Dérivation implicite et Taux de variation instantané Jacques Paradis Professeur

Dérivation impliciteet

Taux de variation instantané

Jacques Paradis

Professeur

Département de mathématiques 2

Plan de la rencontre

Taux de variation instantané (exemple)

Définition : équation implicite

Exemples d’équations implicites

Dérivées de base

Technique de dérivation implicite

Exemples de dérivation implicite

3Département de mathématiques

Taux de variation instantané (exemple)

Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres.

a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la pierre en fonction du temps.

b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre.

c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre cesse de monter.

d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes.

e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la pierre.

4Département de mathématiques

Exemple (suite) Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le

haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres.

f) Déterminer la hauteur du pont.

g) Déterminer la distance totale parcourue par la balle.

h) Déterminer à quelle vitesse la balle touche à l’eau.

i) Déterminer la fonction donnant l’accélération de la pierre en fonction du temps.

k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6].


Définition Une équation implicite est une relation entre

différentes variables où une variable n’est pas explicitée en fonction des autres.

Équations explicites (habituelles): y = x2 - 2x + 3 x = 3y2 – y + 2

Équations implicites: x2 – 2xy + 2y3 = 5x2y (y2 + x)/(y2 – 2xy) =0

Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est pas nécessairement une fonction.


Exemples Soit x2 – xy + y2 = 3 :

Soit x2 + y2 =25

Soit x3 + y3 = 9xy

Soit x2 – y2 = 16

Remarque : À l’époque de la création du calcul différentiel, presque toutes les expressions algébriques représentant des courbes prenaient la forme implicite.


Dérivées de base (1 de 2)

Dérivée de x par rapport à x :

Dérivée de y par rapport à y :

Dérivée de y par rapport à x :

Dérivée de x2 par rapport à x :

d(x)1

dx

d(y)1

dy

dy

dx

2d(x )2x

dx


Dérivées de base (2 de 2)

Dérivée de y2 par rapport à y :

Dérivée de y2 par rapport à x :

Dérivée de x2 y2 par rapport à x :

2d(y )2y

dy

2 2d(y ) d(y ) dy dy2y

dx dy dx dx

2 2 2 22 2d(x y ) d(x ) d(y )

y xdx dx dx

2 2 dy2x y x 2y

dx

vu u’ v u v’

u = y2 du/dx du/dy dy/dx

2 22xy 2x yy '


Technique de dérivation implicite

Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y) Exemple : x2 + y2 = 3 + xy

Étape 1 : Calculer la dérivée des deux membres de l’équation

Exemple :

Étape 2 : Isoler dy/dx de l’équation obtenue à l’étape 1.

Exemple :

2 2d(x + y ) d(3 xy) =

dx dx

dy (y 2x) =

dx (2y x)

d F(x,y) d G(x,y) =

dx dx{


Exemple Trouver la dérivée de y par rapport à x si

x3 + y3 – 3xy2 = 4.


Exemple Trouver l’équation de la tangente et de la normale

à la courbe x2 +y2 = 25 au point (3 , -4).

tangente

normale


Exercice Trouver la pente de la tangente au point (1 , 4)

de la courbe y3 + x4 – x2y + y3 = 69.


Devoir Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e).

Exercices 4.4, page 161, nos 1 à 7

Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif), 7a, 7b, 7e et 15 Réponses pour le no 6 : d) y’ = –x/y; e) y’ =

Réponse pour le no 7 e)

Exercices récapitulatifs, page 200, no 1 Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s2;

c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s2; d) 1 226,225; e) -155 m/s.

2 4

3 3 2

x y y 2xou ;

x 2xy 3y

2

dy yf) .

dx x y(x y)

( 3,4) ( 3, 4)

dy x 3 3, m , m .

dx y 4 4


Exemples de roses et de cardioïde

22 2 2 2x y 4 x y 32 2 2 2x y 16x y

22 2 2 2x y x x 3y

22 2 2 2 2x y 3x 3 x y

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