Rappels : LOIS ET PRINCIPES

1) Travail / énergie : W Déplacement d’une charge dans le sens de la force : J N m W = travail (ou énergie) en joule F = Force en Newton d = distance en mètre La force ne s’exerce pas dans le sens du déplacement :

J N m

Force dans un mouvement de rotation : J N.m rd θ est l’angle décrit en radian

OBJECTIFS : - Connaître les différentes lois d’électrotechnique nécessaires pour étudier les circuits alimentées en courant continu ou alternatif.

charge d F

charge d

F α

F D

F

Le moment du couple exercé vaut : T = F . D

F = 20N d = 25cm Travail ? Rép : W = 5J

F = 20N α = 45° d = 50cm Travail ? Rép : W = 7,07J

F = 20N θ = ½ tr D = 20cm Travail ? Rép : W = 12,57J

1

Les angles s’expriment en degré ou en radian : 2π 360 °

Il faut savoir convertir les angles de degré en radian ou l’inverse et connaître les angles remarquables.

α en degré 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° 360° α en radian 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 2π

L’angle 6π équivaut à 3 fois 360° ou 3 tours !

2) Puissance mécanique P / rendement η : La puissance P :

P = puissance en Watt (W) W = énergie en joule (J) t = temps en seconde (s) Dans une rotation, par exemple un moteur : P = puissance mécanique en Watt (W) T = le couple en Newton par mètre (N.m) Ω= vitesse angulaire en radian par seconde (rd/s) Le rendement d’une machine, η nombre sans unité et toujours < à 1 ! Pa = puissance absorbée en W (à l’entrée) Pu = puissance utile en W (à la sortie)

3) Intensité I / tension U :

L’intensité d’un courant électrique I est la quantité d’électricité Q transporté dans un circuit. Cela représente un débit électrique !

I = intensité du courant an ampère (A) Q = quantité d’électricité en coulomb (c) ou ampères-heures Ah t = temps en secondes (s) ou heures (h)

La loi des nœuds :

Ω = 2 π n

avec Pa = Pu + pertes

W = 6000J t = 5’ Puissance ? Rép : P= 20W

Pu = 800W pertes= 200W rendement? Rép : η= 0,8

2

La tension U en volt (V) représente la différence de potentiel entre 2 points, ex : entre phase et

neutre U = 230V potentiel du neutre (ou la terre, neutre relié à la terre) = 0V!

Dans un montage série : U = U1+U2+….

Dans un montage paralléle : U= U1=U2=U3

Loi des mailles : dans un circuit série, la somme des tensions rencontrées est égale à 0.

4) Résistance électrique R :

La résistance d’un élément dépend de ses dimensions :

R = résistance en ohm (Ω) ρ = résistivité du matériau en ohms-mètres (Ω.m / mm²) S = section en m²

La résistance dépend aussi de la température :

Rθ = résistance à la température θ °C R0 = résistance à la température 0°C a = coefficient de température en kelvin moins 1 : ( )

Loi d’ohm :

Groupement de résistances en série :

Groupement de résistances en parallèle :

pour 2 résistances :

a . θ)

I en DC I en AC

ρ = 1,6. Ω.m S = 1mm² l =100m résistance ? Rép : R=1,6Ω

a = 0,004 R (15) = 0,64 Ω à 15°C résistance à 80 °C? Rép : R(0) = 0,6Ω R(80) = 0,79Ω

R1 = 20 Ω R2 = 10 Ω R3 = 10 Ω Re en série ? Re en parallèle ? Rép : Re = 40Ω en série Re = 4Ω en //

3

5) Energie électrique W / puissance P : En continu, l’énergie électrique en joules ou Wh vaut :

En continu, la puissance électrique en W vaut : la loi de joule pour une résistance :

6) Générateurs / récepteurs actifs : Pour un générateur, la loi d’ohm vaut :

E = force électromotrice = fém r = résistance interne

Pour un récepteur actif (moteur) : E’ = force contre-électromotrice = fcém r’ = résistance interne

7) Condensateur C : Un condensateur est un ensemble constitué de 2

plaques conductrices séparées par un isolant (diélectriques)

En continu, le condensateur se charge d’électricité quand il est soumis à une tension U. En alternatif, il se charge et se décharge sans cesse. Sa capacité se donne en farad (F).

Q = quantité d’électricité accumulée en coulomb (C) C = capacité du condensateur en farad (F) U = tension appliquée (V) W = énergie électrique emmagasinée

Groupement de condensateur en série :

Groupement de condensateur en // :

4

La charge ou la décharge d’un condensateur n’est pas instantanée, elle dépend de la résistance

du circuit et de la valeur de C. On considère qu’un condensateur est chargé ou déchargée au bout de 5 fois τ. La constante (ou temps de charge) vaut :

8) Le courant alternatif sinusoïdal : Un courant alternatif sinusoïdal est un courant qui change plusieurs fois de sens par seconde et

qui a la forme de la fonction sinus.

La période T en seconde est le temps d’une variation complète:

La fréquence en Hertz (Hz) est le nombre

de période par seconde :

f = 1 / T

Sa pulsation (ou vitesse) : w = 2.π.f

Son équation mathématique est i = Î . sin( w.t+φ ) avec Î = I.√ 2 w = la pulsation en rad/s t = le temps en s Î = valeur maxi en A i = la valeur instantanée en A I = valeur efficace en A φ = angle ou phase à l’origine Un courant alternatif peut être représenté par un vecteur de

FRESNEL : le déphasage est l’angle formé entre les vecteurs tensions et courants. c’est aussi le retard entre

les 2 sinusoïdes.

les déphasages particuliers sont : en phase φ = 0° en opposition de phase φ = 180° ou ¶ rd en quadrature de phase φ = 90° ou ¶ / 2 rd

On place 2 condensateurs de 20µF en série sous une tension U=1000V pendant t = 1’ Quantité d’électricité ? énergie stockée ? Rép : Q = 0,01 C W = 5 J

5

9) les puissances en monophasé : Pour une même tension, continu ou alternative le courant n’est pas le même pour un récepteur

quelconque. (Les puissances seront donc différentes). On dit qu’il présente une impédance Z.

U = Z . I

La puissance apparente est :

S = U . I

La puissance active P :

P = U . I . cos φ

ou P = R . I²

La puissance réactive :

Q = U . I . sin φ

Le facteur de puissance cos φ caractérise un récepteur, il est compris entre 0 et 1 :

cos φ = P / S

Le triangle des puissances :

U = la tension en (V) I = le courant en (A) Z = impédance en (Ω)

S en voltampères (VA) U en V I en A

P en watt (W) U en (V) I en (A) R en (Ω)

Q en voltampères réactifs (VAR) U en (V) I en (A)

S ² = P ² + Q ²

Cos φ = P / S

Sin φ = Q / S

tan φ = Q / P

Quelle est la valeur efficace et l’équation du courant principal qui alimente 2 récepteurs en dérivation parcourus par des courants i1 = 3 √2 sin( 100πt) et i2 = 4 √2 sin ( 100πt – π/2) ? Rép : i = 5 √2 sin ( 100πt - 53π/180 ) et I = 5A

6

10) Impédance d’éléments simples : L’impédance d’un récepteur est le rapport de la tension par le courant. Elle est différente Selon le type de récepteur : association possible de 3 élémentaires : résistance R

inductance L capacité C

Z = U / I La résistance pure R :

Z = R P = R . I ² Q = 0 et S = P

U et I en phase φ = O °

L’inductance pure L :

Z = L . w P = 0 et S = Q Q = L . w . I ²

U et I en quadrature de phase I en retard sur U φ = 90 ° AR

Un moteur monophasé est alimenté par une source de tension 230V – 50 Hz et consomme une puissance active de 0,375 Kw. Calculez les valeurs I, Q, et S si le cos φ vaut 0,75 Rép : I = 2,17A Q = 329VAR S = 499VA

U = la tension en (V) I = le courant en (A) Z = impédance en (Ω)

7

La capacité pure C :

Z = 1 / ( C . w ) P = 0 et S = Q

Q = U ² . C . w

U et I en quadrature de phase I est en avance sur U φ = 90 ° AV

11) Impédance de circuits simples : circuit R + L :

P = R . I ² Q = L . w . I ²

Le courant est en retard sur U D’un angle φ compris entre 0 et 90 °. circuit inductif.

circuit R + C :

P = R . I ² Q = U ² . C .w

Quelle est la tension aux bornes d’un condensateur de 10 µF lorsque le courant est de 150 mA – 50Hz. Rép : U = 47,7V

8

S = S1 + S2 + …

I est en avance sur U. circuit capacitif

Circuit R + C + L :

Si L w > 1 / Cw le circuit est inductif Si Lw < 1 / Cw le circuit est capacitif Si Lw = 1 / Cw L C w² = 1 on est à

la résonnance.

12) Relévement du facteur de puissance – la compensation

Théoréme de Boucherot : Pour une installation comportant plusieurs récepteurs groupés en dérivation :

les puissances actives s’ajoutent arithmétiquement : P = P1 + P2 + P3 + …

les puissances réactives s’ajoutent algébriquement :

Q = Q1 ± Q2 ± Q3 ± …

les puissances apparentes ne s’ajoutent pas algébriquement mais vectoriellement :

Une résistance de R = 1000Ω et un condensateur de capacité C sont placés en série. Le courant absorbé est I = 0,2 A sous une tension de 230V / 50 Hz. Déterminez la valeur de C. Rép : C =5,6. ou 5,6 µF

9

Amélioration du facteur de puissance ou cos φ :

Un bon facteur de puissance permet de limiter l’intensité en ligne et de réduire l’énergie réactive consommée.

facteur de puissance préconisé par EDF cos φ = 0,93

Le relèvement s’effectue au moyen de batterie de condensateur chargé de fournir de l’énergie

réactive Qc : Qc = Q1 – Q2

Q 1 = énergie réactive avant compensation Q 2 = énergie réactive après compensation

13) Le réseau triphasé :

13.1 Présentation : Une ligne de distribution triphasée comporte 4 conducteurs actifs : 3 phase et 1 neutre.

Les 3 phases : L1 - L2 – L3 (noir - marron – noir ou 3 rouges) Le neutre : N (bleu)

P ( tg φ – tg φ’ ) C = _______________ U ² . ω

P

Q2 S’ S Q1 S = P + Q1 S’ = P + Q2 φ angle entre P et S φ’ angle entre P et S’

Une installation 230V – 50Hz alimente 1 moteur de 735W de rendement 0,85 et cos φ = 0,78 et un réseau de 4 lampes de 100W. Calculez le condensateur nécessaire pour obtenir un cos φ de 0,95. Rép : Pt = 1265 W Qt = 694 VAR St = 1443 VA cosφ = 0,877 C =1,68. ou 16,8 µF

10

13.2 Tensions simples : Les tensions simples sont les tensions que l’on peut mesurer entre chaque fil de phase et le

neutre. Elles sont notées : V1, V2 et V3. Pour un réseau tri 230 / 400V, les valeurs efficaces sont V = V1 = V2 = V3 = 230V. Ces tensions sont sinusoïdales de même fréquence mais déphasées les unes par rapport aux

autres de 120°(ou 2 п /3). En valeur instantanées : Diagramme de FRESNEL :

il vient :

V1 + V2 + V 3 = 0

11

13.3 Tensions composées :

Les tensions composées sont les tensions mesurées ente phase et phase, notées U12 ; U23 et U31.

Ces tensions sont de même fréquence, de valeur efficace U et décalées entre-elles de 120°.

Pour un réseau tri 230 / 400V : V = 230V et U = 400V. D’après la loi des mailles :

13.4 Montage dit étoile : Y 3 récepteurs sont montés en étoile si chacun est relié entre le neutre et une phase. Ils sont alors

soumis à une tension simple V et parcourus par un courant I.

Par construction graphique :

U12 = V1 – V2 U23 = V2 – V3 U31 = V3 – V1

U = V . √ 3

12

Si les 3 récepteurs sont identiques : Si les 3 récepteurs sont différents :

13.5 Montage dit triangle : ∆ ou D

3 récepteurs sont montés en triangle si chacun est relié entre 2 phases. Ils sont alors soumis à

une tension composée U et parcourus par des courants de branche J. Les courants en ligne sont notés I.

D’après la loi des nœuds :

I 1=I2=I3 I = V / Z I1 + I2 + I3 = IN = 0

Pas de courant dans le neutre ! In = 0 Le montage est dit équilibré !

I 1= V / Z1 I1 + I2 + I3 = IN

Il y a du courant dans le neutre ! Le montage est dit déséquilibré !

I 2= V / Z2 I 3= V / Z3

J1 = J3 – I1

J2 = J1 – I2

J3 = J2 – I3

13

Si les récepteurs sont identiques, on démontre que :

14) Puissances en triphasé : Si un récepteur est alimenté en triphasé, quel que soit le couplage, chaque dipôle consomme :

⇒ Une puissance active P1, P2 et P3. ⇒ Une puissance réactive Q1, Q2 et Q3.

Si les dipôles sont identiques :

La puissance active : La puissance réactive : La puissance apparente : Le facteur de puissance :

I = J . √ 3

Un récepteur triphasé monté en étoile est constitué de trois résistances : R1 = 50 Ω , R2 = R3 = 100 Ω. La tension simple a pour valeur V = 230V. Trouver le courant dans chaque fil de phase et en déduire le courant dans le neutre. Rép : I1 = 4,6A I2 = I3 = 2,3A IN = 2A

calculs :

Pt = P1 + P2 + P3 = 3 P1 Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 3 Q1

P = √3 U . I . cos φ

Q = √ 3 U . I . sin φ

S =√ 3 U . I

Cos φ = P / S

14

S = )

Les formules de Boucherot et le triangle des puissances peuvent s’appliquer :

• La puissance active totale consommée par une installation triphasée comportant plusieurs récepteurs est égale à la somme des puissances actives consommées par chacun des récepteurs.

• La puissance réactive totale consommée par une installation triphasée comportant plusieurs récepteurs est égale à la somme des puissances réactives consommées par chacun des récepteurs.

Visualisation des tensions simples et composées :

Un récepteur triphasé équilibré comprend : un moteur asynchrone triphasé 230 V/ 400 V (P1 = 2,4 kW ; cosφ1 = 0,8) 6 lampes 230 V, 100 W. 1) Calculer la puissance P reçue par le récepteur triphasé : W.

2) Calculer la puissance Q1 reçue par le moteur : var.

3) Calculer la puissance Q reçue par le récepteur : var.

4) Calculer la puissance apparente S reçue par le récepteur : VA.

5) Calculer le facteur de puissance du récepteur : . Rép : Pt = 3000 W Q = Qt =1800 VAR St = 3499 VA cosφ = 0,857

15

15) Compensation en triphasé : Le relèvement s’effectue au moyen de batterie de condensateur chargé de fournir de l’énergie

réactive Qc : Qc = Q1 – Q2

Q 1 = énergie réactive avant compensation Q 2 = énergie réactive après compensation C = capacité unitaire des condensateurs (F)

16) Transformateur monophasé : Un transformateur se compose d’un circuit

magnétique et de 2 enroulements : primaire (alimentation indice 1) et secondaire (utilisation indice 2).

Le transformateur est réversible. Il est abaisseur ou

élévateur de tension. Ne jamais l’alimenter en continu !

P

Q2 S’ S Q1 S = P + Q1 S’ = P + Q2 φ angle entre P et S φ’ angle entre P et S’

Un moteur asynchrone est alimenté par un réseau 3 X 400V – 50Hz. Il consomme 32 Kw sous un facteur global de puissance 0,68. Calculez la capacité unitaire des condensateurs à installer en étoule pour relever le facteur de puissance à 0,94. Rép : QC = 22890 KVAR C =4,59 . ou 459 µF

16

Q1 = Q2 =

en triangle : en étoile : C = C =

Qc = P . (

rapport de transformation :

A vide : la puissance absorbée correspond aux pertes fer (pertes dues aux courants de FOUCAULT et phénomène d’hystérésis).

P10 = Pfer En charge (transfo parfait)

le rapport de transformation : m = U2 / U1 = N2 / N1 = I1 / I2

la chute de tension : ∆U2 = U20 - U2 ou en % ∆U2 / U2

la puissance absorbée (entrée) : P1 = U1 . I 1 . cos φ1

la puissance utile (sortie) : P2 = U2 . I 2 . cos φ2

le rendement : η = P2 / P1 = P2 / (P2 + pertes) Les pertes sont de 2 types : pertes cuivres et pertes fer

les pertes fer sont mesurées à vide

les pertes cuivres ou joules : Pj = R1 I1² + R2 I2²

PJ1 = R1 . I1² et PJ2 = R2 . I2²

17) Machines à courant continu : les machines à courant continu sont réversibles. Elles

peuvent fonctionner en moteur ou en génératrice (dynamo).

La machine se compose : d’un circuit magnétique

m = U20 / U10 = N2 / N1

U1

U2

Un transfo 380V / 24V possède un rendement de 0,92, S2 = 10 KVA pour un facteur de puissance de 0,8. Les pertes fer = 120W. Calculer dans ces conditions les pertes joules totales (primaire et secondaire) dans le transfo. Rép : PJ = 576 W

17

(pôles, épanouissements polaires, entrefer, culasse et tôles de l’induit).

2 circuits électriques : inducteur et induit.

Caractéristiques

Fonctionnement en génératrice

Fonctionnement en moteur

f.é.m.

tension

Puissance absorbée

Pertes joules

Pertes constantes

Puissance électromagnétique

Puissance mécanique

Puissance utile

Couple électromagnétique

Couple utile

rendement

E = n . N . ф

Pj = r . I² + R . i ² Pj = r’. I² + R’. i ²

Pc = Pfer + P méc Pc = Pfer + P méc

U = E’ + r’ . I U = E – r . I

Pe = E . I Pe = E’ . I

Pa = U . I Pa = P méc

Pméc = Tu . Ω

Pu = U . I

Te = (N . ф . I) / 2π

η = Pu / Pa

Pu = P méc

Tu = Pu / Ω

Te = (N . ф . I) / 2π

Pa = Pu + pertes

pertes = Pc + R . i² + r . I²

η = Pu / Pa

Pa = Pu + pertes

pertes = Pc + R’.i² +r’ .I²

E’ = n . N . ф

Pméc = Tu . Ω

Tu = Pu / Ω

Quelle est la fém d’un moteur à excitation séparée dont l’induit, alimenté sous une tension de 420V, absorbe un courant d’intensité égale à 35,5A ? R (induit) = 1,79 Ω. Rép : E’ = 356V

18

18) Moteur asynchrone triphasé : La vitesse de synchronisme du champ tournant crée par les

enroulements du stator est :

ns = vitesse de synchronisme en tr/s f = fréquence du réseau en Hz p = nombre de paires de pôles du stator Ωs = vitesse angulaire de synchronisme en rd/s Fréquence de rotation du rotor : n = ns pour un moteur synchrone, n < ns pour un asynchrone.

Glissement d’un moteur :

Puissance absorbée :

Puissance utile :

Rendement :

19) Compléments de mécanique :

19.1 Transformation vitesse linéaire vitesse angulaire : Dans le cas d’un mouvement linéaire obtenu par la rotation d’un moteur (moteur + treuil =

moteur de levage) :

v = vitesse linéaire en mètre par seconde (m/s) n = vitesse de rotation en tour par seconde (tr/s) ω = vitesse angulaire en radian par seconde (rd/s) D = diamètre de la roue F = force nécessaire pour vaincre le poids (P)

g = (ns - n ) / ns

Un moteur asynchrone absorbe une puissance de 1,1 Kw et tourne à une vitesse de 935 tr/min. Le moment du couple utile est de 8 N.m. Calculez le rendement du moteur. Rép : η = 71,2 %

19

ns = et Ωs = 2 . π .ns

Pa = .U. I .cos φ

Pu = Tu . Ω = Pa -

η = =

19.2 Puissance mécanique utile du moteur de levage : Le couple utile vaut : Tu = F.r

F doit être supérieur à P et P = m . g

il vient pour la puissance utile :

Pu = Tu . ω avec F = P = m . g et ω = 2π.n g = gravité terrestre en newton par seconde (N/s) m = masse en kilo (Kg) r = rayon du treuil en mètre (m) Pu = puissance utile en W

19.3 Utilisation d’un réducteur de vitesse : Si on place un réducteur de vitesse de coefficient réducteur K (K<1) ; la vitesse est réduite,

mais le couple augmenté :

19.3 Rendement d’une chaine cinématique :

n ou ω

m

D treuil

charge

1 tour correspond au périmètre 1 tr = π.D

ω = 2π . n et n = , il vient :

Pu = r.m.g.2π.n

réducteur ns Ts

ne Te

Moteur Réducteur treuil Pu

Pa charge

20

ω =

Ts = avec ns<ne et Ts>Te

Pa = avec Pa = √3.U.I.cosφ et Pu = Tu.ω