Fiche méthode de calcul intégral

1. Intégration par partiesˆ b

au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]ba −

ˆ b

au′(x)v(x)dx.

2. Primitive de fractions rationnelles

La décomp. en elts simples aboutit aux termes :ˆ

dx

(x− a)n,

ˆdx

(ax2 + bx+ c)n,

ˆxdx

(ax2 + bx+ c)n.

• Termes´

dx(x−a)n

Si n = 1, ˆdx

(x− a)= ln|x− a|

Si n > 1,ˆ

dx

(x− a)n=

1

1− n1

(x− a)n−1.

• Termes In=ˆ

dx

(ax2 + bx+ c)n:

on pose y = x+b

2aen écrivant

(ax2 + bx+ c) = a(y2 +4ac− b2

4a2).

On pose ensuite t =y√

4ac−b24a2

et on se ramène à :

In=´

1(1+t2)n

dt.

(In) vérifie

2nIn+1 = (2n− 1)In+t

(t2 + 1)net I1 = Arctanx.

• Termesˆ

xdx

(ax2 + bx+ c)n:

on aˆxdx

(ax2 + bx+ c)n=

1

2a

ˆ2ax+ b

(ax2 + bx+ c)ndx− b

2aIn.

Si n = 1,ˆ

2ax+ b

(ax2 + bx+ c)dx = ln|ax2 + bx+ c|.

Si n > 1,ˆ

2ax+ b

(ax2 + bx+ c)ndx =

1

1− n1

(ax2 + bx+ c)n−1

3. Primitives de fonctions trigonométriques

f(sinx,cosx)

• Méthode générale :

on pose : t = tan(x

2)

On a alors

sinx =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2,

tanx =2t

1− t2et dx =

2dt

1 + t2

• Autres chgts de variables :Si f(sin(x), cos(x))dx est invariant par le chgt :

de x en −x −→ t = cosx.de x en π − x −→ t = sinx.de x en π + x −→ t = tanx.

• Primitives du type´sin(px)cos(qx)dx

On utilise la relation :

sina cosb =1

2(sin(a+ b) + sin(a− b)),

• Primitives du type´sin(px)sin(qx)dx

On utilise la relation :

sina sinb =1

2(cos(a− b)− cos(a+ b)),

• Primitives du type´cos(px)cos(qx)dx

On utilise la relation :

cosa cosb =1

2(cos(a+ b) + cos(a− b)),

• Primitives de la forme´cospxsinqxdx

p et q impairs −→ t = cos2xp pair et q impair −→ t = cosxp impair et q est pair −→ t = sinx

Si p et q sont pairs, on abaisse le degré avec :

sin2x =1− cos2x

2, cos2x =

1 + cos2x

2, .

sinx cosx =sin2x

2

• Primitives de la forme

In=´

dxcosnx ou Jn=

´dx

sinnx , n ∈ N

In Jnn pair t = tan(x) y = π

2 − xn impair y = π

2 − x t = tan(x2 )

Pour Jn et n pair, on se ramène à In.Pour In et n impair, on se ramène à Jn.• Primitives de la forme

In=´tannx dx , n ∈ Z∗.

Si n > 0 et pair −→ t = tan xSi n > 0 et impair −→ t = cos2x

Si n < 0, y =π

2− x, nous ramène au cas n > 0.

4. Intégrales Abéliennes

• Primitives de la forme

´dx√

ax2+bx+c, a 6= 0.

On écrit

ax2 + bx+ c = a[(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a2]

On utilise ensuite les résultats suivants :ˆdu√k2 − u2

= Arcsinu

k,

ˆdu√k2 + u2

= ln(u+√k2 + u2),

ˆdu√u2 − k2

= ln|u+√u2 − k2|.

• Primitives de la forme

´ √ax2 + bx+ cdx , a 6= 0.

On écrit

ax2 + bx+ c = a[(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a2]

On utilise ensuite les résultats suivants :ˆ √k2 − u2du =

1

2(u√k2 − u2 + k2Arcsin

u

k),

ˆ √k2 + u2du =

1

2(u√k2 + u2 + k2Argsh

u

k),

ˆ √u2 − k2du =

1

2(u√u2 − k2 − k2Argchu

k).

• Primitive de la forme

´R(x,

√ax+bcx+d) ,

avec R fraction rationnelle.On pose

u =

√ax+ b

cx+ d

et on a

x =b− du2

cu2 − aet dx = 2

ad− bc(cu2 − a)2

udu.

• Primitive de la formeˆR(x,

√ax2 + bx+ c),

avec R fraction rationnelle.On écrit

ax2 + bx+ c = a[(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a2].

On pose d’abord

k =b2 − 4ac

4a2et t = x+

b

2a.

On pose ensuite

Si a > 0 et k < 0 −→ t =√−kshu

Si a > 0 et k > 0 −→ t =√kch u

Si a < 0 et k > 0 −→ t =√−ksin u

Le cas a < 0 et k < 0 est impossible car alorsax2 + bx+ c est négatif.