Mcanique des Milieux Continus Recueil dexercices Ecole Nationale Suprieure dArts et Mtiers Centre de Cluny M.MAYA maya@cluny.ensam.fr www.mmaya.fr ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 3/84 Cepetitrecueildexercicesnapasdautrebutquedaider ltudiantdanssacomprhensiondelenseignementdela McaniquedesMilieuxContinus.Ildoitpermettredemieux cerner les champs dinvestigation de cette science. Il rassemble de nombreuxsujetsdetestsoudexamenssoitducentredeCluny, soit dautres coles. Il est noter que si ltudiant cherche bien, il nest pas impossible quiltrouvedanscedocumentsonfutursujetdetestou dexamen. Travaillez, prenez de la peine, Cest le fonds qui manque le moins. Le laboureur et ses enfants Jean De LA FONTAINE (1621-1695) ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 4/84 Sommaire Notation indicielle ................................................................................................................................. 6 Cisaillement en grandes dformations ................................................................................................... 7 Etat de dformation homogne triaxiale ................................................................................................ 8 Cisaillement en petites dformations ..................................................................................................... 9 Etude dun tat de dformation ............................................................................................................ 10 Etat de contrainte uniforme ................................................................................................................. 11 Etat de contrainte uniaxial ................................................................................................................... 11 Etat de contraintes dans un cylindre .................................................................................................... 12 Etat de contrainte ................................................................................................................................. 12 Thorie des poutres : tat de contrainte ............................................................................................... 13 Torsion flexion dune poutre ............................................................................................................... 14 Etude dun chargement sur une gouttire ............................................................................................ 14 Mcanique de la rupture en mode I ..................................................................................................... 16 Projectile dans un canon ...................................................................................................................... 16 Mesures de dformations ..................................................................................................................... 17 Dplacement dun corps solide ............................................................................................................ 17 Etude dun massif en compression ...................................................................................................... 18 Etude dun champ de dplacement ...................................................................................................... 18 Sphre soumise son champ de gravitation ........................................................................................ 19 Corps soumis son propre poids ......................................................................................................... 19 Etude dune poutre ............................................................................................................................... 21 Etude d'un tube .................................................................................................................................... 21 Compatibilit de dformations ............................................................................................................ 22 Dtermination dun champ de dplacement ........................................................................................ 22 Champ de pesanteur sur un cylindre .................................................................................................... 23 Contraintes dans un domaine ............................................................................................................... 24 Sollicitation dans un cylindre .............................................................................................................. 25 Chargement dun cylindre de rvolution ............................................................................................. 26 Etude dune poutre de section triangle quilatral .............................................................................. 27 Poutre demi cylindrique ....................................................................................................................... 28 Etude des critres de limite lastique ................................................................................................... 28 Poutre en flexion .................................................................................................................................. 29 Flexion compose dune poutre demi cylindrique ............................................................................... 30 Etude dun barrage ............................................................................................................................... 31 Calcul des dimensions dun rservoir sphrique ................................................................................. 32 Taraudage dun tube ............................................................................................................................ 32 Dplacement radial .............................................................................................................................. 33 Etude dun assemblage frett ............................................................................................................... 33 Etude de cylindres lastiques en compression radiale ......................................................................... 34 Pices de rvolution ............................................................................................................................. 34 Etude d'un palier lisse .......................................................................................................................... 35 Encastrement dun pion cylindrique dans une plaque ......................................................................... 35 Etude dun vrin .................................................................................................................................. 36 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 5/84 Canalisation hydraulique ..................................................................................................................... 37 Dplacement orthoradial ...................................................................................................................... 38 Etude d'un assemblage cylindrique ...................................................................................................... 39 Etude de liaisons cylindriques ............................................................................................................. 40 Coefficient de Poissonv = 0,25 ........................................................................................................ 41 Etude du changement eau-glace .......................................................................................................... 42 Cisaillement plan dans une plaque perce ........................................................................................... 43 Torsion dune poutre de section triangulaire ....................................................................................... 44 Torsion dun solide de rvolution ........................................................................................................ 45 Torsion d'un tube elliptique ................................................................................................................. 46 Champ de force radial .......................................................................................................................... 47 Chargement dun barreau rectangulaire ............................................................................................... 48 Enveloppe cylindrique ......................................................................................................................... 49 Sollicitation combine dun cylindre ................................................................................................... 51 Transformation hlicodale .................................................................................................................. 52 Etude dun volant dinertie .................................................................................................................. 53 Poutre triangulaire ............................................................................................................................... 54 Etude d'un appui circulaire trou circulaire en lastomre ................................................................. 55 Elasticit plane en coordonnes cartsiennes ...................................................................................... 57 Elasticit plane en coordonnes cylindriques ...................................................................................... 58 Contrainte en pointe de fissure ............................................................................................................ 59 Poutre courbe ....................................................................................................................................... 60 Cylindre en pression ............................................................................................................................ 61 Etude des contraintes dans un disque pesant ....................................................................................... 62 Etude dun oeudomtre ........................................................................................................................ 63 Pression de Hertz ................................................................................................................................. 64 Milieu demi cylindrique ...................................................................................................................... 65 Pion indformable dans une plaque ..................................................................................................... 66 Poutre en tat plan de contrainte .......................................................................................................... 67 Arbre entaill ....................................................................................................................................... 68 Raction d'un sol lastique sur une conduite flexible .......................................................................... 69 Console ................................................................................................................................................ 70 Plaque en contrainte plane ................................................................................................................... 71 Ralisation d'un tube en matriau composite ...................................................................................... 72 Dformations plastiques d'un tube en pression .................................................................................... 74 Sollicitation lastoplastique d'une sphre ............................................................................................ 75 Ecrasement d'un lopin cylindrique....................................................................................................... 76 Dtermination d'un effort de presse ..................................................................................................... 78 ExamenLILLE30 mai2002 ...................................................................................................... 79 ExamenMETZ12 janvier 2004 .................................................................................................. 81 COORDONNEESSPHERIQUES ...................................................................................................... 84 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 6/84 Notation indicielle 1-EnutilisantlesymboledeLviCivita ijko donneruneformuleindiciellepermettant dexprimer le vecteur rotationnel dun vecteur( ) U rot.Utiliser cette relation pour dmontrer les deux formules suivantes : ( )( ) 00=|.|

\|=U rot divf grad rot 2-Ecrire la trace dune matrice en utilisant la convention dEinstein. 3-En adoptant la convention dEinstein, a-t-on le droite dcrire les formules suivantes ? ( )j i ij ij l k kl j i ijx x b a x x b x x a + = + ( )i ij ij k kl i ijx b a x b x a + = + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2i i i i i i i id b c a d c b a = ( )k k i i i i ic a b a c b a3 3 3 3 3 3 3+ = + 4-Rsoudre lquationk i j ik k i j ijx x x x x x o o = Calculer les expressions suivantes : ( )k i jk ijb adtdo o ( )j i ija adtdo ( )klj i ijx x A, Dmontrer lgalit suivante : ( ) ( )j i hij jih ijh j i hij ijhx x a a a x x a a + = 2ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 7/84 Cisaillement en grandes dformations On considre le champ de dplacement donn par les relations suivantes : ( )1 2 E X k X x t X uJ = = , 1-Dtermineralorslescomposantes,danslabaseorthonormedirecte( )3 2 1E E E , , ,destenseurs suivants : X d x dF F = Tenseur gradient ' ' . X d X d x d x d C C = Tenseur de Cauchy Green Droit ' ' . ' . X d X d X d X d x d x d E E 2 = Tenseur des dformations de Green Lagrange ' ' . x d x d X d X d 1 = B B Tenseur de Cauchy Green Gauche ' ' . ' . x d x d X d X d x d x d A A 2 = Tenseur des dformations dEuler Almansi 2-Constater que lon a bien la relation : ( )1 1 = F E F AT 3-On se place au point M0de coordonnes (1,1,0). Soienta le vecteur reprsentant la bissectrice du plan( )2 1E E ,etb le vecteur reprsentant la trisectrice du tridre : 2 1E E a + =3 2 1E E E b + + =Calculer la dilatation linaire en M0dans les directions E1, 2E,aetb. Calculer les distorsions angulaires suivantes : ( ) ( ) a E M E E M , ; , ;1 0 2 1 0 4-On ak =103.Enadmettantlalinarisation,dfinirlescomposantesdutenseurdedformationetdutenseur antisymtrique : ( ) | | ( ) | |T TU U U U grad grad grad grad = + =2121Dterminer les composantes du vecteur associ au tenseur antisymtrique. 5-TracerletricercledeMohrdesdformationsenM.Reprsentersurcetricerclelesvecteurs dformations pures dans les directions E1,2E,a etb: ( ) ( ) ( ) ( ) b M D a M D E M D E M Dp p p p ; ; ; ;2 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 8/84 Etat de dformation homogne triaxiale On considre une dformation homogne triaxiale dfinie par les relations suivantes : ===3 3 32 2 21 1 1X xX xX x 1-Dtermineralorslescomposantes,danslabaseorthonormedirecte( )3 2 1E E E , , ,destenseurs suivants : X d x dF F = Tenseur gradient ' ' . X d X d x d x d C C = Tenseur de Cauchy Green Droit ' ' . ' . X d X d X d X d x d x d E E 2 = Tenseur des dformations de Green Lagrange ' ' . x d x d X d X d 1 = B B Tenseur de Cauchy Green Gauche ' ' . ' . x d x d X d X d x d x d A A 2 = Tenseur des dformations dEuler Almansi 2-Constater que lon a bien la relation : ( )1 1 = F E F AT 3-DonnerlescomposantesdutenseurdeGreenLagrangedanslabaseorthonorme( )3 2 1e e e , ,dfinie par : ( )( )=+ =+ =3 32 1 22 1 12222E eE E eE E e Application numrique : 12402003204003 2 1= = = Donner les valeurs numriques des diffrents tenseurs. Retrouver,parunraisonnementsimplelesrelationstraduisantlechangementdebasepourle tenseur de Green Lagrange. Retrouver aussi ces rsultats en utilisant les cercles de Mohr. XXXxxx231321 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 9/84 Cisaillement en petites dformations On considre le champ de dplacement donn par : ( )====00322 10 0uuX k uM U M M 1-CalculerletenseurdelatransformationU grad ,letenseursymtriquec etletenseur antisymtriquee . Dfinir le vecteureassoci au tenseur antisymtrique. Donner enfin le tenseurE . 2-On se place au point 0Ade coordonns (1,1,0). Soita le vecteur reprsentant la trisectrice du tridre3 2 1E E E a + + =Calculer la dilatation linaire en 0A dans la direction 1E, 2E et dans la directiona. Calculer les distorsions angulaires suivantes : ( ) ( ) a E A E E A , ; , ;1 0 2 1 0 3-On ak =103.Tracer le tricercle de Mohr des dformations en A.Reprsenter sur ce tricercle les vecteurs dformations pures dans les directions 1E eta: ( ) ( ) a A D E A Dp p; ;1 On considre l'tat de dformation ci-aprs : ( )iXM|||.|

\|= 0 0 10 900 0 10 12010 90 10 120 0) (666 6c 4-Calculer les dformations principales ainsi que les directions principales de dformations. 5-Reprsenter sur le tricercle de Mohr des dformations les vecteurs dformation pure en M dans les directions X X1 2,et X3. 6-Calculer la dilatation linaire en M dans la direction Ndfinie par : NX X X=+ +1 2 32 25 Donner le tenseur dviateur des dformations. Que peut-on dire? Quel est le lien le tenseur dformation donn et le champ de dplacement du dbut de lexercice ? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 10/84 Etude dun tat de dformation On considre l'tat de dformation ci-aprs : ( )iEM||||.|

\| =5 2 3 32 4 3 23 3 3 2 110 ) (4c 1-1Calculer le vecteur dformation pure dans la direction( )3 1321E E a + =. Conclusion? 1-2Calculer les dformations principales et les directions principales de dformations. 1-3Reprsenter sur le tricercle de Mohr des dformations les vecteurs dformation pure en M dans les directions E E1 2,et E3. 1-4Donner le tenseur dviateur des dformations. Que peut-on dire? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 11/84 Etat de contrainte uniforme On considre un domaine (D) en quilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'tat de contrainte soit de la forme suivante : ) , , ( ) () , , (3 2 1 avec0 00 00 03 2 1x x x ME E Eo ooooo =|||.|

\|= 2-1Laforcedevolumeestdueuniquementl'attraction gravitationnelle.L'axe 1Eestverticalascendant.Quepeut-ondiredela fonction o ? 2-2Onexerceunepressionuniformesurlabasecirculaire infrieure d'un cne de demi angle au sommet| , de hauteur H, de rayon R la base infrieureet d'axe 1E. Quelles sont les conditions aux limites pour la face suprieure et la face latralesionveutqueletenseurdescontraintessoitsphriqueentoutpoint,lesolidetantsoumisla pesanteur 1E g g = ? 2-3Calculer le tenseur des contraintes dans la base cylindro polaire( )1E E E Ez r = , ,u. _____________________________________________________________________________________ Etat de contrainte uniaxial On considre un domaine (D) en quilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'tat de contrainte soit de la forme suivante : ooo o ( ) ( , , )( , , )M x x xE E E=|\

|.|||=0 00 0 00 0 01 2 31 2 3 avec 2-1Calculerlescomposantesdelaforcedevolumepar unit de masse. A quelles conditions cette force de volume peut-elle tre celle du champ de pesanteur? En dduire la fonctiono( , , ) x x x1 2 3. 2-2Le domaine (D) est un tronc de cne de demi-angle au sommet| ,d'axevertical,placdanslechampdepesanteur g gE = 1. On exerce une pressionp0 sur la grande base( ) S1 du tronc de cne. En dduire la fonctiono( , , ) x x x1 2 3 et les conditions aux limites (chargement) sur la petite base( ) S2 et lasurfacelatrale( ) S3.Onindiqueraclairementsurunschmalesrpartitionsdechargessurles frontires du domaine. E1 E2E1|HS1S3S2p0 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 12/84 Etat de contraintes dans un cylindre Ltat de contraintes dans le cylindre ci-contre est de la forme: ( )3 2 1 33 23 132313, ,0 00 0) ( ) (x x xM M|||.|

\|= o o ooooavec :( )2122212137 a k x xaP + = oo2321 26=Paxx( )1 322 33x x haPk = o Dans ces expressions, P reprsente une constante positive connue etk k1 2etsont deux constantes dterminer. Lecylindreestenquilibrestatique,sasurfacelatrale nestsoumiseaucuneforceextrieureetlesforcesdevolume sont ngligeables. 1-Apartirdesconditionsauxlimitesetdes quations dquilibre, dterminer les valeurs dek k1 2et . 2-Donnerlexpressiondutenseurdescontraintesdanslabaseprincipalepour( ) h a M , ,01et ( ) h M , ,0 02. Dterminer les directions principales. Tracer le tricercle de Mohr enM2. 3-Entoutpoint( ) h x x M , ,2 1,donnerlevecteurcontraintedansladirection( ) ) , (3 3x M T x . DterminerleslmentsderductionenG Mh 2dutorseurquivalentlactiondescontraintessurla facex h3= . Etat de contrainte Dans un milieu continu, le tenseur des contraintes est dfini par la matrice : ( )iE x Cx C x Cx CM|||.|

\| =0 000 011 33) ( oavec Cconstante 1-Aquelleconditionlesquationsdquilibreseront-ellessatisfaitessilemilieuesten quilibre statique? 2-Dterminerlescontraintesprincipalesetlerepreprincipal.Calculerlacontrainte tangentielle maximale. 3-Tracer le tricercle de Mohr de ltat de contrainte au pointP (4, -4, 7). Reprsenter sur ce tricercle le vecteur contrainte en P dans la direction n X X X = + 21 2 3. ahx1Ox2x3 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 13/84 Thorie des poutres : tat de contrainte On considre une poutre droite de section droite constante.Ledomaineestdoncuncylindredroit base quelconque daxe( )1E O; .Lesaxes( )2E O; et( )3E O; sont les axes principaux dinertie de la section droite du cylindre. Laxe( )1E O; reprsentelaligne descentresdegravitdessections droites. 1-Lapoutreestsolliciteentractionsimple.Donnerletenseurdescontraintesenunpoint quelconque en admettant les rsultats de la thorie des poutres. Vrifier ensuite les quations dquilibre. 2-On considre cette fois une sollicitation de flexion pure (sans effort tranchant). Le moment deflexionestdirigselonlevecteur3E .Donnernouveauletenseurdescontraintesetvrifierles quations dquilibre. 3-OnadmetquedanslecasdunesollicitationavecefforttranchantT2,lacontrainte tangentielle est donne par la formule : ( )( )= Largeur statique Moment e quadratiqu Moment nchant Effort tra22322 32 2x bx AITx b Ix A T) () (t Aquelle(s)condition(s)lesquationsdquilibreseront-ellesvrifiesdanslecasduneflexion pure? Peut-onvrifierlesquationsdquilibreavecunepoutredesectionrectangulaire?Avecune poutre de section circulaire? 4-Lesquationsdquilibrepeuvent-ellestresatisfaitesdanslecasdelatorsiondune poutre de section droite circulaire? Donner lexpression du tenseur des contraintes dans le rfrentiel cylindro-polaire. Lasollicitationtantunesollicitationcombinedeflexiontorsion,donnerlesexpressionsdes contraintes normales maxi et contraintes tangentielles maxi. 5- Pouvons nous, dans le cas de la flexion pure par exemple, proposer dautres rpartitions de contrainte que celle donne par la thorie des poutres? OEEE123 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 14/84 Torsion flexion dune poutre Onconsidreunepoutredroitedesectionconstante.Laxe) ; (1E Oestlalignedescentresde gravit. Les axes) ; (2E O et) ; (3E O sont les axes principaux dinertie. La poutre est sollicite en flexion pure combine avec de la torsion.Laxe de flexion est) ; (3E O. La section droite est une section circulaire de rayon R. Enadmettantlesrsultatsdelathoriedespoutres,donnerletenseurdescontraintesenun point de la circonfrence dans la base de votre convenance en fonction du moment de flexion Mf3 , du moment de torsion Mt et du rayon R. Parlamthodedevotrechoix,donnerlesvaleursdescontraintesprincipalesetlesdirections principalesdescontraintes.Cesderniresserontdonnesparleurscomposantesdanslabase cylindro-polaire) , , (1E E E Ez r =u. Donner les expressions de la contrainte normale maxi et de la contrainte tangentielle maxi. Donner lexpression de la contrainte quivalente selon le critre de Von Miss. Etude dun chargement sur une gouttire Unmassifoccupe,danslerepre( )iE O; lespacedlimit par01> x eth x h > >3.Ilestentailldungouttiresemi cylindriquedontlasectiondroiteestledemi-cerclede centreOetderayonR.Laxe( )1E O; estvertical descendant.OnsupposequentoutpointMdumassifle tenseur des contraintes est de la forme suivante : ( )iE x rx x x xx x xrK||||.|

\|=1222 1 2212213140 000vo K et vsont deux constantes positives et 2221x x r + = Les quations dquilibre peuvent-elles tre satisfaites ? Dterminerlescontraintesprincipalesetlesdirectionsprincipalesdecontrainteentoutpointdu massif. Rechercher les efforts extrieurs appliqus sur la face01 = x , sur la gouttire de rayon R et sur les facesh x =3.Commentpeutonraliserlarpartitiondeseffortsextrieurssurlagouttire ?2E 1E 3EECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 15/84 Flexion dune plaque triangulaire (Selon examen CERENSAM BORDEAUX janvier 1998) Onconsidreune poutretriangulaire constitueduneplaque dpaisseur constante b et de hauteurvariableh(x).Cette poutreestencastreune extrmitetcharge lautre extrmit (point A de coordonnesL,0,0)parune charge ponctuelle yE P P = . Ceteffortestleseulprisen compte(onngligela pesanteur). Lpaisseur tant trs faible et le chargement tant dans le plan du triangle mdian, on peut admettre que lon a un tat plan de contrainte, cest dire que le tenseur des contraintes en un point M est de la forme : ) , , ( 0 0 000) (z y xyy xyxy xxE E EM |||.|

\|= o oo ooavec2) ( x Ly Kxx = o et) 0 ( ;120 303h hbhPLK = =Dans cette tude on ne sintresse quaux points du plan mdian (z = 0). 1- Montrer que lon a :) () (32x fx Ly Kxy+= oet) () (43x gdxdfyx Ly Kyy+ = o 2- EcrirelesconditionsauxlimitesenunpointMdecoordonnes(x,h(x)/2,0).Endduire quef(x)etg(x)sontdesconstantesquelondterminera.Donneralorslexpressiondutenseurdes contraintes en tout point de la poutre. Que pensez-vous du tenseur descontraintes propos pour lepoint A ? 3- Dterminerlescontraintesprincipalesetlesdirectionsprincipalesdecontraintesenun pointM(x,y).MontrerquepourlensembledespointsconstituantladroiteAB,cettedroiteestune direction principale de contrainte. 4- Donner alors lexpression du tenseur des contraintes dans la base cylindro-polaire ayant le point A comme origine. x L xE yE B A O u rE P ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 16/84 Mcanique de la rupture en mode I Uneprouvettecompactedemcaniquedelaruptureestsoumiseuneouverturenormaleen modeI.LeffortappliquestN.Lprouvetteestentatplandecontrainte.Lextrmitdelentaille (pointe de la fissure) est lorigine durepre cartsien et du repre cylindrique( ) 3 , , ; E E E E O z r = u . LadistributiondescontraintesenunpointMquelconque auvoisinagedelapointedefissureestdonneparlesrelations suivantes : =((

+ =((

=23cos2sin2cos223sin2sin 12cos223sin2sin 12cos2122211uu utouu utouu utorKrKrKIIIs contrainte des intensit d' Facteur appele N de Fonction:IK Dterminerlescomposantesdutenseurdescontraintes pour un point M situ sur laxe1 E. Tracer le tricercle de Mohr des contraintes. En dduire les contraintes principales et les directions principales. Pourlesangles 4tu= ou 2tu= ,dterminerlescontraintesprincipales.Pourquelangle0 = u , 4tou 2t se situe le vecteur contrainte de norme maximale ? Quelle est lexpression du tenseur contrainte dans la base cylindrique ? Projectile dans un canon (Selon examen CERENSAM BORDEAUX janvier 1998) Nousnousproposonsdtudier,defaontrssimplifie,ltatdecontraintedansunprojectile pendantsaphasedacclrationdansuncanon.Leprojectileestconsidrcommecylindriquede rvolutiondediamtreD=1cm,delongueurL=2cmetdemassevolumique=7500kg/m3.Le matriauconstituantceprojectileestsupposhomogne,isotrope,loidecomportementlastique linaire.Pendantsaphasedacclration,cestdiretantqueleprojectilerestedanslecanon,ilest soumis une pression P = 750 bar suppose constante. Cette pression gnre une acclration porte parlaxe( )xE O; etsupposeaussiconstante.Nous ngligeronstouteslesactionsdefrottementetles actionsgravitationnelles.Dautrepartnous supposerons que ltat de contrainte est uniaxial. Enisolantleprojectileetenappliquantleprincipefondamentaldelamcanique,tablirlarelation liant lacclration en fonction des diffrents paramtres. Donner sa valeur numrique. Ecrire lquation dquilibre local. Pour cela onsupposera que seule varie la contrainte xxoselon la variable x. Ecrirelesconditionsauxlimitesquipermettentdecalculer xxo enfonctiondex.Tracerlaloi dvolution de xxoet calculer sa valeur absolue maximale. L D P xE M 1 E 2 E O ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 17/84 Mesures de dformations Une poutre droite cylindrique de section droite circulaire est soumise simultanment un effort de tractionNet un moment de torsionMt. Le rayon du cylindre est : R mm =10 En un point M de la surface extrieure, on a coll une rosette 45,lajaugecentraleayantsadirectionconfondueavecl'axedu cylindre. Souscesefforts,larosettepermetd'enregistrerlesrsultats suivants : c c caa bb cc= = = 550 10 400 10 250 106 6 6 1-Enadmettantque rE reprsenteunedirection principale, dterminer, par la mthode de votrechoix, les directions principalesetlesdformationsprincipalesdansleplantangent ( ; , ) ME Ez u. On tracera prcisment les directions principales par rapport aux trois directions ( , , ) E E Ea b c de la rosette. 2-Les mesures d'effort donnent :N daN M m daNt= = 2500 10 .Calculer,littralementpuisnumriquement(U.S.I.),danslerepre( , , ) E E Er z u,les composantes du tenseur des contraintes en M. 3-Dduiredel'expriencelavaleurdumoduled'YoungEetdumoduled'lasticit transversal G. 4-Tracer les tricercles de Mohr pour les contraintes et les dformations. _____________________________________________________________________________________ Dplacement dun corps solide On donne le champ de dplacement suivant pour un corps solide : ( ) ( ) ( )3 2 2 1 1 2 13E E x x E x x M U o o | | o + + + = La dformation associe est lastique. Le domaine est en quilibre statique. 1-EnutilisantlescoefficientsdeLam,calculerletenseurdescontraintes.Endduirele tenseur dviateur des contraintes et le tenseur sphrique des contraintes. 2-Dterminer les dformations principales et les contraintes principales. On donnera aussi les directions principales. 3-Quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unit de volume( ) M f? 4-Calculer la dilatation linaire dans la direction a E E = +1 2 OMNNEEEEEERxyzzruabcMtMt ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 18/84 Etude dun massif en compression Les hypothses formules sont les suivantes : *Lemassifestunparalllpipderectanglede grande longueur. Le champ de dplacement est caractris par un dplacement longitudinal nul ( ) u30 = .* Le matriau a un comportement lastique linaire dterminparlemoduledYoungEetlecoefficientde Poisson u. *Lafacesuprieuredumassifestsoumiseune pression uniforme P. *Lafaceinfrieurereposesurunappuiplan indformable, le contact tant sans frottement. * Les forces de volume sont ngligeables. * Le champ de dplacement est donn par : =+ =+ =032 1 22 1 1ux B x C ux C x A u 1-Calculer le tenseur des dformationsc . Que signifie physiquement le fait que c12 soit nul? 2-Calculer le tenseur des contraintes. Dterminer les constantes A, B et C. 3-On a : 2/ 500 ; 3 , 0 ; 210 mm N P GPa E = = = vTracer la dforme de la facecte x =3. ____________________________________________________________________________________ Etude dun champ de dplacement Soituncorpscylindriquereprdansuntridreorthonormdirect( )3 2 1E E E O , , ; .PourunpointMde coordonnes) , , (3 2 1x x x , le vecteur dplacement est : ( ) ( )22221 1 2 13 7 2 E x a x a E x x a M U + = ) ((a est un nombre infiniment petit) 1-Dterminer le tenseur symtriquecet le tenseur anti-symtrique o de la transformation. 2-Dterminerlesvaleursdesdformationsprincipales,ainsiquelabaseprincipaledes dformations au point( ) 3 6 15 , , M . 3-Ecrire les quations dquilibre? Quelle est la valeur du coefficient de Poisson qui permet de les satisfaire en labsence de force de volume? 4-Aveclesconditionsprcdentes,dterminerletenseurdescontraintesenMdanslabase ( )3 2 1E E E , ,et dans la base principale. 5-Quelle est la valeur limite de la constante a si on ne veut pas que la contrainte quivalente de Von Miss dpasse la valeur de 24 daN/mm? On prendra E = 210 GPa. l lhPEEE123 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 19/84 Sphre soumise son champ de gravitation On considre une sphre pleine de rayon R constitue dun matriau homogne de masse volumique . Le comportementestlastique,linaireetisotropedemodulesdeLamet.Onsupposequelleest soumisesonchampdegravitationproprecequirevientadmettrelaprsencedeforcesvolumiques radiales qui, par unit de masse, sexpriment par : iiERxg f = g reprsentant lintensit du champ de pesanteur la surface de la sphre On admet quil ny a aucun chargement sur la surface extrieure et que le dplacement du centre de la sphre est nul.On se propose de calculer les dformations et les contraintes en partant dun champ dplacement de la forme : ( )i i E x r h M U) ( = h est une fonction de 232221x x x r + + = 1-Justifier la forme donne au champ de dplacement.2-Calculer le tenseur dformationcet le tenseur antisymtriquee .3-EnutilisantlesquationsdeNavier,dterminerlquationdiffrentiellepermettantde calculer la fonction h. Montrer quune solution peut tre de la forme : ( )||.|

\|+ =RrBgr h22110 4-Calculer la constante B.5-Expliciter le champ de dformation et le champ de contrainte. Analyser,en fonction der, lvolutiondelacontrainteradialenormale rro .Donnerlavaleurdelatracedutenseurdes contraintes lorsque r = 0. ______________________________________________________________________________________________________ Corps soumis son propre poids OnconsidreuncorpscylindriquederayonRetdehauteurH.Cecorpsreposesurunplan horizontal( )y xE E O , ; .Onsintresseauxdformationslastiquesdececorpsduessonproprepoids. Pour cela on fait lhypothse suivante sur le dplacement dun point : ==+ =) () () (z u ur u uE u E u M Uz zr rz z r ravec 1-En utilisant lannexe, dterminer le tenseur dformation en fonction de ur, uz, r et z. 2-Dterminer le tenseur de contraintes en fonction des coefficients de Lam et de ur, uz, r et z. 3-Ecrire les quations dquilibre et les intgrer. Conclusion(s)?ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 20/84 Flexion dune poutre On donne le champ de dplacement suivant pour un corps solide : UMkE xx EkE xkE xkE x EkEx x E ( ) =|\

|.|+ +|\

|.| + |\

|.|1 2 1 1222322 2 3 32 2 2v v v Avec : OM xE x E x E= + +1 1 2 2 3 3 1-Dterminer le tenseur dformation pure) (M cde la transformation. 2-Dterminer le tenseur contrainte pour un matriau ayant une loi de comportement lastique linaire dfinie par un module dYoungE et un coefficient de Poissonv. 3-Le solide tant en quilibre, quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unit de masse f M ( ) ? 4-Le domaine est un cylindre droit base quelconque daxe( )1E O; . Les axes( )2E O;et( )3E O;sont les axes principaux dinertie de la section droite du cylindre. Laxe( )1E O;reprsente la ligne des centres de gravit des sections droites. OEEE123 4-1Reconnatre la sollicitation sexerant sur ce domaine en considrant le chargement sur la surface dlimitant le domaine. 4-2Trouver lquation de la dforme de la ligne moyenne( , ) x x2 30 0 = = . Quelle est la valeur de la flche maxi? 4-3Lasectiondroitedelapoutreestunrectangledehauteurhetdelargeurb.Onseplace dansleplandfiniparx10 = .Quepeut-ondiredesdformesdesdroitesx cte2 = etx cte3 = ?En dduire la dforme de la section rectangulaire. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 21/84 Etude dune poutre On considre une poutre droite, de longueur L, de section circulaire (rayon R) et daxe( )3E O; . La matrice des contraintes en un point P, de coordonnesx x x1 2 3, et , est de la forme : ( )( )( ) ( ) | |( )1 3 4 3342 123222124 1333 23 132313412 12 1 2 31 20 00 0x x LRFRx x Fx x RRFEi=++ = ++=|||.|

\|=tov tvov vv too o oooo) () () ( DanscesexpressionsFestuneconstanteetvlecoefficientdePoissondumatriauquiest suppos homogne, isotrope, et comportement lastique linaire.1-A quelle(s) condition(s) les quations dquilibre sont-elles vrifies? 2-Les quations de compatibilits sont-elles ralises? 3-Quel est le chargement appliqu sur la poutre? 4-Comparer la solution donne avec la solution classique de la thorie des poutres. ____________________________________________________________________________________ Etude d'un tube Onseproposedevrifierlasectiondroited'unecanalisationd'uncircuithydrauliquede commande d'un laminoir.Onadoncuntubedefortepaisseur( ) R mm R mmi e= = 64 82 ; sollicite par une pression intrieure( ) p bari =300 . De plus, vu lagrande longueur de la canalisation,onpeutaussiconsidrerquel'onatraiterunproblmede poutre. Lesconditionsauxlimites(liaisons,chargement...)nousamnent tudierplusprcismentunesectionparticulirepourlaquelleletorseurdes forces de gauche est le suivant : R sultanteMoment r sultant en G ::. . N N E N daNM ME M E M m daN M m daNxt x f z t f= == + = =1360210 1535 1-Donnerenunpointquelconquedelasectiondroite(coordonnesyetz)lestenseurs contraintes associs aux sollicitations lmentaires (pression, traction, cisaillement, torsion, flexion pure). Le rsultat sera prsent sous forme numrique (en U.S.I.). Pour chaque cas on prcisera le repre utilis. 2-En utilisant le critre de Tresca, et en considrant que le point le plus sollicit est situ sur le rayon extrieur, calculer le minimum de la limite d'lasticit du matriau. EEyz ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 22/84 Compatibilit de dformations Alasuitedediffrenteshypothses,onarrivelaconclusionquelaformeduntenseur dformation dans une base cartsienne pourrait tre la suivante : ( )iE x cx x bxx cx x axx bx x ax|||.|

\|=0003 1 3 23 1 2 13 2 2 1c 1-Quellessontlesconditionssurlesconstantesa,betcpourquecetenseurreprsente effectivement un tat de dformation ? 2-Lesconditionsprcdentestantvrifies,dtermineralorsleschampsdedplacement qui peuvent crer cet tat de dformation.3-Montrer que le champ de dplacement suivant peut tre solution du problme : ( ) ( )2 1 1 223E x E x x k M U = Parlasuite,onretiendracechampdedplacement.Ledomainedtudeestuncylindrede longueur totale L et de section droite circulaire dfinie par le rayonR. Laxe( )3E O;reprsente la ligne des centres de gravit. 4-Dterminerlescomposantesdutenseurcontraintedanslabasecartsiennepuisdansla base cylindrique dfinie par le changement de variable suivant : z x r x r x = = =3 2 1; sin ; cos u u5-Quelle est la condition sur la force de volume pour satisfaire aux quations dquilibre ? 6-Quelestlechargementsurlasurfacelatrale(r=R)etsurlasectiondroiteextrmit ( ) L x =3 ? Quelle est la sollicitation ? Dtermination dun champ de dplacement On considre un domaine pour lequel on suppose avoir ltat de dformation donn par le tenseur dformation suivant : ( )c vv= |\

|.|||bxbxbxE E E1110 00 00 01 2 3 , , 1-Dterminer la forme des champs de dplacement pouvant donner cet tat de dformation. 2-Enadmettantquelematriauauneloide comportementlastiquelinairedfinieparsonmodule dYoungEetsoncoefficientdePoissonv ,calculerle tenseur contrainte associ. 3-Ledomaineestunepoutredroitedaxe E1 etdesectionconstante.Dterminerlechargementsur chacune des faces de ce domaine. OEEE123 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 23/84 Champ de pesanteur sur un cylindre UncylindredervolutionhomogneapourrayonR, pourhauteurhet ( )O Ez; pouraxeverticalascendant.Ilest placdanslechampdepesanteur.Lasurfacelatraledu cylindren'estpascharge.Ilenestdemmepourlasection droite infrieure (z = 0).Dans la section droite suprieure (z= h),ledomaineestsuspenduaupointA(x=y=0).Onutilise les coordonnes cylindriques. Le champ de dplacement, en tout point du cylindre, est donn par : U Az rUU B z Cr Drz=== + +u02 2 A B, C et D sont des constantes physiques. 1-Dterminer,encoordonnescylindriques,letenseurdesdformationsetceluides contraintes. 2-DterminerlesconstantesphysiquesAB,CetDenfonctiondelamassevolumiquedu matriau , du module d'Young E, du coefficient de Poisson v, de l'acclration de la pesanteur g et de la hauteur h du cylindre. 3-Montrer queo zz s'exprime d'une manire simple. 4-DtermineraupointP rRzh= = =|\

|.|2 2 2, , utladilatationlinairedansladirection z rE E E n + + =u. 5-Donner le tricercle de Mohr des contraintes enP. Reprsenter sur ce tricercle les vecteurs contraintes( ) ( ) ( )z rE P T E P T E P T ; , ; , ;uet( ) n P T; . ErEyEuExEzMgAEzhRO ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 24/84 Contraintes dans un domaine Dans un repre orthonorm { }OXYZ ; , , on considre un milieu dfini par : 2 2 2 20eze hyhL x s s s s s s La section dfinie parL x=est encastre dans un milieu galilen indformable. En l'absence de force de volume, l'tat de contrainte en tout point M(x,y,z) est dfini, dans la base ( ) XYZ , ,par la matrice suivante : ( ) Z Y XM , ,1212 110 0 00 00) (|||.|

\|= oo ooavec ||.|

\| = =22123 11412312hyh eFh ey x FehPoo P et F sont des constantes Lematriauestsupposhomogne,isotrope,comportementlastiquelinaire,demodule d'Young E et de coefficient de Poisson v. 1-Les quations d'quilibres sont-elles vrifies? 2-Quel est le chargement s'exerant sur les faces ABBAyh=|\

|.|2et CDDC yh=|\

|.|2? 3-Quel est le chargement sur la face ADDA( ) x=0 ? Prciser en particulier la rsultante et le moment rsultant en O de ces actions et commenter le rsultat obtenu. 4-Les conditions de compatibilit des dformations sont-elles vrifies? 5-On admet que le dplacement d'un point P quelconque peut s'crire : Y y x v X y x u P u ) , ( ) , ( ) ( + =Dterminer les fonctions u et v. 6-Application numrique: L = 120 mmh = 20 mme = 5 mmF = 100 NP = 500 N E = 200 Gpav = 0,29 Au point d'abscisse x = 80 mm, sur la face AB, on colle une rosette 45, telle que une jauge soit dans la directionX et une autre dans la direction Y . Que vont donner les mesures de dformation? A A D B C C B xEECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 25/84 Sollicitation dans un cylindre UncylindredervolutionhomogneapourrayonR,pour hauteur h et pour axe ( )O Ez; . Encoordonnescartsienneslechampdescontraintesest donn par : ( )( )( )( )oMKxy K x y ByzK x y Cxy AxzByz AxzE E Ex y z=

(((((202 22 2 , , Lematriau,isotrope,auneloidecomportementlastique linaire dfinie par le module dYoung E et le coefficient de Poissonu . Lecylindreestenquilibreetlesforcesdevolumesont ngligeables. 1- Calculer les composantes du tenseur des dformations. 2- Dterminer, l'aide des quations d'quilibre et des quations de Beltrami, les constantesA, B et Cen fonction de la constante K. 3- Dfinir les champs de dplacement associs ltat de contrainte. 4- On se place maintenant en coordonnes cylindriques ( ) E E Er z, ,u. Dterminer les composantes du tenseur des contraintes dans cette nouvelle base. 5- Dterminer le chargement de la surface latrale dfinie par r = R. Dterminer le chargement des sections droites d'extrmit dfinies par z= 0 et z = h. Donner les lments de rduction du torseur quivalent. 6- Dterminer les contraintes principales et les directions principales au point z = r = R etu = 0. ErEyEuExEzMAEzhRO ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 26/84 Chargement dun cylindre de rvolution (Selon examen CERENSAM Lille janvier 1999) Lemilieucontinutudiestuncylindrepleindervolution,daxedesymtriedervolution ( )zE O; ,derayonextrieurRetdelongueur2h.Unpointquelconquedecemilieuestreprparses coordonnes cylindriques r, uet z, avec : h z h R r s s s s s s t u 2 0 0Le milieu est en quilibre par rapport un repre galilen et ne supporte pas dactions distance (ou de force de volume). Le matriau est suppos homogne, isotrope comportement lastique linaire, de module de Young E et de coefficient de Poisson v . Ltat de contrainte en un point quelconque de ce milieu est dfini, dans la base cylindro-polaire par : ( )= =+=||.|

\| ++ +++ =||.|

\|+=||.|

\|++=0649 27326 181329 27323 9838283323 9822 2333333233z rrzzzrrr h zhphzhzphzhzphzhz rhzpu uuuo ovov v vovov vo dans ces expressions p est une constante positive 1-Les quations dquilibres sont-elles vrifies ? 2-Donnerlechargementsurlesbasesetlasurfacelatraleducylindre .Vrifierlquilibre global du milieu. Application numrique : / 4 29 , 0 210 5 50 mm daN p GPa E cm h cm R = = = = = v 3-Aupointdecoordonnesr=R/2etz=0,dterminernumriquementlecisaillement maximal, la contrainte quivalente de Von Miss et lnergie de dformation volumique. 4-Sur la face z = -h, en un point de rayon r = R/2, on installe une rosette de trois jauges 60 selon le schma ci-dessous. Dterminer la valeur numrique donne par chacune des trois jauges. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 27/84 Etude dune poutre de section triangle quilatral Toutes les questions sont indpendantes Lemilieucontinutudiestunepoutre droitedesectiondroiteconstante,de lignemoyenne 1E,delongueurL.La sectiondroitealaformeduntriangle quilatraldterminparlespoints extrmits de la base : + =+ = =3 23 23332E a E a OCE a E a OBE a OA Le tenseur contrainte en un point M quelconque de cette poutre est dfinie dans la base cartsienne par : ( )iE|||.|

\|=0 00 00131213 12ooo oo avec ( )( ) = =a x x Kx a x x K3 2 1332322 1222oo Lapoutreestenquilibreparrapportunrepregalilen.Lematriauestsupposloide comportement lastique linaire. 1-A quelle(s) condition(s) les quations dquilibre sont-elles vrifies ? 2-Quel est le chargement de la surface latrale de la poutre ? 3-DfinissezlechargementdelabaseL x=1 ;prcisezenparticulierlarsultanteetle momentrsultanten LG barycentredecettesection,sachantqueletenseurdesinertiesdunesection triangulaire quilatrale est sphrique. 4-Les conditions de compatibilit sont-elles vrifies ? 5-Dterminer la forme des composantes du champ de dplacement dun point quelconque de la poutre. ABC1E3E2EECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 28/84 Poutre demi cylindrique Une poutre droite, d'axeparallle ( )O Ez; a une section droiteen forme de demi cylindre de rayon R. Sa surface latrale n'est pas charge et les forces de volume sont ngligeables. Le matriau est suppos homogne, isotrope, loi de comportement lastique linaire de module d'YoungEet de coefficient de Poissonu . La longueur de la poutre est l.Danslabasecartsienne ( ) E E Ex y z, , lamatricereprsentantl'tat de contrainte est donne par : ( )o o oo o oo o otxx xy xzxy yy yzxz yz zzAxyB Cx DyAxy B Cx DyPz l yR= = == = = + += = + + =0 00 08224

A, B, C, D et P sont des constantes 1-DterminerA,B,C,DenfonctiondeP,Retu enutilisantlesquationsd'quilibre,les quations de Beltrami et les conditions aux limites. 2-Calculer les composantes du champ de dplacement associ. 2-Dterminer les composantes de la rsultantedu torseur quivalent dans une section droite de cote z. Etude des critres de limite lastique DfinirlelieureprsentantlasurfacelimiteducritredeVonMissdanslespacedescontraintes principales. On considre une poutre droite sollicite en flexion - torsion.1-En admettant les rsultats de la thorie des poutres, donner ltat de contrainte en un point courant de la poutre. 2-Reprsenter, dans le plan des contraintes normales et tangentielles, les courbes limites des critres de Von Miss et de Tresca. 3-Donner les courbes limites dans le plan moment de flexion - moment de torsion. R Ex Ey ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 29/84 Poutre en flexion On considre un paralllpipde rectangle de longueur totale 2L suivant laxe 1E , de hauteur 2h suivant laxe 2E etdpaisseuresuivantlaxe 3E .Lebarreauestenappuisimplesesdeuxextrmitssur la facedenormale 2E .Surlafaceantagoniste,denormale 2E ,onappliqueunepressionuniforme dintensit p. Le domaine est en quilibre et les forces de volume sont ngligeables. On cherche dfinir ltat de contrainte. Pour cela on suppose que ltat est plan et que le tenseur contrainte est de la forme : ( )3 2 122 1212 11, , 0 0 000E E E|||.|

\|= o oo oo 1-Donner les expressions des contraintes principales. Quelle est la forme de la contrainte quivalente de Von Miss ? De plus en sinspirant de la thorie des poutres on suppose que lon a :( )221 11x c x a + = o 2-En utilisant les conditions aux limites pour les faces de normales 1E , dterminer la constante c. 3-En utilisant les quations dquilibre et les conditions aux limites pour les faces de normales 2E , dterminer la forme de la fonction 12oen fonction de a, h, 1x et 2x . 4-En utilisant les quations dquilibre et les conditions aux limites pour les faces de normales 2E , dterminer la forme de la fonction 22oen fonction de p, h et 2x . 5-Onseplaceenunesectiondroitedabscissek x=1.Dterminerleslmentsderductiondu torseurquivalentladistributiondecontraintessurlasectiondenormale 1E .Contrlerce rsultat avec la thorie des poutres. 6-Pouvons nous satisfaire aux quations de compatibilit ? p 1E2Eh h L L ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 30/84 Flexion compose dune poutre demi cylindrique (Selon examen CERENSAM Lille janvier 2003) On considre un demi milieu cylindrique continu dfini dans un repre orthonorm( )z y xE E E O , , ;par :> s +s s002 2 2xR y xL z Lematriauconstituantcemilieuestsupposhomogne,isotrope,comportementlastique linaire, de module dYoung E et de coefficient de Poisson v. Le milieu est en quilibre statique. En tout point ltat de contrainte est dfini dans la base cartsienne par :( )z y x zz yz xzyzxzE E E , ,0 00 0|||.|

\|=o o ooooavec( )=((

||.|

\|+ ||.|

\|||.|

\|++=||.|

\|||.|

\|++ =42 2 24482 32 112 3212 1Ry L z Px y RRPRy x Pzzyzxztovvt vvot vvo P tant une constante. 1-A quelles conditions les quations dquilibre sont-elles vrifies ? 2-Analyser le chargement sur la surface latrale (x = 0 et x + y = R) du corps tudi. 3-Analyserlechargementdelabasez=Lducorpstudi.Prciserenparticulierlarsultantedes actions qui sexercent sur cette surface et le moment rsultant au point A (0,0,L) des actions qui sexercent sur cette surface. 4-Montrerquilexisteunensembledepoints(quelonprcisera)parrapportauxquelslemoment rsultant des actions exerces est nul. Conclure. 5-Les quations de compatibilit des dformations sont-elles vrifies ? 6-AupointB(0,0,L/2)oninstalleunerosettedetroisjaugesextensomtriques45dansleplan ( )z yE E ; , la jaugecentrale tantplace selon la direction zE. Dterminer les valeursdonnes par ces trois jauges. Donner en ce point le tricercle de Mohr des contraintes et des dformations. Dterminer la valeur de lnergie de dformation du milieu tudi. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 31/84 h hL2X1XEtude dun barrage (Selon examen CERENSAM Angers fvrier 1999) Unbarrageestconstituparunmurverticalloidecomportementlastiquelinaire,delargeur 2h et de hauteur L. Il est dfini dans le repre( )3 2 1, , ; X X X O selon la figure ci-contre. Laxe( )1; X O est verticaldescendant.LafacesuprieureestnoteSs,lafaceinfrieureenappuisurlasolSietlesdeux paroisverticalesShetS-h.SurtoutelahauteurdelaparoiShsexercelapoussedunfluidedepoids volumiqueg = = selonlaxe( )2; X O.Lesforcesdevolumedanslecorpsserontngliges.On considrerauntatplandedformationselonlaxe( )3; X Ocestdireuntatdterminpar 033 23 13= = = c c c . Le tenseur des contraintes dans le barrage peut tre reprsent par les fonctions : | | | | | | + =((

+ =((

+ =222 4243222321122332112232 1 2 123 3231112038 83434 22564 4x hhx hhx hhxhxhxxxx x x x hh hx x= = =o==o= =o 1-Dmontrerquecetenseurvrifielesquations dquilibre. 2-Vrifierquelesconditionsauxlimitessurlesdeux parois verticales Sh et S-h sont bien respectes. 3-SilafacesuprieureSsestlibre,montrerquece tenseurnerendpasexactementcomptedesconditionsaux limitessurlafacemaisquelefforttranchantrsultantdes contraintes de cisaillement est nul. Le liquide est de leau de poids volumique 3/ 9810 m N = = . Lesdimensionsdubarragesont h=0,5metL=5m.Le coefficient de Poisson du matriau est25 , 0 = u . 4-Tracer le tricercle de Mohr de ltat de contrainte pour les points M1(L,0) et M2(L,h). 5-En quel point est situ la contrainte de cisaillement maximale et quelle est sa valeur ? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 32/84 Calcul des dimensions dun rservoir sphrique UnrservoirsphriquederayoninterneR mmi =200 estsoumisunepressioninterneP barsi =1200 trs grandedevantlapressionexterne.Lacierutilisestcomportementlastiquelinairecaractrisparson moduledYoungE N mm =210000 / etsoncoefficientdePoissonv=0 3 , .Lesforcesdevolumesont ngligeables. 1-SachantquelacontraintemaximaleadmissiblepourlacierutilisestoeN mm =340 / , calculer lpaisseur minimale du rservoir. Tracer les tricercles de Mohr de ltat de contrainte, lintrieur et lextrieur de la sphre. 2-Donner les composantes du champ de dplacement en un point quelconque de la sphre. 3-Calculer la variation de volume du rservoir entre ltat naturel et ltat de dformation d la pression dutilisation maximale. Taraudage dun tube Un tube de rayon intrieurRi, de rayon extrieurRe, de longueur L, et daxe ( )OEz; est maintenu dans lesmorsduntourparlasurfaceextrieure.Onraliseuntaraudageintrieur.Onsupposequecelaest quivalentunerpartitionuniformedescontraintespurementtangentiellesetorthogonaleslaxe Ez, de valeurt0 sur la surface intrieure uniquement.Onsupposeenoutrequelesforcesvolumiquesetdinertiesontngligeablesetquelematriau suit la loi de Hooke. On considre que lon travaille dans un repre li aux mors.Le champ de dplacement est de la forme: UM U r E ( ) ( ) =u uavecOM r E z Er z= + 1-Calculer la dilatation volumique. 2-Apartirdesquationsdquilibre,dterminerlquationdiffrentiellequedoitvrifier Uu(r). 5-Donner la solution gnrale de lquation diffrentielle. 4-Calculer alors le tenseur des dformations et le tenseur des contraintes. 5-Calculer les constantes A et Ben fonction des conditions aux limites. 6-Quelles sont les valeurs des contraintes principales et les directions principales? 7-Quelle est la valeur de la contrainte tangentielle maximale? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 33/84 Dplacement radial Dans un milieu continu le champ de dplacement en coordonnes polaires est donn par : r r E U M U = ) ( la fonction rUne dpendant que de la variable r 1-Dmontrer la relation entre la dformation linaire circonfrentielle uucet le dplacement radial rU . 2-Enlabsencedeforcesdevolume,dmontrerlarelationtraduisantlquationdquilibre dun domaine infinitsimal, quation en projection sur laxe rE. Etude dun assemblage frett Onconsidreuncylindrecirculairecreuxdelongueurinfinie,derayonintrieurRietderayon extrieurRe. Ce cylindre est soumis une pression intrieurepi sur sa face intrieure. Les efforts exercs sur la face extrieure sont ngligeables. On ngligera les effets de la pesanteur.1-Reprsentersurundiagrammelvolutiondelacontrainteradialeorretdelacontrainte circonfrentielleouu en fonction de r. AN:R mm R mm p bari e i= = = 200 300 4002-On veut raliser la mme fonction que prcdemment mais en utilisant deux cylindres. Cylindre Rayonintrieur Rayonextrieur Pression intrieure Pression extrieure ModuledYoung

Coefficientde Poisson C1 Ri R+opi ? E v C2 R Re ?0 E v Le cylindre C1 est emmanch force dans le cylindre C2 puis on applique la pression intrieurepi. 2-1-On tudie le montage deC1 dansC2 lorsque la pression intrieurepi est nulle. Reprsenter sur un diagramme lvolution de la contrainte circonfrentielleouu pourC1 etC2. On prendra les valeurs numriques prcdentes,R = 250 mm, E = 200 GPa et v = 0,3. Les calculs seront faits avec les valeurs suivantes deo: 0,025 mm0,05 mm0,1 mm 2-2-Mmes questions que prcdemment en prenantpi = 400 bar. Que peut-on dduire de cette tude? 2-3-La pression intrieurepi est nulle. Le matriau a une limite dlasticit oe. En utilisant le critre de Von Miss, calculer la valeur limite du serrageo . ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 34/84 Etude de cylindres lastiques en compression radiale Onconsidreuncylindrepleinsectioncirculaire,derayonRetdegrandelongueur.Lemilieu est suppos homogne, isotrope, comportement lastique linaire. Il est mis en compression sur la face cylindrique externe par lapplication dune pression uniforme :r r E p E M T = ) , ( . On suppose que le champ de dplacement est de la forme : r E rGpM u) ( 2) (+=o et G reprsentent les deux coefficients de Lam. 1-Dterminerlescomposantesdestenseursdesdformationsetdescontraintes.Les quations dquilibre sont-elles vrifies ? A prsent le cylindre de rayon R est creux, centr sur un noyau central indformable de rayon0 R . Sur la face extrieure, la pression p est toujours exerce. On peut montrer que le champ de dplacement radial a alors pour expression : ( )r ErRrRRGpM u((

((

+ +=20201 2 2) ( 2-Exprimerlescomposantesdestenseursdesdformationsetdescontraintes.Montrerqu la limite, les solutions sont compatibles avec celles du premier cas. LematriauducylindreestunpolymredetypePC(polycarbonate).Enpremireapproximation,on supposesoncomportementlastiquelinaire.LemoduledYoungestMPa E 2400 = etlecoefficientde Poissonestv=0,38.LalimitelastiqueestMPa e 63 = o .Lapressionappliqueestde80barsetles rayons sont0 R= 0,05 m et R = 0,2m. 3-Tracer les tricercles de Mohr de ltat de contrainte en un point quelconque du tube. 4-CalculerlacontraintequivalentedeVonMiss.Lecritredelimitelastiqueest-il respect ? Pices de rvolution Ilsagitdtudieruncertainnombredepicesverticales,faitesdematriauxloidecomportement lastiquelinaireetdemassevolumique .Cespicessonttoutesdegrandelongueursuivantla verticaleascendante ( )3; E O etcylindriquesdervolutionautourdecetaxe.Leseffortsimposssont distribusuniformmentautourdecetaxedervolutionetindpendantsdelavariable 3x .Lesseules forces volumiques sont dues la pesanteur. Compte tenu de ces hypothses, on suppose que le champ de dplacement est indpendant des variables 3xet u . 1-A partir des quations dquilibre, donner la forme des composantes du champ de dplacement. 2-Dterminer la forme des tenseurs dformations et contraintes. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 35/84 Etude d'un palier lisse On veut raliser un palier lisse en frettant une bague sur un arbre. L' arbre, de grande longueur, de section cylindrique, a un rayon extrieur R. Il est ralis dans un matriau loi de comportement lastique linaire caractrise par un module d'YoungEa et un coefficient de Poissonva. La bague est caractrise par un rayon intrieurRi et un rayon extrieurRe. Le matriau, toujours loidecomportementlastiquelinaire,estdfiniparlemoduled'YoungEbetlecoefficientdePoisson vb. On note ola diffrence entre le rayon extrieur de l'arbre et le rayon intrieur de la bague : o= R Ri 1-Pour raliser l'assemblage, on se propose d'exercer un effort de traction sur la bague de tel sorte que l'assemblage puisse tre glissant juste. Quel est la valeur de l'effort de traction appliquer? 2-L'assemblagetantfait,quelestalorsl'tatdecontraintedansl'arbreetlabague?On prcisera les contraintes dans le rfrentiel choisi en fonction de R, o v v , , , , R E Ee a a b bet . 3-Application numrique: L'arbre est en acier :E GPaa a= = 210 0 29 v ,La bague est en bronze :E GPab b= = 100 0 31 v ,R mm mm R mme= = = 30 0 01 35 o ,QuelleestalorslavaleurdelaplusgrandecontraintequivalenteausensdeVonMissdansla bague? Encastrement dun pion cylindrique dans une plaque Unaxedediamtre2Restemmanchforcedanslalsageduneplaqueplanedontles dimensions (mise part lpaisseur) sont assez grandes pour quon puisse les considrer comme infinies. On note :R le rayon nominal de lassemblageRa le rayon de laxe avant le montage Rp le rayon de lalsage avant le montage Ea a, vles caractristiques lastiques du matriau de laxe Ep p, vles caractristiques lastiques du matriau de la plaque. 1-Calculer la pression de serrage en fonction de R,Ea a, v ,Ep p, vet du serrage ( ) R Ra p2-Lassemblage est : 2 20 7 6 R H p = On a donc des carts en microns sur la cote nominale qui sont : (0 ; +21)pour lalsage (+22 ; +35)pour laxe Calculer les pressions de serrages extrmes dans le cas o : E GPa E GPaa p a p= = = = 220 100 0 29 v v ,ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 36/84 Etude dun vrin On se propose d'tudier une chemise de vrin hydraulique. Les dimensions du vrin sont les suivantes:R mme = 30 Rayon extrieur R mmi = 20 Rayon intrieur L mm = 200 Longueur utile P bars = 200 Pression d'utilisation Lematriauconstituantlachemiseauneloidecomportementlastiquelinairedfinieparson module d'Young E = 200 GPa et son coefficient de Poisson v = 0,3. 1-Un essai en pression amne le piston en bute dans la chemise. 1-1Calculerl'effortdetractionexercparle fond sur la surface latrale du cylindre. 1-2Dterminerl'tatdecontrainteenunpointMsitumi-longueursurlaparoi intrieure. En dduire l'tat de dformation associ. Donner les valeurs numriquesde ces deux tenseurs. 1-3Quelle est la variation du rayon intrieur? Quelle est variation relative de longueur de la chemise? 2-Enfonctionnement,lacoursedupistonestde180mm.Lachemisetantlibrede s'allonger, dans la base cylindro-polaire, le tenseur des contrainte est de la forme :

( )z rrr rrE E EM, , 0 0 000) (uuu uuo oo oo|||.|

\|=2-1Calculer numriquement les valeurs du tenseur des dformations. 2-2Quelleestlavariationdurayonintrieurdelachemise?Quelleestlavariation relative de longueur de la chemise? 3-Lacoursetanttoujoursde180mm,lemontageempcheladilatationaxialedela chemise. Dans cecas le tenseur des dformations est dans la base cylindro-polaire : ( )z rrr rrE E EM, , 0 0 000) (uuu uuc cc cc|||.|

\|=3-1Donner les valeurs numriques du tenseur des contraintes. 3-2Quelleestlavariationdurayonintrieurdelachemise?Quelleestlavariation relative de longueur de la chemise? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 37/84 Canalisation hydraulique On se propose de vrifier la section droite d'une canalisation d'un circuit hydraulique de commande d'un laminoir.LesconstanteslastiquesdumatriauemploysontlemoduledYoung(E=200GPa)etle coefficient de Poisson (v = 0,3). Onadoncuntubedefortepaisseur( ) R mm R mmi e= = 75 100 ;solliciteparunepressionintrieure( ) p bari =300 .Deplus,vulagrande longueurdelacanalisation,onpeutaussiconsidrerquel'onatraiterun problme de poutre. Les conditions aux limites (liaisons, chargement ... ) nous amnent tudier plus prcisment une section particulire pour laquelle le torseur des forces de gauche est le suivant : = = + == =daN m M daN m M E M E M MdaN N E N Nf t z f x tx. 1600 . 200 : GenrsultantMoment 1500 : Rsultante 1-Donnerenunpointquelconquedelasectiondroite(coordonnesyetz)lestenseurs contraintes associs aux sollicitations lmentaires (pression, traction, cisaillement, torsion, flexion pure). Le rsultat sera prsent sous forme numrique (en U.S.I.). Pour chaque cas on prcisera le repre utilis. 2-En utilisant le critre de Tresca, et en considrant que le point le plus sollicit est situ sur le rayon extrieur, calculer le minimum de la limite d'lasticit du matriau. En un point M de la surface extrieure, on a coll une rosette 45, la jaugecentraleayantsadirectionconfondueavecl'axeducylindre. Sous ces efforts, la rosette permet d'enregistrer les rsultats suivants : c c caa bb cc= = = 600 10 300 10 250 106 6 6 3-Dterminer,parlamthodedevotrechoix,les directionsprincipalesetlesdformationsprincipalesdansleplan tangent( ; , ) ME Ez u.Ontraceraprcismentlesdirectionsprincipales par rapport aux trois directions( , , ) E E Ea b c de la rosette. 4-Tracer les tricercles de Mohr de l'tat de contrainte et de l'tat de dformation. EEyz OMNNEEEEEERxyzzruabcMtMt ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 38/84 Dplacement orthoradial Onconsidreundomaineconstitudunmatriauloidecomportementlastiquelinairecaractrise par un module dYoung E et un coefficient de Poisson v. Dans un systme de coordonne cylindrique, le champ de dplacement est orthoradial et il nest fonction que des variables r et z : u uE U M U = ) (avec ) , ( z r U Uu u = 1-Donner les composantes du tenseur des dformations et du tenseur des contraintes dans la base cylindro-polaire) , , (z rE E E u. 2-Enlabsencedeforcesdevolume,donnerlesquationsdiffrentiellesquipermettentde dfinir la fonction uU . En supposant que cette fonction dpend linairement de z, rsoudre ces quations et en dduire la forme du champ de dplacement, de ltat de dformation et de ltat de contrainte. 3-Ledomaineestenfaituntubederayonintrieur iR ,derayonextrieur eR etdegrande longueur.Onimposesimplementunmomentdetorsion tM auxsectionsextrmitsdu tube.Donneralorsltatmcaniqueentoutpointdutube(dplacement,dformation, contrainte)enfonctiondescoordonnesdupoint( ) z r , ,u ,descotesdimensionnelles ( )e iR R , , du moment de torsion tMet des caractristiques mcaniques du matriau (E, v). 4-Le tube prcdent est sollicit par une pression intrieure iPet un moment de torsion tM . Une rosette 45 est colle sur la paroi extrieure du tube de telle sorte que la jaugea soit axiale et la jauge c circonfrentielle. On enregistre alors les dformations suivantes : 6 6 610 1125 10 864 10 16 = = =cc bb aac c cDonnerlavaleurdeladformationlinairedunejaugedquiseraitdansleplandelarosetteet orthogonale la jauge b. Que pouvons dduire des rsultats de mesure de la rosette ? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 39/84 Etude d'un assemblage cylindrique OnconsidreuntubecylindriquecirculairederayonintrieurRietderayonextrieurRe.Le matriau le constituant a une loi de comportement lastique linaire caractrise par le module d'Young E et le coefficient de Poissonv.On a plac une jauge de dformation sur la surface cylindrique extrieure, suffisamment loigne des extrmits du tube, et destin mesurer la dilatation linaire dans la direction orthoradiale( )uuc . On emmanche force dans ce tube un autre tube de rayon extrieurRi +o et de rayon intrieurR0. Le second tube est ralis dans le mme matriau que le premier. Le serrage est tel que l'assemblage reste dans le domaine lastique linaire. Aucune charge extrieure n'est applique sur l'ensemble mont. Les rsultats seront toujours donns sous forme numrique et en U.S.I. On prendra comme valeurs numriques : E GPa = = 210 0 27 v ,R mm R mm R mmi e= = = =60 75 30 2 1004cuu 1-Calculer la pression de contactp qui rgne entre les deux tubes enfonctiondesdonnesdimensionnellesetdescaractristiques mcaniques du matriau.2-Donnerlavaleurduserrageo enfonctionde R R R Ei e, , , ,0v cuuet de. 3-Donnerlavaleurlapluslevedelacontraintequivalentede Von Miss. On effectue un alsage circulaire de rayonR ( R mm =45 ) dans le cylindreintrieur.L'axedel'alsageconcideavecl'axede l'assemblage.Unepressionintrieurepi( p bari =300 )estexercesurla paroi intrieure (rayon R). 4-Calculer la nouvelle pression entre le tube et le cylindre als. 5-Donner la nouvelle valeur fournie par la jauge. RR REEEEEEER RRei0 eiyxzrxyu ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 40/84 Etude de liaisons cylindriques

(Le sujet est issu du site web de luniversit de Rennes) Ilsagitdtudieruncertainnombredepicesverticales,faitesdematriauxlastiques,de coefficients de Lam et , de masse volumique . Ces pices sont toutes de grande longueur suivant la direction verticale( )zE O;et cylindriques de rvolution autour de( )zE O; . Dans chaque cas considr, les effortsimposssontdistribusuniformmentautourde( )zE O; etindpendantsdez ;lesseulesforces volumiques sont dues la pesanteur zE g g = . On se limitera aux cas o la composante zudu vecteur dplacement est indpendante de z. 1-Etude prliminaire Compte tenu des diffrentes hypothses, le champ de dplacement est choisi de la forme suivante : z z r rE r u E r u E r u u ) ( ) ( ) ( + + =u u 1-1Montrer que le champ de dplacement a des composantes de la forme : H r G Fr urDCr urBAr uz r+ + = + = + = ln2u

o A,B,C,D,G,H sont des constantes et 4gF =1-2 Dterminer le tenseur des dformations et celui des contraintes en fonction des constantes ci-dessus. 2-Dtermination des constantes Onseproposedutiliserlesrsultatstablisprcdemmentdiversesapplicationspratiquesen considranticiquelesforcesvolumiquesdueslattractiongravitationnellenepeuventpastre ngliges. 2-1Manchon cylindrique indformable Ontudielecasdunmatriaulastiqueplacdansunmanchon cylindrique indformable de rayon R et soumis son seul poids.2-1-1Ecriretouteslesconditionsauxlimitesassocies ltude du domaine lastique. 2-1-2Dterminercompltementlescomposantesdu vecteurdplacementetdutenseurdescontraintes.Endduirelavaleurdela rsultante des efforts exercs sur le manchon par unit de hauteur. zER ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 41/84 2-2Entrefer de deux tubes indformables Ontudiecettefoislecasdunmatriaulastiqueplacdanslentreferdedeuxtubes indformablesderayonsrespectifs eR pourletubeextrieuret iR pourletube intrieur.2-2-1Ecrire toutes les conditions aux limites associes ltude du domaine lastique. 2-2-2Dterminercompltementlescomposantesduvecteur dplacement et du tenseur des contraintes. En dduire la valeur de la rsultante des efforts exercs sur le manchon par unit de hauteur. 2-2-3Quedonnentlesrsultatsdanslecaslimiteolerayon intrieur tend vers zro ? 2-3Deux matriaux lastiques Onimaginequelonutilisedanslecasprcdentunmatriaulastique pourremplacerletubeintrieur.Onaainsideuxmatriauxsolidairesau niveau de leur contact au rayon 1R . Lun, de caractristiques mcaniques( )1 1 1, , , de rayon 1R ,estdisposlintrieurdelautre,decaractristiquesmcaniques ( )2 2 2, , .Lensemble de ces deux pices est plac lintrieur dun manchon cylindriqueindformabledemmeaxe,dontlerayon 2R estlemmequele rayon extrieur du deuxime corps. 2-3-1Ecriretouteslesconditionsauxlimitesassociesltudedu domaine lastique. 2-3-2Montrer que seules les constantes 2 1, H Het 2Gne sont pas nulles et les calculer. 2-3-3Onadmetquelesmassesvolumiquesdesmatriauxsontidentiques( )2 1 = .Quelle remarque peut-on faire ? Comparer les formes des tenseurs contraintes dans les deux matriaux. 2-3-4Onsupposeenplusque lesmodulesdeCoulombdesmatriauxsontidentiques.Comparer les rsultats avec ceux du premier cas et conclure. 3-Exploitation de rsultats En un point de la surface suprieure du cylindre une rosette 45 est colle, lune des jauges est radiale( )rE a =, la troisime tant circonfrentielle( )uE c =. Les rsultats de mesure de dformations sont les suivants : 6 6 610 625 10 940 10 1260 = = =cc bb aac c c3-1Quelles sont les valeurs des dformations principales et les directions principales de dformations. 3-2Sachant que la surface suprieure nest pas charge, dterminer les composantes du tenseur des contraintes. On prendra comme valeur numrique : Module dYoungE = 200 Gpa Coefficient de Poissonv = 0,25iR3EeR1R2R3EECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 42/84 Etude du changement eau-glace (les questions 1-1, 1-2 et 1-3 sont indpendantes) Onseproposed'tudierleseffetsmcaniquesduchangement d'tateau-glace.Pourcelaonutiliseuntubemtalliquedediamtre extrieurD=88,9mm,d'paisseure=3,2mmetdelongueurL=300 mm.Les extrmits de ce tube sont fermes pardes plaques mtalliques defortespaisseurssoudes.Paruntroupercsurunedesplaques,on introduit de l'eau dans le rcipient tanche, puis on ferme hermtiquement le trou par un bouchon filet. Une rosette 45 est dispose sur la paroi extrieure de l'enceinte, mi-hauteur. Une jauge (a) est axiale, une autre (c)estsituedansleplandesectiondroite,latroisimejauge(b)tant dansladirectionbissectrice.L'quilibragedesjaugesestfaitla temprature ambiante. L'ensemble est plac dans une enceinte thermique -5C. Les rsultats demesure en fonction du temps sont les suivants : temps (mn)0306090120150180210240 Dformation a * 1060-30-381575147190172197 Dformation b * 1060-24-40114294490675637672 Dformation c * 1060-23-43217526851117511301175 Ce qui nous donne le diagramme suivant : -2000200400600800100012000 30 60 90 120 150 180 210 240tempsdformations 1-Interprter les rsultats demesure en particulier pour t < 60 mn 2-On se place l'instant t = 180 mn. Les rsultats de mesure sont alors les suivants : c c caa bb cc= = = 190 10 675 10 1175 106 6 6, , ErEyEuExEzMAEzLD/2O ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 43/84 2-1Calculerlesvaleursdesdformationsprincipalesdansleplantangent ( ) E Ez u, et donner les directions principales. Aurait-on pu prvoir ce dernier rsultat? 2-2 Lematriauauneloidecomportementlastiquelinairedfinieparunmodule d'YoungE=210GPaetuncoefficientdePoissonu = 0 27 , .Dterminercompltementletenseur contrainte au point Mde collage de la jauge. On donnera les composantes du tenseur contrainte dans la base ( ) E E Er z, ,u. 2-3 Quelle est variation relative de diamtre de l'enveloppe? 3-Onenvisaged'utiliserlesrsultatsprcdentspourcalculerl'tatdecontraintedansune conduite d'eau gele. On considre que le changement d'tat de l'eau se traduit par un chargement de type pression uniforme sur la paroi intrieure de la conduite. Pour une conduite de diamtre extrieur D = 273 mm et d'paisseur e = 6,3 mm la pression p est value 20 MPa. 3-1Donner les composantes du tenseur contrainte en un point M de la paroi extrieure dans la base ( ) E E Er z, ,u en considrant que la conduite est libre de se dilater axialement. 3-2Dufaitdelagrandelongueurdelaconduite,onsupposequeladilatationlinaire axiale est nulle. Donner alors les composantes du tenseur contrainte en un pointM de la paroi extrieure dans la base ( ) E E Er z, ,u. ____________________________________________________________________________________ Cisaillement plan dans une plaque perce Onconsidreuneplaquedefaiblepaisseursolliciteencisaillementsimplecestdiredetel sorte quen tout point ltat de contrainte soit de la forme : ( )( )ott MEi=

((((0 00 00 0 0

1- Calculer les directions principales et les contraintes principales. 2- Cetteplaqueesttroue.Lerayondutrouestsuffisammentfaiblepourquelonpuisse considrer que la prsence du trou ne perturbe pas ltat de contrainte des points priphrie de la plaque. En vous aidant largement des rsultats du cours, donner une mthode permettant de dfinir ltat de contrainte au voisinage du trou et de calculer le coefficient de concentration de contrainte. Quel est alors le coefficient de concentration de contrainte? ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 44/84 Torsion dune poutre de section triangulaire On tudie la torsion dune poutre dont la sectiondroitereprsenteci-contreestun triangle quilatral. SuiteltudethoriquedeStVenant, onenvisagecommesolutionventuellela fonction : ( ) ( )( )222322 2 3 24 4 3 a ax x x a x m x x + + = , 1-Montrer que la condition aux limites, = 0 est satisfaite sur le contour de la section. 2-Calculer les contrainteso12 et o13 et vrifier lquation de compatibilit. 3-Etudier la rpartition des contrainteso13 sur la section droite pourx30 = , puis pourx a3 = . Indiquer la contrainte tangentielle maximale. 4-Etablir la relation entre le couple de torsion et le coefficient m. 5-Calculerlafonctiondedplacement.Sionconsidrelasolutionparticuliretellequele pointOdecoordonnes(0,0,0)nesubitnidplacement,nirotation,calculerlangle unitaire de rotation de la poutre. Dterminer les points dont le dplacement longitudinal est nul,ainsiqueledplacementlongitudinalmaximalsurlebordBCdelasection. Reprsentersurunevueenperspectivelimagedelatransformeduborddelasection droite. XGaCBA-2aX32 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 45/84 Torsion dun solide de rvolution On considre un arbre ayant la forme dun solide de rvolution daxe( )zE O; .La loi dvolution de la gnratrice en fonction de la variable z est donn par la fonction R(z). Dans le repre local( )z rE E E M , , ;u associ chaque point M, le champ de dplacement est exprim par : ( ) 0 0 = = =z ru z r u u u ; , ;u u Cedomainematrielestsoumisunesollicitationdetorsionparlintermdiairedetorseurs-coupleappliqusauxsectionsextrmitsdudomaine(z=0etz=h).Lesforcesdevolumessont ngligeables. Le matriau constituant le domaine a une loi de comportement lastique linaire. 1-Donnerlaformedutenseurdescontraintesassociauchampdedplacementsuggr. Exprimerlesdiffrentescomposantesdecetenseurenfonctiondeuu,desesdrivesparrapportaux variableszetr , du module dYoung du matriau E et du coefficient de Poisson v. 2-A partir des quations dquilibre, montrer quil existe une fonction( ) z r, utelle que : occoccu u r zr z r r= =1 12 2u u 3-Montrer que la fonction( ) z r, usatisfait lquation : cccccc222230u u ur r r z + = 4-Montrer que lon a : ( ) ( ) | | z z R z C ), ( , u u = 0 2t avecC: Couple de torsion EEExyz ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 46/84 Torsion d'un tube elliptique Dans un repre orthonorm ( ; , , ) O E E E 1 2 3 un tube elliptique a pour frontires : ( )( )( )( )== += +=l x SR x k x SR x k x Sx Sie3 32 22221 22 22221 13 00 avec0< < R Ri e La densit volumique de forces est nulle. D'autrepart,ilexistesurlessurfacesextrmits ( ) ( )3 0etS Sune densit surfacique de forces dont les lments de rduction enO des torseurs associs sont respectivement : ( ) ( )== ==33300sur 0sur E M MRSE M MRSO O '' Enfinladensitsurfaciquedeforces sur les surfaces( ) ( )2 1etS Sest nulle. Pourtraiterceproblme,onsuppose queledplacementd'unpointcourantMde coordonnes( )3 2 1x x x , ,est de la forme : UM x x E x xE x x E ( ) ( , ) = + + o 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1-Donner un schma de rsolution possible pour une cette tude. On justifiera les diffrentes tapes. 2-Montrerqu'ilexisteunefonction_( , ) x x1 2partirdelaquelleonpeutdduireles contraintes par les relations : o o c_co o c_c132231= = GxGxG avec module d' lasticit transversal 3-A partir des conditions d'quilibre, donner la valeur du laplacien de la fonction_ . 4-Montrerquelesconditionsauxlimitesexigentd'avoir_ _ = =1cte surlasurfaceS1et _ _ = =2cte sur la surfaceS2. Pour la suite on prendra_10 = . 5-MontrerquelquationdelasurfaceS1peutaiderdterminerlafonction_( , ) x x1 2du problme pos. En dduire les contraintes en fonction de o. 6-DonnerlarelationexistantentreoetlecoupledetorsionM.Quelestl'interprtation physique de la constante o? SEEESSS1230 1 23M M ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 47/84 Champ de force radial Le systme tudier est un tube cylindrique de rayon moyen R et d'paisseur 2e. Le matriau a une loi de comportement lastique linaire caractrise par un module d'Young E et un coefficient de Poisson v. On dsigneparOlecentregomtriqueducylindre.Lesolideestenquilibreparrapportaurepre ( )z y xE E E O , , ;galilen. D'autre part on considrera la base cylindro-polaire( )z rE E E M , , ;u en un point M courant. Lasurfacecylindriquefrontiredusoliden'estsoumiseaucunecharge.Ladensitvolumique des forces de volume est dfinie par : ( )rE r K M f 2= avec K constante positive Pourtrouverlasolutionduproblme,onproposed'essayerunchampdedplacementdtermin par : ( )r r E u M U =avecu u rr r= ( ) 1-Donner les tenseurs dformations et contraintes dans la base( )z rE E E M , , ;u. 2-En utilisant les quations d'quilibre, donner la forme de la fonctionu rr( ) . 3-Enutilisantlaconditionauxlimitessurlasurfacelatralecylindrique,calculerles constantes d'intgration. En dduire la valeur de la contrainte normale pour une section droiteozz. Donner la contrainte quivalente maximale au sens de Von Miss. 4-En fait, le cylindre est entran en rotation uniforme autour de son axe la frquence e. En considrant que l'paisseur du tube est petite vis--vis du rayon, donner la valeur limite de cette frquence de rotation pour un matriau de limite lastique oe. 5-Lesconditionsdeliaisonducylindreempchentlavariationdelongueurdel'axe.En utilisantleprincipedesuperposition,calculerl'effortdetractionqu'ilfautexercersurlasectiondroite pour respecter cette condition. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 48/84 Chargement dun barreau rectangulaire (Selon examen CERENSAM Lille janvier 1996) Les cinq questions peuvent se traiter dans nimporte quel ordre. Dans un repre orthonorm direct( )z y xE E E O , , /le milieu continu tudi est dfini par : 2 2;2 2; 0eze hyhL x s s s s s s Lasectiondfinieparx=Lestencastredansunmilieugalilenindformable.Enlabsencede forces de volume, ltat de contrainte en tout point M(x,y,z) est dfini par : ) , , ( 0 0 00 00) (z y xxyxy xxE E EM |||.|

\|=oo oo avec ((

= =1 42312223hyh eFh ey x FehPxyxxoo Dans ces expressions P et F reprsentent des constantes. Lematriauestsupposhomogne,isotrope,comportementlastiquelinaire,demodule dYOUNG E et de coefficient de POISSON v. 1-Les quations dquilibre sont-elles vrifies ? 2-Quel est le chargement sur les faces ABBA( )2hy =et CDDC( )2hy =? 3-QuelestlechargementsexerantsurlafaceADDA( ) 0 = x?Prciserenparticulierla rsultante et le moment rsultant en O (0,0,0). Commentaire. 4-On a :L = 120 mm ; h = 20 mm ; e = 5 mm ; F = 100 N ; P = 500 N E = 200 Gpa ; v = 0,29 AupointQ(80,10,0)situsurlafaceAB,oncolleunerosettedetroisjauges45selonle schma ci-dessous. Quelles doivent tre les valeurs donnes par ces trois jauges? 5-Les quations de compatibilits sont-elles satisfaites ? c xE zE a b Q A A D B C C B xEECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'ARTS ET METIERS Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY -------------------------------------------------------------------------------- Exercices de Mcanique des milieux continus 06/09/2011Page 49/84 Enveloppe cylindrique Dans le problme, les quatre cas de charge sont dissocis et les quatre parties peuvent tre traites indpendamment. Onseproposed'tudierlecomportementd'uneenveloppe cylindriquesousl'actiondediffrentschargements.Lematriau constituant cette enveloppe a une loi de comportement lastique linaire dfinieparunmoduled'YoungEetuncoefficientdePoissonv.La