Cours Calcul Integral

Le Calcul Intégralniveau maturité

Daniel Farquet

Eté 2008

Table des matières1 Introduction 2

2 Intégrale indéfinie 32.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Intégration par identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Intégration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Intégrale définie 103.1 Aire analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Déf. d’une fonction intégrable au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . 123.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.6 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.10 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.11 Intégrale fonction de ses bornes (facultatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.1 Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’un changement de variable . . . . 193.4.2 Intégration par partie d’une intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Intégrale généralisée 214.1 Intégrants singuliers sur des intervalles bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Intégrale d’une fonction continue et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Intégrale sur des intervalles fermés non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Applications 255.1 Aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Volume de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

1 Introduction 2

1 IntroductionCe document a pour but de présenter les fondements du calcul intégral. Il contient toutes les

connaissances requises pour la maturité concernant l’intégrale (et même un peu plus). Autantque possible les démonstrations seront proposées dans ce texte. Je pense en effet qu’il est trèsimportant de comprendre la démonstration d’un théorème afin de bien le maîtriser.

Ce polycopié diffère donc du livre officiel pour la maturité (CRM, [5]) par le fait qu’il contientles démonstrations des théorèmes proposés. De plus, afin que le lecteur puisse mieux saisir le sensde ce qu’il lit, de nombreux exemples sont fournis. Des remarques viennent également complé-ter les points importants. Ces choix sont avant tout pédagogiques car, selon moi, ils aiderontfortement à comprendre la matière traitée.

L’intégrale est trop souvent présentée comme étant «l’inverse» de la dérivée, vue un peusimpliste à mon goût. Ce genre d’affirmation est le résultat de théorèmes, d’où l’utilité de lesdémontrer.

La première partie traite de l’intégrale indéfinie, dont les concepts sont assez simples à saisir.La seconde porte sur l’intégrale définie, qui est la «grosse» partie du calcul intégral. Puis ons’intéressera aux intégrales généralisées et aux applications.

2 Intégrale indéfinie 3

2 Intégrale indéfinieCette section comprend une idée générale de ce qu’est l’intégrale ainsi que les moyens d’en

calculer. Elle permet une première approche en douceur.

2.1 Définitions et généralités2.1.1 Déf. d’une primitive

Soit f une fonction continue sur I ⊂ R. On appelle primitive de f , une fonction F dérivabletel que

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Exemple

f(x) = 2(x+ 1), I = R

F (x) = (x+ 1)2 G(x) = x2 + 2x

F et G sont deux primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique.

2.1.2 Primitives d’une fonction

Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives def sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante (on note parfois C ∈ R).

Démonstration. Montrons d’abord que si F est une primitve ⇒ F + C est une primitve.En effet,

(F (x) + C)′ = F ′(x) + C ′︸︷︷︸0

= f(x)

Montrons maintenant que si G est primitive ⇒ ∃C ∈ R t.q. G = F + C.

(G− F )′(x) = G′(x)− F ′(x) = f(x)− f(x) = 0

Si la dérivée de (G− F ) est nulle, on a que (G− F ) = C, C ∈ R. Donc G = F + C.

�

Exemple

Posons F : R→ R tel que F (x) = x2 et F ′(x) = f(x), on a donc clairement que f(x) = 2x.Mais en posant G : R→ R tel que G(x) = x2 + 3, on a aussi que G′(x) = 2x = f(x). Ainsi F etG sont deux primitives de f , de plus, elles ne diffèrent que d’une constante. En effet

(G− F )(x) = G(x)− F (x) = x2 + 3− x2 = 3.

2.1 Définitions et généralités 4

2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie

Soit f une fonction continue sur I ⊂ R. On appelle intégrale indéfinie de f l’ensemble detoutes les primitves de f.L’intégrale indéfinie de f se note : ∫

f(x)dx

où∫est le signe d’intégration, f(x) est l’intégrant et dx la notation différentielle. A noter : x est

la variable d’intégration.

Remarque : En utilisant 2.1.2 on peut écrire que∫f(x)dx︸︷︷︸

Intégrale indéfinie

= F (x) + C

où F est une primitive particulière et C ∈ R. Cette notation sera justifiée par la suite. On effectueune «somme».

2.1.4 Quelques propriétés

Soient f et g, deux fonctions continues.

1.∫f ′(x)dx = f(x) + C

2.(∫

f(x)dx)′

= f(x)

3.∫

(f(x) + g(x))dx =∫f(x)dx+

∫g(x)dx,

4.∫

(λf(x))dx = λ

∫f(x)dx, ∀λ ∈ R

Remarque : Les propriétés 3 et 4 sont appelées linéarité de l’intégrale.

Démonstration.1. f étant la primitve de f ′, le résultats est direct.

2.∫f(x)dx = F (x) + C où F est une primitive de f

ainsi, (∫f(x)dx)′ = (F (x) + C)′ = F ′(x)︸︷︷︸

f(x)

+ C ′︸︷︷︸0

= f(x)

3. Soient F et G des primitives de f et g respectivement :F ′(x) = f(x) G′(x) = g(x)

Alors (F (x)+G(x)+C)′ = f(x)+g(x) donc∫

(f(x)+g(x))dx =∫

(F (x)+G(x)+C)′dx(2)=

F (x) +G(x) + C =∫f(x)dx+

∫g(x)dx

2.2 Recherche de primitives 5

4. Soit F une primitive de f et λ ∈ R quelconque :F ′(x) = f(x)

Alors (λF (x))′ = λf(x) donc∫

(λf(x))dx =∫

(λF (x))′dx(2)= λF (x) + C1 = λ(F (x) +

C2) = λ

∫f(x)dx

�

2.2 Recherche de primitivesMaintenant que nous avons une idée un peu plus précise de ce qu’est une intégrale, ainsi que

de certaines de ses propriétés, nous allons nous attacher au calcul de celles-ci. Plusieurs méthodessont présentées dans ce qui suit.

2.2.1 Intégration par identification

On regarde si l’on reconnait l’intégrant comme la dérivée d’une fonction (ou fonction compo-sée) connue.

– si f(x) = F ′(x), alors on a directement∫f(x)dx = F (x) + C

– si f(x) = H ′(u(x))︸︷︷︸dérivée p.r. à u

u′(x), alors on a∫f(x)dx = H(u(x)) + C.

En effet,∫f(x)dx =

∫H ′(u(x))u′(x)dx =

∫(H(u(x)))′dx = H(u(x)) + C

Exemples

1.∫

cosx dx =?

Comme nous savons que sin′ x = cosx, on a :∫cosx dx =

∫sin′ x dx = sinx+ C, C ∈ R

2.∫x(ax2 + b)ndx =? a, b ∈ R fixés, n ∈ N fixé.

En faisant apparaître la dérivée de (ax2 + b) dans l’expression, nous serons dans le cas oùil y a une dérivée de fonction composée, et le tour est joué !∫

x(ax2 + b)ndx =12a

∫2ax(ax2 + b)ndx =

12a(n+ 1)

(ax2 + b)n+1 + C, C ∈ R

Le dernier passage se fait en «voyant» le résultat.

Remarques :– Tout d’abord ne pas se décourager quand vous voyez écrit des choses comme «On voit que»,

en «remarquant» ou en «voyant». Il est difficile au début de voir les dérivées de fonctionscomposées à l’avance et de bien anticiper la méthode à utiliser. . . Ce sont des réflexes quiviennent très rapidement, avec un minimum d’entraînement sous forme d’exercices.


– La variable x d’intégration est dite muette : si on remplaçait le x par t, par exemple, celane changerait rien au calcul :

∫cosx dx = sinx et

∫cos t dt = sin t

– Je suis conscient que les exemples traités ne sont pas forcément simples. Toutefois je suisconvaincu que comprendre un exemple difficile aide fortement à faire des exercices de tousniveaux !

2.2.2 Intégration par parties

Rappel : dérivée d’un produit de fonctions u(x)v(x) : (uv)′ = u′v + uv′

En intégrant,

∫(u(x)v(x))′dx =

∫u′(x)v(x)dx+

∫u(x)v(x)dx

u(x)v(x) =∫u′(x)v(x)dx+

∫u(x)v(x)dx∫

u′(x)v(x)dx = u(x)v(x)−∫u(x)v′(x)dx

Ou, par abus de notation : ∫u′vdx = uv −

∫uv′dx

L’idée est de choisir les fonctions u′ et v formant l’intégrant telles que u′ et uv′ soient plus facilesà intégrer. Le plus simple pour comprendre reste l’exemple.

Exemples

1.∫x sin 2x dx =?

En posant

u′ = sin 2x → u = −12

cos 2x

v = x → v′ = 1

on obtient que∫x︸︷︷︸v

sin 2x︸︷︷︸u′

dx = x︸︷︷︸v

·(−1

2

)cos 2x︸︷︷︸u

−∫− 1

2cos 2x︸︷︷︸u

1︸︷︷︸v′

dx

= −x2

cos 2x+12

∫cos 2x dx

= −x2

cos 2x+14

sin 2x+ C, C ∈ R

Remarque : La primitve de u′ est à choisir, à une constante arbitraire près, selon ce quinous arrange. Dans ce cas C = 0, comme c’est d’ailleurs presque toujours le cas.


2. I =∫ex sinx dx =?

Une des propriétés de la fonction ex est que, si on la dérive, cela change rien : (ex)′ = ex.Donc posons :

u′ = ex → u = ex

v = sinx → v′ = cosx

Ainsi, on a :

I = ex sinx−∫ex cosx dx

Re-intégrons une fois par partie :

u′ = ex → u = ex

v = cosx → v′ = − sinx

Cette fois, on obtient :

I = ex sinx−[ex cosx+

∫exsinx dx︸︷︷︸

I+C

]

Il nous suffit donc d’isoler I pour avoir le résultat voulu :

2I = ex(sinx− cosx)− C1, C1 ∈ R

I =12ex(sinx− cosx) + C, C ∈ R

2.2.3 Intégration par changement de variable

On peut considérer x comme une fonction d’une variable t : x = ϕ(t). Le changement devariable peut rendre l’intégrant plus facilement intégrable. La difficulté réside dans le choix dela fonction ϕ(t).

Remarque(importante) : Le changement de variable doit impérativement être inversible, ϕdoit être bijective, t = ϕ−1(x).

Posons x = ϕ(t) pour calculer∫f(x)dx, où ϕ est bijective. On obtient clairement que f(x) =

f(ϕ(t)). Sans en donner la démonstration, on a :

dx = ϕ′(t)dt

Donc l’intégrale devient : ∫f(x)dx =

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt


Soit H(t) une primitive de f(ϕ(t))ϕ′(t), alors, comme t = ϕ−1(x) car ϕ est bijective :∫f(x)dx = H(t) + C = H(ϕ−1(x)) + C

Exemples

1.∫

x√1 + x

dx =?, x ∈]0,∞[

Posons t =√

1 + x ∈]0,∞[. Ceci définit une bijection entre x et t, x = ϕ(t) = t2 − 1.Comme dx = 2t dt :∫

x√1 + x

dx =∫t2 − 1t

2t dt = 2∫

(t2−1)dt = 2[t3

3−t]+C =

2t3

(t2−3)+C =2√

1 + x

3(x−2)

2.∫x3√

1− x2 dx =?, x ∈ [−1, 1]

Posons x = sin t, t ∈[− π

2 ,π2

], ainsi on obtient :

t = arcsinx dx = cos t dt√

1− sin2 t = | cos t| = cos t, car cos t > 0, ∀t ∈[− π

2 ,π2

]En n’oubliant pas que sin2 t+ cos2 t = 1, ∀t ∈ R :∫

x3√

1− x2 dx =∫

sin3 t cos t cos t dt

=∫

sin3 t cos2 t dt

=∫

sin t (1− cos2 t)︸︷︷︸sin2 t

cos2 t dt

=∫

sin t(cos2 t− cos4 t)dt

=∫

sin t cos2 t dt−∫

sin t cos4 t dt

= −13

cos3 t+15

cos5 t+ C

= −13

(√

1− x2)3 +15

(√

1− x2)5 + C, C ∈ R

Quelques changements de variable usuels

Posons tout d’abord R(x1, . . . , xn) = P (x1,...,xn)Q(x1,...,xn) , où P (x1, . . . , xn) et Q(x1, . . . , xn) sont deux

polynômes. Lorsque f est de la forme de R(x1, . . . , xn), certains changements peuvent s’avérerutile.Les changements de variable donnés ici sont des changements possibles, mais non obligatoire.Avant de faire un changement «compliqué», vérifiez toujours s’il n’y en a pas un qui est évident !

– f(x) = R(sinx, cosx, tanx, cotx)Changement de variable recommandé : x = ϕ(t) = 2 arctan t⇐⇒ t = tan

x

2, et −π < x < π


On obtient : dx =2

1 + t2dt

Et la trigonométrie nous donne : sinx =2t

1 + t2et cosx =

1− t2

1 + t2.

– f(x) = R(x,√α2 − β2x2)

Changement de variable recommandé : x =α

βsin t ou x =

α

βcos t

Ne pas oublier que sin2 x+ cos2 x = 1, ∀x ∈ R.– f(x) = R(x, x

1k1 , . . . , x

1kn )

Changement de variable recommandé : x = tk avec k = ppmc[k1, . . . , kn]– etc. . .

Remarque : Bien d’autres changements de variable peuvent être considérés, en particulier ceuxutilisant les fonctions hyperboliques. Ceux-ci peuvent s’avérer très utiles. Ces fonctions n’étantpas supposées connues, il me semble inutile de les citer ici.

Exemple∫1

sin2 xdx =?

Posons t = tanx

2, on retrouve sinx =

2t1 + t2

et dx =2

1 + t2dt

Il nous suffit de substituer tout ceci dans l’intégrale et de la calculer, ce qui donne :∫1

sin2 xdx =

∫(1 + t2)2

4t22

1 + t2dt

=∫

1 + t2

2t2dt

=12

∫ ( 1t2

+ 1)dt

=12

(− 1t

+ t)

=12

(tan

x

2− 1

tan x2

)

2.2.4 Intégration des fonctions rationnelles

Les fonctions du type f(x) = P (x)Q(x) peuvent être intégrées de manière efficace, mais parfois fas-

tidieuse, grâce à une décomposition dite en éléments simples. Une fois la fonction «décomposée»,il suffit d’intégrer les éléments simples.

Cette méthode est, à mes yeux, pas très difficile à comprendre, mais malheureusement trèslourde au niveau calculatoire. Ainsi, je ne souhaite pas en faire un exposé ici. Le lecteur motivéest conseillé de se référer à [2] afin d’avoir une explication détaillée ainsi que des exemples.

3 Intégrale définie 10

3 Intégrale définieCette section concernant l’intégrale définie comporte une grande partie théorique, permettant

de montrer énormément de résultats concernant l’intégrale.

3.1 Aire analytiqueSoit f une fonction de I dans R, a et b deux points de l’intervalle I, tels que a < b. On cherche

à définir le symbole∫ baf(t)dt pour que ce nombre représente l’aire comprise entre le graphe de

f , l’axe Ox, et les droites verticales x = a et x = b.

Figure 1 – L’aire en jaune représente le nombre∫ baf(t)dt 1

Pour répondre à certaines propriétés (propriétés de mesures) il nous faut rajouter plusieursconditions. Une de ces conditions nous indique que l’aire se trouvant en dessous de l’axe Ox doitêtre comptée négativement :

Figure 2 – Aire analytique de f entre a et b 2

L’aire analytique est positive (respectivement négative) sur les parties du domaine où f(t)est positive (resp. négative).

∫ baf(t)dt doit donc représenter l’aire analytique de f(t) entre les

deux points a et b. Pour y arriver nous allons :

1. Source : http ://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/integration/2. Source : ibid.

3.2 Somme de Riemann 11

– Diviser l’intervalle [a, b]– Encadrer la fonction par une constante, sur chaque intervalle. (f doit donc être bornée).– Additionner les aires correspondantes

3.2 Somme de RiemannDivisons l’intervalle [a, b] en N intervalles [xk−1, xk], k = 1, . . . , N avec x0 = a et xn =

b. Choisissons de plus ck ∈ [xk−1, xk] dans chaque intervalle. La constante nous permettantd’«encadrer» la fonction sera donnée par f(ck).L’aire analytique Ak d’un rectangle est donc : Ak = f(ck)(xk − xk−1)

Figure 3 – Somme de Riemann de f entre a et b. Hachuré : aire analytique d’un rectangle 3

Posons ∆xk = xk − xk−1 et :

Sn =N∑k=1

f(ck)∆xk

Sn est appelée la somme de Riemann de f sur [a,b]. C’est une approximation de l’aire analytiquecherchée, la somme des aires positives (bleu) et négatives (jaune) de la figure 3. Sn dépend dudécoupage en N intervalles et du choix des ck. Plus les ∆xk sont petits, plus l’approximation estbonne.

3. Source : http ://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/integration/

3.3 Intégrale de Riemann 12

3.3 Intégrale de Riemann3.3.1 Déf. d’une fonction intégrable au sens de Riemann

Si pour N → ∞ chaque ∆xk → 0 et si limN→∞ Sn existe ( 6= ±∞) et est indépendante dudécoupage et du choix des ck alors on dit que f est intégrable au sens de Riemann sur [a,b].

La limite limN→∞ Sn est appelée intégrale définie de f sur [a, b]. On la note∫ baf(t)dt :

limN→∞

Sn = limN→∞

N∑k=1

f(ck)∆xk =∫ b

a

f(t)dt

Ainsi∫ baf(t)dt est l’aire analytique du domaine délimité par le graphe de f , l’axe Ox et les

droites x = a et x = b. C’est bien ce que nous voulions ! !

Remarques :– Dorénavant on parlera de fonctions intégrables, sans préciser au sens de Riemann.– On pourrait maintenant se demander quel est le rapport entre une aire et la dérivée. Ceci

est le résultat d’un théorème.

3.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable

Toute fonction continue et définie sur l’intervalle [a, b] est intégrable.

Démonstration. Il n’est pas possible de fournir une démonstration ici. Elle repose entre autresur le fait que, quel que soit le découpage et, quel que soit le ck choisi, f(ck) existe car ck ∈ [a, b]et f est définie sur [a, b].

�

3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie

– Si c ∈ [a, b], on a∫ b

a

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt+∫ b

c

f(t)dt avec pour convention :∫ c

c

f(t)dt = 0 et∫ a

c

f(t)dt = −∫ c

a

f(t)dt.

– Comme dit plus haut, l’intégration est linéaire.∫ b

a

αf(t)dt = α

∫ b

a

f(t)dt et∫ b

a

(f(t) +

g(t))dt =∫ b

a

f(t)dt+∫ b

a

g(t)dt si f et g sont continues sur [a, b].

– m(b− a) ≤∫ b

a

f(t)ft ≤M(b− a) si m = minx∈[a,b]

f(x) et M = maxx∈[a,b]

f(x).

3.3.4 Théorème de la moyenne

Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Alors il existec ∈ [a, b] tel que ∫ b

a

f(t)dt = f(c)(b− a).


Démonstration. f étant continue sur [a, b], les deux nombres m = minx∈[a,b] f(x) et M =maxx∈[a,b] f(x) existent. En utilisant une des propriétés données en 3.3.3 :

m(b− a) ≤∫ b

a

f(t)ft ≤M(b− a)

ou encore

m ≤∫ baf(t)dtb− a

≤M.

La fonction f étant continue sur [a, b], elle prend toute valeur comprise entre m et M (Théorèmede la valeur intermédiaire, voir [1],[2] ou [5]). Ce qui revient à dire qu’il existe un nombre c ∈ [a, b]tel que

f(c) =

∫ baf(t)dtb− a

D’où le résultat.

�

Exemple

Soit f : R→ R tel que f(x) = x, et posons a = 0 et b = 2. Comme nous avons défini∫ 2

0f(t)dt

comme étant l’aire du domaine compris entre le graphe de f , l’axe Ox et les droites verticalesx = 0 et x = 2, et que nous savons que cette aire est celle d’un triangle de base 2 et de hauteur2, on a que ∫ 2

0

f(x)dx =∫ 2

0

x dx =2 · 2

2= 2.

De plus, nous savons également que 1 ∈ [0, 1] et que f(1) = 1. Ainsi, ∃ c = 1 ∈ [0, 1] tel que

f(c)(b− a) = f(1)(2− 0) = 1 · 2 = 2 =∫ 2

0

x dx =∫ b

a

f(x)dx.

3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle

Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b].Alors nous dirons qu’une fonction continue F : [a, b]→ R est une primitive de la fonction f sur[a, b] si ∀x ∈]a, b[ :

F ′(x) = f(x)

3.3.6 Lemme

Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Alors la fonctionF : [a, b]→ R définie par

F (x) =∫ x

a

f(t)dt

est une primitive de la fonction f sur [a, b].


Démonstration. Tout d’abord, montrons que pour tout x ∈]a, b[ : F ′(x) = f(x). Pour cela,fixons-nous arbitrairement un élément x0 de ]a, b[. Par le théorème de la moyenne, il existec = c(x) dans l’intervalle d’extrémité x0 et x tel que

∫ xx0f(t)dt = f(c(x))(x− x0). Ainsi :

F (x)− F (x0) =∫ x

a

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt

= −∫ a

x

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt

= −∫ x0

x

f(t)dt

=∫ x

x0

f(t)dt

= f(c(x))(x− x0)

ce qui implique queF (x)− F (x0)

x− x0= f(c(x)).

Comme c(x) se trouve entre x0 et x, on a que limx→x0 c(x) = x0. De plus, f étant continue enx0, limx→x0 f(x) = f(x0), et par définition de la dérivée, il vient :

F ′(x0) = limx→x0

F (x)− F (x0)x− x0

= limx→x0

f(c(x)) = f(x0)

x0 étant un élément aribitraire de [a, b], on a donc que F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].Il nous reste à montrer que F est continue à droite en a et à gauche en b. En prenant x0 = a eten utilisant de nouveau le théorème de la moyenne, il existe d(x) ∈ [a, x], x > a tel que :

F (x)− F (a) =∫ x

a

f(t)dt = f(d(x))(x− a)

En utilisant le même argument que ci-dessus, on retrouve :

limx→a+

f(d(x)) = f(a) et comme de plus limx→a+

(x− a) = 0

Il est clair quelimx→a+

(F (x)− F (a)) = limx→a+

f(d(x))︸︷︷︸→f(a)

(x− a)︸︷︷︸→0

= 0

Donclimx→a+

F (x) = limx→a+

F (a) = F (a)

En d’autres mots, F est continue à droite en a.De même pour b, en simplifiant un peu la démarche, et en utilisant le même argument qu’avanton a

limx→b−

F (x) = limx→b−

F (b)−∫ b

x

f(t)dt︸︷︷︸→0

= F (b)

Ainsi, F est continue à gauche en b.

�


Remarque : La primitive d’une fonction étant bien définie, définition 3.3.5, ce théorème nousdonne de manière formelle un moyen de calculer la primitive d’une fonction. C’est la justificationqui était attendue à la section 2.1.3. Mais alors, comment fait-on pour calculer une intégrale avecdes bornes ?

3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral

Soit f : [a, b]→ R continue avec a < b et soit F : [a, b]→ R une primitve de f sur [a, b]. Alorson a ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

Démonstration. Par le lemme 3.3.6, on sait que G(x) =∫ xaf(t)dt est une primitive de f .

Mais comme F est également une primitive de f , on sait (2.1.2) que ∃C ∈ R tel que F (x) =G(x) + C, ∀x ∈ [a, b]. Mais comme (3.3.3)

G(a) =∫ a

a

f(t)dt = 0

on aF (a) = G(a)︸︷︷︸

0

+C = C.

Et doncF (x) = G(x) + F (a).

Ainsi, on obtient que∫ b

a

f(t)dt = G(b) = G(b)−G(a)︸︷︷︸0

= (G(b) + F (a))︸︷︷︸F (b)

− (G(a) + F (a))︸︷︷︸F (a)

= F (b)− F (a)

�

3.3.8 Notation

Nous utiliserons très souvent la notation suivante :

f(b)− f(a) = f(x)∣∣∣ba.

Remarque : Soit F une primitive de f sur [a, b]. On aurait donc pu écrire∫ b

a

f(x)dx = F (x)∣∣∣ba.

Cette notation est très utilisée pour améliorer la lisibilité des calculs.


Exemples

1. On se propose de vérifier le résultat 3.3.6 par un exemple.

Soit f : R → R définie par f(x) = cosx. Soit A la fonction définie par A(x) =∫ x

0

f(t)dt.

Grâce au théorème fondamental du calcul intégral (3.3.7), nous pouvons calculer explicite-ment A :

A(x) =∫ x

0

f(t)dt =∫ x

0

cos t dt = sin t∣∣∣x0

= sinx− sin 0︸︷︷︸0

= sinx.

Le lemme 3.3.6 affirme que A est une primitive de f , et effectivement :

A′(x) = (sinx)′ = cosx = f(x).

2. Pour calculer une intégrale avec des bornes il suffit de s’appuyer sur le théorème 3.3.7.

Soit I =∫ π

0

2 sin2 x dx. En sachant que

sin2 x =1− cos 2x

2, ∀x ∈ R.

On calcule que

I =∫ π

0

2 sin2 x dx

= 2∫ π

0

1− cos 2x2

dx

=∫ π

0

1 dx+∫ π

0

cos 2x dx

= x∣∣∣π0− 1

2sin 2x

∣∣∣π0

= (π − 0)−( 1

2sin 2π︸︷︷︸

0

− 12

sin 0︸︷︷︸0

)= π

3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction positive

Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b] telle que ∀x ∈[a, b], on ait : f(x) ≥ 0. Alors,

∀c ∈ [a, b] :∫ c

a

f(t)dt ≥ 0.

Démonstration. Considérons la primitive F : [a, b]→ R définie par (3.3.6)

F (x) =∫ x

a

f(t)dt.

Ainsi, pour tout x ∈ ]a, b[ :F ′(x) = f(x) ≥ 0 ,


ce qui implique que la fonction F est croissante sur [a, b] (car sa dérivée est toujours positive).Donc pour tout c ∈ [a, b] :

0 = F (a) ≤ F (c) =∫ c

a

f(t)dt.

�

Exemple

La fonction sinus étant positive pour des valeurs comprises entre 0 et π, nous pouvons affirmer

que la fonction f définie par f(x) = sin3 x l’est aussi. Ainsi, selon le théorème 3.3.9,∫ π

2

0

sin3 x dx

est positive ; c’est ce que nous allons montrer.Comme sin2 x+ cos2 x = 1, alors sin2 x = 1− cos2 x. En substituant, on a∫ π

2

0

sin3 x dx =∫ π

2

o

(1− cosx) sinx dx.

Il nous suffit de calculer les deux intégrales qui en découlent :∫ π2

0

sin3 x dx =∫ π

2

0

sinx dx−∫ π

2

0

sinx cos2 x dx

La première donne : ∫ π2

0

sinx dx = − cosx∣∣∣π20

= − cosπ

2︸︷︷︸0

+ cos 0︸︷︷︸1

= 1.

La deuxième est également facile :∫ π2

0

sinx cos2 x dx = −13

cos3 x∣∣∣π20

= −13

cos3π

2+

13

cos 0 =13.

Finalement ∫ π2

0

sin3 x dx = 1− 13

=23

3.3.10 Corollaire

Soit a < b deux nombres réels et f, g : [a, b]→ R deux fonctions continues telles que ∀x ∈ [a, b],on ait : f(x) ≤ g(x). Alors, ∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

g(t)dt.


Démonstration. Soit h : [a, b] → R définie par h(x) = g(x) − f(x). On a clairement que∀x ∈ [a, b] : h(x) ≥ 0. Ainsi en utilisant le résultat du paragraphe 3.3.9 et la linéarité del’intégrale, on peut écrire

0 ≤∫ b

a

h(t)dt =∫ b

a

(g − f)(t)dt =∫ b

a

g(t)dt−∫ b

a

f(t)dt.

Ce qui implique ∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

g(t)dt.

�

3.3.11 Intégrale fonction de ses bornes (facultatif)

Soit a < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [a, b]. Soit I unintervalle ouvert de R et g, h : I → [a, b] deux fonctions différentiables sur I. Alors, la fonctionK : I → R définie par

K(x) =∫ g(x)

h(x)

f(t)dt

est différentiable sur I. De plus, ∀x ∈ I, on a :

K ′(x) = f(g(x))g′(x)− f(h(x))h′(x).

Démonstration. Si F : [a, b]→ R est une primitive de f , alors (3.3.7)

K(x) = F (g(x))− F (h(x))

Ainsi, par les règles de dérivation

K ′(x) = F ′(g(x))g′(x)− F ′(h(x))h′(x) = f(g(x))g′(x)− f(h(x))h′(x).

�

Exemple

Soit f définie par f(x) =∫ x2

x

1(t2 + 1)3

dt. Nous voulons simplement calculer la dérivée def .

Par le théorème que nous venons de voir, on trouve immédiatement que

f ′(x) =1

((x2)2 + 1)3(x2)′ − 1

(x2 + 1)3(x)′ =

2x(x4 + 1)3

− 1(x2 + 1)3

Remarque : Afin d’éviter les confusions, lorsqu’une intégrale est fonction de ses bornes, onn’utilisera pas la même variable pour les bornes et pour l’intégrant. Par exemple, on n’écrit pasK(x) =

∫ x2

xcosx dx, mais K(x) =

∫ x2

xcos t dt.

3.4 Techniques de calcul 19

3.4 Techniques de calculLes techniques de calcul des intégrales avec bornes sont les mêmes que celles qui ont été

données dans la section 2.2. La seule différence réside dans le fait qu’il faut traiter les bornes.

3.4.1 Calcul d’une intégrale définie à l’aide d’un changement de variable

Soit f une fonction définie et continue sur [a, b], nous cherchons à calculer∫ baf(x)dx par un

changement de variable. Ce qui a été mentionné au point 2.2.3 reste valable ; changeons donc lesbornes. Sans en donner la démonstration, on obtient alors :Si x = ϕ(t) où ϕ est une bijection, alors dx = ϕ′(t)dt et on a

∫ b

a

f(x)dx =∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt

Exemple

I =∫ 4

0

√x

1 + xdx =?

Comme il était proposé au point 2.2.3, posons x = ϕ(t) = t2, ainsi t = ϕ−1(x) =√x. Ce

changement étant bijectif sur l’intervalle [1, 4], nous pouvons utiliser les formules de changementde variable. De plus dx = 2t dt, ainsi :

I =∫ 4

0

√x

1 + xdx

=∫ ϕ−1(4)

ϕ−1(0)

t

1 + t2· 2t dt

= 2∫ √4

√0

t2

1 + t2dt

(technique utile) = 2∫ 2

0

1 + t2 − 11 + t2

dt

= 2∫ 2

0

(1 + t2

1 + t2− 1

1 + t2

)dt

(linéarité de l’intégrale) = 2∫ 2

0

1 dt− 2∫ 2

1

11 + t2

dt((arctan t)′ =

11 + t2

)= 2t

∣∣∣20− 2 arctan t

∣∣∣20

= 4− 0− 2 arctan 2 + 2 arctan 0︸︷︷︸0

= 2(2− arctan 2)

3.4 Techniques de calcul 20

3.4.2 Intégration par partie d’une intégrale définie

Soient u, v : [a, b]→ R, deux fonction différentiables. Alors,en recopiant simplement la justi-fication donnée au point 2.2.2, et en y rajoutant les bornes, on trouve∫ b

a

u′(x)v(x)dx = u(x)v(x)∣∣∣ba−∫ b

a

u(x)v′(x)dx

Exemple

1.∫ 1

0

arctanx dx =?

En posant :

u′ = 1 → u = x

v = arctanx → v′ =1

1 + x2

On obtient : ∫ 1

0

arctanx dx = x arctanx∣∣∣10−∫ 1

0

x

1 + x2dx.

Mais comme nous savons que (lnx)′ =1x

nous pouvons intégrer le deuxième terme, ce quidonne :∫ 1

0

arctanx dx = 1 · arctan 1︸︷︷︸π4

−0 · arctan 0− ln 1 + x2

2

∣∣∣∣10

=π

4− ln 2

2+

12

ln 1︸︷︷︸0

=π

4− ln 2

2.

2.∫ π

2

0

x2 sinx dx =?

Posons :

u′ = sinx → u = − cosxv = x2 → v′ = 2x

Ainsi, on a :∫ π2

0

x2 sinx dx = −x2 cosx∣∣∣π20︸︷︷︸

0

−∫ π

2

0

2x(− cosx) dx =∫ π

2

0

2x cosx dx

On intègre une nouvelle fois par partie :

u′ = cosx → u = sinxv = 2x → v′ = 2

4 Intégrale généralisée 21

Ce qui donne :∫ π2

0

x2 sinx dx =∫ π

2

0

2x cosx dx = 2x sinx∣∣∣π20︸︷︷︸

π

−∫ π

2

0

2 sinx dx = π−(−2 cosx

∣∣∣π20

)︸︷︷︸

2

= π−2.

4 Intégrale généralisée

4.1 Intégrants singuliers sur des intervalles bornésSoit f : [a, b[→ R une fonction continue sur l’intervalle [a, b[ , où a < b, mais non continue ou

non définie en b. Si x ∈ [a, b[, on peut calculer :

F (x) =∫ x

a

f(t)dt.

Si, de plus, limx→b− F (x) existe, on dit que∫ baf(t)dt existe (ou converge) et on pose par définition∫ b

a

f(t)dt = limx→b−

∫ x

a

f(t)dt.

Si limx→b− F (x) n’existe pas, on dit que l’intégrale∫ baf(t)dt diverge.

Exemples

1.∫ 1

0

1x3dx =?

La fonction f(x) = 1x3 n’étant pas définie en 0, nous avons affaire à une intégrale géné-

ralisée. Donc on pose :∫ 1

0

1x3

dx = limx→0+

∫ 1

x

1t3dt = lim

x→0+

(− 1

2· 1t2

∣∣∣1x

)= limx→0+

(− 1

2+

12x2

)= +∞

L’intégrale diverge.

2.∫ 1

0

1√xdx =?

Nous avons de nouveau affaire à une intégrale généralisée. Ainsi∫ 1

0

1√xdx = lim

x→0+

∫ 1

x

1√tdt = lim

x→0+

(2√t∣∣∣1x

)= limx→0+

(2− 2

√x)

= 2

L’intégrale converge.

4.2 Intégrale d’une fonction continue et bornée 22

Remarque : Ces deux exemples sont des cas particuliers de l’intégrale suivante :∫ 1

0

1xα

dx, avec α > 0.

En exercice, le lecteur peut facilement montrer que si α ∈]0, 1[ cette intégrale converge ; deplus, elle vaut ∫ 1

0

1xα

dx =1

1− α

4.2 Intégrale d’une fonction continue et bornée

Si f : [a, b[→ R est continue et bornée, alors∫ b

a

f(t)dt existe.

Démonstration. Il n’est pas possible, dans le cadre de ce polycopié, de donner une démons-tration de ce théorème. Voir [1] pour la démonstration ainsi que pour les outils nécessaires àcelle-ci.

�

Exemple

Montrons que∫ 1

0

cos1tdt converge.

Des propriétés de la fonction cosinus, on sait que :

∀t ∈ ]0, 1] :∣∣∣ cos

1t

∣∣∣ < 1.

La fonction f(t) = cos 1t est donc bornée sur ]0, 1], de plus elle est continue, ce qui implique que∫ 1

0

cos1tdt converge.

4.3 Intégrale sur des intervalles fermés non bornésSoit f : [a,+∞[→ R une fonction continue et considérons la fonction F (x) =

∫ xaf(t)dt où

x ∈ [a,+∞[ . Si la fonction F admet une limite lorsque x→ +∞, on dit que l’intégrale généralisée∫ +∞a

f(t)dt existe ou converge. On pose∫ +∞

a

f(t)dt = limx→+∞

∫ x

a

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale n’existe pas ou qu’elle diverge.

Exemple∫ +∞

1

1√t(1 + t2)

dt =?

4.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés 23

Comme nous en avons déjà l’habitude, faisons un changement de variable. Posons s =√t, ce

qui donne s2 = t et 2s ds = dt :∫ +∞

1

1√t(1 + t2)

dt = limx→+∞

∫ √x√

1

2ss(1 + s2)

ds = limx→+∞

2∫ √x

1

11 + s2

ds

Calculons maintenant l’intégrale :∫ √x1

1(1 + s2)

ds = arctan s∣∣∣√x1

= arctan√x− arctan 1︸︷︷︸

π4

.

Donc on obtient∫ +∞

1

1√t(1 + t2)

dt = limx→+∞

2(

arctan√x− π

4

)= 2 lim

x→+∞arctan

√x︸︷︷︸

π2

−π2

=π

2

4.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornésSoient a ∈ R, et f : ]a,+∞[→ R une fonction continue et c > a. Si les deux intégrales

généralisées ∫ c

a

f(t)dt et∫ +∞

c

f(t)dt

convergent, on dit que l’intégrale généralisée∫ +∞a

f(t)dt existe (ou converge), et on pose, pardéfinition,∫ +∞

a

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt+∫ +∞

c

f(t)dt = limx→a+

∫ c

x

f(t)dt+ limx→+∞

∫ x

c

f(t)dt.

Cette égalité est indépendante du choix de c. Lorsque l’une ou l’autre des intégrales généralisées∫ c

a

f(t)dt ou∫ +∞

c

f(t)dt

diverge, on dit que l’intégrale généralisée ∫ +∞

a

f(t)dt

n’existe pas (ou diverge).

Remarques : Raisonnablement, les définitions données pour les intégrales généralisées traitéessont facilement adaptables pour d’autres intégrales généralisées.Par exemple, supposons que les intégrales voulant être calculées convergent, alors :

– f : ]a, b]→ R continue.∫ b

a

f(t)dt = limx→a+

∫ b

x

f(t)dt.

– f définie et continue sur R et c ∈ R.∫ +∞

−∞f(t)dt =

∫ c

−∞f(t)dt+

∫ +∞

c

f(t)dt

– etc. . .

4.4 Intégrale sur des intervalles ouverts non bornés 24

Exemple (avancé)

La manière dont nous allons calculer l’intégrale suivante est assez originale, c’est pour celaque j’ai décidé de la mettre. Toutefois, il est extrêmement compliqué de pouvoir anticiper unetelle démarche. Je demande simplement au lecteur de comprendre les opérations effectuées et lesdifférentes étapes, ce qui lui donnera encore plus d’entraînement.∫ +∞

0+

ln t1 + t2

dt =?

La première étape est de «casser» l’intégrale en deux :∫ +∞

0+

ln t1 + t2

dt =∫ 1

0+

ln t1 + t2

dt+∫ +∞

1

ln t1 + t2

dt

Nous nous occupons de la première en croisant les bornes (3.3.3) :∫ 1

0+

ln t1 + t2

dt = limx→0+

∫ 1

x

ln t1 + t2

dt = − limx→0+

∫ x

1

ln t1 + t2

dt

En posant s = 1t , on a que t = 1

s = s−1 et que dt = − 1s2 ds. En utilisant le fait que lnxa = a lnx,

nous pouvons faire le changement de variable :∫ x

1

ln t1 + t2

dt =∫ 1

x

11

− ln s−1

1 + 1s2

1s2ds =

∫ 1x

1

− − ln s1s2 (s2 + 1)

1s2ds =

∫ 1x

1

ln s1 + s2

ds

Donc ∫ 1

0+

ln t1 + t2

dt = − limx→0+

∫ 1x

1

ln s1 + s2

ds = −∫ +∞

1

ln s1 + s2

ds

En remplaçant le résultat que nous venons de trouver dans l’intégrale de départ, quelque chosede «magique» se produit :∫ +∞

0+

ln t1 + t2

dt = −∫ +∞

1

ln s1 + s2

ds+∫ +∞

1

ln t1 + t2

dt = 0 ?

Nous aurions tendance à conclure un peu vite que le résultat vaut 0, ce qu’il ne faut pas faire.En effet, au point 4.4 nous avons dit que, après le «cassage», si l’une des deux intégrales diverge,alors la première intégrale diverge également ; or nous n’avons pas vérifié la convergence.

Vérifions donc la convergence de∫ +∞

1

ln t1 + t2

dt. Nous allons commencer par borner la fonction

f définie par f(x) = ln x1+x2 par une autre fonction. En utilisant la propriété de la fonction ln citée

plus haut, et en sachant que ∀t ≥ 1 : 0 ≤ ln t < t, nous pouvons écrire que

0 ≤ ln t1 + t2

=2 ln t

12

1 + t2<

2t12

1 + t2<

2t12

t2=

2t

32, ∀t ≥ 1.

Or comme∫ +∞

1

2t

32dt converge (à montrer), on peut donc affirmer que

∫ +∞

1

ln t1 + tt

dt = I

converge(pourquoi ?). Ainsi avec ce que nous avons montré plus haut, on peut écrire :∫ +∞

0+

ln t1 + t2

dt = −I + I = 0.

5 Applications 25

5 ApplicationsJe ne ferai que rappeler deux applications basiques du calcul intégral ; il en existe évidemment

beaucoup d’autres.

5.1 Aire entre deux courbesSoient f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que f(x) > g(x), ∀x ∈ [a, b]. L’aire A

du domaine limité par les graphes de f et g et les deux droites verticales x = a et x = b estdonnée par

A =∫ b

a

(f(t)− g(t))dt

Figure 4 – Hachuré : Aire A du domaine limité par les graphes de f et g et les deux droitesverticales x = a et x = b 5

Exemple

Soient les trois fonctions suivantes : f , g et h définies par f(x) =√x, g(x) = 1

x2 et h(x) =78x−

32 . Nous cherchons à calculer l’aire du domaine fermé délimité par les deux droites verticales

x = 1, x = 4, ainsi que les graphes des courbes de f , g et h. En d’autres mots, nous voulonsconnaître la somme de l’aire en vert et de l’aire en jaune se trouvant sur la fig. 5.

Le calcul est scindé en deux, car ils nous faut tout d’abord l’aire entre g et f (en vert), puisl’aire entre g et h (en jaune). Commençons par calculer l’aire en vert :

Avert =∫ 2

1

(√x− 1

x2

)dx =

23x

32 +

1x

∣∣∣∣21

=23

232 +

12− 2

3− 1 =

43

√2− 7

6

Puis l’aire en jaune :

Ajaune =∫ 4

2

[√x−

(78x− 3

2

)]dx =

23x

32 − 7

16x2 +

32x

∣∣∣∣42

= −43

√2 +

3712

Donc l’aire A voulue est :

A = Avert +Ajaune =43

√2− 7

6− 4

3

√2 +

3712

=2312

5. Créée par François Farquet7. Source : http ://www.philipperey.net/maths3-4/calculIntegral/surfaceDelimiteeCourbes.php

5.2 Volume de révolution 26

Figure 5 – Graphe des courbes de f , g et h. Nous voulons calculer la somme de l’aire verte etde l’aire jaune. 7

5.2 Volume de révolutionSoit f une fonction continue sur [a, b]. Posons D le domaine limité par le graphe de f , l’axe

Ox et les droites verticales x = a et x = b. Le volume V du corps C engendré par la rotation deD autour de l’axe Ox est donné par

V = π

∫ b

a

f2(t)dt.

Figure 6 – En bleu le domaine D limité par le graphe de f , l’axe Ox et les droites verticalesx = a et x = b 9

9. Source : http ://users.rcn.com/mwhitney.massed10. Source : ibid.

5.2 Volume de révolution 27

Figure 7 – Corps de révolution C engendré par la rotation de D autour de Ox 10

Exemple

Soit f : [0, 1] → R définie par f(x) = 1−√x. Soit D le domaine délimité par le graphe de f

(fig. 8), l’axe Ox ainsi que les droites verticales x = 0 et x = 1.

Figure 8 – Graphe de f , et domaine D en bleu. 11

Nous cherchons à calculer le volume V créé par la révolution de D autour de l’axe Ox. Ce volumeest représenté sur la fig. 9.

Ainsi, selon la formule que nous connaissons, le volume est donné par :

V = π

∫ 1

0

(1−√x)2 dx

En développant le carré, et en utilisant la linéarité de l’intégrale, on trouve que

V = π

(∫ 1

0

1 dx−∫ 1

0

2√x dx+

∫ 1

0

x dx

).

11. Source : ibid.12. Source : ibid.

RÉFÉRENCES 28

Figure 9 – Volume engendré par la révolution de D autour de l’axe Ox. 12

On notera que√x

2 devient x et non pas |x|, car nous travaillons sur des valeurs positives. Ilnous suffit donc d’intégrer.

V = π

(x∣∣∣10− 4

3x

32

∣∣∣10

+12x2∣∣∣10

)=π

6.

Note : Pour toutes remarques, commentaires, suggestions, questions ou autres, je suis dispo-nible à l’adresse e-mail suivante : [email protected].

Références[1] Jacques Rappaz. EPFL, section de Mathématique :Calcul différentiel et intégral, Notes de

cours. Presses polytechniques et universitaires romandes. Edition 2007.[2] Jacques Douchet & Bruno Zwahlen. Calcul différentiel et intégral, Fonctions réelles d’une ou

plusieurs variables réelles. Presses polytechniques et universitaires romandes. Edition 2007.[3] Guido Burmeister. Notes de cours d’Analyse, prises pendant le semestre de printemps, année

2006/2007.[4] Jacques Douchet. Analyse, Receuil d’exercices et aide-mémoire vol.1. Presses polytechniques

et universitaires romandes. Deuxième édition.[5] Commission romande de mathématique. Fundamentum de mathématique, analyse. Editions

du Tricorne, année 2002.

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Cours Calcul Integral