, ne do iven t pas d6passer :
_____ t m m . par k i lom6tre pour l ' e r reur probable accidentel le ,
-~- o,a m m . par k i lom~tre pour l ' e r reur probable sys t6mat ique .
i. Vceu adopt~ par la Section de G~od~sie dans sa 8" s6ance pl~- ni tre , le vendred i a2 aoOt, mat in .
a. A_doptdes par la Section de Gdod~sie dans sa 8" sdance pldni~re, le vendredi 2a ao6t, mat in.
- - 3 1 0 - -
S i l'on d6signe par :
L, la longueur d 'nne ligne isol6e, ou d 'un c6t6 de maille polygonale darts le cas d 'un r6seau ' ,
)2 L, le d6veloppement total du groupe de l ignes, ou du r~seau consid6r6,
,x, la discordance des r6sultats des deux nivellements, relev6e entre deux reputes cons6cutifs,
r, l 'espacement de ces deux rep6res,
S, la discordance syst6matique totale relev6e, pour une ligne
isol6e ou pour un c6t6 de maille, en.tre les r~sultats des deux nivel lements ' ,
f , l '6cart de fermeture d 'une mail le du rdseau, application faite de la correction or thomdtr ique li6e au d6faut de parall~- l isme des surfaces de niveau du globe terrestre,
Z f ' , la somme des carr6s des 6carts de fermeture des mai l - les, y compris celui (E f ) du polygone enveloppe,
~., l 'erreur accidentelle probable par kilom~tre, darts le cas d 'un r6seau, ou darts celui d 'un groupe de lignes const i tuant ou non des mailles ferm6es,
% ou r l 'erreur syst6matique probable par kilom~tre, L e t r, d'une part, 6tant exprim6s en kilom~tres, et d 'autre
part , S, f , -%, cr et ~R en mil l im6tres ,
les formules h employer pour le calcul des erreurs en ques-
tion sont les suivantes :
~~ pour l 'erreur accidentelle :
E " S ' ] I) -r~ " = 9 ) 2 L (~2L)"
i. Si la ligne ou le c6td de maille sonL tr~s longs et comportent des erreurs sysldmatiques tr~s irr~guli~res, il est bon de les d~com- poser en tronqons distincts, pas trop nombreux et suffisamment longs, pour lesquels la discordance syst~matique parait h peu pr6s rdguli~re.
- - 3 1 1
a ~ p o u r l ' e r r e u r s y s t 6 m a t i q u e :
a) dans le cas d ' u n g r o u p e de l ignes ne f o r m a n t pas r6seau :
r S '
II) z " 9 E L ~ L
b) d a a s le cas d ' u n r6seau c o m p o r t a n t au moins une d i z a i n e
de mai l les(~) :
llI) ""= E"L" V~~'~f' --'Q ~,L ]. L9
B) CONSEILS POUR L'EX]~CUTION DES NIVELLEMENTS DE HAUTE PRI~CISION ~
I n s t r u m e n t s .
N i v e a u . - - Le g r o s s i s s e m e n t de la luuet te do i t ~tre d ' a u
m o i u s a5 et a t t e i nd re , s ' i l es t poss ib le , 3o ~ /to ; d ' a u t r e p a r t ,
en r u e d ' a s s u r e r une c lar t6 convenable , l 'anneau, ocu l a i r e d o i t
avoir au m o i n s 1,5 m m . de d iam~t re .
Le rayon de c o u r b u r e de la fiole sera m a i n t e n u en t r e /to et
ioo m~tres , l i m i t e d6jh excessive, ~ ne pas d6passer p o u r des
obse rva t ions ~t ef fec tuer en p le iu air , c o m m e cel les don t i l
s 'agi t.
Pa r les p lu s hau tes t e m p 6 r a t u r e s off le t ravai l est pos s ib l e , la
l o u g u e u r de la bu l l e ne devra j a m a i s desceudre a u -de s s ous de
a5 r a m . , des bu l l e s p l u s cou r t e s n ' ayan t pas une m o b i l i t 6
suff isante .
i. Avec un nombre moindre de mailles, l 'application de la formule serait difficilement justifiable.
2. Les prdsents conseils ne s 'appliquent pas aux port4es excep- tionnelles que peut n6cessiter la traversfie d'obstacles naturels tels que rivibres, etc...
- - 3 1 2 - -
Mires. ~ Dans le cas o6 le niveau n'est pas muni d 'un dispo- sitif suppr imant l 'estime ~ rue, et o6 l 'on fait par suite l ' es t ime
des fractions de division, la plus petite division des mires dol t gtre en rapport avec la longueur habituelle des port6es, et d ' au -
taut plus faible que les port6es sont habi tuel lement plus cour- tes. Ainsi, pour des operations en terrain accident~, o~ les port~es ne d~passent gu~re, en moyenne, ao ~ 25 rn~tres, la
plus petite division des mires devrait ~tre r~duite ~ 2 ram. Elle
ne devrait pas, d 'autre part, exc6der Tcm. Les divisions seront trac6es, autant que possible, sur des
r~gles en invar.
Sinon, afin qu'il soit possible d 'observer chaque jour, sur le terrain m~me, la variation de longueur du bois des mires et d 'y avoir ~gard darts les calculs, il faudrait se servir de mires
compensation, ofl une rbgle unique ea invar remplacerai t
an besoin la r~gle bim~tall ique (fer et laiton) log~e dans l '~me
de la mire (modUle du Colonel Goulier). Pour assurer leur verticalit~ au m o m e n t des lectures, les
mires doivent ~ire tunnies de nivelles sph6riqnes de o,a o,5 m. de rayon de courbure. En outre, il peut gtre com- mode, pour maintenir plus faci lement les mires immobi les
dans la position verticale, de les mun i r de poign6es et d ' em- ployer un, ou mieux deux arcs-boutants.
II
M & t h o d e s d ' o p 6 r a t i o n s e t d e c a l c u l s .
Opdrations s u r le terrain . - - i ~ Chaque ligne sera nivelfie
deux lois, en sens oppos6s et autant que possible ~ des dates diff~rentes, ou ~ des heures diff6rentes de la journ6e.
2" On emploiera s imul tan~ment deux mires. 3 ~ Les port6es ne doivent pas gtre trop longues. L 'erreur
craindre du fait de la r6fraction et des ondulations crolt plus r i te que les port6es. On les r~glera, suivant les circonstances
atmosph6riques, de faqon que cette erreur reste compat ib le avec la d6finition des Nivellements de haute Pr6cision.
- - 3 1 3 - -
4 " Dans chaque station, le niveau sera plac6 sensiblement
~gale distance des deux mires.
5 ~ Il faut 6viter de faire sur les premiers dScim6tres inf6-
rieurs de la mire les lectures utilis6es dans le calcul des diff6-
rences de niveau.
6 ~ Les op6rations seront conduites de mani~re h r6duire le
plus possible l'influence des causes pouvant entrainer des
erreurs syst6matiques.
C a i c u l s . - - ~~ Les calculs s'effectueront en partie double et,
autant que possible, par deux m6thodes diff6rentes.
a ~ Les diff6rences de niveau obtenues, b l'aller et au retour,
seront compar6es entre elles, au moins de rep~re • rep~re.
L'intervalle de comparaison sera choisi assez petit pour per-
mettre, dans chaque cas, un bon contr51e de la pr6cision.
Il y aura lieu de r6it6rer, h titre de v6rification, les parties de
cheminement pour lesquelles la comparaison fera apparaltre
des discordances sup6rieures aux tolerances ci-apr~s :
Soient ~q et ~ les erreucs probables, accideutelle et syst6ma-
tique, en mm. par kin., calcul~es au moyeu des formules ci-
dessus, de nivellements effectu6s par la mgme m6thode que
les nivellements 6tudi6s ;
D i s c o r d a n c e acc iden te l l e : la discordance, pour un intervalle
de comparaison de longueur L km. ne dolt pas d6passer,
en mm. , la valeur : A ~ - ~ - 6 /~ 8 ~ 'v/L -.
�9 D i s c o r d a n c e s y s t d m a t t q u e : la discordance syst6matique, re-
lev6e sur une longueur de L kin., comprenant une dizaine au
moins d'inter.valles de comparaison, ne dolt pas d6passer,
en mm. , les valeurs suivantes :
p o u r u n e l o n g u e u r L de i h 3 km. : S=_____ 15h a o z L ;
pour une Iongueur L de plusieurs dizaines de kin. :
S ~ - + _ 6 h 8 z L ;
pou~ une longueur L comprise entre trois et quelques dizai-
nes de km., la limite admissible S est comprise entre les
pr6c6dentes, et le coefficient de z L est d'alltant plus faible
que cette longueur L e s t plus grande.
- - 3 1 4 - -
F i n a l e m e n t , il faudra encore s 'assurer que les erreurs pro-
babies kilom6triques accidentelle et syst6matique, calcul~es
pour l 'ensemble du r6seau, n'excbdent pas les limites permet-
rant de classer celui-ci dans la cat6gorie des Nivellements de
haute Pr6cision.
III
C o m p e n s a t i o n .
~~ Pour le calcul d6finitif des altitudes des reputes, on effec-
tuera les corrections orthom6triques ou dynamiques, destin6es
tenir compte du d6faut de parall61isme des surfaces de n iveau t.
a ~ Darts la compensation des erreurs d 'un r6seau, on tiendra
compte de rer reur probable totale h craindre sur chaque sec-
tion, r6sultant h la lois des erreurs accidentelles et syst6ma-
tiques'.
3" En dehors des altitudes de leurs repbres, fournies au public
pour les besoins des usagers, il y aurait int6rgt, au point de
rue scientifique, hce que les Etats adhdrents h l 'Union publient
les altitudes des principaux au moins de leurs rep6res, notam-
ment de ceux auxquels sont rapportdes des observations mar6-
m6triques, dans un syst~me off la compensation serait faite
rationnellement, en tenant compte uniquement des op6rations
de nivellement, et en fixant ~ priori l 'altitude d 'un seul point
fixe. Quant ~ la d6termination des altitudes oflicielles destinies
aux usagers, chaque Etat demeure libre de compenser son
r6seau selon les circonstances locales et suivant la m6thode la
plus commode pour lui, et , en particulier, de fixer h z6ro (ou au
voisinage de z6ro) les niveaux moyens de l a m e r d6termin6s en
plusieurs points.
I. Voir h ce sujet : F. R. HELMERT, Die mathemat ischen und physi- kalischen Theorieen der hSheren Geodiisie, Leipzig, G. B. Teubner,~ 88o ; Ch. LALLEMAND, Traitg de Nivellemenl de haute Prgcision. 2 ~ ddition, Paris et Libge, B6ranger, 19J 2; HElm G. AVEI~S, Manual o f First Order Leveling, Special Publication No. t~o, U. S. Coast and Geodetic Sur- vey, Washington, x929.
- - 3 1 5 - -
R E S O L U T I O N S P R O P O S E D ,
R E L A T I V E T O L E V E L L I N G O F H I G H P R E C I S I O N I.
A) DEFINITION OF LEVELLING OF HIGH PRECISION
In c o n f o r m i t y w i t h the reso lu t ion adop ted at H a m b u r g in
~9 [2, in o r d e r to be p laced in the i n t e rna t i ona l c lass of Levelling of high Precision, a l ine , a g roup of l ines , o r a ne t shou ld
have been r u n twice in oppos i te d i rec t ions , and the p r o b a b l e
e r rors , c a l c u l a t e d u n i f o r m l y by means of the formul0e here-
af ter g iven , s h o u l d no t exceed :
-~- i m m . p e r k i l o m e t e r for the p r o b a b l e acc iden ta l er ror ,
_____ o.a m m . pe r k i l o m e t e r for the p robab le s y s t e m a t i c e r r o r .
I f we d e s i g n a t e by
L, the l e n g t h o f a s ing le l ine or the l eng th o f the l i nk o f
a c i r c u i t in the case o f a net*,
E L, the to ta l l e n g t h of the g roup of l ines or of the ne t c o n -
s idered ,
~x, the d i s c r e p a n c y be tween the r e su l t s of the two l eve l l ings
be tween two consecu t ive bench marks ,
r , the d i s t a n c e b e t w e e n these two bench m a r k s ,
S, the to ta l s y s t e m a t i c d i sc repancy for a s ing le l ine or
for a l i nk o f a c~rcuit , found be tween the r e su l t s o f the two
r u n n i n g s ~,
J , the e r r o r of c lo su re of a c i rcu i t of the net , a f t e r a p p l y i n g
the o r t h o m e t r i c co r r ec t i on for the lack of p a r a l l e l i s m of the
level su r faces of the ea r th ,
E f IJ , the s u m of the squares of the e r rors o f c l o s u r e of the
c i rcu i t s , i n c l u d i n g the e r ror (E l ) of the e n v e l o p i n g c i rcu i t ,
i . Adopted by the Section of Geodesy at the 8th regula r session, Friday, Morning, &ug. a2.
u. If a line or a side of a circuit is vcry long and contains very i r regular systematic errors, it is welt to break it up into separate sec- tions, not too numerous and sufficiently long, for which the syste- matic discrepancy seems nearly uniform.
- - 3 1 { 5 - -
% , the probable accidental e r ror per k i lometer , ei ther in the
case of a net, or in the case of a g roup of l ines, whether or no t
they form closed circuits ,
% or ~ , the probable sys temat ic er ror per ki lometer ,
L and r, expressed on the one h a n d in k i lomete r s and S, f, %, %.,
and ~R in mi l l imete rs ,
the formulas to be used to ca lcula te the probable errors in
ques t ion are the fo l lowing :
i ~ for the accidental error :
, = .
I) "r = 9 L Z [ (Z L) '
a ~ for the systemat ic error :
a) in the case of a group of l ines no t f o r m i n g a net :
II) a'" 9V'L ~ L ;
b ) i n the case of a net i n c l u d i n g at least ten c i r c u i t s ' :
,,,) ~ =El
B) ADVICE CONCERNING THE EXECUTION Os LEVELLING OF HIGH PRECISION ~
I
I n s t r u m e n t s .
L e v e l . - - The magnif icat ion of the telescope should be at
l eas t z5 d iameters and, if poss ib le , shou ld reach 3o or
4o d iamete rs . On the other hand , in order to insure proper
~. The application of the formula to a smaller n u m b e r of circuits would be difficult to justify.
2. This advice does not apply to those exceptional sights that are necessary to cross natural obstacles, such as rivers, etc...
- - 3 1 7 - -
i l l u m i n a t i o n and definition, the aperture of the ocular eye
piece should have a diameter of at least x.5 millimeters.
The radius of curvature of the vial should be kept between
/to and too meters, the latter limit not to be exceeded, for it
is already wide for observations like levelling made in the
open air.
For the highest temperatures at which work is possible,
the length of the bubble should never become less than
25 millimeters, since shorter bubbles do not have a sufficient
mobility.
R o d s . - - In the case where the level is not equipped with a
device eliminating the necessity of estimating fractions of the
smallest graduations, the smallest division of the rod should
be in proportion to the usual length of sight and therefore
smaller when .the sights are usually shorter. Thus for opera-
tions in rough country, where the sights average hut little
more than 2o to 25 meters, the smallest graduation of the rod
should be reduced to 2 ram. It should not, on the other hand,
e x c e e d i c m .
The divisions should be painted, as far as possible, on Invar
strips.
If this is not done, then in order that it may be possible
every day, in the very field, to determine the variation of the
length of the wooden rods, and to take account of this in the
computation, there should be made use of compensating rods
in which a single strip of invar might be employed instead of
the bimetallic strip (iron and brass), set into the body of the
rod (Col. Goulier's model).
To insure their verticality at the moment of reading, the rods
should he furnished witl~ spherical levels of o.2 m. to o.5 m.
radius of curvature. In addit ion it may be convenient, the
more easily to hold the rods steady in the vertical position, to
provide them with handles and to use one, or better two
props.
318 - -
II
M e t h o d s of O p e r a t i o n a n d G o m p u t a t i o n .
O p e r a t i o n s in t he F i e l d . - - l ~ Each line shall be run twice in
opposite directions and, as far as possible, on different dates
or at different times of the day.
a ~ Two rods shall be used simultaneously.
3* The sights should not be too long. The error due to
refraction and to the unsteadiness of the graduations increases
more rapidly than the length of the sights. They should be
regulated, according to atmospheric conditions, so that this
error remains consistent with the definition of Levelling o fh igh
Precision.
4" At each set-up the level shall be placed approximately at
equal distances from the two rods.
5" The readings used in the computat ion of the differences of
level should not be made on the first lower decimeters of the rod.
6" The operations should be conducted in such a manner as
to reduce as much as possible the influence of causes that may involve systematic errors.
C o m p u t a t i o n s . - - I ~ The computat ions should be made in
duplicate and, as far as possible, by two different methods.
~" The differences in elevation obtained, forward and back-
ward, should be compared at least from bench-mark to bench-
mark. The interval of comparison should be chosen small
enough to permit, in each case, a good check on the pre- cision.
It is necessary to relevel, for the sake of verification, the parts
of the line for which the comparison brings out discrepancies
greater than the following tolerances :
Let ~q and z be the probable accidental and systematic errors,
in mm. per kin., calculated by means of the formuhe above,
of levelling executed by the same method as the levelling stu- died ;
- - 3 1 9
Accidental Discrepancy : the discrepancy, for an interval of
comparison of L kin., should not exceed, in ram., the value :
v/E. Syslematic Discrepancy : the systematic discrepancy, based
on a length of L kin., comprising at least ~o intervals of com-
parison, should not exceed, in ram., the following values :
for a length L of from ~ t o 3 k m . : S = ~ [ 5 to 2 o z L ;
for a length L of several tens of kin. : S ~--- -+-6 to 8 : L;
for a length L between 3 kin. and some teus of kin., the allo-
wable limi t S falls between the preceding, and the multiplier
of zL decreases as the length L increases.
Finally, it will be necessary to make sure that the probable
accidental and systematic errors per kilometer calculated for
the net as a whole do not exceed the limit permitt ing the net
to be classed as Levelling of high Precision.
I I I
A d j u s t m e n t .
i ~ For the final calculation of the altitudes of bench-marks,
there should be applied the orthometric or dynamic correc-
tions, to allow for the lack of parallelism of level surfaces'.
z" In the adjustment of the errors of a net one should take
account of the total probable error to be expected on each sec-
tion, due to both accidental and systematic errors '.
3" In addit ion to the elevations of bench-marks, supplied to
the public for practical use, it would be interesting, from a
scientific point of view, if the States belonging to the Union
would publish the elevations of at least their principal bench-
marks, particularly those to which tidal observations are refer-
red, according to a system in which the adjustment is made on
I. See on this subject : F. R. HEL•EaT, Die malhematischen und physikalischen Theorieen der hSheren Geoddsie, Leipzig, G. B. Teubner, I880; Ch. LALLEMAND, Trait$ de Nivellement de haate Prdcision, 5 ~ ddi- tion, Paris et Liege, Bdranger, ~9~a; HENRY G. AVEaS, Manual oJ First Order Leveling, Special Publication 5/0. ~ho, U. S. Coast and Geodetic Survey, Washington, I9a 9.
2 I
- - 3 2 O - -
rational principles, by taking account solely of the levelling operations, and by assuming a priori the elevation of a single fixed point.
As regards the determination of slandard elevations for prac- tical purposes, each State remains free to adjust its level net, in accordance with local conditions, by fol lowing the method that seems to it most convenient, and especially by assuming as zero (or approximately zero) the mean levels of the sea as determined at various points.
