Cours d'optique géométrique

L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI

A - OPTIQUE

• Chapitre I : Lois générales de l’optique géométrique • Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de Gauss


Chapitre I : Lois générales de l'optique géométrique

I – historique I-1) Modèle Géométrique

I-2) Modèle Ondulatoire I-3) Modèle Corpusculaire

II – Le rayon lumineux II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux

II-2) L’approximation de l’optique géométrique II-2-1) L’onde électromagnétique II-2-2) Longueur d’onde de la lumière II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique

II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels II-3-1) Absorption et dispersion II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène II-3-3) Indépendance des rayons lumineux

III – Les Lois de Descartes III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux III-2) Lois de Descartes III-3) Réfraction III-4) Principe de retour inverse de la lumière

IV – Construction géométrique de Huygens IV-1) Le rayon réfléchi IV-2) Le rayon réfracté

V – Réflexion totale V-1) Réfraction limite (n1<n2) V-2) Réflexion totale (n1>n2)

V-3) Applications

Chapitre I : Lois générales de l'optique géométrique

Introduction

L'optique est principalement l'ensemble des phénomènes perçus par l’œil. La cause de ces phénomènes, la lumière, a été étudiée très tôt dans l'histoire des sciences, au point que tous les principes peuvent sur lesquels reposent l’optique géométrique et l'optique ondulatoire sont connues depuis le XIXème siècle.

Le but de ce chapitre va être dans un premier temps de voir sous quelles conditions les lois de

l'optique géométrique sont valables, ensuite nous poserons ces lois. Mais dans un premier temps jetons un coup d’œil rapide sur l'historique de l'optique.

I – historique I-1) Modèle Géométrique Avant le XVIIème siècle, la nature de la lumière et sa propagation ne sont pas des questions essentielles. Cependant des notions de rayons lumineux et de retour inverse de la lumière permette à Euclide (300 ans av. J.-C.) de poser les bases de l'optique géométrique. Il faut attendre le XIème siècle pour qu'Alhazen, physicien arabe attribue à la lumière une origine extérieure à l’œil, définisse la notion d'images et interprète la formation des images dans l’œil.

Au XVIIème siècle, Descartes, Fermat et Newton donnent à l'optique géométrique sa véritable grandeur ainsi Descartes énonce ces fameuses lois et propose un modèle corpusculaire, Fermat propose une optique basée sur un principe de moindre action et Newton publie en 1704 « optics » où ils présentent les lentilles, prismes et miroirs que nous verrons tout au long de ce cours.

I-2) Modèle Ondulatoire Dès la fin du XVIIème siècle, Huygens suggéra une théorie ondulatoire de la lumière permettant

de retrouver les résultats de l'optique géométrique compatibles avec une vitesse de la lumière plus grande dans l’air que dans les milieux matériels. La découverte, les siècles suivant des phénomènes d'interférence de diffraction imposent cette théorie, suite aux travaux de Fresnel.

I-3) Modèle Corpusculaire En 1906, Planck et Einsstein reviennent à un modèle corpusculaire en introduisant des quantas

d’énergie appelées photons : particules sans masse et d’énergie ε=hν déplaçant à la célérité de la lumière.

Les deux modèles ondulatoires et corpusculaires, sont assez cohérents et se complètent. Cette Dualité onde-corpuscule pour la lumière est alors généralisée aux particules dans la

théorie de la mécanique quantique par : De Broglie, Bohr, Heisenberg et Schrödinger. Les quelques contradictions entre les deux modèles ont pu être levé par l’électrodynamique

quantique de Feynman, Schwinger et Tomonaga dans les années 50.

II – Le rayon lumineux II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux Considérons une source lumineuse S de petites dimensions (par exemple un trou dans un diaphragme éclairé par une lampe quartz-iode ; par définition la lumière issue de cette source ponctuelle forme un faisceau lumineux. Plaçons alors sur le trajet de ce faisceau un objet plan, l’ombre portée sur l’écran E et homothétique de l’objet, quelquesoit la distance de celui-ci à l’écran.

⇒ Le faisceau lumineux issu de S est constitué de rayons lumineux rectilignes.


Un laser fourni pratiquement en rayon lumineux : si l’on fait fonctionner laser dans l’obscurité,

on peut visualiser et le rayon lumineux. En fait si ce rayon évoque une droite, il a malgré tout de Dinant une dimension transversale finit. On peut alors se demander s’il est aussi d’isoler rayon lumineux.

Pour se faire plaçons un diaphragme réglable à la sortie du laser ; si l’on retrécit trop l’ouverture du diaphragme, la trace du faisceau sur un écran E donne une tâche qui s’élargit à la mesure que l’on diminue a : ce phénomène porte le nom de diffraction. L’élargissement du faisceau laser, dans les conditions que nous venons d’évoquer, se caractérise par un étalement angulaire ε dont l’expérience permet d’écrire : ε=λ/a où λ est une longueur caractéristique du rayon lumineux c’est à dire la longueur d’onde.

⇒ on ne peut donc pas isoler un rayon lumineux. On peut cependant considérer qu’un faisceau

de lumière est formée de rayons lumineux, l’étude de la marche de ses rayons constituant le but de l’optique géométrique.

⇒Le rayon lumineux est un modèle II-2) L’approximation de l’optique géométrique II-2-1) L’onde électromagnétique Maxwell en 1873 a formulé les équations qui décrivent les ondes électromagnétiques…ainsi les

ondes électromagnétiques présente des similitudes avec les propagations des vibrations lors de la chute d’un objet dans un liquide, vagues artificielles…

Les ondes électromagnétiques se propagent dans tout l’espace, même en l’absence de milieu matériel avec une vitesse de propagation v et une fréquence f tel que :

λ=vT=v/f où λ est appelé longueur d’onde. • λ = la période spatiale de l’onde (unité : mètre) • T = la période temporelle de l’onde (unité : seconde) II-2-2) Longueur d’onde de la lumière • La longueur d’onde de la lumière est définie par : λ=vT=v/ν où ν est la fréquence et v la

célérité dans le milieu considéré. L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI

Dans le vide : c = 299 792 458 ms-1. • Le domaine visible de l’œil humain s’étend de 400nm (violet) à 750nm (rouge) avec une

sensibilité maximale dans le jaune vert à 560nm. II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique L’approche géométrique constitue l'une bonne approximation des solutions des équations de

Maxwell tant que les caractéristiques géométriques du milieu varient peu à l'échelle de la longueur d'onde. Dans le domaine visible, les dimensions étudiées sont bien supérieures à la longueur d'onde du milieu ainsi l'optique géométrique est largement suffisante.

« L’étude vertu de l'optique géométrique suppose que les grandeurs caractéristiques du milieu qui limitent les faisceaux ont des dimensions très supérieures à la longueur d'onde λ. »

II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels II-3-1) Absorption et dispersion • Dans les milieux transparents la lumière se propage à la vitesse v=c/n où n est l’indice optique

du milieu qui dépend de la longueur d'onde, c’est la dispersion que l’on observera dans le prisme. Pour les « verres » on peut utiliser la modélisation de Cauchy : n=A+B/λ2

• L'intensité lumineuse décroît lors de la propagation de la lumière dans le milieu matériel. La loi de décroissance est en général une fonction exponentielle de la distance parcourue et dépend de la fréquence, donc de la longueur d'onde : c'est le phénomène d’absorption.

II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène • Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite : les rayons

lumineux sont des droites. • Par contre dans les milieux non homogènes c'est-à-dire présentant un indice variable, la

propagation de rayons lumineux n'est pas rectiligne. • L'indice de la solution est une fonction croissante de la concentration en sucre dissout : cet

indice est donc plus important aux fond de la cuve. Il existe donc un gradient d’indice dirigé vers le bas de la cuve. Nous observons une courbure des rayons lumineux dont la concavité, donc dans le sens des indices croissants.

II-3-3) Indépendance des rayons lumineux Nous supposerons dans la suite que le cheminement des différents rayons lumineux traversant

un instrument d'optique sont indépendants : c’est l’hypothèse de l'indépendance des rayons lumineux.

III – Les Lois de Descartes

III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux • Le plan défini par la normale et le rayon incident est par définition le plan d’incidence


• Dans le cas où la surface de séparation est un miroir il y a réflexion. • Dans le cas où la surface de séparation est un dioptre, il y a en général un rayon réfléchi et un

rayon réfracté.

III-2) Lois de Descartes

1°) Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence 2°) L’angle de réflexion est égale à l’angle d’incidence : i = r 3°) L’angle de réfraction t est lié a i par : n1 sin i = n2 sin t III-3) Réfraction • Si le milieu 2 est plus réfringent (n2>n1) le rayon s’approche de la normale. • Si le milieu 2 est moins réfringent (n1>n2) le rayon s’éloigne de la normale.

III-4) Principe de retour inverse de la lumière Les lois de Descartes obéissent au principe de retour inverse de la lumière : tout trajet suivi par

la lumière dans un sens peut l’être en sens opposé. L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI

IV – Construction géométrique de Huygens

IV-1) Le rayon réfléchi Soit P le point d’intersection entre le rayon incident et cercle de rayon unité. Le rayon réfléchi

passe par le point d’intersection O du cercle avec la normale au miroir passant par P. IV-2) Le rayon réfracté Traçons deux cercles de ryon n1 et n2. Soit P le point d’intersection entre le cercle de rayon n1 et

le rayon incident. Soit Q le point d’intersection entre le cercle de rayon n2 et la normale au plan passant par P. Le rayon réfracté passe par Q car :

OH = n1 sin i = n2 sin t

V – Réflexion totale V-1) Réfraction limite (n1<n2) Le faisceau va se rapprocher donc i peut varier de 0 à π/2.



Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1 sin t Or 0 ≤ i ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin i ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin t ≤ n1/n2 ⇒0 ≤ t ≤ Arcsin (n1/n2) = tlim : angle de refraction limite. ⇒ Les rayons réfractés sont tous situés à l’intérieur d’un cône de réfraction de demi-angle au sommet tm.

V-2) Réflexion totale (n1>n2) Le faisceau va s’éloigner donc t peut varier de 0 à π/2.

Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1 sin t Or 0 ≤ t ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin i ≤ n2/n1 ⇒ 0 ≤ i ≤ Arcsin (n2/n1) = ilim : angle de refraction limite.

• Donc tout rayon incident tel que i > ilim ne peut-être réfracté et subit donc une réfraction totale

V-3) Applications La réflexion totale sert à canaliser la lumière :

- tube en matière souple : endoscope - fibres optiques - lampes décoratives…

Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de Gauss I – Le stigmatisme I-1) Objet


I-1-1) définition I-1-2) Objet primaire ou secondaire I-1-3) Objet ponctuel ou étendu

I-1-4) Objet réel ou virtuel I-2) image

I-2-1) Définition I-2-2) Image virtuelle ou réelle

I-3) Stigmatisme rigoureux I-3-1) Définition

I-3-2) Le miroir plan I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques I-4) Stigmatisme approché II – L’Aplanétisme II-1) Système centré II-2) Aplanétisme III – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss III-1) Approximation de Gauss

III-2) Foyer image et plan focal image III-3) Foyer objet et plan focal objet III-4) Système afocal

IV – Les miroirs sphériques IV-1) Présentation

IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe IV-3–1) Formule de conjugaison

IV-3–2) Aplanétisme approché IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques

IV-4-1) Modélisation de Newton IV-4-2) Le foyer

IV-4-3) Construction d’une image IV-5) Relations de conjugaison IV-6) Grandissement

V – Lentilles sphériques V-1) Présentation V-1-1) Définition

V-1-2) Lentille mince V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces V-1-4) Sitgmatisme et aplanétisme V-2) Caractéristiques des lentilles

V-2-1 Centre de la lentille V-2-2 Foyers principaux V-2-3 Lentilles accolées

V-3) Construction d’une image V-4) Formules de conjugaison et grandissement V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton)

V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes)

Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de Gauss

Introduction Le but de ce cours est de préciser les conditions de stigmatisme et d’aplanétisme dans un premier temps puis de s’intéresser plus précisément aux miroirs et lentilles sphériques. On verra ainsi les conditions de gauss qui seront nos conditions de travail puis les relations de conjugaison. I – Le stigmatisme I-1) Objet I-1-1) définition • Un objet définit un ensemble de rayon lumineux entrant dans le système optique I-1-2) Objet primaire ou secondaire • Un objet primaire émet spontanément de la lumière (flamme, lampe à décharge…) alors qu’un objet secondaire diffuse la lumière (livre, trousse…) I-1-3) Objet ponctuel ou étendu • Un objet est ponctuel si ces dimensions sont infiniment petites par rapport à sa distance d’observation (étoile, objet trou…). • Un objet est étendu si ces dimensions sont finies (une fleur, la terre vu de la lune…) et on le traite alors comme un ensemble d’objets indépendants. I-1-4) Objet réel ou virtuel • Un objet est réel s’il est placé avant la face d’entrée du système optique et si les rayons lumineux issus de lui se dirigent vers le système optique. • Un objet est virtuel si c’est les prolongements des rayons incidents qui se cheminent vers lui. Un tel objet ne peut-être vu sur un écran

I-2) image I-2-1) Définition • Un point image correspond à l’intersection de rayons lumineux émergents du système

optique… I-2-2) Image virtuelle ou réelle • Elle est dite réelle, si elle est située après la face de sortie du système optique comme

intersection des rayons émergents. Cette image peut-être vue sur un écran. • Elle est dite virtuelle, si elle est située avant la face de sortie du système comme intersection

des prolongements des rayons émergents. Cette image ne peut-être vue sur un écran.


I-3) Stigmatisme rigoureux I-3-1) Définition

• Il y a stigmatisme rigoureux lorsque tout rayon passant par un point objet A, réel ou virtuel, passe après traversé du système optique par un point image A’ réel ou virtuel.

• A’ est l’image de A par le système optique, on dit que A et A’ sont deux points conjugués.

A→A’ , où → représente le lien de conjugaison

I-3-2) Le miroir plan • Dès qu’un système optique est stigmatique, l’image A’ d’un objet ponctuel est unique. Une relation mathématique, appelée relation de conjugaison existe donc entre les points A et A’. I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques • Il existe peu de surfaces rigousements stigmatiques par réflexion ou réfraction parmi celles-ci il y a :

- Le miroir plan pour tout point. - Les miroirs paraboliques dans le cas où l’objet est à l’infini.

I-4) Stigmatisme approché Les cas de stigmatisme rigoureux sont trop rares pour couvrir les besoins de l’imagerie. On va

donc utiliser des systèmes optiques qui présentent un stigmatisme approché. Un système optique (S) présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A’ si

tout rayon passant par A passe au voisnage de A’ après traversé de S.


II – L’Aplanétisme II-1) Système centré Un système centré est un système optique présentant la symétrie de révolution autour d’un axe appelé axe optique. II-2) Aplanétisme Un système est dit aplanétique si le stigmatisme pour tout couple (A,A’) de l’axe optique se conserve pour tout couple de (B,B’) dans des plans normaux à l’axe. Les plans P et P’ sont conjugués…Dans l’appareil photographique P’ est le plan de la pellicule et P le plan de mise au point. III – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss III-1) Approximation de Gauss Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons lumineux qui le traversent sont paraxiaux :

- Rayons peu inclinés par rapport à l’axe - Rayons proches de l’axe

Dans les conditions de Gauss les systèmes centrés sont stigmatiques et aplanétiques approchés.

III-2) Foyer image et plan focal image • Le foyer image F’ est l’image d’un point objet à l’infini situé sur l’axe. A∞ (sur l’axe) → F’

• Soit un point objet réel B situé à l’infini en dehors de l’axe. Le système étant aplanétique, son image sera alors dans le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’ : ce plan est dit plan focal image et tout point de ce plan foyer image secondaire.


III-3) Foyer objet et plan focal objet • Le foyer objet est le point de l’axe optique dont l’image est à l’infini sur l’axe : F→B∞ sur l’axe • Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe optique, contenant F. Tout point B de ce

plan a son image à l’infini. III-4) Système afocal Dans le cas ou le foyer F’ se trouve à l’infini le système est dit afocal.


IV – Les miroirs sphériques IV-1) Présentation Un miroir sphérique est constitué d’une surface sphérique réfléchissante de centre C. Il existe deux types de miroirs sphériques :

- Les miroirs concaves R= SC < 0. - Les miroirs convexes R= SC > 0.

IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S


• Tout rayon incident passant par C arrive selon la normale au miroir sphérique et repasse par C après réflexion. C→C

• Tout rayon incident en S sur le miroir est réfléchi symétriquement par rapport à l’axe optique et semble provenir de S.S→S

IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe

IV-3–1) Formule de conjugaison On trace les rayons suivant les lois de Descartes. On se place dans les conditions de Gauss

d’où : - les angles α, β, α’, i et i’ sont petits et sont assimilables à leurs tangentes

- et S est confondu avec H. Dans le triangle AIC : = +i+ -Dans le triangle A'IC : = ' '

D'où α+α'=2β

Soit tan , tan ' ', tan '

1 1 2Donc SA '

ii i

IS IS ISSA SA SC

SA SC

π α π β α βπ π α β α β

α α α α β

⇒ = −− + + ⇒ = +

= = =

+ =

β

IV-3–2) Aplanétisme approché

Le stigmatisme approché se conserve pour des points peu éloignés de l’axe ⇒ la condition d’aplanétisme approché est vérifiée. D’où pour un objet vertical AB on aura aussi B→B’ avec x(B’)=x(A’).

IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques

IV-4-1) Modélisation de Newton Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera représenté par

son plan tangent en S.

IV-4-2) Le foyer

1 2 alors SF'

1 2 SA' alors SF

SC' F=F' tel que SF= / 2 ' du miroir.2

Si SASC

SiSC

D où R f focale

→∞ =

→∞ =

= =

IV-4-3) Construction d’une image

a) Miroir concave

b) Miroir Convexe L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI

IV-5) Relations de conjugaison

• Origine au sommet : 1 1 2SA 'SA SC

+ =

• Origine au foyer (formule de newton)

En multipliant (1) et (2) on obtient

2

2

' ' F'A' FA = FS F'S' = f' ' ' '

* Origine au centre

Soit FA' = FC + CA' et FA= FC + CA

' : . ' . '. . '

. ' ( ').2

1 1 1 1( )2 '

1 1 2 1'

A B AB SJ SIAF A F SF SF

D où CACA FC FC CA FC CA FC f

CSCACA CA CA

CS CA CA

CA CA CS CF

= ⇒

+ + + =

⇔ = +

⇔ = +

⇔ + = =


IV-6) Grandissement

Il est défini par ' 'A BAB

γ = , si γ>0 l’image est droite, sinon elle est inversée.

D’après les schémas :

• Origine au foyer : ' ' et ' '

AB SJ A B SIAF SF A F SF

= = ⇒'FS FA

FA FSγ = =

• Origine au centre : 'CA

CAγ =

• Origine au sommet : 'SASA

γ = −

V – Lentilles sphériques V-1) Présentation V-1-1) Définition Une lentille sphérique est un système centré résultant de l’association de deux dioptres sphériques repérés par leurs centres et sommets respectifs.

V-1-2) Lentille mince

Une lentille est dite mince si son épaisseur e=S1S2 est petite par rapport à C1C2, S1C2 et S2C1. V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces Les lentilles à bords minces sont convergentes, les lentilles à bords épais sont divergentes.

V-1-4) Sitgmatisme et aplanétisme


Au vue des expériences, on admettra que les propriétés d’aplanétisme et de stigmatisme approchés sont vérifiées pour les lentilles sphériques. V-2) Caractéristiques des lentilles V-2-1 Centre de la lentille Tout rayon passant par le centre de la lentille n’est pas dévié. V-2-2 Foyers principaux Une lentille possède deux foyers symétriques par rapport à O : F et F’ et l’on obtient une des configurations suivantes :

V-2-3 Lentilles accolées

Deux lentilles minces accolées de focales f’1 et f’2 agissent comme une lentille unique de même

centre O et de focale f’ :1 2

1 1 1' ' 'f f f= +

V-3) Construction d’une image L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI


• 3 rayons fondamentaux : - le rayon passant par le

centre de la lentille n’est pas dévié

- le rayon incident parallèle à l’axe optique passe par F’

- le rayon incident passant par F ressort parallèle à l’axe

V-4) Formules de conjugaison et grandissement V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton)

2

AB ' 'Soit AF ' ' '

OJ=A'B' et OI = AB

' ' ' '' '

. ' ' '

' ' '

OJ A B OIetOF A F OF

Or

A B A F OFd oùAB OF AF

FA F A f

A F OFetOF AF

γ

= =

= =

= −⇒

= =

V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes)

2

FA=FO+OA=OF'+OA et F'A'=F'O+OA'=-OF'+OA'' en remplaçant dans la formule de Newton :

OA.OA'-OF'.OF'-OF'.OA+OF'.OA'=-f'

OA.OA' OF'.OA-OF'.OA'

1 1 1 OA' et =OF' OA' OA OA

Soitd où

γ

⇔ =

⇔ = −






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