Guias Prob y Est 2009

TP Probabilidades y Estadstica 2009 Pg. 1

Facultad de Ingeniera UBA Probabilidad y Estadstica 61.06 (no industrial) - Guas de ejercicios

GUIA 1: Probabilidad

1. a) Definir un espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. en cules es razonable suponer equiprobabilidad?

se tiran 3 monedas: una de $1, otra de $0,50 y otra de $0,25. se tiran 3 monedas iguales. se tira un dado rojo y otro azul se tiran 2 dados no distinguibles. se eligen 3 personas de un grupo de 5. una caja contiene 8 bombillas de luz de las cuales 3 tienen filamentos rotos. Estas se prueban una por una hasta

que se encuentra la primer defectuosa Se enciende y apaga el interruptor de un velador, hasta que la lmpara se quema. Se registra el nmero de veces

que se repiti la operacin Se espera el tiempo necesario hasta que la lmpara de un velador se quema por desgaste. Se pesa una manzana Se dibujan en el piso varias lneas paralelas, a una distancia de 10 cm entre s. Luego se deja caer una aguja de

10 cm de largo, y se observa si cae cortando o no alguna de las lneas (experimento de Buffon, 1777) Se deja caer un dardo sobre una hoja de papel y se marcan las coordenadas del lugar donde cay Con un voltmetro, se mide la tensin de alimentacin de una fuente de tensin Una enfermera mide la tensin arterial de un paciente Se mide la altura y el peso de un beb recin nacido

b) Definir dos eventos asociados a cada espacio muestral.

2. a) Una canasta roja contiene 5 botellas de champagne francs y 6 de vino comn de mesa; una canasta blanca contiene 3 de champagne y 4 de vino. Se le ofrece elegir una canasta y extraer al azar una botella de ella Cul canasta le conviene elegir si desea tomar champagne y no vino? b) Otra canasta roja contiene 6 botellas de champagne de primera y 3 de vino de cuarta; otra blanca tiene 9 de champagne y 5 de vino. De cul le conviene extraer? c) Los contenidos de las dos canastas blancas se unen y lo mismo se hace con los de las dos rojas. De cul le conviene extraer ahora?1

3. Cada noche despus de cenar, el matrimonio Galndez tira 4 dados Si no sale ningn 6, le toca al Sr. Galndez lavar los platos. En caso contrario, a su esposa Quin lava los platos ms seguido?

4. Indique la probabilidad de obtener, en el primer tiro de un juego de generala: a) Generala servida. b) Pker servido. c) Full servido d) 18 al 6.

5. En una mano de truco, calcular la probabilidad de que un jugador saque a) flor b) ms de 30 para el envido c) los dos anchos juntos: el de espadas y el de bastos

1 ste y otros ejercicios de estas guas fueron extrados del muy recomendable libro de R. A. Maronna: Probabilidades y Estadsticas elementales para

estudiantes de Ciencias, Editorial Exacta, La Plata, 1995.


6. Suponga que es posible tirar un dado infinitas veces. Calcular la probabilidad de que el As no salga jams

7. Un borracho camina por la nica calle de su pueblo, empezando en la esquina de su casa. Cada vez que llega a una esquina sigue otra cuadra hacia adelante o atrs con probabilidad 1/2. Camina en total 4 cuadras y se queda dormido. Probar que el lugar ms probable para encontrarlo dormido es la esquina de su casa. (paseo al azar)

8. Se tira un dado cargado de forma tal que la probabilidad de cada nmero es proporcional a l. Calcular la probabilidad de obtener un 2 dado que se obtuvo un nmero par.

9. Una caja C1 contiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Otra caja C2 tiene 12 blancas y 8 rojas. Se elige una caja al azar y se extrae una bolilla que resulta ser blanca; esta bolilla se reintegra a la caja y se vuelve a extraer una bolilla de la misma caja. Cul es la probabilidad de que esta ltima bolilla sea blanca?

10. Una epidemia infect al 5% de la poblacin de una ciudad. Un anlisis clnico de diagnstico da resultados negativo (ausencia de enfermedad) al 2% de los pacientes enfermos, y positivo (presencia de la enfermedad) en el 4% de los sanos. Si un paciente concurre a hacerse el anlisis y le da resultado positivo, cul es la probabilidad de que realmente est enfermo? Si le da resultado negativo cul es la probabilidad de estar realmente sano? Nota: Para entender algo ms sobre las implicancias de este ejercicio, recomendamos leer la nota publicada por Adrin Paenza en Pgina 12 del 14/3/2008 titulada Bayes y seguir los clculos que ah figuran. Puede bajarse de: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/index-2008-03-14.html .

11. Una empresa arma computadoras y consta de tres plantas armadoras: A, B y C, que producen el 15%, 35% y 50% del total respectivamente. Se sabe que la probabilidad de que no funcione una computadora es del 3%, 2% y 1% segn sea armada por la planta A, B o C respectivamente. a) Un cliente de dicha empresa decide comprar una computadora al azar y elige una al azar. Cul es la probabilidad de que funcione?

b) Si dicho cliente elige una computadora y observa que funciona, cul es la probabilidad de que haya sido armada por la planta B?

12. En la fabricacin de envases de vidrio aparecen dos modos de falla: burbujas, en el 3% de los envases, y defectos en el roscado del pico, en el 2%. Dados 5 envases, hallar la probabilidad de que ninguno presente defectos

13. El control de calidad para cierto tipo de motor incluye dos pruebas: A (ensayo de sobrecarga) y B (ensayo de consumo). El 5% falla en la prueba A, el 6% en la prueba B y el 90% en ninguna. Indique si las fallas en ambos ensayos son sucesos independientes

14. Una cmara tiene 2 bombas de desage, que funcionan independientemente. La probabilidad de que la primera de descomponga es 0.03 y la probabilidad de que la segunda de descomponga es 0.06. Para disear un plan de contingencia se debe saber cul es la probabilidad de que no funcione ninguna. Calcular esta probabilidad.

15. El motor de un automvil consta de 300 componentes individuales. Cada uno de stos es entregado independientemente por un proveedor diferente. Los 300 proveedores garantizan que la probabilidad de entregar un componente defectuoso es 0.01 o menor a) calcular la probabilidad de que el motor sea aceptable. Se considera aceptable el motor slo cuando ninguno de sus componentes es defectuoso. b) qu nivel de calidad debe exigirse a cada proveedor (es decir, qu probabilidad de componente defectuoso) si se desea que el motor sea aceptable con probabilidad 0.98 o mayor? Nota: Un requerimiento habitual que la industria automotriz hace a sus proveedores, es que entreguen componentes con proporciones defectuosas del orden de 60 a 100 ppm. Observar que el resultado de la parte b) es consistente con esta prctica


GUIA 2: Variables Aleatorias

Variables discretas 1. a)Clasificar en discretas o continuas las siguientes variables aleatorias y especificar sus espacios muestrales:

Cantidad de llamadas telefnicas que llegan a un conmutador en un lapso de 10 minutos Temperatura mxima diaria en una ciudad Temperatura a la que se encuentra un alto horno de una empresa siderrgica Longitud de tornillos fabricados por una mquina. Estudiantes inscriptos en la FIUBA al comienzo de un ao Estado civil de un individuo Suma del valor obtenido al arrojar 2 dados

b) Cules de los experimentos del ej. 1 de la Gua 1 definen v.a. discretas? cules definen v.a. continuas?

2. Hallar la funcin de probabilidad puntual y la funcin de distribucin de la v.a. diferencia entre el mayor y el menor valor obtenido al tirar un dado 2 veces. Calcular su esperanza

3. El contenido de bolillas rojas de la caja C1 se ha formado como sigue. Se arroj un dado y se colocaron tantas como indic el dado; luego se extrajeron dos bolillas de la caja C2 que contena 3 blancas y 7 rojas y se introdujeron en C1. Obtener la funcin de probabilidad del nmero de bolillas rojas que quedaron finalmente en C1.

4. Una cadena de comida rpida est por abrir una nueva sucursal. Se estima que sern necesarios 24 empleados presentes para cubrir todas las tareas. Por otro lado, los registros de otras sucursales indican un porcentaje de ausentismo del 5%. Se contratan 30 personas. Cul ser la probabilidad de qu haya 3 empleados ausentes?, de que haya menos de 3 empleados ausentes?, de que no haya ausentes?, y de que no se cubran las tareas necesarias? (hacerlo por clculo manual y luego con la funcin distr.binom de Excel)

5. En un proceso de control de calidad se efecta una revisin peridica examinando la cantidad de piezas necesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, cul es la probabilidad de a) revisar 8 menos? b) revisar 12 ms? (usar funcin negbinomdist de Excel) c) revisar exactamente 12?

6. En una empresa se compra gran de cantidad de bulones especiales a un mismo proveedor. Cada vez que se recibe un envo de bulones, se realiza un control de calidad por muestreo: se ensaya una muestra de n=80 bulones seleccionados al azar del total; si hay ms de un buln defectuoso en la muestra, el envo se rechaza y se devuelve al proveedor. En caso contrario, se acepta el envo y se lo paga. Si llamamos p a la proporcin de bulones defectuosos generados por el proceso de fabricacin del proveedor y Pa a la probabilidad de aceptar un envo. a) Calcular Pa para los siguientes valores de p: 0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.05, 0,1. 50 (usar la funcin distr.binom de Excel) b) Graficar Pa en funcin de p. (Dicho grfico se llama Curva caracterstica del plan de muestreo)

7. De los 35 alumnos del curso hay 20 que juegan bien al ajedrez. Se eligen al azar 8 alumnos del curso para formar un equipo de ajedrez que represente a la Facultad. Cul es la probabilidad de que en el equipo haya al menos 4 personas que jueguen bien?

8. Un seor tiene un llavero con 6 llaves. Ha olvidado cul es la de su casa, y las prueba ordenadamente una por una. a) Sea X el nmero de intentos necesarios hasta abrir la puerta. Hallar la funcin de probabilidad de X y su esperanza


b) Supongamos que el seor est totalmente borracho y en cada intento vuelve a elegir una llave al azar de entre las n, en lugar de separar las que ya prob. Hallar la funcin de probabilidad de X y su esperanza, y extraer conclusiones sobre los beneficios de la sobriedad

9. Sea X la cantidad de veces que debe arrojarse un dado hasta sacar un 4. a) Dar una expresin para su fp, y probar que suma 1. b) Hallar su funcin de distribucin y calcular P(X>7) y P(X>10/X>3) c) qu conclusin puede sacar comparando los dos ltimos resultados? (falta de memoria de la distribucin geomtrica)

10. Si la probabilidad de que un cierto examen d una reaccin positiva es igual a 0,4 y las reacciones son independientes, cul es la probabilidad de que ocurran menos de cinco reacciones negativas antes de la primera positiva?

11. Supongamos que el costo de efectuar un experimento es $1000. Si el experimento falla, se incurre en un costo adicional debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo ensayo. Si la probabilidad de xito en cualquiera de los ensayos es de 0,2; si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos se continan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso, cul es el costo esperado del procedimiento completo?

12. Los pacientes llegan a la sala de guardia de un hospital a una tasa de 2 por hora. Un mdico hace un turno de 12 horas desde las seis de la maana hasta las seis de la tarde. El proceso de llegada de pacientes se considera de Poisson a) Si el mdico ha visto 6 pacientes a las 8 de la maana, cul es la probabilidad de que vea un total de 9 pacientes a las 10 de la maana? b) Cul es el tiempo esperado entre llegada de pacientes sucesivos? Cul es la probabilidad de que el tiempo entre llegadas de sucesivos pacientes sea > 1 hora? c) Cul es el tiempo esperado desde que el mdico se hizo cargo de la guardia hasta que ve su primer paciente? Cul es la probabilidad de que vea su primer paciente 15 minutos o menos desde que se hizo cargo de la guardia? d) Cul es la probabilidad de que vea su paciente n 13 antes de las 13.00 horas?

13. La ocurrencia de errores tipogrficos en la primera impresin de prueba de un libro es un proceso de Poisson con una tasa de error de 1 error cada 1000 palabras. Cada vez que el autor lee el libro para corregirlo, la tasa de error se reduce a la mitad. Observar que decimos que la tasa de error se reduce a la mitad, no que el nmero exacto de errores se reduce a la mitad, porque el pueden introducirse nuevos errores mientras corrige otros. El autor quiere saber cuntas veces necesita hacer una lectura de correccin a fin de que la probabilidad de que no haya ms errores sea de al menos 0,98. Supngase que el libro contiene 200.000 palabras. Calcular el nmero de veces que se repite la lectura.

14. El nmero de buques tanque que llegan en un da a una refinera tiene una distribucin de Poisson con = 2. Si ms de tres buques llegan en un da, los que estn en exceso deben enviarse a otro puerto, pues las actuales instalaciones portuarias pueden despachar a lo sumo tres buques al da. a) Cul es la probabilidad de tener que hacer salir buque en un da determinado? b) En cunto deben aumentarse las instalaciones para permitir la atencin a todos los buques el 90% de los das?

15. Una materia de la FIUBA se aprueba con un examen mltiple choice de 15 preguntas, con 5 opciones de respuesta en cada pregunta. a) Cmo debera establecerse un criterio de aprobacin, que asegure que el 90% los alumnos que no saben nada de la materia y responden totalmente al azar sean reprobados? b) Fijado el criterio anterior, si un alumno estudi lo suficiente como para que la probabilidad de responder bien cada una de las preguntas es p=0.4 con qu probabilidad aprobar el examen?; y si estudia ms, hasta que p sube a 0.6? c) Graficar aproximadamente la probabilidad de aprobar en funcin de p, para 0 p 1. (Curva caracterstica) d) Expresar en palabras los errores de tipo I y de tipo II


16. Una fbrica de pinturas realiza una encuesta a 80 de sus clientes, preguntndoles si estn conformes con la calidad de su producto. Si la encuesta llegara a demostrar que ms del 30% de los clientes quedan desconformes con el producto (ojo!: el 30% de todos los clientes que han comprado ese producto, no el 30% de los 80 encuestados), la empresa estara dispuesta a invertir u$s 500000 para mejorar la calidad del producto. Si no, dejar todo como est. a) Establecer los errores de tipo I y de tipo II. Establecer un criterio de decisin, que garantice P(error I) 0.05 b) Calcular P(error II / p=0.5) (o sea, dado que el verdadero porcentaje de clientes insatisfechos es del 50%)

17. Una empresa que arma computadoras recibe mensualmente lotes de 5000 placas electrnicas de un proveedor poco confiable. Previo a la aceptacin de los lotes, se realiza el siguiente control de calidad: se extraen al azar 80 placas de las 5000, las cuales son sometidas a un test de hardware. Si el nmero de placas que fallan en el test es mayor que un nmero crtico c = 2, se rechazar todo el lote (las 5000 unidades). En caso contrario, ste se aceptar. Estn establecidos los siguientes riesgos: I: Riesgo del comprador: aceptar un lote malo (Lote malo: lote con 250 o ms placas falladas entre las 5000) II: Riesgo del proveedor: rechazar un lote bueno (Lote bueno: lote con 50 o menos placas falladas entre las 5000) a) Hallar las probabilidades de riesgos de ambas partes b) Qu valor de c le garantiza al comprador que la probabilidad del riesgo I sea 0.1? c) Para dicho valor de c, calcular P(riesgo II)=P(rechazar/el lote tiene 50 placas falladas) Nota: para este ejercicio utilizar una aproximacin binomial a la distribucin hipergeomtrica

18. Los siguientes son resultados obtenidos al tirar un dado 50 veces: 1, 3, 5, 5, 6, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 6, 4, 6, 1, 6, 1, 3, 4, 6, 2, 2, 4, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 1. a) Estimar la media y la varianza de los resultados y compararlos con los valores tericos correspondientes a un dado equilibrado. b) Calcular la frecuencia de ases, y compararla con su valor esperado. dem para cada uno de los otros valores Qu puede afirmar sobre la honestidad del dado utilizado? Graficar los datos en un histograma.

Variables continuas 19. Determinar si las siguientes funciones son fdp y en caso afirmativo hallar la FD correspondientes a) f(x) = 1 b) f(x) = 1 para 0


22. Los siguientes datos corresponden a la concentracin de nquel en 20 muestras de una aleacin: 1,70, 1,75, 1,80, 1,29, 1,02, 1,58, 0,91, 0,89, 1,87, 1,99, 1,49, 1,12, 0,62, 0,39, 1,62, 1,68, 1,41, 1,35, 1,62, 0,83 a) Hallar la media y la desviacin standard de estos datos y construir un histograma b) Segn una publicacin, se supone que la concentracin de nquel en dicha aleacin tiene la siguiente fdp: f(x)=x/2, si 00 y >0 son parmetros fijos.

a) Si la vida til (en horas) de un producto es W(1.5, 500), hallar la probabilidad de que dure ms de 700 horas, sabiendo que lleg a las 500 horas sin romperse posee falta de memoria la distribucin de Weibull? b) Se fabrica un lote de estos productos. Responder: la mitad del lote va a durar ms de (mediana)

26. En una computadora fallan, en promedio, dos transistores por hora segn una distribucin de Poisson. Mientras menos de siete transistores estn fallados la computadora funciona normalmente, parndose en caso contrario. Hallar la probabilidad de que la computadora pueda desarrollar un clculo que insume 3 horas.

III: Cambios de variables. 27. Sea X una variable aleatoria Bi(5,0.3) Hallar la funcin de probabilidad de Y = |X-3|

28 Sea X U(-2; 4). Hallar la densidad de X2.

29. Sea X U(0,1). Hallar la densidad de ln(X)

30. Sea X tal que f(x) = x + 1 para -1 < x < 0 y f(x) = -x + 1 para 0 < x < 1. Hallar la densidad de X2.

31. Sea X U(-2,3), y sea ( ) ( )

>

=

0204

2 xsixxsie

xhx

Hallar la densidad de Y=h(X)

32. Dada. X U(-2,3), y dada ( )


a) Hallar la funcin de distribucin de Y=h(X) es Y discreta?, es continua? b) Descomponer la funcin de distribucin hallada como una combinacin lineal de dos funciones de distribucin, correspondientes una a una v.a. discreta y otra a una v.a. continua. Hallar E(Y)


GUIA 3: Vectores Aleatorios

1. De una urna que contiene 5 bolitas rojas, 3 verdes y 2 azules se sacan 3 bolitas sin reposicin. Sean X la cantidad bolitas verdes obtenidas e Y la cantidad de verdes a) Hallar la distribucin de probabilidad conjunta, y las distribuciones de probabilidad marginales X e Y son independientes? Si se obtiene una verde cul es la probabilidad de no sacar ninguna azul? Escribirlo en trminos de la f.p. condicional b) Si se obtiene una azul, cul es la probabilidad de obtener ninguna verde? c) son X e Y independientes? d) Hallar la distribucin de probabilidad de la suma S = X + Y. e) Hallar de dos formas diferentes la media de S y su variancia.

2. Sea X el nmero salido en un dado. Se tira una moneda X veces, siendo Y el nmero de caras. Hallar pY/X=3.

3. De un mazo de baraja espaola se extraen repetidamente cartas con reposicin. Sean U y V los nmeros de las extracciones en que salen el primer oro y la primera copa. Son variables independientes?

4. Sean X . Bi(m,p), e Y . Bi(n,p) independientes entre s. Probar que X+Y Bi(m+n,p)

Sugerencia: usar la siguiente igualdad:

+=

=k

nm

jkn

jmk

j 0

5 Para X e Y como en el ejercicio anterior, probar que la distribucin condicional de X/X+Y es hipergeomtrica

6. (opcional) Demostrar las siguientes propiedades a) ( )

( ) ( )

++

PYXntesindependie

PYPX

b) ( )( )

+

=+

,zBiXntesindependie

PYPX

zYX

c) ( )( ) ( )pPYp,xBiY

PX

xX

=

7. Los vehculos pasan por un punto de una autopista a una tasa de uno por minuto. Si el 5% de ellos son camiones y el proceso es de Poisson, contestar las siguientes preguntas: a) Cul es la probabilidad de que al menos un camin pase en una hora? b) Si pasaron 10 camiones en una hora, cul es el nmero esperado de vehculos que han pasado en esa hora? c) Si pasaron 50 vehculos en una hora, cul es la probabilidad de que 5 de ellos hayan sido camiones?

8. Sea L la cantidad de ases que salen al tirar 10 veces un dado equilibrado. Se hacen N tiradas ms; Sea L la cantidad de ases que salen en ellas. Hallar la esperanza de N+L. Hallar la distribucin de L

9.Se arroja un dado repetidamente. Sea X el nmero de la tirada en que sale el primer as, e Y la cantidad de cuatros que se obtuvieron antes del primer as. Hallar E(Y/X) y deducir E(Y)


10. De un cajn de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 bananas, se seleccionan al azar 4 frutas. Si X es el nmero de naranjas obtenidas e Y el nmero de manzanas obtenidas: Hallar la fp conjunta y las fp marginales. Cul es la probabilidad de que la cantidad total de naranjas y manzanas obtenidas no supere a 2?

11. Dada la funcin de densidad conjunta ( ) ( ) 210;20 si,22, xyxyxayxf

=

+

no si 00;0 si ,

,

yxeyxf

yx

Encontrar P(0 < X < 1 /Y = 2)

17. Dada la funcin de densidad conjunta ( ) ( )


Calcular el coeficiente de correlacin muestral y responder si la prediccin es posible. A travs del mtodo de cuadrados mnimos predecir la capacidad que se espera tenga un capacitor de 54 m de separacin

20.Dos personas han quedado en encontrarse entre las t y las t +t horas, pero cada uno no esperar al otro ms de a minutos. Cul es la probabilidad de que se encuentren? Resp: (a / t)(2-a / t)

21. Sea X el tiempo que pasa (desde un instante inicial t = 0 horas) hasta que se quema una plaqueta electrnica que comanda un proceso industrial. Se supone que X (=1/5) Una vez que se quema esta plaqueta, el proceso puede durar an un tiempo ms. Si Y es la duracin del proceso (desde t=0), se supone que ( )1, + XXUY X a)Hallar la probabilidad de que el proceso dure ms de 7 horas b) Si el proceso dur 7,5 horas, cul es la probabilidad de que la plaqueta se haya quemado antes de las 7 horas?

22. Sean X, Y v.a. i. con fdps ( ) ;21;/ 2


GUA 4 Complementos sobre variables aleatorias

Mezcla, Truncamiento, Distribuciones de extremos 1. Un lote de ampollas tiene una capacidad de 10 cm3 cada una. Una mquina envasadora enva a cada ampolla un volumen de lquido que es una v.a. con densidad proporcional a (20-x) para 0 < x < 20 (en cm3). Hallar a) La funcin de densidad de probabilidad del lquido en una ampolla b) dem del lquido rebalsado c) La cantidad media de lquido por ampolla d) La varianza del lquido rebalsado.

2. Los aportes de agua que en un ao llegan a un embalse procedente de su cuenca alimentadora, constituyen un volumen X aleatorio que se distribuye segn la siguiente funcin de densidad de probabilidad (en hm3): f(x) = (x-150)/1252 para 150 x 275; f(x) = (400-x)/1252 para 275 x 400; f(x) = 0 si no. Si la capacidad del embalse es de 170 Hm3, el consumo de la ciudad que abastece es de 180 hm3, si el agua que llega primero se destina al consumo de la ciudad, y si se supone que al comienzo de un cierto ao el embalse est vaco, se pide: a) la fdp y la fd del agua embalsada al cabo de un ao. b) la probabilidad de que al cabo de un ao el embalse est vaco, y la de que est lleno. c) la esperanza y varianza del agua embalsada al cabo de un ao. d) dem, del agua suministrada a la ciudad.

3. Un viajante tiene tres alternativas de viaje a su trabajo: A, B y C, y sabe que los porcentajes de veces que usa estos medios son respectivamente: 50%, 30% y 20%. El tiempo de viaje de cada medio de transporte es una v.a T (en horas) con: fA(t) = t para 0 < t < tmaxA; fB(t) = t para 0 < t


Simulacin 9.a) Probar que, si U es un nmero aleatorio generado con la instruccin RANDOM de una calculadora

( ) ~)1ln( UX =

b) Elegir un nmero positivo cualquiera, y generar 8 v.a. (). Luego calcular el promedio y desviacin standard muestrales, y compararlos con los valores tericos

10. Generar 10 v.a. continuas con fdp f(x)=x, si 0


Gua 5 - Distribucin Normal. Teorema Central del Lmite

1. En una planta industrial el consumo mensual de combustible es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 20000 litros y desvo estndar 2500 litros. a) Qu porcentaje de los meses se consume menos de 24000 litros? b) dem con ms de 18000 l y entre 18000 y 24000 l c) Qu capacidad debe tener un tanque para satisfacer el consumo mensual con 95% de probabilidad? d) Cul es el consumo superado en el 90% de los meses? e) Considerando slo los meses en que se consume menos de 24000 litros, en qu porcentaje de ellos se consume ms de 18000?

f) Considerando slo en que se consume ms de 18000 litros, qu porcentaje de ellos consume menos de 24000? g) Para el tanque cuya capacidad fue calculada en d), supongamos que es llenado todos los meses; cul es la probabilidad de que en un ao haya algn mes en que no alcance a satisfacer el consumo?

(Hacer este ejerciciocon la tabla de la D. Normal, y verificar el resultado con las funciones de Excel distr.norm y distr.norm.inv)

2. En un establecimiento agropecuario, el 10% de los novillos que salen a venta pesan ms de 500 kg y el 7% pesa menos de 410 kg. Si la distribucin es normal, calcular: a) El peso superado por el 15% de los novillos. b) Un intervalo que comprenda al 95% de los novillos. c) La probabilidad de que en una jaula de 25 novillos haya alguno que pese menos de 400kg

3. En una lnea de montaje se arma un mecanismo que tiene un eje que gira dentro de un buje. Un eje y un buje ajustan satisfactoriamente si el dimetro del segundo excede al del primero en no menos de 0,005 y no ms de 0,035. Los dimetros de los ejes y los bujes son variables aleatorias con distribuciones U(0,74; 0,76) para los ejes y U(0,76; 0,78) para los bujes, independientes. Cul es la probabilidad de que un eje y un buje tomados al azar ajusten satisfactoriamente?

4. En una fbrica de cerveza tienen una mquina llenadora que recibe envases de vidrio vacos y los llena con un volumen terico de cerveza que ser elegido e ingresado en el software de la mquina. Una vez elegido tal volumen terico (llammoslo V), el volumen real de las distintas botellas ser N(V, 10 ml) a) Si se elige V=1 litro, qu valor debera indicarse en el envase si se pretende que slo el 3% de las botellas tengan menos cantidad que lo indicado?

b) Si se desea que slo el 1,5% de los envases supere 1 litro, cmo debera elegirse V? c) Si se extraen de 20 envases, cul es la probabilidad de encontrar ms de dos con volumen inferior a 970 ml? Nota: Suponer que la capacidad de los envases es lo suficientemente grande para ser llenados con cualquier volumen sin que desborden

5. Respecto al ejercicio anterior, suponer que si las botellas con menos de 970 ml son consideradas no conformes. Si la empresa vende botellas no conformes, se arriesga a recibir una multa de la Secretara de Defensa del Consumidor a) Cmo debe elegirse V, si se desea que slo el 0,5% de los envases sean no conformes? b) Describir en palabras los errores de tipo I y II para este problema c) Calcular el error de tipo II, para una botella llenada con 982 ml

7. El peso de conejos machos adultos se supone N(=340g, =20g), y el de las hembras se supone N(=300, =15). Se estima un proporcin de machos del 40%. a) Si se colocan 4 conejos al azar en una jaula, hallar la probabilidad de que la jaula llena pese ms de 1,3 kg (descartando el peso de la jaula vaca) b) Si dicha jaula pesa 1,3 kg, Cul es la probabilidad de que contenga 2 machos y 2 hembras?


8. El lmite mximo permitido de descarga de desechos slidos a un ro en una ciudad es de 60 mg/l diarios. Un minuciosos estudio realizado en muestras de agua seleccionadas al azar del desecho de una fbrica durante un largo perodo de tiempo permiti saber que la cantidad de slidos descargados por da (en mg/l) es una v.a. con = 52, = 6. a) Calcular la probabilidad de que en un da cualquiera la fbrica no cumpla el requerimiento. (suponer DN) b) Calcular la probabilidad de que el promedio mensual de desechos no cumpla el requerimiento. Es necesaria aqu la suposicin de normalidad de a?

9. En un casino hay una ruleta de slo tres nmeros: 3, 6 y 9 (al tirar la ruleta, cada uno de estos nmeros tiene probabilidad 1/3 de salir). Luego de apostar 10$, los jugadores tiran 3 veces la ruleta, y el casino paga tantos pesos como el mximo nmero salido en las tres tiradas. a) Sea P el dinero perdido por un jugador al jugar (P>0 significa que el jugador perdi, P


Ocho valores consecutivos por encima de o por debajo de a) Calcular las probabilidades de cada seal de descontrol, y verificar que todas son < 0,005 (suponer XN(,)). b) Luego de un da de trabajo se tomaron 50 mediciones y se volcaron en el siguiente grfico (grfico de control). Analizarlo, y decir si aparecen seales de descontrol, o si, por el contrario, el proceso funciona controlado

161,6

161,8

162,0

162,2

162,4

162,6

162,8

163,0

163,2

Nota: De las seales de descontrol indicadas arriba se excluy una de ms tiles en la prctica real: Seis puntos consecutivos en tendencia creciente o decreciente La probabilidad de esta seal de descontrol es 0,0015 pero su clculo es ms complejo que el de las otras.

Verificaciones del TCL 14.a) Dado que toda v.a. Bi(n,p) puede representarse como suma de v.a. Bi(1,p) (o Bernoulli), es razonable la idea de aproximar dicha distribucin por una normal. Utilizando la funcin distr.binom de Excel, graficar las f.p. correspondientes a distribuciones Bi(n,p), para n=5, 20 y 50, y p=0,05, 0.1 y 0.5 (9 grficos en total) Decidir cules de dichos grficos tienen formas de campana, y en consecuencia en qu casos resulta correcto aproximar sus distribuciones por normales b) A pesar de que no toda v.a. P() puede representarse como suma de otras v.a., es razonable tratar de aproximar dicha distribucin por una normal, sobre todo para altos valores de . Utilizando la funcin poisson de Excel, graficar las f.p. correspondientes a distribuciones P(), para =1, 3.5 y 10 Decidir cules de dichos grficos tienen formas de campana, y en consecuencia resulta correcto aproximar por normales

15. Sea X=X1+ X2+ X3+ X4 + X5, con XiU(0,1) independientes. Se desea saber si la distribucin de X puede o no aproximarse por una normal. Para esto, se propone usar Excel para generar 200 copias simuladas de la v.a. X . Se procede de la siguiente manera:

a. utilizando la funcin aleatorio(), generar una matriz de 200 x 5 nmeros U(0,1) (RANDOM) b. sumar por columnas, generando una 6ta columna, cuyos elementos sern copias simuladas de X c. graficar estos valores en un histograma mediante la opcin: Herramientas/Anlisis de Datos/Histograma d. evaluar si dicho histograma posee o no forma de campana, y en consecuencia responder si la aproximacin

propuesta es adecuada o no


Ejercicios Variados Guas 1 a 5

Nota a los alumnos: La inclusin de esta lista de ejercicios separada de las guas anteriores obedece slo a una sugerencia sobre el orden conveniente para resolver los ejercicios. Se recomienda hacer primero los ejercicios anteriores, y luego los que vienen a continuacin, cuya resolucin requiere tener los conocimientos un poco ms asentados. Sin embargo, estos ejercicios son parte integrante de la Gua de la materia y no deben ser considerados como opcionales

1. El arribo de clientes a un comercio sigue un proceso de Poisson de media 3 clientes por hora. Sin embargo, slo el 30% de los clientes que arriban realizan alguna compra. a) Si el costo de cada compra realizada es una variable aleatoria con distribucin U($100, $150), calcular la facturacin esperada luego de 6 horas de trabajo. Justificar el clculo b) Calcular aproximadamente la probabilidad de que en 10 das de trabajo (8 horas por da) se facture ms de $11000

2. Dadas v.a. X, Y tales que: X U(3,4) e Y/X N(X,1), y usando la tabla de la DN, hallar fY(5) y P(X>3.5/Y=5)

3. Una empresa farmacutica compra un gran lote de envases de vidrio. Por convencin, un lote se declara como bueno si contiene 1% o menos de envases quebrados, y se establece como malo si dicho porcentaje supera el 5%. Se debe establecer un plan de muestreo, esto es: un tamao muestral n y un nmero de aceptacin c. Se inspeccionar una muestra de n envases, y se aceptar un lote cuando el nmero de envases quebrados encontrados en la muestra supere a c. Hallar valores de n y c que garanticen que tanto la probabilidad de aceptar lotes malos (error I), como la probabilidad de rechazar lotes buenos (error II) sean ambas iguales o menores que 0,05 (aproximar por DN)

4. Sea la fase de un generador elctrico, la cual vara aleatoriamente segn una distribucin U(pi,pi). Se define el factor de potencia como C=cos() . a) Hallar la funcin de densidad de C. Calcular algunos puntos de esta funcin que permitan realizar un grfico aproximado. Calcular ( ))5.0


b) Se justificara econmicamente la decisin de desconectar el sistema una vez por semana para cambiar los capacitores fallados, en lugar de cada dos? (realizar las aproximaciones necesarias para poder responder)

8. La duracin en horas de un generador energtico tiene distribucin exponencial con =0,002 h-1. Dos generadores idnticos estn conectados de forma tal que, cuando uno falla, se activa automticamente el segundo. Por otro lado, la potencia de ambos generadores es una v.a. U(0; 0.01 MW), constante y la misma para los dos equipos. c) Hallar la energa total generada por ambos equipos en toda su vida til (Recordar: energa = potencia tiempo) d) Calcular la probabilidad de que la energa generada sea mayor que 7 MWh, si es mayor que 5 MWh

9. En un casino hay una ruleta con 5 nmeros, como indica la figura. El sector con el n 1 abarca 90 del plato de la ruleta, el del 2 y el del 3, 45 cada uno, el del 4 60 y el del 5 120. La probabilidad de que salga cada nmero es proporcional al ngulo que define cada sector. a) Utilizando la tecla RANDOM de la calculadora, simular 10 tiradas de la ruleta. b) Calcular el promedio y la desviacin standard muestrales, y compararlos con los valores tericos esperados. c) Hallar la probabilidad aproximada de que, luego de tirar la ruleta 100 veces, la suma de los nmeros obtenidos sea mayor que 250

10. Mtodo de Box-Muller para simular v.a. normales a) Dadas U y V v.a. RANDOM (o sea, U(0,1)) probar, efectuando un cambio de variables bidimensional, que, si

( )( )

=

=

VsenUYVUX

pi

pi

2ln22cosln2

X e Y resultan v.a. N(0,1) independientes entre s. (Sugerencia: se puede despejar fcilmente U y V como funciones de X e Y, haciendo X2+Y2, y Y/X. Cualquier semejanza con coordenadas polares no es pura coincidencia) b) A partir de este resultado, explicar como simular v.a. con distribucin N(, ), para cualquier valor de y c) Generar 10 v.a. N(10,2). Calcular el promedio y desviacin standard muestrales y compararlos con los valores tericos

11.Un scanner ptico automtico busca defectos en una hoja continua de metal. Si el metal est siendo producido adecuadamente, los defectos deberan ocurrir a una tasa de un defecto cada 50m2 de metal. Responder las siguientes preguntas suponiendo distribucin de Poisson a) cul es la probabilidad de encontrar 7 o ms defectos en 200 m2 de metal, dado que el proceso funciona adecuadamente? b) La compaa quiere poner a punto un plan de inspeccin que detecte cundo el proceso est funcionando mal. La inspeccin se llevar a cabo del siguiente modo: se inspeccionan los primeros 200 m2 de metal producido. Si se encuentra un nmero mayor de defectos que un nmero crtico c, entonces el proceso es declarado como no conforme. Determinar el nmero crtico c necesario para que si, la verdadera tasa de defectos es de 4 defectos cada 50 m2, entonces la probabilidad de declarar al proceso no conforme sea 0,95. c) Usando ese valor de c, cul es la probabilidad de declarar conforme un proceso no conforme?

12.Un supermercado decide hacer una promocin para sus clientes. Prepara 3 canastas con productos: una con quesos, otra con vinos y una tercera con fiambres. El primer cliente que concurra a partir de las 10 horas, recibe por sorteo una de las tres. El segundo en llegar recibe por sorteo una canasta entre las dos que quedan, y el tercero en llegar se lleva la canasta restante. La llegada de clientes sigue un proceso de Poisson con = 6 clientes / hora a) Calcular la probabilidad de que la canasta con vinos sea entregada antes de las 10:20. b) Calcular la probabilidad de que las tres canastas sean entregada antes de las 10:20.

1

2

5

4 3

1

2

5

4 3


c) Dados los 3 eventos siguientes: Q: la canasta de quesos es entregada antes de las 10:20; V: la canasta de vinos es entregada antes de las 10.20 y F: la canasta de fiambres es entregada antes de las 10:20, son independientes V, Q y F? Justificar

13.Una empresa fabrica pur de tomate en latas y una mquina lo envasa en latas. La mquina es controlada por una balanza, que al registrar un peso A seteado por el operador, corta el flujo de producto y cierra la lata. Se supone que la balanza no es exacta. El peso medido es un v.a. con distribucin normal centrada en el peso verdadero, y =10. La empresa debe asegurar que las latas contengan por lo menos 350g, en caso contrario se expone a una multa. Cmo debe elegirse A para asegurar que menos del 0,5% de latas tengan un peso


18. Sea XN(0,1). Hallar la ditribucin de X2

19. Las llegadas de clientes a una ventanilla de atencin al pblico configuran un proceso de Poisson de = 3 clientes /minuto. Cuando los clientes llegan se agregan a la cola, hasta que les llegue el turno de ser atendidos. La atencin de c/u demora un tiempo U( 0,3min ; 0,5min ) a) Simular la llegada y atencin de 10 clientes, y estimar el tiempo promedio de espera por cliente (cola+atencin) b) (opcional) Realizar 500 simulaciones en una planilla de clculo Afirmara que la longitud de la cola es estacionaria?

20. (opcional) Se desea medir el largo L de una pieza rectangular como la de la figura. Para eso se utiliza un instrumento que no puede alinearse perfectamente. La inclinacin del eje del instrumento (X) respecto del largo de la pieza forma un ngulo que se supone U(0;5). En dicho instrumento se ley un valor de longitud de 43 mm. Por la incertidumbre en la apreciacin de la lectura, se puede decir que la longitud medida sobre el eje del instrumento, es una v.a. U(42,8mm ;43,2mm)

A partir de simple un anlisis trigonomtrico, est claro que el largo de la pieza es: L = X cos . Determinar fL y calcular la probabilidad de que la pieza mida menos que 42,8 mm

21. Se desea medir la longitud del semieje de un camin, con un calibre digital largo de resolucin 0.01 mm. Esto ltimo significa que el instrumento posee un indicador digital como el siguiente:

, mm

Si L es la variable fsica (continua) correspondiente a la longitud medida, el dispositivo digitalizador del calibre redondea L a un valor Y (discreto). Y es el valor ms cercano a L entre los expresables en centsimas de mm. a) En estas condiciones, se suele suponer que YL U( Y - 0.005mm; Y + 0.005 mm). Explicar en palabras por qu b) Por otro lado, la indicacin Y puede variar a causa de dilataciones trmicas del calibre. Para evaluar estas variaciones se repiti la medicin del semieje 100 veces, obteniendo los valores siguientes:

Y (en mm) 1931.13 1931.14 1931.15 1931.16 frecuencia 28 40 26 6

En base a estos datos, estimar la funcin de probabilidad pY y deducir E(Y) y E(L) c) Hallar la funcin de densidad de L a partir de la informacin disponible, y calcular la probabilidad de que el semieje mida ms de 1931.158 mm Nota: En realidad, L es un parmetro fsico constante (longitud del semieje), pero se lo considera una v.a. debido a la falta de informacin completa sobre su valor exacto

22 Un lote de bombitas elctricas se considera bueno, cuando menos del 1% de las bombitas estn quemadas, y se considera malo cuando dicho porcentaje asciende al 3% o ms. Una cadena de supermercados compra un lote de 50000 bombitas, y elige una muestra de n para ensayar. Si c o menos de ellas estn quemadas, acepta el lote. En caso contrario lo devuelve al proveedor. Se proponen 3 planes de muestreo:

I: n=200; c=4 II: n=100; c=2 III: n=100; c=1

L

X

L

X


a) Expresar en palabras los riesgos del proveedor y del comprador b) Utilizando la funcin distr.binom de Excel, graficar las COs de los 3 planes (es vlido aproximar hipergeomtrica por binomial, porque n500 / T>300) para

= 0.5 = 1 = 1.5

b)En general, si la distribucin es con 1, que tiene fallas por desgaste. Interpretar los resultados obtenidos en a) c) Indicar, de acuerdo a su modo de falla, en cul de las categoras de b) clasificara a los siguientes productos

un software de uso comercial, donde T es el tiempo hasta que el usuario encuentra un error de programacin un neumtico, donde T es el tiempo hasta una pinchadura causada por objetos punzantes en las calles una heladera, donde T es el tiempo hasta que el motor deja de enfriar


GUIA 6 - Inferencia - Estimacin de parmetros - Ensayos de hiptesis

1. Dar una muestra de 5 nmeros en la cual la mediana coincide con la media, otra en que la mediana tome valores muy por encima de la media, y otra en que tome valores muy por debajo.

2. Se desea estimar la media de una poblacin normal N(; 1), basndose en dos observaciones. Para eso se proponen tres estimadores:

2;

63

;5

4

213

212

211

XXXXXX +=

+=

+=

Calcule los errores cuadrticos medios de c/estimador Cul es preferible?

3. En una serie de m experiencias binomiales se registran X xitos, y en una serie posterior de n experiencias binomiales se registran Y xitos. Se proponen los siguientes estimadores del parmetro p:

nm

YXpnYmXp+

+=

+= 21

;2

//

Calcule los errores cuadrticos medios de c/estimador Cul es preferible?

4. Estimar por el mtodo de mxima verosimilitud: a) Los parmetros y de una distribucin normal b) El parmetro p de una distribucin Bi(n; p). c) El parmetro p, la media y la varianza de una distribucin G(p) d) El parmetro p, la media y la varianza de una distribucin de Pascal (r,p) e) La media, la varianza y el desvo standard de una distribucin de Poisson. f) El parmetro lambda, la media y la varianza de una distribucin exponencial

5. Estimar por el mtodo de mxima verosimilitud a) El parmetro b de una distribucin uniforme [0; b]. b) Si el estimador obtenido resulta sesgado, proponga uno que no lo sea. c) Determinar si el estimador obtenido es consistente

6. Estimar en forma bayesiana suponiendo distribucin a priori constante, el parmetro a de una variable con

distribucin triangular: ( )

+


9. Suponiendo que la concentracin de SO4 para una estacin de contaminacin tiene distribucin N(, 4ppm). Captando 16 muestras de una hora de duracin cada una, seleccionadas al azar, en un perodo de estudio, se obtuvo una media muestral de 9 ppm. a) Cul es el intervalo de confianza del 95% de nivel de confianza para ? b) Cul debe ser el tamao de la muestra si se desea que el error sea 0,25 ppm, con una confianza del 90%? c) cul es el intervalo de confianza del 95% para estimar si el desvo standard fue estimado a partir de los datos de la muestra: s=4 ppm?

10. Se debe determinar la concentracin de plomo en una muestra de agua cloacal. Para esto se quiere aplicar un mtodo de medicin que, se sabe, no es demasiado preciso y adems es sesgado. Para estimar la precisin y el sesgo de dicho mtodo, se mide 10 veces un material de referencia con cantidad conocida de plomo: 28,3 ppm. Se obtienen los siguientes valores: 28.6; 29.6; 30.1; 29.3; 32.1; 29.6; 29.4; 30.6; 29.9; 29.6 (en ppm) a) Estimar la precisin (desviacin standard) y el sesgo del mtodo de medicin b) Luego, se mide una nica vez la muestra de agua, obteniendo un valor de 36.4 ppm. Dar un intervalo de confianza del 95% para la verdadera concentracin de plomo en la muestra (suponer DN) c) La legislacin ambiental indica que el contenido de plomo en aguas cloacales debe ser menor que 40 ppm. Cul es la probabilidad de que la muestra no est en regla? (suponer DN)

11.De un conjunto de datos sobre DBO (demanda bioqumica de oxgeno) en una cierta estacin fluvial se obtuvo que para 25 das seleccionados al azar, dicho parmetro indicador de contaminacin arrojaba una media muestral de 35 mg/l y s2=0,184 (mg/l)2. Asumir que el nivel diario de DBO obedece a una distribucin normal. a) Hallar el intervalo de confianza del 99% de nivel de confianza para estimar el verdadero valor medio de DBO. b) Cmo modificara a) si se conoce 2 = 0,184 (mg/l)2? c) Si un ingeniero no est de acuerdo con la amplitud del intervalo establecido en y quisiera reducirlo en un 50% considerando el mismo nivel de confianza, cuntas mediciones adicionales debera realizar?

12. Una empresa de servicios desea evaluar la satisfaccin de sus clientes acerca de la atencin al pblico por parte de sus empleados. Para esto, decide elegir al azar una muestra de sus clientes, de tamao n, a los cuales se les preguntar si estn o no conformes con la atencin. Si el porcentaje de clientes disconformes es menor al 70%, aplicarn correcciones. a) En primera instancia, entrevistan a n = 50 clientes, de los cuales 13 estn disconformes. Alcanza esta muestra para tomar alguna decisin? b) A continuacin, deciden construir un intervalo de confianza del 90% para la estimacin del porcentaje de clientes disconformes. Cun grande deber ser la muestra para que el ancho del intervalo sea menor que 3%?

13. En una eleccin poltica se enfrentan dos candidatos, el Dr. Manodur, y el Lic. Ionorrobo. Una semana antes de la eleccin, se realiza una encuesta a 2000 votantes, de los cuales 925 eligieron al primero, y 890 al segundo. El resto manifest que pensaba votar en blanco. Estimar por intervalos de confianza de nivel 0.95 los porcentajes verdaderos de cada candidato. es posible aventurar que alguno va a ganar, o, por el contrario, hay empate tcnico?

14.a) Se desea determinar la concentracin de cloruro de vinilo en una bebida gaseosa envasada en botellas plsticas. Se toman 20 botellas de la produccin de una fbrica, determinando la concentracin de cada botella, y promediando los 20 valores obtenidos. Si la muestra produjo una media de 0.5 ppm y una desviacin estndar s = 0.02 ppm, dar un I de C del 95 % para la concentracin media. b) Esta determinacin debe ser realizada diariamente en la fbrica. Para abaratar el ensayo, un ingeniero propone un mtodo alternativo: mezclar volmenes iguales de cada una de las 20 botellas muestreadas, obteniendo as un nico volumen, y realizar sobre esta mezcla una nica determinacin. Qu ventajas estadsticas tiene el primer mtodo sobre el segundo? c)Se propone un tercer mtodo, como una modificacin del anterior: en lugar de realizar una nica determinacin, se realizan 20 sobre la mezcla, promediando los resultados. Es este ltimo mtodo estadsticamente equivalente al primero?


15. Un operario toma una muestra aleatoria de 12 cables obteniendo las siguientes longitudes (en metros): 9,2; 9,7; 9,8; 10,2; 10,4; 10; 9,4; 9,5; 10,3; 9,9; 9,7. a) Hay evidencia suficiente para afirmar con un =0.01 que la longitud media es


24. Quince hombres adultos participan de un estudio para evaluar el efecto de una dieta sobre el nivel de colesterol en sangre. Los datos aparecen en la tabla siguiente:

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Antes 265 240 258 295 251 245 287 314 260 279 283 240 238 225 247

Despus 229 231 227 240 238 241 234 256 247 239 246 218 219 226 233 Estos datos apoyan la afirmacin de que el tratamiento disminuye el nivel de colesterol?

25. Se sospecha que la cantidad de fallas de terminacin en una lnea de pintura de carroceras de autos, tiene distribucin de Poisson. De los ltimos 100 autos pintados se obtuvo la siguiente estadstica de fallas No. de fallas por auto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 cantidad de autos en que se encontr dicho nmero de fallas 2 11 18 24 22 11 8 3 1

Estimar la tasa de fallas por auto, y testear si realmente es aplicable la distribucin de Poisson


Ejercicios Variados Gua 6

1. Un fabricante de ventiladores asegura que la velocidad media de rotacin de sus productos es superior a 215 vueltas/min. Se ensayaron 12 ventiladores, obteniendo un promedio de 208.5 vueltas/min, y se supone un valor = 0.8 vueltas/min. Existe evidencia para desmentir justificadamente la afirmacin del fabricante al nivel =0.05? Expresar en palabras la conclusin obtenida, como para contrsela a alguien sin conocimientos de Probabilidad o Estadstica. Graficar la funcin de potencia

2. Para decidir peridicamente si el porcentaje de piezas defectuosas que produce una mquina est del nivel establecido del 2%, deben hacerse ensayos. Fijar los riesgos e indicar cmo hacer el ensayo y por qu.

3. Una empresa farmacutica debe comprar un gran lote de envases de vidrio para uno de sus productos, y quiere asegurar que el porcentaje de envases con la rosca defectuosa sea mucho menor que el 2%. Para verificar si un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n=250 envases y se inspeccionan. Sea X el nmero de envases inspeccionados con la rosca defectuosa. Se aceptar el lote si X c, (para algn valor cuidadosamente elegido de c), y si X > c, se el lote ser devuelto. Cmo debe elegirse c, si se quiere tener una probabilidad cercana a 0.1 de aceptar el lote cuando la verdadera proporcin de envases defectuosos es del 2% Para dicho c, hallar la probabilidad de rechazar el lote, si el verdadero valor de p es 1%.

4. a) Una empresa requiere, para una materia prima comprada en grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea bastante menor al 3%. Para verificar si un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de 130 unidades, a las que se somete a inspeccin. Si el nmero de piezas defectuosas es menor o igual que un valor c, se acepta el lote. Si no, se lo rechaza. Expresar en palabras los errores de Tipo I y II b) Hallar c para que el error de Tipo I, sea menor al 10%

5. Una especificacin de compras de una empresa requiere, para una materia prima comprada en grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea no mayor del 2%. Para verificar si un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n unidades, a las que se somete a inspeccin. Suponiendo que n=80 y slo una pieza inspeccionada es no conforme,recomendara aceptar el lote? Justificar detalladamente

6. Una muestra de 9 barras extradas al azar de una produccin arrojan una media de 20 cm y que la longitud de las barras es una v.a. N(, = 3 cm) a) Cul es el intervalo de confianza del 90% de nivel de confianza para estimar la longitud media de las barras? b) Cuntas barras adicionales deben ser medidas para aumentar la confianza del mismo intervalo al 95%? c) Si se desconoce pero las 9 mediciones arrojaron un valor: s= 9,4cm, cules son los intervalos de confianza del 90% para estimar la media, la varianza y el desvo standard de la longitud de las barras?

7.a) Antes de comprar un lote de rollos de papel, un comprador desea estar prcticamente seguro de que el espesor medio del producto no es menor que 0,5 mm (prcticamente seguro significa para l con una certeza del 99%). Plantear un test para ese problema. Expresar en palabras el riesgo del comprador y del vendedor, y sus probabilidades. b)Una muestra seleccionada de 8 pliegos registr mmsmmx 01,0;62,0 == Qu decisin debe tomar el comprador? c) Otro proveedor ofrece un producto similar. Una muestra de 6 pliegos de este otro arroja un promedio de 0,7 mm y s=0,02 mm es posible afirmar, al nivel 1%, que el espesor medio es superior al del primer proveedor?

8. El coeficiente de reflexin de voltaje de un medidor de potencia de microondas es definido como una variable aleatoria compleja R, de la cual se supone que tanto Re(R) como Im(R) son v.a. reales N(0, u) independientes, con u conocido (en este ejercicio se supondr u=0.05). a) El factor de absorcin de potencia de dicho medidor se puede calcular como 21 RP = . Hallar E(P) b) Dar un intervalo que cubra a P con probabilidad 0.95 (aplicar que, si las v.a.i. nZZ ,,1 L son N(0,1), 22 niZ )


c) (Opcional) Para calibrar un medidor como el anterior se debe medir el cociente Y entre el factor de potencia PM absorbida por l, y el factor de potencia PR absorbida por un medidor patrn de similares caractersticas (Y= PM / PR). Realizar una simulacin en Excel para generar 1000 valores de Y, y graficarlos en un histograma. De acuerdo a este histograma, puede suponerse que Y es una v.a. normal?

9. a) Dadas v.a. X, Y independientes, se define Z=X Y. Demostrar que 222222 YXXYYXZ ++= (Ayuda: sumar y restar 22 YX en la expresin de 2Z ). Adems, si YYXX


Tablas necesarias para la resolucin de los ejercicios2

I.Funcin de distribucin Normal Standard

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

2 Elaboradas con las funciones distribucin normal estndar, distribucin t inversa y prueba chi.inversa de Excel

( )

=z

t dtez 22

21pi


II: Valores crticos de la distribucin t

g.l. 0.0005 0.001 0.025 0.05 0.1 2 44.70 31.60 6.21 4.30 2.92 3 16.33 12.92 4.18 3.18 2.35 4 10.31 8.61 3.50 2.78 2.13 5 7.98 6.87 3.16 2.57 2.02 6 6.79 5.96 2.97 2.45 1.94 7 6.08 5.41 2.84 2.36 1.89 8 5.62 5.04 2.75 2.31 1.86 9 5.29 4.78 2.69 2.26 1.83 10 5.05 4.59 2.63 2.23 1.81 11 4.86 4.44 2.59 2.20 1.80 12 4.72 4.32 2.56 2.18 1.78 13 4.60 4.22 2.53 2.16 1.77 14 4.50 4.14 2.51 2.14 1.76 15 4.42 4.07 2.49 2.13 1.75 16 4.35 4.01 2.47 2.12 1.75 17 4.29 3.97 2.46 2.11 1.74 18 4.23 3.92 2.45 2.10 1.73 19 4.19 3.88 2.43 2.09 1.73 20 4.15 3.85 2.42 2.09 1.72 25 4.00 3.73 2.38 2.06 1.71 30 3.90 3.65 2.36 2.04 1.70 35 3.84 3.59 2.34 2.03 1.69 40 3.79 3.55 2.33 2.02 1.68 50 3.72 3.50 2.31 2.01 1.68 100 3.60 3.39 2.28 1.98 1.66 3.48 3.29 2.24 1.96 1.65


III. Valores crticos de la distribucin 2

g.l. 0.0005 0.001 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.999 0.9995 2 15.2 13.8 7.4 6.0 4.6 0.2 0.10 0.05 0.002 0.001 3 17.7 16.3 9.3 7.8 6.3 0.6 0.35 0.22 0.02 0.02 4 20.0 18.5 11.1 9.5 7.8 1.1 0.71 0.48 0.09 0.06 5 22.1 20.5 12.8 11.1 9.2 1.6 1.15 0.83 0.21 0.16 6 24.1 22.5 14.4 12.6 10.6 2.2 1.6 1.2 0.4 0.3 7 26 24 16.0 14.1 12.0 2.8 2.2 1.7 0.6 0.5 8 28 26 17.5 15.5 13.4 3.5 2.7 2.2 0.9 0.7 9 30 28 19.0 16.9 14.7 4.2 3.3 2.7 1.2 1.0 10 31 30 20.5 18.3 16.0 4.9 3.9 3.2 1.5 1.3 11 33 31 21.9 19.7 17.3 5.6 4.6 3.8 1.8 1.6 12 35 33 23.3 21.0 18.5 6.3 5.2 4.4 2.2 1.9 13 36 35 24.7 22.4 19.8 7.0 5.9 5.0 2.6 2.3 14 38 36 26.1 23.7 21.1 7.8 6.6 5.6 3.0 2.7 15 40 38 27 25 22 8.5 7.3 6.3 3.5 3.1 16 41 39 29 26 24 9.3 8.0 6.9 3.9 3.5 17 43 41 30 28 25 10 8.7 7.6 4.4 4.0 18 44 42 32 29 26 11 9.4 8.2 4.9 4.4 19 46 44 33 30 27 12 10.1 8.9 5.4 4.9 20 47 45 34 31 28 12 10.9 9.6 5.9 5.4 25 55 53 41 38 34 16 15 13 8.6 8.0 30 62 60 47 44 40 21 18 17 12 11 35 69 67 53 50 46 25 22 21 15 14 40 76 73 59 56 52 29 27 24 18 17 50 90 87 71 68 63 38 35 32 25 23 100 153 149 130 124 118 82 78 74 62 60

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Guias Prob y Est 2009