2013

HYDRAULIQUE POUR LE

TECHNICIEN ET

LINGENIEUR

Auteurs :

Matthieu DUFRESNE, matre de confrences lENGEES

Jos VAZQUEZ, professeur lENGEES

Dernire mise jour : 12/11/2013

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INTRODUCTION ________________________________________________________________________

1. Publics et objectifs

Ce support de cours sadresse aux tudiants en formation de technicien, assistant-ingnieur ou ingnieur dans le domaine de leau. Prsent sous une forme acadmique , il poursuit deux objectifs :

Enseigner les mthodes oprationnelles qui leur permettront de rsoudre les questions hydrauliques auxquelles ils seront confronts (pour les questions hydrauliques les plus

courantes),

Enseigner la dmarche scientifique justifiant ces mthodes oprationnelles pour quils aient la pleine conscience de leurs domaines dapplication.

Ce cours se veut tre une passerelle vers des documents caractre plus technique, notamment ceux

qui peuvent tre tlchargs sur le site internet suivant : guide technique sur le dimensionnement dune canalisation surface libre, guide technique sur linstrumentation des dversoirs dorage

http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu

2. Plan

Ce cours se dcompose en quatre grandes parties :

Partie 1 : Les outils

Les quatre premiers chapitres mettent en place les outils : proprits de leau liquide, outils mathmatiques, gomtrie des canaux et des canalisations et analyse dimensionnelle.

Partie 2 : Lhydrostatique

Le cinquime chapitre sintresse lhydrostatique, cest--dire ltude de leau au repos.

Partie 3 : La mise en quations de lhydraulique et lhydraulique en charge

Les chapitres 6 et 7 sintressent la mise en quations des coulements stationnaires et aux pertes de charge. Avec une application directe lhydraulique en charge, ces chapitres constituent galement les bases de lhydraulique surface libre qui sera aborde dans les derniers chapitres.

Le chapitre 8 sattache dcrire un ouvrage hydraulique couramment utiliss dans les rseaux deau potable comme dassainissement, les pompes centrifuges.

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Enfin, le chapitre 9 dcrit les phnomnes transitoires de coups de blier.

Partie 4 : Lhydraulique surface libre

Les derniers chapitres sintressent lhydraulique surface libre : coulement critique, coulement uniforme. Deux chapitres utiles au dimensionnement des canalisations compltent le chapitre sur

lcoulement uniforme : les coulements auto-ars et les phnomnes de chocs dans les canalisations.

Les chapitres 14 et 15 sintressent respectivement aux lignes deau et au phnomne du ressaut hydraulique.

Enfin, les quatre derniers chapitres sintressent des ouvrages couramment rencontrs en hydraulique surface libre : les chutes, les dversoirs frontaux, les vannes et les canaux Venturi.

Pour terminer, dans le but damliorer ce support de cours, merci de nous faire part de toute coquille ou erreur ventuelle.

3. Droit dauteur

Ce cours est la proprit exclusive de ses auteurs. Toute diffusion par un tiers sans accord crit et

pralable de ses auteurs est interdite.

Matthieu DUFRESNE et Jos VAZQUEZ

Contact : matthieu.dufresne@engees.unistra.fr

Consultez notre site internet : http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu

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Table des matires

INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 2

1. PUBLICS ET OBJECTIFS ........................................................................................................................................... 2 2. PLAN ................................................................................................................................................................. 2 3. DROIT DAUTEUR ................................................................................................................................................. 3

PARTIE 1 : LES OUTILS ..................................................................................................................................... 10

I. PROPRIETES DE L'EAU LIQUIDE .............................................................................................................. 12

1. MASSE VOLUMIQUE ........................................................................................................................................... 13 2. VISCOSITE ......................................................................................................................................................... 14

2.1. Viscosit dynamique .............................................................................................................................. 14 2.2. Viscosit cinmatique ............................................................................................................................ 15

3. TENSION DE SURFACE .......................................................................................................................................... 15 4. PRESSION DE VAPEUR SATURANTE ......................................................................................................................... 17 5. CELERITE DES ONDES ........................................................................................................................................... 19 6. SYNTHESE DU CHAPITRE ....................................................................................................................................... 20

II. OUTILS MATHEMATIQUES ..................................................................................................................... 22

1. DERIVEES ......................................................................................................................................................... 22 1.1. Drives dune fonction une variable ................................................................................................. 22 1.2. Drives dune fonction plusieurs variables ....................................................................................... 23 1.3. Comportement dune fonction .............................................................................................................. 23

2. INTEGRALES ...................................................................................................................................................... 23 2.1. Intgrale simple ..................................................................................................................................... 23 2.2. Intgrale double .................................................................................................................................... 24 2.3. Intgrale triple ....................................................................................................................................... 24 2.4. Thorme de flux-divergence et relations associes ............................................................................. 24

3. DERIVEE PARTICULAIRE ........................................................................................................................................ 25 3.1. Exemple ................................................................................................................................................. 25 3.2. Cas gnral ............................................................................................................................................ 25 3.3. Drive particulaire dune intgrale volumique .................................................................................... 26

4. CENTRE DE GRAVITE ............................................................................................................................................ 26 4.1. Dfinition du centre de gravit dun corps ............................................................................................ 26 4.2. Expression mathmatique de la position du centre de gravit dun corps ............................................ 26

III. GEOMETRIE DES CANAUX ET DES CANALISATIONS ................................................................................ 28

1. CARACTERISTIQUE LONGITUDINALE ........................................................................................................................ 29 2. CARACTERISTIQUES TRANSVERSALES ...................................................................................................................... 29

2.1. Quelques dfinitions .............................................................................................................................. 29 2.2. Quelques exemples de formes de canaux et canalisations .................................................................... 31

IV. ANALYSE DIMENSIONNELLE ............................................................................................................... 36

1. ENTITES PHYSIQUES, UNITES ET MESURES ................................................................................................................ 36 1.1. Prsentation des diffrentes notions ..................................................................................................... 36 1.2. Le systme international ....................................................................................................................... 37

2. FONDEMENT DE L'ANALYSE DIMENSIONNELLE .......................................................................................................... 38 2.1. Thorme de Vaschy-Buckingham ........................................................................................................ 38 2.2. Explicitation du thorme ...................................................................................................................... 38 2.3. Mise en uvre de l'analyse dimensionnelle .......................................................................................... 39 2.4. Exemple de la priode d'oscillation d'un pendule simple ...................................................................... 39

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3. OPTIMISATION D'UN PLAN D'EXPERIENCES .............................................................................................................. 41 4. PRINCIPAUX NOMBRES ADIMENSIONNELS RENCONTRES EN HYDRAULIQUE ..................................................................... 44

4.1. Introduction ........................................................................................................................................... 44 4.2. Les nombres de Reynolds ....................................................................................................................... 45 4.3. Les nombres de Froude .......................................................................................................................... 46 4.4. Les nombres de Weber .......................................................................................................................... 47 4.5. Les nombres de Mach ............................................................................................................................ 47 4.6. Les nombres d'Euler ............................................................................................................................... 48 4.7. Les coefficients de trane, de frottement et autres coefficients adimensionnalisant une force .......... 48

5. LES SIMILITUDES ................................................................................................................................................ 49 5.1. Prambule ............................................................................................................................................. 49 5.2. Des diffrentes similitudes la similitude complte ............................................................................. 49 5.3. Les modles rduits ............................................................................................................................... 50

PARTIE 2 : LHYDROSTATIQUE ........................................................................................................................ 52

V. HYDROSTATIQUE ................................................................................................................................... 54

1. VARIATION DE LA PRESSION DANS UN FLUIDE AU REPOS ............................................................................................. 54 1.1. Equation de lhydrostatique .................................................................................................................. 54 1.2. Variation de la pression dans un fluide incompressible ......................................................................... 56 1.3. Variation de la pression dans un fluide compressible ............................................................................ 57 1.4. Pression absolue et pression relative ..................................................................................................... 58 1.5. Units de mesure de la pression ............................................................................................................ 59

2. ACTION HYDROSTATIQUE DE LEAU SUR UNE PAROI IMMERGEE .................................................................................... 59 2.1. Dmarche .............................................................................................................................................. 59 2.2. Paroi plane en position incline ............................................................................................................. 60

3. SYNTHESE DU CHAPITRE ....................................................................................................................................... 65

PARTIE 3 : LA MISE EN EQUATIONS DE LHYDRAULIQUE ET LHYDRAULIQUE EN CHARGE .............................. 66

VI. MISE EN EQUATIONS DES ECOULEMENTS STATIONNAIRES................................................................ 68

1. EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE ............................................................................................................ 69 1.1. Ecriture intgrale ................................................................................................................................... 69 1.2. Ecriture infinitsimale ............................................................................................................................ 70

2. EQUATION DE L'ENERGIE ..................................................................................................................................... 71 2.1. Prambule ............................................................................................................................................. 71 2.2. Thorme de Bernoulli sur une ligne de courant ................................................................................... 72 2.3. Thorme de Bernoulli gnralis ......................................................................................................... 75

3. EQUATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ........................................................................................................... 87 4. SYNTHESE DU CHAPITRE ....................................................................................................................................... 89

VII. PERTES DE CHARGE ............................................................................................................................ 92

1. PERTES DE CHARGE LINEAIRES ............................................................................................................................... 92 1.1. De la recherche lingnierie ................................................................................................................ 92 1.2. Analyse dimensionnelle ......................................................................................................................... 93 1.3. Travaux de recherche ............................................................................................................................ 96 1.4. Outils pour lingnierie .......................................................................................................................... 97

2. PERTES DE CHARGE SINGULIERES ......................................................................................................................... 104 2.1. Origine des pertes de charge singulires ............................................................................................. 104 2.2. Formulation gnrale dune perte de charge singulire ...................................................................... 105 2.3. Perte de charge dans les tronons dentre ........................................................................................ 106 2.4. Perte de charge dans les largissements ............................................................................................. 107 2.5. Perte de charge dans les coudes .......................................................................................................... 108 2.6. Perte de charge dans un diaphragme ................................................................................................. 110 2.7. Perte de charge travers les grilles ..................................................................................................... 111

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2.8. Perte de charge dans les vannes ......................................................................................................... 111 2.9. Perte de charge au niveau des jonctions et des bifurcations ............................................................... 112 2.10. Cas des coulements surface libre .................................................................................................. 115

3. PRINCIPE DE SUPERPOSITION DES PERTES DE CHARGE ............................................................................................... 117

VIII. POMPES CENTRIFUGES .................................................................................................................... 118

1. INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 118 1.1. Les pompes volumtriques .................................................................................................................. 119 1.2. Les pompes hydrodynamiques ............................................................................................................ 119 1.3. Fonctionnement dune pompe centrifuge ........................................................................................... 119

2. CARACTERISTIQUES TECHNIQUES DUNE POMPE CENTRIFUGE .................................................................................... 120 2.1. Puissance hydraulique ......................................................................................................................... 120 2.2. Hauteur manomtrique totale ............................................................................................................ 121 2.3. Courbe caractristique ........................................................................................................................ 121 2.4. Rendement .......................................................................................................................................... 123 2.5. Condition de cavitation ........................................................................................................................ 123

3. ASSOCIATION DE POMPES .................................................................................................................................. 124 4. SIMILITUDES DE POMPES ................................................................................................................................... 125

4.1. Analyse dimensionnelle ....................................................................................................................... 125 4.2. Dmarche oprationnelle .................................................................................................................... 127

IX. COUPS DE BELIER ................................................................................................................................. 128

1. LES DIFFERENTS TYPES DE COUPS DE BELIER ........................................................................................................... 128 1.1. Phnomnes physiques ....................................................................................................................... 128 1.2. Mise en quations gnrale ................................................................................................................ 128

2. COUP DE BELIER DE MASSE ................................................................................................................................. 129 2.1. Equations rgissant le phnomne ...................................................................................................... 129 2.2. Exemple : fermeture instantane dune vanne avec chemine dquilibre ......................................... 129

3. COUP DE BELIER DONDE ................................................................................................................................... 131 3.1. Mise en quations du phnomne....................................................................................................... 131 3.2. Exemple : fermeture instantane dune vanne sans protection anti-blier ......................................... 133

4. PROTECTIONS ANTI-BELIER ................................................................................................................................. 138 4.1. Dispositifs anti-blier spcifiques ........................................................................................................ 138 4.1. Dispositifs anti-blier non spcifiques ................................................................................................. 138

PARTIE 4 : LHYDRAULIQUE A SURFACE LIBRE .............................................................................................. 140

X. ECOULEMENT CRITIQUE ....................................................................................................................... 142

1. REGIMES DECOULEMENT ET SECTIONS DE CONTROLE .............................................................................................. 143 1.1. Clrit des ondes de surface .............................................................................................................. 143 1.2. Rgimes dcoulement et nombre de Froude ...................................................................................... 145 1.3. Contrle des coulements fluviaux et des coulements torrentiels ..................................................... 146 1.4. Section de contrle .............................................................................................................................. 147 1.5. Classification dtaille des coulements surface libre en fonction du nombre de Froude ............... 147

2. CONDITIONS FAVORABLES A LAPPARITION DU REGIME CRITIQUE ............................................................................... 149 2.1. Interprtation physique des phnomnes de passage par lcoulement critique ............................... 149 2.2. Synthse des conditions favorables lapparition du rgime critique ................................................ 150 2.3. Influence de la gomtrie du fond ....................................................................................................... 151 2.4. Influence de la section en travers ........................................................................................................ 153

3. CALCUL DE LA HAUTEUR CRITIQUE ....................................................................................................................... 154 3.1. Principe gnral du calcul .................................................................................................................... 154 3.2. Section rectangulaire ........................................................................................................................... 155 3.3. Section circulaire.................................................................................................................................. 155 3.4. Section ovode standard 2:3 ................................................................................................................ 156

7

3.5. Section fer--cheval standard 4:3 ........................................................................................................ 157

XI. ECOULEMENT UNIFORME .................................................................................................................... 158

1. DESCRIPTION DE LECOULEMENT UNIFORME .......................................................................................................... 158 2. CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE ...................................................................................................................... 159

2.1. Prambule ........................................................................................................................................... 159 2.2. Approche par la charge ....................................................................................................................... 159 2.3. Approche par la quantit de mouvement ............................................................................................ 161 2.4. Lapproche de Chzy ............................................................................................................................ 163 2.5. Principe gnral du calcul selon la relation de Gauckler-Manning-Strickler ....................................... 166 2.6. Section circulaire.................................................................................................................................. 166 2.7. Section ovode standard 2:3 ................................................................................................................ 167 2.8. Section fer--cheval standard 4:3 ........................................................................................................ 168

XII. ECOULEMENTS AUTO-AERES ........................................................................................................... 170

1. DESCRIPTION DU PHENOMENE DE LEAU BLANCHE .................................................................................................. 170 2. QUANTIFICATION DE LAUTO-AERATION DUN ECOULEMENT ..................................................................................... 171

XIII. PHENOMENE DE CHOC DANS LES CANALISATIONS A SURFACE LIBRE .............................................. 172

1. DESCRIPTION DU PHENOMENE DE CHOC DANS LES CANALISATIONS ............................................................................. 172 2. PRISE EN COMPTE DANS UN DIMENSIONNEMENT .................................................................................................... 172

XIV. LIGNES DEAU .................................................................................................................................. 176

1. MISE EN EQUATION POUR UN CANAL PRISMATIQUE SANS MODIFICATION DU DEBIT ....................................................... 176 2. INTEGRATION DE LA LIGNE DEAU ........................................................................................................................ 178 3. CAS PARTICULIERS ............................................................................................................................................ 178

3.1. Prambule ........................................................................................................................................... 178 3.2. Canal rectangulaire trs large ............................................................................................................. 179 3.3. Canal rectangulaire quelconque .......................................................................................................... 183

XV. RESSAUT HYDRAULIQUE .................................................................................................................. 190

1. DESCRIPTION DU RESSAUT HYDRAULIQUE .............................................................................................................. 191 1.1. Description du phnomne physique................................................................................................... 191 1.2. Classification des diffrents types de ressauts hydrauliques ............................................................... 191

2. MISE EN EQUATION .......................................................................................................................................... 195 2.1. Prambule ........................................................................................................................................... 195 2.2. Relation des hauteurs conjugues ....................................................................................................... 195

3. QUELQUES CARACTERISTIQUES DU RESSAUT HYDRAULIQUE ....................................................................................... 197 3.1. Longueur .............................................................................................................................................. 197 3.2. Perte de charge.................................................................................................................................... 198

XVI. CHUTES ............................................................................................................................................ 200

XVII. DEVERSOIRS FRONTAUX .................................................................................................................. 202

1. DESCRIPTION DE LECOULEMENT AU NIVEAU DUN DEVERSOIR FRONTAL ...................................................................... 202 1.1. Prambule ........................................................................................................................................... 202 1.2. Ecoulements noy et dnoy ............................................................................................................... 203 1.3. Ecoulements ar et non-ar ............................................................................................................. 205 1.4. Seuil mince et seuil pais ..................................................................................................................... 206

2. MISE EN EQUATION POUR UN SEUIL RECTANGULAIRE ............................................................................................... 207 2.1. Mise en quation en rgime dnoy ................................................................................................... 207 2.2. Autres types de seuils .......................................................................................................................... 209

3. LOIS DE QUELQUES DEVERSOIRS FRONTAUX ........................................................................................................... 210 3.1. Prambule ........................................................................................................................................... 210

8

3.2. Dversoir rectangulaire ....................................................................................................................... 210 3.3. Dversoir triangulaire .......................................................................................................................... 213

XVIII. VANNES ....................................................................................................................................... 218

1. DESCRIPTION DE LECOULEMENT AU NIVEAU DUNE VANNE ...................................................................................... 218 1.1. Prambule ........................................................................................................................................... 218 1.2. Ecoulements noy et dnoy ............................................................................................................... 218

2. LOIS DE VANNE ................................................................................................................................................ 221 3. UTILISATIONS PRATIQUES ................................................................................................................................... 225

XIX. CANAUX VENTURI ............................................................................................................................ 226

1. DESCRIPTION DE LECOULEMENT DANS UN CANAL VENTURI ...................................................................................... 226 1.1. Prambule ........................................................................................................................................... 226 1.2. Gomtrie dun canal Venturi.............................................................................................................. 227 1.3. Ecoulements noy et dnoy ............................................................................................................... 228

2. LOIS HAUTEUR-DEBIT DES CANAUX VENTURI .......................................................................................................... 230 2.1. Dmarche de dtermination de la loi hauteur dbit ......................................................................... 230 2.2. Norme ISO 4359 ................................................................................................................................... 231 2.3. Canaux Venturi cols courts ............................................................................................................... 235

XX. REFERENCES..................................................................................................................................... 238

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PPAARRTTIIEE 11 :: LLEESS OOUUTTIILLSS

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I. PROPRIETES DE L'EAU LIQUIDE ________________________________________________________________________

Figure 1. Vortex dans un coulement en laboratoire Hall hydraulique de lEquipe de Mcanique des Fluides du laboratoire ICube (Strasbourg).

Lobjectif de ce chapitre est de dcrire les principales proprits de leau et de comprendre leurs impacts sur un coulement deau.

Photo : Nicolas BUSSER

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1. Masse volumique

La masse volumique est dfinie comme la masse par unit de volume ; elle s'exprime en gnral en kilogramme par mtre cube (kg/m

3). La force de gravit tant proportionnelle la masse, la masse

volumique est une grandeur trs souvent rencontre en hydraulique. Le tableau suivant prsente

l'volution de la masse volumique de l'eau liquide en fonction de la temprature pour une pression de

0,1 MPa (1 000 hPa), cest--dire environ la pression qui rgne la surface de la Terre (la moyenne est denviron 1 013 hPa).

Temprature

T (C)

Masse

volumique

(kg m-3)

Viscosit

cinmatique

(m2 s-1)

Viscosit

dynamique

(kg m-1 s-1)

0 1 000,0 1,796.10-6

1,792.10-3

10 1 000,0 1,306.10-6

1,306.10-3

20 998,0 1,004.10-6

1,002.10-3

30 996,0 0,801.10-6

0,797.10-3

40 992,1 0,658.10-6

0,653.10-3

50 988,1 0,553.10-6

0,547.10-3

90 965,3 0,326.10-6

0,314.10-3

Tableau 1. Principales proprits de l'eau liquide une pression de 0,1 MPa (Wagner et Kruse 1998).

Ce tableau met en vidence que la masse volumique est quasiment insensible la temprature :

diminution de moins de 1% entre 0 et 40 C, ce qui reprsente dj une plage de temprature

importante pour des applications hydrauliques classiques.

De la mme faon, la variation de la masse volumique de leau liquide en fonction de la pression pour une temprature donne est aussi trs faible. Son coefficient de compressibilit isotherme vaut en effet

environ 510-10

Pa-1

temprature ambiante. Effectuons titre dexemple un calcul permettant de fixer un ordre de grandeur. Considrons 1 000 kg deau la pression atmosphrique et une temprature de 10C. Sa masse volumique valant 1 000,0 kg/m

3 (voir le tableau prcdent), cette masse occupe un

volume de 1 m3. Si la pression augmente de 10 bars (10

6 Pa), alors la diminution relative V/V du

volume vaudra environ 510-10

Pa-1

fois 106 Pa, cest--dire 0,05% : les 1 000 kg deau occupent alors

0,9995 m3. La masse volumique sera alors gale 1 000 kg diviss par 0,9995 m

3, cest--dire environ 1 000,5 kg/m

3, soit une augmentation de 0,05%. Il faut donc une augmentation vraiment trs

importante de la pression pour faire varier la masse volumique de leau liquide de faon significative.

On pourra ainsi considrer que l'eau liquide est un fluide incompressible de masse volumique

1 000 kg/m3 pour la plupart des applications en hydraulique. L'tude des eaux charges en sel, de la

stratification en temprature dans les grandes tendues d'eau, du phnomne du coup de blier ou

encore les applications thermiques (o la temprature peut sapprocher de 100C) ncessiteront nanmoins de s'affranchir de cette approximation.

Pour comparaison, dans des conditions ambiantes de temprature et de pression, la masse volumique

du mercure vaut 13 546 kg/m3. Celle de lair sec vaut 1,205 kg/m3.

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Poids spcifique

On rencontre rgulirement le terme de poids spcifique, en gnral not et qui est dfini comme le poids par unit de volume. Le poids spcifique est ainsi le produit de la masse volumique par l'acclration gravitationnelle g. Cette grandeur est souvent utilise pour les calculs de poids.

2. Viscosit

La viscosit d'un fluide est sa capacit rsister sa mise en mouvement. Si on distingue la viscosit

dynamique de la viscosit cinmatique , ces deux grandeurs quantifient la mme proprit physique.

Figure 2. Exprience caractrisant la viscosit dynamique d'un fluide Figure inspire de Dingmann (1984).

2.1. Viscosit dynamique

Afin de mieux comprendre le sens physique de cette grandeur, on peut s'intresser l'exprience

dcrite par Dingmann (1984) et illustre ci-dessus.

Considrons que les dimensions de l'exprience sont petites, de l'ordre de quelques centimtres, et que

les vitesses restent faibles (coulement laminaire). L'eau, initialement au repos, repose sur une paroi

immobile. La partie suprieure est en contact avec une plaque, de surface A, mobile et laquelle on

applique une force constante F. La condition de non frottement sur le fond impose une vitesse nulle ;

sur la partie suprieure, la force provoque une vitesse de dplacement V. En rptant l'exprience pour

diffrentes forces F, on peut se rendre compte que le gradient de vitesse V/y est proportionnel la

contrainte tangentielle exerce (le rapport F/A), ce qui peut s'crire comme dans l'quation suivante, o

est une constante appele viscosit dynamique et homogne [M L-1 T-1].

dy

dV

A

F

A F

y dy

dV

15

Cette relation entre contrainte de cisaillement et vitesse de dformation correspond la loi de

comportement dun fluide dit newtonien ; ce modle permet de reproduire le comportement de leau mais aussi de nombreux autres fluides.

Le Tableau 1 renseigne lvolution de la viscosit dynamique en fonction de la temprature et pour une pression de 0,1 MPa. On y constate que la viscosit diminue significativement avec l'augmentation

de la temprature. Si cette variation est significative, la viscosit a en gnral peu d'influence sur les

phnomnes hydrauliques qui sont pour la plupart d'entre eux sige d'une turbulence importante

prenant le pas sur la viscosit du fluide. Retenons la valeur denviron 10-3 kg.m-1.s-1 20C.

2.2. Viscosit cinmatique

La viscosit cinmatique , dfinie comme le rapport de la viscosit dynamique sur la masse volumique, est souvent rencontre dans les quations de l'hydraulique. Homogne une surface par

unit de temps, son comportement en fonction de la temprature 0,1 MPa est quasi identique celui

de la viscosit dynamique du fait de la quasi-incompressibilit de l'eau liquide dans cet intervalle de

temprature.

3. Tension de surface

Au sein dun volume deau, des forces de cohsion interne ont tendance empcher leau de couler . Cest par exemple ce qui permet une goutte deau de ne pas staler, ou encore au niveau deau de la Figure 3 dtre plus haut que la limite haute du seuil (en pratique de lordre de quelques millimtres). On peut alors voir la surface comme une membrane tendue.

Figure 3. Niveau deau plus haut que la limite haute du seuil sous leffet de la tension de surface.

Ces forces de cohsion internes ainsi que les forces d'attraction et de rpulsion entre l'eau et les autres

matriaux environnants sont responsables du phnomne de capillarit illustr ci-dessous.

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Figure 4. Illustration du phnomne de capillarit : mnisque form par l'eau contenue dans un tube

constitu d'un matriau attracteur. c est l'angle form entre la paroi du tube et la surface de l'eau Figure inspire de Dingmann (1984).

La dformation de la surface illustre sur la figure prcdente est due une force appele force de

capillarit. Au niveau du contact entre la surface et le tube, des forces agissent paralllement la

surface et rsistent l'action attractive du tube en tirant l'interface vers le bas. La rsultante de ces

forces est une force dirige vers le bas qui peut s'exprimer en considrant la longueur de contact entre

le fluide et le matriau (le primtre du tube, c'est--dire D, o D est le diamtre), l'angle de mouillage c form entre le matriau et la surface (qui dpend du matriau) et une proprit intrinsque au fluide : la tension de surface homogne une force par unit de longueur.

cDF cos

Plus l'angle de mouillage est proche de 0 , plus le matriau est hydrophile. Plus il est proche de 180 ,

plus le matriau est hydrophobe. S'il vaut 90 , le mnisque est parfaitement horizontal.

La tension de surface de l'eau 20 C vaut 7,56.10-2

N m-1

(Dingmann 1984). A l'chelle de la plupart

des phnomnes hydrauliques, la tension de surface ne joue aucun rle. A petite chelle (quelques

millimtres), son influence peut devenir significative. C'est une des raisons pour lesquelles un modle

rduit ne peut pas tre de trop petite taille sous peine de voir apparatre dans le modle rduit les

phnomnes lies la tension de surface qui sont insignifiants l'chelle grandeur nature.

Afin de disposer dordres de grandeur, cherchons exprimer la hauteur de capillarit dans un tube, cest--dire la hauteur dlvation du liquide par rapport son niveau en labsence du tube. En faisant un bilan de forces sur le volume d'eau lev par capillarit, il est possible de dterminer la hauteur

d'lvation h. Le volume d'eau est soumis deux forces : la force de capillarit dirige vers le haut (la

raction la force exprime plus haut) et son poids, dirig vers le bas, qui s'exprime comme suit :

4

2D

ghP

c h

D

17

En galant ces deux forces, on aboutit la hauteur de capillarit :

gDh c

cos4

Cette quation exprime le fait que la hauteur de capillarit est inversement proportionnelle au diamtre

du tube. En considrant un mouillage parfait (0 pour langle de mouillage), on aboutit par exemple une hauteur de capillarit denviron 30 mm pour un tube de diamtre 1 mm, ou encore une hauteur de 3 mm pour un diamtre de 10 mm.

4. Pression de vapeur saturante

Lbullition est un phnomne de changement dtat, dans lequel le fluide passe en son sein de ltat de liquide ltat de vapeur. Contrairement lvaporation qui est un phnomne surfacique (lvaporation de leau dans un rservoir se fait linterface entre leau et lair) et en gnral relativement lent, lbullition est un phnomne volumique et rapide. Lbullition se traduit ainsi par la naissance de bulles de vapeur deau au sein deau liquide.

Lbullition peut tre provoque pression atmosphrique par une temprature atteignant 100 C ; temprature ambiante, elle peut tre provoque du fait dune pression devenant infrieure ce quon appelle la pression de vapeur saturante ps. Cette dernire dpend de la temprature selon la loi

empirique suivante, o ps sexprime en Pa et o est la temprature exprime en C (quation non homogne).

15,273log868,315,273

2795435,22log10

sp

Dans le cas de leau, la pression de vapeur saturante crot avec la temprature, tel quillustr sur la figure suivante. Sur cette figure, la pression de vapeur saturante est exprime en mtres de colonne

deau selon la conversion suivante.

g

ph ss

18

Figure 5. Evolution de la pression de vapeur saturante (en mtres de colonne deau) en fonction de la temprature.

A 20 C, la pression de vapeur saturante vaut daprs lquation prcdente 2 300 Pa (soit 24 cm de colonne deau), cest--dire trs peu (2%) par rapport la pression atmosphrique (10.33 m de colonne deau). Cest la raison pour laquelle le dnivel de la conduite daspiration dune pompe ne peut tre au grand maximum que de 10 m (10.33 0.24 10 m). En effet, la chute de pression qui subirait la conduite daspiration au-del ferait que leau serait sujette la cavitation, empchant lcoulement de se faire normalement. En pratique, le dnivel maximum est mme plus petit du fait des pertes de

charge rencontres dans la conduite daspiration et de la chute de pression provoque en certains endroits de la pompe (caractristique NPSH fourni par le constructeur dune pompe).

Figure 6. Effet de la cavitation sur les aubages dune pompe centrifuge Institut National des Sciences Appliques de Strasbourg.

Photo : Matthieu DUFRESNE

19

Dans lcoulement des liquides, il peut arriver que la pression en certains points devienne infrieure la pression de vapeur saturante. Leau entre alors localement en bullition et des bulles de vapeur deau apparaissent au sein mme de lcoulement. Emports par lcoulement dans des zones de plus forte pression, ces bulles de vapeur deau, qui peuvent se regrouper en bulles plus grosses (phnomne de coalescence), peuvent imploser. Ce phnomne, appel cavitation, est le plus souvent nuisible pour

les installations o il se produit (canalisations, pompes, turbines, etc.), tel quillustr sur la figure prcdente. La cavitation peut cependant tre mise profit dans certains procds puratoires pour

dstructurer de grosses molcules.

5. Clrit des ondes

Le coup de blier est un phnomne de choc provoqu par exemple par une fermeture brutale de vanne

dans une conduite. Il se traduit alors par une onde de choc se dplaant trs rapidement et pouvant

provoquer successivement des surpressions et des sous-pressions trs importantes. Il sagit du mme phnomne que la propagation dun son. Pour valuer ce phnomne, lhydraulicien doit connatre la clrit, cest--dire la vitesse de dplacement de cette onde.

La clrit des ondes dpend du milieu dans lequel elle se dplace. Par exemple, dans un rservoir de

grande dimension rempli deau, les ondes se dplacent environ 1 400 m/s.

De faon plus gnrale, la clrit a des ondes dans un milieu infini (un grand rservoir par exemple)

dpend de deux proprits intrinsques du milieu, son coefficient de compressibilit et sa masse volumique , selon lexpression suivante (Perns 2004).

a

Sous la pression atmosphrique, la clrit des ondes dans leau est proche de 1 400 m/s. Elle crot lgrement avec la temprature, passant par exemple de 1 397 m/s 0 C 1 478 m/s 40 C (soit

environ 6% daugmentation).

Dans un milieu confin (par exemple une canalisation), la clrit des ondes est limite par rapport

un milieu infini, notamment du fait de llasticit du matriau constituant la frontire (les parois de la canalisation). Dans une conduite de faible paisseur, on a ainsi lexpression suivante (Perns 2004), o C est un coefficient dancrage, D le diamtre de la canalisation, e son paisseur et E le module de Young du matriau qui quantifie sa rigidit (plus il est grand, moins le matriau est dform pour une

contrainte de traction ou de compression donne).

eE

CDa

1

Si la clrit des ondes peut rester consquente dans des canalisations en acier, en bton ou en fonte

(dans ou proximit de la gamme 1 000 1 100 m/s pour des dimensions courantes), elle peut tre trs fortement diminue dans des conduites en polythylne ou en PVC (seulement quelques centaines

de mtres par seconde [Bonnin 1983]).

20

6. Synthse du chapitre

Le tableau suivant synthtise les proprits passes en revue dans ce chapitre et fournit les ordres de

grandeurs retenir. La valeur usuelle fournie correspond une temprature de 20C et une pression de

1 bar.

Proprit Dfinition Valeur usuelle Comportement

Masse volumique Masse par unit de

volume 1 000 kg/m

3

Quasi-invariable avec la

temprature et la pression

Viscosit Capacit sopposer la

mise en mouvement 10-6 m2/s

Diminue avec la

temprature

Tension de surface Forces de cohsion

interne

Phnomne ngligeable sauf pour les

coulements surface libre de petites

dimensions (attention aux modles rduits)

Pression de vapeur

saturante

Pression en-dessous de

laquelle leau liquide devient vapeur

20 cm de colonne deau

Augmente trs rapidemant

avec la temprature

Clrit des ondes Vitesse de dplacement

des ondes de pression

1 400 m/s en milieu

non confin

Moins en canalisation

(milieu confin)

Tableau 2. Synthse des proprits de leau liquide utiles lhydraulicien.

21

22

II. OUTILS MATHEMATIQUES ________________________________________________________________________

Figure 7. Auto-portrait prsum de lingnieur Lonard de Vinci rflchissant au phnomne de sillage en aval de piles de pont Figure tire de Nezu & Nakagawa (1993).

Ce chapitre a pour objectif de rappeler quelques outils mathmatiques qui seront utiliss par la suite.

Inutile de le lire dune traite ; il est prfrable de sy rfrer au gr des besoins au cours de la lecture des chapitres suivants.

1. Drives

1.1. Drives dune fonction une variable

Drive premire

La drive dune fonction correspond la pente de sa courbe. On peut aussi la voir comme un taux de variation. Mathmatiquement, la drive dune fonction f une variable x en un point x0, qui correspond donc la pente de la courbe de f(x) au point x0, se dfinit comme suit.

The Royal Libray, Windsor Castle

23

dx

xfdxxfx

dx

dfdx

0000 lim

Ou encore :

dx

dxxf

dxxf

xdx

dfdx

22

lim00

00

Drive seconde

La drive seconde correspond la drive de la drive, autrement dit la pente de la courbe de la

fonction drive premire.

dx

xdx

dfdxx

dx

df

xdx

fddx

00

002

2

lim

1.2. Drives dune fonction plusieurs variables

Dans le cas dune fonction f plusieurs variables x, y et z, la drive partielle se dfinit comme suit.

dx

zydx

xfzydx

xf

zyxx

fdx

000000

0000

,,2

,,2

lim,,

1.3. Comportement dune fonction

Le comportement dune fonction peut tre dtermin par le calcul de ses drives premire et seconde. Ainsi, la fonction f admet un extremum au point x0 si sa drive premire en x0 est gale zro. Si la

drive seconde en x0 est ngative, alors cet extremum est un maximum ; si elle est positive, alors il

sagit dun minimum.

00 xdx

df et 002

2

xdx

fd La fonction f admet un minimum en x0.

00 xdx

df et 002

2

xdx

fd La fonction f admet un maximum en x0.

Tableau 3. Comportement dune fonction.

2. Intgrales

2.1. Intgrale simple

Le terme intgrale a t invent par un mathmaticien suisse du nom de Jacques Bernoulli (Baudet

2011). Au-del de leffroi quelle inspire nombre dtudiants, une intgrale nest quune simple somme dinfiniment petits. Le symbole est dailleurs un s stylis. Gomtriquement, lintgrale

24

dune fonction correspond laire sous la courbe. Ainsi, lintgrale de la fonction f de la variable x entre deux points x1 et x2 correspond laire sous la courbe de la fonction f(x). Elle se dfinit comme suit.

2

1

2

1

x

x

x

x

xxfdxxf lorsque 0x

Une intgrale peut tre calcule de faon exacte ou, lorsque cela nest pas possible, au moyen dune mthode approche, par exemple la mthode des trapzes. Selon cette mthode, lintgrale peut se calculer comme suit, o x est choisi suffisament petit.

2

1

2

12

x

x

x

x

xxxfxf

dxxf

2.2. Intgrale double

SS

SxfdSxf lorsque 0S

2.3. Intgrale triple

vv

vxfdvxf lorsque 0v

2.4. Thorme de flux-divergence et relations associes

Thorme

Soit zyxF ,, une fonction vectorielle. Le thorme de flux-divergence scrit comme suit, o n est le vecteur normal la surface S :

Sv

zyx dSnFdvz

F

y

F

x

F.

Cette relation peut aussi scrire comme suit en utilisant la notation divergence :

Sv

dSnFdvFdiv .

Relation dcoulant du thorme

Soit zyxF ,, une fonction vectorielle et zyxg ,, une fonction scalaire.

Sv

dSnFgdvFdivgggradF ..

25

3. Drive particulaire

3.1. Exemple

Imaginons un parachutiste chutant la vitesse Vz et tenant dans sa main un thermomtre grce auquel

il mesure la temprature T en continu. Dun instant lautre, la tmprature volue du fait de deux effets distincts :

Lvolution temporelle intrinsque de la temprature, cest--dire lvolution de la

temprature lendroit z o se trouve le parachutiste linstant t : elle correspond t

T

.

Lvolution de la temprature due au dplacement du parachutiste vers une zone de temprature diffrente, autrement dit la combinaison du gradient de temprature et de la

vitesse du parachutiste : elle correspond z

TVz

.

Le parachutiste voit donc la superposition de ces deux effets. Pour lui, la temprature volue ainsi en

fonction du temps de la faon suivante.

z

TV

t

T

Dt

DTz

Dans cette expression, t

T

correspond la drive de la temprature par rapport au temps t la

position z ; z

T

, la drive de la temprature par rapport la coordonne z en linstant t. La

combinaison des deux termes et de la vitesse de l observateur aboutit la notion de drive

particulaire Dt

DT, cest--dire le taux de variation dune grandeur en suivant lobservateur dans son

mouvement.

La drive particulaire dune grandeur est ainsi la drive temporelle de cette grandeur en suivant la particule laquelle elle appartient dans son mouvement. Elle est dun emploi extrmement important en hydraulique o on sintresse aux proprits dun coulement, cest--dire dun fluide en mouvement.

3.2. Cas gnral

La notion illustre prcdemment se gnralise de la faon suivante pour une fonction f(x, y, z, t).

z

fV

y

fV

x

fV

t

f

Dt

Dfzyx

26

3.3. Drive particulaire dune intgrale volumique

Soit lintgrale volumique v

Fdv de la fonction F sur le volume v. Il est possible de montrer que sa

drive particulaire peut scrire comme suit, o S est la surface entourant le volume v et n le vecteur normal unitaire (sortant) la surface S.

Sv

vdSnVFdv

t

F

Dt

FdvD

.

4. Centre de gravit

4.1. Dfinition du centre de gravit dun corps

Le centre de gravit dun corps est le point par rapport auquel le poids du corps est uniformment rparti. Il correspond donc au barycentre des particules constituant ce corps, chaque particule tant

pondre par son poids.

Dans le cas dun champ de gravit uniforme (par exemple la surface de la Terre), le centre de gravit se confond avec le centre dinertie, barycentre des particules pondres par leurs masses.

4.2. Expression mathmatique de la position du centre de gravit dun corps

Corps constitu de deux particules

Dans le cas dun corps constitu de deux particules, lune de poids P1 positionne la position x1 et lautre de poids P2 positionne la position x2, la position xG du centre de gravit du corps dans un repre x se calcule comme suit.

21

2211

PP

PxPxxG

Dans le cas dun champ de gravit uniforme, les poids P1 et P2 sexpriment respectivement m1g et m2g. Il vient dans ce cas aprs simplification :

21

2211

mm

mxmxxG

Corps constitu de n particules

Dans le cas dun corps constitu de n particules :

n

nnG

mmm

mxmxmxx

...

...

21

2211

27

Cest--dire :

n

i

i

n

i

ii

G

m

mx

x

1

1

Corps continu

Dans le cas dun corps continu (cest--dire constitu dune infinit de particules) prsentant une densit homogne, lexpression scrit sous la forme intgrale suivante, o V est le volume du corps.

V

xdV

x VG

Dans le cas dun corps surfacique de surface S :

S

xdS

x SG

28

III. GEOMETRIE DES CANAUX ET DES CANALISATIONS

________________________________________________________________________

Figure 8. Section fer--cheval (non standard) avec banquette mdiane dans le rseau dassainissement unitaire de Mulhouse.

Ce chapitre sintresse la description de la gomtrie des canaux et des canalisations utilises dans les rseaux hydrauliques. Au-del du caractre informatif sur les formes pouvant tre rencontres, ce

chapitre dfinit galement les grandeurs gomtriques utilises pour la description des coulements.

Photo : Martin FISCHER

29

1. Caractristique longitudinale

Figure 9. Illustration de la pente dun canal.

Longitudinalement, un canal ou une canalisation est caractrise par sa pente I, cest--dire la tangente de langle illustr sur la figure prcdente.

tanI

Il sagit du principal paramtre conditionnant un coulement surface libre. La pente est un paramtre variant plus ou moins rgulirement en suivant le profil en long du canal ou de la canalisation.

Par exemple, la pente des canalisations dans un rseau dassainissement varie en gnral de 2 (pente minimale recommande pour la pose) quelques pourcents, selon la topographie du terrain. Il peut

arriver que des pentes plus faibles proches de zro voire ngatives (contrepente) soient rencontres mais de telles valeurs sont en gnral vites pour ne pas favoriser les dpts. Des pentes plus grandes

peuvent galement tre rencontres en fonction de la topographie ; il peut arriver quelles dpassent sur certains tronons les 5% voire les 10% (villes avec des reliefs trs forts telles que Clermont-

Ferrand ou Besanon).

Remarque : le tirant deau se dfinit longitudinalement comme le segment perpendiculaire au fond reliant le fond la surface libre. Sa longueur h est appele hauteur deau. Sauf dans le cas dune pente trs importante, le tirant deau peut tre considr comme vertical (le cosinus dun angle trs petit est trs proche de 1).

2. Caractristiques transversales

2.1. Quelques dfinitions

Un canal ou une canalisation se dfinit gomtriquement par sa section en travers. Dans le cas o

cette dernire ne varie pas le long du canal, on parle de canal prismatique.

Un certain nombre de caractristiques transversales dcrivant lcoulement dans un canal ou une canalisation (tenant compte la fois de la gomtrie et de la prsence deau) sont illustres sur la figure suivante et listes ci-dessous :

30

La hauteur deau h, distance entre la surface libre et le point le plus bas de la section en travers.

La surface mouille S, portion de la section occupe par le fluide dans la section transversale du canal.

Le primtre mouill P, longueur de la ligne de contact entre la surface mouille et les parois de la section. Sil y a une surface libre, sa largeur nentre pas en compte car la notion de primtre mouill est utilise pour quantifier le frottement de lcoulement sur les parois. Dans le cas dune canalisation en charge, le primtre mouill correspond lintgralit du primtre (D dans le cas dune conduite circulaire).

Le rayon hydraulique Rh, rapport de la section mouille sur le primtre mouill : P

SRh

La largeur au miroir B, largeur du canal au niveau de la surface libre : dh

dSB

La profondeur hydraulique ou diamtre hydraulique Dh, rapport de la section mouille sur la

largeur au miroir : B

SDh . Il sagit de la hauteur deau quivalente dans le cas o la section

mouille serait rectangulaire avec une largeur gale la largeur au miroir. Attention, une

dfinition diffrente du diamtre hydraulique est parfois utilise pour quantifier les pertes de

charge dans les sections de forme quelconque.

La position du centre de gravit par rapport la surface libre yG, dfinie grce lexpression du

moment statique h

G dzzBzhSy0

utile la dtermination des forces de pression agissant sur

la surface mouille.

Figure 10. Caractristiques gomtriques transversales dun canal Figure inspire de Graf & Altinakar (2000).

h

P

S

yG Dh

B

31

Ecoulement surface libre dans

un canal

Ecoulement surface libre dans

une canalisation

Ecoulement en charge dans une

canalisation

Tableau 4. Quelques exemples de sections transversales dcoulements.

2.2. Quelques exemples de formes de canaux et canalisations

Les canalisations utilises dans les rseaux deau potable, les rseaux sparatif deaux uses, etc. sont la plupart du temps de forme circulaire. On peut galement trouver des formes rectangulaires, par

exemple pour les rseaux dair ou encore des formes annulaires (une petite conduite circulaire lintrieur dune plus grande) comme dans certains dispositifs de pompage (forages), etc. Les canalisations et canaux utiliss dans les rseaux dassainissement unitaires ou sparatifs pluviaux peuvent tre de formes plus varies. Quant aux cours deau, la varit des formes de leurs sections en travers est quasi-infinie.

32

h

b

h 1

m

h

b

1

m

h

b

1 m

B

h

D

cos1

2

Dh

h

D

Surface

mouille S

bhS 2mhS 2mhbhS

m

bBBhS

4

2

cossin4

2

D

S

2

1

8

2 DDhS

Primtre

mouill P hbP 2 212 mhP 212 mhbP 11

2

2

mm

bB

bhP

DP

1

22

DhP

Rayon

hydraulique

Rh hb

bhRh

2

212 m

mhRh

2

2

12 mhb

mhbhRh

P

SRh

cossin1

4

DRh

P

SRh

Largeur B bB mhB 2 mhbB 2 B sinDB DB

Profondeur

hydraulique

Dh

hDh 2

hDh

mhb

mhbhDh

2

2

B

SDh

sin4

cossin

DDh

B

SDh

SyG 2

2bh

SyG 3

3mh

SyG 2

32h

mhbSyG

2

3

22

24

42

m

bB

m

bBhBhSyG

cos

3

sinsin

8

3

3D

SyG

1228

22

32

2

DDh

D

Dh

DSyG

Tableau 5. Expressions des caractristiques gomtriques pour quelques sections en travers courantes en fonction de la hauteur deau.

33

La figure suivante prsente trois sections dites standards et rgulirement rencontres en rseau

dassainissement. La premire de ces trois sections est la section circulaire, certainement la forme la plus couramment utilise.

Vient ensuite la section ovode (en forme duf) 2:3 (deux en horizontal pour 3 en vertical), permettant une hauteur consquente pour un petit dbit (utile pour viter les dpts). Elle consiste en

trois parties distinctes :

une partie suprieure consitue dun demi-cercle de diamtre gal la largeur maximale de lovode,

une partie intermdiaire constitue de deux arcs de cercle de diamtre gal 3 fois la largeur maximale,

et enfin une partie infrieure constitue dun arc de cercle de diamtre gal 0.5 fois la largeur maximale.

On trouve enfin la section fer--cheval (aplatie) 4:3 (quatre en horizontal pour 3 en vertical),

permettant une petite hauteur deau malgr un dbit consquent (utile pour limiter le niveau deau). Elle consiste en une partie suprieure constitue dun arc de cercle de diamtre gal 1 fois la largeur maximale du fer--cheval et en une partie infrieure consitute dun arc de cercle de diamtre gal 2 fois la largeur maximale.

Figure 11. Sections standards utilises en assainissement : a) section circulaire, b) section ovode 2:3,

c) section fer cheval 4:3 Figure inspire de Hager (1999).

Dans le cas de ces sections standards, il existe des formulations approches permettant de calculer les

paramtres gomtriques. Elles sont donnes dans le Tableau 6 (Hager 1999). Dans ce tableau, la lettre

1

0.5

0.5

0.75

1.5

1

1.5

0.25

1

0.75 1

0.5

0.313 0.25

b)

c)

a)

34

y correspond au remplissage de la canalisation (rapport de la hauteur deau sur la hauteur totale de la canalisation) ; y est gal 100% dans le cas o la canalisation est en charge.

Surface mouille Rayon hydraulique

Section circulaire

D

hy

25

4

41

3

42

23

2

yyy

D

S

Erreur 1%

yy

D

Rh

2

11

3

2

Erreur 1% pour y 0.65 Erreur 11% pour y 0.90

Section ovode 2:3

T

hy

423

210.015.01695.0 yyy

T

S

Erreur 2% pour y 0.10 Erreur 10% pour y < 0.10

43

29.0 yT

Rh

Erreur 10% pour 0.03 y 0.80

Section fer--cheval 4:3

T

hy

32

32

3

21.06.01116.2 yyy

T

S

Erreur 4%

36.0165.0 yyT

Rh

Erreur 16%

Tableau 6. Formulations approches pour les caractristiques des canalisations circulaires, ovodes

standards et fer--cheval standards (les erreurs indiques sont les erreurs maximales en valeur absolue).

Dans le cas dune section non normalise, un relev gomtrique (largeur et surface en fonction de la hauteur) est ncessaire afin de caractriser les caractristiques ncessaires des calculs hydrauliques.

Figure 12. Canalisation ovode non standard dans le rseau d'assainissement unitaire de Besanon.

Photo : Jos VAZQUEZ

35

36

IV. ANALYSE DIMENSIONNELLE ________________________________________________________________________

En septembre 1999, les spcialistes de la Nasa perdirent le contact avec la sonde Mars Climate

Orbiter qui, selon toute probabilit, scrasa sur le sol marsien. La cause de ce fiasco ? Pour calculer la force de pousse ncessaire la mise en orbite de la sonde, les ingnieurs de la Nasa avaient utilis

les units du systme mtrique ; le constructeur, lui, avait employ les units de mesure anglo-

saxonnes. Le rsultat fut une erreur de trajectoire de 40 kilomtres et une perte sche de 125 millions

de dollars, ce qui est cher pay pour une simple erreur dunit. (Alder 2013)

Figure 13. Modle rduit ( gauche) et prototype ( droite) de lextrmit aval de galeries souterraines Figure tire de Erpicum (2006).

Une fois identifies les variables d'influence d'un phnomne physique, l'analyse dimensionnelle

permet de rduire le nombre de variables en adoptant une formulation adimensionnelle, c'est--dire

uniquement base de nombres sans dimension. L'analyse dimensionnelle est ainsi un puissant outil

pour rduire le nombre d'expriences ncessaire la description d'un phnomne. Par ailleurs, elle est

la base de la thorie des similitudes, fondement notamment des tudes sur modles rduits trs

largement utilises en hydraulique (encore de nos jours et juste titre).

1. Entits physiques, units et mesures

1.1. Prsentation des diffrentes notions

Pour un Amricain, le Thrust SSC (Thrust SuperSonic Car) a atteint le 15 octobre 1997 dans le dsert

du Nevada aux Etats-Unis 760 miles par heure (mph). Pour un Franais, il a atteint 1 200 kilomtres

par heure (km/h). Les deux disent pourtant la mme chose. Tous deux parlent en effet d'une seule et

mme entit physique : la vitesse. Pour l'Amricain, qui utilise comme unit le mph, sa mesure est de

760. Pour le Franais, qui utilise le km/h, elle est de 1 200.

37

Un phnomne physique est rgi par un certain nombre d'entits physiques, galement appeles

variables : masse, longueur, surface, volume, temps, vitesse, acclration, pression, temprature,

masse volumique, viscosit, etc. Pour quantifier la grandeur de ces entits, des units sont ncessaires.

Le mtre, le kilomtre, le mille terrestre, le mille marin, le pouce, le pied, l'anne-lumire, etc. sont

ainsi autant d'units pouvant tre utilises pour mesurer une longueur, c'est--dire la quantifier par un

chiffre appel mesure.

1.2. Le systme international

Du fait des liens existant entre les diffrentes entits physiques, il est possible de choisir un certain

nombre d'entits physiques de base auxquelles des units de base sont associes. Par le dcret 61-501

du 3 mai 1961 relatif aux units de mesure et aux contrle des instruments de mesure (publi au

Journal Officiel du 20 mai 1961), le Premier Ministre (Michel Debr) a dcrt obligatoire en France

le systme mtrique dcimal six units de base appel systme international S. I. Les units de base

en sont :

Le mtre, unit de longueur.

Le kilogramme, unit de masse.

La seconde, unit de temps.

L'ampre, unit d'intensit de courant lectrique.

Le degr Kelvin, unit de temprature.

La candela, unit d'intensit lumineuse.

Chacune de ces units de base est trs prcisment dfinie. Par exemple, le kilogramme est la masse

du prototype en platine iridi, sanctionn par la Confrence gnrale des poids et mesures en 1889 et

dpos au pavillon de Breteuil, Svres.

Ces dfinitions sont susceptibles d'voluer sur dcision de la Confrence gnrale des poids et mesures

afin de les rendre plus prcises. Dfini en 1889 partir de la longueur d'onde de la radiation

correspondant la transition entre deux niveaux de l'atome de Krypton 86, le mtre a ainsi t redfini

en 1983 comme la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumire pendant une dure de 1/299

792 458me

de seconde. Cette dfinition du mtre est tributaire de la dfinition de la seconde, connue

avec prcision. Elle a par ailleurs pour consquence de donner une valeur exacte la vitesse de la

lumire (299 792 458 m/s).

Le tableau suivant synthtise les entits physiques de base et les units de base utiles l'hydraulicien.

Entits physique de base Units de base

Nom Dimension Nom Symbole

Longueur [L] Mtre m

Masse [M] Kilogramme kg

Temps [T] Seconde s

Temprature [] Kelvin K

Tableau 7. Entits physiques et units de base utiles l'hydraulicien.

38

La dimension d'un volume est ainsi [L3], son unit est le m

3. Une vitesse, de dimension [LT

-1],

s'exprime en m/s. Une force, de dimension [MLT-2

], s'exprime en kg.m/s2. Etc.

2. Fondement de l'analyse dimensionnelle

2.1. Thorme de Vaschy-Buckingham

Si on accepte le principe selon lequel le phnomne physique observ est indpendant de

l'observateur, le phnomne physique est alors indpendant du systme d'units choisi pour quantifier

les entits physiques qui interviennent. Sur cette base, un dveloppement mathmatique permet

d'aboutir au thorme de Vaschy-Buckingham, nonc ci-dessous (Perns 2004).

Si n entits physiques sont relies par une quation dimensionnellement homogne et si r dsigne le

rang de la matrice des exposants des quations aux dimensions de ces n entits physiques, il est

possible de rduire l'quation dimensionnellement homogne initiale une quation entre n - r

nombres adimensionnels, ceux-ci tant constitus partir des r entits physiques dont les quations

aux dimensions sont indpendantes.

2.2. Explicitation du thorme

Par quation dimensionnellement homogne, on entend une quation indpendante du systme d'units

choisi. Prenons un exemple. La priode d'oscillation d'un pendule simple, dduite des lois de la

mcanique, est donne par l'quation suivante, o L est la longueur du pendule et g, l'acclration

gravitationnelle.

gLT 2

Cette quation fait intervenir n entits physiques. Un Amricain, qui utilise le pied et la seconde

comme units respectives de longueur et de temps, pourrait crire cette quation comme suit :

LT 1,11

Un Franais, qui utilise le mtre et la seconde :

LT 01,2

Ces trois quations sont justes (en tout cas la surface de la Terre) ; pourtant, seule la premire est

indpendante du systme d'units et est donc dimensionnellement homogne.

Les quations aux dimensions sont obtenues en considrant pour chaque entit physique les entits

physiques de base auxquelles elle se rapporte. Ainsi, l'quation aux dimensions de l'acclration

gravitationnelle est par exemple : [g] = [LT-2

].

La matrice des exposants des quations aux dimensions est obtenue en listant pour chaque entit

physique intervenant dans l'quation les exposants affects chaque dimension.

39

T L g

L 0 1 1

M 0 0 0

T 1 0 -2

0 0 0

Seules les dimensions longueur et temps interviennent. La troisime colonne tant une combinaison

linaire de la premire et de la deuxime, le rang r de la matrice est gal 2.

2.3. Mise en uvre de l'analyse dimensionnelle

La mise en uvre d'une analyse dimensionnelle comprend plusieurs tapes :

1. La dtermination de toutes les entits physiques intervenant dans le phnomne (ltape cruciale),

2. La dtermination des quations aux dimensions de chacune de ces entits physiques,

3. La dtermination du rang de la matrice,

4. Le choix des nombres adimensionnels.

Parmi ces quatre tapes, la premire est la plus dlicate. Il faut en effet lister l'ensemble des entits

intervenant dans le phnomne sans en oublier une seule. Les tapes 2 et 3 sont simples. La quatrime

et dernire tape fait intervenir le choix de la personne procdant l'analyse dimensionnelle. En effet,

l'analyse dimensionnelle ne fournit qu'un nombre de grandeurs sans dimension ; reste la personne

procdant l'analyse choisir ces nombres.

Les nombres forms peuvent tre combins entre eux (produits, quotients), monts des puissances

diverses ou bien multiplis par des constantes sans que l'analyse dimensionnelle ne soit remise en

cause ; il s'agit vritablement d'un choix pour la constitution des nombres sans dimension. Ce choix

peut savrer plus ou moins adapt au phnomne tudi.

2.4. Exemple de la priode d'oscillation d'un pendule simple

Une explication par un premier exemple simple constituera le meilleur moyen de comprendre la mise

en uvre de l'analyse dimensionnelle. Considrons le mouvement priodique d'un pendule simple mais cette fois-ci sans connatre l'quation de la priode. Listons les entits physiques intervenant dans

le phnomne (tape 1) : la priode T du mouvement, la longueur L du pendule, l'acclration

gravitationnelle g. Il y a n = 3 entits physiques rgissant le phnomne, ce qui peut s'crire

mathmatiquement :

0,, gLTf

Ceci signifie qu'il existe une relation entre la priode, la longueur et l'acclration gravitationnelle, ou

encore, vu du ct de la priode :

gLfT ,

40

La deuxime tape consiste dterminer les quations aux dimensions de chaque entit physique ; ceci

a dj t fait plus haut.

La troisime tape consiste dterminer le rang de la matrice des exposants des quations aux

dimensions ; ceci a galement t fait plus haut : le rang r vaut ici 2.

Le thorme de Vaschy-Buckingham permet alors d'affirmer que l'quation initiale peut tre rduite

une quation mettant en jeu n - r = 1 nombre adimensionnel, ce qui s'crit :

01 f

O 1 est un nombre sans dimension dfinir partir des entits physiques intervenant dans le

phnomne. On peut par exemple proposer l'expression suivante :

21gT

L

Les quations aux dimensions de L et de gT2 tant en effet toutes deux identiques ([L]), ce nombre est

adimensionnel. On pourrait tout aussi bien choisir les nombres suivants :

T

gL

1

L

gT2

1

3

63

1L

Tg

Etc.

Encore une fois, il s'agit d'un choix.

Dans cet exemple, l'analyse dimensionnelle a permis de dire que l'quation rgissant le mouvement

priodique d'un pendule et faisant intervenir la priode, la longueur et l'acclration gravitationnelle

peut se rduire une quation faisant intervenir un unique nombre. Autrement dit, ce nombre ne peut

tre quune constante :

cstegT

L

2

Cela signifie qu'il existe une constante telle que la priode d'un pendule simple peut s'crire :

gLcsteT

Si l'analyse dimensionnelle ne permet pas de dterminer la valeur de la constante, une seule exprience

suffit y parvenir. Cette exprience nous donnerait, selon le degr de prcision du dispositif

exprimental, une valeur voisine de 6,28. Rappelons que les lois de la mcanique permettent d'obtenir

41

pour cette constante une valeur gale 2, c'est--dire 6,2831... Ce premier exemple illustre deux des applications de l'analyse dimensionnelle : la dtermination d'un plan d'expriences optimum et la

dtermination (partielle) de lois physiques.

Avant d'illustrer plus en dtails les autres applications de l'analyse dimensionnelle, reprenons

l'exemple prcdant en nous trompant lors de la premire tape, c'est--dire lors de la dtermination

des entits physiques intervenant dans le phnomne. Imaginons, lors de l'analyse des entits

physiques rgissant l'oscillation d'un pendule, penser que la masse m du pendule intervienne. Ceci

donne n = 4 entits physiques. La matrice des exposants des quations aux dimensions est donne ci-

dessous. Son rang r est gal 3.

T L g m

L 0 1 1 0

M 0 0 0 1

T 1 0 -2 0

Le thorme de Vaschy-Buckingham permet donc d'affirmer que l'quation initiale faisant intervenir 4

variables peut tre rduite une quation ne faisant intervenir quun seul nombre adimensionnel, c'est--dire :

01 f

La dimension M nintervenant quune seule fois dans la matrice prcdente, aucun nombre adimensionnel ne peut tre construit en utilisant la masse, sauf la mettre la puissance zro

(autrement dit, la masse ny intervient pas). Lanalyse dimensionnelle aboutit alors au mme rsultat que prcdemment, malgr le choix erron de la masse parmi les variables dinfluence.

En revanche, si nous oublions de prendre en considration l'acclration gravitationnelle g dans

l'analyse des entits physiques rgissant l'oscillation d'un pendule, l'analyse dimensionnelle est

infructueuse. En effet dans ce cas, il y a 2 entits physiques et le rang de la matrice est gal 2, ce qui

aboutit 0 nombre adimensionnel. Ceci illustre la ncessit de ne pas oublier d'entit physique

intervenant dans le phnomne lors de la premire tape. Cette deuxime partie de l'exemple illustre

bien toute l'importance de la premire tape de l'analyse dimensionnelle : une dtermination partielle

ou errone des variables d'influence peut aboutir une impasse voire, dans les cas faisant intervenir

davantage de variables, des rsultats errons.

3. Optimisation d'un plan d'expriences

Cette partie prsente une utilisation pratique de lanalyse dimensionnelle, savoir la dfinition dun plan dexpriences optimum. Lexemple considr concerne la chute de pression rencontre par un coulement dans une conduite horizontale de diamtre constant (Langhaar 1951). Cet exemple servira

dans le chapitre sur les pertes de charge.

Listons tout d'abord les entits physiques intervenant dans le phnomne : la chute de pression p que l'on cherche caractriser, les caractristiques de la conduite (sa longueur L, son diamtre D et sa

hauteur de rugosit k caractrisant principalement son tat de surface), les caractristiques du fluide (sa

masse volumique et sa viscosit ) et la vitesse V, caractristique de l'coulement. Il y a au total n = 7 entits physiques. Cette analyse peut s'crire sous la forme mathmatique suivante :

42

0,,,,,, kDLVpf

Ou encore, du point de vue de la chute de pression :

,,,,, kDLVfp

Figure 14. Mesure de la pression dans un coulement d'huile le long d'une canalisation - Institut National

des Sciences Appliques de Strasbourg.

La matrice des exposants des quations aux dimensions est donne ci-dessous. Pour la dterminer, les

quations aux dimensions de chacune des variables ont t dtermines. Pour la pression, homogne

une contrainte (c'est--dire une force sur une surface), cela donne : [p] = [L-1MT-2]. Pour la hauteur de rugosit (donne en gnral en mm par les constructeurs de canalisations) : [k] = [L]. Pour la masse

volumique : [] = [L-3M]. Pour la viscosit (dynamique) : [] = [L-1MT-1].

p V L D k

L -1 1 1 1 1 -3 -1

M 1 0 0 0 0 1 1

T -2 -1 0 0 0 0 -1

En considrant par exemple les trois premires colonnes de cette matrice, on peut montrer que son

rang r est gal 3.

Le thorme de Vaschy-Buckingham permet donc d'affirmer que l'quation initiale faisant intervenir 7

variables peut tre rduite une quation ne faisant intervenir que 4 nombres adimensionnels, c'est--

dire :

0,,, 4321 f

La dfinition de ces quatre nombres adimensionnels rsulte d'un choix, mme si un choix inadapt

peut conduire complexifier le rsultat. On peut par exemple choisir les quatre nombres suivants :

21V

p

Photo : Matthieu DUFRESNE

43

VD 2

D

k 3

D

L 4

Le premier nombre est une forme adimensionnelle de la chute de pression. Le deuxime est un nombre

de Reynolds (voir plus loin). Le troisime est une rugosit relative (par rapport au diamtre de la

canalisation). Enfin, le quatrime nombre correspond la longueur de la canalisation

adimensionnalise par son diamtre.

On peut ajouter un facteur dans le premier terme de sorte faire apparatre un terme assimilable

une nergie cintique. Lanalyse dimensionnelle permet en effet de multiplier par des constantes sans dimension.

21

2

1V

p

Pour le moment, l'analyse dimensionnelle permet d'affirmer qu'il existe une quation reliant ces quatre

nombres, c'est--dire :

0,,,

2

1 2

D

L

D

kVD

V

pf

.

Vu du point de vue de la chute de pression, cette quation peut s'crire :

D

L

D

kVDf

V

p,,

2

1 2

Nous pouvons aller plus loin dans la mesure o la chute de pression dans une canalisation horizontale

de section constante est due la contrainte de cisaillement la paroi, elle-mme due au profil de

vitesse. La canalisation tant de section constante sans aucune singularit (pas de coude par exemple),

le profil de vitesse est uniforme le long de la canalisation. De ce fait, la pression doit varier

linairement avec la longueur. Ceci permet d'crire :

D

kVDf

D

L

V

p,

2

1 2

Ou encore :

44

D

kVDf

D

LVp ,

2

1 2

La fonction

D

kVDf ,

est un coefficient caractrisant le frottement (le frottement interne

comme le frottement la paroi); elle sera trs utilise dans le chapitre sur les pertes de charge. Cette

fonction f dpend du nombre de Reynolds et la rugosit relative. Si l'analyse dimensionnelle n'a pas

permis de dterminer cette fonction, elle a en revanche permis de caractriser la chute de pression dans

une canalisation horizontale de diamtre constant de faon beaucoup plus fine que l'quation initiale.

Une fois les variables rgissant un phnomne clairement identifies, l'analyse dimensionnelle permet

de rduire l'quation entre n entits une quation entre n - r nombres adimensionnels. Il est alors

inutile de faire varier les valeurs des n variables d'entre indpendamment les unes des autres ; il suffit

en effet de ne faire varier que les valeurs n - r variables adimensionnelles.

Reprenons la conclusion de l'exemple prcdent. Plutt que de procder des expriences faisant

varier le diamtre D de la conduite (en s'affranchissant de la longueur), sa hauteur de rugosit k, la

masse volumique et la viscosit du fluide et la vitesse V de l'coulement pour mesurer la chute de

pression p, il suffit de faire varier deux nombres sans dimension :

VD et

D

k. Cela signifie que

l'on doit faire varier 2 grandeurs au lieu de 5. Imaginons que l'on souhaite caractriser chaque variable

par 5 valeurs. Au lieu de procder 55 = 3 125 expriences, nous n'avons besoin de n'en faire que

52 = 25. Cela peut paratre trs surprenant mais s'explique par le fait que beaucoup d'expriences parmi

les 3125 constitueraient des couples

D

kVD,

identiques, c'est--dire qu'elles correspondraient

des situations similaires (nous reviendrons sur ce terme plus loin). L'analyse dimensionnelle apparat

ainsi comme un puissant outil de rduction du nombre de variables investiguer exprimentalement.

4. Principaux nombres adimensionnels rencontrs en hydraulique

4.1. Introduction

Considrons le cas gnral de l'tude d'un phnomne li un coulement permanent d'eau (fluide

newtonien et incompressible) auquel se rapporte la quasi-totalit des coulements rencontrs en

hydraulique (Perns 2004). Ce phnomne peut tre la force de trane exerce par l'eau sur une carne

de navire, la longueur de la zone de recirculat