Exercices sur les circuits magnétiques : corrigé

Exercice I

Un circuit magnétique est constitué d'un tore en matériau ferromagnétique de perméabilité relative 1000, de longueur moyenne 200 mm, de section 10 cm² et d'un entrefer de 1 mm de long.Sur  ce  circuit,  on  enroule  25   spires  d’un  conducteur  parcouru  par  un courant de 2 A.

On suppose que le champ dans le fer est 1,25 fois plus important que dans l'entrefer.

Calculer en utilisant le théorème d'Ampère le module du champ magnétique dans l'entrefer et les excitations magnétiques dans l'acier et l'entrefer.

Exercice II

Une   bobine   est   constituée   de   30   spires   enroulées   sur   un   circuit   magnétique   constitué   d'un   matériau ferromagnétique de perméabilité  relative µr  = 1000  et d'un entrefer de 1 mm, la fibre moyenne mesure  300 mm. La section du fer est de 10 cm² et celle supposée de l'entrefer de 12 cm².

1. L’intensité du courant dans le bobinage étant de 8 A, calculer le champ magnétique dans l'entrefer.Le circuit magnétique est décomposé en une partie « acier » et en une partie « air » :

• Partie « acier » : longueur   la=300.10−3 m , section   Sa=10.10−4 m2   et perméabilité magnétique 

a=4 .10−4 SI

• Partie   « air » :   longueur   le=10−3 m ,   section   Se=12.10−4 m2   et   perméabilité   magnétique 

a=4 .10−7 SI

D'après le théorème d'Ampère :  H a . laH e . le=N I  avec Ha et He les modules de l'excitation dans l'acier et l'entrefer, N = 30 spires et I l'intensité du courant dans le bobinage.

Comme  B a=a H a  et  B e=0 H e , l'équation précédente devient Ba

a. la

Be

0. le=N I

D'après la loi de conservation du flux :  B a .Sa=Be .Se  avec Ba et Be les modules du champ magnétique 

dans l'acier et l'entrefer. On obtient  B a=B e .Se

Sa

D'où   Be

Se

Sa

1a

.laBe

0. le=N I   qui   devient   Be

Se

Sa

1a

. la10

. le=N I   en   factorisant   Be   et 

finalement Be=

N ISe

Sa

1a

. la10

. le

=30. 8

12.10−4

10.10−4

14 .10−4 . 300.10−3

1

4 .10−7 . 10−3

=0,221 T

2. Quelle est le flux à travers le circuit magnétique ?

Puisque  =B a .Sa=Be .Se  alors  =Be .Se=0,221 . 12.10−4=265 µWb

3. Calculer le flux total vu par la bobine.C'est le flux vu par une spire (flux à travers une section du circuit magnétique) multiplié par le nombre de spires :  T=N=30 .265=7,95 mWb

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 1/6 TS1 ET 2011­2012

Exercice III

On considère un circuit magnétique torique de section carrée sur   lequel   est   bobiné   un   enroulement   de  N  =   20   spires parcourues par un courant d’intensité I.

La perméabilité relative de l'acier vaut 10000.Rayon intérieur R1 = 4 cm.Rayon extérieur R2 = 6 cm.Épaisseur de l'acier 2 cm.La longueur de l'entrefer est variable

IR2

R1

e

La section de l'entrefer est supposée égale à celle de l'acier.

1. En utilisant   la   relation d’Hopkinson,  écrire   le   flux à   travers  une  section  du  matériau  en  fonction de l'épaisseur e de l'entrefer et du courant I (la longueur de l'entrefer est négligée pour le calcul de la réluctance de l’acier).

2. Calculer l'intensité du courant permettant d'obtenir un champ magnétique de 100 mT.

a. lorsque l'entrefer est nul.

b. lorsque l'entrefer vaut 0,5 mm.

3. L'énergie W emmagasinée par la bobine s'écrit :  W=12T . I , ΦT étant le flux total vu par la bobine.

a. Exprimer l'énergie en fonction de e et Φ.

b. Tracer la courbe W = f(e) (énergie stockée en fonction de la longueur d'entrefer) pour la même valeur du   flux   qu'au   2   (e  varie   de   0   à   3mm).   Dans   quelle   partie   du   circuit   magnétique   l'énergie   est­elle majoritairement stockée ?

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 2/6 TS1 ET 2011­2012

Exercice IV

On   réalise   une   bobine   de   20   spires   sur   le   noyau central du circuit magnétique ci­contre :La perméabilité relative du matériau vaut 1000.

1. Le circuit  magnétique peut  être   représenté  par   le schéma ci­dessous à droite (analogie électrique) :

a. Calculer  les valeurs des réluctances de chaque partie du circuit magnétique (On suppose que les sections des entrefers sont égales à celles des pôles qui   les   encadrent.   On   néglige   la   longueur   de l'entrefer pour le calcul des réluctances des parties fer).

2 cm 2 cm5 cm

0,5 cm0,5 cm

10cm

2 cm

7 cm

7 cm

entrefer0,1 cm

La réluctance d'une portion de circuit magnétique est donnée par  ℜ=1

lS

Les longueurs sont celle de la fibre moyenne du circuit,   les notation sont  celles du circuit  magnétique analogue de le figure suivante :

Pour les colonnes verticales latérales :   ℜ1=1a

l1

S1

 avec l1 = (7 – 1) = 6 cm,  S1 = 2x7 = 14 cm2 et la 

perméabilité magnétique  a=0 .r  avec  r=1000 . Ce qui donne :

ℜ1=1

4 . 10−7. 10006.10−2

14.10−4=34,1 kH−1

Pour les portions verticales et latérales de la colonne horizontale inférieure :  ℜ2=1a

l2

S2

 avec l2 = 1 cm, 

S2 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique  a=0 .r . Ce qui donne :

ℜ2=1

4 . 10−7. 100010−2

14.10−4=5,7 kH−1

Pour les portions horizontales de la colonne horizontale supérieure :   ℜ3=1a

l3S3

  avec  l3 = (5 – 1) =  

4 cm, S3 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique  a=0 .r . Ce qui donne :

ℜ3=1

4 . 10−7. 10004.10−2

14.10−4=22,7 kH−1

Pour la colonne centrale :   ℜ4=1a

l4

S4

 avec l4 = (7 – 1) = 6 cm, S4 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité 

magnétique  a=0 .r . Ce qui donne :  ℜ4=1

4 .10−7 . 10006.10−2

35.10−4=13,6 kH−1

Pour la portion verticale et centrale de la colonne horizontale inférieure :  ℜ5=1a

l5S5

 avec l5 = 1 cm, 

S5 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique  a=0 .r . Ce qui donne :

ℜ5=1

4 . 10−7. 100010−2

35.10−4 =2,8 kH−1

Pour les entrefers extérieurs :   ℜe1=10

le1

Se1

  avec  le1  = 0,1 cm,  Se1  = 2x7 = 14 cm2  et la perméabilité 

magnétique du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe1=1

4 . 10−7 0,1.10−2

14.10−4=568 kH−1

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 3/6 TS1 ET 2011­2012

Pour l'entrefer central :  ℜe2=10

le2

Se2

 avec le2 = 0,1 cm, Se2 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique 

du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe2=1

4 . 10−7 0,1.10−2

35.10−4=227 kH−1

b. Mettre le schéma sous la forme d’une force magnétomotrice « alimentant » une réluctance, le flux dans le circuit étant celui de la colonne centrale.

Les réluctances des branches extérieures sont en série (même flux), la   réluctance équivalente  est  égale  à   la  somme des   réluctances : ℜlat=2.ℜ3ℜ1ℜ2ℜe1

ℜlat=2.22,734,15,7568=653 kH−1

Ces   deux   réluctances   sont   en   parallèle   et   comme   elle   sont identiques,   elle   peuvent   être   remplacées   par   une   seule   égale   à ℜlat

2=

6532

=326 kH−1

Les   réluctances   de   la   branche   centrale   sont   en   série   soit ℜcent=ℜ4ℜ5ℜe2=13,62,8227=243 kH−1

Finalement, les réluctances ℜlat

2 et  ℜcent  sont en série ce qui donne une réluctance équivalente :

  ℜeq=ℜlat

2ℜcent=326243=569 kH−1

2. Module du champ magnétique

a. Calculer la valeur du courant permettant d'obtenir un champ de 140 mT dans l'entrefer central.D'après la relation d'Hopkinson  ℜeq=N I  avec F  le flux dans le circuit magnétique, N  le nombre de 

spires et I l'intensité du courant dans la bobine.

La section Sc de l'entrefer central est égale à 35 cm2 et les vecteurs champ magnétique  B c  et surface sont supposés   colinéaires   et   de   même   sens   donc   = B c . Sc=Bc . Sc   et   la   relation   d'Hopkinson   devient ℜeq Bc . Sc=N I  ce qui donne :

I=ℜeq Bc .Sc

N=

569.103 .0,14 .35.10−4

20=13,9 A

b. En déduire le champ magnétique dans les colonnes extérieures.D'après   la   loi   de   conservation   du   flux :   B ext .Sext=Bc .Sc   (indice   « ext »   pour   extérieur)   soit 

B ext=Bc .Sc

Sext

=0,14 .3514

=0,35 T

3. Calculer le flux dans la bobine et le rapport de ce flux sur l'intensité du courant dans la bobine.

La bobine est constituée de 20 spires qui « voient » chacune  =Bc .Sc  soit un flux total :

T=20.=20.Bc . Sc=20 . 0,14 . 35.10−4=9,8 .10−3 Wb

Le rapport du flux sur l'intensité  du courant :   T

I=9,8

.10−3

13,9=7,05 .10−4 H   (c'est  l'inductance de la 

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 4/6 TS1 ET 2011­2012

bobine).

Exercice V

On considère l'électroaimant ci­contre. Les cotes sont données en mm, la profondeur est  égale à  30 mm.  Perméabilité   relative des culasses et  du noyau : 1500.

Le ressort de rappel maintient la partie mobile dans une position telle que l'on ait un entrefer de 2,5 mm sur chaque branche.

1. Exprimer l'énergie W emmagasinée par la bobine en fonction du flux F à   travers une section du circuit  magnétique,  du nombre de spires  et  du courant I qui la traverse.

Relation de l'exercice III question 3 :  W=12T . I  et  T=N  avec N le 

nombre de spires. Finalement  W=12

N . I

2. Exprimer le flux F en fonction de la réluctance du circuit magnétique, du nombre de spires  et  du courant  I.  En déduire   l'expression de  W  en fonction de la réluctance du circuit, du nombre de spires et du courant I.

10

10

10 1020

40

40

D'après la relation d'Hopkinson  ℜ=N I  avec  ℜ  la réluctance du circuit magnétique, F le flux dans le circuit magnétique, N le nombre de spires et I l'intensité du courant dans la bobine.

3. Donner la réluctance en fonction de la longueur x d'un entrefer.

La   longueur   de   la   fibre   moyenne   de   l'acier   est   la=2 .302. 35=130 mm   et   sa   section 

Sa=10 .30=300 mm2  soit une réluctance  ℜa=1

0.a

la

Sa

=1

4 .10−7 .1500130.10−3

300.10−6=230 kH−1

La réluctance de l'entrefer dépend de sa longueur :

  ℜe=10

xSe

=1

4 . 10−7

x

300.10−6=2,65 .109 .x (en H−1 et x en m)

La réluctance du circuit est égale à la somme de ces deux réluctances soit :

  ℜe=230.1032,65 .109. x (en H−1 et x en m)

4. Exprimer l'intensité F de la force de rappel en fonction de x ( F=dWdx

)

On remplace W par son expression dans  F=dWdx

 ce qui donne  F=ddx

12

N . I  et comme  =N Iℜ

 alors 

F=ddx

12

NN Iℜ

. I =12N . I 2

ddx

1ℜ  (le produit 

12N I 2  est constant)

En remplaçant  ℜ  par son expression :  F=12N . I 2 d

dx

1230.1032,65.109 . x

Dérivée de  230.1032,65.109 . x  : ddx

1

230.1032,65.109 . x=

−2,65.109 . x230.1032,65 .109 . x 2

D'où l'expression de la composante verticale de la force :  F v=−12N . I 2 2,65.109

230.1032,65.109 . x 2  soit une 

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 5/6 TS1 ET 2011­2012

intensité (module du vecteur) :  F=12N . I 2 2,65.109

230.1032,65.109 . x 2

5. Le ressort créé une force de rappel constante et égale à 5 N. Calculer la force magnétomotrice pour que l'armature soit attirée. La bobine étant constituée de 200 spires, calculer l'intensité du courant.

D'après l'équation précédente :  N . I 2=2. F .230.1032,65.109 . x 2

2,65.109  d'où l'expression de l'intensité :

I=1N 2. F .230.1032,65.109 . x 2

2,65.109

L'entrefer a une longueur égale à 2,5 mm :  I=1

200 2. 5 .230.1032,65.109 .2,5 .10−32

2,65.109 =2,1  A

6. L’armature est  maintenant  collée,  quelle  résistance  faut­il  placer en série  avec  la bobine pour  que  le courant suffise au maintien de l'armature lorsque l'alimentation est de 12 V.

La longueur d'entrefer est nulle :  I=1

200 2. 5 .230.1032,65.109 .0 2

2,65.109 =71 mA

Dans la question précédente, le courant a une intensité de 2,1 A pour une tension de 12 V soit une résistance 

de la bobine   Rb=122,1

=5,7 .  Si une résistance R est placée en série avec la bobine,  l'intensité  du 

courant   s'écrit   I=12

RRb  soit   R=

12I−Rb .   Pour   limiter   le   courant   à   71   mA,   il   faut 

R=12

71.10−3−5,7=163

Exercices sur les circuits magnétiques :Corrigé Page 6/6 TS1 ET 2011­2012