COURS Hydraulique Generale MEPA

ECOLE NATIONALE DU GENIE DE LEAU ET DE LENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE

GENERALE

Rservoir deau potable de Strasbourg

FORMATION CES/MASTERE Eau potable et assainissement

Jos VAZQUEZ (Laboratoire Systmes Hydrauliques Urbains)

Avant propos

Lhydraulique est incontournable dans le domaine de lenvironnement. En effet, elle a une place dterminante dans la comprhension, lanalyse et le diagnostic des rseaux dadduction deau potable, des stations de traitement, des rseaux dassainissement et des rivires. De plus, le contrle de ces systmes ncessite une instrumentation qui oblige le concepteur et lexploitant une connaissance pousse du fonctionnement hydraulique de ces ouvrages. Dun point de vue rglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement europen tablit un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de leau. Elle incite les Etats membres (dont videmment la France) protger et restaurer la qualit de leurs ressources en eau afin de parvenir un bon tat chimique et cologique. Leau est donc une proccupation majeure dans notre civilisation. Lobjectif de cet ouvrage destin aux techniciens et ingnieurs est de fournir les bases ncessaires la comprhension et au calcul des phnomnes prsents en hydraulique applique au gnie de leau et de lenvironnement. Chaque notion dhydraulique est ponctue par une srie dexercices permettant dillustrer les concepts prsents. Les exemples sont issus douvrages hydrauliques existant en rseau. Les techniques de calcul qui sont associes la rsolution des quations mises en uvre sont labores dans un souci defficacit. Cet ouvrage est compos de plusieurs chapitres qui sont dcrits dans les paragraphes suivants. Avant dentrer directement dans la description mathmatique et la quantification des phnomnes hydrauliques rencontrs en eau potable, en assainissement et en rivire, le premier chapitre est consacr la description physique et phnomnologique des diffrents types dcoulements ainsi que des forces en prsence. Elle permet aux non-initis de dcouvrir lhydraulique de faon qualitative par le biais de lexprimentation. Le deuxime chapitre sintresse aux fluides au repos. Par exemple, la plupart des dispositifs de contrle de dbit tels que les vannes autorgules ncessitent un mcanisme pouvant tre approch par le biais de lhydrostatique. Cette partie est donc consacre laction de leau sur les parois et sur les corps immergs. Le chapitre suivant est ddi lhydraulique en charge. Ce type dcoulement est le plus souvent rencontr dans les rseaux dadduction deau potable et parfois en assainissement. Aprs un rappel des quations de Bernoulli, le paragraphe suivant sintresse aux pertes de charge linaires et singulires. On aborde ensuite le trac de la ligne pizomtrique et de la ligne de charge qui permettent de caractriser le fonctionnement dun rseau en terme de sur ou sous pression. Un dernier sous-chapitre traite du coup de blier avec les techniques de calcul associes.

Jos VAZQUEZ (Laboratoire Systmes Hydrauliques Urbains) ENGEES

Bibliographie AGHTM : Les stations de pompage deau, Editions Tec et Doc (2000). BERTRAND-KRAJEWSKI J.L., Mesures en hydrologie urbaine et assainissement, d.

Tec et doc, ed. 2000. CARLIER M. : Hydraulique gnrale et applique, Editions Eyrolles (1972). COMOLET R., Mcanique exprimentale des fluides, Masson, ed.1982. GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydrodynamique : Une introduction, Trait de

Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1995).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : coulement permanent

uniforme et non uniforme, Tome 1, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1993).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : coulement non permanent

et phnomnes de transport, Tome 2, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1996).

HAGER W. H. : Wastewater hydraulics theory and practice, Springer, ed. 1999. LENCASTRE A. : Hydraulique gnrale, Editions Eyrolles (1996). LESIEUR M. : La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, Ed. 1994. SCHIESTEL R. : Modlisation et simulation des coulements turbulents, Editions

Herms (1993). SINNIGER R.O., HAGER W. H. : Constructions hydrauliques : Ecoulements

stationnaires, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1989).

VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mcanique des fluides applique, Presses des ponts et

chausses, ed. 1998.


Sommaire CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS ............................................................ 5

1. - ECOULEMENTS EN CHARGE..................................................................................................................... 5 1.1. - Rgimes dcoulements.................................................................................................................. 5 1.2. - Distribution des vitesses dans un tuyau rectiligne ......................................................................... 6 1.3. - Elargissement et rtrcissement dans une conduite....................................................................... 7 1.4. - Sortie dun rservoir ...................................................................................................................... 8 1.5. - Coude............................................................................................................................................. 8 1.6. - Jonction et bifurcation ................................................................................................................... 9 1.7. - Obstacles dans un coulement en charge ...................................................................................... 9 1.8. - Le coup de blier.......................................................................................................................... 10

2. - ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE .......................................................................................................... 12 2.1. - La surface libre............................................................................................................................ 12 2.2. - Distribution des vitesses dans un canal ....................................................................................... 12 2.3. - Notion dinfluence aval................................................................................................................ 13 2.4. - Courbes de remous ...................................................................................................................... 14 2.5. - Le ressaut..................................................................................................................................... 14 2.6. - Les seuils et dversoirs ................................................................................................................ 14

3. - PROPRIETES DES LIQUIDES .................................................................................................................... 16 3.1. - Masse volumique.......................................................................................................................... 16 3.2. - Poids spcifique ........................................................................................................................... 16 3.3. - Viscosit ....................................................................................................................................... 16 3.4. - Pression de vapeur saturante....................................................................................................... 18 3.5. - Tension superficielle .................................................................................................................... 18

4. - CARACTERISATION DES FORCES DANS UN ECOULEMENT ...................................................................... 19 4.1. - Les forces ..................................................................................................................................... 19 4.2. - Importance des diffrentes forces ................................................................................................ 20

5. - LES EQUATIONS DE BASE ...................................................................................................................... 21 6. - OUTILS MATHEMATIQUES ..................................................................................................................... 22

CHAPITRE II : HYDROSTATIQUE ........................................................................................................ 23 1. - EQUATIONS DE LHYDROSTATIQUE....................................................................................................... 23 2. - VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE........................................................... 24 3. - VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE COMPRESSIBLE.............................................................. 26 4. - FORCES HYDROSTATIQUES SUR LES PAROIS.......................................................................................... 26

4.1. - Paroi plane en position incline .................................................................................................. 27 4.2. - Paroi surface gauche ................................................................................................................ 29

5. - FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES ......................................................................... 30 5.1. - Forces dArchimde..................................................................................................................... 30 5.2. - Equilibre des corps immergs...................................................................................................... 30

CHAPITRE III : LHYDRAULIQUE EN CHARGE ............................................................................... 32 1. - LEQUATION DE CONTINUITE ................................................................................................................ 32 2. - EQUATIONS DE BERNOULLI .................................................................................................................. 34

2.1. - Cas des fluides parfaits................................................................................................................ 34 2.2. - Ecriture de Bernoulli pour les fluides rels ................................................................................. 46

3. - EVALUATION DES PERTES DE CHARGE .................................................................................................. 47 3.1. - Les pertes de charge linaire ....................................................................................................... 47 3.2. - Les pertes de charge singulire ................................................................................................... 56 3.3. - Exemple de trac de perte de charge ........................................................................................... 62

4. - POSITION DE LA LIGNE PIEZOMETRIQUE................................................................................................ 63 5. - LES CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES ....................................................................................................... 65 6. - LE COUP DE BELIER............................................................................................................................... 67


Chapitre I :

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

Lhydraulique est ltude des coulements. On distingue deux types dcoulements :

les coulements en charge, dans lesquels leau remplit compltement la canalisation, cest le cas notamment des rseaux deau potable,

les coulements surface libre (interface entre leau et lair), cest le cas des rivires et des rseaux dassainissement.

1. - ECOULEMENTS EN CHARGE

1.1. - Rgimes dcoulements Le rgime dun coulement se caractrise par la fluctuation temporelle des vitesses

et des pressions au sein de la veine liquide. Exprience :

Un premier rservoir deau de niveau constant est vidang par un tuyau. Une vanne place lextrmit du tuyau permet de faire varier le dbit Q (m3/s). Un deuxime tuyau est plac lintrieur du rservoir. Il contient un colorant et permet dobtenir un mince filet fluide color au centre du tuyau.

Injection dun colorant

Vanne de rgulation du dbit

Sens de lcoulement

Zone dobservationRservoir

Mesure de la vitesse en un point

Quand la vitesse est trs faible (quelques millimtres par seconde) le filet color reste bien dfini, rectiligne et parallle laxe du tuyau. Le rgime est dit laminaire. Lcoulement laminaire est rare dans le domaine de lhydraulique de leau potable et de lassainissement, toutefois il nest pas inexistant.

I- Caractristiques des coulements


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Les figurent suivantes montrent un coulement laminaire dans une veine liquide et lvolution de la vitesse en un point (vitesse ponctuelle) en fonction du temps.

Sens de lcoulement

Filet de colorantInjection de colorant

Evolution de la vitesse ponctuelle en fonction du temps en rgime laminaire

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Temps (s)

Vite

sse

(m/s

) Quand la vitesse est plus leve, le filet devient ondul et trs instable. Il se mlange rapidement au fluide ambiant. Des tourbillons de diffrentes tailles apparaissent. Le rgime est dit turbulent. Sens de lcoulement

Filet de colorantInjection de colorant

Evolution de la vitesse ponctuelle en fonction du temps en rgime turbulent

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Temps (s)

Vite

sse

(m/s

)

La turbulence se caractrise donc par la cration de tourbillons. ils mlangent les matires dissoutes dans leau, comme par exemple le chlore dans un rseau deau potable ou le rejet dune station de traitement des eaux uses dans une rivire. La mise en place dun agitateur dans un bassin cre de la turbulence et ainsi il tend homogniser les matires dissoutes.

1.2. - Distribution des vitesses dans un tuyau rectiligne En fonction du rgime dcoulement (laminaire ou turbulent) les forces dans

lcoulement (elles seront dtailles dans un prochain chapitre) sont diffrentes. Cela a pour effet une distribution de la vitesse ponctuelle moyenne dans le temps (que lon appelle vitesse moyenne temporelle) lintrieur du tuyau qui est diffrente suivant le rgime dcoulement. La connaissance du profil de vitesse dans une conduite permet de calculer le dbit. La plupart des capteurs en rseau mesurent la vitesse moyenne temporelle en quelques points et reconstituent le profil complet de la vitesse pour en dduire le dbit. Le graphique suivant compare la forme du profil de la vitesse en rgimes laminaire et turbulent dans une conduite circulaire. En abscisse est reprsent le rapport entre la distance la paroi (r) et le rayon de la conduite ( )R . Lordonne reprsente le

1. Ecoulements en charge


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pourcentage du rapport entre la vitesse maximale du profil et la vitesse ponctuelle rVR

. On constate que la vitesse maximale est au centre de la canalisation. Par contre, le profil de vitesse turbulent varie beaucoup plus quen laminaire au voisinage de la paroi. Cette zone de fort gradient de vitesse est appele couche limite.

Evolution de la vitesse dans une conduite circulaire

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Distance la paroi r/R

Vite

sse

adim

ensi

onne

lle V

/Vm

ax e

n %

Centre de la conduite

Profil de vitesseLaminaire

Profil de vitesseTurbulent

Zone de fort gradient de vitesse

1.3. - Elargissement et rtrcissement dans une conduite La transition entre deux conduites de diamtre diffrent pour un coulement en

charge provoque une rpartition transversale des vitesses longitudinales totalement diffrentes de celles vues prcdemment. On constate une zone ou les veines liquides proches de la paroi se dcollent sur une longueur L. Dans cette zone, on observe des recirculations lorigine de perturbations importantes dans lcoulement.

L

Elargissement

Zone de dcollement de veine liquide

L

Rtrcissement



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1.4. - Sortie dun rservoir La sortie dun rservoir provoque galement une modification de la rpartition de

la vitesse et une zone de dcollement de la veine liquide. On remarque que les lignes de courant (ligne enveloppe du champ de vitesse) se resserrent au passage de la zone de recirculation. La prsence de cette zone a pour effet de diminuer lgrement la section de passage de lcoulement.

Sens de lcoulement

Zone de recirculation

Resserrement des lignes de courants

1.5. - Coude En raison de la courbure de la conduite, un mouvement hlicodal des lignes de

courant peut stablir. La prsence de ce mouvement de rotation persiste sur une longueur en aval du coude ( peu prs 50 fois le diamtre de la conduite). Lorsque la courbure est importante, des zones de recirculation peuvent apparatre. Le mcanisme interne de lcoulement au travers dun coude nest pas encore bien connu, malgr le grand nombre de chercheurs qui ont analys cet lment important.

Zone de recirculation

A

A

A-A

Mouvement hlicodal

Evolution des lignes de courant dans un coude circulaire



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1.6. - Jonction et bifurcation Lcoulement dans une jonction provoque une zone de sparation et une zone de

mlange. Lcoulement de la branche dans laquelle la vitesse est la plus faible est entran par leau provenant de la branche ayant une vitesse plus leve. Ce phnomne est lorigine de dclrations et dacclrations de lcoulement dans les deux branches.

Jonction

Zone de sparation

Zone de mlange

Lcoulement dans une bifurcation se comporte de manire lgrement diffrente du fait de la drivation latrale. Une zone de sparation apparat galement dans la branche latrale.

1.7. - Obstacles dans un coulement en charge Les figures suivantes montrent lvolution des tourbillons laval dun obstacle

dans un coulement en fonction de lintensit de la vitesse.

Obstacle dans un coulement.

Sens de

lcoulement

Lcoulement est faible vitesse. On observe lapparition de deux tourbillons symtriques attachs lobstacle. Cest le

dbut de la turbulence.

Laugmentation lgre de la vitesse entrane un allongement

des deux tourbillons.

A vitesse plus importante les

tourbillon commencent osciller, puis se dtachent.

Laugmentation de la vitesse a pour effet daccrotre la

frquence des oscillations. Les vannes opercule ou les vannes papillons crent un obstacle dans les conduites. Ce sont des organes de contrle du dbit.



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Vanne opercule

Vanne papillon

1.8. - Le coup de blier Le coup de blier est un ensemble de phnomnes hydrauliques complexes

provenant de la modification brutale du champ de vitesse et de pression dans une conduite. Limportance technique des coups de blier est extrmement grande. En effet, lamplitude et la soudainet des surpressions et dpressions qui sont mises en jeu peuvent dtriorer la conduite ou les organes qui y sont branches. Il est ncessaire par consquent dempcher la production de telles perturbations ou du moins de les attnuer. Le coup de blier peut se produire, par exemple, dans le cas de la fermeture brutale dune vanne.

Rservoir

Vanne ouverte Sens de

lcoulement

Entre Sortie Vitesse Uo

Considrons, dans un premier temps, un rservoir se vidangeant par une vanne en position ouverte. La vitesse dans la canalisation est Uo.

Vanne ferme

Rservoir

U=0

Vitesse Uo

Zone de surpression

A un instant donn, la fermeture brutale de la vanne stoppe instantanment le fluide au voisinage de celle-ci. Compte tenu de son inertie, leau pousse fortement sur la vanne. Une surpression importante se cre dans la zone o la vitesse sannule.

Rservoir

Vanne ferme

Uo

Gonflement de la conduite

U=0 Dplacement

de londe

Zone de surpression

Onde de choc

A lamont de la vanne, leau se comprime faiblement et la canalisation gonfle. Tranche par tranche les particules liquides transforment la vitesse en surpression. On observe ainsi la formation et la progression dune onde de choc. Celle-ci remonte de la vanne o elle a pris naissance vers le rservoir. La vitesse de londe peut avoisiner les 1000 m/s en fonction du type de matriau de la conduite.



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Rservoir

Vanne ferme


U=0

Zone de surpression

Pression impose par le rservoir

Londe de choc atteint le rservoir. La conduite entire est en surpression et la vitesse de leau est nulle. Le rservoir est niveau deau constant. Sa pression ne pouvant quasiment pas varier, le rservoir impose donc la pression lentre de la conduite.

Rservoir

Vanne ferme

Uo U=0

Dplacement de londe

Onde de choc

La pression dans le rservoir tant beaucoup plus faible que la surpression dans la conduite, la canalisation, au voisinage du rservoir, va retrouver sa forme initiale. La diminution du diamtre de la conduite va chasser leau vers le rservoir la vitesse Uo. De proche en proche se phnomne se produit et cre ainsi une onde de choc se dplaant cette fois-ci vers la vanne.

Rservoir U=0

Vitesse Uo

Zone de dpression

Ds que londe atteint la vanne, la conduite entire retrouve quasiment sa pression dorigine et sa vitesse initiale inverse. La vanne tant toujours ferme, la vitesse de leau son voisinage est nulle.

Rservoir

Vanne ferme

Uo U=0

Dplacement de londe Zone de

dpression

Onde de choc

Compte tenu de son inertie, leau au voisinage de la vanne entre en dpression et la conduite diminue son diamtre. Une onde de choc en dpression se cre et se dplace vers le rservoir.

Rservoir

Vanne ferme


U=0

Pression impose par le rservoir

Comme prcdemment, le rservoir impose la pression au niveau de lentre de la conduite.

Rservoir

Vanne ferme

Uo U=0

Dplacement de londe

Onde de choc

La conduite retrouve alors sa forme initiale. Le volume deau manquant est pris dans le rservoir et la conduite retrouve sa vitesse initiale Uo.

Rservoir U=0

Vitesse Uo

Londe arrive au niveau de la vanne et on retrouve la configuration initiale.



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2. - ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

2.1. - La surface libre La surface libre est linterface entre lair et leau. La pression y est gale le plus

souvent la pression atmosphrique. Les coulements dans les canaux naturels (rivire) et artificiels (irrigation, assainissement) sont, dans la plupart des cas, des coulements surface libre.

Surface libre

Seuil

2.2. - Distribution des vitesses dans un canal La distribution des vitesses dans une section transversale varie en fonction de la

forme de la section et de la rugosit des parois. Les figures suivantes montrent la rpartition des iso-vitesses dans le cas dun rgime turbulent. Dans certains cas, la vitesse peut-tre maximale un peu au-dessous de la surface libre.

0,25 0,5 0,75

1,0

0,85

0,95

1,0

0,9

Vitesse maximale

max

VV

Comme pour les coulements en charge, nous avons galement un rgime dcoulement laminaire et turbulent. (Lcoulement laminaire est rare en hydraulique).

2. Ecoulements surface libre


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2.3. - Notion dinfluence aval Exprience : londe de gravit

Considrons un canal pente nulle, de section et de hauteur deau constante. Le fluide est au repos (vitesse nulle U=0). A un instant t, on perturbe la surface libre du canal. Il se dveloppe deux ondes se dplaant la mme clrit c. Ces ondes sont appeles ondes de gravit.

c c

U=0 U0 U=0 U0 U=0

Exprience : notion dinfluence aval

On utilise cette fois-ci un canal section transversale, pente, hauteur (h) et dbit (Q) constants. On cre une perturbation grce une vanne que lon ferme et que lon ouvre trs rapidement.

Q U < c

c < 0 c > 0

Aval Amont

Au niveau de la surface libre, il se cre deux ondes :

une onde se propageant vers laval, une onde se propageant vers lamont

quand la vitesse (U) dans le canal est infrieure la vitesse de londe de gravit (c).

Q U > c

c > 0 c > 0

Aval Amont

Quand la vitesse (U) dans le canal est suprieure la vitesse de londe de gravit (c), alors deux ondes se propagent vers laval avec des vitesses diffrentes. U : vitesse de lcoulement c : clrit des ondes c : vitesse de londe amont c : vitesse de londe aval

De cette exprience, on en dduit que : dans le cas o la vitesse du fluide est suprieure la vitesse de londe, lamont

nest pas influenc par les conditions hydrauliques laval (rgime torrentiel); dans le cas contraire, on a une remonte de londe qui va perturber lamont (rgime

fluvial), ce phnomne est appel influence aval.



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2.4. - Courbes de remous Par rapport lcoulement en charge, un coulement surface libre a une difficult supplmentaire qui est la dtermination de la position de la surface libre par rapport au fond du canal (tirant deau). Celle-ci est variable en fonction des caractristiques du fluide et de lcoulement. La figure suivante montre un exemple de forme de surface libre.

Sens de lcoulement

Seuil

2.5. - Le ressaut Le ressaut hydraulique se caractrise par une variation importante et croissante de

la hauteur deau de lamont vers laval du phnomne sur une courte distance. Dans la plupart des cas, une agitation importante de la surface libre permet rapidement de localiser le phnomne, comme par exemple dans le cas dune ressaut fort. Le ressaut hydraulique est lun des phnomnes les plus complexes en hydraulique surface libre. Les connaissances actuelles sur le ressaut hydraulique ne sont pas encore suffisamment tendues pour que lcoulement interne soit parfaitement compris.

Sens de lcoulement

Ressaut fort

Sens de lcoulement

Ressaut ondul

2.6. - Les seuils et dversoirs Le seuil cre un obstacle dans un canal, qui oblige le tirant deau augmenter et donc leau passer par dessus. Dans le cas dun seuil dnoy, leau chute laval du seuil. Dans le cas ou le tirant deau laval de louvrage est important, la chute deau ne peut plus avoir lieu. Dans ces circonstances, le seuil est dit noy.

Seuil dnoy

Seuil trs faiblement noy

2. Ecoulements surface libre


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Seuil faiblement noy

Seuil compltement noy

En fonction de la forme du seuil et de la vitesse de lcoulement, il peut apparatre une zone de dpression laval du seuil.

Zone de dpression

Le dversoir est un ouvrage de bifurcation qui permet un partage des dbits dans deux canaux. Par rapport une simple bifurcation, o les dbits sont partags quelle que soit la hauteur deau, dans un dversoir, le dversement na lieu que si la hauteur du fluide atteint la hauteur de la crte dversante. Dversoir latral

ConduiteAmont

ConduiteAval

ConduiteDverse

Vue de dessus

A M O N T

M ilieu naturel

A V A L

R essaut hydraulique



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3. - PROPRIETES DES LIQUIDES Dans ltablissement des principes de lhydraulique, certaines proprits des fluides jouent un rle important, dautres seulement un rle mineur ou aucun rle du tout. En hydrostatique (fluide au repos) cest le poids spcifique qui est la proprit la plus importante, tandis quen hydrodynamique (fluide en mouvement), la densit et la viscosit sont des proprits dominantes. La pression de vapeur prend de limportance quand interviennent des basses pressions, le liquide en question contient des bulles de vapeur, cest le phnomne de cavitation. La tension de surface influe sur les conditions statiques et dynamiques dans les conduits trs troits, cest le phnomne de capillarit.

3.1. - Masse volumique

La masse volumique () est le rapport : ol

Masse MVolume V

= = [Kg/m3] Pour les liquides, le volume est pratiquement insensible aux variations de pression et, dans la majorit des cas, il augmente faiblement quand la temprature augmente, leau faisant exception cette rgle en dessous de 4C. eau = 1000 kg/m3 mercure = 13546 kg/m3 air sec = 1,205 kg/m3 Attention : Contrairement aux liquides, les gaz sont fortement compressibles. La variation de masse volumique dpend de la temprature et de la pression : ( )f p,T = . 3.2. - Poids spcifique Il reprsente la force de gravit agissant sur la masse par unit de volume : = g. [N/m3] eau = 104 N/m3 3.3. - Viscosit La viscosit dun fluide en mouvement est la proprit qui exprime sa rsistance une force tangentielle. Exprience : Considrons un fluide plac entre deux plaques planes, parallles, distantes de L et horizontales. Lune est fixe et lautre est en mouvement uniforme de vitesse Uo. Pour gnrer une vitesse de la plaque suprieure (surface A), il faut exercer une force F.

Cette force est la rsultante des forces de frottements visqueux.

0

L y

Rpartition de la vitesse entre deux plaques en

rgime laminaire

Uo Uo

3. Proprits des liquides


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Lexprimentation permet de dduire une proportionnalit entre le rapport de la force F et la surface A avec le rapport entre la vitesse Uo et la longueur L telle que :

0UF UA L y

= = [N.s/m2] est appel viscosit dynamique ou absolue. Le viscosimtre : On considre deux cylindres coaxiaux spars par un intervalle e dont lespace entre eux est rempli par un liquide. On fait tourner le cylindre extrieur vitesse constante () et on maintient fixe le cylindre intrieur.

Niveau de leau

Cylindre en rotation

Cylindre fixe Vitesse de

rotation :

e

r

h

Variation de la vitesse de du

liquide suivant lpaisseur e

Le fluide en contact avec le cylindre extrieur va y adhrer et par consquent va tre anim de la vitesse V du cylindre extrieur. Le fluide en contact avec le cylindre fixe aura une vitesse nulle. La viscosit fait natre une force de frottement que lon mesure par le couple M. Les expriences ont montr que : si e est faible par rapport au rayon intrieur r, la courbe reprsentative de la

variation de la vitesse entre r et r+e est une droite, le couple (M) varie proportionnellement la vitesse et on a :

( )2. .r.h .rM Ve

= On dfinit un deuxime coefficient de viscosit, le coefficient de viscosit cinmatique :

= [m2/s]

eau 20C = 10-3 N.s/m2 eau 20C = 10-6 m2/s

mercure = 1,554.10-3 N.s/m2 mercure = 0,1147.10-6 m2/s

air = 18,5.10-6 N.s/m2 air = 15,6.10-6 m2/s

On appelle fluide parfait un fluide dont la viscosit serait nulle (fluide inexistant dans la nature). La viscosit existe ds quil y a mouvement relatif entre particules, que ce soit en rgime laminaire ou turbulent.



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3.4. - Pression de vapeur saturante Lbullition est un phnomne de changement dtat, dans lequel le liquide passe ltat de vapeur. Tous les liquides ont tendance svaporer ; la phase liquide se transforme en phase gazeuse. Au cours de cette transformation, les molcules de vapeur exercent une pression appele pression de vapeur saturante. Dans le cas de leau, la pression de vapeur (ps) crot avec une augmentation de la temprature (T). La pression de vapeur saturante pour leau est donne par la relation empirique suivante :

( ) ( )10 s 102795log p 22.435 3.868log T 273.15T 273.15= ++ avec ps en Pa et T en Celsius. Si, temprature constante, on abaisse la pression la surface dun liquide, ce dernier se met bouillir lorsquon atteint la pression de vapeur saturante correspondant cette temprature. Dans lcoulement des liquides, il peut arriver que la pression en certains points devienne infrieure la pression de vapeur saturante. Le liquide entre alors localement en bullition et des bulles de vapeur apparaissent au sein mme de lcoulement. Ce phnomne, appel cavitation, est le plus souvent nuisible pour les installations o il se produit (canalisation, pompes, turbine). Les variations de volume lors du changement dtat sont telles quil se produit au sein du fluide de vritables explosions de bulles au moment de la vaporisation et de violentes implosions, lors de la condensation.

3.5. - Tension superficielle

Une molcule liquide au repos est soumise aux forces dattractions que les molcules voisines exercent sur elle. Une molcule la surface libre dun liquide ou la surface de sparation de deux liquides non miscibles nest plus soumise laction de forces symtriques, puisquelle nest plus entoure symtriquement par dautres molcules de mme nature. Ainsi la rsultante des forces molculaires nest plus nulle. La surface de sparation se comporte comme une membrane tendue. La force dattraction tangentielle la surface ncessaire pour arracher des particules agissant le long dun segment de longueur unitaire est appele tension superficielle.

Forces entre molcules au sein du fluide

Forces entre molcules au niveau de la surface libre

Surface libre

Molcules

Les effets de tension superficielle ne sont pas importants dans les coulements en eau potable ou en assainissement et ne sont donc pas pris en compte. Tension de surface : Air eau 20C : 0,0724 N/m.

4. caractrisation des forces dans un coulement


19

4. - CARACTERISATION DES FORCES DANS UN ECOULEMENT

4.1. - Les forces Les forces qui agissent sur un volume fini de fluide sont de deux types : - Les forces de volumes,

- Les forces de surfaces.

4.1.1. - Les forces de volumes Elles se composent des forces suivantes : - Les forces de pesanteur provenant de la gravit. - Les forces dacclration pure :

Elles proviennent de la variation de la vitesse (V) de la masse dune fluide (M) dans le temps.

acclration pureVF Mt

= Prenons par exemple deux rservoirs la mme hauteur, dont lun est vide et lautre plein, relis par une conduite de diamtre constant, horizontal et muni dune vanne. A louverture de la vanne, il se produit un coulement. La variation de la vitesse dans le temps ( )V t cre au sein de lcoulement une force dacclration pure.

- Les forces dacclration convective : Elles proviennent de la variation de la vitesse (Vx, Vy, Vz) dans lespace (repre [x, y, z]).

acclration convective x y zV V VF M .V .V .Vx y z

= + + Prenons une conduite dont lcoulement ne varie pas dans le temps ( 0t/V = ). Lcoulement tant permanent, le dbit est identique en tout point de la canalisation. Or, si la surface A est suprieure la surface B alors la vitesse en B (Vb) est suprieur la vitesse en A (Va). Cette variation de vitesse va engendrer une acclration qui va gnrer une force dacclration convective.

Va Vb Vd Vc

Rgime acclr

Rgime acclr

Rgime uniforme

Lab Convergent

Lcd Divergent

Lbc

A B C D

a b

ab

V V 0L >

b c

bc

V V 0L =

c d

cd

V V 0L valeur dpendant de louvrage tudi alors turbulent Si Re < valeur dpendant de louvrage tudi alors laminaire Exemples : Ecoulement dans une conduite circulaire : Si Re > 2500 alors turbulent Si Re < 2000 alors laminaire L : diamtre de la conduite.

Ecoulement entre deux plaques parallles : Si Re < 500 alors laminaire Sinon turbulent L : distance entre les deux plaques.

Ecoulement autour dune sphre : Si Re < 1 alors laminaire Sinon turbulent L : diamtre de la sphre.

4.2.3. - Le Nombre de Froude Le nombre de Froude est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces de pesanteur (Mg). ( )( ) ( ) LgVgLVLgL )T/L(LMgMa

2

3

22

3

23

==

= g : lacclration de la pesanteur, L : longueur caractristique de lcoulement, V : vitesse caractristique de lcoulement.

Ce rapport permet de distinguer le rgime fluvial ou torrentiel que nous avons vu au 2.3.

4.2.4. - Le Nombre de Cauchy Le nombre de Cauchy est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces dlasticit (EA). ( )

EV

EL)T/L(L

EAMa 2

2

23 == E : module dlasticit.

4.2.5. - Le Nombre de Weber Le nombre de Weber est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces de tension superficielle (L). ( )

=

=223 LV

L)T/L(L

LMa

: tension de surface.

5. - LES EQUATIONS DE BASE La dtermination des caractristiques dun coulement consiste rechercher la

pression et la vitesse en tous points. Pour cela, il faut crire des quations dquilibre (ou de conservation) entre les diffrentes forces agissant sur le fluide. Ces quations dquilibre sont :

- lquation de continuit ou quation de conservation de la masse (m) du fluide. dm 0dt

= - lquation de la quantit de mouvement qui traduit lquilibre entre la somme

des forces extrieures (F) qui exercent une influence sur le fluide et le taux de variation de la quantit de mouvement du fluide de masse m.

d m vdt

F( . ) =



22

6. - OUTILS MATHEMATIQUES Elment de volume : dv = dx.dy.dz

dx

dy

dz

Drive partielle :

x

Drive totale : dzzPdy

yPdx

xPdt

tPdP

++

+=

dP P P x P y P zdt t x t y t z t

= + + +

Gradient dun scalaire :

==

zfyfxf

)f(grad)f(grad

Gradient dun vecteur :

=

=

zVz

yVz

xVz

zVy

yVy

xVy

zVx

yVx

xVx

VzVyVx

grad)V(grad

Divergence dun vecteur : z

Vzy

Vyx

Vx)V(div +

+=

Rotationnel : ( )

=

=

yVx

xVy

xVz

zVx

zVy

yVz

VzVyVx

z

y

xVRot


Chapitre II :

HYDROSTATIQUE

Lhydrostatique tudie les conditions dquilibre des liquides au repos. Ce chapitre

aborde ltude de la rpartition de la pression, notamment en fonction de la distance verticale, ainsi que les forces qui en rsultent.

1. - EQUATIONS DE LHYDROSTATIQUE Nous avons vu au chapitre prcdent que lensemble des forces agissant sur un

fluide sont de deux natures : les forces de volume et les forces de surface. En reprenant les rsultats acquis dans ce chapitre, nous allons dtaill lensemble de ses forces. Considrons dans un rservoir un fluide au repos, dont on extrait un petit paralllpipde deau daxe vertical z. Soit p la pression en son centre. Il est soumis aux forces verticales suivantes :

p(x,y,z)

x

y z

dz

Rservoir

p dzp dx.dyz 2

p dzp dx.dyz 2

+

.g.dx.dy.dz

Concernant les forces de volume, il nen existe quune seule la force de pesanteur. Elle scrit de la faon suivante :

( )pesanteurF g. dx.dy.dz= Les forces dinertie nexiste pas puisque le fluide est au repos (vitesse nulle). Concernant les forces de surface, la pression agit sur la face suprieure et infrieure de llment. Ces forces scrivent de la faon suivante :

Force de pression sur le surface infrieure : pression inf.p dzF p dx.dyz 2

=

Force de pression sur le surface suprieure : pression sup.p dzF p dx.dyz 2

= +

II- Hydrostatique


24

Les forces de viscosit et de turbulence nexistent pas puisquil ny a pas de vitesse relative entre les particules de fluide. Lquation de lhydrostatique est dtermin en crivant lquilibre de lensemble des forces : inertied' ForcesF = . En projetant cette quation suivant la verticale, on a :

p dz p dz.g.(dx.dy.dz) p dx.dy p dx.dy 0z 2 z 2

+ + =

soit : p- .g 0z

= On peut crire de faon analogue les quations dquilibre dans les autres directions :

p p0 ; 0x y

= = Ces trois quations montrent que la pression est indpendante de x et de y, cest--dire que la pression ne varie pas dans les directions x et y ou encore quelle est constante dans un plan horizontale. Cela est vrifi tant que lon reste dans un mme fluide ( constante). La pression ne dpend que de z, ce quon crit :

p - .g ou dp=- .g.dzz

=

2. - VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE Pour un fluide incompressible ( = Cte), lintgration de lquation ci-dessus

scrit : p + .g.z = Cte. On crit frquemment : p* = p + .g.z = Cte. On nomme p* lnergie potentielle par unit de volume.

Une autre criture consiste diviser lquation par .g : Cstezgp

g*p =+= ,

On remarque que g*p

est homogne z cest--dire une longueur ce qui offre un moyen

pratique pour la reprsenter graphiquement. g*p

est appele hauteur pizomtrique. Dans ce cas, la pression p est mesure en hauteur de colonne du liquide . Units de mesure : Lunit lgale est le pascal : 1 Pa = 1N/m2 Un multiple du pascal est le bar : 1 bar = 105 Pa Il existe dautres units plus pratiques :

- Le mtre de colonne deau : 3eau1,0mCE 1,0mCE. .g 9,81.10 Pa 0,098bar = = 5

5

eau

101,0bar 10 Pa 10,19mCE.g

= =

2. Variation de la pression dans un fluide incompressible


25

- Le millimtre de mercure : 3 2mercure1,0mmHg 10 .g 1,33.10 Pa =

55

mercure

101.0bar 10 Pa .1000 752,5mmHg.g

= = En hydraulique des rseaux urbains, la pression est le plus souvent exprime en mtres de colonne deau et en bars. Pression absolue et pression relative : La pression absolue est dfinie par rapport la pression dans le vide qui correspond la pression nulle. On en dduit donc que la pression minimale possible est zro. La pression relative se dfinit par rapport une rfrence que lon choisi le plus souvent gale la pression atmosphrique. Cela consiste finalement faire une translation du repre des pressions. La pression nulle est donc quivalente la pression atmosphrique (pa). La pression minimale correspond donc : -pa (pression atmosphrique ngative). Prenons par exemple un rservoir o la surface libre est la pression atmosphrique (pa). En crivant lquation de lhydrostatique par rapport un plan de rfrence, on a : p + .g.z = Cte Entre le point 1 et 2, on a : p1 + .g.z1 = p2 + .g.z2 = Cte, soit : p1 = p2 + .g.(z2 -z1) = pa + .g.h, avec pa=105 Pa. La pression en 1 est mesure en pression absolue. La figure suivante montre la rpartition des pressions suivant la hauteur. Pression

atmosphrique : Pa

1

2

h + =

p1=gh pa pa+p1

Plan de rfrence z1 z2

Dans la pratique, on prfre souvent mesurer par rapport la pression atmosphrique (pa). Dans ce cas, la pression au point 1 devient : p1 = p1 - pa = .g.(z2 -z1) = .g.h. La pression en 1 est mesure en pression relative par rapport la pression atmosphrique. La plupart des instruments de mesure fournit une pression relative appele galement pression manomtrique.

II- Hydrostatique


26

3. - VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE COMPRESSIBLE Contrairement aux liquides, les gaz sont fortement compressibles. La variation de la

masse volumique dpend de pression p et de la temprature T : ( )f p,T = . Sil sagit dun gaz parfait, nous avons :

p rT= , r tant une constante. On peut ainsi dfinir

laltitude z0 : 0 00

p rT= , ce qui nous permet de calculer la constante r.

En reprenant lquation de lhydrostatique : dp - .gdz

= on a : 000

Tdp pgdz p T

= . Si on se place temprature constante T=T0, lquation peut ainsi scrire :

0 00

0 0

g gdp dz => p=p exp zp p p

=

Dans le cas de lair, p0=1,013 105 Pa et 0=1.205 kg/m3, lquation prcdente permet de caractriser lvolution de la pression dans lair en fonction de laltitude :

500

0

g z p=p exp z 1,013.10 expp 8570

=

4. - FORCES HYDROSTATIQUES SUR LES PAROIS

Les forces hydrostatiques sur une surface proviennent des forces de pressions du fluide agissant sur cette surface. Il convient, donc dans un premier temps, de caractriser la pression du fluide sur une surface. Pour cela, on a besoin de :

- lintensit : la pression dpend de la profondeur deau h. Elle est calcule par la relation : p = .g.h,

- la zone dapplication : la pression sapplique sur une surface (ds), - la direction : la pression est toujours perpendiculaire la surface dapplication.

p

h ds surface gauche

surface dapplication de la pression

Le calcul des forces hydrostatiques sur une surface quelconque plonge dans leau, consiste dterminer les trois caractristiques suivantes :

4. Forces hydrostatiques sur les parois


27

- lintensit de la force qui sapplique sur la surface ds : dF = p.ds = .g.h.ds, - le point dapplication de la force, - la direction.

Dans le but de fournir des rsultats facilement applicables, on distingue les surfaces planes et les surfaces gauches.

4.1. - Paroi plane en position incline On sintresse aux surfaces planes de forme quelconque entirement immerge dans leau. La figure suivante reprsente gauche la surface immerge et droite une vue A-A de cette surface. On dfinit un repre (x,y) dont laxe (x) est sur la surface libre et (y) dirig vers le bas et passant par la surface plane. Le point G(xG,yG) est le centre de gravit de la section. On dfinit le repre (, ) comme tant une translation du repre (x,y) centr en G. Lintensit de la force rsultante agissant sur la surface S est dfinie par :

==SS

hdsg.dFF

Lintgration de cette quation scrit : F = .g.hG.S,

hG : hauteur deau du centre de gravit de la paroi immerge, S : surface de la paroi immerge.

G P

y

x

yPyG

y

hP hG

h=y.sin()

y

x

ds

F

Vue A-A

Ixx

I

Vue A-A

Surface S ds

Le point dapplication de la force rsultante des pressions P(xp, yp) est appel : centre de pression ou de pousse. La position de ce point est dfinie par la position du barycentre des surfaces lmentaires (ds) pondres par la pression sur chaque surface, ce qui revient calculer le moment quivalent des forces de pression, cest--dire :

II- Hydrostatique


28

pS

pS

x.dF x .F

y.dF y .F

=

=

Dans le grande majorit des cas les surfaces sont symtriques par rapport laxe , ce qui revient dire que : xp = xG. La deuxime intgrale scrit :

2

Sp G

GS

y dsI

y yy .Syds

= = +

I reprsente linertie de la section suivant les axes . Le tableau suivant fournit le centre de gravit, la surface et linertie pour quelques formes de surface plane.

h v

v

b

G

3

2h hv ; v3 3

bh bhS ; I2 36

= =

= =

h v

v

b

G

3

h hv ; v2 2

bhS bh ; I12

= =

= =

h v

v

B

G

b

( ) ( )( )3 2 2

h 2B b h B 2bv ; v3 B b 3 B b

h B 4Bb bhS B b ; I2 36 B b

+ + = = + + + += + = +

d v

v

a

G

2 2 4 4

d a 3 d a 3v ; v2 2 2 2d 3 3a 3 5d 5a 3S ; I

2 2 1648 3

= = = =

= = = =

4. Forces hydrostatiques sur les parois


29

v v

R

G

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

3

2

34 4

4sinv R 1

3 2 sin 2

v R 1 cos v

RS 2 sin 22

1 cos 2R RI 4 sin 416 9 2 sin 2

= = =

=

v

v

G

42

v R ; v RRS R ; I4

= == =

4.2. - Paroi surface gauche La premire mthode permettant le calcul de la force rsultante F sur une paroi gauche consiste dcomposer la force lmentaire dF suivant les axes x et y :

x ydF dF .x dF .y= + Lvaluation des projections de dF suivant x et y, peut se faire de la manire suivante :

x

y

dF cos( ).p.ds cos( ). .g.h.dsdF sin( ).p.ds sin( ). .g.h.ds

= = = =

1

2

3

h1

h2

dF

x y

dFy

dFx

Lintgration xdF et ydF sur toute la surface de llment courbe permet dvaluer le force rsultante F. Compte tenu de la surface courbe, langle est variable, ce qui complique le calcul de lintgrale.

II- Hydrostatique


30

Une deuxime mthode consiste isoler un volume de fluide et faire lquilibre des forces extrieures agissant sur ce volume. Dans lexemple suivant, le volume de fluide isol est compos dun ensemble de surfaces planes horizontales et verticales et de la surface gauche (23). Le choix des surfaces planes se justifie par lutilisation des relations prcdentes.

1

2

3

h1

h2

p1 p2

p3

p3

W

Fx

Fv

FR x

y

En faisant lquilibre des forces suivant lhorizontale, on en dduit que la composante horizontale de la force hydrostatique (FR) est donne par Fx. La composante verticale est la somme de la force Fv et du poids de leau W. En faisant la composition vectorielle des forces Fx et Fv, on en dduit FR. Il suffit dcrire ensuite le moment des forces par rapport un point quelconque pour localiser la position de FR.

5. - FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES

5.1. - Forces dArchimde Supposons quune surface ferme formant un corps solide de poids volumique s, de volume total V et de volume immerg Vimmerg, se trouve immerge entirement ou partiellement (Vimmerg V) dans un liquide au repos de poids volumique . Les forces verticales qui agissent sur le corps sont : - les forces de pesanteur : V. s - les forces de pression du liquide : Vimmerg. (Appeles forces dArchimde ou forces de portance) La force dArchimde est applique au centre de gravit du liquide dplac (centre de pousse). Pour un corps plein de poids volumique homogne et entirement immerg, le centre de pousse est confondu avec le centre de gravit du corps. Il nen est pas de mme pour les corps flottants.

5.2. - Equilibre des corps immergs Un corps est en quilibre si le poids W et la force dArchimde sont gaux, opposs et situs sur la mme ligne verticale. Dans le cas contraire, il en rsulte un mouvement. La stabilit peut se dfinir de la faon suivante : si on incline un corps dun angle par rapport la verticale, le corps est soumis un couple de redressements qui le fait tourner jusqu ce quil revienne sa position initiale.

4. Forces hydrostatiques sur des corps immergs


31

Linstabilit est donc dfinie par un couple qui tend augmenter linclinaison.

G

P G

P

G

P Dsquilibre volontaire Mouvement

naturel de la quille

G

P

Mouvement naturel de la quille

Dsquilibrevolontaire

Equilibre stable Equilibre instable

Dsquilibre

volontaire Mouvement naturel

Dsquilibre volontaire

Mouvement naturel

Dans cet exemple, on constate que la position dquilibre stable est vrifie pour un angle , et que la position instable correspond un angle qui a la particularit : < . On en dduit quil existe donc un angle limite limite de basculement entre ltat stable et instable.


Chapitre III :

LHYDRAULIQUE EN CHARGE

La dynamique des fluides consiste tudier le mouvement des particules fluides soumises un systme de forces. Bien souvent, on commence par ltude les fluides fictifs dit fluides parfaits . Ils ont la particularit de ne pas avoir de viscosit et de ne pas dvelopper de la turbulence. Ils permettent dtablir lquation de Bernoulli facilement. Les fluides rels engendrent des forces de frottement dues la turbulence et la viscosit. La prsence de ces forces induit une perte de charge (nergie) qui est une transformation irrversible de lnergie mcanique en nergie thermique. Ce chapitre aborde, dans un premier temps, lquation de continuit et surtout ltablissement de lquation de Bernoulli. Dans un deuxime temps, lvaluation des pertes de charges ainsi que les mthodes de calcul des rseaux hydrauliques en charge sont exposes.

1. - LEQUATION DE CONTINUITE Cette quation exprime le principe de conservation de la masse : la variation de

masse de fluide dun lment de volume dv pendant un temps dt est gale la masse de fluide entrante dans ce volume dduite de la masse de fluide sortante.

dx

dz

dy x

y

z (x,y,z)

Variation de masse entre t et t+dt La masse de fluide contenue dans le volume dv=dx.dy.dz est gale au temps t : .dx.dy.dz

1-Equation de Continuit


33

Aprs un temps dt dans ce mme volume, la masse est gale : dz.dy.dxdtt

+

On constate donc une variation de masse de : dz.dy.dx.dtt

Variation de masse de fluide pendant la dure dt entre ce qui entre et ce qui sort : On dfini le dbit massique par : massique suivant x volumique suivant xq .Q .u.dy.dz= =

massique suivant xq ( )massique suivant x

massique suivant x

q dxq .x 2

1 2

( )massique suivant xmassique suivant x

q dxq .x 2

+

La masse de fluide entrante par la face 1 (suivant x) pendant le temps dt est : ( ) ( )massique suivant xmassique suivant x

q u.dydzdx dxq . .dt u.dydz . .dtx 2 x 2

=

La masse de fluide sortante par la face 2 (suivant x) pendant le temps dt est : ( ) ( )massique suivant x

massique suivant x

q u.dydzdx dxq . .dt u.dydz . .dtx 2 x 2

+ = +

La diffrence de masse entre ce qui entre et ce qui sort dans le volume dv est donc suivant

x : dt.dz.dy.dxxu

On a de mme suivant y et zu

avec V vw

= : dt.dz.dy.dx

yv

; dt.dz.dy.dx

zw

En crivant que la variation de masse de fluide dun lment de volume dv pendant un temps dt est gale la masse de fluide entrante dans ce volume moins la masse de fluide sortante, on a :

( u) ( v) ( w) t x y z

div( V) 0t

= + =

Cest lquation de continuit dun fluide conservatif. Cas des fluides incompressibles :

Si le fluide est en mouvement permanent ( 0t

= ) la masse volume est indpendante du

temps et si le fluide est incompressible, est indpendant de x, y et z, lquation de continuit se rduit : div(V) = 0

34 III- Hydraulique en charge


Linterprtation physique de cette quation est la suivante : les dbits Q entrant et sortant travers un volume quelconque et rempli du fluide doivent tre gaux. Exemple de conduite section variable : (Intgration de div(V) sur le volume et passage une intgrale de surface par Ostogradski)

U1.S1 = U2.S2

2. - EQUATIONS DE BERNOULLI

2.1. - Cas des fluides parfaits Les fluides parfaits ont donc la particularit de ne pas avoir de viscosit et de ne pas dvelopper de la turbulence. Ils permettent dtablir lquation de Bernoulli facilement.

2.1.1. - Equations dEuler

p(x,y,z)

p dzp dx.dyz 2

p dzp dx.dyz 2

+

.g.dx.dy.dz

En raisonnant, dans un premier temps, suivant la verticale (z), les forces qui agissent sur cet lment de volume dv = dS.dz, sont : Les forces de volumes :

- les forces de pesanteur provenant de la gravit : - .g.dv

2-Equations de Bernoulli


35

- Les forces dinertie : dvtz

zw

ty

yw

tx

xw

twdv

dtdw

+

+

+

=

- les forces dacclration pure : w dvt

- les forces dacclration convective : .grad(w).V.dv Les forces de surfaces : - les forces de pression : Surface infrieure : p dzp dx.dy

z 2

: Surface suprieure : p dzp dx.dyz 2

+ - les forces de frottement de viscosit : 0 - les forces de frottement de turbulence : 0 En crivant lquilibre de lensemble des forces : inertied' ForcesF =

p dz p dz w.g.(dx.dy.dz) p dx.dy p dx.dy dS.dz .grad(w).V.dS.dzz 2 z 2 t

p w.g .grad(w).Vz t

+ + = + = +

En crivant lquation suivant les trois directions :

1 p u u u uu v wx t x y z

1 p v v v vu v wy t x y z1 p w w w wg u v w

z t x y z

= + + + = + + +

= + + +

soit : 0)z.g.p(grad1V).V(gradtV =+++

Cette quation est appele lquation dEuler. Recherche dune solution Les caractristiques du mouvement dun fluide incompressible dpendent de quatre inconnues : Vx, Vy, Vz et de p. Lquation dEuler fournit trois quations. Lquation de conservation de la masse fournit une quation : div(V) = 0 Pour obtenir une solution, il faut galement dfinir un nombre suffisant de conditions

aux limites : - la surface libre : p(x, y, z, t) = Cste = pa. - la paroi : V doit tre parallle la paroi.



Utilisation des quations dEuler pour le calcul des forces hydrauliques sur une surface Le thorme dEuler permet de calculer la raction de leau sur un lment. En raisonnant, suivant un tube de courant en rgime permanent, les forces qui agissent sur cet lment sont : - Les forces de volumes : - les forces de pesanteur provenant de la gravit : g.V. vol - les forces dinertie : - les forces dacclration pure : 0 - les forces dacclration convective :

== j jjextjjV S ext S).n.V.(V.ds).n.V.(V.dv.VsV.

- Les forces de surfaces : - les forces de pression sur les surfaces Si : i

iiS.p

- les forces de frottement de viscosit : 0 - les forces de frottement de turbulence : 0 - laction du fluide sur llment : R En crivant lquilibre de lensemble des forces : inertied' ForcesF =

=+j

jjextjji

iivolS).n.V.(V.RS.pg.V.

2221112ext221ext11vol V.S.V.V.S.V.Rn.S.pn.S.pg.V. +=



37

2.1.2. - Equations de Bernoulli Le systme dquations intrinsques consiste crire les quations dEuler en rgime permanent ( 0t = ) dans un repre particulier. Ce repre est constitu par les lignes de courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v n.

en appelant sG le vecteur unitaire de la tangente la trajectoire, on a :

sVV GG = et dtsdVs

dtdV

dtVd GGG +=

avec : VRn

dtds.

dssd

dtsd GGG ==

R : rayon de courbure et nG le vecteur perpendiculaire sG .

nsuivant )ph.g.(n

1RV.V

ssuivant )ph.g.(s

1sVV

G

G

+

=

+

=

Avec, V : lintensit de la vitesse dune particule fluide.

En restant sur la ligne de courant on peut intgrer la premire quation et lon obtient lquation de Bernoulli :

Csteph.g.2

V2 =++ Lquation de Bernoulli est valable en tout point du fluide incompressible en mouvement permanent.

En se plaant sur une ligne normale la ligne de courant et un rayon de courbure

infini (ligne droite), on obtient : Csteph.g. =+



2.1.3. - Reprsentation graphique Les diffrents termes de lquation de Bernoulli peuvent tre crits en quantits homognes des hauteurs de liquide de poids volumique :

gE

mgW=Cste p p h

g2V t

2

===++ hauteur due cote du hauteur due charge totale la vitesse point la pression Hauteur pizomtrique

En terme de pression :

volumet

2

VW=Cste p p.g.h

2V ==++

Pression pression statique pression totale dynamique

2.1.4. - Interprtation nergtique Lquation de Bernoulli peut donner lieu une interprtation nergtique :

Cste p *p 2

Vt

2

==+ Energie Energie Energie cintique potentielle mcanique totale



39

Lquation mcanique totale contenue dans un volume unitaire est donc le travail mcanique total que la particule est susceptible daccomplir. Ainsi, on peut dire que lquation de Bernoulli traduit la conservation de lnergie mcanique totale par unit de volume au cours du mouvement permanent. Dans un coulement, lnergie mcanique totale par unit de volume de fluide, peut tre modifie dune section lautre en introduisant par exemple dans le circuit une machine hydraulique. Ainsi lexpression de lquation de Bernoulli scrit :

gEp+h

2gV=p+h

2gV 2

2

221

1

21 ++

Si lchange dnergie se fait des parois de la machine vers le fluide nous avons affaire une pompe, si au contraire, lchange dnergie se fait du fluide au parois de la machine, nous avons affaire une turbine. Lquation dnergie est modifie par le terme E, qui reprsente laugmentation par une pompe ou la diminution par une turbine de lnergie mcanique totale par unit de masse de liquide en mouvement.

2.1.4.1. - Turbine Exemple dinstallation :

La puissance est dfinie par : TempsTravailPuissance =



Pour une turbine la puissance hydraulique est dissipe par :

[ ]

2

2

. *2Variation d'nergie

Unit de temps.

* . .2

t

VVolume pEPt t

Volume V p g Q Ht

+ = = = = + =

( )H.Q.gE.Q.P tt =

=

Types de turbines :

Turbine Pelton Turbine Francis



41

Turbine Kaplan

Choix dune turbine :



2.1.4.2. - Pompes Exemple dinstallation :

Principe de montage :

Types de pompes :



43

Choix dune pompe :

La puissance est dfinie par : TempsTravailPuissance =

Pour une pompe la puissance hydraulique est fournie par : ( )H.Q.g

E.Q.P pp =

=



Exemple de courbe caractristique pour une pompe multicellulaire tage (de 1 12 tages) : H= Charge totale en sortie Charge totale en entre

Caractristiques par tage :



45

Dfinition du NPSH Net Positive Suction Head (charge nette laspiration) La pompe transmet une vitesse au fluide par lintermdiaire de la roue ou de lhlice. La vitesse du fluide qui entre dans la roue augmente et par consquent la pression diminue lentre engendrant une aspiration et le maintien de lamorage. La rotation lintrieur de la pompe augmente la vitesse du fluide tandis que la force centrifuge qui le comprime sur la priphrie augmente sa pression. Lorsqu la suite de survitesses locales des zones de sous-pression apparaissent sur les bords dattaque des aubes des roues de pompes centrifuges, la pression descend en dessous de la pression de vapeur saturante du liquide, ce phnomne entrane la formation de bulles de vapeur. Leau utilise dans les installations industrielles contient de lair dissous dans une proportion atteignant 25mg par litre. Lorsque leau est soumise une pression dcroissante, on observe le dgagement de lair dissous quand la pression atteint la pression de saturation et une vaporisation quand la pression atteint la pression de vapeur. Un phnomne de dgazage puis de vaporisation partielle du liquide vont apparatre lintrieur de la pompe. Les micro-bulles formes sont transportes par le fluide dans les zones de plus haute pression o elles implosent au contact des pices mobiles. Un tel phnomne saccompagne de variations normes de pression (plusieurs milliers de bars) localises sur de trs petites surfaces. Il en rsulte une rosion intense des surfaces mtalliques et une chute de pression dans toute linstallation.

Le critre qui sert viter la cavitation dans une pompe est le NPSH.

NPSH= Charge totale lentre de la pompe pression de vapeur saturante 2

entre pompe entre pompevapeur saturante

PVNPSH h2g g

= + (Le plan de rfrence est pris au niveau de lentre de la pompe)

Cette caractristique est fournie par linstallateur dans le cas ou lon parle de NPSH disponible. Cette expression est indpendante de la pompe utilise et ne dpend que de linstallation (Longueur et diamtre daspiration, pertes de charge le long de cette canalisation, hauteur gomtrique daspiration). On parle de NPSH requis pour la charge nette laspiration fournie par le constructeur de la pompe. Cette relation est indpendante de linstallation de la pompe et ne dpend que de ce qui se passe dans la pompe. Pour que linstallation puisse correctement fonctionner il faut : NPSHdisponible > NPSHrequis



2.2. - Ecriture de Bernoulli pour les fluides rels Nous avons vu que pour le cas dun fluide rel et en rgime permanent, dautres forces interviennent, notamment les forces dues au frottement, qui font apparatre une dissipation de lnergie mcanique en nergie thermique.

Le long dune ligne de courant, lnergie mcanique diminue du fait de laugmentation de lnergie thermique ; on appelle ce phnomne la perte de charge due aux frottements dans un liquide. Aprs intgration entre deux points sur la mme ligne de courant lquation de Bernoulli scrit :

2122

22

11

21 jhp

g2Vhp

g2V

+++=++ 21j : est la perte de charge entre 1 et 2 en (m).

Toute la difficult consiste dterminer cette perte de charge.



47

Une reprsentation graphique peut tre visualise par la figure suivante :

3. - EVALUATION DES PERTES DE CHARGE Lcoulement dun fluide rel dans une conduite reprsente une des applications classiques de lhydrodynamique thorique et exprimentale. La matrise de ces coulements pour le calcul du fonctionnement des rseaux deau potable est indispensable. On distingue deux types de perte de charge : - la perte de charge linaire reprsentant lnergie perdue entre les deux points,

- la perte de charge singulire qui intervient lorsque lcoulement uniforme est localement perturb.

3.1. - Les pertes de charge linaire

3.1.1. - Profil des vitesses dans une section circulaire en charge

Dans le cas dun coulement permanent 0t = , le profil des vitesses dans une section est dpendant de lintensit de la vitesse et de la gomtrie de louvrage. En effet, nous avons vu que la turbulence apparat quand la vitesse dpasse un seuil (exprience de Reynolds). Ceci peut tre reprsent par la figure suivante :



Dans la zone laminaire seules les forces de frottement interviennent. Dans la zone turbulente les forces de turbulence deviennent prpondrantes et une sous-couche visqueuse trs mince apparat. Dans le cas des conduites en charge o lcoulement est laminaire, seules les forces de viscosit interviennent ; le profil des vitesses est parabolique et est donn par la figure suivante :

Dans le cas o lcoulement est turbulent, le profil des vitesses tend tre uniformis et est du type logarithmique.

On constate une zone centrale de pleine turbulence o le gradient de vitesse est trs faible et le profil est aplati en son centre. La zone de la couche limite est de trs faible paisseur et proche de la paroi. Le gradient de vitesse est trs important et les forces de viscosit sont donc trs importantes dans cette couche. Une approche mathmatique exacte nest

3- Evaluation des pertes de charge


49

pas possible dans ce type dcoulement complexe. Les relations qui seront construite sont toutes dorigines empiriques. Deux types dcoulements turbulents dans les conduites relles (prsentant des asprits) existent :

- conduite hydraulique lisse : lcoulement est spar de la paroi par un film laminaire,

- conduite hydraulique rugueuse : la sous-couche laminaire disparat et la turbulence arrive jusqu la paroi.

Dcrivons le profil de lcoulement le long dun diamtre de conduite hydraulique lisse. On distingue habituellement deux rgions : une rgion centrale dite externe qui correspond plus de 90% de lcoulement et une rgion voisine de la paroi dite interne.

Dans la rgion centrale, trs aplatie, la vitesse est indpendante des asprits de la paroi et dpend peu de la viscosit. Lcoulement est form de tourbillons importants, allongs, contenant des tourbillons plus petits. Lintensit de la turbulence est peu trs constante dans ce domaine. Dans la zone interne, voisine de la paroi, la vitesse passe dune valeur lev zro sur une distance relativement faible. Le fort gradient de vitesse qui en rsulte impose au fluide des contraintes de cisaillement leves et donc dintenses frottements visqueux. On comprend donc que la dissipation dnergie qui entrane une partie de la perte de charge ait lieu principalement dans cette zone. En revanche, lintensit leve de la turbulence se traduit par un accroissement important des transferts de quantit de mouvement entre particules de fluide, dans toutes les directions. Ces particules tant porteuses de chaleur, il en rsulte des proprits utilisables pour les transferts thermiques. La turbulence est mesure par le nombre de Reynolds. Dans le cas des conduites circulaires le domaine laminaire et turbulent est diffrenci par une valeur de Reynolds de :



La variation du dbit ou de la vitesse dans un tuyau de diamtre constant provoque une perte de charge hr. Cette dernire varie en fonction de la vitesse peu prs linairement quand lcoulement reste laminaire et quadratiquement quand lcoulement est turbulent. Entre les deux types dcoulement il y a une zone de transition, cest--dire une zone dincertitude o il faut faire preuve de beaucoup de rserve.

3.1.2. - Expression de la perte de charge linaire Compte tenu des difficults pour rsoudre lquation de Navier-Stokes, la perte de charge sera traduite par une quation empirique du type :

g2U

DLH

2

= ; gD2U

LHJ

2

== est un coefficient de perte de charge. Il est sans dimension et est fonction du nombre de

Reynolds et de la rugosit de la paroi. (Parfois appel f) L est la longueur de la conduite D le diamtre U la vitesse moyenne J la perte de charge part unit de longueur

3.1.2.1. - En rgime laminaire Re < 2000 En rgime laminaire, seules les forces de viscosit interviennent. La vitesse est trs faible et ltat de surface de la paroi nintervient pas dans le calcul du coefficient. On dtermine ainsi :

Re64=

Pour une conduite circulaire, on a : 2DU

g32J =



51

3.1.2.2. - En rgime turbulent Re > 4000 Une surface rugueuse implique un tat de surface telles que ses irrgularits ont une action directe sur les forces de frottement, cest--dire quau del dun certain degr de rugosit la configuration gomtrique de la surface exerce une influence bien dtermine sur lcoulement. Dans le cas des coulements en charge appliqus au domaine de lingnieur, la rugosit va jouer un rle trs important. Une surface rugueuse peut tre considre comme tant constitue par une srie de protubrances lmentaires. Elles sont caractrises par une certaine hauteur k (dsigne parfois par )

Cette rugosit peut tre mesure par rapport au diamtre de la conduite. On parle alors de

rugosit relative : DD

k = Si la rugosit est ondule le film laminaire pourra, dans une certaine mesure, se modeler sur les ondulations. Si au contraire elle prsente des artes vives, le film sera aisment corch puis dchir par les asprits, linfluence de la viscosit dans la couche limite sera diminue et la turbulence fortement augmente. Ceci se traduit par une vitesse moyenne rduite.

Les surfaces auxquelles on a affaire dans la pratique (bton, acier, fonte) ne prsentent pas des caractristiques de rugosit uniforme. En effet, les protubrances de la surface sont ingales et irrgulirement distribues. Elles proviennent du rivetage, des recouvrements, des joints, des dfauts sur la paroi, de corrosion, dincrustations... On dfinit ainsi deux types de rugosit : lisse et rugueuse. La diffrence entre les deux dpend du nombre de Reynolds.



Les tableaux suivants donnent quelques indications sur la valeur de .



53



Le calcul de la perte de charge linaire va donc prendre en compte le nombre de Reynolds et la rugosit de la conduite. Le choix se fait en fonction de la turbulence cest--dire de la valeur du nombre de Reynolds. Rgime turbulent en tuyau lisse :

4000 < Re et .Re. 12D

: Dans cette zone, la turbulence est encore modre. Lpaisseur de la sous-couche limite est suffisante pour englober toutes les asprits de la conduite qui se comporte ds lors comme un tuyau lisse. Deux expressions empiriques sont souvent utilises: Formule de Blasius : 25.0Re)100( = Formule implicite de Von Karman :

= 51.2

Relog.21 10

Rgime turbulent en tuyau rugueux :

200D.Re. : La turbulence devient trs importante et ne dpend plus que de

DDk =

Formule de Nikuradse :

= D71,3log.21

10

Rgime turbulent en tuyau lisse, rugueux et en zone de transition : Tous les rsultats de ces travaux sont rsums dans la formule de Colebrook qui sest fortement inspir des rsultats de Von Karman et de Nikuradse.

Formule de Colebrook :

+= D7.3Re51.2log.21 10 pour 10

8 > Re > 4000

Cette relation implicite est difficile exploiter analytiquement et est le plus souvent reprsente sur un graphique.



55

ks/D f



On pourra utiliser les tables de Lechapt et Calmon en 1965 en remplaant la formule de Colebrook par une formule approche de la forme : J = L.QM.D-N o L, M et N sont des constantes pour une rugosit donne. Pour des valeurs de vitesse comprises en 0.4m/s et 2m/s cette formule conduit des carts relatifs infrieurs 3% par rapport la formule de Colebrook. La formule dHazen et Williams est galement souvent utilise :

87.485.1HW

85.1

D.CQ69.10J = ; Coefficient de Hazen et Williams fonction de k.

3.2. - Les pertes de charge singulire La perte de charge singulire, localise dans une section de la conduite, est provoque par un changement de direction et dintensit de la vitesse (voir premier chapitre). Lcoulement uniforme est perturb et devient localement un coulement non uniforme. La turbulence joue un rle considrable, alors que les forces de viscosit sont ngligeables. La perte de charge na donc lieu quen rgime turbulent. Une telle non-uniformit de la vitesse peut tre provoque par : - un branchement de section de la conduite, - un changement de direction (coude), - un branchement ou raccordement, - un dispositif de mesure et contrle de dbit... Comme pour les pertes de charge linaire, les pertes de charges singulires se traduisent par la relation :

g2VKH

2

= K est fonction des caractristiques gomtriques et du nombre de Reynolds. La valeur de K est donne pour les diffrents cas les plus classiques dans les tableaux suivants :



57

Raccordement dune conduite avec un grand rservoir Dpart Sans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement angles vifs

5.0K =

Sans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement angles vifs, ajutage dbitant gueule be

1K =

Avec saillie lintrieur du rservoir

1K = Pour une saillie dont la longueur est comprise entre 1 et 2 fois le diamtre

Sans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement de profil arrondi

05.0K = Cette valeur est une moyenne, elle dpend du profil de larrondi.



Arrive

S1

S2

1K =

2

2

1

2

2

1

SS

91

SS1K

+

=

S2>>S1 => K=1

Coudes Arrondi

+=90r.2

d847.1131.0K27

en degrs

r/d => 1 1.5 2 2.5 3

() 11.25 0.037 0.021 0.018 0.017 0.017 22.5 0.074 0.043 0.036 0.034 0.034 30 0.098 0.057 0.048 0.046 0.045 45 0.147 0.085 0.073 0.069 0.067 60 0.196 0.114 0.097 0.092 0.090 90 0.294 0.170 0.145 0.138 0.134 180 0.589 0.341 0.291 0.275 0.269

Brusque

K est indpendant du diamtre

() 22.5 30 45 60 90

K 0.07 0.11 0.24 0.47 1.13



59

Ts Branchement de prise 90 de mme diamtre et angles vifs

g2VKH

2t

rr =

g2VKH

2t

bb =

Qb/Qt Qb/Qt 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Qb/Qt 1

Kr 0.40 0.26 0.15 0.06 0.02 0.00 Kb 1.00 1.01 1.05 1.15 1.32 1.45

Branchement damene 90 de mme diamtre et angles vifs

g2VKH

2t

rr =

g2VKH

2t

bb =

Qb/Qt Qb/Qt 0 0.1 0.2 0.4 0.8 Qb/Qt 1

Kr 0 0.16 0.27 0.46 0.60 0.55 Kb -0.60 -0.37 -0.18 0.26 0.94 1.20

Cnes Convergent

La perte de charge est ngligeable.



Divergent 22

2

125.1

DD1.

2tg.2,3K

=

Si > 20 il y a dcollement et le comportement est identique celui dun largissement brusque.

2

2

1

DD

3 6 8 10 12 14 16 20 24 30 40

0 0.03 0.08 0.12 0.15 0.19 0.23 0.28 0.37 0.46 0.62 0.900.05 0.03 0.07 0.10 0.14 0.17 0.21 0.25 0.33 0.42 0.56 0.820.1 0.03 0.06 0.09 0.12 0.16 0.19 0.22 0.30 0.37 0.50 0.730.2 0.02 0.05 0.07 0.10 0.12 0.15 0.18 0.23 0.30 0.39 0.580.3 0.02 0.04 0.06 0.07 0.09 0.11 0.13 0.18 0.23 0.30 0.440.4 0.01 0.03 0.04 0.05 0.07 0.08 0.10 0.13 0.17 0.22 0.330.5 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.09 0.12 0.15 0.230.6 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.04 0.04 0.06 0.07 0.10 0.14

Changement brusque de diamtre Rtrcissement

=

2

1

2

DD1.5,0K

1

2

DD

0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

K 0.500 0.495 0.480 0.455 0.420 0.375 0.320 0.255 0.180 0.095

Elargissement

2

2

1

2

2

1

SS

91

SS1K

+

=

2

1

DD

0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

K 1.000 0.980 0.922 0.829 0.708 0.569 0.424 0.287 0.175 0.109



61

Appareils de robinetterie Vanne opercule

Dp

81

82

83

84

85

86

87

K 0.07 0.26 0.81 2.06 5.52 17 98

Vanne papillon

5 10 15 20 30 40 45 50 60 70 K 0.24 0.52 0.90 1.5 3.9 11 19 33 118 750

Robinets Boisseau

5 10 15 20 30 40 45 50 55 60 K 0.05 0.29 0.75 1.6 5.5 17 31 53 110 206

Clapet battant

20 30 40 45 50 55 60 65 70 75

K 1.7 3.2 6.6 9.5 14 20 30 42 62 90



3.3. - Exemple de trac de perte de charge Considrons une conduite de longueur L12. On dispose en 3 dun rtrcissement brusque.

Supposons deux conduites horizontales avec une liaison du type largissement ou rtrcissement brusque.

4- Position de la ligne pizomtrique


63

4. - POSITION DE LA LIGNE PIEZOMETRIQUE Considrons une conduite reliant deux rservoirs. La ligne pizomtrique correspondant aux pression relatives est reprsente approximativement par la droite AA (On a nglig les pertes de charges dues lentre et la sortie des rservoirs. La ligne pizomtrique BB correspond aux pressions absolues (Pa/ = 10.33m).

Si la conduite toute entire est situe au dessous de AA, la pression dpasse la pression atmosphrique. Cette hypothse correspond une situation normale. Il faut prvoir des ventouses aux points les plus levs pour la sortie de lair accumul et des dcharges de fond N et N pour la vidange et le nettoyage.

Si la conduite passe au-dessus de la ligne pizomtrique AA, la partie du tronon au-dessus de AA est en dpression. En gnral, on doit viter les zones en dpression ; en effet, une fente ventuelle facilitera lentre de corps trangers et peut contaminer leau. La pose dune ventouse normale est contre indique, tant donn quelle permettrait



lentre de lair et provoquerait en consquence, une rduction de dbit. Dans la majorit des cas, on vite ce type de trac. Si toutefois le trac

Si la conduite slve au-dessus de la ligne horizontale qui passe par A, il ny aura coulement que si toute la conduite a t remplie deau au pralable (effets de siphonnage).

Si la forme de la conduite est toujours situe au-dessous de lhorizontale passant par A, mais dpassant BB, lcoulement se fait sans siphonnage. Cependant, la pression est nulle pour la partie situe au-dessus de BB : il y a cavitation. Lcoulement se fait avec une section partiellement pleine et le dbit diminue. Les dgagements dair et de vapeur deau dans les rgions de forte dpression rendent lcoulement irrgulier.

5- Les constructions graphiques


65

Si la conduite a un tronon au-dessus de lhorizontale passant par A, il faudrait amorcer le siphon, lcoulement se ferait en section partiellement pleine et de faon trs irrgulire. Si la conduite dpasse la cote B, il est impossible damorcer lcoulement.

5. - LES CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES Ces constructions permettent de dterminer le point de fonctionnement dun rseau (dbit, pression) en utilisant les courbes de fonctionnement et les courbes caractristiques des pompes. Prenons lexemple suivant :



Dterminons dans un premier temps la caractristique du rseau en fonction du dbit : CR(Q).

Sortie pompe Entre pompeCR(Q) H H= Cette caractristique doit tre dtermine en passant uniqiement par le rseau. Dterminons, dans un premier temps, la charge totale (en mCE) au point B, HB, par application du thorme de Bernouilli.

B 1 1 BH h j = Dterminons, dans un deuxime temps, la charge totale (en mCE) au point C, HC, par application du thorme de Bernouilli.

C 2 C 22 2

C C 2 2C 2 C 2

H H PdC

p V p Vh h jg 2g g 2g

= ++ + = + + +

C 2 C 2H h j = + On peut ensuite reprsenter la caractristique du rseau :

( ) ( )C B 2 1 aspiration refoulementCR(Q) H H h h PdC PdC= = + + . Il suffit de tracer la caractristique de la pompe HMT en fonction du dbit (donne fournie par le constructeur) : HMT(Q).

Point de fonctionnement d'une instalation

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Dbit (l/s)

H (m

CE)

Courbe caractristique de la pompe : HMT(Q)

Courbe caractristique du rseau : CR(Q)

Point de fonctionnement de l'installation

Hauteur gomtrique de l'installation

Nous pouvons ainsi dterminer le point de fonctionnement de la pompe et de linstallation.

1 B 1 B2 2

1 1 B B1 B 1 B

H H PdC

p V p Vh h jg 2g g 2g

= ++ + = + + +

6- Le coup de blier


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