gestion de projets informatique

UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE

Master 1 “Economie et Gestion de l’Environnementet du Developpement Durable”

Gestion de Projets

Daniel DE WOLF

Dunkerque, Janvier 2008

Table des matieres

I Techniques de gestion de projets 9

1 Introduction 111.1 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Definition de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Definition du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Definition des objectifs du projet . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Notion de taches d’un projet . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 La definition de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 L’ordonnancement de projets 212.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Formulation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Representation graphique du probleme . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Graphe de la methode du potentiel . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Representation des autres types de contraintes . . . . . . . 252.3.3 Condition d’existence d’une solution . . . . . . . . . . . 26

2.4 Classement des activites par niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Calcul de l’ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.1 Ordonnancement au plus tot . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 332.6.1 Notion de tache critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 Table des matieres

2.6.2 Notion de chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.3 Notions de marge libre et de marge independante . . . . . 35

2.7 L’ordonnancement par la methode PERT . . . . . . . . . . . . . 362.8 Reduction de la duree du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Programmation effective du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10 Presentation des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.11 Prise en compte des contraintes disjonctives . . . . . . . . . . . . 432.12 Cas de contraintes cumulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.12.1 Critere de minimisation de la duree d’achevement du projet 462.12.2 Critere de lissage de charge des ressources utilisees . . . . 48

2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Analyse du projet 573.1 Definition du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Structuration hierarchisee du projet . . . . . . . . . . . . 573.1.2 Les phases du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.3 Utilite de l’ingenierie concourante . . . . . . . . . . . . . 623.1.4 Gestion simultanee de plusieurs projets . . . . . . . . . . 62

3.2 Definition technique des taches et de leurs relations . . . . . . . . 633.2.1 Les relations entre taches . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Les caracteristiques de la tache . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Le cout du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1 Analyse des couts sur la duree de vie d’un produit . . . . 68

3.4 Analyse economique du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.1 L’appel a l’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.2 Un exemple de choix de capacite . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Le suivi du projet 834.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Le suivi de la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Table des matieres 5

4.3 Le suivi des couts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.1 Les donnees de references . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.2 Les donnees revisees a date t . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.3 Les grandeurs a comparer . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.4 Analyse de l’ecart de planning . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.5 Analyse de l’ecart de cout . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 La prise en compte du risque 955.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 L’approche quantitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.1 Distribution statistique de la duree d’une tache . . . . . . 965.2.2 L’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.3 L’approche simulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque delai . . . . . 108

5.3 L’analyse qualitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3.1 Les risques internes encourus en phase d’elaboration du

projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3.2 Les risques externes encourus en phase d’elaboration du

projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.3 Les risques relatifs a la prevision d’utilisation des ressources1115.3.4 Les risques encourus en phase d’execution du projet . . . 112

5.4 La prise en compte du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.1 La diminution du risque en phase d’elaboration . . . . . . 1135.4.2 Organisation de la reactivite . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A Formulaire pour la gestion de projets 119A.1 Notion de marge libre et de marge totale . . . . . . . . . . . . . . 119A.2 Calcul d’annuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.3 Definition de l’ecart de planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120A.4 Definition de l’ecart de cout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Table des matieres

A.5 Distribution de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121A.6 L’approche classique du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B Table de nombres au hasard 125

C Table de la loi normale centree reduite 127

D Etudes de cas 131D.1 Cas 1 : Societe de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131D.2 Cas 2 : Achat de materiel informatique . . . . . . . . . . . . . . 131D.3 Cas 3 : Conception d’un site Internet . . . . . . . . . . . . . . . 131D.4 Cas 4 : Construction d’un stade olympique . . . . . . . . . . . . 132

Liste des figures

2.1 Graphe de la methode du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Graphe de la methode PERT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 graphe associe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Trois autres types de contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Circuit de longueur positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Classement par niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Relation d’anteriorite inutile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Ordonnancement au plus tot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Ordonnancement au plus tard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10 Calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.11 Cas de plusieurs chemins critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12 Graphe associe pour la methode PERT. . . . . . . . . . . . . . . 372.13 Introduction d’un contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.14 Arc fictif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.15 Ordonnancement par la methode PERT. . . . . . . . . . . . . . . 392.16 Reduction d’un jour de la duree du projet . . . . . . . . . . . . . 402.17 Reduction de la duree du projet de deux jours . . . . . . . . . . . 412.18 Graphe de la methode des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 422.19 Diagramme de Gantt-Ateliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.20 Diagramme de Gantt-Taches (projet) . . . . . . . . . . . . . . . 442.21 Diagramme de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.22 Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource . . . . . . 462.23 Solution 2 : priorite a la tache critique . . . . . . . . . . . . . . . 472.24 Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 47

7

8 Liste des figures

2.25 Solution 4 : definir une tache par sa quantite totale de travail. . . . 48

3.1 Organigramme technique : top-down. . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Organigramme technique : bottom-up. . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Trois graphes potentiels-taches correspondant aux 3 niveaux. . . . 603.4 Approche sequentielle classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Overlapping problem solving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.6 Gammes alternatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.7 Recouvrement : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8 Recouvrement : mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.9 Cycle des couts engages et decaisses. . . . . . . . . . . . . . . . 693.10 Flux nets de tresorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.11 Logique d’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.12 Arbre de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.13 Construction de 5 000 en cas de demande forte. . . . . . . . . . . 743.14 Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. . . . . . 75

4.1 Le suivi d’execution des taches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Le suivi des couts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Les ecarts de cout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Distribution uniforme de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Distribution Beta de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3 Distribution normale de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Distribution triangulaire de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5 Intervalle a 95 % sur la duree du projet . . . . . . . . . . . . . . 1035.6 Construction de la fonction de repartition . . . . . . . . . . . . . 106

A.1 Distribution uniforme de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . 121A.2 Distribution Beta de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.3 Distribution normale de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.4 Distribution triangulaire de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . 124

Partie I

Techniques de gestion de projets

9

Chapitre 1

Introduction

1.1 Objectifs du cours

Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s’agit, d’une part, dedonner aux etudiants les bases pour la formulation de problemes de gestion deprojets et, d’autre part, d’introduire les techniques de resolution de ces problemes.On presentera les techniques d’ordonnancement, d’analyse de projets, de suivi deprojets et de gestion du risque.

Comme reference principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion deprojets, [2].

Des etudes de cas illustrant les concepts vus au cours pourront etre trouveesdans les les ouvrages suivants :

• Sandrine FERNEZ-WALCH,Management de nouveaux projets, [1],

• Robert HOUDAYER, Evaluation financiere des projets [4],

• Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projetsinformatiques [6]

• J.R. MEREDITH et al, Project Management [7].

1.2 Plan du cours

Le cours est divise en cinq chapitres.

Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une definition dela gestion de projets que l’on rencontre aussi bien pour les problemes detype serie unitaire (construction d’ouvrages d’art,..) que pour le lance-ment de nouveaux produits (lancement d’un nouveau modele automobile

11

12 Chapitre 1. Introduction

par exemple). On presentera les objectifs de respect de la qualite, de respectdes delais et de respect des couts. On presentera brievement la direction deprojet qui releve des decisions strategiques (definition des objectifs, des res-sources a mettre en œuvre et appreciation des risques) et le controle de projetqui, lui, releve des decisions tactiques (estimation prealable de la duree etdes couts des taches, respect des delais et des couts durant la realisation duprojet).

Chapitre 2 : L’ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous presente-rons les deux principales techniques de planification de projets, a savoirla methode du potentiel et la methode PERT. Pour chacune de ces deuxmethodes, nous verrons comment representer le probleme a l’aide d’ungraphe, comment calculer les dates de debut au plus tot et au plus tarddes taches ainsi que la maniere de calculer le chemin critique. Nous ver-rons egalement comment tenir compte de contraintes additionnelles tellesque les contraintes disjonctives (un equipement a partager) ou de lissage decharge des ressources utilisees. Nous verrons egalement comment l’analysedu chemin critique peut etre utile pour reduire la duree du projet.

Chapitre 3 : L’analyse du projet. Lors de la definition du projet, il convientde donner une definition precise des phases du projet, une definition finedes taches du projet et de leurs relations ainsi qu’un calcul des couts derealisation des taches du projet. On s’interessera egalement dans ce chapitrea l’elaboration du plan d’investissement necessaire a la realisation du projetet a l’analyse economique du projet.

Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous presenterons les deuxprincipales techniques de controle d’un projet, a savoir le suivi de la pro-grammation (suivi de l’execution des taches) et le suivi des couts (controlebudgetaire du projet). On analysera les ecarts de planning et les ecarts decout et on presentera les indicateurs a mettre en œuvre a fin de detecter cesecarts.

Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous presente-rons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dansl’approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique dela duree ou du cout de realisation d’une tache. On peut alors faire des simu-lations. Dans l’approche qualitative du risque, on presentera les differentestechniques de reduction des risques encourus aussi bien dans la phase dedefinition du projet (mauvaises previsions) que dans la phase d’execution(rencontre d’aleas externes).

Section 1.3. Definition de la gestion de projets 13

1.3 Definition de la gestion de projets

1.3.1 Definition du projet

Comme l’indique Giard [2],

Definition 1.1 Un projet est defini et mis en œuvre pour elaborer une reponseau besoin d’un utilisateur, d’un client et il implique un objectif et des actions aentreprendre avec des ressources donnees.

Cette definition implique que l’on mette en œuvre une organisation specifique ettemporaire durant la preparation et la realisation du projet.

A titre d’exemples, on peut classer ce qui peut faire l’objet d’un projet sous lesquatre rubriques suivantes :

• La production de type serie unitaire qui se definit comme la mobilisationde toutes les ressources de l’entreprise pour la realisation d’un projet deproduction sur une duree assez longue. Les exemples classiques sont laconstruction navale de tres gros bateaux (type France ou Queen Mary II),les grands ouvrages de genie civil (tels que le Tunnel sous la manche).

• Les activites de gestion non repetitive correspondant a un enjeu technico-economique important pour l’entreprise. Les exemples classiques sont lelancement d’un nouveau produit, le changement de systeme informatique,un investissement important dans de nouveaux outils de production.

• Meme dans les industries de production demasse, la gestion de projet est uti-lisee pour raccourcir de maniere importante l’intervalle de temps qui separela decision de creer un produit de sa production en serie. Un exemple clas-sique est le lancement d’un nouveau modele automobile.

• Enfin, programmes d’aide aux pays en voie de developpement sont souventordonnees et controles avec les techniques d’ordonnancement et de controlede projets qui seront presentees dans ce cours.

1.3.2 Definition des objectifs du projet

Dans tout projet, on peut identifier trois categories d’objectif qui sont souventantagonistes :

• Les objectifs de performance technique relatifs au respect des specificationsfonctionnelles et des caracteristiques techniques du produit. On se definit


ainsi un niveau de qualite en ce qui concerne, par exemple le respect detolerance, la fiabilite du produit, la facilite d’usage,. . . etc

• Les objectifs de delai sont un composante tres importante pour le client.Ainsi, il ne sert a rien de livrer un stade olympique 3 mois apres la findes jeux olympiques. D’autre part, dans un marche concurrentiel, tel quecelui des produits pharmaceutiques, etre le premier a mettre sur le marcheun nouveau vaccin ou un nouveau medicament peut representer un effet demonopole et des gains substantiels pour le premier arrive sur le marche.

• Les objectifs de cout sont primordiaux, notamment dans le cadre d’un contrata prix non revisables ou dans le cas d’un projet interne.

Ces trois categories d’objectif sont fortement liees. Par exemple, il est plusfacile de respecter des objectifs techniques si le delai imparti est plus grand ou siles ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus onereuses.

1.3.3 Notion de taches d’un projet

Un projet est constitue d’un ensemble de taches ou encore d’activites. Chaquetache du projet :

• est identifiee par son role a jouer dans l’execution du projet,

• se caracterise par un debut et une fin,

• consomme des ressources qui ont un coup d’utilisation et sont disponiblesen quantite limitee,

• est souvent reliee aux autres taches du projet par des relations d’anterioritequi impliquent qu’une tache ne peut debuter avant qu’une autre ne soitprealablement terminee (bien qu’un certain recouvrement des taches soitpossible dans certains cas comme nous le verrons).

On resumera utilement la liste des taches, de leurs ancetres et de leur consommationde ressource par un tableau tel que celui presente en tableau 1.1.

1.3.4 La definition de la gestion de projets

Lemanagement de projet comporte deux fonctions bien differentes :

• La direction de projet qui s’interesse aux decisions strategiques (decisions along terme mettant en jeu l’avenir de l’entreprise).

Section 1.3. Definition de la gestion de projets 15

No tache duree prealables Consommation(jours) de ressources

1 terrassement 5 - 1 ouvrier

2 fondations 4 1 3 ouvriers

3 colonnes porteuses 2 2 2 ouvriers

4 charpente toiture 2 3 2 ouvriers

5 couverture 3 4 4 ouvriers

6 maconnerie 5 3 3 ouvriers

7 plomberie, electricite 3 2 2 ouvriers

8 coulage dalle beton 3 7 2 ouvriers

9 chauffage 4 8 et 6 1 ouvrier

10 platre 10 9 et 5 4 ouvriers

11 finitions 5 10 1 ouvrier

Tableau 1.1: Donnees du probleme


• la gestion de projet qui s’interesse aux decisions operationnelles (decisionsa court terme de gestion des equipements et du personnel).

La direction de projet est assuree par un chef de projet assiste parfois d’uneequipe. La mission de cette direction de projet est quadruple :

1. fixer les objectifs du projet en terme de delais, de performances techniques(notamment le choix des solutions techniques),

2. definir les moyens a mettre en œuvre en ce qui concerne les ressourcesmaterielles et humaines. Ce qui implique directement d’attribuer un budgeta la realisation du projet.

3. d’apprecier les risques encourus et de mettre en œuvre des procedures desurveillance (par exemple, definir des indicateurs de tenue des delais et descouts),

4. d’animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs ac-tivites, en faisant des evaluations regulieres qui conduisent parfois a reviserles objectifs du projet.

La gestion de projet est assuree par un controleur de projet. Elle a pourobjectif d’apporter a la direction de projet les informations relatives a l’avancementde l’execution du projet, au respect de ses objectifs et de ses couts.

• Durant la phase de preparation, la gestion de projet permet une estimationrapide de la duree des taches et des moyens a mobiliser et donc des coutsinduits. Ceci permet de preparer l’ordonnancement.

• Durant l’execution du projet, la gestion de projet vise la maıtrise des delaiset des couts en utilisant des tableaux de bord.

• A la fin du projet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer desenseignements pour l’avenir.

Dans ce cours, nous allons presenter un certain nombre d’outils qui relevent dela gestion de projets : par exemple, les techniques d’ordonnancement qui serontpresentees au chapitre 2, les techniques de suivis budgetaire et de planning quiseront presentees au chapitre 4.

Nous presenterons egalement un certain nombre de techniques relevant de ladirection de projets : par exemple, l’analyse economique du projet qui fera l’objetdu chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l’objet duchapitre 5.

Section 1.4. Exercices 17

1.4 Exercices

1.1. Installationd’un systemededepollutionde l’air. Pour installer un systemede depollution de l’air, une entreprise a identifie 8 taches a entreprendre. Audebut du projet deux taches peuvent commencer simultanement : la const-ruction de composants internes a l’entreprise (tache A) et la modificationdu plafond de l’usine (tache B). La construction du collecteur d’air (tacheC) necessite la fin de la construction des composants internes (tache A).L’installation du nouveau cadre (tache D) peut avoir lieu des que les compo-sants sont disponibles (tache A) et que le plafond de l’usine (tache B) a etemodifie. Apres l’installation du collecteur d’air (tache C), deux taches peu-vent commencer : l’installation du bruleur haute temperature (tache E) et lesysteme de controle des polluants emis (tache F). Le systeme de depollutiondes fumees (tache G) peut etre installe apres que le cadre (tache D) et lebruleur haute temperature (tache E) aient ete installes. Lorsque le systemede controle des polluants emis (tache F) et le systeme de depollution desfumees (tache G) sont installes, on peut tester le systeme afin de le mettreen fonctionnement (tache H).

(a) On demande de remplir le tableau 1.2 en y indiquant les prealables dechaque tache.

Code Tache Anteriorite DureeA Construction des composants internes 2B Modification du plafond 3C Construction du collecteur d’air 2D Installation du nouveau cadre 4E Installation du bruleur haute temperature. 4F Installation du controle d’emission 3G Installation du systeme de depollution 5H Test et mise en service du systeme 2

Tableau 1.2: Tableau des prealables et des durees des taches

1.2. Cas de l’entreprise BURBOX. La societe BURBOX est une societe specia-lisee dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d’edifier unenouvelle usine a la place d’un entrepot inutilise afin de repondre a l’accrois-sement de sa demande. Les taches a executer sont les suivantes :


1) La demolition de l’ancien entrepot et l’enlevement des gravats par lasocieteDUPONDauneduree estimee a 10 joursouvrables. L’operationest facturee 300.000 euro le premier jour de l’execution de la tache. Lepermis de demolition est deja accorde.

2) L’obtention du permis de batir pour le nouveau batiment devraitprendre 25 jours.

3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent debuter avant que lepermis ne soit accorde, sont prevus pour une duree de 5 jours. Le coutest de 180 euro par m3 et on estime qu’il y a 5.000 m3 a enlever. Lepaiement est fait pour moitie au debut et pour moitie a la fin de la tache.

4) Les travaux de fondation du nouveau batiment durent 10 jours pourun cout prevu de 370.000 euro a payer le premier jour.

5) Le gros œuvre est scinde en deux tranches :5.1 Lapremiere tranchedebutant apres les fondations est prevue pour

une duree de 18 jours et un cout previsionnel de 478.000 euro qu’ilest prevu de payer en trois fois (20 % au debut, 40 % le 10emejour et le solde a la fin du gros œuvre 1);

5.2 La seconde tranche, qui peut debuter 5 jours avant la fin de lapremiere tranche, doit durer 7 jours et a un cout prevu de 140.000euro (50 % au debut, 50 % a la fin).

6) La toiture devrait pouvoir etre faite en 10 jours au prix de 340.000euro (a payer le premier jour) et peut debuter 5 jours avant la fin de laseconde tranche du gros œuvre.

7) La tache de finition du batiment consiste en les cinq taches suivantes :7.1 La pose de panneaux industriels de platre pour une duree de 6

jours et un cout forfaitaire de 150.000 euro a payer au debut;7.2 Lapremiere phase d’electrificationdu batiment consiste en l’ins-

tallation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuee parla societe LAMBERT pour 500.000 euro (versement initial de200.000 euro, versement de 100.000 euro a la reception de chaquetransformateur). L’installation et la reception d’un transformateurnecessite 5 jours (15 jours au total pour la tache);

7.3 La seconde phase d’electrification est prise en charge par le per-sonnel des services generaux de la societe BURBOX qui comp-tent 5 agents. Le travail est estime a 320 heures de travail (couthoraire de 150 euro). Les fournitures a acheter coutent 15.000euro. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la premierephase d’electrification. Les travaux d’electrification doivent etretermines avant la peinture. Leur cout est impute le premier jour.


7.4 Le travail de peinture des murs est estime a 200 heures et est prisen charge par les services generaux de BURBOX.

7.5 Le travail de peinture du sol est estime a 120 heures et doit aussietre pris en charge par les services generaux. Les deux phasesde peinture peuvent etre effectuees en parallele avec un maximumde 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinturedoivent etre achevees avant l’installation des machines. Leur coutest impute au debut de chaque phase.

8) Le demontage des anciennes machines (2 jours) est effectue par les5 employes des services generaux. On programme cette tache au plustard avec une marge de 5 jours. On impute son cout le premier jour.

9) Le remontage des machines (2 jours) mobilise les memes ressources.Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontageest programme au plus tard. On impute son cout le premier jour.

10) L’acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000euro (moitie a la commande, moitie a la fin des essais) comporte lestaches suivantes :10.1 1 jour pour passer la commande;10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuee 21 jours apres la com-

mande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie.10.3 3 jours d’essai du materiel.

11) L’inauguration des nouvelles installations a l’issue du remontage etdes essais dure 1 jour.

(a) Reflechir a la duree des travaux confies aux services centraux en :• calculant la duree de la tache 7.3 en tenant compte de journeede 8 heures pour les ouvriers des services centraux de la societeBRUBOX,

• imaginant une organisation du travail de peinture (taches 7.4 et7.5) pour realiser ces deux taches en parallele.

(b) Etablir un tableau recapitulatif des taches avec leur designation, la listede leurs ancetres, leur duree, leur cout et les observations quant a leurprogrammation (recouvrement possible avec un ancetre, etc...). Onremplira le tableau 1.3.


Tache Duree Prealables Remarques de cout (keur) et

programmation date de debours

1 - Demolition 10 jours - 300 (jour 1)

2- Permis

3- Terrassement

4- Fondations

5.1- Gros-oeuvre

5.2- Gros-oeuvre

6 - Toitures

7.1 Placoplatre

7.2 Electricite 1

7.3 Electricite 2

7.4 Peinture murs

7.5 Peinture sol

8 - Demontage

9 - Remontage

10.1 - Commande

10.2 - livraison

10.3 - Essais

11 - Inauguration

Tableau 1.3: Cas de l’entreprise BURBOX

Chapitre 2

L’ordonnancement de projets

2.1 Introduction

Lors de tout projet de grande envergure (construction d’un bateau, d’un avion, d’unbatiment,...), un probleme crucial qui se pose est celui du calendrier d’executiondes taches. Le probleme est de determiner dans quel ordre doivent s’enchaıner lesdiverses taches de maniere a minimiser le temps total d’execution du projet.

Prenons un exemple. On veut construire un nouveau batiment de maniere apouvoir demenager au plus tot. Certaines taches ne peuvent s’executer qu’apresque d’autres soient terminees. Par exemple, on ne peut commencer les fondationsque lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque lesfondations sont terminees. D’autres taches peuvent s’executer simultanement. Parexemple, les travaux d’electricite et de plomberie peuvent etre menes de pair. Lesdonnees sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple.

No tache duree (jours) prealables1 terrassement 5 -2 fondations 4 13 colonnes porteuses 2 24 charpente toiture 2 35 couverture 3 46 maconnerie 5 37 plomberie, electricite 3 28 coulage dalle beton 3 79 chauffage 4 8 et 610 platre 10 9 et 511 finitions 5 10

Tableau 2.1: Construction d’un batiment

On doit tenir compte, dans les problemes d’ordonnancement, de divers types

21

22 Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

de contraintes.

• Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’unetache dans le temps : une tache ne peut commencer avant une telle date, ouapres une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques).

• Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d’ante-riorite entre les taches : une telle tache ne peut commencer avant la fin d’uneautre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’estpas fini).

• Les contraintes cumulatives imposent la prise en compte de la disponibilitede ressourcesnonstockables, par exempledesheuresde travail enpersonnelou d’equipement dont on peut disposer au cours d’une periode et qui sontperdues si elles ne sont pas utilisees durant cette periode.

• Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux taches ne peuventavoir lieu enmeme temps sans que l’on puisse dire laquelle doit etre effectueeavant l’autre (par exemple, une meme grue est utilisee sur deux chantiers).

Le probleme d’ordonnancement avec des contraintes de localisation tempo-relle et de succession temporelle seulement est appele probleme central d’ordon-nancement. Il s’agit donc de determiner le calendrier de debut de chacune destaches de maniere a terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintestemporelles.

Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa resolution, ceprobleme utilise la notion de graphe. On peut, en effet, representer le probleme surungrapheet, ensuite, resoudre le problemegraphiquement. Deplus, la presentationdu resultat de calcul (l’ordonnancement des taches) sera beaucoup plus claire surce graphique que sur un tableau de chiffres.

Il existe deux methodes de resolution pour ce probleme, a savoir :

• lamethode du potentiel developpee en France dans les annees 60 et qui as-socie a chaque tache un nœud du reseau, tandis que les relations d’anterioritesont representees par des arcs entre les taches (voir figure 2.1);

• la methode PERT developpee parallelement aux Etats Unis d’Ameriqueet qui, elle, associe chaque tache a un arc du reseau, et chaque relationd’anteriorite a un nœud (voir figure 2.2).

Algorithmiquement, les deux methodes de resolution sont equivalentes, mais lamethode du potentiel permet d’ecrire le graphe de reseau de maniere systematique(sans ajouter d’arc fictif).

Section 2.2. Formulation du probleme 23

tache id i

tache j

”i avant j”

ji

Figure 2.1: Graphe de la methode du potentiel.

tache i

i, di j, dj

tache j

”i avant j”

Figure 2.2: Graphe de la methode PERT.

2.2 Formulation du probleme

Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n taches a executer, indiceesi = 1, ...n. Utilisons egalement la notation di pour designer la duree d’executionde la tache i (qui est ici une donnee).

Les variables du probleme sont les suivantes : ti note le temps de debutd’execution de la tache i, et tf note le temps de fin de chantier.L’objectif est de minimiser le temps de realisation du chantier :

min z = tf − t0

ou t0 note la date de debut de chantier que l’on fixe a t0 = 0.Les contraintes du probleme sont de trois types :

• Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tache i ne peutcommencer avant le debut de chantier :

ti ≥ t0, ∀i = 1, 2, ...n (2.1)

• Les contraintes de succession temporelle expriment que la tache j ne peutdebuter avant que toute tache i prealable a j ne soit finie :

ti + di ≤ tj, ∀ tache i anterieure a la tache j (2.2)

• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tache i doit etre finieavant la fin de chantier :

ti + di ≤ tf , ∀i = 1, 2, ...n (2.3)

Remarquez que vu la presence des contraintes de succession temporelle (2.2), ilsuffit d’ecrire (2.1) pour toute tache n’ayant pas de predecesseur et (2.3) pout toutetache n’ayant pas de successeur.


2.3 Representation graphique du probleme

2.3.1 Graphe de la methode du potentiel

On associe donc au probleme central d’ordonnancement un graphe dont les som-mets representent les diverses taches du probleme d’ordonnancement. On ajouteun nœud 0 qui correspond a la date de debut de chantier et un nœud f = n + 1qui correspond a la fin de chantier. Les arcs du reseau representent les diversescontraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante

ti + di ≤ tj

On peut construire systematiquement le graphe associe au probleme d’ordon-nancement de la maniere suivante (voir figure 2.3) :

012

543

210 1110

987

65

4

4

3

22

2

4

5

33

510

Figure 2.3: graphe associe.

1. On relie d’abord toutes les taches sans prealable (la tache 1 dans le casde l’exemple) au nœud 0, debut de chantier par un arc de longueur nulle.Remarquez qu’il s’agit de la representation des contraintes (2.1).

2. Ensuite, on prend une tache deja dans le graphe et on examine si elle preceded’autres. Par exemple, la tache 1 doit preceder la tache 2. On doit donc avoir

t1 + d1 ≤ t2.

On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueurd1. On fait de meme pour representer toutes les contraintes de type (2.2).

3. Pour les seules taches sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier,avec un arc de longueur egale a la duree de la tache. Ici, seule la tache finitionest dans ce cas. Il s’agit ici de representer les contraintes du type (2.3).

Lors de la construction du graphe d’un probleme reel qui peut comporter plus d’unecentaine de taches, une methode plus systematique de construction du graphedoit etre utilisee, methode faisant appel au classement des activites par niveaux(voir section 2.4).

Section 2.3. Representation graphique du probleme 25

2.3.2 Representation des autres types de contraintes

Disons un mot de la representation des trois autres types de contraintes :

1. Supposons d’abord que la tache 3 ne puisse commencer avant 10 :

t3 ≥ 10⇔ t3 ≥ t0 + 10.

Ceci se represente en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10(voir figure 2.4).

2. Ensuite, supposons que la tache 5 doive etre commencee avant 40 :

t5 ≤ 40⇔ t0 ≥ t5 − 40.

Ceci se represente en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de “longueur” -40.

3. Enfin, supposons que la tache 9 doive commencer au plus tard 5 jours apresle debut de la tache 8 :

t9 ≤ t8 + 5 ⇔ t8 ≥ t9 − 5.

Ceci se represente en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de “longueur” -5.

012

543

210 1110

987

65

4

4

3

22

2

4

5

33

510

10

-40

-5

Figure 2.4: Trois autres types de contraintes.


2.3.3 Condition d’existence d’une solution

Avant de voir l’algorithme qui permet de resoudre le probleme d’ordonnancement,nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probleme est realisable.En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et etre incom-patibles entres elles.

Supposons que nous ayons la situation suivante. La tache 1, qui dure d1 jours,doit etre terminee avant que la tache 2 ne commence. La tache 2, qui dure d2 jours,doit etre terminee avant que la tache 3 ne commence. La tache 3, qui dure d3 jours,doit etre terminee avant que la tache 1 ne commence.

tache duree prealable

1 d1 3

2 d2 1

3 d3 2

Il est clair qu’un tel probleme va conduire a une impossibilite.

3

2

1

d1 d2

d3

Figure 2.5: Circuit de longueur positive.

Cette situation est representee a la figure 2.5. On voit ici que le graphe contientun circuit (cycle avec tous les arcs dans lememe sens) dont la somme des longueursdes arcs est positive. Ecrivons les contraintes correspondantes :

t1 + d1 ≤ t2t2 + d2 ≤ t3t3 + d3 ≤ t1

En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante :

d1 + d2 + d3 ≤ 0

On peut montrer le resultat suivant.

Lemme 2.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seu-lement si le graphe associe ne comporte aucun circuit de longueur (somme deslongueurs des arcs le constituant) strictement positive.

Section 2.4. Classement des activites par niveaux 27

Remarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs negative ne pose pas deprobleme. Par exemple, a la figure 2.4, la tache 8 de longueur 3 doit etre finie avantque ne commence la tache 9 et la tache 9 doit commencer endeans les 5 jours dedebut de la tache 8 :

t8 + 3 ≤ t9t9 − 5 ≤ t8

Ceci se represente, comme vu ci-dessus, par une fleche de 8 vers 9 de longueur 3et une fleche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probleme, la somme des“longueurs” etant negative.

2.4 Classement des activites par niveaux

Definition 2.1 Le niveau d’une tache correspond au plus grand nombre de tachesrencontrees sur un meme itineraire depuis le debut du projet, plus un.

Pour determiner le niveau des taches, on procede comme suit. On place au premierniveau les taches qui n’ont aucun ancetre et on raye ces taches de la liste des taches.On continue comme suit :

• Etape 1 : on raye, dans la colonne des ancetres, les taches qui viennent d’etreaffectees au dernier niveau analyse;

• Etape 2 : les taches du nouveau niveau sont les taches non rayees de lacolonne des taches qui n’ont plus d’ancetre; apres affectation au nouveauniveau, ces taches sont rayees dans la colonne des taches;

• Etape 3 : s’il reste des taches non rayees dans la colonne des taches, on reparta l’etape 1. Sinon le processus est termine. Par ailleurs, cette etape permetde detecter des anteriorites redondantes parce que ne portant pas sur desancetres immediats. Cette etape permet egalement de mettre en evidencedes incoherences du type A a pour ancetre B, B a pour ancetre C, lequel apour ancetre A.

L’application de la methode a l’exemple introductif est illustree au tableau 2.2pour les trois premieres iterations, au tableau 2.3 pour les trois suivantes et autableau 2.4 pour l’iteration finale.

On peut alors construire le graphe de la methode des potentiels en visualisantchaque niveau par une bande verticale et en placant, dans chaque niveau, les tachesde ce niveau, puis en visualisant les contraintes d’anteriorite par des fleches dont


Iteration 1Etape 1 Etape 2

Ancetres Tache Niveau 1- 1 11 22 33 44 53 62 77 88,6 99,5 1010 11

Ancetres Tache Niveau 1- 6 1 11 22 33 44 53 62 77 88,6 99,5 1010 11


Ancetres Tache 1 2- 6 1 16 1 22 33 44 53 62 77 88,6 99,5 1010 11

Ancetres Tache 1 2- 6 1 16 1 6 2 22 33 44 53 62 77 88,6 99,5 1010 11


Ancetres Tache 1 2 3- 6 1 16 1 6 2 26 2 33 44 53 66 2 77 88,6 99,5 1010 11

Ancetres Tache 1 2 3- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 33 44 53 66 2 6 7 77 88,6 99,5 1010 11

Tableau 2.2: Classement des taches par niveaux

Section 2.4. Classement des activites par niveaux 29


pi i 1 2 3 4- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 44 56 3 66 2 6 7 76 7 88,6 99,5 1010 11

pi i 1 2 3 4- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 44 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 88,6 99,5 1010 11


pi i 1 2 3 4 5- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 99,5 1010 11

pi i 1 2 3 4 5- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 6 5 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 6 9 99,5 1010 11


pi i 1 2 3 4 5 6- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 6 5 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 6 9 96 9, 6 5 1010 11

pi i 1 2 3 4 5 6- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 6 5 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 6 9 96 9, 6 5 6 10 1010 11

Tableau 2.3: Classement des taches par niveaux (suite)



pi i 1 2 3 4 5 6- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 6 5 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 6 9 96 9, 6 5 6 10 106 10 11

pi i 1 2 3 4 5 6 7- 6 1 16 1 6 2 26 2 6 3 36 3 6 4 46 4 6 5 56 3 6 6 66 2 6 7 76 7 6 8 86 8,6 6 6 9 96 9, 6 5 6 10 106 10 6 11 11

Tableau 2.4: Classement des taches par niveaux (fin)

l’origine est a gauche et l’extremite a droite. Le debut et la fin sont representes pardes traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des fleches qui aboutis-sent aux taches de niveau 1 et des taches sans descendant (qu’elles appartiennentau dernier niveau ou non) partent des fleches vers le trait de FIN (figure 2.6).

1

Fin

5432

1110

98

76

Dbu

t 1 5432

67

Niveaux

Figure 2.6: Classement par niveaux.

Outre la facilite de trace du graphe de la methode du potentiel, le classementpar niveaux permet de reperer des relations inutiles. Par exemple, a la figure 2.7,la relation ”A precede C” est inutile et peut etre omise sur le graphique.

A C

dA

B

dB

dA

Figure 2.7: Relation d’anteriorite inutile.

Section 2.5. Calcul de l’ordonnancement 31

2.5 Calcul de l’ordonnancement

2.5.1 Ordonnancement au plus tot

Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l’ordonnancement au plustot. L’ordonnancement au plus tot determine les dates de debut au plus tot desdifferentes taches, notees ti, en partant du nœud de debut de chantier.

Illustrons les choses sur l’exemple. La tache 1 peut commencer au plus tot en0 puisqu’elle est reliee au au nœud 0, debut de chantier, par un arc de longueurnulle. La tache 2 peut commencer des la fin de la tache 1, c’est-a-dire

t2 = t1 + d1 = 5

et ainsi de suite, on marque t3 = 9, t4 = 11, t5 = 13, ...Lorsqu’un sommet (comme le sommet 9) a plus d’un predecesseur (8 et 6), on

determine la date au plus tot par un maximum :

t9 = max {t6 + d6, t8 + d8} = 16.

Il faut, en effet, que les deux taches precedentes soient finies avant de pouvoirdebuter la tache 9. On arrive ainsi a determiner la duree totale minimum qui est icide 35 jours (voir figure 2.8 ou le temps de debut au plus tot est indique au dessusdes nœuds).

012

543

210 1110

987

65 4

4

322

2

45

33

510

0 0 5

9

9

11

11

12 16

13

353020

Figure 2.8: Ordonnancement au plus tot.

2.5.2 Ordonnancement au plus tard

Certaines taches sont telles que si on retarde leur date de debut, cela aura desrepercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la datede debut de la tache 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de


chantier. De meme, si on retarde la tache 10 (platre), cela va retarder la date dedebut de la tache 11 (finition) qui elle-meme retarde la date de fin de chantier.

Par contre, si on retarde le debut de la tache 5 (couverture), cela n’aura pas derepercussion, car ce n’est pas a partir de ce nœud que son successeur (10) a etemarque mais bien a partir du nœud 9. On voit donc que l’on peut retarder la datede debut de la tache 5 sans consequence sur la date de fin de chantier jusqu’a uncertain point. En effet, t5 = 13, t10 = 20, et d5 = 3. Autrement dit, la date dedebut de la tache 5 peut etre retardee jusqu’a la valeur :

t10 − d5 = 20− 3 = 17

sans retarder la date de debut de la tache 10. On dit que 17 est la date de debut auplus tard de la tache 5. C’est-a-dire que la tache 5 peut etre commencee a cettedate au plus tard sans allonger la duree totale minimale des travaux.

On notera une date de debut au plus tard par ti. On peut calculer l’ordonnan-cement au plus tard de la maniere suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin,pour lequel la date de debut au plus tard coıncide avec la date de debut au plus tot

t12 = t12 = 35,

on retranche a la date au plus tard la duree de la derniere tache. On determine ainsila date de fin au plus tard de la tache 11 :

t11 = t12 − d11 = 35− 5 = 30.

On marque ensuite a rebours les nœuds 10, 5, ...

012

543

210 1110

987

65 4

4

322

2

45

33

5100 0 5

9

9

11

11

12 16

13

353020

0 0

10

9 15

13 16

17

353020511

Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard.

Lorsqu’un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet quesi tous ses successeurs directs sont marques. Prenons, a titre d’illustration, le casdu nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum :

t3 = min{t4 − d3, t6 − d3} = min{15− 2, 11− 2} = 9,

sans quoi on retarderait la date de fin de chantier.

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 33

2.6 Chemin critique et calcul des marges

2.6.1 Notion de tache critique

On voit directement que l’on a deux sortes de taches.

• Les taches critiques sont celles qui servent a marquer de proche en prochele sommet n + 1 a partir du sommet 0. Elles forment ce que l’on appellele chemin critique qui donne l’ensemble des taches a surveiller en premiersi l’on veut respecter le delai minimum de realisation du projet. Le chemincritique, illustre en hachure a la figure 2.9, peut etre determine de la manieresuivante. Partant du nœud n + 1, on ne retient, en partant a rebours, que lessommets correspondant a des taches critiques jusqu’a joindre le nœud 1. Ils’agit, dans l’exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0.

1

4

012

543

210 1110

987

65

4

4

3

22

2

4

5

33

5100 0 5

9

9

11

11

12 16

13

353020

0 0

10

9 15

13 16

17

353020115

0

0

0

0

0

0 0

1

4

Figure 2.10: Calcul des marges

Notez qu’il peut y avoir plusieurs chemins critiques.

• Pour toutes les autres taches, c’est-a-dire les taches non critiques, on peutdeterminer la marge d’une tache comme la difference entre son temps dedebut au plus tard et au plus tot :

mi = ti − ti (2.4)

et donc la marge mi est strictement positive pour les taches non critiquestandis qu’elle est nulle pour les taches critiques.

i 4 5 7 8

mi 4 4 1 1


2.6.2 Notion de chemin critique

Definition 2.2 On appelle chemin critique tout chemin liant le nœud debut deprojet au nœud fin de projet tel que l’en faisant la somme des durees des taches lelong de ce chemin critique on obtienne la duree minimale du projet.

Terminons par deux remarques.

• Il peut y avoir plusieurs chemins critiques.

• D’autre part, il ne suffit pas de prendre une suite de tache critiques liant lenœud debut du projet au nœud fin du projet pour avoir un chemin critique.Il faut, en plus que la date de fin au plus tot du projet correspondent a lasomme des durees de taches le long de ce chemin. On peut reperer, commeindique ci-dessus, ce type de chemin a rebours en ne retenant que les tachesqui ont permit de calculer la date de fin au plus tot du projet a partir du nœudde depart (dates au plus tot).

Illustrons ces deuxphenomenes sur l’exemplede lafigure2.11. Les taches critiques

A

E

F Fin

5B D

C

D b

3 0

40

0

0

0

1

0

0

4

4

4

4

9

9

15

15

18

18

5

54

6

3

0

0

0

0

0

1

Figure 2.11: Cas de plusieurs chemins critiques.

sont les taches : B, C, D, E et F. Les deux chemins critiques sont :

P1 = (B,D,E, F )

P2 = (B,C,E, F )

Il est a remarquer que le chemin suivant :

P3 = (B,C, F )

est constitue uniquement de taches critiques mais n’est pas critique.

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 35

2.6.3 Notions de marge libre et de marge independante

Nous venons de definir la notion demarge totale d’une tache comme la differenceentre sa date de debut au plus tard et sa date de debut au plus tot :

mi = ti − ti

Remarquons cependant que la marge reellement disponible dependra de la pro-grammation effective des predecesseurs de la tache. Prenons l’exemple de la tache5 qui a une marge de 4. Si son predecesseur direct, la tache 4 est programmee auplus tard, c’est-a-dire en 15, la date de debut au plus tot de la tache 5 devient 17 etdonc la tache 5 voit sa marge s’annuler. Des qu’on utilise la marge de la tache 4,elle reduit donc celle de 5.

Par contre si on utilise la marge de la tache 5 en la programmant au plus tard (en17) cela ne reduit pas la marge des autres taches du projet. On peut donc utiliserlibrement cette marge de 4 unites de la tache 5

Definition 2.3 On definit la marge libre comme la partie de la marge totale quel’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs.

Si l’on considere que les ancetres et les descendants de la tache sont programmesau plus tot, on definit ainsi lamarge libre comme la difference entre :

• la date de debut au plus tot du descendant (ou la plus precoce de ces datessi la tache a plusieurs descendants);

• la date de fin au plus tot de la tache qui est calculee comme la date de debutau plus tot augmente de la duree de la tache.

L’application a notre exemple donne les marges libres suivantes :

i 4 5 7 8

marge totale 4 4 1 1

debut au tot du descendant 13 20 12 16

fin au plus tot de la tache 11 + 2 13 + 3 9 + 3 12 + 3= 13 = 16 = 12 = 15

marge libre 0 4 0 1

L’utilisation de la marge libre d’une tache non critique n’affecte pas la margetotale des taches non critiques dont elle est l’ancetre. Il n’en n’est cependant pasde meme pour les taches non critiques dont elle est le descendant direct et indirect.


Si on programme d’abord la tache 5 en l’affectant au plus tot, c’est-a-dire en 13,la date de debut au plus tard de 4 devient 11 et la tache 4 n’a plus de marge. Ondefinit ainsi un second concept.

Definition 2.4 On definit la marge independante comme la partie de la margeque l’on peut utiliser sans affecter la marge des predecesseurs et des successeurs.

Si l’on considere que les ancetres de la tache sont programmes au plus tard (etnon au plus tot) et ses descendants au plus tot, on definit lamarge independantecomme la difference 1 entre :

• la date de debut au plus tot du descendant (ou la plus precoce de ces datessi la tache a plusieurs descendants);

• la date de fin au plus tard de son ancetre (ou la plus tardive de ces dates, sila tache a plusieurs ancetres) augmentee de la duree de la tache.

L’application a notre exemple donne les marges independantes suivantes :

i 4 5 7 8

marge totale 4 4 1 1

debut au plus tot du descendant 13 20 12 16

fin + tard de l’ancetre (9 + 2) (15 + 2) (5 + 4) (10 + 3)+ duree de la tache +2 = 13 +3 = 20 +3 = 12 +3 = 16

marge independante 0 0 0 0

La marge independante de la tache 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4.Cette marge independante est moins utilisee que la marge libre, dans la mesure oula programmation des taches s’effectue souvent par ordre croissant de niveau.

2.7 L’ordonnancement par la methode PERT

La methode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s’est develop-pee, parallelement a la methode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour laplanification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de lamethode du potentiel par le fait que les taches ne sont plus associees aux nœudsmais bien aux arcs du reseau. L’algorithme de resolution est tres semblablea celui de la methode du potentiel. La difference majeure reside donc dans la

1Il est a remarquer que si le resultat obtenu est negatif, la marge independanteest consideree comme nulle, une marge ne pouvant jamais etre negative.

Section 2.7. L’ordonnancement par la methode PERT 37

construction du graphe : le graphe de la methode PERT est souvent plus difficile aconstruire que celui de la methode du potentiel car on peut etre amene a introduiredes arcs fictifs qui ne correspondent a aucune tache.

Dans la methode PERT, chaque tache est donc associee a un arc du graphe. Lalongueur de l’arc correspondant a la duree de la tache en question. Les sommetssont utilises pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si latache j doit suivre la tache i, l’extremite terminale de l’arc representant la tache icoıncidera avec l’extremite initiale de l’arc representant la tache j.

Ceci permet de tracer le graphe pour l’exemple deja considere pour la methodedu potentiel. Ceci est fait a la figure 2.12 ou l’on a note, a cote de chaque arc,d’une part, le numero correspondant a la tache, d’autre part, la duree de la tache.

6, 51, 5 2, 4

3, 2

7, 3

4, 2

8, 3

5, 3

9, 4

10, 10 11, 5

Figure 2.12: Graphe associe pour la methode PERT.

Si, sur cet exemple, le graphe de la methode du potentiel et celui de la methodePERT sont tres proches, il n’en va pas toujours de meme. La construction dugraphe PERT pose divers problemes qui amenent a ajouter des arcs fictifs qui necorrespondent a aucune tache.

Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tache 1 precede lestaches 2 et 3 et que la tache 4 precede la tache 3.

tache predecesseur1 −2 1

3 1, 4

4 −

On pourrait tracer le graphe de la figure 2.13. Mais ce graphe introduit une cont-rainte supplementairequi dit que la tache4doit preceder la tache2. Pour resoudre ladifficulte, il faut a nouveau ajouter un arc fictif de longueur nulle entre l’extremitede la tache 1 et le debut de la tache 3. Ceci est illustre a la figure 2.14.


1 2

34

Figure 2.13: Introduction d’un contrainte.

1 2

34

Figure 2.14: Arc fictif.

L’ordonnancement se calcule ainsi. D’abord, on determine les dates de debutau plus tot des nœuds, que nous noterons ti. Ceci est fait par marquage des nœudsa partir de l’origine comme dans la methode du potentiel. On additionne au tempsdu nœud precedent le temps de la tache. En cas de plusieurs predecesseurs, onprend le maximum.

Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pastoujours aux dates au plus tard des taches situees apres le nœud. Ainsi la dateau plus tard 9 est la date au plus tard de la tache 3mais pas de la tache 7, pourtant lesdeux taches sont situees a droite du meme nœud. Pour contourner cette difficultede la methode PERT, il convient de proceder en deux temps.

D’abord, on determine les dates au plus tard des nœuds, notees ti, parmarquagea partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tache. Encas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la margede la tache (i, j) entre les nœuds i et j comme :

mij = tj − (ti + dij)

Autrement dit, la marge est calculee comme la difference entre la date de fin auplus tard de la tache et la date de fin au plus tot de la tache. On obtient alorsles dates au plus tard des taches en additionnant a la date au plus tot du nœud de

Section 2.8. Reduction de la duree du projet 39

depart, la marge de la tache. Les resultats sont indiques au tableau ci-dessous.

Tache 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Date au plus tot 0 5 9 11 13 11 9 12 16 20 30

Marge 0 0 0 4 4 0 1 1 0 0 0

Date au plus tard 0 5 9 15 17 11 10 13 16 20 30

Unchemin critique peut alors se construire a partir du nœuddefin en ne retenantque les arcs critiques. L’application a l’exemple donne l’ordonnancement illustrea la figure 2.15.

6, 51, 5 2, 4

3, 2

7, 3

4, 2

8, 3

5, 3

9, 4

10, 10 11, 5

0 5 9

11

13 16

13

3530200 5 9

0 0

0

0

11 4 174

1

1 12 16

0 00 353020

Figure 2.15: Ordonnancement par la methode PERT.

2.8 Reduction de la duree du projet

Si l’on veut reduire la duree du projet, deux principes sont d’application :

Principe 1. Il ne sert a rien de reduire la duree de taches non critiques.

Principe 2. Il faut reduire simultanement la duree de tous les chemins critiques.

En effet, si l’on reduit la duree d’une tache non critique, cela ne changera pasla duree du projet qui est determinee par la longueur du chemin critique. Cela nefera qu’accroıtre la marge de la tache.

D’autre part, si l’on reduit la duree d’un chemin critique et qu’il en reste un autrechemin critique non reduit, c’est ce second chemin qui continuera a determiner laduree du projet et sa duree sera inchangee.


No tache reduction max (jours) surcout par jour5 couverture 1 1206 maconnerie 3 1508 coulage dalle beton 1 1809 chauffage 1 200

Tableau 2.5: Reduction de la duree du projet

Illustrons ceci sur un exemple. On a la possibilite de reduire la duree de cer-taines tachesmoyennant un surcout par jour de reduction. Les taches sur lesquellesil est possible d’agir sont reprise au tableau 2.5.

On se pose la question suivante : comment reduire la duree du projet de deuxjours a cout total de reduction minimum ?

Examinons l’ordonnancement de la figure 2.10. Par application du principe1, on en deduit que seules les taches 6 et 9 sont interessantes. Ce sont, en effet, lesseules taches critiques parmi les quatre taches dont on peut reduire la duree.

On reduit 6 de 1 jour car cela coute moins cher. Le nouveau graphique estillustre a la figure 2.16. On voit que desormais il y a deux chemins critiques, a

543

21 1110

987

65

4

4

3

22

2

4

4

33

5100 5

9

9

11

11

12 15

13

342919

0

9

9 14

12 15

16

342919115

3

120

0

0

3

Figure 2.16: Reduction d’un jour de la duree du projet

savoir :

P1 = (1, 2, 3, 6, 9, 10, 11)

P2 = (1, 2, 7, 8, 9, 10, 11)

Par application du principe 2, il faut maintenant reduire simultanement lesdeux chemins critiques. On a le choix entre les deux strategies suivantes :

• reduire 9 de 1 jour au cout de 200;

Section 2.9. Programmation effective du projet 41

• reduire 8 et 6 de 1 jour au cout total 150 + 180 = 330.

On decide donc de reduire 9 d’un jour. Le nouveau graphique est illustre a lafigure 2.17

543

21 1110

987

65

4

4

3

22

2

3

4

33

5100 5

9

9

11

11

12 15

13

332818

0

9

9 13

12 15

15

332818115

2

0120

0

0

2

Figure 2.17: Reduction de la duree du projet de deux jours

On en conclut qu’a chaque reduction de duree d’une ou plusieurs taches, il fautrecalculer l’ordonnancement pour voir si de nouveaux chemins critiques n’appa-raissent pas.

2.9 Programmation effective du projet

L’existence de taches non critiques implique qu’il existe de multiples solutionsdonnant le meme temps total minimumde realisation du projet. La programmationdefinitive du projet s’effectuera en fonction des deux principes de prudence etd’economie :

• Le principe de prudence incite a programmer au plus tot les taches noncritiques pour que la programmation conduise a des marges totales lesplus grandes possibles pour absorber d’eventuels aleas dans l’execution destaches. Ce principe conduit parfois a qualifie de taches subcritiques lestaches de marge totale faible par rapport aux aleas susceptibles de se pro-duire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe encalculant, pour chaque tache, la probabilite d’etre critique. Ce qui peutconduire a definir comme subscritique une tache qui a au moins 90 % dechances d’etre critique.

• Le principe d’economie incite a programmer au plus tard les taches noncritiques. En effet, l’execution des taches necessite l’acquisition de certainesressources. Ainsi,


– si on engage des ressources humaines qui seront conservees a l’issuede l’execution de la tache, la programmation au plus tot genere desdepenses inutiles;

– si on achete des ressources materielles, il peut y avoir un cout d’op-portunite lie a un achat precoce (interets bancaires, par exemple). Lapreoccupation d’economie incitera donc aussi a programmer au plustard les taches non critiques.

Les points de vue de prudence et d’economie sont donc largement antinomiqueset le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent leprincipe d’economie prevaut pour une tache non critique. Dans la pratique, on ainteret a mutualiser les risques et donc a chercher a partir d’estimation de dureesplutot optimistes puis a :

• mettre un tampon entre la date de fin des taches sans descendant et la datede fin du projet. Ce tampon correspondant a la mutualisation des risques surles taches du chemin critique,

• a considerer chaque chemin non critique en mettant un tampon entre ledernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui estune tache critique, ce tampon correspondant a la mutualisation du risque duchemin non critique.

La figure 2.18 illustre les tampons dans le cas de l’exemple.

012

543

210 1110

987

65

4

4

3

22

2

4

5

33

5100 0 5

9

9

11

11

12 16

13

353020

0 0

10

9 15

13 16

17

353020115

Tampon 1

Tampon 2

Tampon 3

Figure 2.18: Graphe de la methode des potentiels

Section 2.10. Presentation des resultats 43

2.10 Presentation des resultats

Le graphe de la methode des potentiels est l’instrument privilegie pour le cal-cul le d’ordonnancement des taches. Une fois l’ordonnancement decide, il vautmieux transmettre les decisions prises sous forme d’un graphique de Gantt. Lediagramme de Gantt est l’outil classiquement utilise en gestion de production pourvisualiser l’utilisationdesmachines. Ainsi a la figure 2.19, on a visualise le passagede cinq lot de pieces sur deux machines successives.

machine B

5 1 3 4 2

machine A

1 2 3 4 5 Temps

5 1 3 4 2

Z!

Z

Figure 2.19: Diagramme de Gantt-Ateliers

En gestion de projets, le diagramme de Gantt est egalement caracterise par uneligne horizontale pour le tempsmais chaque ligne horizontale correspond cette foisa une tache. Les fleches correspondent cette fois a des relations d’anteriorite. Onobtient le diagramme a barres de la figure 2.20.

On a indique a la figure le nombre d’ouvriers necessaires a l’execution dechaque tache. On peut en deduire l’utilisation de la ressource travail en faisantune addition a chaque jour duprojet dunombred’ouvriers utilises par les differentestaches. On obtient alors le diagramme de charge de la figure 2.21.

2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives

On parle de contraintes disjonctives lorsque deux taches ne peuvent avoir lieuen meme temps sans que l’on puisse dire, a priori, laquelle doit etre effectueeavant l’autre. C’est le cas lorsque l’on partage une meme ressource non divisibleentre plusieurs taches. Considerons les taches i et j. On peut ecrire la relationd’exclusion sous la forme :

soit(

ti + di ≤ tj si i est realisee avant jtj + dj ≤ ti si j est realisee avant i (2.5)


5

4

3

11

10

9

8

7

6

2 3 ouv.

2

2

4

3 ouv.

2

2

1 ouv.

4 ouvriers

1 ouv.

0 5 9 11 13 16 20 30 35 Temps

1 ouv.1

Figure 2.20: Diagramme de Gantt-Taches (projet)

6

7

8

1

2

3

4

5

9

0 5 9 11 20 30 35 Temps

Ouvriers

13 1615

Figure 2.21: Diagramme de charge

Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives 45

Si on n’a qu’une seule contrainte disjonctive, on peut evidemment resoudredeux problemes d’ordonnancement : un ou l’on impose que i soit realisee avantj, l’autre ou l’on impose que j soit realisee avant i. Ensuite, on prend le tempsd’execution le plus court. Mais cettemethode d’enumeration explicite de toutes lespossibilites devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctivescroıt. On peut alors le resoudre le probleme grace au recours a la programmationen nombres entiers. Definissons la variable binaire yij , dont la valeur est 1 si latache i est realisee avant la tache j et 0 dans le cas contraire :

yij =

1 si la tache i est effectuee avant j,0 sinon

On remplacealors la conditiondedisjonction (2.5)par les contraintes suivantes :

ti + di ≤ tj + M(1− yij)tj + dj ≤ ti + Myij

yij ∈ {0, 1}(2.6)

ouM note une borne superieure sur la date de fin des travaux.Demontrons l’equivalence. Deux cas sont possibles pour la variable binaire :

1. Cas ou yij = 1 : dans ce cas, le systeme (2.6) devient :(

ti + di ≤ tjtj + dj ≤ ti + M

La premiere contrainte exprime donc que la tache i doit etre finie avant que necommence la tache j. La seconde contrainte est automatiquement satisfaite.

2. Cas yij = 0 : dans ce cas, le systeme (2.6) devient :(

ti + di ≤ tj + Mtj + dj ≤ ti

Lapremiere contrainte est automatiquementsatisfaite. La secondecontrainteexprime que la tache j doit etre finie avant que ne commence la tache i.

2.12 Cas de contraintes cumulatives

L’introduction de contraintes cumulatives (et disjonctives) est a peu pres inevitabledans la resolution de problemes reels de gestion de projets. On doit alors definir lecritere que l’on veut privilegier. Il en existe deux : le critere de la minimisation dela duree d’achevementduprojet et le critere de lissagede chargedes ressources.


2.12.1 Critere de minimisation de la duree d’achevement du projet

Si on cherche a minimiser la date d’achevement du projet tout en respectant lescontraintes d’anteriorite et les contraintes cumulatives, on parle alors de problemede nivellement. La resolution de tels problemes est generalement faite au moyend’heuristiques. D’un logiciel a l’autre, lamaniere de gerer la consommation d’uneressource peut etre differente.

Illustrons ceci sur l’exemple introductif. Supposons que la societe ne disposeque de 4 ouvriers pour effectuer le gros œuvre, c’est a dire les taches 6 (duree 5jours) et 8 (duree 3 jours) qui requierent respectivement la presence de 3 ouvrierspour 6 et de 2 ouvriers pour 8 (voir tableau 2.11).

Tache Duree Ressource necessaire

6 5 3 ouvriers

8 3 2 ouvriers

Tableau 2.6: Exemple de contrainte cumulative

Rappelons que la tache 6 est critique. Elle est programmee actuellement de11 a 16 tandis que la tache 8 n’est pas critique et sa programmation au plus tot vade 12 en 16. Sa date de debut au plus tard est de 13 puisqu’elle a une marge d’unjour.

Examinons brievement les solutions possibles :

1. La premiere solution consiste a relaxer la contrainte en mobilisant ponc-tuellement des ressources supplementaires en main d’œuvre. Ce cas estillustre a la figure 2.22. Le projet reste effectue en 35 jours.

Ouvriers

Jours

8

6

5

4

3

2

1

11 12 13 14 15 16 17 18

Figure 2.22: Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource

On n’a evidemment pas vraiment resolu le probleme.

Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives 47

2. La deuxieme solution consiste a programmer prioritairement les tachescritiques en considerant que le nombre d’ouvriers est fixe. Dans ce cas, latache non critique 8 est programmee aux jours 16 a 18, elle devient critiqueet le projet prend 3 jours de retard. Ce cas est illustre a la figure 2.23.

8

Ouvriers

Jours

6

5

4

3

2

1

11 12 13 14 15 16 17 18

Figure 2.23: Solution 2 : priorite a la tache critique

3. La troisieme solution consiste a partager de maniere fixe les ressourcesentre les taches, par exemple en affectant 3 ouvriers a la tache 6 (75 % dela ressource) et un ouvrier a la tache 8 (25 % de la ressource), ces valeursetant choisies par l’utilisateur du logiciel. La programmation reste celle dupremier cas, mais la tache 8 ne beneficiant que d’un seul ouvrier prendra 6jours a la place de 3. Dans ce cas, la tache non critique 8 est programmee du12 au 17eme jour, elle devient critique et le projet prend 2 jours de retard.Ce cas est illustre a la figure 2.24.

Ouvriers

Jours

8

6

5

4

3

2

1

11 12 13 14 15 16 17 18

Figure 2.24: Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6.

4. Laquatrieme solution consiste a considerer la quantite de travail par tache.Par exemple, pour la tache 8, il faut 6 jours-ouvriers de travail. On affecteen priorite les ressources a la tache critique et on regarde ce qui reste pour latache non critique. Durant les jours 12 a 15, on dispose d’un ouvrier, ensuite,


durant le jour 16, on utilise 2 ouvriers. Dans ce cas, la tache non critique 8est programmee du 12 au 16eme jour, elle devient critique et le projet prend1 jour de retard. Ce cas est illustre a la figure 2.25.

Ouvriers

Jours

8

6

5

4

3

2

1

11 12 13 14 15 16 17 18

8

Figure 2.25: Solution 4 : definir une tache par sa quantite totale de travail.

Cet exemple n’est pas exhaustif mais est illustratif des techniques possiblespour resoudre les conflits. Il attire aussi l’attention sur le fait que si les logicielsannoncent qu’ils permettent de gerer les ressources, on peut dans la pratique aboutira des solutions tres differentes en fonction de l’heuristique choisie dans le logiciel.

2.12.2 Critere de lissage de charge des ressources utilisees

Un ordonnancement de projet respectant les contraintes cumulatives et une dureeminimale donnee n’est generalement pas unique. D’autres ordonnancements abou-tissant a la meme duree minimale peuvent etre trouves. Le lissage est un processusde recherche d’un ordonnancement conduisant a une utilisation la plus regulierepossible des ressources. On cherche ainsi a araser certains pics de consommationde la ressource. Ce qui permet de diminuer le niveau de la ressource utilisee.

Diverses heuristiques ont ete concues pour ce faire.Nous verrons un exercice d’application (voir exercice 2.7) ou l’on veut rester

dans la limite de cinq ouvriers durant tous le chantier sauf dans une periode maxi-mumde quatre jours ou l’on autorise un depassement (en engageant des travailleursinterimaires durant cette courte periode). On determinera une solution respectantces contraintes cumulatives de maniere heuristique en jouant sur les marges destaches non critiques. Ainsi en ne programmant pas systematiquement les tachesnon critiques au plus tot, on peut agir sur le niveau d’utilisation de la ressourcesans augmenter la duree minimale du projet.


2.13 Exercices

2.1. Equipement d’un ensemble minier. L’equipement d’un ensemble miniercomporte les taches suivantes dont la duree est exprimee en trimestres.

No tache duree prealables1 Commande d’une piste 6 -2 Construction d’un port provisoire 3 -3 Commande de materiel portuaire 2 -4 Pose d’une voie ferree 4 25 Construction d’une cite administrative 7 26 Construction du port definitif 2 27 Construction de l’installation miniere 4 1 et 48 Equipement portuaire definitif 3 3 et 6

(a) Construire le graphe relatif a la methode du potentiel.(b) Calculer les dates de debut au plus tot, les dates de debut au plus tard.

Determiner le chemin critique.(c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tache 7 ne commence

pas avant 8 trimestres ? Recalculez les dates de debut au plus tot, lesdates de debut au plus tard.

(d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tache 8 necommence pas apres 4 trimestres ? Dites si le probleme reste soluble.

2.2. Constructiond’unbatiment. Considerons les differentes taches a effectuerpour construire un batiment. Elles sont reprises ci-dessous.

No tache duree prealables1 fondations 6 -2 murs 10 13 plomberie interieure 5 24 electricite 7 25 toit 6 26 plomberie exterieure 4 57 menuiserie 8 3 et 48 sols 4 79 peinture interieure 5 710 finitions interieures 6 8 et 911 peinture exterieure 9 612 finitions exterieures 2 11


(a) Tracez le graphe relatif a la methode du potentiel.(b) Calculez les dates de debut au plus tot, les marges et determinez le(s)

chemin(s) critique(s).(c) Les taches 9 (peinture interieure) et 11 (peinture exterieure) doivent etre

disjointes car effectuees par les memes ouvriers. Comment resoudrecette disjonction ? La date de fin des travaux est-elle affectee ?

2.3. Installation d’une cafeteria. Une societe a decide afin d’augmenter la mo-tivation de son personnel de remplacer la cantine actuelle par une cafeteriabeaucoup plus moderne. Le departement travaux a dresse la liste sui-vante des taches a effectuer avec une estimation de leurs durees et de leursequencement.

Code Tache Duree Prealables Personnel(semaines) requis

A Achat des materiaux de construction 12 - 3B Achat des equipements de la cafeteria 3 - 2C Intervention de l’architecte d’interieur 2 - 1D Nettoyage du site 3 - 3E Finalisation des plans 8 C et D 1F Preparation du site pour la construction 3 E 2G Construction de la cafeteria 2 A et F 5H Installation des sanitaires 4 G 2I Installation des equipements de cuisine 4 B et H 2J Peinture 2 B et H 2K Constitution du stock de la cafeteria 4 I et J 1L Embauche du personnel de la cafeteria 8 - 2M Entraınement du personnel 2 I et L 3

Tableau 2.7: Construction d’une cafetaria

(a) Classer les taches par niveaux.(b) Construire le graphede lamethodePERT correspondant a ceprobleme.(c) Determiner, sur le graphe de la sous-question 8b), le temps minimum

(en semaines) necessaire a la realisation du projet.(d) Donner dans un tableau, pour chaque tache, sa date de debut au plus

tot, sa marge totale et sa date de debut au plus tard.


(e) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.(f) Tracez le diagramme de Gantt correspondant au principe d’economie.(g) Tracer le diagramme donnant la charge (exprimee en nombre de per-

sonnes).(h) L’entreprise dispose au maximum de 6 personnes a affecter a ce projet.

Le projet peut-il etre realise dans le delai minimum determine en c) ?Si oui, indiquez comment on peut le faire.

(i) L’entreprise apprend la demission d’une des 6 personnes. Le projetpeut-il etre realise dans le delai minimum determine en c) en utilisantau maximum 5 personnes ? Justifier votre reponse

2.4. Construction d’un hangar. Le maıtre d’ouvrage d’une construction vientde faire l’inventaire, aupres des artisans, des taches qui conduisent a larealisation d’un hangar. Elle sont reprises dans le tableau ci-dessous avec laliste de leurs prealables.

Tache Duree Necessite la fin deA 4 C,G,LB 4 -C 5 B,HD 4 BE 16 B,G,LF 7 A,DG 2 DH 3 BI 3 JJ 3 G,LK 3 A,F,IL 2 B,C,H

On vous demande de concevoir la planification du projet de construction duhangar, l’objectif etant de construire le hangar le plus vite possible. Pourcela, on vous demande de realiser les operations suivantes :

(a) Classer les taches par niveaux.(b) Utiliser le classement des taches par niveaux pour construire le graphe

de la methode des potentiels representant la realisation de cet ouvrage.(c) Sur ce graphe, de determiner les dates de debuts au plus tot et au plus

tard des differentes taches.


(d) Calculer, pour chaque tache, la marges totale, la marge libre et la margeindependante.

(e) Donner le chemin critique.

2.5. Lancement d’un nouveau produit. Une entreprise decide de commercia-liser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaıtreles taches reprises au tableau 2.8 avec leur duree (en semaines) et leursprealables.

(a) Tracer le graphe correspondant a la methode PERT.(b) Calculez les dates de debut au plus tot, au plus tard, les marges et le

chemin critique.(c) L’entreprise voudrait reduire la duree totale d’execution des travaux.

Pour cela, il est possible de reduire la duree des taches 5 et 11 de uneou deux semaines au prix d’un cout supplementaire de 100 000 EUROpar semaine de reduction pour la tache 5 et de 200 000 EURO parsemaine pour la tache 11. De combien peut-on reduire la duree totaledes travaux et a quel cout ?

No tache duree prealables1 Selection des equipements 1 -2 Choix de la methode de production 2 13 Procedures de controle de qualite 2 24 Choix des matieres premieres 2 15 Reception des equipements 7 16 Commande des matieres premieres 1 47 Reception des matieres premieres 3 68 Essais de production 2 5,3 et 79 Premiere fourniture aux magasins 6 8 et 1110 Conception du conditionnement 4 111 Production du conditionnement 5 1012 Reunion des vendeurs 1 1113 Formation des vendeurs 1 12

Tableau 2.8: Lancement d’un nouveau produit

2.6. Construction d’une maison. Une societe de promotion immobiliere sou-haite realiser au plus vite la construction d’une maison individuelle. Lesprealables et les durees des differentes taches, evaluees en semaines, sontrepris au tableau 2.9.


(a) Construire le graphe de lamethode PERT correspondant a ce probleme.(b) Determiner, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en

semaines) necessaire a la realisation de la maison.

Code Tache Anteriorite Duree1 Excavation - 22 Fondations 1 43 Murs porteurs 2 104 Couverture 3 65 Plomberie exterieure 3 46 Electricite 3 77 Lambris exterieur 4 78 Peinture exterieure 5,7 99 Plomberie interieure 5 510 Platre 9,6 811 Revetement de sol 10 412 Peinture interieure 10 513 Finitions exterieures 8 214 Finitions interieures 11,12 6

Tableau 2.9: Construction d’une maison

(c) Calculer, pour chaque tache, la date de debut au plus tot, la marge et ladate de debut au plus tard.

(d) Determiner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.(e) La direction de l’entreprise, inquiete du delai de realisation de la mai-

son, voudrait reduire celui-ci de 2 semaines. On peut agir sur les tachesreprises au tableau 2.10.

Tache Reduction de duree possible Surcout par semaine4 1 ou 2 semaines 300

5 1 ou 2 semaines 800



Tableau 2.10: Reduction de la duree des taches

Que proposez-vous comme actions afin de reduire la duree du projetde deux semaines a cout minimum ?


2.7. Cas de contraintes cumulatives. On veut executer 7 taches soumises auxcontraintes de succession indiquees dans le tableau 2.11.

No prealables duree Main d’oeuvre1 - 6 32 - 3 23 - 6 14 2 2 15 2 4 36 4 et 1 3 37 3, 5 et 6 1 2

Tableau 2.11: Cas de contraintes cumulatives.

(a) Calculer les dates de debut au plus tot et au plus tard et determiner lechemin critique par la methode des potentiels.

(b) Presenter les resultats precedents en tracant un diagramme a barres.Tracer aussi la courbe de charge donnant l’evolution de la demande enmain d’œuvre en fonction du temps. L’effectif permanent de 5 ouvriersest-il suffisant ?

(c) On envisage l’embauche de travailleurs temporaires. Comment limi-ter a 4 semaines l’embauche de la main d’œuvre supplementaire sansallonger la duree totale d’execution des travaux ?

(d) Si on renonce a embaucher des travailleurs temporaires, de combienfaut-il allonger la duree des travaux pour respecter la contrainte demaind’œuvre ?

(e) On reprend le problemede la premiere question. Enplusdes contraintesinitiales, on veut que la tache 7 ne commence pas apres 8 semaines.Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte ?Que pensez-vous de cette nouvelle exigence ?

2.8. Construction d’une piscine. Une societe a recu la maıtrise de la const-ruction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Les dureesdes differentes taches, evaluees en jours sont reprises au tableau 2.12. Lestravaux debutent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte20 jours ouvrables.

(a) L’inauguration peut-elle avoir lieu comme prevu le 15 juin ?


Code Tache Anteriorite DureeA Excavation - 5B Fondations A 2C Pose canalisations B 4D Essai en pression C,G 8E Etancheite D 9F Mise en place de la station d’epuration A 6G Mise en place du chauffage F 5H Raccordement electricite G 4I Sonorisation sous-marine H 5J Dallage E,I 6K Construction vestiaires J 8L Construction du solarium J 2M Mise en eau K, L 3

Tableau 2.12: Construction d’une piscine.

(b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d’in-cidents techniques, cette operation durera 6 jours de plus que prevu.Sans recommencer le diagramme, determinez si cela influencera ledelai final.

(c) La direction du campus, inquiete quant au respect des delais, proposede se passer de la sonorisation sous-marine. Qu’en pensez-vous ?

2.9. Ordonnancement de projets. Un projet est constitue des taches 0, 1, 2, 3 et4. La tache 0 n’a pas de predecesseur et dure 2 semaines. La tache 1 succededirectement a la tache 0 et dure 5 semaines. La tache 2 succede directementa la tache 1 mais ne peut pas commencer avant la 10eme semaine. Elle dure5 semaines. La tache 3 succede directement a la tache 2 et dure 3 semaines.La tache 4 succede directement aux taches 2 et 3 mais doit commencer auplus tard 7 semaines apres le debut de la tache 2. Elle dure 2 semaines.

(a) Dessinez le graphique associant les taches aux sommets.(b) Ce projet est-il realisable ? Justifiez brievement.(c) Vous avez la possibilite d’allonger ou de reduire la duree des taches 1

et/ou 2 de une ou deux semaines, a un cout additionnel de 500 euro lasemaine et par tache. Et aussi d’allonger ou de reduire la duree destaches 3 et/ou 4 de une ou deux semaines, a un cout additionnel de1000 euro la semaine et par tache. Quelle solution proposez-vous afinde realiser le projet a un cout minimum ?


(d) Quelle est alors la duree totale du projet ?(e) Quelle(s) activite(s) n’appartiennent pas au chemin critique ?

2.10. Installation d’un systeme de depollution de l’air. Pour l’exercice 1.1,

(a) Classer ces taches par niveaux.(b) Construire le graphe de la methode potentiel.(c) Determiner sur ce graphe le temps minimum de realisation du projet.(d) Calculer les date de debut au plus tot, au plus tard et les marges.(e) Determiner le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probleme.(f) La direction de l’entreprise voudrait reduire celui-ci de 2 semaines acout minimum. On peut agir sur les taches suivantes :

Tache Reduction de duree possible Surcout par semaine

D 1 ou 2 semaines 300

E 1 ou 2 semaines 400

F 1 ou 2 semaines 500

G 1 ou 2 semaines 800

Que proposez-vous comme actions ? Quel est le cout correspondant ?Quel(s) est (sont) maintenant le(s) chemin(s) critique(s) ?

Chapitre 3

Analyse du projet

L’analyse du projet porte sur la definition du projet et se traduit concretement parune liste de taches avec leurs contraintes (anteriorite, disjonctives, cumulatives).

3.1 Definition du projet

La demarche souvent utilisee pour des projets de grande envergure consiste aanalyser le projet de maniere hierarchique. Souvent, on definit egalement,que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet.Nous verrons ensuite l’analyse du contenu precis des taches et de leur relationsd’anteriorite. Remarquez que ce travail de definition du projet peut representer lamoitie du temps de travail des gestionnaires du projet.

3.1.1 Structuration hierarchisee du projet

L’analyse d’un projet de type non repetitif d’une certaine envergure conduit aadopter une approche hierarchique de definition des taches a executer. Onva progressivement decomposer les taches en des sous-taches pour atteindre unplus grand niveau de detail. Le resultat de cette analyse est un organigrammetechnique tel que celui illustre a la figure 3.1.

Le principe est le suivant. A un niveau de detail k, on dispose de nk taches.Pour passer au niveau de detail inferieur k + 1, on examine chaque tache qui peutetre decomposee en un ensemble de sous-taches dont la reunion redonne la tachedu niveau superieur. Ceci conduit a un accroissement du nombre de taches avec leniveau, autrement dit :

nk+1 > nk

Remarquez qu’a ce niveau, on ne donne aucune information sur les relationsd’anteriorite entre taches. Ainsi dans l’organigramme de la figure 3.1, les fleches

57

58 Chapitre 3. Analyse du projet

Niveau 1 Tâche 2 Tâche 3

Niveau 2

Niveau 3

Tâche 1

Tâche 1.2Tâche1.1 Tâche 2.2Tâche 2.1 Tâche 3.2Tâche 3.1

Tâche1.1.1 Tâche1.1.2

Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3

Tâche 2.2.1

Tâche3.2.1

Tâche3.1.1


Tâche 2.1.1

Figure 3.1: Organigramme technique : top-down.

representent des relations d’inclusion et non des relations d’anteriorite.Le nombre de niveaux peut aller jusqu’a 6 dans les tres gros projets. Genera-

lement, on attribue un nom pour designer les taches d’un meme niveau. Ainsi :

• le niveau 1 correspond au programme,

• le niveau 2 correspond au projet,

• le niveau 3 correspond a la tache,

• le niveau 4 correspond a la sous-tache,

• le niveau 5 correspond au lot de travaux,

• le niveau 6 correspond au travail elementaire.

Quelques regles de bonne pratique sont a retenir dans l’etablissement de cetorganigramme technique :

• Les taches du dernier niveau ne doivent pas etre trop nombreuses : on selimite generalement a une centaine pour un projet. Le cabinet Arthur D.Little a ainsi pu montrer pour les programmes de la Defense aux Etats-Unisque l’exces de detail est un facteur accroissant le risque d’echec.

• Les taches ne doivent pas etre d’importance trop inegale que ce soit en termedu duree ou de consommation de ressources.

• Les taches doivent etre suffisamment homogenes pour les traiter comme uncentre de cout different : ainsi il doit y avoir unicite de responsabilite.

Section 3.1. Definition du projet 59

La technique que nous venons de presenter est appelee, pour une raison evidente,demarche descendante (ou top-down). On peut imaginer la demarche inversed’agregations successives qui est qualifiee de demarche ascendante (ou bottom-up). Cette demarche est illustree par le second organigramme (voir figure 3.2) oul’on est parti des memes taches de niveau 3 mais ou les regroupements de niveau2 et de niveau 1 sont differents.

Niveau 1 Tâche 2‘

Niveau 2

Niveau 3

Tâche 1‘

Tâche1.1‘ Tâche 2.2‘Tâche 2.1‘ Tâche 2.3‘


Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3

Tâche 2.2.1

Tâche3.2.1

Tâche3.1.1


Tâche 2.1.1

Figure 3.2: Organigramme technique : bottom-up.

On peut imaginer que dans la premiere organisation (voir figure 3.1), on aprivilegie la dimension technique tandis que dans la deuxieme organisation (voirfigure 3.2), on a privilegie la dimension organisationnelle (par exemple, la tache1’ correspond a un sous-traitant, la tache 2’ au maıtre d’œuvre.

Les taches du projet, definies pour un niveau donne, se caracterisent par des re-lations d’anteriorite qui conduisent a un graphe Potentiel-Taches pour ce niveau.Il y aura donc autant de graphes que de niveaux retenus par l’organigramme tech-nique. On illustre a la figure 3.3 l’effet de zoom que l’on a en passant d’un niveauau niveau superieur et montre que la transformation des relations d’anteriorite peuts’averer fort complexe en passant d’un niveau a l’autre.

Remarquez que si l’approche hierarchique (ou desagregative) des projets com-plexes est preconisee pour des raisons d’efficacite, du point de vue de l’ordon-nancement il n’y a pas equivalence entre les differents niveau. En effet, on peutmontrer que

• si dans la definition du projet considere comme un ensemble de sous-projets, on a une mauvaise definition des recouvrements possibles, l’ap-proche hierarchisee conduit a un allongement de la duree d’execution duprojet. La difficulte reside evidemment dans le fait qu’une bonne definitiondes recouvrements possibles necessite de repartir de la definition detaillee(le niveau le plus bas que l’on cherche justement a eviter).


Niveau 1 Tâche 2 Tâche 3

Niveau 2

Niveau 3

Tâche 1

Tâche 1.2Tâche1.1 Tâche 3.2Tâche 3.1

Tâche1.1.1

Tâche1.1.2

Tâche1.2.1

Tâche1.2.2

Tâche1.2.3

Tâche3.2.1Tâche3.1.1

Tâche3.2.2Tâche3.2.3

Tâche 2.1.1

Tâche 2.1

Figure 3.3: Trois graphes potentiels-taches correspondant aux 3 niveaux.

• l’approche hierarchique conduit a rendre inutilement critiques certainestaches. Pour eviter cet effet pervers, il faut egalement repartir de l’analysedu niveau de detail le plus fin.

3.1.2 Les phases du projet

Lesphasesduprojet correspondent a des groupes homogenes de taches s’achevantpar un jalon ou la bonnefind’un ensemblede taches est attestee. Nous allons definirles principales phases concernant :

• les cas de fabrication d’un equipement ou d’un ouvrage,

• le cas de la fabrication en serie,

Nous dirons ensuite un mot de l’ingenierie concourante dont le but est de luttercontre les effets nefastes de la division du projet en phases ainsi que des problemesspecifiques lies a la gestion simultanee de plusieurs projets.

Dans le cas de la fabrication d’un equipement ou d’un ouvrage, on distinguegeneralement les phases suivantes :

• L’avant-projet est une etude sommaire de l’ouvrage envisage permettantd’en definir les principales caracteristiques. Son but est de pouvoir prendrela decision de poursuivre ou abandonner le projet.

• La seconde phase est la reponse a l’appel d’offre consiste a elaborer demaniere detaillee l’offre que l’entreprise va faire. Les moyens consacres acette phase sont limites vu les risques generalement importants de ne pasobtenir le contrat.

Section 3.1. Definition du projet 61

• En cas de succes, on passe alors a la phase de lancement du projet oul’organisation est definie.

• On passe alors a l’etape suivi du projet afin de verifier que l’on respectebien les objectifs de delai et de cout.

• Enfin vient la phase de fin des travaux qui passe generalement par troisreceptions :

– L’etape d’acceptation mecanique constatant la fin des travaux a l’ex-ception de certaines finitions. On procede alors a la mise en route,phase durant laquelle on procede aux essais des fluides (air, eau,...) quiprecede l’etape de declaration de l’ouvrage en ordre de marche.

– La receptionprovisoire est un acte legalmaterialise par unproces verbalconstatant de maniere contradictoire avec le client que l’ouvrage peutetre accepte par le client car repondant aux obligations contractuellesdu maıtre d’ouvrage. Debute alors le delai de garantie.

– La reception definitive a lieu au bout du delai de garantie et degagedefinitivement la responsabilite du fournisseur.

Dans le cas de la fabrication en serie, on distingue generalement les phasessuivantes :

• La construction d’un prototype qui est un produit techniquement identiqueau produit en serie mais realise seulement en quelques exemplaires avec desressources (machines, operateurs) differentes de celles qui seront utiliseespour le produit en serie. L’objectif est de tester si les fonctionnalites duproduit repondent bien a l’utilisation envisagee. Ceci permet de remedier acertaines imperfections du produit constatees a cette etape.

• La preserie est un produit identique a celui qui sera produit en serie, realiseen quelques unites mais cette fois-ci a l’aide de ressources identiques a cellesqui seront utilisees en serie. Le but est cette fois-ci de tester le processusde production. Ce qui peut amener a modifier le produit ou le processus deproduction si certains problemes de fabrication sont constates a cette etape.

• Vient alors la phase d’industrialisation du produit qui consiste a lancer laproduction en serie.

• Elle est suivie par la phase production proprement dite qui consiste produirele produit a un haut niveau.


3.1.3 Utilite de l’ingenierie concourante

Le but de l’ingenierie concourante a pour but de lutter contre les effets nuisibles dudecoupage en phases du projet. En effet, le decoupage en phases conduit a associera chaque phase un ensemble de taches n’appartenant qu’a une seule phase. Ceci apour effet de rendre autonomes les taches appartenant a differentes phases et peutconduire a :

• des travaux additionnels lies a un manque de coordination technique,

• des durees d’execution inutilement longues.

Pour remedier a cela, on utilise les techniques d’ingenierie concourante quiconsiste a une integration systematique des activites de conception des produitset de conception de leurs gammes de fabrication et de maintenance durant leurduree de vie. Ceci a pour effet, non seulement d’ameliorer la qualite des produitsmais aussi de diminuer leur delai et leur cout.

Dans l’approche sequentielle classique (voir figure 3.4), les phases d’analysedes besoins, de definition du produit, de definition du processus de fabrication et defabrication du prototype se succedent. La solution optimale d’une phase devientune contrainte pour la phase suivante, ce qui conduit le plus souvent a une solutionglobalement sous-optimale.

Fabrication du prototype

Définition duproduit

Définition du processusde fabrication

Analyse desbesoins

Figure 3.4: Approche sequentielle classique.

Dans la realite, on a tout interet a accepter un recouvrement important deces phases pour avoir une retroaction permanente de la phase aval pour discuterdes repercutions sur la phase aval des decisions prises par la phase amont. Ceprocessus s’appelle overlapping problem solving et est illustre par la figure 3.5.

3.1.4 Gestion simultanee de plusieurs projets

Dans la pratique, souvent les entreprises ont a gerer simultanement plusieurs grosprojets, par exemple, la construction simultanee de plusieurs navires dans un chan-tier naval. Le partage de certains equipements techniques conduit a une certaineinterdependance des projets. Trois approches sont utiles dans la pratique pourresoudre les conflits ainsi generes :

Section 3.2. Definition technique des taches et de leurs relations 63

Fabrication du prototype

Définition duproduit

Définition du processusde fabrication

Analyse desbesoins

Figure 3.5: Overlapping problem solving.

• La premiere approche consiste a classer les projets et a programmer chaqueprojet dans cet ordre en tenant compte des ressources residuelles laisseespar les projets anterieurement programmes. C’est ce qui se passe dans laplupart des entreprises. Lors de l’arrivee de nouveaux projets, on considereque les ressources affectees aux projets deja en cours ne peuvent pas etreremises en cause.

• La deuxieme approche consiste periodiquement, lors de l’introduction d’unnouveau projet, a proceder a une reallocation des ressources entre les projets.On analysera ainsi l’interet de transferer des ressources d’un projet a l’autre.

• La troisieme approche consiste a considerer le probleme d’ordonnancementcomme un probleme global dont on cherche une solution tenant compte descontraintes cumulatives.

Il faut cependant veiller a ne pas remettre en cause sans cesse l’allocation desressources car cette instabilite peut perturber le fonctionnement des projets.

3.2 Definition technique des taches et de leurs relations

Afin de proceder a l’ordonnancement vu au chapitre 2, il convient de donner unedescription precise de chaque tache et d’identifier les relations entre taches.


3.2.1 Les relations entre taches

Nous avons vu au chapitre 2, que trois categories de relation entre taches peuventetre rencontrees :

1. les contraintes d’anteriorite qui disent qu’une tache ne peut commenceravant la fin d’une autre. Ces contraintes sont cependant a nuancer dans lecas d’un recouvrement partiel possible entre taches,

2. les contraintes de localisation temporelle qui disent qu’une tache ne peutcommencer avant une date donnee ou ne peut debuter apres une date donnee.Ces contraintes se compliquent s’il s’agit d’interdire l’execution de la tachedurant une periode donnee,

3. les contraintes disjonctives qui disent que deux taches ne peuvent etre exe-cutees en meme temps car faisant appel a la meme ressource,

4. les contraintes cumulatives qui tiennent compte du partage d’une ressourceentre plusieurs taches.

Nous allons maintenant dire un mot des contraintes genantes non prises encompte dans les logiciels :

• La relation ”ou”. Jusqu’a present, dans le cas de plusieurs ancetres (parexemple A et B sont ancetres de C), nous avons indique qu’il fallait quetous les ancetres soient finis avant de debuter la tache suivante (C ne peutcommencer que si A et B sont finies). Il arrive parfois qu’il suffise que Aou B soit terminee pour commencer C (si par exemple, C est une tachede controle qui peut commencer des qu’une des deux taches est finie). Lasolution simple a appliquer dans ce cas est de dire que le descendant peutcommencer au plus tot apres la date maximum des deux suivantes :

– la date la plus tardive des dates de fin au plus tot des ancetres aveclesquels le descendant est lie par une relation et (comme avant);

– la date la plus precoce de fin au plus tot des ancetres avec lesquels ledescendant est lie par une relation ou.

Le probleme se complique fortement si l’on passe d’une contrainte du typeachevement prealable d’un ancetre a achevement prealable de k ancetresparmi une liste de n ancetres avec bien sur k < n.Il est a remarquer que la prise en compte de relations du type ou n’etant pasprise en compte par les logiciels d’ordonnancement, cela oblige a certainesacrobaties : il faut faire appel a un recouvrement correctement calcule pourles taches a neutraliser.


• Le probleme des gammes alternatives est celui qui resulte du choix pos-sibles entre deux methodes de production, ce qui conduit a faire un ouexclusif non pas entre deux taches mais entre deux groupes de taches, cequi conduit a considerer deux chemins alternatifs dans le graphe comme lemontre la figure 3.6 ou l’on a le choix pour passer de l’activite A a l’activite

F

DB

A

C E

Figure 3.6: Gammes alternatives.

F a passer par les activites B et D, soit par les activites C et E, le choix finals’effectuant sur base de la minimisation de la duree du projet.A nouveau les logiciels ne permettent pas de tenir compte d’une telle con-trainte et il convient de construire deux graphes reprenant separement lesdeux alternatives en conservant celle de temps minimum.

• Les contraintes de temporisation maximale entre deux taches indiquentque la tache qui suit ne peut commencer apres un certain temps maximumapres la fin de l’ancetre. C’est le cas, par exemple, si on doit lisser une dallede beton avant qu’elle ne soit completement seche. Ce type de contrainte,facile a integrer dans le calcul de l’ordonnancement au plus tot ou au plustard, n’est egalement pas pris en compte dans les logiciels.

Terminons en disant un mot des formulations alternatives des contraintesde recouvrement. Le chevauchement ou recouvrement entre deux taches i etj telles que i est l’ancetre de j consiste a pouvoir debuter j avant que i ne soitachevee. Ce cas se rencontre lorsque l’analyse plus fine de la tache i conduit a undes des cas de figures suivants :

• La tache i est composee de taches elementaires differentes, les dernieresn’etant pas requises pour que j puisse debuter.

• La tache i et la tache j sont composees de taches elementaires executees ala suite les unes des autres qui ont ete regroupees en deux taches dans lalogique de proceder par lot. La relation d’anteriorite n’a vraiment de sensqu’entre une tache elementaire de i et une tache elementaire de j et, biensur, le regroupement en deux lots a pour effet d’augmenter artificiellementle temps du projet.


Vincent GIARD [2] remarque qu’il existe quatre possibilites de definir unerelation d’anteriorite entre deux taches et donc autant de facon de definir lerecouvrement. Nous reprenons ci-dessous uniquement la relation initiale qui estune relation entre le debut de l’ancetre et le debut du descendant. Ce cas est illustrea la figure 3.7 ou la tache i de duree 7 jours precede la tache j de duree 5 jours. Ily a un recouvrement possible de 3 jours. Le parametre d donne le decalage positif

= +4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps

i

j

d

Figure 3.7: Recouvrement : un exemple

entre la date de debut de l’ancetre et celle de debut du successeur :ti + 4 ≤ tj

Ce parametre se calcule comme la duree de la tache prealable moins la duree durecouvrement possible.

di = 7

i4

jdj = 5

i1, 4i2, 3

j,5

Methode Potentiel : Methode PERT :

Figure 3.8: Recouvrement : mise en œuvre

Pratiquement, on peut utiliser une des deux methodes suivantes pour tenircompte d’un recouvrement :

• Casde lamethodePotentiel. Soit, on indique la relationdebut-debut rappeleeci-dessous :

ti + 4 ≤ tj

Dans ce cas, il ne faut pas oublier de terminer la tache i avant la fin du projet.

• Cas de la methode PERT. Soit on decoupe la tache prealable i en deuxsous-taches i1 et i2. La premiere correspondra a la partie non communedes deux taches, soit 7 - 3 = 4 jours, tandis que la seconde correspondra ala partie commune des deux taches soit 3 jours. On indiquera les relationsd’anteriorite : i1 avant i2 et avant j.


3.2.2 Les caracteristiques de la tache

Chaque tache est identifiee par le role qu’elle a a jouer dans la bonne fin du projet,par un debut et une fin bien identifiee, et par le fait qu’elle consommedes ressourcesdisponibles en quantite limitee.

Disons un mot des hypotheses restrictives du modele classique.

• Dans lemodele classique d’ordonnancement au chapitre 2, on suppose quela duree de la tache, definie comme l’intervalle de temps separant sondebut d’execution de sa fin d’execution, comme invariante. Nous avonsdeja indique plus haut que cette hypothese n’est pas toujours verifiee. Si letemps total de realisation du projet est trop long, on peut raccourcir la dureede certaines taches critiques, moyennant un surcout.Le nouveau probleme pose est de trouver la combinaison d’actions a en-treprendre pour atteindre au moindre cout, la diminution voulue de la dureedu projet.

• Dans le modele classique, la duree d’une tache et le niveau d’utilisationdes ressources sont constants. Ce interdit donc de considerer les cas sui-vants :

– le cas de la cesure d’une tache, c’est-a-dire le fait de pouvoir inter-rompre et reprendre plus tard l’execution d’une tache,

– le cas de l’etirement d’une tache, c’est-a-dire le fait de pouvoir allongerla duree d’une tache. En effet, dans la plupart des cas, ce qui estimportant pour executer une tache ce n’est pas sa duree mais c’est letravail a executer. La duree dependra alors de la quantite de ressourcemise enœuvre (ainsi une tache demandant 15 journees de travail pourraetre executee en 15 jours avec un ouvrier ou en 5 jours avec troisouvriers).

– l’utilisation des ressources est constante dans le modele classique cequi exclut, par exemple, d’utiliser un ouvrier durant cinq jours puisdeux ouvriers durant les cinq jours suivants.

• Enfin, dans le modele classique, on considere que la duree des taches estcertaine. Le rejet de cette hypothese conduit a remplacer la duree cer-taine des taches par une duree aleatoire des taches. Nous reviendrons a ceprobleme dans le chapitre 5 consacre a la gestion du risque.


3.3 Le cout du projet

Tout projet genere des depenses ainsi que, pour certains d’entre eux, des recettes.Pour des projets internes comme le lancement d’un nouveau produit, il importe defaire l’analyse de ces flux de tresorerie sur une periode assez longue, de preferencesur une periode allant de la conception du produit a son retrait du marche. Ceciva nous amener a considerer la duree de vie des produits.

3.3.1 Analyse des couts sur la duree de vie d’un produit

En marketing, on considere classiquement une courbe de cycle de vie d’un produitcomme une courbe donnant en fonction du temps l’evolution des ventes du produit.On distingue generalement quatre phases :

• le lancement du produit

• la phase de croissance rapide,

• la maturite du produit,

• le declin du produit.

Nous allons maintenant voir les consequences financieres de la notion de cyclede vie du produit. Les couts du cycle de vie d’un produit correspondent al’ensemble des charges que devra supporter l’entreprise sur la duree de vie duproduit :

• les couts de recherche et developpement lies au developpement du nouveauproduit,

• les couts d’acquisition de ressources de production telle que l’achat desmachines, la formation du personnel,. . . etc

• les couts de production lies a la fabrication du produit

• les couts du service apres-vente comme la gestion du stock de pieces deta-ches, l’assistance, la documentation technique,. . .

• les couts de retrait du produit comme la purge des stocks.

Il y aura un arbitrage a faire entre ces differents couts. En effet, une dimi-nution des couts de recherche et developpement peut se traduire, par exemple, parun accroissement des couts de production ou des couts d’apres-vente.

Section 3.3. Le cout du projet 69

Il est important de faire la distinction entre les couts engages et les coutsdecaisses. Comme l’illustre la figure 3.9, avant meme la phase de productionplus de 80 % des couts du cycle de vie sont engages contre seulement 20 % descouts decaisses. C’est donc essentiellement au cours de la phase de recherche etdeveloppement que des gains substantiels de couts peuvent etre degages.

Recherche et Industrialisation Production tempsdéveloppement

Cumul des coûts engagés

Cumul des coûts décaissés

100 %

Figure 3.9: Cycle des couts engages et decaisses.

Il convient donc de passer d’une logique purement comptable de controle descouts decaisses a une logiquede conception a cout objectif, c’est a dire a demanderaux ingenieurs des bureaux d’etude de definir des produits et des processus defabrication sur base non seulement des specifications fonctionnelles du produitmais aussi en ayant en vue les futurs couts de production du produit.

Comme on peut le remarquer a la figure 3.10, les flux nets de tresorerie serontnegatifs durant la phase de developpement et d’industrialisation du produitpour devenir largement positifs lors de la phase de production. C’est le decalageclassique entre le cout d’investissement les benefices futurs attendus de l’investis-sement.

Production temps

Recherche IndustrialisationDéveloppement

flux de trésorerie

Figure 3.10: Flux nets de tresorerie


3.4 Analyse economique du projet

Le dossier d’investissement s’accompagne d’une etude economique chiffree de-crivant les consequences economiques du projet sous la forme d’un echeancierdes valeurs allant jusqu’a la fin de l’horizon economique retenu. Cette etude estsouvent qualifiee de bilan economique.

La comparaison de plusieurs projets d’investissement conduit a considererun indicateur synthetique. A cet egard, il est important d’introduire un facteurd’actualisationpour ramener a unememeperiode (generalement la periode initiale)l’ensembles des flux de tresorerie : on definit ainsi la VAN pour valeur actualiseenette.

3.4.1 L’appel a l’actualisation

Chacun des encaissements (correspondant a des flux de tresorerie positifs) oudes decaissements (correspondant a des flux de tresorerie negatifs) sont dates.L’actualisation permet de ramener toutes ces valeurs a une meme date afin depouvoir les comparer.

On peut plus facilement expliquer le principe de l’actualisation en considerantl’operation symetrique, a savoir la capitalisation. Lorsque la duree d’un placementexcede un an, il est d’usage que l’interet soit paye periodiquement (generalement,une fois l’an) et non en une seule fois. On peut alors replacer les interets durant laduree restante du pret.

Illustrons les choses par l’exemple d’une somme initiale

x0 = 1.000

placee a un taux d’interet de 5 % l’an. Apres un an, la somme, capital et interetss’eleve a :

x1 = 1.000 + 0, 05× 1.000 = 1.050

Apres deux ans, la somme s’eleve, capital et interets compris a :

x2 = 1.050× (1 + 0, 05)

= (1 + 0, 05)× (1 + 0, 05)× 1.000

En general, si les interets sont verses annuellement, une somme initiale de x0

placee durant un an a un taux d’interet i rapporte ix0. La somme disponible aubout d’un an est donc :

x1 = x0 + ix0 = (1 + i)x0

Section 3.4. Analyse economique du projet 71

Aubout de la deuxieme annee, la sommecapitalisee avec les interets de la deuxiemeannee est de :

x2 = x1 + ix1 = (1 + i)x1 = (1 + i)2x0

En utilisant le meme raisonnement, il est facile d’etablir la relation entre la sommeinitiale x0 et la somme capitalisee au bout de t annees :

xt = x0(1 + i)t (3.1)

Lorsque les interets sont aussitot et integralement replaces, on parle de placementa interets composes. On appelle la valeur future xt la valeur acquise. L’operationqui consiste a calculer xt a partir du capital initial x0 s’appelle la capitalisation,tandis que le coefficient (1 + i)t est appele coefficient de capitalisation.

Il est a remarquer que si l’on dispose de la somme initiale, de la somme capita-lisee et du nombre de periodes, on peut calculer l’interet par periode en resolvant(3.1) par rapport a i. On obtient :

i =µ

xn

x0

∂ 1n

− 1 (3.2)

A titre d’illustration, la capitalisation d’un investissement de 100 au bout de 2ans au taux annuel de 10 % rapporte :

10× 1, 12 = 121

Symetriquement, si l’on connaıt la valeur future xt et que l’on veut determinera quel capital initial elle correspond, on parle alors d’actualisation. Et doncl’actualisation de xt donne le capital au temps t = 0 de :

x0 =xt

(1 + i)t(3.3)

Le coefficient (1 + i)−t qui, multiplie a la valeur future xt, permet de retrouver lavaleur actuelle x0 est appele coefficient d’actualisation. On remarquera que lecoefficient d’actualisation est exactement l’inverse du coefficient de capitalisation.Remarquez que, en actualisation, on ne parle pas de taux d’interet imais plutot detaux d’actualisation α.

La figure 3.11 presente l’actualisation d’une somme future de 121 au bout de 2ans au taux d’actualisation 10 % l’an. On dispose donc de x2 = 121 et on cherchex0. On suppose donc un taux de 10 % l’an. On peut calculer successivement :

x1 =121

1, 1= 110

x0 =x1

1, 1=

110

1, 1= 100


0 1 2 temps

i = 10 %

-100 = -121/(1,1)

121

logiqued’actualisation

-2

Figure 3.11: Logique d’actualisation

On peut encore remarquer que :

x0 =x1

1, 1=

x2

1, 1× 1

1, 1

=x2

1, 12

justifiant la formule (3.3) ci-dessus.

3.4.2 Un exemple de choix de capacite

Nous allons illustrer l’utilite de la VAN sur un exemple de choix d’une capacitesur l’exemple tire de Mac Clain [5] d’une boulangerie industrielle qui fournit lessupermarches de sa region et qui s’attend a une croissance de la demande.

Les donnees numeriques sont les suivantes :

1. Modelisation de la demande : il y a incertitude sur la demande future duproduit. Si le succes du produit est important, une capacite supplementairede 5 000 unites par semaine sera necessaire pour un profit de 40 000 $par semaine hors frais d’amortissement du capital. Si le succes du produitest mitige, une capacite de 2 000 unites par semaine sera suffisante et lacompagnie fera un profit de 16 000 $ par semaine. La demande est connueau bout d’un an. On suppose que les benefices sont comptabilises en find’annee. Une annee comporte 52 semaines d’ouverture du magasin.


2. Donnees de cout d’investissement. Une capacite de 2 000 unites par semainepeut etre construite pour 800 000 $. Une capacite de 5 000 unites par semainepeut etre construite pour 1,5 millions de $. Une capacite de 2 000 peut etreetendue a une capacite de 5 000 pour 1 million de $. Les surcapacites sontsans valeur.

3. La duree de vie des equipements est de 20 ans.

4. Le facteur d’actualisation, necessaire car les profits sont repartis dans lefutur, est de 25 % l’an.

5. La probabilite de succes du lancement du produit est estimee a 20 % surbase d’experiences d’introduction d’autres produits.

Les differents choix possibles peuvent etre utilement illustres sur un arbre dedecision tel que celui de la figure 3.12. Un carre represente une decision. Un

construire 2000

haute demande

faible demande

haute

demande

faible demande

+3000

rester à 2000

constr

uire 5

000

ne rien construire

Investiss.1,500,000

1,500,000

800,000

800,000

800,000

0

Profit.40,000

16,000

16,000

16,000+24,000

16,000

0

+1,000,000

Figure 3.12: Arbre de decision

cercle represente un etat du monde.

Definition 3.1 On appelle valeur nette presente, la somme actualisee des profitsfuturs moins l’investissement initial.

Considerons la construction initiale de 5 000 en cas de demande forte. Cecas est illustre a la figure 3.13. La VAN se calcule donc comme suit :


FNt

0 1 2 3 . . . 20

40.000! 52

-1.500.000

t

Figure 3.13: Construction de 5 000 en cas de demande forte.

V AN =20X

t=1

40 000× 52

1, 25t− 1 500 000

= 40 000× 52×20X

t=1

√1

1, 25

!t

− 1 500 000

On peut demonter la formule suivante pour le calcul d’annuites :nX

t=1

µ1

1 + i

∂t

=

"1− (1 + i)−n

i

#

(3.4)

Appliquons ceci a notre exemple :20X

t=1

√1

1, 25

!t

=

"1− (1, 25)−20

0, 25

#

= 3, 953883

D’ou la valeur nette au bout d’un an de :

V AN = 40 000× 52× 3, 953883− 1 500 000 = 6 724 077.

Considerons maintenant la construction initiale de 5 000 en cas de demandefaible. La VAN se calcule comme suit :

V AN = (16 000× 52)×20X

t=1

√1

1, 25

!t

− 1 500 000 = 1 789 631.

Considerons maintenant la construction de 2000 en cas de demande haute etsans investissement supplementaire. La VAN se calcule comme suit :

V AN = (16 000× 52)×20X

t=1

√1

1, 25

!t

− 800 000 = 2 489 631.


Considerons la construction initiale de 2 000 augmentee de 3 000, en cas dedemande forte. L’investissement initial de 2 000 rapporte 16 000 $ durant 20 anset l’investissement de debut de 2eme annee rapporte un supplement de profit de24 000 durant 19 ans. Ce cas est illustre a la figure 3.14. La VAN au temps 1 de

FNt

0 1 2 3 . . . 20

40.000! 52

-1.000.000

t

-800.000

16.000! 52

Figure 3.14: Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte.

l’investissement supplementaire se calcule comme suit :

V AN1 = (24 000× 52)×19X

t=1

√1

1, 25

!t

− 1 000 000.

Appliquons la formule (3.4) a la somme des facteurs d’actualisation :19X

t=1

√1

1, 25

!t

=

"1− (1, 25)−19

0, 25

#

= 3, 942

On obtient donc une valeur nette au bout d’un an de l’investissement supplemen-taire :

V AN1 = 24 000× 52× 3, 942− 1 000 000

= 3 920 058.

Onen conclut que l’on a interet a faire l’investissementpuisque laValeurActualiseeNette est positive : on aura un return positif de l’investissement. Pour obtenir laVAN de ce cas, il faut ajouter la VAN de l’investissement initial de 2 000 quirapporte 16 000 durant 20 ans :

V AN0 = 3 920 0581

1, 25+ (16 000× 52)×

20X

t=1

√1

1, 25

!t

− 800 000

= 3 920 0581

1, 25+ 2 489 631 = 5 625 677.


Enfin, le cas d’une demande faible avec un investissement initial de 2 000 estidentique au cas de la construction intiale de 2 000 et d’une demande forte lorsquel’on reste a 2 000. Il a deja ete calcule plus haut.

Les resultats dans les differents cas sont resumes au tableau 3.1. On peut alors

Decision demande VAN

construire 5 000 forte 6 724 077

construire 5 000 faible 1 789 631

construire 2 000 + 3 000 forte 5 625 677

construire 2 000 faible 2 489 631

construire 0 forte 0

construire 0 faible 0

Tableau 3.1: Calcul de la VAN

calculer les profits esperes dans chacun des trois cas :

• Construire 5 000 :

E(V AN) = 0, 2× 6 724 077 + 0, 8× 1 789 631 = 2 776 520 $.

• Construire 2 000 :

E(V AN) = 0, 2× 5 625 677 + 0, 8× 2 489 631 = 3 116 840 $.

• Ne rien construire :E(V AN) = 0

En conclusion, il vaut mieux construire une petite capacite et etendre apres unan si necessaire. Remarquons que le resultat depend crucialement de la probabilitede succes du produit (voir exercice ci-dessous).


3.5 Exercices

3.1. Lancement d’un nouveau produit. Une societe met a l’etude le lancementd’un nouveau produit. Ce lancement necessite la realisation de 10 tachesreperees par les lettres A a J, et dont les caracteristiques sont donnees a latable 3.2.

tache duree ancetre(s) observationsA 7 C,F Recouvrement possible avec C

de 3 semainesB 3 D,H,GC 6 J Ne peut commencer avant

le debut de la 14eme semaine.D 3 -E 2 DF 5 J et IG 4 -H 5 -I 7 G et HJ 4 E et B

Tableau 3.2: Lancement d’un nouveau produit

(a) Etablir le graphique de la methode du potentiel.(b) Verifier sur le graphique que le probleme est soluble (expliquer suc-

cinctement pourquoi).(c) Calculer les dates de debut au plus tot, au plus tard, les marges.(d) Donner tous les chemins critiques.

tache coutC 10.000 EUROF 15.000 EUROB 5.000 EUROI 6.000 EURO

Tableau 3.3: Reduction possible de la duree

(e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la duree d’execution duprojet d’une semaine. Les taches sur lesquelles il est possible d’agirainsi que le cout correspondant a leur diminution de duree d’une se-maine sont donnes a la table 3.3. Que suggerez-vous ?


3.2. Planification d’un projet de telecommunications. La societe PTV veutmoderniser son reseau de teledistribution de chaınes privees. Le projets’articule selon les activites citees au tableau ci-dessous.

Activite Description Duree Antecedents(mois)

A Etude de marche 5 -B Developpement du materiel 6 AC Developpement des logiciels 5 (*)D Accreditation du materiel 3 BE Mise en œuvre du nouveau reseau 10 C,DF Arret de l’ancien reseau 2 (**)G Fin du support clientele 1 E, F

(*) : le developpement des logiciels (C) peut commencer 3 mois apres ledebut du developpement du materiel.(**) : L’arret de l’ancien reseau peut avoir lieu 6 mois apres le demarragede la mise en œuvre du nouveau reseau.

(a) Dessinez le graphique de la methode PERT.(b) Quelle est la duree minimale du projet ?(c) Quelles sont les activites critiques ?(d) Quel est le retard d’execution que chaque activite peut prendre sans

allonger la duree minimale du projet ?(e) L’administrateur desire reduire la duree du projet de 2 mois au moindre

cout. Les taches suivantes peuvent etre reduites de 2mois aumaximum,sachant que le cout de reduction d’un mois est respectivement pour A :350 euro ; C : 200 euro ; D : 100 euro ; F : 100 euro ; G : 400 euro.Que proposez-vous et quel est le cout de votre solution ?

3.3. Capitalisation a interet compose. On place une somme initialement dispo-nible de 20.000 euro a un taux annuel de 9 % pour une periode de 12 ans.Les interets sont reinvestis dans le capital.

(a) Calculer le capital disponible au bout de 12 annees.(b) Representer graphiquement l’operation de capitalisation.(c) Si l’on verse les interets mensuellement, quel devrait etre le taux men-

suel pour obtenir 9 % au bout d’un an ?


3.4. Calcul des Flux Nets de Tresorerie Actualises. Calculer la VAN d’uninvestissement dont l’echeancier est le suivant : -2.000 (investissement, etdonc decaissement) realise a la date 0, et de +1.000 de flux net de tresorerie(=benefice apres impot + amortissement) disponible a la fin de l’annee 1,+900 a la fin de l’annee 2, et +1.200 a la fin de l’annee 3, le taux d’actuali-sation etant de 5 %.

3.5. Choix d’une capacite. Pour les donnees d’investissement de la section 3.4.2mais avec une probabilite de succes du produit de 50 %,

(a) recalculer les esperances de valeurs actualisees nettes des deux inves-tissements possibles;

(b) expliquer pourquoi la decision optimale change;(c) determiner la probabilite pour laquelle la decision optimale change.

3.6. Ouverture d’un restaurant. Un independant envisage d’ouvrir un restau-rant dans le centre de Bruxelles. Il doit decider s’il ouvre un restaurant

• de 250 personnes (cout de l’investissement : 500 milliers d’euro),• de 500 personnes (cout de l’investissement : 1000 milliers d’euro),

En cas de succes (demande forte) le restaurant de 500 couverts est pleinementutilise et rapporte un benefice annuel de 200 (milliers d’euro). En cas dedemande faible, une capacite de 250 couverts est suffisante et rapporte unbenefice annuel de 100 (milliers d’euro). Le succes est connu au bout de lapremiere annee. Les benefices annuels sont comptabilises en fin d’annee.

• Au bout d’un an, si l’installation initiale comporte 500 couverts, l’inde-pendant peut reduire la capacite en revendant unepartie des installationspour 200 milliers d’euro.

• Au bout d’un an, si l’installation initiale comporte 250 couverts, l’inde-pendant peut agrandir son restaurant a 500 couverts avec un cout addi-tionnel de 700 milliers d’euro.

L’independant compte exploiter le restaurant pendant 20 ans. On neglige lavaleur des installations au bout de 20 ans. Le facteur d’actualisation est de10% l’an.

(a) On demande de dessiner l’arbre de decision relatif a ce probleme.(b) On demande de calculer la VAN dans chaque cas possible.(c) Sachant que la probabilite de succes (demande forte) a ete estimee a

55% sur base d’une etude marketing, on demande de calculer


• la VPN esperee si la premiere decision consiste a ouvrir un res-taurant de 500 couverts

• la VPN esperee si la premiere decision consiste a ouvrir un res-taurant de 250 couverts

(d) Etant donne les resultats ci-dessus, quelle decision initiale d’investis-sement prendra l’investisseur ?

3.7. Calcul des flux nets de tresorerie actualises. Une entreprise specialisee enmecanique etudie les consequences economiques du lancement d’un nou-veau produit en mars 2006 dont le cycle de vie est prevu sur quatre annees(2006 a 2009). Afin de produire le nouvel article, des etudes et des inves-tissements sont realises en 2005. Ils sont budgetise au 31/12/2005 pour unmontant de 5.500.00 euro. Le cout unitaire de fabrication est de 300 euro.On prevoit une decroissance de ce cout par rapport a l’annee precedentetelle que donnee en premiere ligne du tableau 3.4. Le marche est suppose

Annee 2006 2007 2008 2009

Coefficient de decroissance du cout 1 0,9 0,85 0,85

Coefficient d’evolution du marche 1 1,25 0,70 0,50

Evolution du prix de vente 500 500 450 400

Tableau 3.4: Donnees du probleme.

croıtre puis decroıtre. Le tableau 3.4 donne en deuxieme ligne le coefficientde variation du marche par rapport a l’annee precedente en annee pleine.En annee pleine, le marche est de 10.000 articles en 2006. Le tableau 3.4donne en troisieme ligne l’evolution du prix unitaire de vente qui est supposebaisser d’annee en annee.

(a) Calculer, annee par annee, les couts unitaires, les marges unitaires etle marche (sur base annuelle).

(b) Calculer, annee par annee, les flux nets de tresorerie en tenant comptedu fait que le produit n’est introduit sur le marche que le 1er mars2006 (pour simplifier, on considere que les ventes se repartissent uni-formement sur les 12 mois de l’annee).

(c) Sur base d’un facteur d’actualisation de 5 % l’an, calculer la sommedes flux nets actualises.

(d) Si on retarde de 3 mois la commercialisation du produit, quelle est laconsequence sur la somme des FNTA ?


3.8. Agrandissement d’une clinique. Une clinique privee, devant le manque delits disponibles et l’etroitesse de son terrain actuel a decide de construire unenouvelle implantation. Le projet de constructionde la nouvelle infrastructureest gere par projet. La direction a identifie 11 etapes pour mener a bien leprojet. Elle sont reprises au tableau ci-dessous avec une estimation de leursdurees et de leurs prealables.

Code Tache Duree Prealables(semaines)

A Selection du personnel medical et administratif 12 -B Selection du nouveau site 9 -C Selection des nouveaux equipements 10 AD Etablissement des plans finaux 10 BE Acheminement sur site des equipements 24 BF Interview du personnel pour son affectation 10 AG Achat des nouveaux equipements 35 CH Construction du nouveau batiment 40 DI Developpement du systeme informatique 15 AJ Installation des equipements 4 E,G,HK Entraınement du personnel 6 F,I,J

(a) Classer les taches par niveaux.(b) Construire le graphe de la methode potentielle correspondant.(c) Determiner le temps minimum pour realiser le projet.(d) Calculer, pour chaque tache, la date de debut au plus tot, lamarge totale,

la date de debut au plus tard, la marge libre et la marge independante.(e) Donner le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probleme.(f) On veut determiner la programmation des taches quiminimise le couttotal de realisation du projet. Les couts indirects du projet sontde 8.000 euro par semaine. En plus, une penalite de 20.000 europar semaine est due si la nouvelle clinique n’est pas construite en 65semaines. Les couts directs de realisation des taches sont donnes ci-dessous. On vous demande de calculer le cout de la reduction d’unesemaine de la duree de chacune des taches.

(g) En partant de la programmation determinee ci-dessus, determiner enreduisant progressivement la duree du projet, la duree des taches quipermet de realiser le projet a coutminimum. Pour information, il fautproceder enquatre etapes. Achaque etape, justifiez le choix de la (des)


activites dont on reduit la duree et donnez le nombre de semaines dereduction de la duree des taches, le(s) nouveau(x) chemin(s) critique(s)ainsi que les reductions de duree et de cout du projet.

Code Temps Cout Temps Cout du Reductionnormal normal min tmin maximum

A 12 12.000 11 13.000 1B 9 50.000 7 64.000 2C 10 4.000 5 7.000 5D 10 16.000 8 20.000 2E 24 120.000 14 200.000 10F 10 10.000 6 16.000 4G 35 500.000 25 530.000 10H 40 1.200.000 35 1.260.000 5I 15 40.000 10 52.500 5J 4 10.000 1 13.000 3K 6 30.000 5 34.000 1Total 1.992.000 2.209.500

3.9. Choix d’investissement pour l’installation d’une cafeteria. La directionde l’entreprise, doit maintenant decider de son plan d’investissement dansles equipements de cuisine. Deux solutions s’offrent a elle :

Solution 1 : achat. L’entreprise peut acheter l’equipement de cuisine pourun investissement initial de 45.000 euro. Ce cout comprend un contratde maintenance pour l’annee 1. A la fin de chaque annee, on sous-crit alors un contrat de maintenance d’un montant de 2.500 euro quiprolonge la garantie d’un an. Au bout des 5 annees, l’equipement estobsolete et sa valeur de revente est de 1.000 euro.

Solution 2 : leasing. Dans le cas d’un leasing du materiel sur cinq annees,l’entreprise paie chaque annee, en debut d’annee une somme de 12.000euro. La societe de leasing recupere son materiel au bout des cinqannees.

(a) Calculer, pour chacune des deux solutions, les flux nets de tresoreriepar annee.

(b) Sachant que le groupe utilise un taux d’actualisation de son capital de10 % l’an, quelle solution conseillez-vous a la societe ? Donnez ledetail de vos calculs.

Chapitre 4

Le suivi du projet

4.1 Introduction

Au chapitre 1, nous avions introduit les trois categories possibles d’objectif engestion de projets. En cours d’execution du projet, il convient de suivre chacun deces objectifs. Il faut donc proceder au :

• suivi des delais,

• suivi budgetaire,

• suivi de la qualite.

Nous allons nous concentrer dans ce chapitre sur les deux premiers points.Pour un bon suivi des projets, la collecte des informations est un element

crucial. Leur collecte a intervalles reguliers (dependant de la longueur du pro-jet) permet de detecter des derives et d’entamer des actions correctrices. Deuxelements importants sont donc a considerer :

• la rapidite d’obtention de l’information,

• la qualite de l’information obtenue.

Une information trop tardive peut amener des actions correctrices plus couteuseset une information erronee peut amener a prendre de mauvaises decisions.

4.2 Le suivi de la programmation

Les logiciels commerciaux permettent tous un suivi detaille de l’execution destaches. Acette fin, l’assistant du controleur de projet saisi demaniere informatique

83

84 Chapitre 4. Le suivi du projet

la date de debut reel et la date de fin observee de chaque tache. En cas d’ecart parrapport au previsionnel (retard ou avance dans le debut ou la fin d’une tache), lelogiciel recalcule automatiquement l’ordonnancement des taches non executees.

Nous avions vu au chapitre 2, la maniere de presenter les resultats de l’or-donnancement sous forme d’un diagramme de Gantt ou chaque ligne horizontalecorrespond a une tache. Le meme graphique peut etre utilise pour le suivi duprojet. Pour chaque tache on reprend dans sa ligne, le previsionnel et le realiseen utilisant par exemple des couleurs differentes (voir figure 4.1). Les differencesapparaissent alors facilement.

Tâche 1 Temps0 5 10 15 20 25 30 35 37

Tâche 7

Tâche 3

Tâche 6

Tâche 4

Tâche 8

Tâche 9

Tâche 5

Tâche 10

Tâche 2

Tâche 11

prévu réalisé

t = 22!d = 0 !f,d = 35

!f,22 = 37

Figure 4.1: Le suivi d’execution des taches

Si le suivi detaille des taches permet de detecter les retards et de prendreles actions correctrices (par exemple, en augmentant les moyens consacres a unetache), la masse d’informations empeche parfois un diagnostic global.

La solution pour un controle global de l’execution du projet est de sommerdes donnees appartenant a des taches differentes. A cet egard, un bon indicateurest la valorisation des ressources consommees par un ensemble de taches que l’oncomparera avec la valeur de reference pour voir si globalement le projet a pris duretard ou non.

Section 4.3. Le suivi des couts 85

4.3 Le suivi des couts

Le suivi des couts impliqueque lors de l’analysedu projet, on ait fait une evaluationdes couts des taches. On peut alors sur base de la constatation des ressourcesconsommees et du cout unitaire de ces ressources, proceder a l’evaluation descouts encourus.

4.3.1 Les donnees de references

Classiquement en controle de gestion, on part des donnees de references pouranalyser ce qui a ete execute.

Ainsi, on definit le budget initial comme celui defini a la date de lancement duprojet que nous noterons τd. On ajoute en general aux charges initialement prevuespour l’execution des taches, une provision pour faire face aux imprevus. Il s’agitd’une assurance groupee qui est plus efficace qu’un saupoudrage des moyens achacune des taches (car generalement les reliquats ne sont pas restitues a la find’execution d’une tache).

Definition 4.1 On appelle budget a date le budget initialement prevu du projet.

En plus de ce budget initial, on definit un echeancier de la consommation dece budget (voir figure 4.2). Comme une tache met un certain temps a etre realisee,il se pose le probleme de savoir comment repartir dans le temps la consommationde moyens financiers par la tache. On distingue trois solutions possibles :

• la repartition uniforme du cout de la tache durant toute sa duree d’execution,

• la repartition de la depense durant son execution au prorata de la consom-mation des ressources (si la consommationdes ressources n’est pas constantedurant l’execution de la tache, cela donnera un resultat different),

• l’imputation de la moitie du cout au debut d’execution de la tache et du soldea la fin.

La derniere solution conduit evidemment a une courbe plus heurtee.

4.3.2 Les donnees revisees a date t

Considerons maintenant une date ulterieure t comprise entre les dates de debut duprojet et la date de fin prevue initialement du projet :

τd ≤ t ≤ τf,d


Retardfinal

prévu en t

Dat

e de

déb

ut d

u pr

ojet

Prévision de consommation debudget à date, définie à la date

!d !f,d !f,tt

Dat

e co

uran

te

Dat

e in

itial

emen

t pré

vue

de fi

n

Dat

e de

fin

prév

ue e

n t

Budget à date

Coût prévisionnel réestimé en date t

Ecart sur budget

!d

Figure 4.2: Le suivi des couts


A cette date, un certain nombre d’evenements se sont produits conduisant a reviserofficiellement certains objectifs de delai et de couts. Ainsi, on va modifier :

• la date finale du projet est revisee de τf,d, la date initialement prevue, en τf,t

qui est maintenant l’objectif de delai considere comme realiste (voir figure4.2 ou est indique le retard previsionnel a date t);

• le cout previsionnel reestime a date t est generalement plus eleve que lebudget a date car tenant compte des nouveaux elements apparus depuisla derniere revision du budget (voir figure 4.2 ou est indique l’ecart finalprevisionnel a date t sur le budget);

• l’echeancier des consommations previsionnelles du budget est revise.

4.3.3 Les grandeurs a comparer

A la date t, un certain nombre de taches ont ete effectuees en totalite ou partielle-ment. Ce qui se traduit par un cout encouru illustre a la figure 4.3.

Definition 4.2 Le cout encouru est definit comme le cout reel du travail effectueou CRTE a la date t.

Si l’on avait travaille en conformite avec le budget a date, les travaux qui auraientdu etre realises a la date t auraient depense le budget encouru.

Definition 4.3 On appelle budget encouru a la date t le cout budgete du travailprevu pour cette date ou encore CBTP.

La difference entre le budget encouru (ce qui est prevu) et le cout encouru(le cout realise) a une double origine :

• un effet quantite du aux ecarts de planning : le travail effectue est en avanceou en retard par rapport aux previsions;

• un effet prix : la valeur des facteurs consommes est differente de la valeurprevue a cause :

– d’une difference de quantite de facteurs utilises (amelioration ou plusgeneralement degradation de la productivite);

– d’unedifferencedeprixunitaires (prixunitaires superieursou inferieursa ceux des previsions).


Pour mettre en evidence les differents effets, l’idee est de comparer ce quiest prevu (budget encouru) et ce qui est realise (cout encouru) a une troisiemegrandeur la valeur theorique des travaux executes qui doit etre :

• comparable au cout encouru, parce qu’adoptant la meme hypothese d’avan-cement de planning (memes taches achevees ou en cours);

• comparable au budget encouru, parce qu’adoptant la meme hypothese devaleurs des ressources consommees (pas de derive de cout des taches).

Definition 4.4 Le cout budgete du travail effectue (ou CBTE) s’obtient tout sim-plement en valorisant les taches effectuees aux couts prevus dans le budget a date.

Ces differents valeurs sont illustrees a la figure 4.3 ou le cas decrit est parti-culierement defavorable puisque :

• le budget encouru (ou cout budgete du travail prevu) est superieur a la valeurbudgetaire du realise;

• le budget encouru est inferieur au cout encouru (ou cout reel du travaileffectue).

Ce cout budgete du travail realise est compare au budget encouru pour deter-miner l’ecart de planning et au cout encouru pour determiner l’ecart de cout.

4.3.4 Analyse de l’ecart de planning

On compare donc ici le cout budgete du travail realise et le budget encouru, c’est-a-dire le cout budgete du travail initialement prevu. Ils sont valorises aumeme coutd’utilisation des ressources. La difference des ces deux valeurs correspond doncuniquement a une difference de planning. Ainsi, on definit l’ecart de planningcomme la difference entre le cout budgete du travail realise et le budget encouru :

EP = CBTE - CBTP

L’analyse de cet ecart conduit a dire que :

• Si le cout budgete du travail effectue est superieur au budget encouru (ecartpositif), les realisations du projet sont en avance par rapport aux previsions;

• si le cout budgete du travail effectue est inferieur au budget encouru (ecartnegatif), les realisations du projet sont en retard par rapport aux previsions.


Retardfinal

prévu en t

Dat

e de

déb

ut d

u pr

ojet

Prévision de consommation debudget à date, définie à la date

Dat

e co

uran

te

Dat

e in

itial

emen

t pré

vue

de fi

n

Dat

e de

fin

prév

ue e

n t

Budget à date

Coût prévisionnel réestimé en date t

Ecart final prévisionnel à la date tou écart sur budget

Prévision de consommation debudget à date, définie à la date t

Estimation du coût prévisionneldéfinie à la date t

Coût Réel du Travail Effectuéou Coût encouru

!d !f,d !f,tt

!dCoût Budgété du Travail Prévuou Budget encouru

Coût Budgété du Travail Effectuéou valeur budgétaire du réalisé

"

Retardconstaté

à la date t

Figure 4.3: Les ecarts de cout


On peut definir l’ecart de planning relatif comme l’ecart de planning divisepar le budget encouru :

EPR =CBTE - CBTP

CBTP

Une autre approche possible pour l’ecart de planning consiste a determinersur la courbe previsionnelle du budget encouru, la date θ qui est celle a laquelleon avait prevu d’atteindre la consommation budgetaire correspondant a la valeurdu cout budgete du travail effectue a la date t. L’analyse est egalement simple :

• une difference (t− θ) positive correspond a un retard dans le planning,

• une difference (t− θ) negative correspond a une avance dans le planning.

4.3.5 Analyse de l’ecart de cout

On compare donc ici le cout budgete du travail effectue et le cout encouru, c’est-a-dire le cout reel du travail effectue. Ils ont donc en commun la meme hypothesed’avancement des travaux. La difference des ces deux valeurs correspond doncuniquement a une difference de cout (entre le cout reel et le cout prevu). Ainsi, ondefinit l’ecart de cout comme la difference entre le cout budgete du travail realiseet le cout encouru :

EC = CBTE - CRTE

Cette difference qui a donc pour origine uniquement des variations de cout derealisation des taches peut s’expliquer par :

• des variations de consommations de ressources utilises;

• des variations de cout unitaire de ces ressources.


• si le cout budgete du travail effectue est inferieur au cout encouru (ecart decout negatif), les realisations du projet ont coute plus cher que prevu; onest en presence d’un risque de depassement budgetaire si l’on ne peut pascompenser par des economies ulterieures;

• si le cout budgete du travail effectue est superieur au cout encouru (ecart decout positif), les realisations du projet ont coute moins cher que prevu; ona donc plus de chance de tenir l’enveloppe budgetaire initiale.


4.4 Exercices

4.1. Cas de l’entreprise BURBOX. Pour le projet de l’entreprise BURBOXintroduit au chapitre 1 (voir exercice 1.2), on demande :

(a) Etablir le classement des taches par niveaux.(b) De construire le graphe du potentiel, d’y calculer les dates au plus tot,

plus tard et les marges totales.(c) D’indiquer la date d’inauguration au plus tot.(d) De proposer une programmation effective repondant (sauf indication

contraire de l’enonce) au principe de prudence, en tenant compte dufait que la semaine comporte 5 jours de travail et que les 14 juillet,premier et 11 novembre sont feries (voir tableau 4.1).

(e) D’etablir l’evolution de la consommation previsionnelle du budget duprojet.

(f) Le projet a commence conformement aux previsions. Au premierseptembre, les informations disponibles sur le bon deroulement duprojet sont les suivantes :• la tache de demolition a ete effectuee en 11 jours du 15 au 29 juin;• les formalites administratives ont pu etre bouclees en 20 jours du15 juin au 10 juillet;

• le terrassement a porte sur 5.500 m3 et a ete effectue du 13 au 17juillet;

• les fondations ont coute 420.000 euro et ont ete executees du 20juillet au 7 aout (15 jours):

• suite a un retard d’execution, le deuxieme acompte du gros œuvrea ete verse le 26 aout, ces 2 jours de retard ne peuvent etre rattrapeset se repercutent sur le debut de la seconde tranche du gros œuvreet celle de la toiture.

Sachant que la seconde tranche de gros œuvre debute le premier sep-tembre, il vous est demande d’etablir la consommation budgetaire ef-fective a cette date (ou le cout encouru).

(g) Pour eliminer l’incidence des ecarts de planning et evaluer correcte-ment la derive de cout du projet, calculer la consommation budgetairetheorique si les couts avaient ete ceux initialement prevus (valeurbudgetaire du realise). En deduire la derive de cout au premier sep-tembre.


N˚ Lundi N˚ Mardi N˚ Mercredi N˚ Jeudi N˚ Vendredi

1 15-juin 2 16-juin 3 17-juin 4 18-juin 5 19-juin

6 22-juin 7 23-juin 8 24-juin 9 25-juin 10 26-juin

11 29-juin 12 30-juin 13 1-juil 14 2-juil 15 3-juil

16 6-juil 17 7-juil 18 8-juil 19 9-juil 20 10-juil

21 13-juil - 14-juil 22 15-juil 23 16-juil 24 17-juil



35 3-aou 36 4-aou 37 5-aou 38 6-aou 39 7-aou




55 31-aou 56 1-sep 57 2-sep 58 3-sep 59 4-sep

60 7-sep 61 8-sep 62 9-sep 63 10-sep 64 11-sep



75 28-sep 76 29-sep 77 30-sep 78 1-oct 79 2-oct

80 5-oct 81 6-oct 82 7-oct 83 8-oct 84 9-oct




100 2-nov 101 3-nov 102 4-nov 103 5-nov 104 6-nov

105 9-nov 106 10-nov - 11-nov 107 12-nov 108 13-nov



Tableau 4.1: Calendrier


4.2. Budgetde lancementd’unnouveauproduit. Une societe prepare le budgetdu lancement d’un nouveau produit sur lemarche. Le tableau suivant indiqueles taches du projet avec leurs durees (donnees en jours) et leurs prealables.

Code Tache Duree PrealablesA Estimation du volume des ventes 5 -B Etude complete du marche 6 -C Design du produit 3 AD Planification de la production 8 AE Estimation du cout du produit 2 B et CF Determination du prix de vente 11 B et CG Lancement de la publicite 1 DH Preparation du budget 12 D et E

Tableau 4.2: Budget de lancement d’un nouveau produit

(a) Construire le graphede lamethodePERT correspondant a ceprobleme.(b) Determiner, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en

jours) necessaire a la realisation du projet.(c) Calculer, pour chaque tache, sa date de debut au plus tot, sa marge

totale, sa date de debut au plus tard et sa marge libre.(d) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.(e) Tracez le diagramme de Gantt correspondant a la programmation des

differentes taches du projet respectant le principe de precaution.

Code di Cout ImputeA 5 500 50 % au debut, 50 % a la finB 6 700 a la finC 3 300 a la finD 8 1 200 a la finE 2 250 au debutF 11 1500 50 % au debut, 50 % a la finG 1 100 a la finH 12 800 le eme jour

Tableau 4.3: Etablissement du budget


(f) Cout budgete du travail prevu. Nous allonsmaintenant etablir le budgetprevisionnelpour ce projet. Le tableau4.3 reprend le cout de realisationde chacune des taches du projet et le moment ou ce cout est impute aubudget. On vous demande d’etablir le budget previsionnel du projetainsi que l’echeancier des depenses prevues en remplissant un tableaudu type suivant :

Cout budgete du travail prevuJour Tache et moment Montant Cumul

(g) Cout reel du travail effectue. Le projet a debute. La tache A a eterealisee en 5 jours au cout de 600. La tache B a ete realisee en un jourdemoins que prevu au cout prevu. La tacheC a dure un jour de plus queprevu et a coute 300. La tache D a dure 10 jours et a eu un depassementbudgetaire de 200. La tache E a ete effectuee en deux jours au cout de250. La tache F vient de debuter. On vous demande d’etablir le coutreel du travail effectue le 10eme jour au soir en remplissant un tableaudu meme type que ci-dessus. En cas de depassement budgetaire, c’esta la fin de la tache que l’on impute le surcout.

(h) Cout budgete du travail effectue. Afin de separer l’ecart de cout del’ecart deplanning, calculer le cout budgete du travail effectue le 10emejour au soir en remplissant un tableau du meme type que ci-dessus.

(i) Calculer l’ecart absolu de cout. Comment interpretez-vous son signe?(j) Calculer l’ecart absolu de planning. Comment interpretez-vous sonsigne ?

Chapitre 5

La prise en compte du risque

5.1 Introduction

On definit le risque comme etant la possibilite que le projet ne s’execute pasconformement aux previsions de date d’achevement, de cout ou de qualite, cesecarts par rapport aux previsions etant consideres comme inacceptables.

Le traitement des risques est lie a chaque categorique d’objectif :

• L’analyse du risque de depassement du cout du projet s’effectue en coursd’execution du projet en utilisant les techniques de controles de gestionpresentees au chapitre 4. Mais cette analyse du risque peut egalement etrefaite lors de la phase de definition du projet. Nous verrons deux typesd’approches pour l’analyse de ce risque : l’approche quantitative du risqueet l’approche qualitative du risque.

• L’analyse du risque de non respect des delais est classiquement abordee encours d’execution du projet en utilisant les techniques de suivi de planningpresentees au chapitre 4. Nous completerons cesmethodes par une approchequantitative du risque.

• L’analyse du risque de non respect des performances releve des sciencesde l’ingenieur et ne sera pas consideree ici.

Nous verrons deux familles d’approches utilisees pour maıtriser les risques :

• l’approche quantitative, qui repose sur une vision stochastique du proble-me, vise a quantifier la dispersion de la realisation des objectifs de cout etde duree,

• l’approche qualitative, qui repose sur l’intuition et la connaissance del’entreprise, vise a permettre des diagnostics rapides au moyen de listes decontrole.

95

96 Chapitre 5. La prise en compte du risque

5.2 L’approche quantitative du risque

Les deux risques fondamentaux auxquels il faut faire face dans la gestion d’unprojet sont :

• le risque de ne pas tenir les delais,

• le risque de depassement budgetaire.

5.2.1 Distribution statistique de la duree d’une tache

Dans l’approche quantitative classique du risque delai, on remplace la dureed’execution des taches par une variable aleatoire. Le responsable de l’executiond’une tache est bien sur incapable de donner la loi de probabilite de cette variableainsi que la valeur de ses parametres.

Il existe deux methodes pour obtenir cette distribution :

• Dans l’approche empirique, on pose au responsable de l’execution de latache, des questions du type : ”Quelle est la probabilite pour que la tachemette plus de x jours ?” en prenant des valeurs croissantes de x. On obtientalors directement une fonction de repartition de la duree d’execution de latache.

• Dans l’approche theorique, on privilegie une distribution statistique don-nee. Le cas le plus simple est celui de la distribution uniforme. Troisautres distributions statistiques sont souvent utilisees : la distributionBeta, ladistributionnormale et ladistribution triangulaire. Ceci n’evite evidemmentpas l’ecueil de devoir recueillir aupres des operationnels les parametres dela distribution par un jeu de questions simples.

La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre lavaleur minimale A et la valeur maximale B sont equiprobables. Si l’on note X lavariable aleatoire, il est facile de voir (voir figure 5.1) que :

• sa fonction de densite de probabilite f(x) est donnee par (cas continu) :

f(x) =1

B −A(5.1)

• sa fonction de repartition F (X < x) est donnee par (cas continu) :

F (X < x) =x−A

B −A(5.2)

avec bien sur F (X < A) = 0

Section 5.2. L’approche quantitative du risque 97

Fonction de densite de probabilite

x

f(x)

A B

1

B A

1

0

Fonction de repartition

F (X < x)

xA B

Figure 5.1: Distribution uniforme de probabilite


La distribution Beta (voir figure 5.2) est une distribution unimodale qui :

• a une fonction de repartition telle que F (X < A) = 0 et F (X > B) = 1,

• a une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =(x−A)α(B − x)∞

(B −A)α+∞+1Z 1

0tα(1− t)∞dt

(5.3)

• a une esperance mathematique E(X) donnee par :

E(X) = A + (B −A)α + 1

α + ∞ + 2(5.4)

• a une variance V (X) donnee par :

V (X) =(B −A)2(α + 1)(∞ + 1)

(α + ∞ + 3)(α + ∞ + 2)2(5.5)

• et a un mode M0 donne par :

M0 =A∞ + Bα

α + ∞(5.6)

x

f(x)

A BM0

Figure 5.2: Distribution Beta de probabilite

La connaissancedeA ,B,α et ∞ specifie totalement la loi. S’il est facile d’identifierA et B, il est impossible de recueillir directement aupres des operationnels lesvaleurs de α et ∞.

Onpeut remarquerque la connaissancedeA,B,E(X) etM0 specifie egalementtotalement la loi. En effet, les relations permettant de calculer E(X) et M0

definissent un systeme de deux equations en deux inconnues (α et ∞).


Cependant, il est difficile pour un praticien d’identifier la difference entre lemode et la moyenne.

La distribution Normale (voir figure 5.3) est une distribution unimodale qui :

• a une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =1

σ√

2π· e−

≥x− µσ

¥2

/2(5.7)

• a une fonction de repartition donnant P (X < xα) donnee par :

P (X < xα) =1

σ√

2π

Z xα

−1e−≥x− µ

σ¥2

/2dx = α (5.8)

x

f(x) N( ,!)

x!

"

Figure 5.3: Distribution normale de probabilite

Le problemede cette distribution est qu’elle porte sur unevariable continuepouvantaller de moins l’infini a plus l’infini. Si l’on restreint le domaine de X aux seulesvaleurs positives, on obtient une distribution tronquee de la loi normale :

P (X < xα) =1

Z 1

0e−µ

x0 − µσ

∂2

/2

dx0

Z xα

0e−≥x− µ

σ¥2

/2dx = α (5.9)

La difficulte est ici l’estimation des parametres µ et σ de la distribution a partird’un echantillon d’observations.

La distribution triangulaire (voir figure 5.4) constitue une alternative a laloi Beta. En effet, elle ne necessite que de connaıtre les trois parametres A,B et M0, autrement dit les deux valeurs extremes et le mode de la distribution.Cette distribution est d’un grand interet pratique vu la facilite de collecte de sesparametres. Elle a :


• une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =

2(x−A)(M0 −A)(B −A)

si A ≤ x ≤M0

2(B − x)(B −M0)(B −A)

siM0 ≤ x ≤ B

• une fonction de repartition donnant P (X < x) donnee par :

P (X < x) =

(x−A)2

(M0 −A)(B −A)si A ≤ x ≤M0

1− (B − x)2

(B −M0)(B −A)siM0 ≤ x ≤ B

• une esperance mathematique E(X) donnee par :

E(X) =A + M0 + B

3

• une variance V (X) donnee par :

V (X) =A(A−M0) + B(B −A) + M0(M0 −B)

18

f(x)

2

B A

xA M0 B

Valeurminimum

Valeurmaximum

Mode

Densite de probabilite

Figure 5.4: Distribution triangulaire de probabilite


5.2.2 L’approche classique

L’approche classique est basee sur les principes suivants :

• la duree di de chaque tache du projet est consideree comme aleatoire de dist-ribution Beta. Les parametres de la distribution Beta sont calcules moyen-nant une hypothese de calcul assez forte1 a partir des trois parametres Ai,Bi etM0i. Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :

– Quelle est la duree minimum de realisation de la tache ?– Quelle est la duree maximale de realisation de la tache ?– Quelle est la duree la plus probable ?

pour obtenir respectivement les parametres A, B et M0 qui permettent decalculer la moyenne et la variance, a partir des formules suivantes :

E(di) =Ai + Bi + 4M0i

6(5.10)

V (di) =µ

Bi −Ai

6

∂2

(5.11)

• on determine le chemin critique du projet en se placant dans l’univers certainenmettant la duree de chaque tache egale a samoyenne donnee par la formule(5.10). On determine ainsi un ou plusieurs chemins critiques.

• On se place en univers incertain et on fait l’hypothese que la duree duprojet est la somme des durees des taches du chemin critique, ce qui biensur est une forte hypothese simplificatrice.

• Onutilise le theoreme central limite pour approximerD, la loi de distributionde probabilite d’execution du projet. Ainsi, l’esperance et la variance dela duree du projet se calculent comme la somme des esperances et desvariances des taches du chemin critique :

E(D) = E

√X

i∈CC

di

!

=X

i∈CC

E(di)

V (D) = V

√X

i∈CC

di

!

=X

i∈CC

V (di)

ou CC note l’ensemble des taches du chemin critique.1On suppose que α = 2 +

√2 et que ∞ = 2−

√2


• La connaissance de la loi de la duree du projet permet alors de calculer desintervalles de confiance sur la duree du projet.

Illustrons ces principes sur un exemple numerique. Le tableau 5.1, fournit, pourles 10 taches critiques du projet, les valeurs extremes et le mode qui permettentde calculer la moyenne et la variance de la duree de chaque tache critique par lesformules (5.10) et (5.11).

Tache (i) Ai M0i Bi E(di) V (di)

1 3 5 7 5 16/362 2 4 5 3,83 9/363 2 5 7 4,83 25/365 3 8 10 7,5 49/367 1 2 5 2,33 16/368 3 6 8 5,83 25/369 3 5 6 4,83 9/3611 4 7 9 6,83 25/3613 1 3 7 3,33 36/3615 2 5 9 5,17 49/36Σ - - - 49,5 7,19

Tableau 5.1: Methode classique

On en deduit que la distribution de probabilite de D, la duree minimaled’execution du projet est une loi normale de parametres connus :

N (49, 5;q

7, 19) = N (49, 5; 2, 68)

On peut donc en deduire des intervalles de confiance sur la duree du projet.Par exemple, si l’on veut determiner un intervalle a 95% sur la duree du projet, onpeut utiliser la symetrie de la courbe de la normale (voir figure 5.5). On cherchedonc les valeurs extremes de l’intervalle [x1, x2] tel que la probabilite que la dureesoit entre ces deux bornes est 95 % :

P [x1 ≤ D ≤ x2] = 95%

Vu la symetrie de la courbe de la Normale, cela signifie qu’il y aura 2,5 % a chaqueextremite du graphe (voir figure 5.5). Il suffit de determiner x2 et x1 sera calculepar symetrie par rapport a µ = 49,5. L’annexe C fournit, pour la loi normale centreereduite, Z ∼ N (0, 1), la probabilite P (Z > z). On cherche donc x2 tel que :


x

f(x)N( ,!)

x1 x2

95 %

2,5 %2,5 %

49,5

Figure 5.5: Intervalle a 95 % sur la duree du projet

P (D > x2) = 2, 5%

Pour faire la lecture dans la table, il faut centrer et reduire des deux cotes del’inegalite ci-dessus. On obtient :

P

"D − µ

σ>

x2 − 49, 5

2, 68

#

= 2, 5%

Dans la table de la loi NormaleN (0, 1), on lit que :

P (Z > 1, 96) = 2, 5%

On en deduit quex2 − 49, 5

2, 68= 1, 96

Autrement dit que :

x2 = 1, 96× 2, 68 + 49, 5 = 54, 75.

On determine x1 comme etant le point symetrique de x2 par rapport a la moyenneµ = 49,5 :

x1 = 49, 5− (x2 − 49, 5) = 44, 25

On en deduit finalement l’intervalle suivant.

P (44, 25 < D < 54, 75) = 95%

Il est a remarquercependantque l’utilisationdu theoremecentral limite supposed’avoir au moins une trentaine de taches dans le chemin critique. Hors dans notreexemple, on dispose a peine de 10 taches. On est a la limite des conditionsd’utilisation du theoreme !

D’autre part, la methode privilegie un chemin critique. En situation aleatoire,d’autre chemins peuvent devenir critiques dans certains cas. Pour l’analyse deseffets combines de ces chemins critiques et sous critiques, il vaut mieux recourir al’approche simulatoire.


5.2.3 L’approche simulatoire

Le principe de l’approche simulatoire est de faire une simulation sur base d’unscenario privilegie pour chacune des taches. En utilisant la methode de Monte-Carlo, on peut generer differents scenarios pour les taches du projet. Ce qui permetde calculer, par exemple, la probabilite d’une tache d’etre critique.

Nous introduisons d’abord lamethode de Monte-Carlo. Supposons que l’ons’interesse a la grandeurX (qui ici represente la duree d’une tache). Il faut d’abordidentifier la fonction de repartition de la variableX. Ceci est fait, par exemple, enposant une serie de questions du type : ”Quelle est la probabilite que la variableX prenne une valeur inferieure a x ?”

Le tableau 5.2 presente les resultats obtenus a cette serie de questions.

x P (X < x)

3 900 0 %4 100 20 %4 400 40 %4 800 60 %4 950 70 %5 100 80 %5 200 100%

Tableau 5.2: Methode de Monte-Carlo

On peut alors construire la fonction de repartition par interpolation lineairecomme c’est fait a la figure 5.6. On obtient la table 5.3.

Par ailleurs, il faut disposer d’un generateur de nombres aleatoires. Letableau 5.4 reprend un extrait d’une table de nombres generes au hasard.

Cette table permet de simuler des valeurs equiprobables de probabilitescumulees. Il suffit de considerer les sequences de 2 chiffres consecutifs dans cettetable comme fait au tableau 5.5. On obtient ainsi autant de valeurs equiprobablesde probabilites cumulees : 43 %, 64 %, 58 %, 92 %, 32 %, 0 %, 38 %, 41 %, 8 %,58 %. Au moyen de la table 5.3, on peut retrouver les valeurs correspondantesde X. On obtient ainsi des valeurs equiprobables de X reprises au tableau 5.6.C’est la le principe de la methode de Monte-Carlo.

Une fois connues les distributions de probabilites des durees des taches, onutilise la methode de Monte-Carlo pour obtenir par simulation des durees desdifferentes taches. On procede alors a un grand nombre de simulations qui


Fi xi Fi xi Fi xi Fi xi

1 3910 26 4190 51 4620 76 50402 3920 27 4205 52 4640 77 50553 3930 28 4220 53 4660 78 50704 3940 29 4235 54 4680 79 50855 3950 30 4250 55 4700 80 51006 3960 31 4265 56 4720 81 51057 3970 32 4280 57 4740 82 51108 3980 33 4295 58 4760 83 51159 3990 34 4310 59 4780 84 512010 4000 35 4325 60 4800 85 512511 4010 36 4340 61 4815 86 513012 4020 37 4355 62 4830 87 513513 4030 38 4370 63 4845 88 514014 4040 39 4385 64 4860 89 514515 4050 40 4400 65 4875 90 515016 4060 41 4420 66 4890 91 515517 4070 42 4440 67 4905 92 516018 4080 43 4460 68 4920 93 516519 4090 44 4480 69 4935 94 517020 4100 45 4500 70 4950 95 517521 4115 46 4520 71 4965 96 518022 4130 47 4540 72 4980 97 518523 4145 48 4560 73 4995 98 519024 4160 49 4580 74 5010 99 519525 4175 50 4600 75 5025 100 5200

Tableau 5.3: Construction de la fonction de repartition

43645 89232 00384 10858 2178914093 06268 46460 97660 2349061618 19275 40744 22482 1242498601 19089 53166 41836 28205...

Tableau 5.4: Table de nombres au hasard (extraits)


Fi(%)

xi3900 4100

20 %

4400

40 %

60 %

4950

70 %

5100

80 %

5200

100 %

4800

Figure 5.6: Construction de la fonction de repartition

43 64 58 92 32 00 38 41 08 58 2178914093 06268 46460 97660 2349061618 19275 40744 22482 1242498601 19089 53166 41836 28205...

Tableau 5.5: Table de nombres au hasard (selectionnes par 2)

i Fi xi

1 43 % 44602 64 % 48603 58 % 47604 92 % 51605 32 % 42806 0 % 39007 38 % 43708 41 % 44209 8 % 398010 58 % 4760

Tableau 5.6: Methode de Monte-Carlo : generations de xi


permettent de tirer des enseignements impossibles a obtenir de maniere ana-lytique.

La methode repose donc sur les principes suivants :

• On suppose connue la fonction de repartition P (Xi < xi) de la dureeXi dela tache i du projet qui comporte n taches.

• On procede aK jeux de simulations (voir tableau 5.7) du probleme d’ordon-nancement. On note di,k la duree de la tache i dans la simulation numero k.

Tache jeu de simulation % critique

i 1 2 . . . k . . . K

1 d1,1 d1,2 d1,k d1,K c1/K

2 d2,1 d2,2 d2,k d1,K c2/K...

i di,1 di,2 di,k di,K ci/K...

n dn,1 dn,2 dn,k dn,K cn/K

Duree du projet D1 D2 Dk DK

Tableau 5.7: Methode de Monte-Carlo : ordonnancements

• La simulation d’une duree di,k d’une tache i pour le jeu de donnees k s’ob-tient par l’utilisation d’un nombre genere aleatoirement. Ce nombre a deuxchiffres correspond a une probabilite exprimee en % d’une valeur de la fonc-tion de repartition de la duree de la tache.

• La table de la fonction de repartition de la duree de la tache i permet depasser de la valeur tiree aleatoirement de la probabilite cumulee a la valeurde la duree, notee di,k.

• Pour chaque jeu de donnees k, on resout le probleme d’ordonnancement enunivers certain. On obtient la duree minimale d’execution du projet noteeDk

pour le jeu de donnees numero k. On repere egalement les taches critiquespour le jeu de donnees.


• l’analyse statistique desK jeux de donnees permet d’obtenir les trois infor-mations suivantes :

1. pour le projet : une estimation de l’esperance mathematique de laduree d’execution du projet. Il suffit de faire la moyenne des Dk,

2. pour chaque tache : une estimation de la probabilite que cette tachesoit critique. Il suffit, en effet, dans chaque ligne, de compter denombre de fois que la tache a ete critique, soit ci et la frequence ci/K estun indicateur de la probabilite que la tache soit critique. Cet indicateurporte le nom d’indice de criticite de la tache.

Giard [2] presente un exemple de simulation portant sur 1 000 jeux de donneespour l’exemple introductif du chapitre 2 en retenant comme mode la duree del’univers certain et en utilisant des distributions triangulaires. De ces simulationsplusieurs enseignements peuvent etre tires :

• Certaines taches qui etaient critiques dans l’univers certain n’ont plusqu’une chance sur deux d’etre critiques en univers aleatoire. A l’inverse,certaines taches non critiques dans l’univers certain ont une chance sur 5d’etre critique en univers aleatoire. Ceci traduit l’apparition de nouveauxchemins critiques en univers aleatoire.

• La duree d’achevement moyenne du projet est superieure : elle est de 37jours contre 35 jours dans le cas certain. En effet, on peut montrer engeneral que l’apparition de nouveaux chemins critiques se traduit parune augmentation de l’esperance du temps d’execution du projet.

5.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque delai

L’approche quantitative, que ce soit sous la forme classique ou via des simulationsde Monte-Carlo, presente des limites :

• En focalisant l’attention sur l’objectif de delai, on pourrait perdre de vue lesautres objectifs que sont le respect des couts et le respect des performances.

• Du point de vue de l’action, l’absence d’analyse causale fait que le gestion-naire ne dispose d’aucun guide d’action.

L’avantage principal de la methode de simulation est de d’affiner la notionde tache critique.

Section 5.3. L’analyse qualitative du risque 109

5.3 L’analyse qualitative du risque

Les limitesde l’approchequantitative soulignee ci-dessusconduise a uneapprocheplus qualitative dont le but est de comprendre les causes possibles de derapagedes delais.

5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’elaboration du projet

Ces risques peuvent etre classes en quatre categories :

• Les imprecisions des taches : lors de l’etude preliminaire du projet, la listedes taches, leur durees associees, la consommation de ressources peuventetre definies avec une relative imprecision. Ces imprecisions peuvent avoirplusieurs causes :

– unmanque de temps dans la phase preliminaire pour recherche l’infor-mation;

– une meconnaissance du travail precis a executer liee a une absenced’experience anterieure;

– l’existence de plusieurs scenarios techniques possibles entre lesquelson hesite a trancher;

– des imprecisions quant aux objectifs du projet.

• Les incoherences du cahier des charges du projet : dans le cahier decharges, on specifie les objectifs principaux et les moyens qui seront allouesau projet. Rien ne garantit la coherence entre les objectifs et les moyens.Ces incoherences peuvent avoir plusieurs causes :

– le budget affecte au projet est insuffisant;– la date d’achevement du projet est intenable;– les ambitions en matiere de qualite du produit sont trop elevees;– les performances des ressources utilisees ont ete surestimees.

• Les risques techniques et d’industrialisation : les risques techniques peu-vent etre definis comme la possibilite de ne pas pouvoir fabriquer le produiten utilisant une certaine technologie tandis que les risques d’industrialisa-tion sont definis comme le risque ne pas pouvoir passer du prototype a laserie sans modification importante des ressources disponibles. Ces risquestechniques et d’industrialisation peuvent avoir plusieurs causes :


– la sous-estimation de la complexite du produit, en particulier pour unproduit innovant, peut conduire a une sous-estimation des difficultesqui seront rencontrees dans sa mise en fabrication,

– le choix d’un nouveau procede peut demander de mobiliser d’avantagede ressources;

– l’apparition d’un nouveau procede de fabrication en cours de projetpeut conduire a l’abandonde la solution technique initialement retenue;

– la combinaison de plusieurs solutions eprouvees peut conduire a desproblemes imprevisibles (la fabrication d’un prototype automobile aumoyen de composants connus peut conduire a problemes de bruitdecouverts au moment du prototype).

• Les manques de maıtrise du suivi des projets : la detection tardive dederives (que ce soit de cout ou de delai) entraınent des actions correctricesprises dans l’urgence. Ces manques de maıtrise ont plusieurs causes :

– l’absence de procedures formelles de detection des derives;– un manque de mise a jour des informations transmises par les opera-tionnels a la direction de projet;

– une absence de procedure de resolution en cas de conflits entre lesdifferents services impliques dans le projet;

– les impasses sur la validation technique du produit qui transferent lesrisques sur le produit final.

5.3.2 Les risques externes encourus en phase d’elaboration du projet

Lors du lancement d’un nouveau produit, il importe d’anticiper la demande dunouveau produit. Il y a deux categories de risques majeurs :

• L’obsolescence commerciale : la demande du produit n’est pas en confor-mite avec les attentes. Cette obsolescence commerciale a plusieurs causespossibles :

– une erreur d’appreciation des attentes du marche : les caracteristiquesretenues pour le produit n’interessent pas le client au prix retenu (echecdu telephone satellitaire au prix demande);

– une erreur d’appreciation sur les volumes demandes : peut conduirea des invendus ou a des ruptures de stock (l’exemple d’Apple qui vendtoujoursmieux ses hauts de gammes alors que la firme produit enmasseses bas de gamme);

Section 5.3. L’analyse qualitative du risque 111

– l’introduction par la concurrence de produits plus attractifs (l’introduc-tion du GSM a elimine du marche les autres telephones portables);

– la modification rapide de certains facteurs consideres comme stables :par exemple, le regime politique, le cours des matieres premieres.

• les risques reglementaires : les normes que doivent respecter les produitspeuvent changer. Ces risques sont lies le plus souvent soit :

– a une date incertaine demise enœuvre d’un nouveau reglement dans unpays debouche : par exemple, une nouvelle reglementation en matiered’emission de gaz polluants dont la date est incertaine;

– a la meconnaissance du contenu exact du nouveau reglement : parexemple, quel sera le niveau de bruit accepte pour les avions de nuit.

La solution est evidemment de retenir la solution qui repond aux normes lesplus strictes mais elle risque d’etre la plus couteuse.

5.3.3 Les risques relatifs a la prevision d’utilisation des ressources

Il y a deux grandes categories de risques lies a la prevision d’utilisation desressources requises par le projet :

• Les risques relatifs a la definition des ressources requises : les ressourcesnecessaires ont ete mal definies. Les causes possibles de ces imprecisionsdans la definition des ressources requises sont multiples.

– En ce qui concerne le personnel, un changement de l’environnementreglementaire peutmodifier la disponibilite du personnel (par exemple,l’introduction de la loi sur les 35 heures).

– En ce qui concerne les equipements, un changement de normes desecurite (impliquant le remplacement d’outils vetustes) ou de normesenmatiere d’impacts sur l’environnement (par exemple, unediminutiondes normes de rejet atmospherique de dioxine).

– Dans le cahier de charge, il peut y avoir une meconnaissance des res-sources precises, qu’elles soient humaines ou materielles qui seront amobiliser pour executer le projet.

– Il peut y avoir incoherence entre les ressources choisies : par exemple,l’introduction d’une nouvelle machine a commande numerique neces-site le recyclage de l’operateur.


• Les risques relatifs a la disponibilite des ressources requises : souvent lorsde l’ordonnancement initial du projet on fait l’hypothese de capacite infiniepour les ressources. C’est evidemment prendre le risque de se trouver facea des goulets d’etranglement en matiere de disponibilite des facteurs. Lescauses possibles de la mauvaise definition du potentiel des ressources sont :

– une meconnaissance de la performance de nouveaux equipements;– une sous-estimation de la duree de l’apprentissage de nouveaux equi-pements;

– une mauvaise coordination entre l’utilisation de ressources sur plu-sieurs projets.

Il importe que les conflits entre projets sur l’utilisation des ressources dispo-nibles soit geres a un niveau hierarchique eleve. Il est a remarquer quememe si des procedures de reservation des ressources sont mises en œuvre,un retard sur un projet peut liberer en retard la ressource pour un autre projet.

5.3.4 Les risques encourus en phase d’execution du projet

En cours d’execution du projet, des evenements imprevus peuvent compromettreles objectifs du projet. Les risques encourus en phase d’execution du projetsont de trois ordres :

• Les risques lies a une detection tardive du probleme : pour pouvoir faireun diagnostic, il faut, d’une part, disposer des bonnes informations et, d’autrepart, les traiter a temps. Les causes principales de detection tardive d’unprobleme sont lies a :

– En ce qui concerne l’information externe, une attitude passive vis-a-visde la collecte d’information (il faut etre pro-actif, c’est-a-dire chercherles signes avant coureurs, par exemple d’un changement du marcheplutot que d’attendre et de constater l’effondrement du marche);

– en ce qui concerne l’information interne, elle peut etre disponible maisrarement sous sa bonne forme et au bon endroit;

– en ce qui concerne le traitement de l’information : l’absence d’indica-teurs calcules automatiquement peut faire qu’une information, memedisponible, n’est pas traitee en temps utile;

– en ce qui concerne le traitement de l’information : a l’inverse, uneabsence de filtrage de l’information peut conduire a une inondationd’informations qui a le meme effet que de ne pas transmettre l’infor-mation.

Section 5.4. La prise en compte du risque 113

• Les risques lies a un diagnostic errone : il peut y avoir une erreur dediagnostic liee a une mauvaise interpretation des faits. En effet,

– plusieurs causes peuvent avoir le meme effet et la cause retenue n’estpas la bonne;

– on peut s’attacher a une cause apparente sans chercher la cause pro-fonde;

– l’hypothese de relation causale peut etre tout simplement erronee.

• Les risques de reponse inappropriee : meme si le diagnostic formule estcorrect, la reponse apportee peut etre inappropriee. A cet egard, commesource de reponses inappropriees, on peut citer :

– le report de la faute sur autrui qui est souvent une reponse d’un serviceprestataire (c’est pas moi, c’est lui);

– la logique de temporisation qui privilegie la solution de court terme enrepoussant la solution du probleme profond a plus tard;

– la creation de nouvelles regles qui visent a prevenir le probleme ren-contre mais asphyxie le systeme (par exemple, par un exces de proce-dures de controle).

5.4 La prise en compte du risque

Nous allons, pour terminer, donner quelques strategies possibles pour la dimi-nution des risques encourus, que ce soit en phase d’elaboration ou en phased’execution du projet.

5.4.1 La diminution du risque en phase d’elaboration

Fondamentalement, durant la phase d’elaboration du projet deux strategies delimitation du risque peuvent etre considerees :

• L’amelioration du niveau de l’information : il s’agit ici d’ameliorer lenombre, la qualite et la pertinence des informations relatives aux taches.Cette amelioration peut prendre plusieurs formes :

– decoupage de taches en des taches plus elementaires;– consultation a un niveau hierarchique plus bas;– comptes-rendus ecrits des reunions de travail.


• L’externalisation des risques : on peut vouloir transferer des risques chezun fournisseur ou un sous-traitant. Ainsi l’execution de certaines tachespeut etre confiees a des tiers sur base d’un cahier de charges precis. Ilfaut evidemment que le sous-traitant respecte les clauses du contrat sinon lerisque n’est pas traite mais simplement deplace.

5.4.2 Organisation de la reactivite

Enphased’executionduprojet, lorsquedesderives sont constatees, trois strategiesvisant a reagir a la nouvelle situation peuvent etre mises en œuvre :

• La reactivite par revision des objectifs : on peut reagir aux imprevus enreajustant les objectifs afin que les nouveaux objectifs restent realistes etacceptes de tous. Parmi les mesures de reaction aux derives constatees, onpeut citer les suivantes :

– retarder les dates butoirs de certains jalons du projet, ce qui va le plussouvent se traduire par une nouvelle date de fin du projet;

– diminuer le niveau de qualite requis par rapport au niveau prevu ini-tialement dans le cahier de charges, dans la mesure evidemment ou ceniveau reste acceptable pour le client;

– reviser a la hausse le cout du projet.

Mais la reactivite par revision des objectifs est souvent un constat d’echec.

• La reactivite par revision des taches : il s’agit ici de modifier la liste destaches, leurs liens ou leur contenu. Les solutions envisageables sont :

– le chevauchement de plusieurs taches critiques (mais ceci suppose quela tache aval puisse debuter plus tot, par exemple, grace a des moyensadditionnels);

– la suppression de certaines taches jugees accessoires (par exemple uncontrole intermediaire);

– la modification du contenu d’une tache (par exemple, l’abandon d’unnouveau procede au profit d’une technologie mieux maıtrisee).

• Lamobilisationmomentanee de ressources additionnelles pour respecterles delais. On distingue :

– l’appel a des ressources internes : heures supplementaires, travail unjour ferie, appel a du personnel d’autres services;

– l’appel a des ressources externes : interim, sous-traitance.


5.5 Exercices

5.1. Approche classique du risque. Considerons l’exemple introductif du cha-pitre 2 de construction d’un batiment donne au tableau 2.1 mais avec uneduree de chaque tache du projet consideree comme aleatoire de distributionBeta. On note respectivement par :

• Ai, la duree minimum,• M0i, sa duree la plus probable,• Bi, sa duree maximum.

Ces donnees sont reprises au tableau 5.8 avec les prealables de chaque tache.

No tache Ai M0i Bi prealables1 terrassement 3 5 7 -2 fondations 2 4 5 13 colonnes porteuses 1 2 3 24 charpente toiture 1 2 5 35 couverture 2 3 5 46 maconnerie 2 5 7 37 plomberie, electricite 1 3 7 28 coulage dalle beton 2 3 4 79 chauffage 2 4 6 8 et 610 platre 8 10 13 9 et 511 finitions 3 5 8 10

Tableau 5.8: Construction d’un batiment : duree aleatoire des taches.

(a) Sur base des formules de l’approche classique, calculez la moyenne etla variance de la duree d’execution de chaque tache.

(b) Faire un ordonnancement base sur les durees moyennes des taches.(c) En deduire la duree moyenne du projet ainsi que la variance de la duree

du projet.(d) En deduire un intervalle de confiance a 95 % sur la duree du projet.


5.2. Approche simulatoire du risque. On considere le meme exemple maisavec cette fois-ci des distributions uniformes entre A et B. aleatoire dedistribution Beta. On note respectivement par :

• Ai la duree minimum d’execution de la tache i;• Bi, la duree maximum d’execution de la tache i.

Ces valeurs sont donnees a la table 5.9.

No tache Ai Bi prealables1 terrassement 3 7 -2 fondations 2 5 13 colonnes porteuses 1 3 24 charpente toiture 1 5 35 couverture 2 5 46 maconnerie 2 7 37 plomberie, electricite 1 7 28 coulage dalle beton 2 4 79 chauffage 2 6 8 et 610 platre 8 13 9 et 511 finitions 3 8 10

Tableau 5.9: Construction d’un batiment : distribution uniforme.

(a) Donner la formule de calcul des valeurs des probabilites cumulees desdurees des taches du projet.

(b) En deduire la formule permettant de deduire la duree x en fonction dela probabilite cumulee P (X < x).

(c) En utilisant la table de nombres aleatoires, faire 4 simulations succes-sives pour les durees des taches.

(d) En deduire la duree moyenne du projet.(e) En deduire la criticite des taches.


5.3. Agrandissement d’une clinique (suite). Pour le projet d’agrandissementd’une clinique (voir exercice 3.8), on veut tenir compte de l’incertitude surla duree d’execution des taches. On a determine, pour chaque tache :

• ai, sa duree optimiste,• mi, sa duree la plus probable,• bi, sa duree pessimiste.

Le tableau 5.10 donne ces valeurs pour chacune des taches.

Tache ai mi bi

A 11 12 13

B 7 8 15

C 5 10 15

D 8 9 16

E 14 25 30

F 6 9 18

G 25 36 41

H 35 40 45

I 10 13 28

J 1 2 15

K 5 6 7

Tableau 5.10: Agrandissement d’une clinique

(a) Calculez l’esperance et la variance de la duree de chaque tache via lesformules de la methode PERT.

(b) Determinez lesparametresµX etσ2X de lavariable aleatoireX representant

la duree du projet.(c) Calculez la probabilite que le projet ne dure pas plus de 72 semaines.


5.4. Budget de lancement d’unnouveauproduit (suite). Pour l’exercice 4.2, ladirection de l’entreprise, inquiete du delai de realisation du projet, voudraitprevoir une intervalle de confiance a 99% sur la duree du projet. Pour cela,elle a collecte les informations suivantes sur les taches :

• ai, la duree plus faible jamais observee pour la tache i;• bi, la duree plus elevee jamais observee pour la tache i;• mi, la duree le plus souvent observee pour la tache i.

Le tableau 5.11 reprend ces informations.

Tache ai mi bi

A 3 5 7

B 4 6 8

C 1 3 5

D 5 8 11

E 1 2 3

F 9 11 13

G 1 1 1

H 10 12 14

Tableau 5.11: Budget de lancement (suite)

(a) Determiner les parametres µX et σ2X de la variableX donnant la duree

du projet.(b) Determiner un intervalle de confiance a 99 % pourX.

Annexe A

Formulaire pour la gestion de projets

A.1 Notion de marge libre et de marge totale

Definition A.1 On definit la marge libre comme la partie de la marge totale quel’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs.

Si l’on considere que les ancetres et les descendants de la tache sont programmesau plus tot, on definit ainsi lamarge libre comme la difference entre :

• La date de debut au plus tot du descendant (ou la plus precoce de ces datessi la tache a plusieurs descendants);

• la date de fin au plus tot de la tache.

Definition A.2 On definit la marge independante comme la partie de la margeque l’on peut utiliser sans affecter la marge des predecesseurs et des successeurs.

Si l’on considere que les ancetres de la tache sont programmes au plus tard et sesdescendants au plus tot, lamarge independante est la difference entre :

• la date de debut au plus tot du descendant (ou la plus precoce de ces dates sila tache a plusieurs descendants);

• la date de fin au plus tard de son ancetre (ou la plus tardive de ces dates, sila tache a plusieurs ancetres) augmentee de la duree de la tache.

A.2 Calcul d’annuitesnX

t=1

µ1

1 + i

∂t

=

"1− (1 + i)−n

i

#

avec n = nombre d’annees,i = taux d’actualisation annuel.

119

120 Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets

A.3 Definition de l’ecart de planning

Definition A.3 On definit l’ecart de planning comme la difference entre le coutbudgete du travail effectue et le budget encouru, c’est-a-dire le cout budgete dutravail initialement prevu :

Ecart de planning = CBTE - CBTP


• Si le cout budgete du travail effectue est superieur au budget encouru (ecartpositif), les realisations du projet sont en avance par rapport aux previsions;

• si le cout budgete du travail effectue est inferieur au budget encouru (ecartnegatif), les realisations du projet sont en retard par rapport aux previsions.

Definition A.4 On definit l’ecart de planning relatif comme l’ecart de planningdivise par le budget encouru :

Ecart de planning relatif =CBTE - CBTP

CBTP

A.4 Definition de l’ecart de cout

Definition A.5 Ondefinit l’ecart de cout comme la difference entre le cout budgetedu travail effectue et le cout encouru, c’est-a-dire le cout reel du travail effectue :

Ecart de cout = CBTE - CRTE


• si le cout budgete du travail effectue est inferieur au cout encouru (ecart decout negatif), les realisations du projet ont coute plus cher que prevu; onest en presence d’un risque de depassement budgetaire si l’on ne peut pascompenser par des economies ulterieures;

• si le cout budgete du travail effectue est superieur au cout encouru (ecart decout positif), les realisations du projet ont coute moins cher que prevu; ona donc plus de chance de tenir l’enveloppe budgetaire initiale.

Section A.5. Distribution de probabilite 121

A.5 Distribution de probabilite

(voir figure A.1)

• La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la

Fonction de densite de probabilite

x

f(x)

A B

1

B A

1

0

Fonction de repartition

F (X < x)

xA B

Figure A.1: Distribution uniforme de probabilite

valeur minimale A et la valeur maximale B sont equiprobables.

– sa fonction de densite de probabilite f(x) est donnee par :

f(x) =1

B −A(A.1)

– sa fonction de repartition F (X < x) est donnee par :

F (X < x) =x−A

B −A(A.2)

avec F (X < A) = 0


x

f(x)

A BM0

Figure A.2: Distribution Beta de probabilite

• La distribution Beta (voir figure A.2) est une distribution unimodale qui :

– a une fonction de repartition t. q. F (X < A) = 0 et F (X > B) = 1,– a une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =(x−A)α(B − x)∞

(B −A)α+∞+1Z 1

0tα(1− t)∞dt

(A.3)

– a une esperance mathematique E(X) donnee par :

E(X) = A + (B −A)α + 1

α + ∞ + 2(A.4)

– a une variance V (X) donnee par :

V (X) =(B −A)2(α + 1)(∞ + 1)

(α + ∞ + 3)(α + ∞ + 2)2(A.5)

– et a un mode M0 donne par :

M0 =A∞ + Bα

α + ∞(A.6)

• La distribution Normale (voir figure A.3) est une distribution unimodalequi :

– a une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =1

σ√

2π· e−

≥x− µσ

¥2

/2(A.7)

Section A.5. Distribution de probabilite 123

x

f(x) N( ,!)

x!

"

Figure A.3: Distribution normale de probabilite

– a une fonction de repartition donnant P (X < xα) donnee par :

P (X < xα) =1

σ√

2π

Z xα

−1e−≥x− µ

σ¥2

/2dx = α (A.8)

• La distribution triangulaire (voir figure A.4) ne necessite que de connaıtreles trois parametres A, B et M0, autrement dit les deux valeurs extremes etle mode de la distribution. Cette distribution a :

– une fonction de densite de probabilite donnee par :

f(x) =

2(x−A)(M0 −A)(B −A)

si A ≤ x ≤M0

2(B − x)(B −M0)(B −A)

siM0 ≤ x ≤ B

– une fonction de repartition donnant P (X < x) donnee par :

P (X < x) =

(x−A)2

(M0 −A)(B −A)si A ≤ x ≤M0

1− (B − x)2

(B −M0)(B −A)siM0 ≤ x ≤ B

– une esperance mathematique E(X) donnee par :

E(X) =A + M0 + B

3

– une variance V (X) donnee par :

V (X) =A(A−M0) + B(B −A) + M0(M0 −B)

18


f(x)

2

B A

xA M0 B

Valeurminimum

Valeurmaximum

Mode

Densite de probabilite

Figure A.4: Distribution triangulaire de probabilite

A.6 L’approche classique du risque

• la duree t de chaque tache du projet est consideree comme aleatoire de dist-ribution Beta. Les parametres de la distribution Beta sont calcules moyen-nant une hypothese de calcul assez forte (on suppose que α = 2 +

√2 et

que ∞ = 2−√

2) a partir des trois parametres A, B etM0. Il suffit donc deposer les trois questions suivantes :

– Quelle est la duree minimum de realisation de la tache ?– Quelle est la duree maximale de realisation de la tache ?– Quelle est la duree la plus probable ?

pour obtenir respectivement les parametres A, B etM0.

• Ces trois parametres permettent de calculer la moyenne et la variance, apartir des formules suivantes :

E(t) =A + B + 4M0

6(A.9)

V (t) =µ

B −A

6

∂2

(A.10)

Annexe B

Table de nombres au hasard

125

126 Annexe B. Table de nombres au hasard

43 64 58 92 32 00 38 41 08 58 21 78 91 40 93

06 26 84 64 60 97 66 02 34 90 61 61 81 92 75

40 74 42 24 82 12 42 49 86 01 19 08 95 31 66

41 83 62 82 05

39 65 76 45 45 19 90 69 64 61 20 26 36 31 62

58 24 97 14 97 95 06 70 99 00 73 71 23 70 90

65 97 60 12 11 31 56 34 19 19 47 83 75 51 33

30 62 38 20 46 72 20 47 33 84 51 67 47 97 19

98 40 07 17 66 23 05 09 51 80 59 78 11 52 49

75 17 25 69 17 17 95 21 78 58 24 33 45 77 48

69 81 84 09 29 93 22 70 45 80 37 48 79 88 74

63 52 06 34 30 01 31 60 10 27 35 07 79 71 53

28 99 52 01 41 02 89 08 16 94 85 53 83 29 95

56 27 09 24 43 21 78 55 09 82 72 61 88 73 61

87 18 15 70 07 37 79 49 12 38 48 13 93 55 96

41 92 45 71 51 09 18 25 58 94 98 83 71 70 15

89 09 39 59 24 00 06 41 41 20 14 36 59 25 47

54 45 17 24 89 10 08 58 07 04 76 62 16 48 68

58 76 17 14 86 59 53 11 52 21 66 04 18 72 87

Tableau B.1: Table de nombres au hasard

Annexe C

Table de la loi normale centree reduite

127

128 Annexe C. Table de la loi normale centree reduite

P zj

zi 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

Donne la probabilite P (Z > zi + zj)

Bibliographie

[1] Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR,Paris, 2000.

[2] Vincent GIARD, Gestion de Projets, Economica, Paris, 1991.

[3] GIARD Vincent, Gestion de la production et des flux, 3eme Edition, Econo-mica, Paris, 2003.

[4] Robert HOUDAYER, Evaluation financiere des projets, Economica, Paris,1999.

[5] J.O. MAC CLAIN, L.J. THOMAS et J.B. MAZZOLA,Operations Manage-ment: Production of Goods and Services, Prentice Hall, 1992.

[6] Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projetsinformatiques, AFNOR, Paris, 1996.

[7] J.R.MEREDITH, et S.J. MANTEL, ProjectManagement, JohnWiley, 2003.

129

Annexe D

Etudes de cas

D.1 Cas 1 : Societe de routage

Il s’agit ici de developper un logiciel de transmission pour la communication avecles camions, de maniere a transmettre en temps reel aux camions les enlevementsa realiser et a permettre le suivi en temps reel de la flotte et des colis.

L’enonce de cette etude de cas ainsi que des elements de solutions peuventetre trouve dans Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Managementdes projets informatiques, AFNOR, Paris, 1996 [6, pages 185 a 216].

D.2 Cas 2 : Achat de materiel informatique

La direction d’une societe decide d’informatiser sa gestion. On comparera, surle plan financier, les trois solutions envisagees : achat de materiel informatique,location de ce materiel, sous-traitance des services informatiques.

Pour les donnees precises de cette etude de cas et des elements de solution, onse referera a l’ouvrage de Robert HOUDAYER, Evaluation financiere des projets,Economica, Paris, 1999 [4, pages 257 a 273].

D.3 Cas 3 : Conception d’un site Internet

Un organisme de formation continue decide, pour faire connaıtre son offre deformation, de se lancer dans la conception d’un site Internet. Il s’agit de definir lecahier de charge fonctionnel du site Internet et de planifier le developpement, lamise en service et la mise a jour du site Internet.

Pour les donnees de cette etude de cas, on se referera a l’ouvrage de SandrineFERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR, Paris, 2000 [1,

131

132 Annexe D. Etudes de cas

pages 184 a 213].

D.4 Cas 4 : Construction d’un stade olympique

La mairie d’une grande ville choisie pour les jeux olympiques doit planifier laconstruction du stade en tenant compte de l’incertitude sur la duree des taches(risques lies aux intemperies, risquedegreves, retardspossiblesdans les livraisons).

Pour les donnees de cette etude de cas, on se referera a l’ouvrage de J.R.MEREDITH et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley, 2003 [7, pages441-442].

Documents

gestion de projets informatique