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Concurrence entre r6seaux de t616communications i les cons6quences des externalit6s n6gatives

Marie-H61~ne A M I E L **

Jean-Char les R O C H E T ***

Analyse

Les auteurs proposent un moddle thdorique pour analyser les consdquences de la concurrence entre r~seaux de Ml6communications interurbains. Contraire- ment ~ un article r~cent de Katz-Shapiro, dont notre module s'inspire, nous mettons l'accent sur les externa- lit6s n~gatives. Dans ce contexte, nous montrons que la concurrence a presque s~trement pour consequence une ddgradation de la qualitd des services offerts aux usagers.

Mots cl6s : R6seau t616communication, R6seau interurbain, Concurrence, Mod61e 6conomique, D6r6glementation, Externa- lit6.

S o m m a i r e

I. Introduction.

II. Le moddle.

III . Analyse normative.

IV. La concurrence de court terme.

V. La concurrence de long terme.

VI. Conclusion.

Annexe.

Bibliographie (8 rdf ).

C O M P E T I T I O N B E T W E E N T E L E C O M M U N I C A T I O N S N E T W O R K S :

T H E C A S E O F N E G A T I V E E X T E R N A L I T I E S

A b s t r a c t

The authors offer a theoretical model for studying the consequences of competition between long distance tele- communications networks. Contrarily to a recent paper by Katz-Shapiro, f rom which our model is inspired, we put the stress on negative externalities. In this context, we prove that competition is very likely to imply degradation o f the quality o f the services offered to the customers.

Key words : Telecommunication network, Trunk network, Competition, Economic model, Deregulation, Externality.

I. I N T R O D U C T I O N

La d6r6glementat ion r6cente des activit6s de t616- communica t ions aux Eta t s -Unis et en Grande-Bre tagne e s t / l la fois une chance et un d6fi p o u r les th6oriciens de l '6conomie. Une chance tou t d ' a b o r d car elle fourni t une exp6rience en vraie g randeur susceptible de permet t re la conf ron ta t ion des modules abs t ra i t s de l ' 6conomie des t616communications au compor te - ment r6el du march6. Mais c 'es t sur tou t un d6fi car les 6conomistes des t616communications (en par t icu l ie r ceux des Bell Labs) se sont sur tou t con- sacr6s jusqu ' i c i /t l '6 tude de l 'act ivi t6 de monopo le s r6glement6s, que cela soit d ' u n po in t de vue n o r m a t i f ( tar if icat ion, a l loca t ion des cofits, etc.) ou d ' u n po in t de vue posi t i f ( sou t enab i l i t 0 (*). En cons6quence, on est bien loin de d isposer pou r l ' ins tan t d ' u n e gamme comple te de modules pe rme t t an t d ' ana ly se r les diff6- rents aspects de la concurrence dans le secteur des t616communications. Les s i tuat ions nouvelles aux Eta t s -Unis (ol igopole non r6glement6) et en Grande -

* Cet article a 6t6 pr6sent6 ~ la conf6rence sur le marketing des services de t61~communications, INSEAD, 22-24 juin, ainsi qu'aux s6minaires d'6conomie des Bellcore et de Virginia Polytechnic Institute, Blacksburg 1987. Les recherches ont 6t6 financ6es par le CNET (convention 86 OB 011 du 1 er septembre 1986).

Nous remercions Raymond Deneckere, Dominique Henriet, Bill Sharkey et Michel V611e, pour leurs commentaires. Toute erreur ou impr6cision nous est enti6rement imputable.

** Laboratoire d'Econom6trie de l'Ecole Polytechnique, 1, rue Descartes, 75005 Paris. *** Ecole Polytechnique et ENSAE, 92240 Malakoff.

(*) Pour une remarquable synth6se de la th6orie du monopole naturel, ort pourra consulter l'ouvrage de Sharkey [6].

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Bretagne (duopole partiellement r6glement6) ne reiD- vent d 'aucun des mod61es existants. Cet article voudrait contribuer ~t combler ce vide (*).

La th6orie 6conomique fournit une gamme assez riche de mod61es permettant l'analyse des diff6rents types de concurrence dans les secteurs traditionnels :

- - c o n c u r r e n c e pure et parfaite (Walras),

- - c o n c u r r e n c e par les quantit6s (Cournot),

- - concurrence par les prix (Bertrand - Edgeworth),

- - concurrence monopolistique (Chamberlin Robinson) (**).

Pour pouvoir appliquer ces mod61es aux r6seaux de t616communications, il faut n6cessairement tenir compte d 'une particularit6 fondamentale de ces rdseaux, /l savoir la pr6sence de plusieurs types d' externalitds.

La premi6re de ces externalitds est ce que l 'on a coutume d'appeler l'effet club ou externalitd positive lide ~ l'accks : plus un r6seau comporte d'abonn6s, plus le raccordement ~ ce r6seau est potentiellement intdressant pour un nouvel abonn6. Ses cons6quences sur la diffusion du service t616phonique [2], ainsi que sur la tarification optimale pour un monopole public [1] sont d6sormais bien connues. C'est cette externalit6 qui est /t l'origine du fameux effet boule de neige dont le r6seau T616tel fournit un exemple r6cent (***). Katz et Shapiro [4] ont les premiers analys6 les cons6- quences de cet effet club dans un mod61e de concur- rence imparfaite. Ils remarquent que le probl6me de l 'interconnexion 6ventuelle de r6seaux concurrents est isomorphe/~ celui de la compatibilit6 des mat6riels (par exemple en informatique, t616matique ou vid6o). Les r6sultats de Katz et Shapiro montrent, comme l 'on pouvait s'y attendre, que le march6 est incapable de conduire spontan6ment au degr6 optimal de compatibilit6 entre standards (ou de connexions entre rdseaux), d'ofi la ndcessit6 d 'une instance de coordination.

L'analyse de Katz et Shapiro s'applique principale- ment aux r6seaux sp6cialis6s pour lesquels l'effet club est un 616ment pr6pond6rant de la demande de raccordement. Nous nous int6ressons plut6t dans cet article aux rdseaux de t616phone interurbain pour lesquels l'externalit6 d'acc6s 6voqu6e plus haut ne joue pas de r61e mais off une autre externalit6 l'effet d'encombrernent ou externalitd ndgative lide l'usage a une importance fondamentale. A 6quipe- ment fix6, la qualit6 du service offert par un r6seau de communication longue distance, c'est-/l-dire essen- tiellement la probabilit6 qu'un appel soit achemin6 dans de bonnes conditions, est une fonction d6crois- sante du trafic sur le r6seau au moment de l'appel.

* D'autres contributions r6centes h cette m~me vole de recherches sont [3], [4], [5] et [7].

** Pour une pr6sentation tr6s claire de ces modeles, voir l'ouvrage de Tirole [8].

*** KAPLAN (D.), Economie de la fili6re du Vid6otex, Note technique CNET/DIR/MEE/338, 1986.

En moyenne, la qualit6 du service est donc une fonction d6croissante du nombre de clients de l'entre- prise. Nous allons analyser les cons6quences de ce ph6nom6ne sur le comportement du march6 du t616phone interurbain.

C'est ddsormais une tradition bien 6tablie en 6co- nomie industrielle que de mod61iser la concurrence imparfaite par des jeux non coop6ratifs en plusieurs dtapes, traduisant en cela les flexibilit6s tr6s diff6rentes des variables strat6giques /t la disposition des entre- prises. La formulation la plus courante est celle dans laquelle les entreprises choisissent (simultan6ment) dans une premi6re 6tape leurs capacitds de production. Dans une deuxi6me 6tape, ayant observ6 les capacit6s raises en place par leurs concurrents, elles choisissent soit leurs prix (Bertrand), soit les quantit6s qu'elles offrent (Cournot). La justification de cette d6composi- tion en deux 6tapes est qu'une d6cision portant sur sa capacit6 de production engage l'entreprise sur une certaine p6riode, alors que toute d6cision sur ses prix peut ~tre r6vis6e rapidement et h faible coot. Ainsi donc, au moment de choisir la capacit6 qu'eUe met en place 5. la premi6re 6tape, chaque entreprise est cens6e anticiper le r6sultat de la concurrence en prix qui s'6tablira ~t la deuxi6me 6tape. L'originalit6 de notre mod61e r6side dans le fait que la qualit6 des services offerts par chaque entreprise y est d6termin6e de fa~on endogkne, puisqu'elle d6pend du nombre de clients qui s'adresseront h cette entreprise/t l'&luilibre.

Le plan de cet article est le suivant : la d euxi6me partie est consacr6e h la pr6sentation du mod61e ; l 'optimum de premier rang est d6termin6 dans la troisi6me partie ; les quatri6me et cinqui6me parties sont consacr6es ~t l'6tude du duopole : la concurrence de court terme (en trafics) et la concurrence de long terme (en capacit6s) sont analys6es successivement. Les d6monstrations math6matiques sont rassembl6es en annexe.

II. LE MODELE

C'est une adaptation du mod61e de [4]. Nous consi- d6rons le march6 pour un service de t616communi- cations (par exemple le t616phone interurbain) sur lequel sont en concurrence N r6seaux, rep6r6s par un indice i = 1, ..., N. La qualit6 du service fourni par le r6seau i est mesur6e par un indice q~, qui d6pend essentiellement de deux param6tres : la capacit6 K, mise en place par l'entreprise i, et le trafic z, achemin6 par son r6seau. Nous postulerons donc une relation fonctionnelle :

(1) q~ = f(Ki , zi),

off f est une fonction croissante de son premier argu- ment, d6croissante et concave de son second argument. Pour fixer les id6es nous adopterons la sp6cification

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non lin6aire la plus simple possible, /l savoir :

(2) qs = qO + min (0, Ki - - zs).

La relation (2) a l'interpr6tation suivante : qO est l'indice de qualit6 maximale, correspondant / t u n e situation o/a le trafic zs n'exc6de pas la capacit6 install6e Ks. Dans les situations oh la capacit6 est insuffisante, la qualit6 du r6seau se d6grade pro- portionnellement/t l'exc6s de trafic (zs - -Ks) . Contrai- rement /l [4] nous ne consid6rons pas l'externalit6 positive d'acc6s mais uniquement l'externalit6 n6gative d'usage : c'est cette externalit6 qui va ~tre la source des propri6t6s particuli6res du jeu de prix que nous 6tudions dans la partie IV. Nous sp6cifions maintenant le comportement des diff6rents acteurs du march&

II.1. Les consommateurs.

Nous supposerons que tous les consommateurs valorisent la qualit6 de la m~me fa9on (*). L'6quivalent mon6taire du rattachement 5. un r6seau de qualit6 qs est donn6 par la fonction d'6valuation suivante :

(3) v(q,) = wq,,

oh west un param6tre strictement positif, caract6risant la sensibilit6 du march6 aux variations de qualit6 des r6seaux.

Les consommateurs diff6rent par le budget maximal qu'ils sont pr~ts/t consacrer au t616phone interurbain (pour une qualit6 de service maximale) : ce param6tre caract6ristique sera not6 r. Pour fixer les id6es, nous supposerons que la distribution statistique de r e s t une loi uniforme sur un intervalle [(A - - 1), A]. L'6quivalent mon6taire net du rattachement au r6seau i est donc, pour un consommateur de param6tre r :

(4) us = r - - w ( q ~ - - qa) _ _ PS ,

Oh q~ est la qualit6 anticip6e du r6seau i, et p~ le prix du t616phone longue distance sur le r6seau i. Par souci de simplicit6, nous n6gligerons l'61asticit6 de la demande individuelle de trafic. Ainsi donc chaque consommateur est confront6 ~ une d6cision 0/1 : si us, donn6 par la formule (4) est n6gatif, alors il ne s 'abonne pas. Dans le cas contraire, il choisit l 'un des r6seaux qui lui donnent un us maximal. Ps s'inter- pr6te donc comme la facture totale (abonnement + communications) acquitt6e par un client du r6seau i. Remarquons qu'il n 'y a pas de segmentation du march6 entre les diff6rents r6seaux : tous les consom- mateurs qui d6cident de s 'abonner sont indiff6rents entre tous les rdseaux en activit6. N6anmoins, un arbitrage se fait entre tarifs et qualit6 : les r6seaux surcharg6s sont oblig6s de baisser leurs tarifs s'ils veulent conserver des clients. Bien stir, les consomma- teurs sont susceptibles de r6viser leurs anticipations de qualit6 si elles ne correspondent pas ~t la qualit6

* Nous excluons doric de notre analyse les cas de segmert- tation du march6, 6tudi6s par exemple dans [3].

r6elle du service propos6 par le r6seau i. Nous suppo- sons n6anmoins que ces changements d'anticipations ne sont pas instantan6s.

11.2. Les entreprises.

Une cons6quence importante de la formule (4) est que si i et j sont deux entreprises actives, alors :

(5) p , + w ( q ~ - - q~) = p j q- w ( q ~ - - q~).

Nous d6signerons par ? la valeur commune des deux membres de la relation (5). q0 est relide /t la demande totale, c'est4t-dire au nombre total d 'abon- nds, par la relation :

i (6) z = Y~ zi = dr = A - - ? . / .=I q)

On en d6duit :

(7) ~ = P , + w ( q ~ = A - - z ,

oh i est l'indice de n' importe quelle entreprise active. Le b6n6fice de l'entreprise i (si elle est active) est alors donn6 par :

(8) B , ~- ( A - - z - - w ( q ~ - - q~) ) z , - - C(K,),

oh C(.) est la fonction de cotit de capacit6 pour laquelle nous postulerons la forme classique suivante :

t C ( K ) = F + c K z si K > 0, C(K) = 0 si K = 0.

F est le cotit fixe, non r6cup6rable, d'acc~s au march6, et e est un param&re affectant la fonction de cotit variable, suppos6e b, rendements d6croissants.

L'avantage de la sp6cification de la fonction de cotit que nous avons choisie, qui donne une courbe de cotit moyen en U, est qu'elle ne pr6juge e n r i e n de la croissance ou d6croissance des rendements d'6chelle. Bien stir l'analyse traditionnelle des r6seaux de t616communications fait l 'hypoth6se de sous- additivit6 de la fonction de cotit (monopole naturel) hypoth6se qui est 6troitement li6e, dans le cas mono- produit, 5. la propri6t6 de rendements d'6chelle croissants. Bien stir aussi, dans le cas des r6seaux locaux, nul ne conteste que l ' importance des cotits de g6nie civil d 'une part, et la structure hi6rarchique du r6seau optimis6 d'autre part (loi d'Erlang) impli- quent la pr6sence d'6conomies d'6chelle. Par contre (c'est d'ailleurs l~t une des justifications du mode de d6r6glementation adopt6 aux USA) le d6veloppement du trafic interurbain a probablement entraln6 la disparition des 6conomies d'6chelle pour cette activit6. Du strict point de rue de l'etticacit6 technique, rien ne permet d'exclure que le march6 du t616phone interurbain ne soit devenu un oligopole naturel. Comme nous allons le voir dans la partie III, la fonc- tion de cotit que nous avons choisie nous donne une certaine libert6 en la mati6re. Nous concluons cette partie par une description du concept d'6quilibre que nous avons retenu.

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M.-H. AMIEL. - CONCURRENCE ENTRE RI~SEAUX DE TI~LI~COMMUNICATIONS 645

11.3. L'6quilibre de march6. III.1. L'~criture du surplus collectif.

Nous dist inguerons la c o n c u r r e n c e de l ong t e r m e

(repr6sent6e par la premiere 6tape du jeu non coop6- rat i f ) associ6e au choix par les entreprises des c a p a c i t d s

qu'elles met tent en place, et la c o n c u r r e n c e de c o u r t

t e r m e , associ6e /l la polit ique de prix choisie par les r6seaux concurrents. A cause de la formule (7) cette polit ique de prix est 6troi tement condit ionn6e par la valeur de ? (ou ce qui revient au m~me par le trafic total z) ainsi que par l 'ant ic ipat ion de qualit6 q~ form6e par les consommateurs , qui elle-m~me est influenc6e par le trafic z~ accept6 par le r6seau i. C 'es t donc ce trafic accept6 z1 qui sera la variable strat6gique c16 de la concurrence de cour t terme.

D d f i n i t i o n 1.

( K 1 , ..., KN) 6tant fix6s, un 6quilibre de march6 cour t terme c 'est un N-uplet de trafics (z* . . . . . z*)

et un N-uplet d 'ant ic ipat ions de qualit6s (q~ . . . . . q~v) tels que :

a) Pour tout i, z* maximise B i , les trafics z* ( j ve i) et les anticipations (q] . . . . . q~v) 6tant fixds.

b) Pour tout i, q~ est 6gale fi la qualit6 effective du service propos6e par le r6seau i.

La part ie a) de la d6finition 1 exprime que (z]" . . . . , z*) est un d q u i l i b r e de C o u r n o t du jeu de la deuxi6me 6tape, les anticipations ( q ] , ..., q~v) 6tant donn6es. Nous postulons donc que la concurrence /t court terme est une concurrence en q u a n t i t d s (en trafics), moins brutale que la concurrence en prix 5. la Bertrand. Nous supposons 6galement que les anticipations des con- sommateurs sont fix6es darts le tr6s court terme (le relS.chement de cette hypoth6se n ' au ra i t que peu de cons6quences sur nos r6sultats) mais qu'elles s 'a justent ensuite en fonct ion des qualit6s observ6es sur les diff6rents r6seaux. La part ie b) de la d6finition d 'un 6quilibre de march6 ~t court terme exprime que le processus d ' a jus tement se stabilise lorsque les a n t i c i -

p a t i o n s des consommateurs sont a u t o - r d a l i s a t r i c e s ou encore r a t i o n n e l l e s .

I lL A N A L Y S E N O R M A T I V E

C o m m e toujours en 6conomie, nous prendrons c o m m e r6f6rence initiale l ' o p t i m u m de premier rang, c'est-~t-dire l 'o rganisa t ion de l '6conomie qui serait choisie par un hypoth~tique planificateur omniscient et omnipotent . L 'ob jec t i f de ce planificateur est la maximisa t ion du surplus collectif, somme alg6brique du surplus des consommateur s et des b6n6fices des diff6rents r6seaux en activit6.

Le b6n6fice retir6 par le c o n s o m m a t e u r r, exprim6 en termes mon6taires, vaut :

(9) b(r) = max [0, r - - w ( q ~ - - q~) - - p ~ ] .

En reprenant la nota t ion d6finie en II.2., on a aussi :

b(r) - - max [0, r - - ~],

ce qui permet de calculer le surplus total des consom- mateurs :

l (10) B = b(r) dr = (r - - q~) dr = ~ Z 2,

q~

off z est le trafic total 6gal ~t A - - %

De marne, le b6n6fice de l 'entreprise i s '6crit d 'apr6s ( 8 ) :

B1 : [ A - - z - - w ( q ~ - q ~ ) ] z i - c K 2,

ou encore apr6s identification de q~ avec la qualit6 effective du r6seau i, donn6e par la formule (2) :

B1 = [A - - : + rain(0, w ( K i - - zi))] z , - - c K 2.

Nous pouvons supposer sans perte de g6n6ralit6 que K1 n 'exc6de pas z~, ce qui permet d '6crire :

(11) Bi = [ A - - z 4 - w ( K i - - z i ) ] z i - - c K 2 - F .

Nous pouvons maintenant 6crire le surplus collectif, en d6signant par N le nombre de r6seaux en activit6 :

N 1 (12) S : B 4 - ]~ Bi : A z - - ~ z 2 4-

i = 1

N

Z [w(Ki - - z 3 z1 - - c K [ ] - - N F . i = 1

III.2. Choix des capacit6s optimales.

Il s 'agi t de trouver, pour le r6seau i, la solution de :

max [w(K~ - - z i) z1 - - c K 2] - - Vi . Kl <<.zl

On distingue deux cas :

l) si w ~ 2c ~ K * = zi

(qi = qO), r v, = - - c z 2

2) si w < 2c K* = 2 c Z ~

(qi < qO).

Vi : - - w 1 - - z~

111.3. Choix du trafic optimal.

Dans chacun des deux cas ci-dessus, il s 'agi t de trouver, /l N fix6, les trafics z~ . . . . . ZN qui r6alisent :

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646 M . - H . AMIEL. - C O N C U R R E N C E ENTRE RF, SEAUX DE TI~LI~COMMUNICATIONS

I ( 1 z 2 m a x S ( N ) = A z - - - ~ - -

Ioo z : z , , i = l

avec :

v,=,~ z 2 - N F ) ,

si w >~ 2c, V = C

=w(, siw<2c I1 est clair que tous les z~ sont 6gaux ~t l 'optimum

ce qui permet de simplifier (Y)N :

(~)~ ~ - - _ max A z § z 2 N F ,

le trafic optimal vaut donc, en fonction de N :

A N (13) z* -- N + 2v '

et le surplus collectif vaut :

A 2 N (14) S*(N) -- 2(N + 2v) NF.

111.4. Choix du nombre optimal de r~seaux.

qui int6gre la possibilit6 qu 'ont les r6seaux de v6hiculer un trafic sup6rieur ~ leur capacit6. On a en fait deux cas de figure :

1) si w ~> 2c : il n 'y a pas de trafic exc6dentaire, la qualit6 du service est maximale et les externalit6s ne jouent pas de r61e (v = c) ;

2) si w < 2c : le trafic de chaque r6seau est sup6rieur 5. sa capacit6, la qualit6 du service est inf6rieure au maximum et v < c. On v6rifie de m~me que le trafic total est plus important que dans le cas 1.

Remarquons pour terminer que si w ~> 2c alors un monopole (priv6 ou public) choisirait lui aussi de maintenir une qualit6 de service maximale. Pour un monopole public, cela d6coule directement de l'hypoth6se selon laquelle son objectif est la maximi- sation du surplus collectif (avec bien stir la restriction N = 1) ; un monopole priv6 a pour objectif la maxi- misation de son b6n6fice :

B : ( A - - z ) z + w ( K - z ) z - - c K 2 - - F,

le maximum K est atteint pour K = z si et seulement si �9

OB ~--k (z, z) >~ o,

c'est-~.-dire : w >~ 2c.

L'expression des S* donn6e ci-dessus [relation (14)] est une fonction concave de N, ce qui permet de r6soudre tr6s ais6ment le probl6me d'optimisation en nombres entiers max S* :

N

No est optimal ~- S*(No) >~ max[S*(No - - 1),

S*(No + 1)].

Par exemple on a un monopole naturel (No = 1) si et seulement si :

S*(l) >~ max[0, S*(2)].

Ce qui se traduit par :

A 2 (2v -t- 1) (2v + 2) (15) (2v + 1) • --ff ~ v

De m~me on a un duopole naturel (No : 2) si et seulement si :

S*(2) >~ max[S*(1), S*(3)],

ce qui se traduit par :

(2v + 1) (2v + 2) A 2 (2v § 2) (2v + 3) (16) ~< ~ ~< ,

V V

III.5. Conclusion.

Le nombre optimal de r6seaux est donc d6termin6 de fa~on tout ~t fait analogue au nombre optimal d'entreprises dans une industrie avec coot moyen en U. La seule diff6rence est que le param6tre de coot est remplac6 par un param6tre caract6ristique v

IV. LA CONCURRENCE DE COURT TERME

Pour simplifier la discussion, on supposera dor6na- vant qu'exactement deux r6seaux sont en concurrence (duopole). Dans cette partie on caract6rise l'6quilibre de court terme du march6 (au sens de la d6finition 1) en fonction des capacit6s K1 et K2 raises en place par les deux r6seaux. On rappelle tout d 'abord l'expres- sion du b6n6fice de chacun des r6seaux :

(8) B, = A - - z - - w(q ~ - - qa) z, - - C(K,),

oO : z = zl + z2 (trafic total).

Proposit ion 1 : Pour tout couple d'anticipations de qualit6 (q~, q~z) il existe un unique 6quilibre en trafics, ind6pendant de (/s K2) et d6fini par :

1 (17) zl = ~ [A --w(2Aq~ - - Aq~)],

1 z2 = -~ [A - - w ( 2 A q ~ - - Aq~)],

ofa :

(18) Aq~ = qO__ q~ et Aq~ = qO __ q~.

Comme l 'on pouvait s'y attendre, le trafic offert par chaque r6seau h l'6quilibre (~t anticipations fix6es) est une fonction croissante de la qualit6 anticip6e

ANN. T~L~COMMCeN., 42, n ~ 11-12, 1987 5/8

M.-H. AMIEL. -- CONCURRENCE ENTRE RI~SEAUX DE TI~L/~COMMUNICATIONS 647

sur son propre r6seau, et d6croissante de la quantit6 anticip6e sur son concurrent. Pour r6soudre compl~te- ment l'6quilibre de court terme, il faut maintenant exprimer la rationalit6 des anticipations des con- sommateurs :

(19) Aq~ : rain(0, z~ - - K~).

Proposition 2 : Pour tout couple de capacit6s install6es (K~, K2), il existe un unique 6quilibre de court terme. I1 y a quatre r6gimes diff6rents qui d6terminent le type d'6quilibre en fonction de K1 et K2.

Les caract6ristiques des 6quilibres de court terme dans chacun des quatre r6gimes sont r6sum6es ci- dessous :

Rdgime I : KI ~ A]3 et K2 >~ A/3.

La qualit6 de service est maximale dans les deux r6seaux :

ql : q2 : qO.

Les trafics sont 6gaux sur les deux r6seaux :

Z 1 : Z 2 : A[3.

Remarquons que ces trafics sont ind6pendants de K~ et K2.

Rdgime II : (2w § 3) K~ § wK2 ~ (w -/, 1) A et Kz <~ AI3.

Seul le r6seau 2 est surcharg6 :

ql = qO et q2 ~< qO.

Le trafic est plus 61ev6 sur le r6seau (2) :

( w + 1) A - - w K 2 zt = 2w + 3 '

A § 2wK2 z2 -- 2w + 3

De m~me, le trafic total est plus 61ev6 que dans le r6gime I. Notons que les trafics sont ind6pendants de K1.

Rdgime I l l : c'est le sym6trique du pr6c6dent.

Rdgime I V : (2w + 3) K~ + wKz ~ (w + 1) A,

wKa + (2w + 3) K2 <~ (w + 1) A.

Ces deux r6seaux sont surcharg6s :

ql ~ q ~ et q2 <~q~

Les trafics s'6crivent :

i A(1 + w ) - - wKz q- w(w -/ 2) K~ z~ = (1 + w ) ( 3 + w ) '

I A(I -/ w) - - wK1 + w(w -+- 2) K2 / z2 = (1 + w)(3 + w)

On remarque que le trafic sur le r6seau 1 est une fonction croissante de K~ et d6croissante de Kz. De m~me, le r6seau ayant la plus grande capacit6 a aussi le trafic le plus important, ainsi que la qualit6 de service la plus grande.

Les b6n6fices/~ l'6quilibre dans chacune des quatre zones se d6duisent tr~s facilement des trafics par la formule :

(20) B, = z 2 - - C(K,).

Or, on constate que dans les zones I e t II le trafic du r6seau 1 est ind6pendant de sa capacit6 instaI16e. Dans la concurrence de long terme, le r6seau 1 aura donc toujours int6r~t, s'il se trouve dans l 'une de ces deux zones, ~, r6duire sa capacit6. On en d6duit facile- ment qu'un 6quilibre de long terme, s'il existe, ne peut se trouver ni dans (l'int6rieur de) la zone I, ni dans (l'int6rieur de) la zone II, ni par sym6trie dans (l'int6rieur de) la zone III. Tout dquilibre de long terme est donc ndcessairement dans la zone IV oh les deux r~seaux sont satur~s (au sens large).

V. LA CONCURRENCE DE LONG TERME

V.1. La fonction de meiUeure r6ponse du r6seau 1.

Nous 6tudions maintenant le choix des capacit6s par les r6seaux, en postulant que ceux-ci anticipent le r6sultat de la concurrence de court terme que nous avons explicit6 dans la partie IV. Rappelons l'expres- sion du b6n6fice de l'entreprise 1 dans chacun des quatre r6gimes :

A z BI(K1, Kz) = y - - cK~ dans I,

((w + 1) A - - wK2) 2 = 2w + 3 - - eK~ dans II,

A + 2wKl~ 2 -- "2w+3 / - - cK21 dans III,

= ( A ( l + w ) - - w K z + w ( w + 2 ) K ~ ) z ( 1 § w)(3 + w)

- - cK~ dans IV.

Comme nous l'avons remarqu6 ~BI]bK~ est n6gatif dans I e t II. D'autre part, on peut v6rifier facilement que ~B~[OK1 (0, K2) est toujours strictement positif. La fonction de meilleure r6ponse du r6seau 1 prendra donc toujours des valeurs strictement positives et

inf6rieures ou 6gatesb. s u p ( 3 (w+l )A_-~wKz~ ' 2 w + 3 J '

qui d61imite la fronti~re avec les zones I e t II. I1 suffit donc d'6tudier les fonctions de meilleure r6ponse locale de 1 dans les zones III et IV.

V.I.1 Dans la zone III.

OB1 (K1 Kz) -- 4w (A + 2wK~ bK---~ ' 2w +~3 -2w ~-3 J - - 2eK~.

Cette expression s'annule pour :

K 1 = kA,

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avec :

2w c - - 2w

Pour que cette valeur de K~ soit bien dans la zone III, il faut et il suffit que k soit dans l'intervaile ]0, 1/3[ ou, ce qui revient au m~me que :

(22) c > [~,

en notant :

Finalement :

I MR,(K2)

2w

1 3 - - 2 w + 3

= kA si (22) est satisfait,

= A[3 sinon.

V.1.2. Dans la zone IV.

~)B, (K1 K2)= 2w(w + 2) bKl ' (1 + w)(3 + w) •

( A ( I + w ) - - w K 2 + w ( w + 2)K~) (1 + w) (3 q- w) - - 2cK~ .

On v6rifie tr& facilement que cette expression s'annule dans la zone IV si et seulement si :

bKl -3' < 0,

ce qui 6quivaut 5. :

w(w + 2) (23) C > ( w + 1 ) ( w + 3 ) = T "

Finalement :

MRI (/(2) =

(w + 1) A - - (2w + 3)/(2 min

w

si (23) est satisfait.

MR1 (/(2) =

( w + 1) A - - ( 2 w § 3) Kz min

W

sinon. Avec :

(w + 1) A - - wK2~

k' ]

(w + 1) A - - wK2\

2 w + 3 j

- - w (w + 2)I" t (1 ~- w) 2 (3 J[- w) 2

k' = c w(w + 2)

La fonction de meilleure r6ponse du r&eau 2 6tant bien stir obtenue par sym6trie, nous sommes d6sormais en mesure de d6terminer le ou les 6quilibres de long terme.

V.2. D6termination des 6quilibres de long terme.

Comme nous l'avons vu pr6c6demment, l'6quilibre de long terme, s'il existe, est n6cessairement dans la

zone IV. Nous allons maintenant trouver h quelles conditions cet 6quilibre se trouve dans l'int6rieur de cette zone, c'est-5--dire correspond 5- une situation o/a la qualit6 de service sur chacun des r6seaux est strictement inf6rieure 5. la qualit6 maximale. Nous allons pour cela utiliser une repr6sentation graphique des fonctions de meilleure r6ponse d6termin6es plus haut, en discutant suivant les valeurs de c.

1 e" cas ." c < T (Fig. 1).

K~ ~ I MR1

" ' ~ I

E1 MRa

K1 v

FIG. 1. - - Equi l ib re en capacit6s quartd, c < v

Capacity equilibrium when c < 2".

Un seul dquilibre : K1 = K2 = A[3,

A z B* = B* = ~ - ( 1 - - c ) - - F .

2 ~ cas " T < c < 13 (Fig. 2).

Kz I MR1

III I MR2

r

FIG. 2. - - Equi l ibre en capacit6s q u a n d T < c < 9.

Capacity equilibrium when y < c < 9.

Un seul dquilibre : il est dans l'int6rieur de la zone IV : les deux r6seaux sont donc satur6s �9

A KI = K z = (1 + w) 2 ( 2 + w) 2 - w "

c w(2 + w)

3 ~ cas �9 c > 13 (Fig. 3).

Un seul dquilibre : E 2 .

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MR1 &off l ' on tire facilement (17) et (18).

K2

ul [

MR2

FIG. 3. - - Equilibre en capacit6s quand c > [3.

Capacity equilibrium when c > [3.

VI. C O N C L U S I O N

Cet article est une contr ibut ion ~ l '6tude des cons6- quences de l 'ouver ture de r6seaux de t616communi- cations h la concurrence de plusieurs entreprises. Nous nous sommes int6ress6s aux r6seaux off l 'exter- nalit6 n6gative d ' e n c o m b r e m e n t joue un r61e impor- tant, c o m m e c 'es t le cas des r6seaux de t616phone interurbain. La principale question que nous nous sommes pos6e concerne la d6terminat ion de la qualit6 du service offert aux consommateurs , qui est li6e directement au r appor t trafic/capacit6 pour le ou les r6seaux en activit6. Les param6tres caract6ristiques que nous privil6gions sont c, param6tre indexant la fonct ion de cofit de capacit6, et w, param6t re caract6- risant la sensibilit6 du march6 aux variat ions de qualit6 des r6seaux. L 'a l loca t ion opt imale des res- sources requiert que la qualit6 du service offert aux consommateurs soit maximale (taux de rejet des appels 6gal ~t 0) d6s que w e s t sup6rieur h 2c. Si le march6 est contr616 par une seule entreprise (monopole public ou priv6), la qualit6 du service offert par cette entreprise v6rifie cette condit ion d 'opt imal i t6 . Pour- tant si deux (ou plusieurs) r6seaux sont en concurrence, il y aura presque sfirement d6gradat ion de la qualit6 sur au moins l 'un des r6seaux. Le seul cas off l ' on soit assur6 que la qualit6 reste maximale (cas n ~ 1 de notre discussion de la part ie V) cor respond ~ une valeur

w (w + 2) de e inf6rieure ~t (w + 1) (w + 3 ) ' condit ion en g6n6ral

beaucoup plus restrictive que la pr6c6dente.

A N N E X E

D~monstrat ion de la proposit ion 1.

La fonct ion B~ est 6videmment concave par r appor t ~t z~, ce qui implique que l '6quilibre de Courno t est caract6ris6 par les condit ions du premier ordre :

bB~ O - - - - - - A - - 2zl - - z2 - - wAq~ ,

OB2 0 - - - - - - A - - z l - - 2 z 2 - - w A q ~ ,

Oz 2

D6monstrat ion de la proposit ion 2.

I1 nous faut main tenant remplacer , dans (17) et (18), Aq~ et Aq~ par leurs r6alisations, ce qui donne :

1 zl = ~ [A + w(z2 - - K2)+ - - 2W(Zl - - K1)+],

( s ) 1 z2 = ~ [A + w(z, --gm)+ - - 2w(z2 - - K 2 ) + ] ,

o~ par convent ion x+ = max(0, x).

Nous devons main tenant discuter suivant les signes de (zl - - K1) et (z 2 - - K2) "

Cas 1 : zl <~KI et Zz ~<1(2,

(S) donne alors z~ = z2 = A[3.

Cas 2 : zl <~ K~ et z2 ~ K 2 ,

(S) devient dans ce cas :

1 I Zx = [A § W(Zz- -K2)] ,

A 1 r z2 = ~ [A - - 2w(z2 - - K2)],

ce qui donne :

A § ( w § 1) A - - w K 2 z2 = 2 w § ' zl = 2 w + 3 '

ce qui est conforme aux in6galit6s de d6part si et seulement si :

I A § 2wK2 ~ (2w § 3 ) K 2 ,

( w § 1) A - - w K 2 < ~ ( 2 w § 3) K , ,

soit siK2 ~< A/3 et (2w § 3) K~ § wK2 ~ (w § 1) A.

La r6solution dans les zones I I I et IV est exactement similaire.

Manuscrit refu le 17 septembre 1987,

acceptd le 6 oetobre 1987.

B I B L I O G R A P H I E

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