COURS Hydraulique Generale MEPA

5/23/2018 COURS Hydraulique Generale MEPA

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ECOLE NATIONALE DU GENIE DE LEAU ET

DE LENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE

GENERALE

Rservoir deau potable de Strasbourg

FORMATION CES/MASTEREEau potable et assainissement


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Jos VAZQUEZ (Laboratoire Systmes Hydrauliques Urbains)

Avant propos

Lhydraulique est incontournable dans le domaine de lenvironnement. En effet, elle a une

place dterminante dans la comprhension, lanalyse et le diagnostic des rseauxdadduction deau potable, des stations de traitement, des rseaux dassainissement et des

rivires. De plus, le contrle de ces systmes ncessite une instrumentation qui oblige le

concepteur et lexploitant une connaissance pousse du fonctionnement hydraulique de

ces ouvrages.

Dun point de vue rglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement europen tablit

un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de leau. Elle incite les Etats

membres (dont videmment la France) protger et restaurer la qualit de leurs ressources

en eau afin de parvenir un bon tat chimique et cologique. Leau est donc une

proccupation majeure dans notre civilisation.

Lobjectif de cet ouvrage destin aux techniciens et ingnieurs est de fournir les basesncessaires la comprhension et au calcul des phnomnes prsents en hydraulique

applique au gnie de leau et de lenvironnement. Chaque notion dhydraulique est

ponctue par une srie dexercices permettant dillustrer les concepts prsents. Les

exemples sont issus douvrages hydrauliques existant en rseau. Les techniques de calcul

qui sont associes la rsolution des quations mises en uvre sont labores dans un

souci defficacit.

Cet ouvrage est compos de plusieurs chapitres qui sont dcrits dans les paragraphes

suivants.

Avant dentrer directement dans la description mathmatique et la quantification desphnomnes hydrauliques rencontrs en eau potable, en assainissement et en rivire, le

premier chapitre est consacr la description physique et phnomnologique des

diffrents types dcoulements ainsi que des forces en prsence. Elle permet aux non-

initis de dcouvrir lhydraulique de faon qualitative par le biais de lexprimentation.

Le deuxime chapitre sintresse aux fluides au repos. Par exemple, la plupart des

dispositifs de contrle de dbit tels que les vannes autorgules ncessitent un mcanisme

pouvant tre approch par le biais de lhydrostatique. Cette partie est donc consacre

laction de leau sur les parois et sur les corps immergs.

Le chapitre suivant est ddi lhydraulique en charge. Ce type dcoulement est le plus

souvent rencontr dans les rseaux dadduction deau potable et parfois en assainissement.

Aprs un rappel des quations de Bernoulli, le paragraphe suivant sintresse aux pertes de

charge linaires et singulires. On aborde ensuite le trac de la ligne pizomtrique et de la

ligne de charge qui permettent de caractriser le fonctionnement dun rseau en terme de

sur ou sous pression. Un dernier sous-chapitre traite du coup de blier avec les techniques

de calcul associes.


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Jos VAZQUEZ (Laboratoire Systmes Hydrauliques Urbains) ENGEES

Bibliographie

AGHTM:Les stations de pompage deau, Editions Tec et Doc (2000).

BERTRAND-KRAJEWSKI J.L.,Mesures en hydrologie urbaine et assainissement, d.

Tec et doc, ed. 2000.

CARLIER M.:Hydraulique gnrale et applique, Editions Eyrolles (1972).

COMOLET R.,Mcanique exprimentale des fluides, Masson, ed.1982.

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydrodynamique : Une introduction, Trait deGnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de Lausanne, Presse

polytechnique et universitaire romanes (1995).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S. : Hydraulique fluviale : coulement permanentuniforme et non uniforme, Tome 1, Trait de Gnie Civil, Ecole

polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique et

universitaire romanes (1993).

GRAF W. H., ALTINAKAR M. S.:Hydraulique fluviale : coulement non permanentet phnomnes de transport, Tome 2, Trait de Gnie Civil, Ecole

polytechnique fdrale de Lausanne, Presse polytechnique etuniversitaire romanes (1996).

HAGER W. H. : Wastewater hydraulics theory and practice,Springer, ed. 1999.

LENCASTRE A.:Hydraulique gnrale, Editions Eyrolles (1996).

LESIEUR M.:La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, Ed. 1994.

SCHIESTEL R. : Modlisation et simulation des coulements turbulents, Editions

Herms (1993).

SINNIGER R.O., HAGER W. H. : Constructions hydrauliques : Ecoulementsstationnaires, Trait de Gnie Civil, Ecole polytechnique fdrale de

Lausanne, Presse polytechnique et universitaire romanes (1989).

VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mcanique des fluides applique, Presses des ponts et

chausses, ed. 1998.


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Sommaire

CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS ............................................................ 5

1.-ECOULEMENTS EN CHARGE...................................................... ........................................................... .... 51.1. - Rgimes dcoulements.... ................................................................ .............................................. 51.2. - Distribution des vitesses dans un tuyau rectiligne................................................................... ...... 61.3. - Elargissement et rtrcissement dans une conduite........................................... ............................ 71.4. - Sortie dun rservoir........................................................... ........................................................... 81.5. - Coude.......................................................... ........................................................... ........................ 81.6. - Jonction et bifurcation ................................................................ ................................................... 91.7. - Obstacles dans un coulement en charge ...................................................... ................................ 91.8. - Le coup de blier.................................................................................................... ...................... 10

2.-ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE ....................................................... ................................................... 122.1. - La surface libre................................................................ ......................................................... ... 122.2. - Distribution des vitesses dans un canal ............................................................... ........................ 12

2.3. - Notion dinfluence aval..................... ..................................................................... ...................... 132.4. - Courbes de remous ....................................................... ........................................................... .... 142.5. - Le ressaut................... ........................................................... ....................................................... 142.6. - Les seuils et dversoirs ...................................................................... .......................................... 14

3.-PROPRIETES DES LIQUIDES ....................................................... ........................................................... .. 163.1. - Masse volumique.......................................................... ............................................................ .... 163.2. - Poids spcifique .............................................................. ............................................................. 163.3. - Viscosit ............................................................. ............................................................. ............. 163.4. - Pression de vapeur saturante.............................................. ......................................................... 183.5. - Tension superficielle ..................................................................... ............................................... 18

4.-CARACTERISATION DES FORCES DANS UN ECOULEMENT .......................................................... ............ 194.1. - Les forces ............................................................ ............................................................. ............ 194.2. - Importance des diffrentes forces ............................................................... ................................. 20

5.-LES EQUATIONS DE BASE ......................................................... ........................................................... .. 216.-OUTILS MATHEMATIQUES ........................................................ ........................................................... .. 22

CHAPITRE II : HYDROSTATIQUE ........................................................... ............................................. 23

1.-EQUATIONS DE LHYDROSTATIQUE.................................................... ................................................... 232.-VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE......................................................... .. 243.-VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE COMPRESSIBLE........................................................... ... 264.-FORCES HYDROSTATIQUES SUR LES PAROIS.......................................................... ................................ 26

4.1. - Paroi plane en position incline ...................................................................... ............................ 274.2. - Paroi surface gauche ........................................................ ........................................................ 29

5.-FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES ................................................... ...................... 305.1. - Forces dArchimde.............................. ................................................................ ....................... 305.2. - Equilibre des corps immergs......................... ................................................................ ............. 30

CHAPITRE III : LHYDRAULIQUE EN CHARGE................................................... ............................ 32

1.-LEQUATION DE CONTINUITE ................................................... ........................................................... .. 322.-EQUATIONS DE BERNOULLI ..................................................... ........................................................... .. 34

2.1. - Cas des fluides parfaits ..................................................................... ........................................... 342.2. - Ecriture de Bernoulli pour les fluides rels ............................................................ ..................... 46

3.-EVALUATION DES PERTES DE CHARGE ......................................................... ......................................... 473.1. - Les pertes de charge linaire ............................................................... ........................................ 473.2. - Les pertes de charge singulire ............................................................... .................................... 563.3. - Exemple de trac de perte de charge .................................................................. ......................... 62

4.-POSITION DE LA LIGNE PIEZOMETRIQUE ....................................................... ......................................... 635.-LES CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES .................................................... ................................................... 65

6.-L

E COUP DE BELIER........................................................ ........................................................... ............ 67


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Chapitre I:

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

Lhydraulique est ltude des coulements.On distingue deux types dcoulements :

les coulements en charge, dans lesquels leau remplit compltement lacanalisation, cest le cas notamment des rseaux deau potable,

les coulements surface libre (interface entre leau et lair), cest le cas desrivires et des rseaux dassainissement.

1. -ECOULEMENTS EN CHARGE1.1. -

Rgimes dcoulementsLe rgime dun coulement se caractrise par la fluctuation temporelle des vitesses

et des pressions au sein de la veine liquide.

Exprience :Un premier rservoir deau de niveau constant est vidang par un tuyau. Une vanne

place lextrmit du tuyau permet de faire varier le dbit Q (m3/s). Un deuxime tuyau

est plac lintrieur du rservoir. Il contient un colorant et permet dobtenir un mince

filet fluide color au centre du tuyau.

Injection dun colorant

Vanne de

rgulation du dbitSens de

lcoulement

Zone dobservation

Rservoir

Mesure de la

vitesse en un point

Quand la vitesse est trs faible (quelques millimtres par seconde) le filet color reste bien

dfini, rectiligne et parallle laxe du tuyau. Le rgime est dit laminaire. Lcoulement

laminaire est rare dans le domaine de lhydraulique de leau potable et de lassainissement,toutefois il nest pas inexistant.


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I- Caractristiques des coulements


6

Les figurent suivantes montrent un coulement laminaire dans une veine liquide et

lvolution de la vitesse en un point (vitesse ponctuelle) en fonction du temps.

Sens de lcoulement

Filet de colorantInjection

de colorant

Evolution de la vitesse ponctuelle en fonction du

temps en rgime laminaire

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Temps (s)

Vitesse(m/s)

Quand la vitesse est plus leve, le filet devient ondul et trs instable. Il se mlange

rapidement au fluide ambiant. Des tourbillons de diffrentes tailles apparaissent. Lergime est dit turbulent.

Sens de lcoulement

Filet de colorantInjection

de colorant

Evolution de la vitesse ponctuelle en fonction du

temps en rgime turbulent

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Temps (s)

Vitesse(m/s)

La turbulence se caractrise donc par la cration de tourbillons. ils mlangent les matires

dissoutes dans leau, comme par exemple le chlore dans un rseau deau potable ou le rejet

dune station de traitement des eaux uses dans une rivire. La mise en place dun

agitateur dans un bassin cre de la turbulence et ainsi il tend homogniser les matires

dissoutes.

1.2. - Distribution des vitesses dans un tuyau rectiligneEn fonction du rgime dcoulement (laminaire ou turbulent) les forces dans

lcoulement (elles seront dtailles dans un prochain chapitre) sont diffrentes. Cela a

pour effet une distribution de la vitesse ponctuelle moyenne dans le temps (que lon

appelle vitesse moyenne temporelle) lintrieur du tuyau qui est diffrente suivant le

rgime dcoulement.

La connaissance du profil de vitesse dans une conduite permet de calculer le dbit. La

plupart des capteurs en rseau mesurent la vitesse moyenne temporelle en quelques points

et reconstituent le profil complet de la vitesse pour en dduire le dbit.

Le graphique suivant compare la forme du profil de la vitesse en rgimes laminaire et

turbulent dans une conduite circulaire. En abscisse est reprsent le rapport entre la

distance la paroi (r) et le rayon de la conduite ( )R . Lordonne reprsente le


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1. Ecoulements en charge


7

pourcentage du rapport entre la vitesse maximale du profil et la vitesse ponctueller

VR

.

On constate que la vitesse maximale est au centre de la canalisation. Par contre, le profil

de vitesse turbulent varie beaucoup plus quen laminaire au voisinage de la paroi. Cette

zone de fort gradient de vitesse est appele couche limite.

Evolution de la vitesse dans une conduite circulaire

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Distance la paroi r/R

Vitesseadimensionne

lle

V/Vmaxen%

Centre de la conduite

Profil de vitesse

Laminaire

Profil de vitesse

Turbulent

Zone de fort

gradient de vitesse

1.3. -Elargissement et rtrcissement dans une conduiteLa transition entre deux conduites de diamtre diffrent pour un coulement en

charge provoque une rpartition transversale des vitesses longitudinales totalement

diffrentes de celles vues prcdemment.

On constate une zone ou les veines liquides proches de la paroi se dcollent sur une

longueur L. Dans cette zone, on observe des recirculations lorigine de perturbations

importantes dans lcoulement.

L

Elargissement

Zone de dcollement

de veine liquide

L

Rtrcissement


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8

1.4. -Sortie dun rservoirLa sortie dun rservoir provoque galement une modification de la rpartition de

la vitesse et une zone de dcollement de la veine liquide. On remarque que les lignes de

courant (ligne enveloppe du champ de vitesse) se resserrent au passage de la zone derecirculation. La prsence de cette zone a pour effet de diminuer lgrement la section de

passage de lcoulement.

Sens de

lcoulement

Zone de

recirculation

Resserrement des

lignes de courants

1.5. -CoudeEn raison de la courbure de la conduite, un mouvement hlicodal des lignes de

courant peut stablir. La prsence de ce mouvement de rotation persiste sur une longueur

en aval du coude ( peu prs 50 fois le diamtre de la conduite). Lorsque la courbure est

importante, des zones de recirculation peuvent apparatre.

Le mcanisme interne de lcoulement au travers dun coude nest pas encore bien connu,

malgr le grand nombre de chercheurs qui ont analys cet lment important.

Zone de

recirculationA

A

A-A

Mouvement

hlicodal

Evolution des lignes de courant dans un coude circulaire


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9

1.6. -Jonction et bifurcationLcoulement dans une jonction provoque une zone de sparation et une zone de

mlange. Lcoulement de la branche dans laquelle la vitesse est la plus faible est entran

par leau provenant de la branche ayant une vitesse plus leve. Ce phnomne est lorigine de dclrations et dacclrations de lcoulement dans les deux branches.

Jonction

Zone de

sparation

Zone de mlange

Lcoulement dans une bifurcation se comporte de manire lgrement diffrente du fait

de la drivation latrale. Une zone de sparation apparat galement dans la branche

latrale.

1.7. - Obstacles dans un coulement en chargeLes figures suivantes montrent lvolution des tourbillons laval dun obstacle

dans un coulement en fonction de lintensit de la vitesse.

Obstacle dans un coulement.

Sens delcoulement

Lcoulement est faible

vitesse. On observe lapparition

de deux tourbillons symtriques

attachs lobstacle. Cest le

dbut de la turbulence.

Laugmentation lgre de la

vitesse entrane un allongement

des deux tourbillons.

A vitesse plus importante les

tourbillon commencent

osciller, puis se dtachent.

Laugmentation de la vitesse a

pour effet daccrotre la

frquence des oscillations.

Les vannes opercule ou les vannes papillons crent un obstacle dans les conduites. Ce

sont des organes de contrle du dbit.


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Vanne opercule Vanne papillon

1.8. - Le coup de blierLe coup de blier est un ensemble de phnomnes hydrauliques complexes

provenant de la modification brutale du champ de vitesse et de pression dans une conduite.Limportance technique des coups de blier est extrmement grande. En effet, lamplitude

et la soudainet des surpressions et dpressions qui sont mises en jeu peuvent dtriorer la

conduite ou les organes qui y sont branches. Il est ncessaire par consquent dempcher

la production de telles perturbations ou du moins de les attnuer.

Le coup de blier peut se produire, par exemple, dans le cas de la fermeture brutale dune

vanne.

Rservoir

Vanne

ouverteSens de

lcoulement

Entre Sortie

Vitesse Uo

Considrons, dans un premier temps, un

rservoir se vidangeant par une vanne en

position ouverte. La vitesse dans la

canalisation est Uo.

Vanne

fermeRservoir

U=0

Vitesse Uo

Zone de

surpression

A un instant donn, la fermeture brutale de

la vanne stoppe instantanment le fluide au

voisinage de celle-ci. Compte tenu de son

inertie, leau pousse fortement sur la vanne.

Une surpression importante se cre dans la

zone o la vitesse sannule.

Rservoir

Vanne

fermeUo

Gonflement

de la conduite

U=0

Dplacement

de londe

Zone de

surpression

Onde de

choc

A lamont de la vanne, leau se comprime

faiblement et la canalisation gonfle. Tranchepar tranche les particules liquides

transforment la vitesse en surpression. On

observe ainsi la formation et la progression

dune onde de choc. Celle-ci remonte de la

vanne o elle a pris naissance vers le

rservoir.

La vitesse de londe peut avoisiner les 1000

m/s en fonction du type de matriau de la

conduite.


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11

Rservoir

Vanne

ferme

Gonflement

de la conduite

U=0

Zone de

surpression

Pression impose

par le rservoir

Londe de choc atteint le rservoir. La

conduite entire est en surpression et la

vitesse de leau est nulle. Le rservoir est

niveau deau constant. Sa pression ne

pouvant quasiment pas varier, le rservoirimpose donc la pression lentre de la

conduite.

Rservoir

Vanne

ferme

Uo

U=0

Dplacement

de londe

Onde de

chocLa pression dans le rservoir tant beaucoup

plus faible que la surpression dans la

conduite, la canalisation, au voisinage du

rservoir, va retrouver sa forme initiale. La

diminution du diamtre de la conduite va

chasser leau vers le rservoir la vitesse

Uo. De proche en proche se phnomne se

produit et cre ainsi une onde de choc sedplaant cette fois-ci vers la vanne.

Rservoir

U=0

Vitesse Uo

Zone de

dpression

Ds que londe atteint la vanne, la conduite

entire retrouve quasiment sa pression

dorigine et sa vitesse initiale inverse. La

vanne tant toujours ferme, la vitesse de

leau son voisinage est nulle.

Rservoir

Vanne

ferme

UoU=0

Dplacement

de londe Zone de

dpression

Onde de

chocCompte tenu de son inertie, leau au

voisinage de la vanne entre en dpression et

la conduite diminue son diamtre. Une onde

de choc en dpression se cre et se dplace

vers le rservoir.

Rservoir

Vanne

ferme

Gonflement

de la conduite

U=0

Pression impose

par le rservoir

Comme prcdemment, le rservoir impose

la pression au niveau de lentre de la

conduite.

Rservoir

Vanne

fermeUo

U=0

Dplacement

de londe

Onde de

chocLa conduite retrouve alors sa forme initiale.

Le volume deau manquant est pris dans le

rservoir et la conduite retrouve sa vitesse

initiale Uo.

Rservoir

U=0

Vitesse Uo

Londe arrive au niveau de la vanne et on

retrouve la configuration initiale.


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2. -ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE2.1. -La surface libre

La surface libre est linterface entre lair et leau. La pression y est gale le plussouvent la pression atmosphrique.

Les coulements dans les canaux naturels (rivire) et artificiels (irrigation, assainissement)

sont, dans la plupart des cas, des coulements surface libre.

Surface

libre

Seuil

2.2. - Distribution des vitesses dans un canalLa distribution des vitesses dans une section transversale varie en fonction de la

forme de la section et de la rugosit des parois.

Les figures suivantes montrent la rpartition des iso-vitesses dans le cas dun rgime

turbulent. Dans certains cas, la vitesse peut-tre maximale un peu au-dessous de la surface

libre.

0,250,5

0,751,0

0,85

0,95

1,0

0,9

Vitesse

maximale

max

V

V

Comme pour les coulements en charge, nous avons galement un rgime dcoulement

laminaire et turbulent. (Lcoulement laminaire est rare en hydraulique).


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2. Ecoulements surface libre


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2.3. -Notion dinfluence avalExprience : londe de gravit

Considrons un canal pente nulle, de section et de hauteur deau constante. Le

fluide est au repos (vitesse nulle U=0). A un instant t, on perturbe la surface libre du canal.Il se dveloppe deux ondes se dplaant la mme clrit c. Ces ondes sont appeles

ondes de gravit.

c c

U=0 U0 U=0U0U=0

Exprience : notion dinfluence avalOn utilise cette fois-ci un canal section transversale, pente, hauteur (h) et dbit

(Q) constants. On cre une perturbation grce une vanne que lon ferme et que lon

ouvre trs rapidement.

QU < c

c < 0c > 0

AvalAmont

Au niveau de la surface libre, il se cre

deux ondes : une onde se propageant vers laval, une onde se propageant vers lamont

quand la vitesse (U) dans le canal

est infrieure la vitesse de londe

de gravit (c).

QU > c

c > 0c > 0

Aval

Amont

Quand la vitesse (U) dans le canal est

suprieure la vitesse de londe de gravit

(c), alors deux ondes se propagent verslaval avec des vitesses diffrentes.

U : vitesse de lcoulement

c : clrit des ondes

c : vitesse de londe amont

c : vitesse de londe aval

De cette exprience, on en dduit que :

dans le cas o la vitesse du fluide est suprieure la vitesse de londe, lamont

nest pas influenc par les conditions hydrauliques laval (rgime torrentiel);

dans le cas contraire, on a une remonte de londe qui va perturber lamont (rgime

fluvial), ce phnomne est appel influence aval.


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2.4. - Courbes de remousPar rapport lcoulement en charge, un coulement surface libre a une difficult

supplmentaire qui est la dtermination de la position de la surface libre par rapport au

fond du canal (tirant deau). Celle-ci est variable en fonction des caractristiques du fluideet de lcoulement. La figure suivante montre un exemple de forme de surface libre.

Sens de

lcoulement

Seuil

2.5. - Le ressautLe ressaut hydraulique se caractrise par une variation importante et croissante de

la hauteur deau de lamont vers laval du phnomne sur une courte distance. Dans la

plupart des cas, une agitation importante de la surface libre permet rapidement de localiser

le phnomne, comme par exemple dans le cas dune ressaut fort.

Le ressaut hydraulique est lun des phnomnes les plus complexes en hydraulique

surface libre. Les connaissances actuelles sur le ressaut hydraulique ne sont pas encore

suffisamment tendues pour que lcoulement interne soit parfaitement compris.

Sens de lcoulement

Ressaut fort

Sens de lcoulement

Ressaut ondul

2.6. -Les seuils et dversoirsLe seuil cre un obstacle dans un canal, qui oblige le tirant deau augmenter et

donc leau passer par dessus.

Dans le cas dun seuil dnoy, leau chute laval du seuil.Dans le cas ou le tirant deau laval de louvrage est important, la chute deau ne peut

plus avoir lieu. Dans ces circonstances, le seuil est dit noy.

Seuil dnoy Seuil trs faiblement noy


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2. Ecoulements surface libre


15

Seuil faiblement noy Seuil compltement noy

En fonction de la forme du seuil et de la vitesse de lcoulement, il peut apparatre une

zone de dpression laval du seuil.

Zone de dpression

Le dversoir est un ouvrage de bifurcation qui permet un partage des dbits dans

deux canaux. Par rapport une simple bifurcation, o les dbits sont partags quelle que

soit la hauteur deau, dans un dversoir, le dversement na lieu que si la hauteur du fluide

atteint la hauteur de la crte dversante.

Dversoir latral

Conduite

Amont

Conduite

Aval

Conduite

Dverse

Vue de dessus

A M O N T

M ilieu naturel

A V A L

Ressaut

hydraulique


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3. -PROPRIETES DES LIQUIDESDans ltablissement des principes de lhydraulique, certaines proprits des fluides jouent

un rle important, dautres seulement un rle mineur ou aucun rle du tout. Enhydrostatique (fluide au repos) cest le poids spcifique qui est la proprit la plus

importante, tandis quen hydrodynamique (fluide en mouvement), la densitet la viscosit

sont des proprits dominantes. La pression de vapeur prend de limportance quand

interviennent des basses pressions, le liquide en question contient des bulles de vapeur,

cest le phnomne de cavitation. La tension de surfaceinflue sur les conditions statiques

et dynamiques dans les conduits trs troits, cest le phnomne de capillarit.

3.1. -Masse volumiqueLa masse volumique () est le rapport :

ol

Masse M

Volume V = = [Kg/m3]

Pour les liquides, le volume est pratiquement insensible aux variations de pression et, dansla majorit des cas, il augmente faiblement quand la temprature augmente, leau faisant

exception cette rgle en dessous de 4C.

eau = 1000 kg/m3

mercure = 13546 kg/m3

air sec = 1,205 kg/m3

Attention: Contrairement aux liquides, les gaz sont fortement compressibles. La variation

de masse volumique dpend de la temprature et de la pression : ( )f p,T = .

3.2. -Poids spcifiqueIl reprsente la force de gravit agissant sur la masse par unit de volume :

= g.[N/m3]eau= 10

4N/m

3

3.3. -ViscositLa viscosit dun fluide en mouvement est la proprit qui exprime sa rsistance une

force tangentielle.

Exprience :

Considrons un fluide plac entre deux plaques planes, parallles, distantes de L et

horizontales. Lune est fixe et lautre est en mouvement uniforme de vitesse Uo. Pourgnrer une vitesse de la plaque suprieure (surface A), il faut exercer une force F.

Cette force est la rsultante des forces de frottements visqueux.

0

L

Rpartition de la vitesseentre deux plaques en

rgime laminaire

Uo Uo


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3. Proprits des liquides


17

Lexprimentation permet de dduire une proportionnalit entre le rapport de la force F etla surface A avec le rapport entre la vitesse Uo et la longueur L telle que :

0UF U

A L y

= =

[N.s/m2] est appel viscosit dynamique ou absolue.

Le viscosimtre :On considre deux cylindres coaxiaux spars par un intervalle e dont lespace entre eux

est rempli par un liquide. On fait tourner le cylindre extrieur vitesse constante () et onmaintient fixe le cylindre intrieur.

Niveau

de leau

Cylindre en

rotation

Cylindre fixeVitesse de

rotation :

e

r

h

Variation de lavitesse de du

liquide suivant

lpaisseur e

Le fluide en contact avec le cylindre extrieur va y adhrer et par consquent va treanim de la vitesse V du cylindre extrieur. Le fluide en contact avec le cylindre fixe aura

une vitesse nulle. La viscosit fait natre une force de frottement que lon mesure par le

couple M.Les expriences ont montr que : si e est faible par rapport au rayon intrieur r, la courbe reprsentative de la

variation de la vitesse entre r et r+e est une droite,

le couple (M) varie proportionnellement la vitesse et on a :

( )2. .r.h .r M V

e

=

On dfinit un deuxime coefficient de viscosit, le coefficient de viscosit cinmatique :

= [m2/s]

eau 20C= 10-3

N.s/m2

eau 20C= 10-6m2/s

mercure= 1,554.10-3

N.s/m2

mercure= 0,1147.10-6m2/s

air= 18,5.10-6

N.s/m2

air= 15,6.10-6m2/s

On appelle fluide parfait un fluide dont la viscosit serait nulle (fluide inexistant dans la

nature). La viscosit existe ds quil y a mouvement relatif entre particules, que ce soit enrgime laminaire ou turbulent.


18/69



18

3.4. -Pression de vapeur saturanteLbullition est un phnomne de changement dtat, dans lequel le liquide passe

ltat de vapeur. Tous les liquides ont tendance svaporer ; la phase liquide se

transforme en phase gazeuse. Au cours de cette transformation, les molcules de vapeurexercent une pression appele pression de vapeur saturante. Dans le cas de leau, lapression de vapeur (ps) crot avec une augmentation de la temprature (T).

La pression de vapeur saturante pour leau est donne par la relation empirique suivante :

( ) ( )10 s 102795

log p 22.435 3.868log T 273.15T 273.15

= ++

avec psen Pa et T en Celsius.

Si, temprature constante, on abaisse la pression la surface dun liquide, ce dernier se

met bouillir lorsquon atteint la pression de vapeur saturante correspondant cette

temprature. Dans lcoulement des liquides, il peut arriver que la pression en certains

points devienne infrieure la pression de vapeur saturante. Le liquide entre alors

localement en bullition et des bulles de vapeur apparaissent au sein mme delcoulement. Ce phnomne, appel cavitation, est le plus souvent nuisible pour les

installations o il se produit (canalisation, pompes, turbine). Les variations de volume

lors du changement dtat sont telles quil se produit au sein du fluide de vritables

explosions de bulles au moment de la vaporisation et de violentes implosions, lors de la

condensation.

3.5. -Tension superficielleUne molcule liquide au repos est soumise aux forces dattractions que les molcules

voisines exercent sur elle. Une molcule la surface libre dun liquide ou la surface de

sparation de deux liquides non miscibles nest plus soumise laction de forces

symtriques, puisquelle nest plus entoure symtriquement par dautres molcules de

mme nature. Ainsi la rsultante des forces molculaires nest plus nulle. La surface de

sparation se comporte comme une membrane tendue.

La force dattraction tangentielle la surface ncessaire pour arracher des particules

agissant le long dun segment de longueur unitaire est appele tension superficielle.

Forces entre molcules

au sein du fluide

Forces entre molcules

au niveau de la surface libre

Surface libre

Molcules

Les effets de tension superficielle ne sont pas importants dans les coulements en eau

potable ou en assainissement et ne sont donc pas pris en compte.

Tension de surface : Air eau 20C : 0,0724 N/m.


19/69

4. caractrisation des forces dans un coulement


19

4. -CARACTERISATION DES FORCES DANS UN ECOULEMENT4.1. -Les forcesLes forces qui agissent sur un volume fini de fluide sont de deux types :

-Les forces de volumes,

- Les forces de surfaces.

4.1.1. - Les forces de volumesElles se composent des forces suivantes :

- Les forces de pesanteur provenant de la gravit.

- Les forces dacclration pure :

Elles proviennent de la variation de la vitesse (V) de la masse dune fluide

(M) dans le temps.

acclration pure

V

F M t

= Prenons par exemple deux rservoirs la mme hauteur, dont lun est vide et

lautre plein, relis par une conduite de diamtre constant, horizontal et munidune vanne. A louverture de la vanne, il se produit un coulement. La

variation de la vitesse dans le temps ( )V t cre au sein de lcoulement

une force dacclration pure.

- Les forces dacclration convective :Elles proviennent de la variation de la vitesse (Vx, Vy, Vz) dans lespace

(repre [x, y, z]).

acclration convective x y z

V V V

F M .V .V .Vx y z

= + +

Prenons une conduite dont lcoulement ne varie pas dans le temps

( 0t/V = ). Lcoulement tant permanent, le dbit est identique en toutpoint de la canalisation. Or, si la surface A est suprieure la surface B alorsla vitesse en B (Vb) est suprieur la vitesse en A (Va).Cette variation de vitesse va engendrer une acclration qui va gnrer une

force dacclration convective.

Va VbVdVc

Rgime

acclr

Rgime

acclr

Rgime

uniforme

Lab

Convergent

Lcd

DivergentLbc

A B C D

a b

ab

V V0

L

>

b c

bc

V V0

L

=

c d

cd

V V0

L

valeur dpendant de louvrage tudi alors turbulent

SiRe < valeur dpendant de louvrage tudi alors laminaire

Exemples :Ecoulement dans une

conduite circulaire :

SiRe > 2500 alorsturbulent

SiRe < 2000 alorslaminaire

L : diamtre de la conduite.

Ecoulement entre deux

plaques parallles :


Sinonturbulent

L : distance entre les deux

plaques.

Ecoulement autour dune

sphre :


Sinonturbulent

L : diamtre de la sphre.

4.2.3. -Le Nombre de FroudeLe nombre de Froude est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces de

pesanteur (Mg).

( )( ) ( ) LgV

gLVL

gL)T/L(L

MgMa

2

3

22

3

23

=

=

= g : lacclration de la pesanteur,L : longueur caractristique de lcoulement,V : vitesse caractristique de lcoulement.

Ce rapport permet de distinguer le rgime fluvial ou torrentiel que nous avons vu au 2.3.

4.2.4. -Le Nombre de CauchyLe nombre de Cauchy est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces dlasticit

(EA).

( )E

V

EL

)T/L(L

EA

Ma 2

2

23 =

=

E : module dlasticit.

4.2.5. -Le Nombre de WeberLe nombre de Weber est le rapport entre les forces dinertie (Ma) et les forces de tension

superficielle (L).

( )

=

=

223 LV

L

)T/L(L

L

Ma

: tension de surface.

5. -LES EQUATIONS DE BASELa dtermination des caractristiques dun coulement consiste rechercher la

pression et la vitesse en tous points. Pour cela, il faut crire des quations dquilibre (ou

de conservation) entre les diffrentes forces agissant sur le fluide.

Ces quations dquilibre sont :

- lquation de continuit ou quation de conservation de la masse (m) du fluide.

dm0

dt=

- lquation de la quantit de mouvement qui traduit lquilibre entre la somme

des forces extrieures (F) qui exercent une influence sur le fluide et le taux de

variation de la quantit de mouvement du fluide de masse m.

d m v

dt F

( . )

=


22/69



22

6. -OUTILS MATHEMATIQUESElment de volume : dv = dx.dy.dz

dx

dy

dz

Drive partielle :x

Drive totale : dzz

Pdy

y

Pdx

x

Pdt

t

PdP

+

+

+

=

dP P P x P y P z

dt t x t y t z t

= + + +

Gradient dun scalaire :

==

z

f

y

fx

f

)f(grad)f(grad

Gradient dun vecteur :

=

=

z

Vz

y

Vz

x

Vz

z

Vy

y

Vy

x

Vy

z

Vx

y

Vx

x

Vx

VzVy

Vx

grad)V(grad

Divergence dun vecteur :z

Vz

y

Vy

x

Vx)V(div

+

+

=

Rotationnel : ( )

=

=

y

Vx

x

Vyx

Vz

z

Vx

z

Vy

y

Vz

Vz

Vy

Vx

z

y

x

VRot


23/69


Chapitre II:

HYDROSTATIQUE

Lhydrostatique tudie les conditions dquilibre des liquides au repos. Ce chapitre

aborde ltude de la rpartition de la pression, notamment en fonction de la distance

verticale, ainsi que les forces qui en rsultent.

1. -EQUATIONS DE LHYDROSTATIQUENous avons vu au chapitre prcdent que lensemble des forces agissant sur un

fluide sont de deux natures : les forces de volume et les forces de surface. En reprenant les

rsultats acquis dans ce chapitre, nous allons dtaill lensemble de ses forces.

Considrons dans un rservoir un fluide au repos, dont on extrait un petit paralllpipde

deau daxe vertical z. Soit p la pression en son centre. Il est soumis aux forces verticales

suivantes :

p(x,y,z)

x

y

z

dz

Rservoir

p dzp dx.dy

z 2

p dzp dx.dy

z 2

+

.g.dx.dy.dz

Concernant les forces de volume, il nen existe quune seule la force de pesanteur. Elle

scrit de la faon suivante :

( )pesanteurF g. dx.dy.dz=

Les forces dinertie nexiste pas puisque le fluide est au repos (vitesse nulle).

Concernant les forces de surface, la pression agit sur la face suprieure et infrieure de

llment. Ces forces scrivent de la faon suivante :

Force de pression sur le surface infrieure : pression inf.p dz

F p dx.dyz 2

=

Force de pression sur le surface suprieure : pression sup.p dzF p dx.dyz 2

= +


24/69

II- Hydrostatique


24

Les forces de viscosit et de turbulence nexistent pas puisquil ny a pas de vitesse

relative entre les particules de fluide.

Lquation de lhydrostatique est dtermin en crivant lquilibre de lensemble des

forces : inertied'ForcesF= . En projetant cette quation suivant la verticale, on a :p dz p dz

.g.(dx.dy.dz) p dx.dy p dx.dy 0z 2 z 2

+ + =

soit :p

- .g 0z

=

On peut crire de faon analogue les quations dquilibre dans les autres directions :

p p0 ; 0

x y

= =

Ces trois quations montrent que la pression est indpendante de x et de y, cest--dire quela pression ne varie pas dans les directions x et y ou encore quelle est constante dans un

plan horizontale. Cela est vrifi tant que lon reste dans un mme fluide (constante). La

pression ne dpend que de z, ce quon crit :

p- .g ou dp=- .g.dz

z

=

2. -VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDEINCOMPRESSIBLEPour un fluide incompressible ( = Cte), lintgration de lquation ci-dessus

scrit : p + .g.z = Cte.

On crit frquemment : p* = p + .g.z = Cte.On nomme p* lnergie potentielle par unit de volume.

Une autre criture consiste diviser lquation par .g : Cstezg

p

g

*p=+

=

,

On remarque queg

*p

est homogne z cest--dire une longueur ce qui offre un moyen

pratique pour la reprsenter graphiquement.g

*p

est appele hauteur pizomtrique.

Dans ce cas, la pression p est mesure en hauteur de colonne du liquide .

Units de mesure :Lunit lgale est le pascal : 1 Pa = 1N/m2

Un multiple du pascal est le bar : 1 bar = 10 5Pa

Il existe dautres units plus pratiques :

- Le mtre de colonne deau : 3eau1,0mCE 1,0mCE. .g 9,81.10 Pa 0,098bar = = 5

5

eau

101,0bar 10 Pa 10,19mCE.g= =


25/69

2. Variation de la pression dans un fluide incompressible


25

- Le millimtre de mercure : 3 2mercure1,0mmHg 10 .g 1,33.10 Pa =

55

mercure

101.0bar 10 Pa .1000 752,5mmHg

.g= =

En hydraulique des rseaux urbains, la pression est le plus souvent exprime en mtres decolonne deau et en bars.

Pression absolue et pression relative :La pression absolue est dfinie par rapport la pression dans le vide qui correspond lapression nulle. On en dduit donc que la pression minimale possible est zro.

La pression relative se dfinit par rapport une rfrence que lon choisi le plus souvent

gale la pression atmosphrique. Cela consiste finalement faire une translation durepre des pressions. La pression nulle est donc quivalente la pression atmosphrique

(pa). La pression minimale correspond donc : -pa (pression atmosphrique ngative).

Prenons par exemple un rservoir o la surface libre est la pression atmosphrique (pa).En crivant lquation de lhydrostatique par rapport un plan de rfrence, on a :

p + .g.z = CteEntre le point 1 et 2, on a :

p1+ .g.z1= p2+ .g.z2= Cte,soit : p1= p2+ .g.(z2-z1) = pa+ .g.h, avec pa=10

5Pa.

La pression en 1 est mesure en pression absolue.

La figure suivante montre la rpartition des pressions suivant la hauteur.

Pression

atmosphrique : Pa

1

2

h + =

p1=gh pa pa+p1

Plan de rfrence

z1 z2

Dans la pratique, on prfre souvent mesurer par rapport la pression atmosphrique (p a).Dans ce cas, la pression au point 1 devient : p1 = p1- pa= .g.(z2-z1) = .g.h. La pressionen 1 est mesure en pression relative par rapport la pression atmosphrique.

La plupart des instruments de mesure fournit une pression relative appele galementpression manomtrique.


26/69

II- Hydrostatique


26

3. -VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDECOMPRESSIBLE

Contrairement aux liquides, les gaz sont fortement compressibles. La variation de lamasse volumique dpend de pression p et de la temprature T : ( )f p,T = . Sil sagit

dun gaz parfait, nous avons :p

rT=

, r tant une constante. On peut ainsi dfinir

laltitude z0:0

0

0

prT=

, ce qui nous permet de calculer la constante r.

En reprenant lquation de lhydrostatique :dp

- .gdz

= on a : 000

Tdp pg

dz p T= .

Si on se place temprature constante T=T0, lquation peut ainsi scrire :

0 00

0 0

g gdpdz => p=p exp z

p p p

=

Dans le cas de lair, p0=1,013 105Pa et 0=1.205 kg/m

3, lquation prcdente permet de

caractriser lvolution de la pression dans lair en fonction de laltitude :

500

0

g zp=p exp z 1,013.10 exp

p 8570

=

4. -FORCES HYDROSTATIQUES SUR LES PAROISLes forces hydrostatiques sur une surface proviennent des forces de pressions du

fluide agissant sur cette surface.Il convient, donc dans un premier temps, de caractriser la pression du fluide sur une

surface. Pour cela, on a besoin de :- lintensit : la pression dpend de la profondeur deau h. Elle est calcule par la

relation : p = .g.h,- la zone dapplication : la pression sapplique sur une surface (ds),- la direction : la pression est toujours perpendiculaire la surface dapplication.

p

h

ds surface gauche

surface dapplication

de la pression

Le calcul des forces hydrostatiques sur une surface quelconque plonge dans leau,consiste dterminer les trois caractristiques suivantes :


27/69

4. Forces hydrostatiques sur les parois


27

- lintensit de la force qui sapplique sur la surface ds : dF = p.ds = .g.h.ds,- le point dapplication de la force,- la direction.

Dans le but de fournir des rsultats facilement applicables, on distingue les surfaces planes

et les surfaces gauches.

4.1. -Paroi plane en position inclineOn sintresse aux surfaces planes de forme quelconque entirement immerge dans leau.La figure suivante reprsente gauche la surface immerge et droite une vue A-A de

cette surface. On dfinit un repre (x,y) dont laxe (x) est sur la surface libre et (y) dirigvers le bas et passant par la surface plane. Le point G(xG,yG) est le centre de gravit de la

section. On dfinit le repre (, ) comme tant une translation du repre (x,y) centr en G.

Lintensit de la force rsultante agissant sur la surface S est dfinie par :

==SS

hdsg.dFF

Lintgration de cette quation scrit :F = .g.hG.S,

hG: hauteur deau du centre de gravit de la paroi immerge,S : surface de la paroi immerge.

GP

y

x

yPyG

y

hP hG

h=y.sin()

y

x

ds

F

Vue A-A

Ixx

I

Vue A-A

Surface Sds

Le point dapplication de la force rsultante des pressions P(xp, yp) est appel : centre depression ou de pousse.

La position de ce point est dfinie par la position du barycentre des surfaces lmentaires

(ds) pondres par la pression sur chaque surface, ce qui revient calculer le moment

quivalent des forces de pression, cest--dire :


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II- Hydrostatique


28

p

S

p

S

x.dF x .F

y.dF y .F

=

=

Dans le grande majorit des cas les surfaces sont symtriques par rapport laxe , ce quirevient dire que : xp= xG.

La deuxime intgrale scrit :2

Sp G

G

S

y dsI

y yy .Syds

= = +

Ireprsente linertie de la section suivant les axes .

Le tableau suivant fournit le centre de gravit, la surface et linertie pour quelques formes

de surface plane.

h

v

v

b

G

3

2h hv ; v3 3

bh bhS ; I

2 36

= =

= =

h

v

v

b

G

3

h hv ; v

2 2

bhS bh ; I

12

= =

= =

h

v

v

B

G

b

( ) ( )

( )

3 2 2

h 2B b h B 2bv ; v

3 B b 3 B b

h B 4Bb bhS B b ; I

2 36 B b

+ + = = + +

+ += + =

+

d

v

v

a

G

2 2 4 4

d a 3 d a 3v ; v

2 2 2 2

d 3 3a 3 5d 5a 3S ; I

2 2 1648 3

= = = =

= = = =


29/69

4. Forces hydrostatiques sur les parois


29

v

v

R

G

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3

2

34 4

4sinv R 1

3 2 sin 2

v R 1 cos v

RS 2 sin 2

2

1 cos 2R RI 4 sin 4

16 9 2 sin 2

=

=

=

=

v

v

G

42

v R ; v R

RS R ; I

4

= =

= =

4.2. -Paroi surface gaucheLa premire mthode permettant le calcul de la force rsultante F sur une paroi gauche

consiste dcomposer la force lmentaire dF suivant les axes x et y :

x ydF dF .x dF .y= +

Lvaluation des projections de dF suivant x et y, peut se faire de la manire suivante :

x

y

dF cos( ).p.ds cos( ). .g.h.ds

dF sin( ).p.ds sin( ). .g.h.ds

= = = =

1

2

3

h1

h2

dF

x

y

dFy

dFx

Lintgration xdF et ydF sur toute la surface de llment courbe permet dvaluer le force

rsultante F. Compte tenu de la surface courbe, langle est variable, ce qui complique lecalcul de lintgrale.


30/69

II- Hydrostatique


30

Une deuxime mthode consiste isoler un volume de fluide et faire lquilibre des

forces extrieures agissant sur ce volume.

Dans lexemple suivant, le volume de fluide isol est compos dun ensemble de surfaces

planes horizontales et verticales et de la surface gauche (23). Le choix des surfaces planesse justifie par lutilisation des relations prcdentes.

1

2

3

h1

h2

p1 p2

p3

p3

W

Fx

Fv

FR

x

y

En faisant lquilibre des forces suivant lhorizontale, on en dduit que la composante

horizontale de la force hydrostatique (FR) est donne par Fx. La composante verticale est la

somme de la force Fv et du poids de leau W. En faisant la composition vectorielle des

forces Fxet Fv, on en dduit FR. Il suffit dcrire ensuite le moment des forces par rapport

un point quelconque pour localiser la position de FR.

5. -FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES5.1. -Forces dArchimdeSupposons quune surface ferme formant un corps solide de poids volumique s, devolume total V et de volume immerg V immerg, se trouve immerge entirement ou

partiellement (Vimmerg V) dans un liquide au repos de poids volumique . Les forcesverticales qui agissent sur le corps sont :

- les forces de pesanteur : V. s- les forces de pression du liquide : V immerg.

(Appeles forces dArchimde ou forces de portance)

La force dArchimde est applique au centre de gravit du liquide dplac (centre de

pousse). Pour un corps plein de poids volumique homogne et entirement immerg, le

centre de pousse est confondu avec le centre de gravit du corps. Il nen est pas de mme

pour les corps flottants.

5.2. -Equilibre des corps immergsUn corps est en quilibre si le poids W et la force dArchimde sont gaux, opposs et

situs sur la mme ligne verticale. Dans le cas contraire, il en rsulte un mouvement.

La stabilit peut se dfinir de la faon suivante : si on incline un corps dun angle parrapport la verticale, le corps est soumis un couple de redressements qui le fait tourner

jusqu ce quil revienne sa position initiale.


31/69

4. Forces hydrostatiques sur des corps immergs


31

Linstabilit est donc dfinie par un couple qui tend augmenter linclinaison.

G

PG

P

G

PDsquilibrevolontaire Mouvement

naturel de la

quille

G

P

Mouvement

naturel de la

quille

Dsquilibre

volontaire

Equilibre stable Equilibre instable

Dsquilibre

volontaireMouvement

naturel

Dsquilibre

volontaireMouvement

naturel

Dans cet exemple, on constate que la position dquilibre stable est vrifie pour un angle

, et que la position instable correspond un angle qui a la particularit : < .On en dduit quil existe donc un angle limite limitede basculement entre ltat stable et

instable.


32/69


Chapitre III:

LHYDRAULIQUE EN CHARGE

La dynamique des fluides consiste tudier le mouvement des particules fluides soumises

un systme de forces. Bien souvent, on commence par ltude les fluides fictifs dit

fluides parfaits . Ils ont la particularit de ne pas avoir de viscosit et de ne pas

dvelopper de la turbulence. Ils permettent dtablir lquation de Bernoulli facilement.

Les fluides rels engendrent des forces de frottement dues la turbulence et la viscosit.

La prsence de ces forces induit une perte de charge (nergie) qui est une transformation

irrversible de lnergie mcanique en nergie thermique.

Ce chapitre aborde, dans un premier temps, lquation de continuit et surtout

ltablissement de lquation de Bernoulli. Dans un deuxime temps, lvaluation des

pertes de charges ainsi que les mthodes de calcul des rseaux hydrauliques en charge sont

exposes.

1. -LEQUATION DE CONTINUITECette quation exprime le principe de conservation de la masse : la variation de

masse de fluide dun lment de volume dv pendant un temps dt est gale la masse de

fluide entrante dans ce volume dduite de la masse de fluide sortante.

dx

dz

dyx

y

z

(x,y,z)

Variation de masse entre t et t+dt

La masse de fluide contenue dans le volume dv=dx.dy.dz est gale au temps t :

.dx.dy.dz


33/69

1-Equation de Continuit


33

Aprs un temps dt dans ce mme volume, la masse est gale : dz.dy.dxdtt

+

On constate donc une variation de masse de : dz.dy.dx.dtt

Variation de masse de fluide pendant la dure dt entre ce qui entre et ce qui sort :

On dfini le dbit massique par : massique suivant x volumique suivant xq .Q .u.dy.dz= =

massique suivant xq ( )massique suivant x

massique suivant x

q dxq .

x 2

1 2

( )massique suivant xmassique suivant x

q dxq .

x 2

+

La masse de fluide entrante par la face 1 (suivant x) pendant le temps dt est :

( ) ( )massique suivant xmassique suivant x

q u.dydzdx dxq . .dt u.dydz . .dt

x 2 x 2

=

La masse de fluide sortante par la face 2 (suivant x) pendant le temps dt est :

( ) ( )massique suivant xmassique suivant x

q u.dydzdx dxq . .dt u.dydz . .dt

x 2 x 2

+ = +

La diffrence de masse entre ce qui entre et ce qui sort dans le volume dv est donc suivant

x : dt.dz.dy.dxx

u

On a de mme suivant y et z

u

avec V v

w

=

: dt.dz.dy.dxy

v

; dt.dz.dy.dx

z

w

En crivant que la variation de masse de fluide dun lment de volume dv pendant un

temps dt est gale la masse de fluide entrante dans ce volume moins la masse de fluide

sortante, on a :

( u) ( v) ( w)

t x y z

div( V) 0t

=

+ =

Cest lquation de continuit dun fluide conservatif.

Cas des fluides incompressibles :

Si le fluide est en mouvement permanent ( 0t

=

) la masse volume est indpendante du

temps et si le fluide est incompressible, est indpendant de x, y et z, lquation decontinuit se rduit :

div(V) = 0


34/69

34 III- Hydraulique en charge


Linterprtation physique de cette quation est la suivante : les dbits Q entrant et sortant

travers un volume quelconque et rempli du fluide doivent tre gaux.

Exemple de conduite section variable :

(Intgration de div(V) sur le volume et passage une intgrale de surface par Ostogradski)

U1.S1= U2.S2

2. -EQUATIONS DE BERNOULLI2.1. -Cas des fluides parfaitsLes fluides parfaits ont donc la particularit de ne pas avoir de viscosit et de ne pas

dvelopper de la turbulence. Ils permettent dtablir lquation de Bernoulli facilement.

2.1.1. -Equations dEuler

p(x,y,z)

p dzp dx.dy

z 2

p dzp dx.dy

z 2

+

.g.dx.dy.dz

En raisonnant, dans un premier temps, suivant la verticale (z), les forces qui agissent sur

cet lment de volume dv = dS.dz, sont : Les forces de volumes:- les forces de pesanteur provenant de la gravit : - .g.dv


35/69

2-Equations de Bernoulli


35

- Les forces dinertie : dvt

z

z

w

t

y

y

w

t

x

x

w

t

wdv

dt

dw

+

+

+

=

- les forces dacclration pure :w

dv

t

- les forces dacclration convective : .grad(w).V.dv Les forces de surfaces :

- les forces de pression : Surface infrieure :p dz

p dx.dyz 2

: Surface suprieure :p dz

p dx.dyz 2

+

- les forces de frottement de viscosit : 0

- les forces de frottement de turbulence : 0

En crivant lquilibre de lensemble des forces : inertied'ForcesF= p dz p dz w

.g.(dx.dy.dz) p dx.dy p dx.dy dS.dz .grad(w).V.dS.dzz 2 z 2 t

p w.g .grad(w).V

z t

+ + = +

= +

En crivant lquation suivant les trois directions :

1 p u u u uu v w

x t x y z

1 p v v v vu v wy t x y z

1 p w w w wg u v w

z t x y z

= + + +

= + + +

= + + +

soit : 0)z.g.p(grad1

V).V(gradt

V=+

++

Cette quation est appele lquation dEuler.

Recherche dune solutionLes caractristiques du mouvement dun fluide incompressible dpendent de quatre

inconnues : Vx, Vy, Vzet de p.

Lquation dEuler fournit trois quations. Lquation de conservation de la masse fournit une quation : div(V) = 0 Pour obtenir une solution, il faut galement dfinir un nombre suffisant de conditions

aux limites :

- la surface libre : p(x, y, z, t) = Cste = pa.

- la paroi : V doit tre parallle la paroi.


36/69



Utilisation des quations dEuler pour le calcul des forces hydrauliques sur une

surface

Le thorme dEuler permet de calculer la raction de leau sur un lment. En raisonnant,

suivant un tube de courant en rgime permanent, les forces qui agissent sur cet lmentsont :

- Les forces de volumes : - les forces de pesanteur provenant de la gravit : g.V. vol

- les forces dinertie :

- les forces dacclration pure : 0

- les forces dacclration convective :

==

j

jjextjj

V S

ext S).n.V.(V.ds).n.V.(V.dv.Vs

V.

- Les forces de surfaces : - les forces de pression sur les surfaces Si : i

iiS.p

- les forces de frottement de viscosit : 0

- les forces de frottement de turbulence : 0

- laction du fluide sur llment : R

En crivant lquilibre de lensemble des forces : inertied'ForcesF=

=+j

jjextjj

i

iivolS).n.V.(V.RS.pg.V.

2221112ext221ext11volV.S.V.V.S.V.Rn.S.pn.S.pg.V. +=


37/69



37

2.1.2. -Equations de BernoulliLe systme dquations intrinsques consiste crire les quations dEuler en rgime

permanent ( 0t= ) dans un repre particulier. Ce repre est constitu par les lignes de

courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v n.

en appelant s

le vecteur unitaire de la tangente la trajectoire, on a :

sVV

= etdt

sdVs

dt

dV

dt

Vd

+=

avec : VR

n

dt

ds.

ds

sd

dt

sd

==

R : rayon de courbure et n

le vecteur perpendiculaire s

.

nsuivant)ph.g.(n

1

R

V.V

ssuivant)ph.g.(s

1sVV

+

=

+=

Avec, V : lintensit de la vitesse dune particule fluide.

En restant sur la ligne de courant on peut intgrer la premire quation et lonobtient lquation de Bernoulli :

Csteph.g.2

V2

=++ Lquation de Bernoulli est valable en tout point du fluide incompressible en

mouvement permanent.

En se plaant sur une ligne normale la ligne de courant et un rayon de courbureinfini (ligne droite), on obtient :

Csteph.g. =+


38/69



2.1.3. -Reprsentation graphiqueLes diffrents termes de lquation de Bernoulli peuvent tre crits en quantits

homognes des hauteurs de liquide de poids volumique :

g

E

mg

W=Cstepphg2

V t2 ==

=

++

hauteur due cote du hauteur due charge totale

la vitesse point la pression

Hauteur pizomtrique

En terme de pression :

volume

t

2

V

W=Cstepp.g.h

2

V==++

Pression pression statique pression totale

dynamique

2.1.4. -Interprtation nergtiqueLquation de Bernoulli peut donner lieu une interprtation nergtique :

Cstep*p2

Vt

2

==+

Energie Energie Energie

cintique potentielle mcanique totale


39/69



39

Lquation mcanique totale contenue dans un volume unitaire est donc le travail

mcanique total que la particule est susceptible daccomplir. Ainsi, on peut dire que

lquation de Bernoulli traduit la conservation de lnergie mcanique totale par unit de

volumeau cours du mouvement permanent.

Dans un coulement, lnergie mcanique totale par unit de volume de fluide, peut tremodifie dune section lautre en introduisant par exemple dans le circuit une machine

hydraulique.

Ainsi lexpression de lquation de Bernoulli scrit :

g

Ep+h

2g

V=

p+h

2g

V 22

2

211

2

1

+

+

Si lchange dnergie se fait des parois de la machine vers le fluide nous avons affaire

une pompe, si au contraire, lchange dnergie se fait du fluide au parois de la machine,

nous avons affaire une turbine.

Lquation dnergie est modifie par le terme E, qui reprsente laugmentation par une

pompe ou la diminution par une turbine de lnergie mcanique totale par unit de massede liquide en mouvement.

2.1.4.1. -TurbineExemple dinstallation :

La puissance est dfinie par :Temps

TravailPuissance=


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Pour une turbine la puissance hydraulique est dissipe par :

[ ]

2

2

. *2Variation d'nergie

Unit de temps

.* . .

2

t

VVolume pE

Pt t

Volume Vp g Q H

t

+ = = =

= + =

( )H.Q.g

E.Q.P tt =

=

Types de turbines :

Turbine Pelton Turbine Francis


41/69



41

Turbine Kaplan

Choix dune turbine :


42/69



2.1.4.2. -PompesExemple dinstallation :

Principe de montage :

Types de pompes :


43/69



43

Choix dune pompe :

La puissance est dfinie par :Temps

TravailPuissance=

Pour une pompe la puissance hydraulique est fournie par : ( )H.Q.g

E.Q.P

p

p =

=


44/69



Exemple de courbe caractristique pour une pompe multicellulaire tage (de 1 12

tages) :H= Charge totale en sortie Charge totale en entre

Caractristiques par tage :


45/69



45

Dfinition du NPSH Net Positive Suction Head (charge nette laspiration)

La pompe transmet une vitesse au fluide par lintermdiaire de la roue ou de lhlice. La

vitesse du fluide qui entre dans la roue augmente et par consquent la pression diminue

lentre engendrant une aspiration et le maintien de lamorage. La rotation lintrieur dela pompe augmente la vitesse du fluide tandis que la force centrifuge qui le comprime sur

la priphrie augmente sa pression. Lorsqu la suite de survitesses locales des zones de

sous-pression apparaissent sur les bords dattaque des aubes des roues de pompes

centrifuges, la pression descend en dessous de la pression de vapeur saturante du liquide,

ce phnomne entrane la formation de bulles de vapeur. Leau utilise dans les

installations industrielles contient de lair dissous dans une proportion atteignant 25mg par

litre. Lorsque leau est soumise une pression dcroissante, on observe le dgagement de

lair dissous quand la pression atteint la pression de saturation et une vaporisation quand la

pression atteint la pression de vapeur. Un phnomne de dgazage puis de vaporisation

partielle du liquide vont apparatre lintrieur de la pompe. Les micro-bulles formes

sont transportes par le fluide dans les zones de plus haute pression o elles implosent aucontact des pices mobiles. Un tel phnomne saccompagne de variations normes de

pression (plusieurs milliers de bars) localises sur de trs petites surfaces. Il en rsulte une

rosion intense des surfaces mtalliques et une chute de pression dans toute linstallation.

Le critre qui sert viter la cavitation dans une pompe est le NPSH.

NPSH=Charge totale lentre de la pompe pression de vapeur saturante2

entre pompe entre pompe

vapeur saturante

PVNPSH h

2g g= +

(Le plan de rfrence est pris au niveau de lentre de la pompe)

Cette caractristique est fournie par linstallateur dans le cas ou lon parle de NPSH

disponible. Cette expression est indpendante de la pompe utilise et ne dpend que de

linstallation (Longueur et diamtre daspiration, pertes de charge le long de cette

canalisation, hauteur gomtrique daspiration).

On parle de NPSH requis pour la charge nette laspirationfournie par le constructeur de

la pompe. Cette relation est indpendante de linstallation de la pompe et ne dpend que

de ce qui se passe dans la pompe.Pour que linstallation puisse correctement fonctionner il faut : NPSHdisponible> NPSHrequis


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2.2. -Ecriture de Bernoulli pour les fluides relsNous avons vu que pour le cas dun fluide rel et en rgime permanent, dautres forces

interviennent, notamment les forces dues au frottement, qui font apparatre une dissipation

de lnergie mcanique en nergie thermique.

Le long dune ligne de courant, lnergie mcanique diminue du fait de laugmentation de

lnergie thermique ; on appelle ce phnomne la perte de charge due aux frottements dans

un liquide.

Aprs intgration entre deux points sur la mme ligne de courant lquation de Bernoulli

scrit :

2122

2

211

2

1 jhp

g2

Vh

p

g2

V+++=++

21j : est la perte de charge entre 1 et 2 en (m).

Toute la difficult consiste dterminer cette perte de charge.


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47

Une reprsentation graphique peut tre visualise par la figure suivante :

3. -EVALUATION DES PERTES DE CHARGELcoulement dun fluide rel dans une conduite reprsente une des applicationsclassiques de lhydrodynamique thorique et exprimentale. La matrise de ces

coulements pour le calcul du fonctionnement des rseaux deau potable est indispensable.

On distingue deux types de perte de charge :

- la perte de charge linaire reprsentant lnergie perdue entre les deux points,

- la perte de charge singulire qui intervient lorsque lcoulement uniforme est

localement perturb.

3.1. -Les pertes de charge linaire3.1.1. - Profil des vitesses dans une section circulaire en chargeDans le cas dun coulement permanent 0

t=

, le profil des vitesses dans une section

est dpendant de lintensit de la vitesse et de la gomtrie de louvrage. En effet, nous

avons vu que la turbulence apparat quand la vitesse dpasse un seuil (exprience de

Reynolds). Ceci peut tre reprsent par la figure suivante :


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Dans la zone laminaire seules les forces de frottement interviennent. Dans la zoneturbulente les forces de turbulence deviennent prpondrantes et une sous-couche

visqueuse trs mince apparat.

Dans le cas des conduites en charge o lcoulement est laminaire, seules les forces de

viscosit interviennent ; le profil des vitesses est parabolique et est donn par la figure

suivante :

Dans le cas o lcoulement est turbulent, le profil des vitesses tend tre uniformis et

est du type logarithmique.

On constate une zone centrale de pleine turbulence o le gradient de vitesse est trs faible

et le profil est aplati en son centre. La zone de la couche limite est de trs faible paisseur

et proche de la paroi. Le gradient de vitesse est trs important et les forces de viscosit

sont donc trs importantes dans cette couche. Une approche mathmatique exacte nest


49/69

3- Evaluation des pertes de charge


49

pas possible dans ce type dcoulement complexe. Les relations qui seront construite sont

toutes dorigines empiriques.

Deux types dcoulements turbulents dans les conduites relles (prsentant des asprits)

existent :- conduite hydraulique lisse : lcoulement est spar de la paroi par un film

laminaire,

- conduite hydraulique rugueuse : la sous-couche laminaire disparat et la

turbulence arrive jusqu la paroi.

Dcrivons le profil de lcoulement le long dun diamtre de conduite hydraulique lisse.

On distingue habituellement deux rgions : une rgion centrale dite externe qui correspond

plus de 90% de lcoulement et une rgion voisine de la paroi dite interne.

Dans la rgion centrale, trs aplatie, la vitesse est indpendante des asprits de la paroi et

dpend peu de la viscosit. Lcoulement est form de tourbillons importants, allongs,

contenant des tourbillons plus petits. Lintensit de la turbulence est peu trs constante

dans ce domaine.

Dans la zone interne, voisine de la paroi, la vitesse passe dune valeur lev zro sur une

distance relativement faible. Le fort gradient de vitesse qui en rsulte impose au fluide des

contraintes de cisaillement leves et donc dintenses frottements visqueux. On comprend

donc que la dissipation dnergie qui entrane une partie de la perte de charge ait lieu

principalement dans cette zone. En revanche, lintensit leve de la turbulence se traduit

par un accroissement important des transferts de quantit de mouvement entre particules

de fluide, dans toutes les directions. Ces particules tant porteuses de chaleur, il en rsulte

des proprits utilisables pour les transferts thermiques.

La turbulence est mesure par le nombre de Reynolds. Dans le cas des conduites

circulaires le domaine laminaire et turbulent est diffrenci par une valeur de Reynolds de

:


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La variation du dbit ou de la vitesse dans un tuyau de diamtre constant provoque une

perte de charge hr. Cette dernire varie en fonction de la vitesse peu prs linairement

quand lcoulement reste laminaire et quadratiquement quand lcoulement est turbulent.

Entre les deux types dcoulement il y a une zone de transition, cest--dire une zone

dincertitude o il faut faire preuve de beaucoup de rserve.

3.1.2. -Expression de la perte de charge linaireCompte tenu des difficults pour rsoudre lquation de Navier-Stokes, la perte de charge

sera traduite par une quation empirique du type :

g2

U

D

LH

2

= ;gD2

U

L

HJ

2

=

=

est un coefficient de perte de charge. Il est sans dimension et est fonction du nombre deReynolds et de la rugosit de la paroi. (Parfois appel f)

L est la longueur de la conduite

D le diamtre

U la vitesse moyenneJ la perte de charge part unit de longueur

3.1.2.1. -En rgime laminaire Re < 2000En rgime laminaire, seules les forces de viscosit interviennent. La vitesse est trs faible

et ltat de surface de la paroi nintervient pas dans le calcul du coefficient.

On dtermine ainsi :Re

64=

Pour une conduite circulaire, on a :2D

U

g

32J

=


51/69



51

3.1.2.2. -En rgime turbulent Re > 4000Une surface rugueuse implique un tat de surface telles que ses irrgularits ont une action

directe sur les forces de frottement, cest--dire quau del dun certain degr de rugosit

la configuration gomtrique de la surface exerce une influence bien dtermine surlcoulement. Dans le cas des coulements en charge appliqus au domaine de lingnieur,

la rugosit va jouer un rle trs important.

Une surface rugueuse peut tre considre comme tant constitue par une srie de

protubrances lmentaires. Elles sont caractrises par une certaine hauteur k (dsigne

parfois par )

Cette rugosit peut tre mesure par rapport au diamtre de la conduite. On parle alors de

rugosit relative :DD

k =

Si la rugosit est ondule le film laminaire pourra, dans une certaine mesure, se modeler

sur les ondulations. Si au contraire elle prsente des artes vives, le film sera aisment

corch puis dchir par les asprits, linfluence de la viscosit dans la couche limite seradiminue et la turbulence fortement augmente. Ceci se traduit par une vitesse moyenne

rduite.

Les surfaces auxquelles on a affaire dans la pratique (bton, acier, fonte) ne prsentent pas

des caractristiques de rugosit uniforme. En effet, les protubrances de la surface sont

ingales et irrgulirement distribues. Elles proviennent du rivetage, des recouvrements,

des joints, des dfauts sur la paroi, de corrosion, dincrustations...

On dfinit ainsi deux types de rugosit : lisse et rugueuse. La diffrence entre les deuxdpend du nombre de Reynolds.


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Les tableaux suivants donnent quelques indications sur la valeur de .


53/69



53


54/69



Le calcul de la perte de charge linaire va donc prendre en compte le nombre de Reynolds

et la rugosit de la conduite. Le choix se fait en fonction de la turbulence cest--dire de la

valeur du nombre de Reynolds.

Rgime turbulent en tuyau lisse :

4000 < Re et.Re.

12D

: Dans cette zone, la turbulence est encore modre.

Lpaisseur de la sous-couche limite est suffisante pour englober toutes les asprits de la

conduite qui se comporte ds lors comme un tuyau lisse.

Deux expressions empiriques sont souvent utilises:

Formule de Blasius : 25.0Re)100( =

Formule implicite de Von Karman :

=

51.2

Relog.2

1

10

Rgime turbulent en tuyau rugueux :

200D

.Re.

: La turbulence devient trs importante et ne dpend plus que de

DD

k =

Formule de Nikuradse :

=

D71,3log.2

110

Rgime turbulent en tuyau lisse, rugueux et en zone de transition :Tous les rsultats de ces travaux sont rsums dans la formule de Colebrook qui sest

fortement inspir des rsultats de Von Karman et de Nikuradse.

Formule de Colebrook :

+

=

D7.3Re

51.2log.2

110 pour 10

8> Re > 4000

Cette relation implicite est difficile exploiter analytiquement et est le plus souvent

reprsente sur un graphique.


55/69



f


56/69



On pourra utiliser les tables de Lechapt et Calmon en 1965 en remplaant la formule de

Colebrook par une formule approche de la forme : J = L.QM.D-No L, M et N sont des

constantes pour une rugosit donne. Pour des valeurs de vitesse comprises en 0.4m/s et

2m/s cette formule conduit des carts relatifs infrieurs 3% par rapport la formule de

Colebrook.

La formule dHazen et Williams est galement souvent utilise :

87.485.1

HW

85.1

D.C

Q69.10J= ; Coefficient de Hazen et Williams fonction de k.

3.2. -Les pertes de charge singulire

La perte de charge singulire, localise dans une section de la conduite, est provoque parun changement de direction et dintensit de la vitesse (voir premier chapitre).

Lcoulement uniforme est perturb et devient localement un coulement non uniforme.

La turbulence joue un rle considrable, alors que les forces de viscosit sont

ngligeables. La perte de charge na donc lieu quen rgime turbulent.

Une telle non-uniformit de la vitesse peut tre provoque par :

- un branchement de section de la conduite,

- un changement de direction (coude),

- un branchement ou raccordement,

- un dispositif de mesure et contrle de dbit...

Comme pour les pertes de charge linaire, les pertes de charges singulires se traduisentpar la relation :

g2

VKH

2

=

K est fonction des caractristiques gomtriques et du nombre de Reynolds.

La valeur de K est donne pour les diffrents cas les plus classiques dans les tableaux

suivants :


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57

Raccordement dune conduite avec un grand rservoirDpartSans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement angles vifs

5.0K=

Sans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement angles vifs, ajutage dbitant

gueule be

1K=

Avec saillie lintrieur du rservoir

1K=

Pour une saillie dont la longueur est comprise

entre 1 et 2 fois le diamtre

Sans saillie lintrieur du rservoir, avec raccordement de profil arrondi

05.0K=

Cette valeur est une moyenne, elle dpend du

profil de larrondi.


58/69



Arrive

S1

S2

1K=

2

2

1

2

2

1

S

S

9

1

S

S1K

+

=

S2>>S1=> K=1

CoudesArrondi

+=90r.2

d847.1131.0K

2

7

en degrs

r/d => 1 1.5 2 2.5 3

()11.25 0.037 0.021 0.018 0.017 0.017

22.5 0.074 0.043 0.036 0.034 0.034

30 0.098 0.057 0.048 0.046 0.045

45 0.147 0.085 0.073 0.069 0.067

60 0.196 0.114 0.097 0.092 0.090

90 0.294 0.170 0.145 0.138 0.134

180 0.589 0.341 0.291 0.275 0.269

Brusque

K est indpendant du diamtre

() 22.5 30 45 60 90

K 0.07 0.11 0.24 0.47 1.13


59/69



59

TsBranchement de prise 90 de mme diamtre et angles vifs

g2

V

KH

2

trr=

g2

VKH

2

tbb=

Qb/Qt Qb/Qt0 0.2 0.4 0.6 0.8 Qb/Qt1Kr 0.40 0.26 0.15 0.06 0.02 0.00

Kb 1.00 1.01 1.05 1.15 1.32 1.45

Branchement damene 90 de mme diamtre et angles vifs

g2

VKH

2

trr=

g2

VKH

2

tbb=

Qb/Qt Qb/Qt0 0.1 0.2 0.4 0.8 Qb/Qt1K

r0 0.16 0.27 0.46 0.60 0.55

Kb -0.60 -0.37 -0.18 0.2

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COURS Hydraulique Generale MEPA