corrigé test chapitre 6.pdf

Corrig

34Groupe : D Date : Nom : Groupe : Date :

Nom :

Chapitre 6 : Test 22. Dans la figure ci-contre, les segments BE et CD sontparallles. Quelle est la mesure du segment ED ?Recherche de mesures manquantes

E 28 cm

TESTS Intersection1 6 cm 2 6,5 cmA 3 B C Bc

1. Un triangle ABC possde les caractristiques suivantes.3 7 cm 4 7,5 cm32 cm

m AC

2,1 cm

m AB

3,6 cm

40 cm

SN3. Soit le triangle rectangle ABC ci-contre. Parmi les relationssuivantes, dtermine laquelle est vraie.Relations mtriques dans le triangle rectangle

m

BAC

53

Pour chaque triangle dcrit ci-dessous, indique sil est ncessairement semblable au triangle ABC. Justifie ta rponse.

Conditions minimales de similitude de triangles

a) Un triangle MNO possdant les caractristiques suivantes.

Guide B1 n 3 h2 4 c2a 2 n a 4

m MN n2 (b

6,3 cm

m MO

10,8 cm

m ON

9,1 cm

a2 n) bA

h m b

a

Non, car il manque la mesure de langle NMO.

m c a m

D

n

C

b) Un triangle JKL possdant les caractristiques suivantes.

m JK

7 cm

4. On trace, dans le premier quadrant dun plan cartsien, un segment CD mesurant 26 units. Lescoordonnes du point C sont (1, 4) et les coordonnes du point D sont (s, 28). Quelle est la valeur de s ?Distance entre deux points

m JL

12 cm

m

KJL

53

Oui, car les deux triangles ont un angle isomtrique compris entre des cts homologues dont

En utilisant la formule d(C, D) = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 , on obtient : 26 = (s 1)2 + (28 4)2 676 = (s 1)2 + 576 100 = (s 1)2 On a donc : s 1 = 10 ou s 1 = 10 s = 11 ou s = 9 Ici, s = 9 est rejeter puisquon est dans le premier quadrant dun plan cartsien. La valeur de s est donc 11.

les mesures sont proportionnelles.

c) Un triangle GHI possdant les caractristiques suivantes.

m

GHI

53

m GH

4,2 cm

m HI

7,2 cm

Oui, car les deux triangles ont un angle isomtrique compris entre des cts homologues dont

les mesures sont proportionnelles.

d) Un triangle DEF possdant les caractristiques suivantes.

m

DEF

40

m

EDF

53

Non, car ces deux triangles nont quune paire dangles isomtriques.

Reproduction autorise Les ditions de la Chenelire inc.Intersection SN Guide B TESTS

Reproduction autorise Les ditions de la Chenelire inc.

21

22

TESTS Intersection

SN

Guide B


Nom : G E 20 cm 18 cm B G 2 cm F Affirmation D 60 cm Justification Une droite parallle celle qui supporte le ct dun triangle dtermine des triangles semblables (thorme de Thals). C 24 cm F

Groupe :

Date :

Nom :

Groupe :

Date :

5. Voici quatre paires de triangles.CE. Quelle est la mesure du segment GF ? 3 Les triangles DEH et FDG :Recherche de mesures manquantes

6. Dans la figure ci-contre, AG

Conditions minimales de similitude de triangles

1 Les triangles ABC et DEC :3,5 cm H 3 cm D C E

B

D

A

A

E

2 Les triangles RST et VUT :Em DB m DB 5 = = m DF m DB + 18 7 m DC 60 5 = = m DA 84 7

4 Les triangles DEF et EGF :

DBC DFA

R

Dans des triangles semblables, les cts homologues ont des mesures proportionnelles.

m DB = 45 cm DBE D Gm EB 20 5 = = m GF m GF 7

Reproduction autorise Les ditions de la Chenelire inc.DFG Une droite parallle celle qui supporte le ct dun triangle dtermine des triangles semblables (thorme de Thals). Fm DB 45 5 = = m DF 63 7

13 cm

S

5 cm

T

3 cm

7,8 cm m GF = 28 cm

U

Dans des triangles semblables, les cts homologues ont des mesures proportionnelles.

V

a) Indique la paire ou les paires qui sont constitues de triangles semblables.

La mesure du segment GF est de 28 cm. E

Les triangles ABC et DEC ( 1 ) ainsi que les triangles RST et VUT ( 2 ).

7. Dans la figure ci-contre, la mesure du segment DEest de 7 dm et celle du segment AD est de 24 dm. Quelle est la mesure du segment DB ?Relations mtriques dans le triangle rectangle

C

b) Pour chaque paire constitue de triangles semblables, indique la condition minimale de similitude de triangles qui est respecte.

La condition AA pour les triangles ABC et DEC ( 1 ) et la condition CAC pour les triangles RST

D

B

A On calcule lhypotnuse du triangle rectangle ADE laide de la relation de Pythagore : m AE = 242 + 72 = 25 Le segment AE mesure 25 dm. On calcule la mesure de DC dans le triangle rectangle ADE laide du thorme du produits des cathtes : m ED m AD = m AE 7 24 = 25 m DC = 6,72 Le segment DC mesure 6,72 dm. m DC m DC

Intersection3 5

et VUT ( 2 ).

c) Calcule le rapport de similitude lorsque cest possible.

SNIntersection SN

Pour les triangles RST et VUT ( 2 ), le rapport de similitude est 5 ou 3 . Pour les triangles ABC

et DEC ( 1 ), il est impossible de dterminer le rapport de similitude.

Guide B TESTS


Guide B TESTS

23

24

TESTS Intersection

SN

Guide B


Corrig

35

Corrig

36Groupe : Date : Nom : Groupe : Date :

Nom :

TESTS Intersection9. Les dimensions dun terrain de basketball rectangulaire ABCD sont 25 mB 60 cm C

On calcule la mesure du segment DB (qui est la projection de la cathte DC sur lhypotnuse DA dans le triangle DCA) laide du thorme de la cathte :

sur 60 m. Alexandra se dplace du point A la diagonale BD une vitesse 25 cm moyenne de 4,5 m/s. Son trajet est perpendiculaire la diagonale BD. En combien de secondes effectue-t-elle ce dplacement ?Relations mtriques dans le triangle rectangle

m DB = m DC m DC m DA

A

D

m DB = 6,72 6,72 24

B H m BD 65 D 25 cm A On calcule la mesure du segment BD laide de la relation de Pythagore dans le triangle DAB : E (m BD)2 = (m AD)2 + (m BA)2 (m BD)2 = 602 + 252 m BD = 65 Le segment BD mesure 65 m. F D 66 cm G AH m AH

60 cm C

On calcule la mesure du segment AH : AH = m AD 23,08 BA

SNt23,08 4,5

m DB = 1,881 6

Le segment DB mesure 1,881 6 dm.

Dans le triangle ADE, le segment DB mesure environ 1,88 dm.

Guide BOn calcule la mesure du segment FD : (m FD)2 = 54 66 m FD = 3564 m FD 59,70 Le segment FD mesure environ 59,70 cm. On calcule le primtre du triangle rectangle FDG : PFDG

Le segment AH mesure environ 23,08 m. On calcule le temps ncessaire Alexandra pour effectuer le dplacement : 5,13 Le temps ncessaire Alexandra pour effectuer ce dplacement est denviron 5 s.

8. Lhypotnuse FE du triangle rectangle EDF mesure 66 cm.

La hauteur issue du sommet D arrive sur lhypotnuse au point G de telle sorte que le segment GF est 4,5 fois plus long que le segment GE. Quelle est la diffrence entre le primtre du triangle FDG et celui du triangle EDG ? Justifie ta rponse. Hauteur relative lhypotnuse, relations

mtriques dans le triangle rectangle

10. Dans la figure ci-contre, le segment EG mesure 2,01 units.Le segment ED est parallle au segment GH. Quelle est la mesure du segment GH ?Recherche de mesures manquantes, distance entre deux points

y 15 12 9 6 3 H D(1, 3) 0 3 6 9 12 15 x E(7, 11) G F(13, 8)

Soit x, la mesure du segment GE, et 4,5x, la mesure du segment GF.

On calcule la mesure des segments GE et GF :

4,5x + x = 66

5,5x = 66

x = 12 54 + 25,46 + 59,70 139,16

Si x = 12, le segment GE mesure 12 cm et le segment GF mesure 54 cm. Le primtre du triangle FDG est denviron 139,16 cm. On calcule le primtre du triangle rectangle EDG : PEDG

On calcule la mesure du segment DG :

(m DG)2 = 12 54

On calcule la longueur des segments EF et ED en utilisant la formule de la distance entre deux points. On trouve que les segments EF et ED mesurent respectivement 6,71 et 10 units. Le segment FG mesure donc 4,70 units (6,71 2,01 = 4,70). Si les segments ED et GH sont parallles, les triangles FED et FGH sont alors semblables, car une droite parallle celle qui supporte le ct dun triangle dtermine des triangles semblables. Les cts homologues de ces triangles sont donc proportionnels. On calcule la mesure du segment GH :m FG m GH = m FE m ED 4,70 m GH = 6,71 10

m DG = 648 12 + 25,46 + 28,14 65,60

m DG Le primtre du triangle EDG est denviron 65,60 cm. On calcule la diffrence entre le primtre des deux triangles : PFDG EDG

25,46

Le segment DG mesure environ 25,46 cm.

On calcule la mesure du segment DE :

(m DE)2 = 12 66 P 139,16 65,60 73,56

m DE = 792

m DE

28,14

Le segment DE mesure environ 28,14 cm.

La diffrence entre le primtre du triangle FDG et celui du triangle EDG est denviron 73,56 cm.

m GH

7 Le segment GH mesure environ 7 units.



25

26

TESTS Intersection

SN

Guide B


Nom :

Groupe :

Date :

Nom :

Groupe :

Date :

11. Des acrobatiesProduction Validation

Communiquer laide du langage mathmatique (CD3)

On applique la relation de Pythagore dans le triangle ABD afin de dterminer la mesure du segment AB. Ce segment mesure environ 0,73 m. On applique la relation de Pythagore dans le triangle CAD afin de dterminer la mesure du segment AC. Ce segment mesure environ 1,64 m. Les triangles ACD et FCE sont semblables, car la condition minimale de similitude AA est respecte. En effet, ils ont chacun un angle droit et langle C est commun aux deux triangles. On tablit une proportion entre les cts homologues de ces deux triangles semblables :m AD m DC = m FE m EC 0,67 1,5 = m FE 0,75

Interprtation

chelle : A Trs satisfaisant

B Satisfaisant

C Partiellement satisfaisant

D Insatisfaisant

E Nettement insatisfaisant ou incomplet

Un metteur en scne qui prpare un spectacle de cirque dsire avoir un cadre de vlo en mtal fait sur mesure. Pour ce faire, il demande une soumission quelques soudeurs.

Le patron de lentreprise de soudure pour laquelle tu travailles temps partiel a reu le plan suivant du metteur en scne ainsi que ses exigences.C E D B

Le cadre ABC est un triangle rectangle en A.m FE 0,335 Le segment FE mesure environ 0,335 m.F

Le segment BC mesure 1,8 m.

tant donn que le vlo devra supporter 10 acrobates, il faut ajouter deux tiges de mtal (AD et FE) perpendiculaires au segment BC.A

Reproduction autorise Les ditions de la Chenelire inc.On applique la relation de Pythagore dans le triangle FCE afin de calculer la mesure du segment FC. Ce segment mesure environ 0,82 m. On calcule la longueur totale de tige mtallique ncessaire : 1,8 + 0,73 + 0,67 + 1,64 + 0,335 5,175 Il faut environ 5,175 m de tige mtallique. On calcule le cot de la tige mtallique : 5,175 21 108,68 Le cot de la tige mtallique est denviron 108,68 $. On calcule le cot des six soudures ncessaires (aux points A, B, C, D, E et F) : 6 60 = 360 Le cot des six soudures est de 360 $. On calcule le cot total de la soumission : Cot du dplacement + cot de la tige + cot des soudures Le cot total de la soumission est denviron 608,68 $. Voici la mesure de chacun des segments : m AC m FE m AB 1,64 m 0,335 m 0,73 m m DB = 0,3 m m AD m FC 0,67 m 0,82 m m BC = 1,8 m m EC = m ED = 0,75 mC E F D B

Le point E est situ au milieu du segment DC.2 5

La mesure du segment DB doit reprsenter les mesure du segment ED. de la

Ton patron te demande de prparer la soumission. Tu sais que le prix de chaque mtre de tige mtallique est de 21 $. Pour couvrir les frais de main-duvre et de matriaux, tu demandes aussi 60 $ par soudure. Puisque le travail sera ralis chez le client, tu dois ajouter 140 $ pour les frais de dplacement de lquipe de soudeurs.

La soumission que tu prpares pour le metteur en scne servira aussi de plan de travail pour les soudeurs qui effectueront le travail si ton entreprise est retenue. Prends donc soin dindiquer la longueur de tous les segments et arrondis ces mesures au centime de mtre prs. Rappelle-toi que tu ne seras pas sur les lieux lorsque tes collgues iront effectuer le travail.

On trouve la mesure des segments EC, ED et DB :

140 + 108,68 + 360

608,68

On pose m EC = x, m ED = x et m DB = 2 x : 5 2 x + x + 5 x = 1,8

2,4x = 1,8

IntersectionIntersection SN Guide B TESTS

x = 0,75

donc, m EC = m ED = 0,75 m et m DB = 2 0,75 = 0,3 m. 5 On trouve ensuite la mesure du segment AD (hauteur relative lhypotnuse dans le triangle ABC) :

SN

(m AD)2A

m AD

0,67

Le segment AD mesure environ 0,67 m.

Guide B TESTS


27

28

TESTS Intersection

SN

Guide B


Corrig

37

Corrig

38Groupe : Date : Nom : Groupe : Date :m AE m AC = m HF m HGConcepts et processus Dmonstration et preuve Communication

Nom :

12. Le rallye gourmand720 1 200 = m HF 150

Dployer un raisonnement mathmatique (CD2)

TESTS IntersectionC Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant E Nettement insatisfaisant ou incomplet

Analyse et conjecture

chelle : A Trs satisfaisant

B Satisfaisant

m HF = 90 m m EF = m AE m AH m HF m EF = 720 300 90 = 330 m Le quadrilatre BDEF est un paralllogramme, car il est form de deux paires de cts parallles. Le segment BD mesure donc 330 m. On calcule la distance que devra parcourir chaque quipe : Distance = m AB + m BD + m DE + m EF + m FG + m HG Distance = 650,4 + 330 + 468 + 330 + 108 + 150F H 300 m 720 m

SN864 m 468 m D C G B 150 m E

Depuis quelques annes, Camille organise un rallye gourmand pour la municipalit qui lemploie durant lt. Elle conoit sept kiosques de dgustation diffrents o les gens dcouvrent divers mets cuisins avec des produits locaux. Chaque quipe doit se dplacer pied pour se rendre dun kiosque lautre.

Guide BDistance = 2 036,4 Distance = m AC + m CE + m EF + m FH Distance = 1 200 + 864 + 330 + 90541,67 m

Chaque quipe devra parcourir 2 036,4 m cette anne. On calcule la distance que devait parcourir chaque quipe les annes prcdentes :

Camille a un plan du terrain sur lequel se droulera son rallye. Elle connat la mesure de quelques sentiers reliant les sites o ont lieu les dgustations. Les sentiers AC et HG, BD et FE ainsi que les sentiers CE et BF sont des paires de segments parallles. Huit sites sont disponibles sur le terrain pour organiser les dgustations. Les annes prcdentes, les dgustations ont eu lieu sur les sites A, B, C, D, E, F et H.Distance = 2 484A

Cette anne, Camille veut organiser une 1 200 m nouvelle dgustation sur le site G. Elle aimerait aussi liminer le site C pour ainsi obliger les quipes traverser le petit sous-bois qui spare les sites B et D. Le parcours serait donc A, B, D, E, F, G et H.

Chaque quipe devait parcourir 2 484 m les annes prcdentes. On calcule la diffrence entre la longueur du nouveau parcours et celle du parcours des annes prcdentes : 2 484 2 036,4 = 447,6 La diffrence est de 447,6 m. Le parcours propos par Camille mesure 447,6 m de moins que celui des annes prcdentes. Les membres du comit organisateur accepteront donc dapporter la modification propose par Camille.

Lorsquelle prsente son projet aux membres du comit organisateur, ces derniers lui disent quils sont prts effectuer la modification condition que le nouveau parcours mesure au moins 400 m de moins que celui des annes prcdentes. Le parcours sera-t-il modifi ? Justifie ta rponse.

Oui, le parcours sera modifi. En voici la justification.

On trouve la mesure des segments FG, HF et EF :

Puisque les segments AC et HG sont parallles, les angles FGH et EAC sont isomtriques. De plus, puisque les segments FB et EC sont parallles, les angles CEA et GFH sont isomtriques. Les triangles ACE et HGF sont donc semblables, car ils respectent la condition minimale de similitude AA, et leurs cts homologues sont proportionnels.

m EC m AC = m FG m HG

864 1 200 = m FG 150

m FG = 108 m



29

30

TESTS Intersection

SN

Guide B


Nom :

Groupe :

Date :

Nom :

Groupe :

Date :

13. On triple ? 14. Le jardin publicRsoudre une situation-problme (CD1)Communication Comprhension Solution Validation Communication Concepts et processus Dmonstration et preuve

Dployer un raisonnement mathmatique (CD2)

Analyse et conjecture

chelle : A Trs satisfaisant chelle : A Trs satisfaisant B Satisfaisant C Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant

B Satisfaisant

C Partiellement satisfaisant

D Insatisfaisant



A

Dans la figure ci-contre, le triangle ABC est quilatral et le triangle ACE est rectangle en C. Le segment AD est la hauteur du triangle ABC et les segments CD et DB sont isomtriques. Montre que la mesure du segment AD est le triple de celle du segment DE.C B G E D C A B

Alicia travaille lamnagement dun jardin public. Le terrain dont elle dispose pour cet amnagement a la forme dun rectangle comme lillustre le plan ci-dessous.

On doit prouver queF E

m AD = 3. m DE

Alicia dsire sparer ce terrain en six sections. Elle plantera une espce de fleur diffrente dans chacune de ces sections. Laire de la section reprsente par le triangle BGA est de 7,2 m2 et la mesure du segment BG est de 2,68 m. Le segment BC est quatre fois plus long que le segment AB.H D

Reproduction autorise Les ditions de la Chenelire inc.Justification Car le ABC est quilatral.* Les segments reprsentent le trottoir de bois

Soit x, la mesure du segment CD, et 2x, la mesure du segment CB.

Affirmation

Alicia dsire galement amnager un trottoir de bois* qui permettra aux visiteurs de se promener autour du jardin et dans celui-ci.

m AC = m CB = 2x

(m AC)2 = (m CD)2 + (m AD)2

Alicia estime que chaque mtre linaire de trottoir cotera 75 $. Pour ce qui est des fleurs, elle value quil lui faudra un budget de 2 000 $. Alicia fait appel tes services. Dtermine le cot total de lamnagement de ce terrain.

(2x)2 = (x)2 + (m AD)2 Par la relation de Pythagore

3x2 = (m AD)2

Soit x = m AB et 4x = m BC. Affirmation Justification

x 3 = m AD

m AD m CD = m CD m DE

m BG m AG = A ABG 2 2,68 m AG = 7,2 2

Car, dans ABG, BG est la base et AG, la hauteur. m AG 5,37 m m FG m BG = (m AG)2

3x = x x m DE x m DE = 3

Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative lhypotnuse est la moyenne proportionnelle des mesures des deux segments quelle dtermine sur lhypotnuse (thorme de la hauteur relative lhypotnuse). 3 Par substitution et simplification 3=3

m AD = m DE

IntersectionIntersection SN Guide B TESTS

x 3 x 3

= 3x

3 = x

m FG 2,68 m FG m FB

5,372 10,76 10,76 + 2,68 13,44 m

La mesure du segment AD est donc le triple de celle du segment DE.

Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative lhypotnuse est la moyenne proportionnelle des mesures des deux segments quelle dtermine sur lhypotnuse (thorme de la hauteur relative lhypotnuse).

SN31 32TESTS Intersection

Guide B TESTS


SN

Guide B


Corrig

39

Corrig

40Groupe : Date : Justification Par la relation de Pythagore dans le ABG. Par la relation de Pythagore dans le AFG. Par hypothse. Les cts opposs dun rectangle sont isomtriques. Par la relation de Pythagore dans le BDE. 24 m Dans un triangle rectangle, le produit des mesures des cathtes gale le produit des mesures de lhypotnuse et de la hauteur relative lhypotnuse (thorme du produit des cathtes). 152,5Intersection SN Guide B TESTS

Nom :

Affirmation

TESTS Intersection33

m AB

6m

m AF

12,03 m

m BC

4 m AB

4 6

24 m

SN

m CD = m BE = m AF

12,03 m

m FE = m AB

6 et m ED = m BC

m BD

26,85 m

m BC m CD = m BD m CH

Guide B

24 12,03

26,85 m CH

m CH

10,75 m

On trouve la longueur de trottoir ncessaire :

m AB + m BC + m CD + m DE + m EF + m AF + m AG + m BF + m EB + m BD + m CH

6 + 24 + 12,03 + 24 + 6 + 12,03 + 5,37 + 13,44 + 12,03 + 26,85 + 10,75

Il devra y avoir environ 152,5 m de trottoir.

On dtermine le cot de lamnagement du trottoir :

11 437,50

Le cot de lamnagement du trottoir est denviron 11 437,50 $.

On trouve le cot total de lamnagement du terrain :

11 437,50 + 2 000

13 437,50

Le cot total de lamnagement du terrain est denviron 13 437,50 $.



Documents

corrigé test chapitre 6.pdf