Corrige Examen ST Janvier 2013

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examen corrige assas paris 2 ecometrie

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  • Elments de correction du sujet dexamen deSries temporelles

    Professeur Georges Bresson

    M1 Ingnierie Economique et StatistiqueM1 Monnaie-Finance-Banque

    16 janvier 2013

    Ces lments de correction sont donns titre indicatif. Ils neprjugent pas de la correction exacte des copies.

    1 Exercice 1

    Soit le modle AR(1)associ la srie Xt :

    Xt = (t1)Xt1 + "t , t = 1; :::; T

    o "t est un bruit blanc"t iid

    0; 2"

    et est une constante: On suppose

    que Xt = "t = 0 pour t 2 (1; 0] :

    1.a) On peut crire:

    Xt1 = (t2)Xt2 + "t1 do Xt = (t1)+(t2)Xt2 + "t + (t1)"t1

    Par rcurrence, on obient:

    Xt = (t1)+(t2)+:::+(t)Xt + "t +

    1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    =

    24

    Pj=1

    (tj)!35 :Xt + "t + 1X

    j=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    1

  • En posant = t, on peut crire Xt comme un processus de moyennemobile sur "t:

    Xt =

    24

    tPj=1

    (tj)!35 :X0 + "t + t1X

    j=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    = "t +t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    On peut donc crire:

    Xt = "t +t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    1.b) La moyenne du processus Xt est donc:

    E [Xt] = t = E ["t] +t1Xj=1

    E ["tj ]

    24

    jPi=1

    (ti)!35 = 0

    puisque E ["tj ] = 0, 8j. De mme, E [Xt ] = t = 0. Lautocovariancedu processus Xt est

    = E(Xt t) :

    Xt t

    = E [Xt:Xt ] ; 8

    soit:

    = E

    26666664"t +

    t1Pj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35

    0@"t + t1P

    j=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!351A

    37777775

    = E ["t"t ] + E

    24"t t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!3535

    +E

    24"t t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!3535

    +E

    24t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35 t1X

    j=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!3535

    2

  • Si = 0; la variance est donne par:

    2Xt = 0 = E ["t"t] +

    +E

    24t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35 t1X

    j=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!3535

    = 2"

    241 + t1Xj=1

    2

    jPi=1

    (ti)!35

    Si = 1; lautocovariance du 1er ordre est donne par:

    1 = E ["t"t1] + E

    24"t t2Xj=1

    "t1j

    24

    jPi=1

    (t1i)!3535

    +E

    24"t1 t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!3535

    +E

    24t1Xj=1

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35 t2X

    j=1

    "t1j

    24

    jPi=1

    (t1i)!3535

    1 = Eh"t1"t1(t1)

    i+E

    24t1Xj=2

    "tj

    24

    jPi=1

    (ti)!35 t2X

    j=1

    "t1j

    24

    jPi=1

    (t1i)!3535

    = 2"

    8

  • =

    Pi=1

    (ti)+

    24 t1Pj=+1

    jP

    i=1

    (ti)!t(+1)Pj=1

    jP

    i=1

    (ti)!35

    241 + t1Pj=1

    2

    jPi=1

    (ti)!35

    , 8 6= 0

    2 Exercice 2

    Soit le processus ARCH(1) dni par:

    at = t:"t , "t N(0; 1) , t = 1; :::; TEa2t j t1

    2t = 0 + 1a2t1 , 0 > 0, 1 0o t1 est lensemble informationnel disponible la date (t 1) et le nombretotal dobservations T est T = 1000.

    2.a) Pour une distribution centre, le coe cient de Kurtosis est dnicomme le rapport du moment dordre 4 sur le carr du moment dordre 2.Ce coe cient vaut 3 dans le cas dune loi normale quelconque, cette valeurservant de rfrence. Pour le processus ARCH, le coe cient de Kurtosisscrit:

    Kurta =Ea4t

    fE [a2t ]g2

    En vertu de la loi des esprances itres E [E [X j Y ]] = E [X], on peutcrire:

    Kurta =Ea4t

    fE [a2t ]g2=

    EEa4t j t1

    fE [E [a2t j t1]]g2

    =E4t:E"4t

    fE [2t ]g2 : fE ["2t ]g2

    =E4t

    fE [2t ]g2 E

    "4t

    fE ["2t ]g2=

    E4t

    fE [2t ]g2Kurt"

    OrE2t= E

    0 + 1a

    2t1= 0 + 1E

    a2t1

    et la variance non conditionnelle de E

    a2t1

    est donne par:

    Ea2t1

    = E

    2t "

    2t1= E

    0"

    2t1 + 1a

    2t2"

    2t1= 0 + 1E

    a2t2

    =

    0

    1 1

    car E

    a2t1

    = E

    a2t2

    donc

    E2t= 0 + 1E

    a2t1

    = 0 + 1

    0

    1 1

    =

    01 1

    4

  • Posons: E"4t= E

    "4t1

    = 4. On peut crire:

    Ea4t= E

    4t:E"4t= E

    h0 + 1a

    2t12i

    :4

    = 420 + 201E

    a2t1

    + 21E

    a4t1

    = 4

    20 + 201

    0

    1 1

    + 21E

    a4t1

    or les moments non conditionnels sont identiques 8t :

    Ea4t= E

    a4t1

    do

    Ea4t

    =20 (1 + 1)

    (1 1) (1 4:21):4

    ! E 4t = 20 (1 + 1)(1 1) (1 4:21)Le coe cient de Kurtosis du processus ARCH(1) scrit donc:

    Kurta =E4t

    fE [2t ]g2Kurt"

    =

    20(1+1)

    (11)(14:21)011

    2 Kurt"et comme E

    "4t= 4 = 3, il vient:

    Kurta =

    1 21

    (1 4:21)

    Kurt" =1 21

    (1 321)

    Kurt" = 31 21

    (1 321)

    Si 0 < 21 < 1=3, alors Kurta > Kurt":

    2.b) Si 1 = 0:42, alors le coe cient de Kurtosis est gal :

    Kurta = 3

    1 21

    (1 321)

    = 3

    1 (0:42)2

    1 3 (0:42)2

    = 5:2481 2.c) Sous lhypothse de normalit:

    Ka 3 N0;24

    T

    On peut donc construire le test dune distribution msokurtique (ou testdaplatissement)

    H0 : dist. msokurtique (K = 3) K =Kr 3p24=T

    N (0; 1)

    5

  • il vient:K =

    5:2481 3p24=1000

    = 14:511

    Cette valeur est trs suprieure aux valeurs critiques de la loi normale(quel que soit le seuil 1%, 5% ou 10%). On rejette donc lhypothsenulle. Le coe cient de Kurtosis est suprieur 3 et la distribution estleptokurtique.

    3 Exercice 3

    On considre la srie des rendements mensuels rt de lindice S&P 500 (en %)sur la priode Janvier 1926 - Dcembre 2009. On constate sur la gure 1 unevolution stationnaire en moyenne avec des pisodes de uctuations importantesavant 1950 puis aprs le milieu des annes 70. Ces pisodes de uctuationssemblent caractriser des priodes de forte volatilit.

    3.a) Le modle estim est un AR(1)-GARCH exponentiel EGARCH(1,1)du type:8

  • 3.b) La volatilit 2t peut tre exprime sous forme dun modle GARCH seuil. En eet,

    log2t= log

    2t1

    + 0 + 1"t1 + 2 j"t1j

    = log2t1

    + 0 +

    (1 + 2) "t1 si "t1 0(1 2) "t1 si "t1 < 0

    do

    2t =2t1

    :e0 :

    exp [(1 + 2) "t1] si "t1 0exp [(1 2) "t1] si "t1 < 0

    2t =2t1

    0:976:e0:096:

    exp (0:1859"t1) si "t1 0exp (0:2629"t1) si "t1 < 0

    3.c) Pour un choc "standardis" de magnitude 2 (i.e., 2 carts-type), ona:

    2t ( pour "t1 = 2)2t ( pour "t1 = +2)

    =exp (0:2629 (2))exp (0:1859:(2))

    =exp (0:5259)

    exp (0:3719)= exp (0:1540) = 1:1665

    Limpact dun choc ngatif est donc environ 16:65% plus important quelimpact dun choc positif de mme amplitude.

    4 Exercice 4

    4.a) Tests de racine unitaire sur la srie log_1y: On commence par letest de la tendance dans le modle gnral avec constante et trend (table6). Le t-stat du trend (0:4288) est infrieur la valeur critique 5% luedans la table (2:78). On rejette donc la prsence du trend. On passe aumodle avec constante (table 7) et on teste la prsence de la constante.Le t-stat de la constante (2:7209) est suprieur la valeur critique ( 5%ou 10%) lue dans la table (2:52 ou 2:16). On accepte la prsence duneconstante au risque de 5%. Toujours sur la table 7, on teste la prsencedune racine unitaire laide du t-stat de lendogne retarde (2:6929).Cette valeur est suprieure la valeur critique ( 5%) lue dans la table(2:87). On accepte donc la prsence dune racine unitaire avec constante.La srie log_1y est I(1) avec constante. Si on souhaite "travailler" avecune scurit de 99%, on rejette la prsence de la constante et on passe la table 8 pour tester la prsence dune racine unitaire sans constante. Let-stat de lendogne retarde (0:3041) est suprieur la valeur critique( 1%) lue dans la table (2:58). On accepte donc la prsence dune racineunitaire sans constante. En rsum, avec un risque de 5%, le processusest I(1) avec constante tandis, quavec un risque de 1%, le processus estI(1) sans constante.

    7

  • 4.b) On suppose que la srie log_3y est I(1) et on dnit les variables endirences premires: d log_1y et d log_3y: La table 9 dcrit un ensemblede tests de spcication an de dterminer le nombre de retards optimalpour un processus V AR(p) deux variables (M = 2). Ce modle scrit:

    (B)Y t = c+ "t $ Y t = c+1Y t1 +2Y t2 + ::::+pY tp + "t

    Y t = c+

    pX=1

    Y t + "t o "t N0;"

    et Y t =

    d log_1ytd log_3yt

    Le premier test est le test du rapport de vraisemblance (LR: likelihoodratio test). On considre les hypotheses nulle et alternative suivantes:

    H0 : p+1 = 0 ! processus V AR(p)H1 : p+1 6= 0 ! processus V AR(p+ 1)

    La statistique de test du rapport de vraisemblance est donne par:

    LR = T log

    0BB@b(C)" b(NC)"

    1CCA = T log b(C)" log b(NC)"

    qui, sous lhypothse nulle, suit un 2 r degrs de libert o r est lenombre de contraintes (ici r = M2

    = 22

    en comparant un V AR(p) et

    un V AR(p + 1)). b(C)" (resp. b(NC)" ) dsigne lestimateur de la matricede variances-covariances des rsidus du modle contraint (resp. non con-traint). Pour dterminer lordre optimal du processus V AR(p), on utilisegalement des critres dinformation tels que les critres AIC (Akaike in-formation criterion), SC (Schwarz information criterion) ou HQ (Hannan-Quinn information criterion):

    AIC = logb"+ 2 M2p+MT

    SC = logb"+ M2p+M log TT

    HQ = logb"+ 2 M2p+M log (log T )T

    Ces 3 critres ne donnant pas forcment le mme ordre optimal, on ap-plique le principe de parcimonie en choisissant celui qui donne le plus petitordre pour le V AR(p). Les astriques () dans la table 9 nous indiquentle nombre de retards choisi par les critres de slection. Ainsi, pour LR,SC et HQ, le nombre optimal de retards est 2. Par contre, pour AIC, lenombre optimal de retards est 3. Si on applique le principe de parcimonie,alors on proposera un processus V AR(2) pour ce systme de 2 variablesd log_1y et d log_3y.

    8

  • La table 10 nous fournit les rsultats du test de causalit " la Granger"entre d log_1y et d log_3y pour un processus V AR(2): En xant a priorile nombre de retards p = 2 du processus V AR(p), on estime le modlebivari suivant:8>>>:d log_1yt = 0;1 +

    p(=2)P=1

    d log_1yt +p(=2)P=1

    d log_3yt + "1;t

    d log_3yt = 0;2 +p(=2)P=1

    d log_3yt +p(=2)P=1

    d log_1yt + "2;t

    Ainsi, Eviews propose de tester les hypothses nulles:H0 : 1 = 2 = 0 dans la 1re quation $ d log_3y "ne cause pas" d log_1yH0 : 1 = 2 = 0 dans la 2me quation $ d log_1y "ne cause pas" d log_3y

    Les statistiques F des tests de Wald sont fournies par le logiciel. A lalecture de la table 10, on constate que les valeurs du test F sont respec-tivement de 4:242 et 2:246 avec des niveaux marginaux de signicativit(p-value) de 0:014 et de 0:106. Autrement dit, on a 1:4% de chances de setromper si on rejette lhypothse nulle: d log_3y "ne cause pas" d log_1y.On peut donc conclure que d log_3y "cause au sens de Granger" d log_1yau risque de 5%. Par contre, on a 10:6% de chances de se tromper si onrejette lhypothse nulle: d log_1y "ne cause pas" d log_3y. On peutdonc conclure que d log_1y "ne cause pas au sens de Granger" d log_1yau risque de 5%. A priori, le modle des taux de croissance des tauxdintrt est un modle rcursif:8>>>:d log_1yt = 0;1 +

    p(=2)P=1

    d log_1yt +p(=2)P=1

    d log_3yt + "1;t

    d log_3yt = 0;2 +p(=2)P=1

    d log_3ytt + "2;t

    4.c) On souhaite estimer une relation de long terme entre les logarithmesdes taux dintrt:

    log_1yt = 0 + 1 log_3yt + 2dummyt + "t

    o dummyt est une variable indicatrice valant 1 pour la priode 1980.1- 1985.12 et 0 sinon. Comme les deux variables sont I(1), cette rela-tion pourra tre assimile une relation dquilibre de long terme si elleest cointgre, c.a.d si les rsidus estims sont stationnaires (b"t I(0)).Lestimation par les MCO (table 11) montre que tous les coe cients sontsignicativement dirents de zro. Mais avant de pouvoir les interprter,il faut vrier si la relation est cointgre. Le R2 trs lev (0:972) et lastatistique DW de Durbin-Watson trs faible (0:109) nous faire craindreune rgression fallacieuse ou une relation non cointgre. Sous lhypothsenulle de la prsence dune racine unitaire sur les rsidus, un premier test

    9

  • consiste savoir si DW = 0. Ce test est appel CRDW (Cointegrat-ing Regression Durbin-Watson test). Si le DW calcul est infrieur la valeur critique, on accepte lhypothse nulle de non cointgration. Alinverse, si le DW calcul est suprieur la valeur critique, on rejettelhypothse nulle de non cointgration et les variables sont alors coint-gres. La valeur critique lue dans la table 4 (0:30) est suprieure lavaleur calcule (0:109). On ne peut pas rejeter lhypothse nulle de noncointgration. Un autre test est le test DF. Sous lhypothse nulle de noncointgration (i.e., prsence dune racine unitaire), on teste:

    H0 : 1 = 0 $ b"t = 0 + 1b"t1 + utSi le t-stat calcul de 1 est suprieur la valeur critique, on accepteH0. Dans ce cas, les variables sont non cointgres puisque b"t I(1).A linverse, si le t-stat calcul de 1 est infrieur la valeur critique, onrejette H0. Dans ce cas, les variables sont cointgres puisque b"t I(0):La lecture de la table 12 nous donne un t-stat de 1 gal 4:092. Or lavaleur critique lue dans la table 3 est 4:64 1%; 4:10 5% et 3:81 10%: Les variables de taux dintrt sont non cointgres avec une scuritde 95% ou de 99% mais peuvent tre considres comme cointgres avecune scurit de 90%. En gnral, en conomie, on "travaille" au risquede 5% et nous sommes donc enclins rejeter lhypothse de cointgration,donc lhypothse dune relation de long terme stationnaire.

    4.d) On estime un processus VAR(2) non cointgr pour les deux sries detaux dintrt. La table 13 montre que les coe cients sont tous signica-tivement dirents de zro lexception des constantes et du coe cient ded log_1yt2. On a bien une relation croissante entre les taux de croissancedes taux dintrt. Mais limpact du taux de croissance du taux dintrt 3 ans sur le taux de croissance du taux dintrt 1 an (0:3314) est plusimportant que limpact du taux de croissance du taux dintrt 1 an surle taux de croissance du taux dintrt 3 ans (0:1401).d log_1ytd log_3yt

    =

    0:2513d log_1yt1 + 0:3314d log_3yt1

    0:1401d log_1yt1 + 0:3033d log_3yt1 0:2313d log_3yt2

    Comme on peut le constater sur la gure 3, le systme est stable puisque lesracines de lquation caractristique det

    I2z

    2 1z 2= 0 se situent

    lintrieur du disque unit du plan complexe. Par ailleurs, les autocor-relations et les corrlations croises des rsidus (gure 4) semblent nullesjusquau retard 11 lexception de la corrlation [d log_1yt; d log_3yt7] :Cette absence de corrlation rsiduelle est conrme par le test du mul-tiplicateur de Lagrange sur les rsidus (table 14). La gure 5 reprsenteles fonctions de rponses impulsionnelles gnralises de Pesaran et Shin.Ces fonctions de rponses sont issues dun ensemble dinnovations orthog-onales qui ne dpendent pas de la position des direntes variables dansle processus V AR. La rponse impulsionnelle issue dune innovation de la

    10

  • variable d log_1y est obtenue en appliquant la variable d log_3y une fac-torisation de Cholesky calcule avec linnovation de la variable d log_1yplace tout en haut de la structure V AR et vice versa. La rponse de(d log_1y) un choc sur ses innovations est relativement faible, mmeinstantanment (+6:0%) et sattnue trs rapidement au bout de 3 mois.La rponse du taux de croissance du taux dintrt 1 an des chocs surle taux de croissance du taux dintrt 3 ans est lgrement plus faible(5:5% en instantan). On obtient le mme type de prol dynamique pourle taux de croissance du taux dintrt 3 ans. Les eets sur les tauxde croissance des taux dintrt sont donc temporaires et sestompent trsrapidement au bout dun trimestre.

    4.e) On estime un modle VAR cointgr. Rappelons que lon peut r-crire ce VAR sous la forme:

    Y t = c+A1Y t1 + ::::+Ap1Y tp+1 +BY t1 + "t

    o

    B =

    pYi=1

    i IM et Ai = pX

    j=i+1

    i

    Le thorme de reprsentation de Granger stipule que la matrice de coef-cients B nest pas de plein rang mais de rang infrieur r < M (= 2) etquil existe des matrices et de taille (M r) et de plein rang r tellesque B = 0 et 0Y t I(0): r est le nombre de relations de cointgration(i.e., le rang de cointgration) et chaque colonne de est le vecteur decointgration. Les lments de sont appels paramtres dajustementdu VECM. Autrement dit, il y aura r relations de cointgration si

    H0(r) : B = 0

    Le rapport de vraisemblance permet de dnir 2 tests, le test de la trace etle test de la valeur propre maximale, qui prcisent le nombre de vecteurscointgrants. Lhypothse nulle est:

    H0 : r+1 = r+2 = ::: = p = 0

    le systme a donc (p r) racines unitaires ou r vecteurs cointgrants. Letest de la trace, sous lhypothse nulle de r relations de cointgration, estdonn par:

    2 (LMV (r) LMV (p)) = TTX

    i=r+1

    log1 bi

    o bi est la plus grande valeur propre de B et o r = 0; 1; :::; p 1: Letest de la valeur propre maximale, sous lhypothse nulle de r relations de

    11

  • cointgration, est donn par:

    2 (LMV (r) LMV (r + 1)) = T log1 br+1

    Dans certains cas, les 2 tests peuvent fournir des rsultats contradictoires.Il convient alors dexaminer le vecteur de cointgration et de dterminerson choix selon linterprtation des relations de cointgration. On con-sidre donc lhypothse H0 : r 1. Le test de la trace (table 15) donne4:2863 et le percentile 95 est 9:164. On ne peut pas rejeter lhypothsenulle. Par contre, on peut rejeter lhypothse nulle H0 : r = 0 puisquele test de la trace donne 23:957 et le percentile 95 est 20:261. De mme,le test de la valeur propre maximale rejette lhypothse nulle H0 : r = 0puisque le test donne 19:6706 et le percentile 95 est 15:892: Ce mme testpermet daccepter lhypothse nulle H0 : r 1 puisque la table 15 donnegalement 4:2863 et le percentile 95 est 9:164. On conclut quil y a doncune relation de cointgration (r = 1) pour le lien entre les taux dintrt 1 an et 3 ans.Lestimation de la matrice de coe cients B = 0 nous donne le vecteurde cointgration ainsi que le vecteur des paramtres dajustement duVECM (voir table 16):

    0 = (1:000;1:0869; 0:2407)0 = (0:0827;0:024)

    La relation dquilibre est donne par:

    log_1yt = 1:0869 log_3yt 0:2407

    et le vecteur de cointgation peut sinterprter comme un mcanisme correction derreur mesurant lcart de taux:

    Ecart = log_1yt (1:0869 log_3yt 0:2407)

    Les paramtres dajustement peuvent sinterprter comme les poids delcart des taux dintrt (Ecart) associs aux 2 quations du VECM etpeuvent naturellement sinterprter comme des vitesses de convergencemoyennes vers lquilibre de long terme estim. Seul un paramtre estsignicativement dirent de 0. Il sagit du paramtre associ lECM dutaux 1 an (0:0827). Le paramtre dajustement (0:024) associ autaux dintrt 3 ans est non signicativement dirent de zro au risquede 5%. Ainsi, aprs un choc sur le taux 3 ans, 8:27% de lajustementdu taux 1 an est realis au bout dun mois, donc 49:6% (resp. 91%) delajustement est realis au bout de 6 mois (resp. de 11 mois).LECM associ au taux 1 an est donc dni et estim par:

    log_1yt = 0:0827 [log_1yt (1:0869 log_3yt 0:2407)]+0:2851 log_1yt1 + 0:2886 log_3yt1

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  • Tandis que lECM associ au taux 3 ans est estim par

    log_3yt = 0:1501 log_1yt1+0:2909 log_3yt10:2434 log_3yt2La trajectoire du taux de croissance du taux dintrt 3 ans semble doncautonome et ne pas tre contrainte par un retour vers lquilibre de longterme au contraire de la trajectoire du taux de croissance du taux dintrt 1 an.Les statistiques du test portmanteau (table 17) ainsi que les graphiquesdes corrlations des rsidus (gure 6) conrment labsence de corrlationsrielle du modle et la relation de cointgration (lcart de taux) sem-ble bien stationnaire. Cette relation de cointgration, reprsente lagure 7, montre cependant des pisodes dcarts de taux relativement im-portants (1953-1959, 1974 et 1992-1993). Cette relation de long termesemble pouvoir tre amliore en introduisant des variables indicatricespour ces priodes particulires, ce qui permettrait peut-tre dobtenir unevitesse de convergence non nulle pour lECM du taux 3 ans. Mais cenest quune conjecture... En conclusion, il semble que lestimation duVAR cointgr soit prfrable lestimation de la relation de long terme la Granger-Engle (question 4.c) ou lestimation du VAR non cointgr(question 4.d). Lestimation du VECM conrme lexistence dune relationdquilibre de long terme entre les deux taux dintrt et fournit des tra-jectoires de croissance des taux compatibles avec cette relation dquilibresur la priode avril 1953 - janvier 2001.

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