H.KANFOUDI ENIT LMHE (2013/2014) 25

3. Cas dun coulement avec change de travail

Reprenons le schma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mmes notations et les

mmes hypothses. On suppose en plus quune machine hydraulique est place entre les sections S1 et S2. Cette machine est caractrise par une puissance nette Pnet change avec le

fluide, une puissance sur larbre Pa et un certain rendement . Cette machine peut tre soit une turbine soit une pompe.

Dans le cas dune pompe : le rendement est donn par lexpression suivante :

net

a

P

P

Dans le cas dune turbine : le rendement est donn par lexpression suivante :

a

net

P

P

Entre les instant t et t=(t+dt), le fluide a chang un travail net net netW P dt avec la machine

hydraulique netW est suppos positif sil sagit dune pompe et ngatif sil sagit dune

turbine.

On dsigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant

au niveau des sections S1 et S2.

A linstant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son nergie mcanique est :

2

1

22

1 1 1 1

1

2 2

S

mec pot cinS

dmVE E E dm g Z M g Z dm V

Figure 26 : Veine dun fluide incompressible Avec apport dnergie.

Cours Hydraulique gnrale ENIT 26

A linstant t=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S1 et S2. Son nergie

mcanique est :

2

1

22

2 2 2 2

1' ' '

2 2

S

mec pot cinS

dmVE E E M g Z dm g Z dm V

On applique le thorme de lnergie mcanique au fluide entre t et t : La variation de lnergie mcanique est gale la somme des travaux des forces extrieures., en considrant cette fois ci le travail de la machine hydraulique

1 1 2 2'mec mec netE E F dx F dx P dt

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2'mec mec net netE E P S dx P S dx P dt P d P d P dt en simplifiant on aura :

2 2 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 2

1 2

1 1

2 2net

P Pdm g Z dm V dm g Z dm V dm dm P dt

. Par conservation de la

masse : 1 2dm dm dm et puisque le fluide est incompressible : 1 2 on aboutit

lquation de Bernoulli :

2 2

2 1 2 12 1

2

net

m

PV V P Pg Z Z

q

(54)

4. THEOREME D EULER :

Une application directe du thorme dEuler (Attention, il sagit ici du thorme dEuler, et non pas de lquation dEuler) est lvaluation des forces exerces par les jets deau. Celles-ci sont exploites dans divers domaines : production de lnergie lectrique partir de lnergie hydraulique grce aux turbines, coupe des matriaux, etc. Le thorme dEuler rsulte de lapplication du thorme de quantit de mouvement lcoulement dun fluide :

ext m

dmVF q V

dt

quantit de mouvement. (55)

Ce thorme permet de dterminer les efforts exercs par le fluide en mouvement sur les

objets qui les environnent.

On considre un tube de courant et une surface ferme (surface de contrle). On se propose

d'exprimer les actions mcaniques pouvant apparatre entre des fluides et des solides.

La rsultante ( extF ) des actions mcaniques extrieures exerces (les forces des volumes et lensemble des forces du surfaces) sur un fluide isol (fluide contenu dans lenveloppe

S1

S2

V1

V2

Cours Hydraulique gnrale ENIT 27

limite par S1 et S2) est gale la variation de la quantit de mouvement du fluide qui entre

en S1 une vitesse V1 et sort par S2 une vitesse V2.

2 1ext mF q V V

Exemple 1 : action dun jet sur une plaque fixe

Un jet deau de vitesse V heurte normalement une plaque plane immobile. Leau sera suppose incompressible et son coulement uniforme et stationnaire. On ngligera les poids

du jet et de la plaque et on supposera que le jet se divise en deux demi-jets gaux.

On dsigne par F, la force ncessaire pour maintenir la plaque en quilibre et Fs la force de

pression sur la plaque.

Thorme dEuler : 2 1s mmg F q V V

avec

m vq q VS

Projection selon Ox :

1

2 0

V V

V

Systme en quilibre sF F

2

m sq V F F

F V S

Exemple 2 : action dun jet sur un obstacle

Considrons un obstacle symtrique par rapport laxe Z . Le jet dun coulement de dbit

massique mq , de vitesse 1V et de direction parallle laxe Z , percute lobstacle qui le dvie

dun angle . Le fluide quitte lobstacle une vitesse 2V de direction faisant un angle par

rapport laxe Z .

V

Jet du liquide

Plaque

immobile

F

x O

Fs

Cours Hydraulique gnrale ENIT 28

Figure 27 : Exemple dun jet deau.

La quantit de mouvement du fluide lentre de lobstacle est : 1mq V port par laxe Z .

La quantit de mouvement du fluide la sortie de lobstacle est : 2 cosmq V port par laxe

Z .

La force oppose au jet tant gale la variation de la quantit de mouvement :

2 1cosm mR q V q V

La force F exerce sur lobstacle en direction de Z est gale et oppose celle ci :

1 2 cosmF q V V

5. CONCLUSION

Les lois et les quations tablies dans ce chapitre en particulier lquation de Bernoulli ont un intrt pratique considrable du moment o elles permettent de comprendre le principe de

fonctionnement de beaucoup dinstruments de mesure de dbits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragmeetc. Rserves aux fluides incompressibles, ces lois et quations peuvent tre employes dans certains cas particulier pour les fluides compressibles

faible variation de pression.

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Srie 5-Force exerc par jet & nergie

Exercice N1

Une pompe P alimente un chteau deau partir dun puits travers une conduite de diamtre d= 150 mm.

On donne :

- les altitudes :Z2=26 m, Z1= - 5 m,

- les pressions P1=P2=1,013 bar ;

- la vitesse dcoulement V = 0.4 m/s,

- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2

. On ngligera toutes les pertes de charge.

Travail demand :

1) Calculer le dbit volumique Qv de la pompe en l/s.

2) Ecrire lquation de Bernoulli entre les surfaces 1 et 2.

3) Calculer la puissance utile Pu de la pompe.

4) En dduire la puissance Pa absorbe par la pompe sachant que son rendement

est de 80%.

Cours Hydraulique gnrale ENIT 2

Exercice N2

On dsire remplir un bassin en pompant de leau partir de la nappe phratique. Pour cela, on utilise une pompe immerge qui aspire leau partir du point A, situ une altitude ZA=-26 m. La pression au point A est PA=2 bar.

Leau refoule par la pompe est ensuite achemine dans une conduite de section circulaire et de diamtre intrieur d=31 mm.

Leau est vacue avec un dbit volumique qv= 2772 litre/heure par le point B situ une altitude ZB=30 m. On admet que la pression au point B est PB=1 bar.

La pompe est actionne par un moteur lectrique. Le rendement de lensemble moto- pompe est =80%.

On suppose que :

- le fluide est parfait,

- la vitesse daspiration est gale la vitesse de refoulement (VA=VB=V).

On donne :

- la masse volumique de leau =1000 kg/m3,

- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.

Travail demand :

1) Calculer le dbit massique qm de la pompe.

2) Quelle est la vitesse dcoulement V de leau ?

3) En appliquant le thorme de Bernoulli, dterminer la puissance nette Pn fournie par la

pompe.

4) Calculer la puissance lectrique consomme Pe.

Cours Hydraulique gnrale ENIT 3

Exercice N3

La figure ci-dessus reprsente un barrage qui est quip dune turbine dont les aubes sont entranes par un jet deau sous pression.

La conduite de sortie de diamtre d= 2,5 m est situe une altitude Z2=5m. Le dbit

volumique qv=25 m3/s. On suppose que le niveau deau dans le barrage (Z1=30 m) varie

lentement (V1=0), et les pertes de charges sont values J12 =-32,75 J/kg.

On donne :

- la masse volumique de leau: =1000 kg/m3 - lacclration de la pesanteur :g=9,81 m/s2

Travail demand :

1) Calculer la vitesse V2 dcoulement deau la sortie de la canalisation en m/s. 2) En appliquant le thorme de Bernoulli, dterminer la puissance Pa disponible

sur larbre de la turbine en MW si son rendement est de 60%

Exercice N4

La figure ci-dessous reprsente un jet deau horizontal qui frappe un obstacle un dbit massique qm=2 kg/s. Lobstacle provoque une dflexion du jet dun angle =120.

Cours Hydraulique gnrale ENIT 4

On dsigne par V1 la vitesse dcoulement de leau en entre de lobstacle. Elle est porte par laxe X et V2 dsigne la vitesse dcoulement de leau en sortie de lobstacle. Elle est porte par une direction incline de langle =120 par rapport laxe X.

On admettra que V1 =V2=3 m/s.

1) En appliquant le thorme dEuler, donner lexpression vectorielle de la force F exerce par le liquide sur lobstacle en fonction de qm, V1 et V2 ensuite calculer ses composantes Fx et Fy.

2) Quel est son angle dinclinaison ?