Resume du cours sur les suites.

1 Suites numeriques reelles et principe de recurrence

1.1 Les deux facons de definir une suite numerique reelle

Definition. On note n0 un entier naturel (en general n0 = 0 ou n0 = 1).Une suite numerique reelle est une application qui associe a tout entiernaturel n ≥ n0 un nombre reel qui est note un.Ce nombre est « le terme de la suite de rang n » et la suite est doncdefinie « a partir du rang n0 ».

On peut definir une suite de deux facons completement differentes :– Soit on a un moyen de calculer la valeur de un connaissant le rang n : la

suite est donc definie par une fonction f du rang et on note un = f(n) .Ex : un = 2n

– Soit on connaıt la valeur initiale de la suite un0et on sait calculer la

valeur de la suite au rang n + 1 connaissant sa valeur au rang n :un+1 = f(un) .Ex : u0 = 0 et un+1 = un + 2

Les deux exemples definissent la meme suite qui n’est autre que la suitedes entiers naturels multiples de 2 .Dans le premier cas la suite est definie par une fonction (sous-entendu :du rang) et dans le second, elle est definie par une formule de recurrence

On commence par une propriete utile pour compter le nombre de termesdans une somme.

Propriete. Soit a ≤ b deux entiers naturels. Le nombre d’entiers n com-pris entre a et b est egal a b− a + 1 .

Ex : entre les entiers 15 et 20 (bornes comprises) on a exactement 6entiers.

1.2 Le principe de recurrence

On considere une propriete qui depend d’un entier naturel n : pour chaquen , la propriete Pn est vraie ou fausse.

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Theoreme. Si les deux conditions suivantes sont reunies :– Pn0

est vraie– Pour tout n ≥ n0, si Pn est vraie , alors Pn+1 est vraieAlors on peut conclure que la propriete Pn est vraie pour tout n ≥ n0

On en deduit une formule pour la somme des entiers de 0 a n .

Propriete. Soit n un entier naturel et S = 0+ . . .+n la somme de tous

les entiers compris entre 0 et n. On a le resultat suivant : S =n(n + 1)

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On en deduit egalement une formule pour la somme des puissances d’unnombre reel .

Propriete. Soit n un entier naturel , q un nombre reel et S = 1 + q +. . .+qn la somme de toutes les puissances de q dont l’exposant est comprisentre 0 et n. On a le resultat suivant :

S =

1− qn+1

1− q=

qn+1 − 1

q − 1si q 6= 1

n + 1 si q = 1

2 Rappels de premiere : suites arithmetiques et suites

geometriques

2.1 Suites arithmetiques

Definition. Une suite (un) definie a partir du rang n0 est arithmetiquelorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = un + r ou lenombre r est une constante reelle appelee « raison » de la suite.

Remarque. Montrer qu’une suite est arithmetique revient donc a montrerque la difference un+1 − un est constante.

Calcul d’un terme en fonction de son rang.

Propriete. Etant donnee une suite arithmetique de raison r definie apartir du rang n0, pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme derang n par la formule suivante :

un = un0+ (n− n0) · r

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Remarque. On calcule la raison d’une suite arithmetique dont on connaıt

deux termes de rangs differents par la formule : r =un − un0

n− n0

Calcul de la somme de termes consecutifs.

Propriete. Etant donnee une suite arithmetique de raison r definie apartir du rang n0, on considere la somme de ses termes du rang n0 jusqu’aun rang n ≥ n0 . Cette somme est notee :

S = un0+ un0+1 + . . . + un

Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a laformule suivante :

S = N · un0+ un

2

Remarque. La somme est donc la moyenne du premier et du dernier termemultipliee par le nombre de termes.

2.2 Suites geometriques

Definition. Une suite (un) definie a partir du rang n0 est geometriquelorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = q · un ou le nombreq est une constante reelle appelee « raison » de la suite.

Remarque. Montrer qu’une suite qui ne s’annule pas est geometrique re-

vient donc a montrer que le quotientun+1

unest constant.

Calcul d’un terme en fonction de son rang.

Propriete. Etant donnee une suite geometrique de raison q definie apartir du rang n0, pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme derang n par la formule suivante :

un = un0· qn−n0

Calcul de la somme de termes consecutifs.

Propriete. Etant donnee une suite geometrique de raison q definie apartir du rang n0, on considere la somme de ses termes du rang n0 jusqu’aun rang n ≥ n0 . Cette somme est notee :

S = un0+ un0+1 + . . . + un

Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la

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formule suivante :

S =

un0

· 1− qN

1− qsi q 6= 1

un0·N si q = 1

3 Majoration et minoration d’une suite

Definition. Une suite (un)n≥n0est « majoree par le reel M » lorsque

pour tout n ≥ n0 , on a :un ≤ M

Remarque. Le reel M est alors appele un « majorant » de la suite. Deplus, lorsqu’une suite est majoree, elle a une infinite de majorants.

Definition. Une suite (un)n≥n0est « minoree par le reel m » lorsque

pour tout n ≥ n0 , on a :un ≥ m

Remarque. Le reel m est alors appele un « minorant » de la suite. Deplus, lorsqu’une suite est minoree, elle a une infinite de minorants.

Definition. Une suite (un)n≥n0est « bornee » lorsque elle est a la fois

majoree et minoree.

4 Variations

4.1 Generalites

Definition. Une suite est « croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on a :un ≤ un+1

.

Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas croissante, il faut montrerqu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on verifie un1

> un1+1.

Definition. Une suite est « decroissante » lorsque pour tout n ≥ n0 ona :

un ≥ un+1

.

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Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas decroissante, il faut mon-trer qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on verifie un1

< un1+1.

Definition. Une suite est « monotone » lorsqu’elle est croissante oudecroissante.

4.2 Methodes

Il y a principalement quatre methodes pour etudier les variations d’unesuite.

Etude du signe de la difference de deux termes consecutifs.

Dans tous les cas, on peut calculer la difference un+1 − un et etudier sonsigne.Si cette difference est toujouirs positive, la suite est croissante.Si cette difference est toujouirs negative, la suite est decroissante.

Comparaison du quotient de deux termes consecutifs et de 1.

Uniquement dans le cas ou on sait que tous les termes de la suite sont

strictement positifs, on peut calculer le quotientun+1

unet le comparer a

1.Si ce quotient est toujouirs plus grand que 1, la suite est croissante.Si ce quotient est toujouirs plus petit que 1 , la suite est decroissante.

Etude des variations d’une fonction. Uniquement dans le cas ou la suiteest definie comme une fonction du rang, c’est-a-dire ou l’on a un = f(n),on peut etudier les variations de f sur l’intervalle [0, +∞[ : les variationsde la suite sont identiques a celles de la fonction.

Raisonnement par recurrence. Pour montrer qu’une suite definie pourtout entier naturel est croissante, on peut proceder ainsi :

1. On verifie u0 ≤ u1

2. On suppose que pour un certain entier n, on a un ≤ un+1 et onmontre que cela implique necessairement un+1 ≤ un+2

3. On peut alors conclure que la suite est croissante.

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5 Limites

Dans cette section, tous les resultats enonces sont admis.

5.1 Definition des limites

Une suite peut avoir une limite egale a +∞ ou a −∞ ou a un reel l .Une suite peut egalement ne pas avoir de limite.

Limite infinie.

Definition. La suite (un) tend vers +∞ lorsque pour tout reel K il existeun rang n1 a partir duquel on a un > K.

Remarque. Il est equivalent de dire que les termes de la suite « sont plusgrands que tout reel a partir d’un certain rang ».

Definition. La suite (un) tend vers −∞ lorsque pour tout reel K il existeun rang n1 a partir duquel on a un < K.

Remarque. Il est equivalent de dire que les termes de la suite « sont pluspetits que tout reel a partir d’un certain rang ».

Limite reelle

Definition. La suite (un) tend vers 0 lorsque pour tout reel e > 0 ilexiste un rang n1 a partir duquel on a |un| < e.

Definition. La suite (un) tend vers le reel l lorsque pour tout reel e > 0il existe un rang n1 a partir duquel on a |un − l| < e.

Remarque. Il est equivalent de dire que la distance des termes de la suiteau reel l « est plus petite que tout reel strictement positif a partir d’uncertain rang ».

Convergence et divergence

Definition.Une suite est « convergente » lorsqu’elle admet une limite reelle.Une suite est « divergente » dans le cas contraire, c’est-a-dire lorsque– ou bien elle admet une limite egale a +∞ ou a −∞– ou bien elle n’admet pas de limite

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5.2 Limites et operations

Dans les tableaux qui suivent les nombres ` et `′ sont deux nombres reels.Lorsque le resultat est note ? ? ? , cela signifie qu’il est « indetermine », c’est-a-dire varie selon la nature des suites utilisees.

Somme de deux suites

Si lim un = ` ` ` +∞ −∞ +∞et lim vn = `′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞Alors lim un + vn = ` + `′ +∞ −∞ +∞ −∞ ? ? ?

Produit de deux suites

Si lim un = ` ` 6= 0 ±∞ 0

et lim vn = `′ ±∞ ±∞ ±∞Alors lim un · vn = ` · `′ ±∞ ±∞ ? ? ?

Lorsque le resultat est ±∞ , le signe est determine par la regle des signes.

Inverse d’une suite

Si lim un = ` 6= 0 ±∞ 0 0+ 0−

Alors lim1

un=

1

`0 ? ? ? +∞ −∞

Par definition lim un = 0+ signifie : lim un = 0 et la suite est strictementpositive a partir d’un certain rang.De meme, lim un = 0− signifie : lim un = 0 et la suite est strictementnegative a partir d’un certain rang.

Quotient de deux suites. On determine la limite deun

vn= un ·

1

vnpar

application successive des theoremes sur l’inverse d’une suite et sur leproduit de deux suites.

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Cas d’indetermination. C’est le plus important a memoriser :

∞−∞ 0 · ∞ 1

0

∞∞

0

0

5.3 Suite obtenue par composition d’une suite puis d’une fonc-tion

Propriete. On considere la suite vn = f(un) ou f designe une fonctionnumerique reelle. Si on connaıt lim un = α et si on connaıt lim

x→αf(x) = β

, alors on a : lim vn = β.

Remarque. Dans cet enonce, les symboles α et β designent un reel ou+∞ ou −∞.

5.4 Limites et relation d’ordre

Passage a la limite dans une inegalite.

Propriete. On considere deux suites (un) et (vn) toutes les deux conver-gentes respectivement vers les reels ` et `′. Si a partir d’un certain rang,on a : un ≤ vn , alors on a :

` ≤ `′

Remarque. On dit qu’on peut « passer a la limite » dans l’inegalite un ≤vn

Calcul d’une limite a partir d’inegalites. On ne peut pas appliquer lestheoremes sur les operations dans tous les cas, notamment lorsque l’unedes deux suites utilisees n’a pas de limite. Dans cette situation, lesresultats suivants sont souvent utiles.

Propriete. Si a partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim un =+∞, alors on a :

lim vn = +∞

Remarque. On dit aussi que si une suite est minoree par une suite quitend vers +∞ , alors elle tend elle-meme vers +∞.

Propriete. Si a partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim vn =−∞, alors on a :

lim un = −∞

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Remarque. On dit aussi que si une suite est majoree par une suite quitend vers −∞ , alors elle tend elle-meme vers −∞.

Propriete. Si a partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn ≤ wn et silim un = lim wn = ` ou ` est un reel, alors on a :

lim vn = `

Remarque. Ce resultat est appele « theoreme des gendarmes ». On ditaussi que si une suite est encadree par deux suites qui tendent vers lememe nombre reel, alors elle tend elle-meme vers ce reel.

6 Exemples de suites convergentes

6.1 Convergence de suites geometriques

Theoreme. Soit q un reel different de 0 et de 1. On a les resultatssuivants :

1. Si q > 1 , alors lim qn = +∞2. Si −1 < q < 1 , alors lim qn = 0

Remarque. On peut completer ces resultats par :• si q = 1 , la suite (qn) est constante et sa limite est 1• si q = 0 , la suite (qn) est constante a partier du rang 1 et sa limite est

0• si q ≤ −1 , la suite (qn) n’a pas de limite

6.2 Convergence monotone

Le resultat suivant qui est admis, est tres utile pour montrer qu’une suiteest convergente : il ne permet pas cependant de calculer cette limite.

Theoreme. Si une suite est croissante et majoree, alors elle est conver-gente. De meme, si une suite est decroissante et minoree, alors elle estconvergente.

6.3 Suites adjacentes

Definition. On considere deux suites (un) et (vn) definies a partir durang n0. Elles sont dites « adjacentes » lorsque :

1. (un) est croissante

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2. (vn) est decroissante

3. lim vn − un = 0

Theoreme. Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers lememe nombre reel.

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