Exercices Calcul Integral Corriges

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Terminale S1F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Terminale S Calcul intgralExercices corrigs 1. 1.Calcul de primitives1 1. 2.Basique 11 1. 3.Basique 22 1. 4.Centre de gravit (daprs bac pro)2 1. 5.QCM 13 1. 6.QCM 23 1. 7.QCM 34 1. 8.Calcul dintgrales, fonction rationnelle5 1. 9.Fonction rationnelle, France 20045 1. 10.ROC, Pondicherry 20056 1. 11.Aires, France 06/2008, 5 points8 1. 12.Fonction intgrale, Liban 06/2008, 5 points9 1. 13.Fonction intgrale, Pondicherry 2008, 4 pts11 1. 14.Fonction, aire, quation, Polynsie 200612 1. 15.Approximation daire, Polynsie 200715 1. 16.Aires, Am. du Nord 200617 1. 17.Approcher ln(1+x), Antilles 200419 1. 18.Suite intgrales, France 200620 1. 19.Intgrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts21 1. 20.Intgrale et suite 523 1. 21.Mthode dEuler, Am. du Nord 200623 1. 22.Equa diff, intgrale, volume, Am. du Sud 200426 1. 23.Equa diff + fonction+intgrale, Antilles 200128 1. 24.La chanette31 1. 25.Primitive de ln37 1. 26.Equation diffrentielle38 1. 27.Equation diffrentielle et primitive39 1. 28.Equation diffrentielle : transfusion39 1. 29.Equation diffrentielle : populations41 1. 30.Equation diffrentielle : poursuite42 1. 31.Eq. diffrentielle : dsintgrations successives44 1. 32.Equation diffrentielle ROC46 1. 33.ROC+eq. diff., Am. du Sud remplt 200747 1. 34.Population de rongeurs, France 200548 1. 35.Equa diff : Populations+probas, Pondich. 200650 1. 36.Equa diff, France et La Runion 09/2008 3 pts52 1. 37.Loi logistique, Pondicherry 06/2008, 7 pts53 1. 38.Equa diff+exp, France rempl. 200555 1. 1. Calcul de primitives a. 31( )( 2 )xf xx x+=+;Correction : 3 33 3 3'( ) 1 1 2 2 1 1 1 1( ) . '( ) ( ) ( 2) '( ) ( ),2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )u x x xf x u x u x u x u xx x x x u x + += = = = = + + u(x) = x + 2x, n 1 = 3, n = 2, 21 1( ) ( 2 )4 4( 2 )Fx x xx x= + = +. b.( ) 1xf xx= sur ]1 ; +[. Correction : 1 2 1 '( )( ) 1 2 1 2 ( )x x u xf xx x u x= = = avec u(x) = x 1, 1 1( ) ln ( ) ln( 1)2 2Fx u x x k = = + . c. ln( ) 1xf x xx= +sur+*. Correction : ln 1 1( ) 1 1 l 2 n 1 '( ) ( )2xf x x x x u x u x xx x= + = + = + avec u(x) = lnx, ( )2 1 1( ) ( ) ln2 2 2 2x xFx x u x x x k = + = + + . 1. 2. Basique 1 Soit la fonction f, dfinie par f(x) = (sin2x 3 sin x +8)cos x.Dterminer sur la primitive F de ftelle que 3( ) 02F= . Correction f(x) = (sin2x 3 sin x +8).cos x = cos x sin2x 3 cos x sin x + 8 cos x ;u(x) = sin3 x, u(x) = 3cos x sinx, v(x) = sin x, v(x) = 2cos x sin x, w(x) = sin x, w(x) = cos x. Terminale S2F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3 21 3( ) sin sin 8 sin3 2Fx x x x k = + + . 3 23 1 3 3 3 3 1 3 2 9 48 59( ) 0 sin sin 8 sin 0 8 0 .2 3 2 2 2 2 3 2 6 6F k k k + += + + = + = = =3 21 3 59( ) sin sin 8sin3 2 6Fx x x x = + + . 1. 3. Basique 21. Montrer quex3 + 5x2 + 7x + 4 = (x + 3)(x2 + 2x + 1) + 1. 2. En dduire une primitive de la fonction f dfinie par 3 22 574 ( ) 21x x xf xx x+ + +=+ +sur ] ; 1[. Correction 3 22 2 574( 3)( 2 1) 1 1 1( ) 3 3 2 1 2 121 ( 1)x x x x x xf x x xx x x x x x x+ + + + + + += = = + + = + ++ + + + + + +. 1( ) 32 1xFx xx= + +. 1. 4. Centre de gravit (daprs bac pro) Le plan est rapport un repre orthonormal( ; , ) O i j . Partie A : Calcul dune primitive On note g la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par( )1xg xx=+. 1. Dterminer deux rels a et b tels que, pour tout x appartenant lintervalle [0 ; 2],( )1bg x ax= ++. 2. En dduire une primitive de g sur lintervalle [0 ; 2]. Partie B : Dtermination du centre de gravit dune plaque homogne On note f la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par :( )11f xx=+. OnconsidreuneplaquehomogneformeparlensembledespointsM(x ; y)duplandontles coordonnes vrifient les relations :0 2 x et( ) 0 y f x . (Voir schma ci-dessous). 1. Soit S laire de la plaque exprime en unit daire. Calculer S. 2. Soit G le centre de gravit de la plaque. On admettra que les coordonnes (X ; Y) de G sont donnes par les formules suivantes :( )201X xf x dxS= et( )22012Y f x dxS=( . a. Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approche arrondie au centime. Terminale S3F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr b. Calculer la valeur exacte de Y , puis une valeur approche arrondie au centime. Correction On note g la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2] par( )1xg xx=+. A. 1.( )111g xx= +. 2.( ) ln 1 g x x = +. B. 1.( )202 ln3 0 ln1 2 ln3 S g x dx = = + = . B. 2. a.( )22 220 001 1 1 1 1 ln31 ln 1 0,612 1 2 1 2 2 2(2 ln3)xX x dx x dx x x xS x S x S| |(= = = + + = | (+ + \ . b. ( )( )( )2 22 2 2220 0 001 1 1 1 2 1 1 11 1 2ln 12 2 1 2 1 2 11Y f x dx dx dx x xS S x S x S xx ((= = = + = + ( ((+ + + + , soit ( )1 1 8 6 ln32 2ln3 1 0, 262 3 6 2 ln3YS| |= + = | \ . 1. 5. QCM 1Esiee, 2000, question 9 Les rsultats suivants sont-ils justes (justifier brivement les rponses) ? a) 4 01cos22tdt=.b) 4 01sin22tdt=. c) 1ln 1etdt =.d) 320sin1cos tdtt=.e) 1 01tte dt =. Correction a) Vrai : 44 001 1cos2 sin22 2tdt t (= = ( .b) Vrai : 44 001 1sin2 cos 22 2tdt t (= = (

c) Vrai :| |11eln ln 1etdt t t t = =.d) Vrai : 33200sin 12 1 1cos cos tdtt t (= = = ( . e) Vrai : Intgration par parties, 1100( 1) 1t tte dt t e (= = . 1. 6. QCM 2Fesic 2002, exercice 5. Rpondre simplement par Vrai ou Faux chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction dfinie sur par 2( ) ( 1)xf x x e = + . a. La fonction f vrifie lquation 2'( ) 2 ( )xy x y x e = . b. Lquation 1( )16f x = a deux solutions distinctes. Pour rel, on pose 1( ) ( ) I f x dx=. c. Pour tout rel , on a :221 2 1( )4 4I ee+= . Terminale S4F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr d. On a :lim ( ) I= +. Correction a. Vrai : 2 2 2'( ) 2 ( 1) (2 3)x x xf x e e x e x = + + = + , on remplace :2 2 2'( ) 2 ( ) (2 3) 2( 1)x x xf x f x e x x e e = + + =; cest bon. b.Faux : Inutiledessayerdersoudre,anepeutpasmarcher.Regardonslesvariationsdef :commele textenousleditsigentimentona2 et 31 1 116 2 54e < < .Commeleminimum defestsuprieur 116 ,lquationproposenapasde solution. c.Vrai : onatoutintrtutiliserlquationdiffrentielle pourcalculerI() :comme 2'( ) 2 ( )xf x f x e = + ,enintgrant lgalit,ona: 2 2 2 21 1 1 2 1( ) 2 ( ) ( ) ( 1)2 2 4 4x x x xxf x f x dx e f x dx x e e e+| |= + = + =|\ . Do finalement : 112 2 2 222 1 1 2 1 1 2 1( ) ( )4 4 4 4 4xxI f x dx e e e ee + + +( | |= = = = |(\ . d. Faux : 2 21 1lim ( ) 04 4Ie e= = (il faut utiliserlim 0n xxxe= ). Rappel : somme des n premiers termes dune suite gomtrique de premier terme u0, de raison q : 1011nquq+. 1. 7. QCM 3Soit f la fonction dfinie par 201( )1xf x dtt=. a. f est dfinie sur| | 1 ; 1 . b. f est croissante sur| | 1 ; 1 . c.(0) 1 f = . d. f est une fonction paire. e. En crivant que 21 1 1 12 1 11t tt| |= + | + \ , on obtient( )( )2ln 1 f x x = .Correction a. VRAI : la fonction 211 t est continue sur| | 1 ; 1 , elle a donc une primitive qui est continue. b. VRAI : 21'( ) 01f xx= > sur| | 1 ; 1 . c. FAUX :( ) 0 0 f = . d. FAUX : Lintgrale dune fonction paire est une fonction impaire ( justifier). e. FAUX : 2 20 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 1 2 1 2 1 2 21 1x x xdt dt dt x xt t t tt t | |= + = + = + + | + + \ ,soit( )1 1 1ln ln2 1 1x xf xx x+ += = . x f(x) + 3/2 + 0 312 eTerminale S5F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 1. 8. Calcul dintgrales, fonction rationnelle 1. Dterminer les rels a, b, c tels que pour tout u diffrent de 12, 212 1 2 1u cau bu u= + + . 2. Calculer 20112 1xdxx . 3. Calculer 306cos1 2sinxdxx . Correction 1. 2 22 1 1/ 21 2 2 1 1 3 / 42 0 1/ 4 ( )2 1 2 1 2 1 2 4 2 13 / 4 1a au c au au bu b cau b b a b f u uu u u uc c b= = + + = + + = = = = + = = . 2. 0 20 021 111 1 1 3 2 1 1 3 1 1 3ln 2 1 0 ln 2 12 1 2 4 8 2 1 4 4 8 4 4 8xdx x dx x x xx x ( | |= + = + = | ( \ soit 3ln38. 3. La fonction intgrer ressemble un peu la prcdente en prenantsin u x =:2 2 21 sin 1 cos( ) (sin )2 1 2sin 1 1 2sinu x xf u f xu x x = = = ;pourpouvoirintgrer(sin ) f x ,ilfautquecesoitsousla forme(sin )' '(sin ) (cos ) '(sin ) x F x x F x = oFestuneprimitivedef.Oronaintgrer 3 2 2cos cos 1 sincos cos1 2sin 1 2sin 1 2sinx x xx xx x x ((= = (( donc tout va bien. On a finalement 0 30266cos 1 1 3 3sin sin ln 2sin 1 ln21 2sin 2 4 8 8xdx x x xx (= + = ( . 1. 9. Fonction rationnelle, France 2004 1. Soit g la fonction dfinie sur lintervalle]1 ; [ + par : 21( )( 1)g xx x=. a. Dterminer les nombres rels a, b et c tels que lon ait, pour tout1 x >:( )1 1a b cg xx x x= + ++ . b. Trouver une primitive G de g sur lintervalle]1 ; [ + . 2. Soitflafonctiondfiniesurlintervalle]1 ; [ + par : 2 22( )( 1)xf xx=.TrouveruneprimitiveFdefsur lintervalle]1 ; [ + . 3. Enutilisantlesrsultatsobtenusprcdemment,calculer : 32 222ln( 1)xI xdxx=.Ondonnerale rsultat sous la formeln2 ln3 p q +avec p et q rationnels. Correction 1. 21( )( 1)g xx x=. Terminale S6F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr a. 2( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )( )1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)a x x bx x cx x a b c x c b x a a b cg xx x x x x x x x x+ + + + + + + = + + = =+ + + doontirepar identification : 0 1 1/ 20 0 1/ 21 1 1a b c b c bc b c b ca a a+ += += = = = = = = = . On a donc 1 1 1 1 1( )2 1 2 1g xx x x= + ++ . b. 1 1 1 1( ) ln ln 1 ln 1 ( ) ln ln( 1) ln( 1)2 2 2 2g x dx x x x G x x x x = + + + = + + + (nepasoublierles valeurs absolues au dpart, on les supprime par la suite car on est sur]1 ; [ + ). 2. Pour trouver une primitive de 2 22( )( 1)xf xx=, il suffit dutiliser 11'1n nuudx un+=+ avec 21 u x = et 2 n = : 2 2 121 1( ) ( 1)2 11f x dx xx += = +. 3. A premire vue (et mme seconde vue) il faut intgrer par parties :2 2 22 1 1ln , ' ' ,( 1) 1xu xv u vxx x= = = = ,ce qui donne 33 32 2 2 22 222 ln 1ln( 1) 1 ( 1)1 1 1 1 1 1ln3 ln2 ln3 ln 4 ln2 ln2 ln3 ln18 3 2 2 2 21 1 1 1 13 17ln3 ln2 ln3 ln2 ln2 ln2 ln3 ln3 ln2.8 3 2 2 8 6x xI xdx dxx x x x(= = + ( | | | |= + + + + + + ||\ \ = + + + + = + 1. 10. ROC, Pondicherry 2005 On considre la fonction f, dfinie sur [1 ; [ + par( )tef tt= . 1. a. Justifier la continuit de f sur [1 ; [ + . b. Montrer que f est croissante sur [1 ; [ + . 2. Restitution organise de connaissances On pourra raisonner en sappuyant sur le graphique fourni. Pour tout rel 0xde[1 ; [ + , on note 0( ) A xlaire du domaine dlimitpar la courbe reprsentant f dans un repre orthogonal, laxe des abscisses et les droites dquations1 x =et 0x x = . a. Que vaut A(1) ? b. Soit 0xun rel quelconque de [1 ; [ + et h un rel strictement positif. Justifier lencadrement suivant : 0 00 0( ) ( )( ) ( )A x h A xf x f x hh+ + . c. Lorsque 01 x , quel encadrement peut-on obtenir pour0 h , 1 1xx xx exe e= . b. En dduire que( )( )3 331 11 13ln 1 ln 1 ln 1xf x dx e dxee| | | |= ||\ \ . c. Montrer que si1 3 x , alors ( )31 1ln 1 ln 1 ln 1xeee| | | | ||\ \ . d. En dduire un encadrement de ( )31ln 1xe dx, puis de( )31f x dx. Correction 1. a.( )1xxf xe=,( ) ()1xH x f t dt = : comme0xe>sur R,1 0xe donc f existe et est continue sur R; f a donc une primitive F et( ) ( ) ( ) 1 H x F x F = existe sur R. b. Grce au cours nous savons que( ) ( ) ( ) ' ' 0 H x F x f x = = . c.( ) 3 Hest laire, exprime en units daire,de f, laxe (Ox) les droites1 x =et3 x = . 2. a. Multiplions( ) f xpar xe au numrateur et au dnominateur :( )( )1 1x x xx x x x x xxe e ef x x xee e e e e = = = . b. On reconnat dans 1xxee la drive deln 1xe; il faut donc intgrer par parties en posant : u x = ,'1xxeve=, soit' 1 u = ,ln 1xv e= ; par ailleurs1 0 1 0 0x xe e x x donc ( )ln 1xv e= : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 11 1 1 1ln 1 ln 1 3ln 1 ln 1 ln 1x x xf x dx x e e dx e e e dx (= = . c. La fonction ( )1xeest strictement positive si1 3 x ; ( ) ( )ln 1 ' 01xxxeee = > donc ( )ln 1xeest croissante sur| | 1 ; 3do ( ) ( ) ( )1 3ln 1 ln 1 ln 1xe e e . Terminale S12F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr d. On intgre :( )( ) ( )( )( )31 313 1 ln 1 ln 1 3 1 ln 1xe e dx e , soit( ) ( ) ( )33 112ln 1 ln 1 2ln 1xe e dx e , do ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )33 1 3 3 1 113ln 1 ln 1 2ln 1 3ln 1 ln 1 2ln 1 e e e f x dx e e e et enfin( ) ( )3 3 3 33 31 1 3 2 3 21 11 1 1 1ln 3ln ln 3lnln1 1e e e ef x dx f x dxe e e e e e | | | | | | | | |||| |||| \ \ \ \ . 1. 14. Fonction, aire, quation, Polynsie 2006 Partie A On donne le tableau de variations dune fonction f drivable sur : x 02+f +0 24e 0 On dfinit la fonction F sur par( ) ()2xF x f t dt =. 1. Dterminer les variations de la fonction F sur. 2. Montrer que( )20 3 4 F e . Partie B LafonctionfconsidredanslapartieAestlafonctiondfiniesurpar( )2 xf x xe= .Onappellegla fonction dfinie sur par( )xg x e= . Ondsignepar(C)et( )lescourbesreprsentantrespectivementlesfonctionsfetgdansunrepre orthogonal ( ; , ) O i j . Les courbes sont traces en annexe. 1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles donnes dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites. b. tudier les positions relatives des courbes (C) et ( ). 2. Soit h la fonction dfinie sur par( )( )21xh x x e= . a. Montrer que la fonction H dfinie sur par( )( )22 1xH x x x e= est une primitive de la fonction h sur. b. Soit un relsuprieur ou gal 1. On considre la partie du plan limite par les courbes (C) et ( ) et les droites dquations x = 1 et x = . Dterminer laire A( ), exprime en unit daire, de cette partie du plan. c. Dterminer la limite de A( ) lorsquetend vers+ . 3. On admet que, pour tout rel m strictement suprieur 4e2, la droite dquation y = m coupe la courbe (C) au point P(xP ; m) et la courbe ( ) au point Q (xQ ; m). LobjectifdecettequestionestdemontrerquilexisteuneseulevaleurdexP,appartenantlintervalle | | ; 1 telle que la distance PQ soit gale 1. Terminale S13F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr a. Faireapparatreapproximativementsurlegraphique(proposenannexe)lespointsPetQtelsquexP

appartienne | | ; 1 et PQ = 1. b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier lgalit( ) ( )P Qf x g x = . c. Dterminer la valeur de xP telle que PQ = 1. Correction Partie A 1.( ) () ( ) ( )2'xF x f t dt F x f x = = : f est toujours positive donc F est croissante 2. 3 appartient lintervalle| | 2 ; + , sur cet intervalle f est positive donc( ) ()323 0 F f t dt = ; comme ()24 f t esur cet intervalle, en intgrant on a de mme:() ( )3 32 2 22 24 3 2 4 4 f t dt e dt e e = = Partie B ( )2 xf x xe= ,( )xg x e= . 1. a. Ondrivef :( ) ( )22 2x x xf x xe xe x x e = = ; xeesttoujoursstrictementpositive,festdu signe de( ) 2 x x , ngatif entre les racines 0 et 2, positif lextrieur. b. Signe de( ) ( )( )( ) ( )2 21 1 1x x x xf x g x xe e x e x x e = = = + .Terminale S14F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Doncngatif(Cestendessousde )lorsque| | 1; 1 x etpositif(Cestau-dessusde )lorsque | | | | ; 1 1 ; x + . 2.( )( )21xh x x e= . a. On drive H :( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1 2 2 2 1 1x x x xH x x e x x e x x x e x e = = + + + = . Ok. b.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 11 11 2 1 4 A f x g x dx h x dx H H e e = = = = + . c. Les croissances compares donnent( ) H tend vers 0 en+donc A( ) tend vers 14e. 3. a. Voirlafigure(onvoitquatresolutions,reprsentespar1flchenoireet3flchesrougesquine conviennent pas car xP nest alors pas dans| | ; 1 ). b. P QPQ x x = ; par ailleurs on a( ) ( )P Qf x m g x = =par dfinition. c.1 1 1 1P Q P Q P QPQ x x x x x x = = = = donc-113579111315-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xyy = m QP 1 xP xQ Terminale S15F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 2112 21 1 111 11 1 1111 11 1 11 1Q x xQ QQ Q QQQ QQ x xQ QQ Q QQx ex e e e x e x ex ef x g xx ex e e e x e x ex e = > + = + = += = = = + > = = = = + > La seule solution est donc1Qx e = ,1 1 1P Qx x e e = + = + = .On vrifie pour f et g : ( )1 e ef e ee e + = = , ( )11eg e e + = , ok. 1. 15. Approximation daire, Polynsie 2007 6 points On considre la fonction f dfinie sur| | 0 ; + par( ) 1 ln f x x x = + . On note (Cf) sa courbe reprsentative dans un repre orthogonal( ; , ) O i j . Toutes les aires considres dans ce problme seront exprimes en units daire. Partie A LebutdecettepartieestdedterminerunencadrementdelaireAdudomainedlimitparlaxedes abscisses, la courbe (Cf) et les deux droites dquations1 x =et2 x = . OnnoteMetNlespointsde(Cf)dabscissesrespectives1et2,PetQleursprojetsorthogonaux respectifs sur laxe des abscisses. La figure est donne plus bas. 1. a. Montrer que f est positive sur| | 1 ; 2 . b. Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est2ln2 . c. Soit E le point dabscisse 4e. Montrer que sur lintervalle| | 1 ; 2 , le point E est lunique point de (Cf) en lequel la tangente (Cf) est parallle (MN). d. On appelle (T) la tangente (Cf) au point E. montrer quune quationde (T) est :( )42ln2 1 y xe= + . 2. Soit g la fonction dfinie sur| | 1 ; 2par( ) ( ) ( )42ln2 1 g x f x xe (= + ( . a. Montrer que( ) ' 1 ln4xg x| |= + |\ pour tout x de| | 1 ; 2 . b. Etudier les variations de g sur| | 1 ; 2et en dduire la position relative de (Cf) et de (T) sur cet intervalle. 3.SoientMetNlespointsdabscissesrespectives1et2deladroite(T).Onadmetquelacourbe(Cf) restesousladroite(MN)surlintervalle| | 1 ; 2 etquelespointsMetNontdesordonnesstrictement positives. a. Calculer les aires des trapzes MNQP et MNQP. b. En dduire, laide de la calculatrice, un encadrement de A damplitude 101. Partie B Le but de cette partie est de dterminer la valeur exacte de A. 1. A laide dune intgration par parties, calculer 21ln x xdx. 2. En dduire la valeur exacte de A. Terminale S16F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Correction Partie A 1. a.ln 0 x >sur| | 1 ; 2donc f est positive sur| | 1 ; 2 . b. Mapourcoordonnes( ) 1 ; 1 ,N( ) 2 ; 1 2ln2 +;lecoefficientdirecteurdeladroite(MN)est 2ln22ln21M NM Ny yx x = = . c. Ladrivedefest :( )1' ln ln 1 f x x x xx= + = +;latangente(Cf)estparallle(MN)lorsque ( )22ln2 1 ln21 4ln 1 2ln2 x x e ee e+= = = = . d.( ) ( )4 4 4 4 4 4 42ln2 1 ln 2ln2 2ln2 1 ln4 2ln2 1 y x x xe e e e e e e| | | | | |= + + = ++ = + |||\ \ \ ( ln4 2ln2 = ). 2. Soit g la fonction dfinie sur| | 1 ; 2par( ) ( ) ( )42ln2 1 g x f x xe (= + ( . a.( ) ( ) ' ' 2ln2 1 ln ln4 1 ln4xg x f x x| |= = + = + |\ . b.( )14' 1 ln 0 ln 14 4 4x x xg x e xe | | | |= + ||\ \ .Terminale S17F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Lorsque 4xe= ,gestnulle ;doncdcroissantejusqu 4epuiscroissante,leminimumest0 ;conclusion ( ) 0 g x et (Cf) est au-dessus de (T). 3. a. Il nous faut les ordonnes de M et N :( )'42ln2 1Mye= + ,( )'44ln2 1Nye= + . Aire de MNQP : ( ) ( )1 1 ln2 1, 6932 2M ny y PM QNPQ+ + = = + ;aire de MNQP : ( ) ( )' '' ' 41 3ln2 1 1, 6082 2M Ny y PM QNPQe+ + = = + ; b. Laire A est comprise entre ces deux valeurs : 1,6 101 prs. Partie B 1. On pose 21 1' , ln , '2u xv x u x vx= = = =do2 22 22 2 21 11 11 1 1 1 3ln ln 2ln2 2ln2 0, 6362 2 4 4x xdx x x x dx xx ((= = = (( . 2.( )2 2 21 1 13 11 ln 1 2ln2 2ln2 1, 6364 4f x dx dx x xdx = = + = + = + A . 1. 16. Aires, Am. du Nord 2006 5 points 1. On considre la fonction g dfinie sur| | 0 ; +par :( )2ln g x xx= . On donne ci-dessous le tableau de variations de g. x 0 2,3 x02,4+g 0 +Dmontrer toutes les proprits de la fonction g regroupes dans ce tableau. 2. Soit f la fonction dfinie sur| | 0 ; +par( )5ln xf xx= . a. Dmontrer que( )02010f xx=o 0xest le rel apparaissant dans le tableau ci-dessus. b. Soit a un rel. Pour1 a > , exprimer()1af t dt en fonction de a. 3. On a trac dans le repre orthonormal( ; , ) O i j ci-dessous les courbes reprsentatives des fonctions f et g notesrespectivement ( ) fC et ( ) gC .OnappelleIlepointdecoordonnes( ) 1 ; 0 ,P0lepoint dintersection de ( ) gCet de laxe des abscisses, M0 le point de ( ) fCayant mme abscisse que P0 et H0 le projet orthogonal de M0 sur laxe des ordonnes. Terminale S18F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr OnnommeD1ledomaineplandlimitparlacourbe ( ) fC etlessegments| |0IP et| |0 0PM .On nomme D2 le domaine plan dlimit par le rectangle construit partir de| | OIet| |0OH . Dmontrer que les deux domaines D1 et D2 ont mme aire, puis donner un encadrement damplitude 0,2 de cette aire. Correction 1.( )2ln g x xx= .x 0 2,3 x02,4+g 0 +Limite en 0 : ln tend versde mme que 2x; limite en+: ln tend vers+ , 2xtend vers 0. ( )21 20 g xxx = + >donc g est croissante ; comme elle est continue, elle sannule une seule fois. On a( ) 2, 3 0, 04 g et( ) 2, 4 0, 04 g donc 02, 3 2, 4 x . 2. a.( )0 0020 005ln 2 / 105x xf xx xx= = = car( )0 0020 ln g x xx= = . b. On se rappelle que la drive deln test 1t et quune primitive de'nuuest 111nun++ : () ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 11ln 1 1 5 5 55 5 ln 5 ln ln ln1 ln2 2 2 2aa a atf t dt dt tdt t a at t (= = = = = ( . -3-2-10123-1 0 1 2 3 4 5 6 7xyH0 IP0 M0 Cf Cg Terminale S19F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3. LabscissedeP0estx0donclordonnedeM0est( )02010f xx= .LairedeD1est () ( ) ( )020 02 210 05 5 4 10ln2 2xf t dt x f xx x| |= = = =| |\ , soit laire du domaine D2. Comme 02, 3 2, 4 x , 20101, 89 1, 74x 1. 17. Approcher ln(1+x), Antilles 2004Butdelexercice :approcherln(l + a)parunpolynmededegr5lorsqueaappartientlintervalle [0 ; + [.Soit a dans lintervalle[0 ;+ [ ; on note 00( )1adtI at=+et pour* k , on pose ( )10( )( )1kakkt aI a dtt+=+. 1. Calculez I0(a) en fonction de a.2. A laide dune intgration par partie, exprimez I1(a) en fonction de a.3. A laide dune intgration par partie, dmontrez que 1 11( 1)( ) ( )1k kk kaI a I ak+ ++= ++pour tout* k .4. SoitPlepolynmedfinisurpar 5 4 3 21 1 1 1( )5 4 3 2Px x x x x x = + + .DmontrezencalculantI2(a), I3(a) et I4(a), que I5(a) = ln(1 + a) P(a). 5. Soit( )50( )aJ a t a dt = . Calculez J(a).6. a. Dmontrez que pour tout[0 ; ] t a , ( )( )( )5561t at at +. b. Dmontrez que pour tout[0 ; [ a + , 5( ) ( ) 0 J a I a .7. En dduire que pour tout[0 ; [ a + , 6ln(1 ) ( )6aa P a + .8. Dterminez,enjustifiantvotrerponse,unintervallesurlequelP(a)estunevaleurapprochede ln(1 + a) 103 prs.Correction 1. 0 00( ) [ln(1 )] ln(1 ) ln1 ln(1 )1aadtI a t a at= = + = + = ++. 2. 10( )( )(1 )at a dtI at=+ :intgrationparparties,onpose 2( )1'( )(1 )u t t av tt= =+do '( ) 11( )1u tv tt= = +et 1 0001( )( ) ( ) ln(1 )1 (1 )aat a dtI a a I a a at t (= = + = + (+ + . 3. Encore une intgration par parties :12( ) ( )1'( )(1 )kku t t av tt++= =+, soit 2 2 11'( ) ( 1)( )1 1( ) (1 ) (1 )2 1( 1)(1 )kk kku t k t av t t dt tkk t ++= + = + = + = ++ +, do1 1 1 111 10 00( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( )1 1( 1)(1 ) ( 1)(1 ) (1 )ak k k k k ka ak kk k kt a k t a a t a dt aI a dt I ak kk t k t t+ + + +++ + ( + = + = + = + (+ ++ + + + +( . Terminale S20F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 4. Soit 5 4 3 2( )5 4 3 2x x x xPx x = + +; calculons 5( ) I a laide de lgalit prcdente : pour k = 1 : 2 22 1( 1) ( ) ( ) ln(1 )2 2a aI a I a a a= + = + + , pour k = 2 : 3 3 3 23 2( 1)( ) ( ) ln(1 )3 3 2a a aI a I a a a= + = + + + , pour k = 3 : 4 4 3 24 3( ) ( ) ln(1 )4 4 3 2a a a aI a I a a a = + = + + + , pour k = 4 : 5 5 4 3 25 4( ) ( ) ln(1 ) ln(1 ) ( )5 5 4 3 2a a a a aI a I a a a a Pa = + = + + + + = + .5. 6 6500( )( ) ( )6 6aat a aJ a t a dt (= = = ( 6. a. Commet a ,ona 50 ( ) 0 t a t a do 55 66 6( ) 1( ) 1 (1 ) 1(1 ) (1 )t at a tt t + + +cequiest videmment vrai (remarquez les deux changements de sens des ingalits). b. On a 556( )( )(1 )t at at + donc en intgrant sur lintervalle [0 ; a] :5560 0( )( )(1 )a at at a dt dtt + do 5( ) ( ) J a I a ;deplus 56( )0(1 )t at+etlintgraledunefonctionngativesurunintervalledontlesbornes sont ranges dans le sens croissant est ngative donc 560( )0(1 )at adtt+, do5560 0( )( ) 0(1 )a at at a dt dtt + . 7. On a daprs 4. 6550ln(1 ) ( ) ( ) ( )6aaa P a I a t a dt + = = (lingalit du 6.b. devient5560 0( )( )(1 )a at at a dt dtt + du fait du changement de signe). 8. Il suffit de prendre 63106a , soit 6 36.10 0, 426 a . Moralit :pourx dans[0 ; 6 36.10],onapprocheln(1+ a)parP(a)avecuneerreurmaximalede0,001. Ceci est trs utile pour calculer les valeurs des logarithmes. 1. 18. Suite intgrales, France 2006 5 points 1. Soit f la fonction dfinie sur par( )2 1 xf x xe = . On dsigne par C sa courbe reprsentative dans un repre orthonormal( ; , ) O i j dunit graphique 2 cm. a. Dterminer les limites de f enet en+; quelle consquence graphique pour C peut-on en tirer ? b. Justifier que f est drivable sur. Dterminer sa fonction drive f . c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C. 2. Soit n un entier naturel non nul. On considre lintgrale In dfinie par 110n xnI xe dx=. a. tablir une relation entre In+1 et In. b. Calculer I1, puis I2. Terminale S21F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr c. Donner une interprtation graphique du nombre I2. On la fera apparatre sur le graphique de la question 1. c. 3. a. Dmontrer que pour tout nombre rel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a lingalit suivante : 1 n n x nx xe xe . b. En dduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers+ . Correction 5 points 1. a.( )2 1 xf x xe =tend vers+encar les deux termes tendent vers+ . En+ , les croissances compares permettent de dire que lexponentielle fait tendre f vers 0. On a alors une asymptote horizontale0 y = . b.festleproduitdefonctionsdrivablessuretestdoncdrivablesur. ( ) ( )1 2 1 12 2x x xf x xe xe x x e = = . c. Comme lexponentielle est positive, f est du signe de( ) 2 x x . x 02+f +0 14e 0 La reprsentation graphique est laisse au lecteur. 2. a. Faisons une intgration par parties : ( )11 1' 1' 'n nx xu n x u xv e v e+ = + = = = do( ) ( ) ( )1 1 111 1 1 1 1 0 1100 0 01 1 0 1 1 1n x n x n x n xn nI x e dx x e n xe dx e n xe dx n I+ + + (= = + = + + + = + + . b. 1 11 11 1 1 1 110 00 01 2x x x xI x e dx e e dx e xe e ((= = + = + + = ;parapplicationdelaformulede rcurrence, on trouve :( )2 11 2 1 2 2 2 5 I I e e = + = + = . Remarque :onauraitpufairecalculer 111 10001x xI e dx e e (= = = + puisappliquerlaformulede rcurrence :( )1 01 1 1 2 I I e e = + = + = on aurait vit une deuxime intgration par parties c. Aire entre la courbe de f, laxe horizontal, x = 0 et x = 1.3. a. 0 1 1 10 1 1 0 0 1 1x n n x nx x x e e e x xe xe car0nx> . b. On intgre lingalit entre 0 et 1 :1 11 1 11 1 10 0 00 01 1 11 1 1 1n n x n n nn nexdx xe dx xedx x I e x In n n n + +(( ((+ + + + ; donc In tend vers 0 grce nos amis les gendarmes 1. 19. Intgrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts On considre les suites( )nxet( )nydfinies pour tout entier naturel n non nul par : 10cosnnx t tdt = et 10sinnny t tdt =. 1. a. Montrer que la suite( )nxest termes positifs. Terminale S22F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr b. tudier les variations de la suite( )nx . c. Que peut-on en dduire quant la convergence de la suite( )nx? 2. a. Dmontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 11nxn+. b. En dduire la limite de la suite( )nx . 3. a. laideduneintgrationparparties,dmontrerque,pourtoutentiernaturelnnonnul, ( ) ( )11 sin 1n nx n y+ = + + . b. En dduire quelim 0nny+= . 4.Onadmetque,pourtoutentiernaturelnnonnul,( ) ( )11 cos 1n ny n x+ = + .Dterminerlimnnnx+et limnnny+. Correction 1. a. Pourtoutreltde| | 0 ; 1 ,cos 0 t > et0nt;lafonctioncosnt t t estpositivesurlintervalle | | 0 ; 1 . De plus, cette fonction est continue sur| | 0 ; 1 , par consquent 10cos 0nt t dt , cest--dire que 0nx pour tout entier naturel n non nul. b. ( ) ( )( )1 1 1 1 11 1 110 0 0 0 0cos cos cos cos cos 1 cosn n n n n n nn nx x t t dt t t dt t t t t dt t t t dt t t t dt+ + ++ = = = = . Sur| | 0 ; 1 ,1 0 t ,0nt ,cos 0 t , la fonction( ) 1 cosnt t t t est ngative et( )101 cos 0nt t t dt , 10n nx x+ :( )nxest dcroissante. c. Comme( )nxest dcroissante et minore par 0,( )nxest convergente. 2. a.0 cos 1 t < , soit0 cosn nt t t < et 1 10 00 cosn nt t dt tdt < . 111001 1 11 1 1n nnt dt t xn n n+ (= = (+ + + . b. Comme 101nxn< + et 1 1lim lim 01 n n n n + += =+, daprs le thorme des gendarmes,lim 0nnx+= . 3. a. 1110cosnnx t t dt++ =. Posons() cos u t t =et()1 nv t t += , alors() sin u t t =et() ( ) 1nv t n t = +: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 111 1 1 1100 0 0cos sin 1 sin sin 1 0 1 sinn n n nnx t t dt t t n t t dt n t t dt+ + + ++ (= = + = +

donc( ) ( )11 sin 1n nx n y+ = + + . b. On a ( )1sin 11nnxyn+=+ et 1lim 0nnx ++=(daprs la question 2. b.) do :( ) ( ) ( )1lim sin 1 sin 1nnx ++ = . De plus,( ) lim 1nn++ = + ; donc, par quotient des limites,lim 0nny+= . 4.( ) ( )11 cos 1n ny n x+ = + . Alors( )1cos 1n n nnx y x+= +; or 1lim 0nny ++=etlim 0nnx+=donc( ) lim cos 1nnnx+= . Terminale S23F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Onsaitque ( )1sin 11nnxyn+=+,soit( ) ( )1sin 11n nnny xn+= + ;comme( ) ( ) ( )1lim sin 1 sin 1nnx ++ = et 1lim lim 1111n nnnn+ += =++ 1carlim 0n n +| |= |\ , on a par consquent,( ) lim sin 1nnny+= . 1. 20. Intgrale et suite 5 Pour tout entier naturel n, on dfinit 20sinnxnI e xdx= et 20cosnxnJ e xdx=. 1. Calculer I0 et J0 2. En intgrant par parties In puis Jn montrer que 21n nnn nI nJnI J e+ = + = . 3. En dduire les expressions de In et Jn en fonction de n. 4. Dterminer la limite de In et celle de Jn quand n tend vers+ . Correction 1.| |2 2000sin cos 1 I xdx x = = =,| |2 2000cos sin 1 J xdx x = = =. 2. On pose par exemple '' sin cosnx nxu e u nev x v x = = = = do2 2200 0sin cos cos 1 1nx nx nxn n n nI e xdx e x ne xdx nJ I nJ (= = = + = .Onprocdedemme pour la deuxime intgrale. 3. On rsoud facilement le systme : 22222211(1 ) 11nn nnn nnn nI nJnen I ne InnI nJ ne+ = + = =+ + = puis222222(1 )1nn n nn nnn nnI n J nn en J n e JnnI J e+ =+ + = + =+ + =. 4. Lexponentielle lemporte toujours, donc 1 0lim 01nnI+= =+ et 2lim lim 0nn nnJn+ += = . 1. 21. Mthode dEuler, Am. du Nord 2006 7 points Le plan est muni dun repre orthonormal( ; , ) O i j . On sintresse aux fonctions drivables sur| | 0 ; + vrifiant les conditions :(1) pour tout rel x appartenant | | 0 ; + ,( ) ( )2' 4 f x f x = ( ; (2)( ) 0 0 f = . On admet quil existe une unique fonction f vrifiant simultanment (1) et (2). Les deux parties peuvent tre traites de manire indpendante. Lannexe sera complte et remise avec la copie la fin de lpreuve. Partie A : tude dune suite Terminale S24F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Afindobteniruneapproximationdelacourbereprsentativedelafonctionf,onutiliselamthode itrative dEuler avec un pas gal 0,2. On obtient ainsi une suite de points nots( )nM , dabscisse( )nxet d'ordonne( )nytelles que : 0 120 10, 0, 20, 0, 2 0, 8n nn n nx x xy y y y++= = += = + +. 1. a. Les coordonnes des premiers points sont consignes dans le tableau ci-dessous. Complter ce tableau. On donnera les rsultats 104 prs.n01234567 xn00,20,4 yn00,80001,4720 b. Placer sur le graphique donn en annexe les points Mn pour n entier nturel infrieur ou gal 7. c. Daprscegraphique,quepeut-onconjecturersurlesensdevariationdelasuite( )ny etsursa convergence ? 2. a. Pour x rel, on pose( )20, 2 0, 8 p x x x = + + . Montrer que si| | 0 ; 2 x alors( ) | | 0 ; 2 p x . b. Montrer que pour tout entier naturel n,0 2ny . c. Etudier le sens de variation de la suite( )ny . d. La suite( )nyest-elle convergente ? Partie B: tude dune fonction Soit g la fonction dfinie sur| | 0 ; + par( )44121xxeg xe=+ et ( ) gCsa courbe reprsentative. 1. Montrer que la fonction g vrifie les conditions (1) et (2). 2. a. Montrer que ( ) gCadmet une asymptotedont on donnera une quation. b. Etudier les variations de g sur| | 0 ; + . 3. Dterminer labscissedu point dintersection deet de la tangente ( ) gC lorigine. 4. Tracer dans le repre la courbe ( ) gCet les lments mis en vidence dans les questions prcdentes de cette partie B. Terminale S25F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Correction Partie A : tude dune suite 1. a.n01234567 xn00,20,40,60,81,01,21,4 yn00,80001,47201,83861,96251,99221,99841,9997 b. Voir ci-dessous c. La suite( )nysemble croissante et converger vers 2. 2. a.( )20, 2 0, 8 p x x x = + + ,( ) ' 0, 4 1 p x x = + quiestpositiflorsque 12, 50, 4x < = .Doncpest croissante de| | 0 ; 2vers( ) ( ) | | | | 0 ; 2 0, 8 ; 2 0 ; 2 p p = ( . b. On a par rcurrence| |00 0 ; 2 y = ; par ailleurs si| | 0 ; 2ny alors( ) | |10 ; 2n ny p y+ = avec ce quon a dit en 2. a. c. 1 00, 8 y y = >;parrcurrenceonaalors( ) ( )1 0 2 1p y p y y y > > ,etc.Enappliquantpautantdefois quencessaireona 1 n ny y+ > (notezquecestuniquementlefaitque 1 00, 8 y y = > quirendlasuite croissante, si ctait le contraire, 1 0y y . b. La drive a dj t calcule au 1. ; elle est positive donc g est croissante. 3. La tangente ( ) gC lorigine a pour quation( ) ( ) ( ) 0 0 0 4 y g x g x = + = . Elle coupeen 1; 22| | |\ . 1. 22. Equa diff, intgrale, volume, Am. du Sud 2004 3 points On a reprsent ci-dessous, dans un repre orthonormal( ; , ) O i j , la courbe reprsentative de la fonction f, drivable sur, solution de lquation diffrentielle (E)' 0 y y + =et telle que(0) y e = . 1. Dterminer f(x) pour tout x rel. 2. Soit t un rel donn de lintervalle [1 ; e]. Rsoudre dans lquation 1 xe t=dinconnue x. Terminale S27F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3. SoitAlepointdabscisse0etBlepointdabscisse1delacourbe.Onconsidrelesolideobtenupar rotation autour de laxe des ordonnes de larc de courbe

ABcomme reprsent sur la deuxime figure. On note V son volume et on admet que 21(1 ln )eV t dt = . Calculer V laide de deux intgrations par parties successives. Correction 00,511,522,533,54-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4xyB A 00 ,511,522 ,53-2 -1,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1,5 2xyTerminale S28F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 1. (E)' 0 ' y y y y + = = et(0) y e =:( )xf x Ce=et 0(0) f Ce C e = = =donc 1( )x xf x ee e = = . 2. 11 ln 1 lnxe t x t x t= = =(on a ainsi la fonction rciproque de f : 1( ) 1 ln f t t= ). 3. 21(1 ln )eV t dt = : on pose 2(1 ln ) , ' 1 u t v = = , do 1' 2 (1 ln ) u tt| |= |\ etv t =:2 211 1 1(1 ln ) (1 ln ) 2 1 ln 0 2 1 lne e eeV t dt t t tdt tdt (= = + = + ; on pose1 ln , ' 1 u t v = = , do 1' ut= etv t =:| |11 11 ln (1 ln ) 1 1 ( 1) 2e eetdt t t dt e e = = + = et enfin2 4 (2 5) 1, 37 V e e = + = . Remarque : on voit sur la figure que le volume en question est quasiment celui dun cne de base un cercle de rayon 1 et de hauteur 1,5. Comme le volume dun cne est 213Rh , on a bien environ 1,5. 1. 23. Equa diff + fonction+intgrale, Antilles 2001 11 points Partie A :Rsolution de lquation diffrentielle (1) :' 2xy y xe = . 1. Rsoudre lquation diffrentielle (2) :' 2 0 y y = , o y dsigne une fonction drivable sur. 2. Soient a et b deux rels et soit u la fonction dfinie sur par u(x) =( )xax b e + . a. Dterminer a et b pour que u soit solution de lquation (1). b. Montrer que v est solution de lquation (2) si et seulement si u+v est solution de (1). c. En dduire lensemble des solutions de (1). d. Dterminer la solution de lquation (1) qui sannule en 0. Partie B : Etude dune fonction auxiliaire Soit g la fonction dfinie surpar( ) 2 2xg x e x = . 1. Dterminer la limite de g en et la limite de g en+ . 2. Etudier le sens de variation de g , puis dresser son tableau de variation. 3. On admet que lquation g(x) = 0 a exactement deux solutions relles. a. Vrifier que 0 est lune de ces solutions. b. Lautre solution est appele . Montrer que1,6 1, 5 . 4. Dterminer le signe de g(x) suivant les valeurs du rel x. Partie C : Etude de la fonction principale Soit f la fonction dfinie sur par 2( ) ( 1)x xf x e x e = + . 1. Dterminer la limite de f en et la limite de f en+ .( On pourra mettre 2xe en facteur) 2. Calculer'( ) f x et montrer que'( ) et( ) f x g xont le mme signe. Etudier le sens de variation de f. 3. Montrerque 22( )4f += ,o estdfinidanslapartieB.Endduireunencadrementde( ) f (On rappelle que1,6 1, 5 ). 4. Etablir le tableau de variation de f. 5. Tracer la courbe (C), reprsentative de f dans le plan rapport un repre orthonormal (unit graphique 2 cm ). Partie D : Calcul daire Terminale S29F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 1. Soit m un rel ngatif. Interprter graphiquement lintgrale 0( )m f xdx. (On justifiera la rponse) 2. a. Calculer 0xm xe dx laide dune intgration par parties. b. En dduire 0( )m f xdx. 3. Calculer la limite de 0( )m f xdx, lorsque m tend vers . Correction Partie A 1. Lquation (2) sans second membre a, daprs le cours, pour solutions les fonctions dfinies sur par : 2xx ke avec k rel quelconque. 2.a.Ona'( ) ( ) ( )x x xu x ax b e ae ax a b e = + + = + + doncuestsolutiondelquationdiffrentielle(1) ( ) 2( )x x xax a b e ax b e xe + + + = .Comme0xe pourtoutrelx,uestsolutiondelquation diffrentielle (1)2 2 ax a b ax b x + + =cest dire si et seulement si , pour tout x rel ,ax a b x + =soit11 et10aa ba b = = = =. La fonction u cherche est donc dfinie par u(x) =( 1)xx e . b. On sait que'( ) 2 ( )xu x u x xe = , v est solution de (2)' 2 0 ' 2 ' 2 ( ' ') 2( )x xv v v v u u xe v u v u xe = + = + + =( )' 2( )est solution de (1)xv u v u xe u v + + = + . Remarque : on peut aussi supposer que v est solution de (2) et en dduire que u+v est solution de (1) puis supposer que (u+v) est solution de (1) et en dduire que v est solution de (2). c. Soit f une solution de (1). On peut poser f = u + v. (On a alors v = f u) . On sait que u + v est solution de (1) v est solution de (2). Les solutions de (1) sont donc les fonctions f dfinies par : 2( 1)x xx x e ke + + ( k) d. On cherche k tel que f(0)=0 : 0 0(0) 0 0 1 f e ke k = + = = . La solution de (1) qui sannule en 0 est la fonction 2(1 )x xx x e e + + Partie B 1.Onalim 0xxe= donclim ( ) lim 2x xg x x = = + .Ecrivonsg(x)enmettantenfacteurletermequi crotleplusvite :( ) (2 2 )x x xg x e xe e = .Oronsaitquelim lim 0x xx xxe e + += = parconsquent lim ( )xg x+= + . 2. La fonction g est drivable suret sa drive est : 1'( ) 2 1 22x xg x e e| |= = |\ .Signe de'( ) g x: On a : 1 1 10 ln ln22 2 2x xe e x x . Tableau de variations : xln2 +Terminale S30F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr g(x) 0+

g ++ ln21 Remarque : ln 2 - 1 0, 31 , 1ln21 1ln 2 ln 2 1 ln22 2g e| | |\ | | | | | |= = + |||\ \ \ . 3. a. 0(0) 2 0 2 0 g e = + =donc 0 est une solution de lquation( ) 0 g x = . b.Daprsletableaudevariationdeg,lautresolution estdanslintervalle] ; ln2[ ;orsurcet intervalle,gestdcroissante.Lacalculatricedonne :( 1,6) 0,004 et( 1, 5) 0, 054 g g ,parconsquent ( 1, 5) ( ) ( 1,6) g g g et donc 1,6 1,5. 4. Etude du signe de g(x) : rsumons la dans un tableau. x ln20+ g + +00 ln21 signe de g(x)+00 + Partie C : 1. 2( )x x xf x e xe e = . On sait que 2lim 0,lim 0, lim 0x x xx x xe xe e = = = , par consquentlim ( ) 0xf x= . ( )2( ) 1x x xf x e xe e = : on sait quelim 0xxxe+=etlim 0xxe+=donclim ( )xf x+= + . 2. La fonction f est drivable sur et sa drive vaut : 2 2'( ) 2 ( 1) 1 2 ( 2)x x x x xf x e x e e e x e (= + + = + . Mettons xe en facteur pour faire apparatre g(x) :'( ) (2 2) ( )x x xf x e e x e g x = =; comme, pour tout x rel, 0xe> ,'( ) f x est du signe de g(x). On en dduit le tableau de variations de f : x 0 +f (x)+0 0+ f f( )+ 0 0 3. On sait que( ) 0 g =donc2 2 0 e =soite= 22 +.On obtient 2 2 222 2 4 4 3 2( ) ( 1) ( 1)2 2 4 2f e e | |+ + + + + +| | | |= + = + = ||| |\ \ \ ,soit 2 22 2( )4 4f += = . 4. Nous lavons dj donn la question 2. 5.Lacourbe(C)admetlaxedesabscissescommeasymptotehorizontaleauvoisinagede etcomme tangente en O. Terminale S31F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 00.511.522.53-2 -1 1 2x Partie D : 1. Commem0 etquefestpositivesur[m ; 0],lintgraleenquestionestlairedelapartiedeplan comprise entre laxe des abscisses, la courbe (C) et les droites dquation (x = m) et (x = 0). 2. a. Faisons, comme suggr par lnonc, une intgration par parties : ( )'( ) 1'( )( )x xu x x u xv x e v x e= == =. On en dduit 0xm xe dx=( )00 01 (1 ) 1x x m x m m mm mmxe e dx me e me e m e (( = = = . b.Ona 0( )m f xdx=0 0 002 2 21( ) ( ) (1 ) 12x x x x x x x x mmm m me xe e dx e e dx xe dx e e m e ( = = + ( ,soit finalement : 02 21 1 1 1( ) 1 (1 ) 12 2 2 2m m m m mm f xdx e e m e me e = + += + . 3. On sait quelim 0mmme=et que 2lim 0mme=donclimm01( )2m f xdx =.1. 24. La chanette Lachanetteestlacourbesuivantlaquellesetendunfilhomogne,pesant,flexibleetinextensible suspendu ses extrmits deux points fixes.On montre et on admettra dans ce problme que, rapporte un repre orthonorm( ; , ) O i j convenable la chanette a pour quation( )2x xe ey f x += =o estunparamtrerelpositifdpendantdelalongueurdufil.OnnoteClacourbereprsentative def. On laisse pendre un tel fil dune longueur de 4 m entre deux points situs une mme hauteur et distants de 2 m. Le but du problme est de calculer une valeur approche de la flche priseparle fil, c'est--dire la distance d indique sur le schma. Terminale S32F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr A. Etude de la chanette 1. On prend1 =: tudiez les variations de 1( ) f x; dterminez ses limites en+et . 2. Tracez les courbes C1, 2Cet 3C(unit graphique 1 cm).3. Prouvez que pour toutla courbeC se dduit de la courbe C1 par une homothtie dont on prcisera le centre et le rapport.Dans toute la suite on prendstrictement positif. B. Recherche de d Pour une courbe dquation y = f(x) un petit lment de courbe a pour longueur ds tel que 2 2 2ds dx dy = + , soit| | | | | |2 22 2 21 1 '( ) 1 '( ) 1 '( )bady ds dsf x ds f x dx s f x dxdx dx dx| | | | = + = + = + = + ||\ \ . 1. Faitesunschmamontrantquevousavezcomprisquelquechoseauxexplicationsprcdenteset montrez que la longueur de la chanette est( )e eL = .2. Exprimer en fonction dela flche( ) d de la chanetteC. C. Le problme consiste donc trouver la valeur depour laquelle( ) 4 L =1. Donnez une valeur approche 102 prs de la solutionde lquation (E) :( ) 4 L = . 2. On considre la fonction( )t te ett= . Calculez'( ) t et montrez que'( ) t est toujours positive.Dterminez la limite de( ) t en+et dduisez-en lexistence dune unique solution de (E). 3. Dterminez alors les coordonnes du minimum de la fonction( ) f x ainsi que d( ). D. Une variante (nettement plus labore) de la question prcdente est la suivante : 1. Rsoudre lquation dinconnue X, 24 1 0 X X =. 2. En dduire que( ) 4 L =quivaut 2ln(2 4 1) = + + . 2 m d Terminale S33F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3. Soit g la fonction dfinie par ( )2( ) ln 2 4 1 g x x x = + + . a. Etudier les variations de g sur.b. Tracer sa courbe reprsentative ainsi que la droite D(y = x). c. Montrer que lquation g(x) = x a une seule solution comprise entre 2 et 3. 4. On note[2, [ I = + . a. Dmontrer que pour tout x de I, g(x) appartient I. b. Prouver que pour tout t de I,0 '( ) 0, 5 g t < .En dduire que pour tout x de I,( ) 0, 5 g x x . 5. On considre la suite nudfinie par 02 u =et pour tout0 n 1( )n nu g u+ = . a. En utilisant la construction du 3.b. conjecturer le comportement de nu . b. Dmontrer que pour tout n,0, 5 2nnu a . Conclure quand la convergence de nu . c. Dterminer un entier n0 tel que 0nusoit une valeur approche de 104 prs. d. Amliorez le rsultat obtenu au C.3. Correction A. Etude de la chanette 1.1 = , 1( ) cosh( )2x xe ey f x x+= = =; 1( ) sinh( )2x xe ef x x = =;0 0x x x xe e e e x x x ; donc cosh est dcroissante avant 0, croissante aprs. En fait cosh est paire donc sa courbe est symtrique par rapport 0 ; en+la fonction est comme xeet tend vers+ . Le minimum est 1 en 0. 2. Merci lordinateur 3. EssayonsunehomothtiedecentreO,derapportk(inconnu)surC1 ;pourcefaireoncrit analytiquement cette homothtie, soit M(x, y) en fonction de M(x, y) puis on obtient les coordonnes de M en fonction de celles de M ; enfin on remplace dans f1. Terminale S34F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr ' (1/ ) '( ; ) '( ' ; ')' (1/ ) 'x kx x k xM x y Mx yy ky y k y= = = = ;remplaons : ' ' ' '1 1'( ) ' ( ')12 22x x x xx xk k k kky e e e e e ey f x y f xkk + + += = = = = . Moralit,lacourbeC1/k,1/( )ky f x = ,estlimagedeC1parlhomothtiedecentreOderapportkdoncC est limage de C1 par lhomothtie de centre O de rapport 1. B. Recherche de d 1. Lessentielestdans 2 2 2ds dx dy = +:onconsidreunpetitmorceaudecourbecommeunboutde tangente et cette expression est le thorme de Pythagore cet endroit. On a donc| |21 '( )bas f x dx = + avec a=1, b=1 etf f=:( )( ) ( )2 2 2x x x x x xe e e e e ey f x f x + = = = = quisannuleen0 x =;lereprechoisiestdonc centr sur le sommet de la courbe ; par ailleurs 2 1(0)2f = = , enfin comme la largeur est de deux mtres lesextrmitssontauxabscisses1et1etlordonne(1) ( 1)2e ef f += = ,ona 2( ) (1) (0)2e ed f f + = = . On a donc : | |2 22 21 1 121 1 14 2( ) 1 ( ) 12 4 2x x x x x xbae e e e e eL f x dx dx dx dx | | | | + + + = + = + = = || ||\ \ do 11111 1 1( ) ( )2 2 2x x x xe e e e e eL e e dx e e + + + (= + = = = ( . 2. Comme vu au 1. on a 1( ) (1) (0)2e ed f f += = . C. 1.( ) 4 L = 104 prs vaut 2,1773. ds dx dy Terminale S35F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 2. t > 0,( )t te ett= , 2( ) ( )'( )t t t te e t e ett + = . La situation se corse Nous allons considrer la fonctiontanht tt te ete e=+ dont la drive est ( )24tanht tte e=+ ; on a alors| | ( ) ( ) ( ) tanht t t t t te e t e e e e t t + = + ; posons( ) tanh u t t t = , alors2 22 2 2( ) 4 ( ) 4'( ) 1 0( ) ( ) ( )t t t tt t t t t te e e eu te e e e e e + = = = + + + donc u est croissante et( ) (0) 0 u t u = . Ouf !!! Nota bene : lorsquon trace la courbe de( ) t on saperoit quelle dmarre 2 qui doit donc tre la limite de en 0. On peut lobtenir comme suit : 20 01lim ( ) lim2 22ttt tet et = =car 01lim 1xxex = . En+cest plus simple puisquese comporte comme tet qui tend vers+ . estdonccontinue,monotonestrictementcroissantede[0 ; [ + vers[0 ; [ + ,elleestbijectiveet lquation( ) 4 t =a une seule solution. 3. Leminimumde( ) f xestenx = 0, 1 1(0) 0, 462,1773f= cequidonne 1( ) 2, 052 0, 46 1, 592e ed += = . Terminale S36F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr D. 1. 24 1 0 X X =:216 4 = + , 222 4 1 X = + , 212 4 1 X = + + . 2.( ) 4 L =donne alors 224 4 4 1 04 1 0X ee ee e e eX X =+= + = += +=. Commeest positif, on choisit la racine positive, soit 2 22 4 1 ln(2 4 1) e = + + = + + . 3. ( )2( ) ln 2 4 1 g x x x = + + . a.( )222 22 2 2 24 2 4 12 22 4 124 1 4 1'( ) 02 4 1 2 4 1 2 4 1 4 1x x xx xx xg xx x x x x x x+ +++ ++ += = = = >+ + + + + + + donc croissante sur. b. OntracelacourbereprsentativedegainsiqueladroiteD(y = x) ;surlafigureonarajoutlescalier formparlestermesdelasuite(questionposeenC. 5. a,onpartde1surlafigurepourmieuxvoir, fichier tlcharger : http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/TS_ds7_C.xls) x v 0 0 + v+ 1,31 0 3 / 2Terminale S37F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr c. Pour x >0, soitv(x) = g(x) x : 22'( ) 14 1v xx= + ; 2 23'( ) 0 2 4 1 4 4 12v x x x x = = + = += .Onaletableaudevariationsci-contre.Oncalcule(2) 0,1 0 v > et(3) 0, 05 0 v < doncvsannuleune seule fois. 4. a. g est croissante,(2) 2, 094 2 g >donc pour tout x, g(x) appartient I.b. Pour0 '( ) g t 4,x+1estpositif,x4estpositifdonclenumrateurestngatifetlednominateurest positif. Moralit, f est ngative. c. 1( ) ( 2 5) ln4xf x xx + + = ; nous avons dit que ce terme tend vers 0 lorsque x tend vers+donc la droite (D) est une asymptote (C). Lorsque x > 4, 104xx +> donc (C) est au-dessus de (D). 2. a. On pose 1ln , ' 1 ' , u xv u v xx= = = =do une primitive de ln x est 1ln ln x x xdx x x xx = . b. On drive G : 1'( ) 1. ln( 1) ( 1) 1 ln( 1)1Gx x x xx= + + + = ++. c. Exactement pareil. d. On cherche 6 65 5A ( ) ( 2 5) 3 ln( 1) ln(4 ) 3[ (6) (5)] 3[ (6) (5)] f x x dx x x dx G G H H = + = + = ; (6) (5) 7 ln7 6 6 ln6 5 7 ln7 6 ln6 1 G G = + = ,(6) (5) 2ln2 6 1ln1 5 2ln2 1 H H = + = et le rsultat| | A 3 7 ln7 6 ln6 2ln2 4, 45 U = . 1. 26. Equation diffrentielleOn se propose de dterminer les fonctions drivables solutions de l'quation diffrentielle 2 y' + y = x + 2x 2 (E) 1. Montrer qu'il existe une fonction polynme g du second degr solution de (E) et dterminer laquelle. 2. Dmontrer que f est solution de (E) si et seulement si f g est solution de l'quation diffrentielle :2y' + y = 0(E) 3. Rsoudre (E) et en dduire toutes les solutions de (E). 4. Dterminer les solutions dont la reprsentation graphique passe par l'origine du repre. Correction 1. Onpose 2( ) g x ax bx c = + + do 2 22 ' 4 2 (4 ) 2 g g ax b ax bx c ax a b x b c + = + + + += + + + + ,soitpar identification : 21 14 2 2 ( ) 2 22 2 2a aa b b g x x xc b c= = + = = = + = += .Vrification, 2 22 ' 4 4 2 2 2 2 y y x x x x x + = + + = + , ok. 2. festsolutionde(E) : 22 ' 2 2 2 ' 2( ' ') ( ) 0 2( )' ( ) 0 f f x x g g f g f g f g f g + = + = + + = + = ,ona donc bien f g est solution de l'quation diffrentielle : 2y' + y = 0 (E). Terminale S39F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3. 121'2xy y y Ce= =do 1 122 2( ) ( ) ( ) 2 2x xf x g x Ce f x Ce x x = = + + . 4. On doit avoir(0) 0 2 0 2 f C C = + = = et la solution 122( ) 2 2 2xf x e x x= + + . 1. 27. Equation diffrentielle et primitive Soit lquation diffrentielle (E) :' 1 y y x + = . 1. A laide dune intgration par parties, calculer 1( 1)xte t dt . 2.Soitzunefonctiondrivablesur,onpose( ) ( )xf x z x e= .Montrerquefestsolutionde(E)si,et seulement si, pour tout x rel,'( ) ( 1)xz x e x = . 3. A laide de la premire question, dterminer toutes les fonctions z vrifiant'( ) ( 1)xz x e x = . 4. Dduire de la question prcdente les solutions de (E). Dterminer la solution pour laquelle limage de 1 est 0. Correction 1. On pose1, ' ' 1,t tu t v e u v e = = = =do11 1( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 2)x xxt t t x x xe t dt t e e dt x e e e x e e ( = = += + . 2.( ) ( )xf x z x e= .f est solution de (E) :' 1 '( ) ( ) ( ) 1 '( ) 1 '( ) ( 1)x x x x xf f x z x e z x e z x e x z x e x z x x e + = + = = = . 3. Ilestclairquezestunedesprimitivesde( 1)xx e ,soitunefonctiondutypedu1.agrmentedune constante :( ) ( 2)xz x x e e K = + + . 4.( ) ( ) ( ) 2x x xf x z x e f x x ee Ke = = + +; 1 1 1(1) 1 0 0 f ee Ke Ke K = + + = = = .La solution cherche est donc 1( ) 2xf x x e += + . 1. 28. Equation diffrentielle : transfusion Uneexsanguino-transfusionpeutseschmatiserdelafaonsuivante :unrcipientRcontientunliquideL danslequelsetrouveunesubstanceSdontonveutdiminuerlaconcentration.LevolumedeRestdep litres (genre le corps humain) et la concentration initiale de S est de a gramme par litre dans L. 1. Premire mthode : on injecte dans R de manire continue du liquide L ne contenant pas la substance S et on prlve simultanment la mme quantit de mlange par un tuyau de sortie de sorte que le volume de liquide dans R reste constant. Les tuyaux darrive et de sortie ont des dbits de d litres par heure. On note m(t) la quantit de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration. a. Montrer que( ) ( ) ( ) m t h m t dhC t + = ; en dduire que'( ) ( ) mt dC t = puis que'( ) ( )dC t C tp= (E). b. Dmontrer que lunique solution de (E) est( ) expdC t a tp| |= |\ . c. Au bout de combien de temps la concentration de S est-elle infrieure 5 % de sa valeur initiale ? d. Cette mthode permet-elle dliminer compltement S ? 2. Deuximemthode :touteslesminutesonprlvedansRunpourcentagefixeqdemlangequelon remplace par la mme quantit de L ne contenant pas S. A la minute n on appelle mn la masse de S restant dans R et Cn sa concentration. Terminale S40F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr a. Exprimer en fonction de n et des autres paramtres la masse nm de S prleve la minute n. b. Exprimer 1 nm + en fonction de nmpuis 1 nC + en fonction de nC . En dduire nCen fonction de n, a, p et q. c. Au bout de combien de minutes la concentration de S est-elle infrieure 5 % de sa valeur initiale ? d. En posant60 n t =donner une expression de nC . Comparer au rsultat du 1. Correction 1. Premire mthode : on note m(t) la quantit de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration. a. Pendantla dure hla quantit m de S passe de m(t) m(t+h) ;la diffrence entre les deux est ce qui est sorti pendant ce laps de temps, soitvolume sorti x concentration = dbit x temps x concentration, on a donc bien( ) ( ) ( ) m t h m t dhC t + = ;divisons tout par h : ( ) ( )( )m t h m tdC th+ = ;passons la limite quand h tend vers 0 :'( ) ( ) mt dC t = .Par ailleurs un instant t donn on a( ) ( ) '( ) '( ) m t pC t mt pC t = =do'( ) ( )dC t C tp= (E). b. Onreprenddonclecoursetona( ) expdC t K tp| |= |\ ;comme(0) C a = onendduitqueK =aet ( ) expdC t a tp| |= |\ . c. On cherche t de sorte queln(0, 05)( ) 0, 05 exp 0, 05 exp 0, 05 ln(0, 05)p d d dC t a a t a t t tp p p d| | | | ||\ \ . d. Pour liminer compltement S il faudrait que C(t) sannule un moment, ce qui est impossible ceci dit cestcommepourlhomopathie,auboutduncertaintempslaquantitrestantedeSdevienttellement faible que lon peut considrer quil ny en a plus. 2. Deuximemthode :touteslesminutesonprlvedansRunpourcentagefixeqdemlangequelon remplace par la mme quantit de L ne contenant pas S.a & b. At = 0ona 0m ap = ,t = 1 mnona 1 0 0(1 ) m m qm ap q = = ,puisdeminuteenminuteon multiplie par1 q , ce qui donne(1 )nnm ap q = . La concentration quand elle est 1( ) (1 )nn nC m t a qp= = c. On a 0ln0, 050, 05 (1 ) 0, 05 ln(1 ) ln(0, 05)ln(1 )nnC C q n q nq< < . d.60 n t = ,soit( ) ( )60(1 ) exp 60 ln(1 ) exptnC a q a t q a kt = = = avec 6060ln(1 ) ln (1 ) k q q (= = .Pour que ce soit semblable il faut donc que 60ln (1 )dqp ( = , soit1 exp 1 exp60 60d dq qp p| | | | = = || ||\ \ . Applicationnumrique :p = 5l,d = 0,1 l/mn,onaalorsq = 0,03% ,pourlepremiercastsuprieur 150 mn, pour le deuxime cas n suprieur 8987 (secondes), soit t suprieur 150 mn. Terminale S41F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 1. 29. Equation diffrentielle : populations Unetudesurlecomportementdebactriesplacesdansuneenceinteclosedontlemilieunutritifest renouvel en permanence a conduit proposer une loi dvolution de la forme () () ()22 0, 0045 N t N t N t ( = (1) otestletempsexprimenheures.() N t reprsentelenombredindividusprsentsdanslenceinte linstant t ; t = 0 on a( ) 0 1 N =(en milliers). 1. On pose()()1y tN t=; montrer que y est solution dune quation diffrentielle (E) du type y = ay+b. 2. Rsoudre (E). 3. En dduire que la solution de (1) est()210, 99775 0, 00225tN te=+. 4. Etudier les variations de N. 5. Montrer que()220, 99775 0, 00225tteN te=+. Dduisez-en une primitive de() N t . 6. OnappellenombremoyendebactrieslalimitequandTtendvers+ de 01( )TN t dtT.Calculercette intgrale et en dduire le nombre moyen de bactries dans lenceinte. Correction 1.()()()()()()()2'1 1'y ty t N t N tNt y ty t= = = . Remplaons dans (1) : () () ()22 2' 2 0,0045' 2 0,0045 ' 2 0,0045yN t Nt Nt y yyy y= = = + . 2. Onadonclasolution 2 20, 0045( ) 0, 002252t ty t Ce Ce = = +.At = 0onaN(0) = 1doy(0) = 1et donc1 0, 00225 0, 99775 C C = + = . 3. La solution pour N est donc()()22 21 10, 00225 0,99775 0,00225 0,99775tt teNty te e= = =+ +. 4. Ona()( )( ) ( )222 22 20,99775 21,9955' 00, 00225 0, 99775 0,00225 0,99775ttt teeN te e = = >+ +doncNestcroissante.En+sa limite est 14440, 00225 . 5.()220, 00225 0,99775tteNte=+ ;() N t estdelaforme ' uuavec 20,00225 0,00125tu e = ,soit 2' 0,0045tu e = . On crit donc()221 0, 00450,00450, 00225 0, 99775tteNte=+ ; une primitive de N est alors ( )21ln 0, 00225 0, 997750, 0045te + . Terminale S42F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 6. ()( )( )( )( )2002 21 1 1ln 0,00225 0,997750,0045ln 0, 00225 0, 99775 ln 1 ln 0,00225 0, 997750,0045 0, 0045TTtT TN t dt eT Te eT T (= + ( + += = QuandTtendvers+ , ( )20,00225 0, 99775Te + estquivalent 20, 00225Te et ( )2ln 0,00225 0, 997750,0045TeT+ est quivalent ( ) ( ) 2 ln 0,00225 ln 0,0022520,0045 0,0045 0,0045TT T+= +qui tend donc vers 24440, 0045 . 1. 30. Equation diffrentielle : poursuite Cet exercice est une (libre) adaptation de Max et Lucie : voirhttp://promenadesmaths.free.fr/fichiers_pdf/trajectoire_poursuite.pdf Le but de lexercice est de rsoudre lquation diffrentielle 2'' 1 ' xy R y = +(E). 1. a. On considre la fonctionsinh( )2x xe ex= . Etudier les variations de sinh(x). b. Montrer que pour tout u rel, il existe un unique x tel que sinh(x) = u. c. Montrer que 1 2sinh ( ) ln( 1) x u u u= = + + .d. Montrer que la drive de sinh1(u) est ( )=+12'sinh ( ) '1uuu. 2. a. Montrer que lquation (E) est quivalente 2''1 'y Rxy= + et donne aprs intgration1sinh ( ') ln y R x K= +o K est une constante.b. En dduire que | |= |\ 1'2K RR Ke xyx e. c. Avec la condition initiale'(1) 0 y = , montrer que( )1 1'2RRy xx (| |= (|\ ( . c. Dmonstration de cours : Montrer quune primitive de mxo m est rel et diffrent de 1 est ++111mxm.En dduire que si R est diffrent de 1 on a 1 11 1'2(1 ) 2(1 )R Ry x x KR R = + + o K est une constante. Dterminer la valeur de K pour que y(1) = 0. d. Tracez la solution obtenue (on prendra R = 2). Correction 1. a.sinh( )2x xe ex=est dfinie sur; sa drive estcosh( )2x xe ex+= qui est toujours positive.En+ , sinh tend vers+ , enelle tend vers . b. sinh est continue, monotone strictement croissante de| | ; + vers| | ; + donc pour tout u on aura un unique x correspondant. sinh est bijective. Terminale S43F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr c. Il faut rsoudre lquation 22sinh( ) 2 2 1 02 2 1 0xx xx x x xe Xe ex u e e u e ueX uX = = = = = =. Onaunequationdusecondedegrrsoudre : 24 4 u = + do 2212 2 112u uX u u+ += = + + et 2 221 X u u = +; mais comme0xe X = >la deuxime solution ne convient pas. On a donc 1 21sinh ( ) ln( ) ln( 1) x u X u u= = = + + . On pouvait galement remplacer x par 2ln( 1) u u + +danssinh( )2x xe ex=et vrifier que le rsultat est bien x. d. Attention la drivation des fonctions composes :222 222 2 2 22 ' '( 1)'1' 2 1 1ln( 1)1 1 1 1uu u u uuu uu u uu uu u u u u u u+ ++ (+ +( + + (+ + = = = = ( + + + + + + +. Cersultatpeutsobtenirgalementenpassantpar( )' ' .( ' ) f g g f g = etenprenant 1g f =;onaalors( ) ( )1'( ) '( ) ( )' 1 f g x f f x x= = =et 1' ' f g f f=do ( )111'ff f =

. Ici a donne ( )( ) ( )12 22 2ln 1 ln 121 2 ' 2 'sinh ( ) ' .1cosh ln 1 11u u u uu uu uu u u ue eu u| | | |+ + + + ||\ \ = = =+ + + ++++ +, soit le rsultat demand car22 2 22 221 11 1 2 111u uu u u u uu uu u ++ ++ = + ++ = + + +. 2. a. On a (E) 2 12 2'' 1 ' sinh ( ') ln1 ' 1 'xy y Rxy R y R y R x Kxy y = + = = = ++ +. b. On applique sinh des deux cts :| | ( ) ( )1 ln ln ln ln1 1 1 1sinh sinh ( ') sinh ln '2 2 2R RR x K R x K K x K x K R RKy R x K y e e e e e e e x xe + | | ( = + = = = | \ et finalement | |= |\ 1'2K RR Ke xyx e. c. 21 1 1'(1) 0 1 2 0 02 1KK KK Key e e K Ke e| |= = = = = = |\ . Do 1 1'2RRy xx (= ( . 3. a. Dmonstration de cours :utiliser ln m m xx e = b. On intgre : 1 11 1 1 1' '2 2 1 1R R R Ry x x y x x KR R +( ( = = + ( + . 1 121 1 1 1 1 1(1) 1 1 ' 0 '2 1 1 2 1 1 1R RRy K KR R R R R + ((= + = = = (( + + . c. La solution obtenue est 1 121 1 1( )2 1 1 1R RRy x x xR R R +(= + ( + , soit avec R = 2 : Terminale S44F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3 31 1 1 2 1 1 2( )2 3 3 2 6 3y x x xx x (= + = + ( . On vrifie bien les conditions initiales 1. 31. Eq. diffrentielle : dsintgrations successives partie A LadsintgrationradioactiveduZirconium 95(95Zr)sefaitendeuxtapes:formationdeNiobium radioactif(95Nb)puistransformationduNiobiumquiconduitunisotopestable.Onsintresse lvolution du 95Nb en fonction du temps. linstantt(exprimenjours),onnoteZ(t)lenombredatomesde 95ZretN(t)lenombredatomesde 95Nb. La fonction Z(t) est solution de lquation diffrentielle() () ' 0,02 Z t Z t = avec( )00 Z Z = . 1. Donner lexpression de Z(t) en fonction de t et de 0Z . Quel est le sens de variation de Z ? 2. Pendant que Z dcroit, N crot et est solution de lquation diffrentielle() () () ' 0,01 N t Z t N t = avec ( ) 0 0 N = .a. On pose() ()0,01tNt f t e= . Montrer que()0,010'tf t Z e= .b. En dduire que()( )0,01 0,020100t tNt Z e e = . Partie B On prend 02 Z = , de sorte que sur lintervalle [0 ;+ [ lexpression de N(t) est :()( )0,01 0,02200t tNt e e = . On note C la courbe reprsentative de la fonction N dans un repre orthogonal dunits graphiques : 1 cm pour 10 jours sur laxe des abscisses et 1 cm pour 10 units sur laxe des ordonnes. 1. Calculer N(0). Terminale S45F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 2. a. Calculer la limite de N(t) lorsque t tend vers+ . b. Que peut-on en dduire pour la courbe C ? 3. a. Montrer que la fonction N drive de N vrifie()( )0,02 0,01' 200 0,02 0,01t tN t e e= . b. RsoudrelquationN(t)=0.Donnerlavaleurexactepuisunevaleurapproche101prsdela solution t0 de cette quation. c. Rsoudredans[0;+ [linquation() ' 0 N t .EndduireletableaudevariationsdelafonctionN. Prciser la valeur exacte de N(t0). 4. Construire la courbe C sur lintervalle [0 ; 150]. 5. a. Dterminer graphiquement lintervalle de temps pour lequel() 40 N t . (On laissera apparatre sur la figure les constructions utiles). b. Rsoudre linquation() 40 N tpar le calcul (on pourra poser 0,01tX e= ). Correction Partie A 1.() () ' 0,02 Z t Z t = ,( )00 Z Z =: on applique le cours,()0,02tZ t Ce=; avec( )00 Z Z = , on a 0C Z =et ()0,020tZ t Z e= . La fonction()0,020tZ t Z e=est dcroissante :()0,020' 0,02 0tZ t Z e= < . 2. a.() () () () ()0,01 0,01 0,01' ' 0,01t t tNt f t e N t f t e f t e = = do en remplaant :() () () () () ()0,01 0,01 0,02 0,010' 0, 01 ' 0, 01 0,01t t t tN t Z t Nt f t e f t e Z e f t e = = , soit finalement : () ()0,01 0,02 0,02 0,01 0,010 0 0' 't t t t tf t e Z e f t Z e e Z e = = = . b. On intgre()0,010'tf t Z e=:()0,01 0,010 011000, 01t tf t Z e K Z e K = + = + puis on remplace dans N : () ()0,01 0,01 0,01 0,02 0,010 0100 100t t t t tNt f t e Z e K e Z e Ke (= = + = + .Comme( ) 0 0 N = , on a 0 0100 0 100 Z K K Z + = =et finalement en mettant 0100Zen facteur : ()( )0,01 0,020100t tNt Z e e = . Partie B()( )0,01 0,02200t tNt e e = . 1.()( )0 0200 0 Nt e e = = . 2. a. Lorsque t tend vers+ , 0,01te et 0,02te tendent vers 0 carlim 0xxe= . b. La courbe C a une asymptote horizontale en+: y = 0. 3. a.()( ) ( )0,01 0,02 0,02 0,01' 200 0,01 0,02 200 0,01 0,02t t t tN t e e e e = + = + . b.()( )0,02 0,01' 0 200 0,02 0,01 0t tN t e e= =or 0,02te nest jamais nulle, donc on rsoud : 0,01 0,01 0,0100,020,02 0, 01 0 0,01 0,02 2 0,01 ln2 100ln2 69, 30,01t t te e e t t t = = = = = = . c. 0,02te est toujours strictement positif, on rsoud donc0, 01 0, 01 0, 010, 020, 02 0, 01 0 0, 01 0, 02 2 0, 01 ln 2 100 ln 20, 01t t te e e t t = . Par ailleurs( )( ) ( )0, 01 100 ln 2 0, 02 100 ln 2 ln 2 2 ln 201 1200 200 200 502 4N t e e e e | |= = = = |\ . Terminale S46F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr On a donc le tableau t0100ln2+N(t)+0 N(t) 0 50 0 4. 5. a. Comme on le voit ci-dessus et avec laide de la calculatrice, on a() 40 N tlorsque32, 2 128,7 t . b.()( )0,01 0,02 0,01 0,02 0,02 0,0140 200 40 0, 2 0 0,2 0t t t t t tNt e e e e e e + .Onposedonc 0,01tX e= ,cequidonne 20, 2 0 X X + ;lesracinessont 1 11 0, 2 1 0, 2,2 2X X+ = = , soit lintervalle solution : 0,011 2 1 2 1 2 1 2ln 0, 01 ln 100ln 100lntX X X X e X X t X X t X . Le calcul donne alors 2100ln 32, 35 X et 1100ln 128, 59 X . 1. 32. Equation diffrentielle ROC 5 points 1. Restitution organise des connaissances Prrequis :onsaitquelessolutionsdelquationdiffrentielle' y ay = sontlesfonctionsdela forme( )axf x Ce =o C est une constante relle. Terminale S47F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr a. Dterminer les solutions de lquation diffrentielle' y ay b = + . b. Enfaisantunchangementdevariabledelaforme( ) y Y = danslquationprcdenteonobtient lquation' 2 2 Y aY b Y = + . Quelle est la fonction votre avis ?2. Rsolution dune quation diffrentielle On considre lquation diffrentielle (1) :' 2xy y e+ = , dans laquelle y dsigne une fonction inconnue de la variable relle x, drivable sur lensemble des nombres rels. 1. Rsoudre lquation diffrentielle (2) :' 0 y y + = . On considre lquation diffrentielle (1) :' 2xy y e+ = , dans laquelle y dsigne une fonction inconnue de la variable relle x, drivable sur lensemble des nombres rels. 2. Soit la fonction h dfinie sur par( ) ( )xh x x e = + . Trouver les valeurs deettelles que h soit solution de lquation (1). 3. Onadmetquetoutesolutionde(1)scritsouslaformeg+h,ogdsigneunesolutionde lquation (2). a. Dterminer lensemble des solutions de lquation (1). b. Dterminer la solution f de lquation (1) vrifiant la condition initiale f (0)=1. c. Quelle est la limite de f lorsque x tend vers+? Vers? Dresser le tableau de variation de f. Correction 1. b. Commeilyauneracinedans' 2 2 Y aY b Y = + onpeutsedireque( ) y Y Y = =:drivons ''2YyY= , ce qui donne dans '' ' 2 22Yy ay b a Y b Y aY b YY= + = + = + . Ok. 2. 1.' 0 y y + =a pour solutions xy Ce= . 2.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2x x x x xh x x e h x x e x e x e e = + = + + = dopar identification :2 =etquelconque, par exemple 0, soit( ) 2xh x xe= . 3. a.( ) 2 2x x xy g h y Ce xe C x e = + = + = + . b.( ) ( ) ( ) 0 1 2 1xf C f x x e= = = . c. Lorsque x tend vers+ , f tend vers 0 (croissances compares) ; Vers , f tend verscar2 1 x tend verset xe vers+ .( ) ( ) ( ) ' 2 3 2x xf x f x e x e = + = . x 3/2+signe de f'(x)+0 Variation de f 1,52e 0 1. 33. ROC+eq. diff., Am. du Sud remplt 2007 4 points 1. Dans cette question, on demande au candidat dexposer des connaissances. On suppose connule rsultat suivant :La fonction xx e est lunique fonction drivable sur telle que' = , et( ) 0 1 = . Soit a un rel donn. Terminale S48F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr a. Montrer que la fonction f dfinie sur par( )axf x e =est solution de lquation' y ay = . b. Soit g une solution de lquation' y ay = . Soit h la fonction dfinie sur par( ) ( )axh x g x e= .Montrer que h est une fonction constante. c. En dduire lensemble des solutions de lquation' y ay = . 2. On considre lquation diffrentielle (E) :' 2 cos y y x = + . a. Dterminer deux nombres rels a et b tels que la fonction f0 dfinie sur par :( )0cos sin f x a x b x = +soit une solution f0 de (E). b. Rsoudre lquation diffrentielle (E0) :' 2 y y = . c. Dmontrer que f est solution de (E) si et seulement si 0f f est solution de (E0). d. En dduire les solutions de (E). e. Determiner la solution k de (E) vrifiant02k | | = |\ . Correction a.( ) ( )axf x ae af x = =donc( )axf x e =est solution de lquation' y ay = . b.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ax ax ax axh x g x e ag x e ag x e ag x e h x K = = = = . c.( ) ( ) ( )ax axh x K g x e g x Ke= = = . 2.( )0cos sin f x a x b x = +est solution de lquation diffrentielle (E) :' 2 cos y y x = +si a.( ) ( ) ( )0 021 22 cos sin cos 2 cos sin cos ,2 1 5 5a bf x f x x a x b x a x b x x b ab a= = + + = + + = = = +. b.' 2 y y =a pour solutions 2xy Ke = . c. f est solution de (E) si et seulement si( )0 00 0' 2 cos22 cosf f xf f f ff f x= + = = +, soit 0f f solution de (E0). d. Les solutions de (E) sont donnes par( )2 202 1cos sin5 5x xf f Ke f x x x Ke| | = = + + |\ . e. 222 1 1 1cos sin 02 5 2 5 2 5 5k Ke Ke K e | | | |= + + = + = = ||\ \ . 1. 34. Population de rongeurs, France 2005 6 points PARTIE A Soit f la fonction dfinie sur par 443( )2xxef xe=+. a. Dmontrer que 43( )1 2xf xe=+. b. tudier les limites de la fonction f en+et en . c. tudier les variations de la fonction f. PARTIE B 1. On a tudi en laboratoire l'volution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est note g(t). On dfinit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ;+ [ dans.Terminale S49F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr La variable relle t dsigne le temps, exprim en annes. L'unit choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Lemodleutilispourdcrirecettevolutionconsisteprendrepourgunesolution,surl'intervalle [0 ;+ [, de l'quation diffrentielle (E1) '4yy = . 1. a. Rsoudre l'quation diffrentielle (E1). b. Dterminer l'expression de g(t) lorsque, la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est--dire g(0) = 1. c. Aprs combien d'annes la population dpassera-t-elle 300 rongeurs pour la premire fois ? 2. Enralit,dansunsecteurobservd'unergiondonne,unprdateurempcheunetellecroissanceen tuant une certaine quantit de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprim en annes) dans cette rgion, et on admet que la fonction u, ainsi dfinie, satisfait aux conditions : (E2) : 2( ) ( )'( )4 12(0) 1u t u tu tu= = pour tout nombre rel t positif ou nul, o u' dsigne la fonction drive de la fonction u. a. On suppose que, pour tout rel positif t, on a u(t) > 0. On considre, sur l'intervalle [0 ;+ [, la fonction h dfinie par 1hu= . Dmontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions (E2) : 1 1'( ) ( )4 12(0) 1h t h th= += pour tout nombre rel t positif ou nul, o h' dsigne la fonction drive de la fonction h. b. Donner les solutions de l'quation diffrentielle 1 1'4 12y y = +et en dduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u. c. Dans ce modle, comment se comporte la taille de la population tudie lorsque t tend vers+? Correction PARTIE A a. On multiplie en haut et en bas par 4xe : 4 44 4 43 3( )2 1 2x xx x xe ef xe e e = =| |+| + |\ . b. Lorsque x tend vers+ , 4xe tend vers 0 donc f tend vers 330 1 =+ ; lorsque x tend vers , 4xe tend vers+donc f tend vers 0.Limites vraiment simples en utilisant la deuxime forme de f. c. On peut remarquer que 4xe est dcroissante et que la fonction inverselest galement ; on a alorsune fonction croissante : 4 4 4 44 43 32 1 2 1 ( ) ( )2 1 2 1a b a ba ba b e e e e f a f be e + + + +. Avec la drive : 4 442 2 24 4 411 1 2 242'( ) 3 3 3 01 2 1 2 1 2x xxx x xe eef xe e e | | | | || + ||\ \ = = = >| | | | | | ||| + + + |||\ \ \ . Terminale S50F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Attention bien utiliser la drive de 1/u, soit u/u2. PARTIE B 1. a.'4yy =a pour solutions 14ty Ce = . b. Avec g(0) = 1 on a 104(0) 1 y Ce C = = =do 14( )tg t e = . c. 141( ) 3 ln3 4ln3 4, 44tg t e t t = do environ 4 ans et 5 mois. Aprs 5 annes on est sr que la population dpassera les 300 individus. Cette premire partie ne prsente pas de difficult. Attention aux units quand mme. 2. (E2) : 2( ) ( )'( )4 12(0) 1u t u tu tu= = a. 21 ''uh huu= = .Orlesystme(E2)devientendivisantpar 2u: 2'( ) 1 1 14 ( ) 12( )(0) 1u tu tu tu= =,soit 1 1'( ) ( )4 121(0) 1(0)h t h thu= = =. b. 1 1'4 12y y = + apoursolutions 1 14 41/12 11/ 4 3t ty Ce Ce = = +.Onadonc 141( )3th t Ce= + etavec (0) 1 h = ,ontire 1 213 3C C + = = .Lasolutionuestdonc 1 14 41 1 3( )( )2 12 13 3t tu th te e = = =+ +,olon retrouve la fonction de la partie A. c. Lorsque t tend vers+u se comporte comme f et tend vers 3, la population de rongeurs se stabilise donc vers 300 individus. Lemodleiciprsentestclassiqueetavaittdonnsousuneformediffrente(etpluscomplique)en 2003.Lquationdiffrentielleinitialeprovientdumcanismesuivant :ona( )1'( ) ( ) 3 ( )12u t u t u t = ,la populationcroit,doncuestpositifetinfrieur3 ;leterme 312 u estlacroissanceexponentielledela population, le terme3 ( ) u t tend vers 0 donc u tend vers 3. Cest lquation logistique que lon retrouve dans dautre situations physiques (comme des ractions chimiques). 1. 35. Equa diff : Populations+probas, Pondich. 2006 7 points Les parties A et B sont indpendantes. Un laboratoire de recherche tudie lvolution dune population animale qui semble en voie de disparition. Partie A En2000,unetudeesteffectuesurunchantillondecettepopulationdontleffectifinitialestgal 1000. Cet chantillon volue et son effectif, exprim en milliers dindividus, est approch par une fonction f du temps t (exprim en annes partir de lorigine 2000). Terminale S51F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Daprslemodledvolutionchoisi,lafonctionfestdrivable,strictementpositivesur[0 ; [ + ,et satisfait lquation diffrentielle : (E)( )1' 3 ln20y y y = . 1. Dmontrerlquivalencesuivante :unefonctionf,drivable,strictementpositivesur[0 ; [ + ,vrifie, pour tout t de[0 ; [ + ,( )1'( ) ( ) 3 ln ( )20f t f t f t = ( si et seulement si la fonction( ) ln g f =vrifie, pour tout t de [0 ; [ + , 1 3'( ) ( )20 20g t g t = . 2. Donner la solution gnrale de lquation diffrentielle : (H) 1 3'20 20z z = . 3. En dduire quil existe un rel C tel que pour tout t de [0 ; [ + :( ) exp 3 exp20tf t C| | | |= + ||\ \ (la notation exp dsigne la fonction exponentielle). 4. La condition initiale conduit donc considrer la fonction f dfinie par( ) exp 3 3exp20tf t| | | |= ||\ \ . a. Dterminer la limite de la fonction f en+ . b. Dterminer le sens de variation de f sur [0 ; [ + . c. Rsoudre dans [0 ; [ + linquation( ) 0, 02 f t < .Auboutdecombiendannes,seloncemodle,latailledelchantillonsera-t-elleinfrieurevingt individus ? Partie B En2005,celaboratoirederecherchemetaupointuntestdedpistagedelamaladieresponsabledecette disparitionetfournitlesrenseignementssuivants : Lapopulationtestecomporte50%danimaux malades.Siunanimalestmalade,letestestpositifdans99 %descas ;siunanimalnestpasmalade,le test est positif dans 0,1 % des cas. OnnoteMlvnement lanimalestmalade ,MlvnementcontraireetTlvnement letestest positif . 1. Dterminer( ) P M ,( )MP Tet( )MP T . 2. En dduire P(T). 3. Le laboratoire estime quun test est fiable si sa valeur prdictive, cest--dire la probabilit quun animal soit malade sachant que le test est positif, est suprieure 0,999. Ce test est-il fiable ?Correction Partie A1. Partons de 1 3'( ) ( )20 20g t g t = et remplaons g par ln f, g par f/f :( ) ( )'( ) 1 3 1 1ln ( ) '( ) ( ) ln ( ) 3 '( ) ( ) 3 ( )( ) 20 20 20 20f tf t f t f t f t f t f t f tf t = = = . Ok ! 2. (H) 1 3'20 20z z = . Application directe du cours : 1 120 203 / 2031/ 20t tz Ce Ce= = + . 3. g est solution de (H) donc 120( ) 3tg t Ce = + , soit 1 120 20ln ( ) ( ) 3 ( ) exp 3t tf t g t Ce f t Ce| | | = = + = + |\ . Terminale S52F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 4.a. texp20| | |\ tendvers+ , t3 3exp20| | |\ tendvers , texp 3 3exp20| | | | ||\ \ tenddoncvers0 lorsque t tend vers+ . b. texp20| | |\ a pour drive t 1exp20 20| | |\ donct t t t 3'( ) 3 3exp exp 3 3exp exp exp 3 3 exp 020 20 20 20 20f t ( | | | | | | | | | | | |= = < ||||||(\ \ \ \ \ \ ,f est dcroissante. c.t t t 3 ln0, 02exp 3 3exp 0, 02 3 3exp ln0, 02 exp20 20 3 203 ln0, 02 3 ln0, 02ln 20 ln 16, 69.3 20 3tt | | | | | | | | < < < ||||\ \ \ \ < > Ainsi, selon ce modle, au bout de 17 ans, la taille de lchantillon sera infrieure vingt individus. Partie B 1. D'aprs l'nonc, P(M) = 0,5 ;( )MP T = 0,99et( )MP T = 0,001. 2. D'aprs la formule des probabilits totales, P(T) = P(M) ( )MP T + ( )MP(M) P T donc P(T) = 0,5 0,99 + (10,5) 0,001 = 0,4955. 3. Pour savoir si un test est fiable, il faut calculer sa valeur prdictive, cest--dire( )TP M . Or( )TP M =( ) ( ) ( )( ) ( )MPM P T PM TP T P T = =0, 5 0,990, 49550,99899.Cenombren'estpassuprieur0,999 donc le test n'est pas estim fiable. 1. 36. Equa diff, France et La Runion 09/2008 3 pts Onseproposededterminertouteslesfonctionsfdfiniesetdrivablessurl'intervalle]0 ;+ [vrifiant l'quation diffrentielle (E) :( ) ( ) ( )2' 2 1 8 xf x x f x x + = . 1. a. Dmontrerquesifestsolutionde(E)alorslafonctiongdfiniesurl'intervalle]0 ;+ [par ( )( ) f xg xx=est solution de l'quation diffrentielle (E) :' 2 8 y y = + . b. Dmontrer que si h est solution de (E) alors la fonction f dfinie par( ) ( ) f x xh x =est solution de (E). 2. Rsoudre (E') et en dduire toutes les solutions de (E). 3. Existe-t-ilunefonctionfsolutiondel'quationdiffrentielle(E)dontlareprsentationgraphiquedans un repre donn passe par le point A (ln 2, 0) ? Si oui la prciser. Correction (E) :( ) ( ) ( )2' 2 1 8 xf x x f x x + = . 1. a.( )( )( )( ) ( )2''f x f x x f xg x g xxx= = , do en remplaant dans (E) : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22'2 8 ' 2 8 ' 2 1 8xf x f x f xxf x f x xf x x xf x x f x xxx= + = + + = . b. Mme chose mais lenvers. 2.' 2 8 y y = +a comme solutions( )2 2842x xy h x Ce Ce = = = .Terminale S53F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Les solutions de (E) sont donc( ) ( )( )24xf x xh x x Ce = = . 3.( )( )2ln2ln2 0 ln2 4 0 4 4 1 f Ce C C = = = =; la solution cherche est( )( )24xf x x e = . 1. 37. Loi logistique, Pondicherry 06/2008, 7 pts Oncherchemodliserdedeuxfaonsdiffrenteslvolutiondunombre,exprimenmillions,defoyers franais possdant un tlviseur cran plat en fonction de lanne. Les parties A et B sont indpendantes Partie A : un modle discret Soit nule nombre, exprim en millions, de foyers possdant un tlviseur cran plat lanne n. On pose n = 0 en 2005, 01 u =et, pour tout n >0,( )112010n n nu u u+ = . 1. Soit f la fonction dfinie sur [0 ; 20] par( ) ( )12010f x x x = . a. tudier les variations de f sur [0 ; 20]. b. En dduire que pour tout x[0 ; 20],( ) f x [0 ; 10]. c. On donne ci-dessus la courbe reprsentative C de la fonction f dans un repre orthonormal. Reprsenter laide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite( )0nnu> sur laxe des abscisses. 2. Montrer par rcurrence que pour toutn , 10 10n nu u + . 3. Montrer que la suite( )0nnu> est convergente et dterminer sa limite. Partie B : un modle continu Terminale S54F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr Soit( ) g xle nombre, exprim en millions, de tels foyers lanne x. On pose x = 0 en 2005,( ) 0 1 g =et g est une solution qui ne sannule pas sur| | 0 ; + de lquation diffrentielle (E) :( )1' 1020y y y = . 1. On considre une fonction y qui ne sannule pas sur| | 0 ; + et on pose 1zy= . a. Montrerqueyestsolutionde(E)sietseulementsizestsolutiondelquationdiffrentielle:(E1): 1 1'2 20z z = + . b. Rsoudre lquation (E1) et en dduire les solutions de lquation (E). 2. Montrer que g est dfinie sur| | 0 ; + par( )12109 1xg xe=+. 3. tudier les variations de g sur| | 0 ; + . 4. Calculer la limite de g en+et interprter le rsultat. 5. En quelle anne le nombre de foyers possdant un tel quipement dpassera-t-il 5 millions ? Correction Partie A : un modle discret 01 u = ,( ) ( )112010n n n nu u u f u+ = = . 1.a.( ) ( ) ( )2120 0,1 2 ' 0, 2 210f x x x x x f x x = = + = + ,positivelorsque10 x < ,doncfestcroissante jusqu 10, dcroissante aprs. Terminale S55F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr b. On a( ) ( ) 0 20 0 f f = =et( ) 10 10 f =donc( ) 0 10 f x lorsque x[0 ; 20]. c. Voir figure. 2. 10,1 1 19 1,9 u = =donc 0 10 10 u u . Parailleurssi0 10nu ,alorscommefestcroissante,( ) ( ) ( )10 10 0 10n nf f u f u + .Ilreste montrer que nuest croissante : si( ) ( )1 1 1 2 n n n n n nu u f u f u u u+ + + + . 3. nu estcroissanteetmajore,elleconvergeverslepointdintersectionentrelacourbedefetladroite y x = , soit 10. Partie B : un modle continu 1. a. 21 1 ''zz y yy zz= = = , remplaons dans (E) :( )2 2 21 ' 1 1 1 1 1' 10 10 '20 20 2 202 20z zy y y z zz zz z z| |= = = = + |\ . b. (E1)acommesolutionslesfonctions 1 12 21/ 20 11/ 2 10x xz Ce Ce = = +etdonclessolutionsdelquation (E) sont 1 12 21 1 10110 110x xyzCe Ce = = =+ +.2. Comme( ) 0 1 g = , on a 0101 10 10 1 10 910 1C CCe= = + =+ et donc( )12109 1xg xe=+. 3.( )12122 21 12 2110 9245' 09 1 9 1xxx xeeg xe e | | | |\ = = >| | | | || + + ||\ \ donc g croit 4. En+12xe tend vers 0 et g tend vers 10.Il y a saturation du march qui ne peut dpasser plus de 10 millions de foyers quips. 5.( )1 12 21210 1 15 45 5 10 ln9 2ln9 4, 399 29 1x xxg x e e x xe = + +, donc en 2010. 1. 38. Equa diff+exp, France rempl. 2005 7 points Partie A La fonction f est dfinie sur lintervalle [0 ;+ [ par 12( ) (20 10)xf x x e= + . On note C la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre orthonormal( ; , ) O i j (unit graphique 1 cm). 1. tudier la limite de la fonction f en+ . 2. tudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 3. tablirquelquationf(x) = 10admetuneuniquesolutionstrictementpositive danslintervalle ]0 ;+ [. Donner une valeur dcimale approche 103 prs de . 4. Tracer la courbe C. Terminale S56F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 5. Calculer lintgrale 30( ) f x dx. Partie B Onnotey(t)lavaleur,endegrsCelsius,delatempratureduneractionchimiquelinstantt,ttant exprim en heures. La valeur initiale, linstant t = 0, est y(0) = 10. On admet que la fonction qui, tout rel t appartenant lintervalle [0 ;+ [ associe y(t), est solution de lquation diffrentielle (E) : 121' 202ty y e+ = . 1. VrifierquelafonctionftudiedanslapartieAestsolutiondelquationdiffrentielle(E)sur lintervalle [0 ;+ [. 2. Onseproposededmontrerquecettefonctionfestluniquesolutiondelquationdiffrentielle(E), dfinie sur lintervalle [0 ;+ [, qui prend la valeur 10 linstant 0. a. Onnotegunesolutionquelconquedelquationdiffrentielle(E),dfiniesur[0 ; + [vrifiant g(0) = 10. Dmontrer que la fonction g f est solution, sur lintervalle [0 ; + [, de lquation diffrentielle (E) : 1' 02y y + = . b. Rsoudre lquation diffrentielIe (E). c. Conclure. 3. Auboutdecombiendetempslatempraturedecetteractionchimiqueredescend-ellesavaleur initiale ? Le rsultat sera arrondi la minute. 4. Lavaleur endegrsCelsiusdelatempraturemoyennecetteractionchimiquedurantlestrois premires heures est la valeur moyenne de la fonction f sur lintervalle [0 ; 3]. Calculer la valeur exacte de , puis donner la valeur approche dcimale dearrondie au degr. Corrig Partie A 12( ) (20 10)xf x x e= + . 1. En+ , 12xe tend vers 0 et lemporte allgrement sur 20x+10. La limite est 0. 2.( ) ( )1 1 12 2 21'( ) 20 20 10 10 152x x xf x e x e x e = + = +qui est positif lorsque 15 310 2x < = . x03/2+( ) f x +0 ( ) ' f x10 18,9 0 Terminale S57F. Laroche Calcul intgral corrigshttp://laroche.lycee.free.fr 3. Comme( ) 0 10 f =et f est croissante, il ny a pas de solution entre 0 et 3/2 ; comme la limite en+est 0, il y a une unique solution entre 3/2 et+: ( ) ( ) 4, 674 9, 997... 10 10, 00099 4, 673 f f = =donc4, 673 4, 674 . 5. Intgration par parties :31 13 32 20 00313/2 3/220( ) (20 10)( 2) 40140 20 40 2 220 100.x xxf x dx x e e dxe e e ( ( = + ( ( ( = + + = + ( Partie B 1.( )1 1 12 2 21 1' 10 15 (20 10) 202 2t t ty y t e t e e + = + + + = . 2. g solution : 121' 202tg g e+ =; comme on a 121' 202tf f e+ = , en soustrayant on a( ) ( )1 1 1' ' 0 ' 02 2 2g f g f g f g f + = + = ,soit() ( )1 12 2)t tg f Ce g t f t Ce = = +;comme( ) 0 10 g = , on a( ) ( ) 0 0 10 10 0 C g f = = =et doncg f = . 3. La temprature redescend 10 t = , soit environ 4,67 h. 4. ( )33/201 1( ) 220 100 173 0 3f x dx e= + .