Intégration sur un cycle évanescent

Invent. math. 76, 129-143 (1983) IYi u cn tiolles mathematicae �9 Springer-Verlag 1984

Integration sur un cycle 6vanescent

P. Deligne

Institut des Hautes Etudes Scientifiques 35, route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France

Introduction

Soient k un corps commutat i f et f une s&ie formeUe en deux ind6termin6es x et y sur k:

f =Zan, mX"Y m.

Soit I ( f ) la s&ie formelle en une ind&ermin6e t

I ( f ) = ~ a , , , t " .

Nous nous proposons de prouver le r6sultat suivant:

Th6or6me. Si f reprdsente une fonction alg~brique de x et y, et si k est de caractOristique p 4: O, I ( f ) repr~sente une fonction algdbrique de t.

Pour g une s6rie formelle en N ind6termin6es

on d6finit de m6me

g = ~ a.x",

IN(g ) = ~, a,.1 t ",

e t o n a e n c o r e :

Corollaire. Si g est algdbrique sur le corps k(xl , . . . ,xN), et si k est de caract~ristique p > 0, IN(g ) est algdbrique sur k(t).

Sous l 'hypoth6se plus forte g Ek(xl . . . . . xN), ce r6sultat est dfi/~ H. Furstenberg [1]. Voir aussi 3.10. Notre but premier ~tait de donner une explication g6om6trique au r6sultat de Furstenberg.

Supposons tout d 'abord que k = C et que la s6rie formelle f soit convergente. La s&ie I ( f ) est alors convergente, et admet la repr6sentation int6grale suivante

1 dx A dy (1) I ( f ) ( t ) = ~ ~ f ( x , y )

xy=t dt

130 P. Deligne

Expliquons le sens du membre de droite: a) Soit z~: C 2 ~ C l'application (x,y)~--~xy. L'expression (dx,x dy)/dt est une

forme diff6rentielle holomorphe relative sur C 2 - {(0, 0)}, relative fi la projection n, i.e. une famille de formes diff6rentielles holomorphes sur les fibres, d6pendant holomorphiquement de t. En {(0,0)}, c'est encore une section du faisceau dualisant relatif ~0, d6fini dans le formalisme de dualit6 de A. Grothendieck par R zt:(9 = ~0 [1]. En terme de la coordonn6e y sur re-1(0, on a

(dx^dy) /dt=(d(t /y)^dy) /dt=(d~tAdy] ! Y

b) Supposons f convergente dans le polydisque B de rayons R. Pour ltl assez petit (Itl <R2), l'intersection de B et de 7t-1(0 se projette isomorphique-

ment dans le plan des y s u r la couronne ~ < ] y l < R . S o i t r t e l que ~ < r < R .

L'int6grale ~ est prise sur le cycle lyl=r , ]xl=[tl/r, x y=t , qui se projette x y = t

isomorphiquement sur la circonf6rence [yl=r, orient6e positivement; elle ne d6pend pas du choix de r.

Ces explications montrent que

f (x , y) dx/x dy _ 1 ~f(t/y, y) dy 1 1 ~ dt 2•i y - 2 ~ i ~ ' a " ' ' t " y " - " d y " 2r~i xy=t y

Pour en d6duire (1), on 6change sommation et int6gration, et on applique la formule des r6sidus: seuls subsistent les termes off m=n.

Le cycle d'int6gration est le cycle 6vanescent (au sens de Lefschetz) pour re, pr+s de (0,0). Si on prend r=[t] ~/2, on le voit effectivement disparaitre pour Itl--,0. Ceci explique le titre de l'article.

Dans la d6finition de I(f) , les ind6termin6es x et y jouent un r61e sym&rique. Dans (1), un ordre entre x et y d6termine deux choix de signes, qui s'annihilent: dans la forme diff&entielle relative, et dans l'orientation du cycle 6vanescent.

La formule (1) sugg&e que l'op6ration I a un sens intrins6que dans le cadre suivant: on part d'un morphisme de sch6mas formels re: X ~ S sur k, avec X isomorphe ~ Spfkl[x,y]l,S isomorphe h Spfkl[t]], et 7t ayant une singularit6 quadratique non-d6g6n6r6e. On suppose que les deux branches de it-~(0) sont d6finies sur k, et on choisit un ordre entre elles. En d'autres termes, on suppose qu'il existe des syst+mes de coordonn6es formelles x ,y sur X et t sur S dans lesquelles ~z soit (x, y)~--~ x y; on prendra toujours ces syst6mes de coordonn6es de telle sorte que la premi&e branche de n- l (0) : x y=O soit la branche x = 0 . Soient O~/k les diff6rentielles de K~ihler, d6finies en tenant compte de la topologie: si X=Spf(A), avec A isomorphe h k~x,y]l muni de la topologie (x, y)-adique, f2]/k correspond au A-module lim proj f2tA/s)/ka (limite projective sur les id6aux ouverts). De m~me pour S. En coordonn6es, f2~/k est le (9 x- module libre de base dx, dy et f2~S/k est le (gs-module libre de base dt. Pour M

un module libre de rang n, posons det M = ~tM. Pour L libre de rang 1, notons 1 0~/k et soit le faisceau duali- L- 1 son dual. Posons ~oX/k=det f2x/k, ~Os/k= OOx/s

sant relatif o~x/s = ~: Os [13 = ~Ox/k | ~* ~ .

Int6gration sur un cycle 6vanescent 131

En coordonn6es, c'est le (gx-module libre de base dx/x dy/dt. On interpr6tera I comme un morphisme

7~. COX/S ~ (f)S,

i.e., pour S = Spf(V), comme un morphisme V-lin6aire

H~ COx/s) -, V.

Le paragraphe 1 fournit cette interpr&ation: on y prouve, pour k quelconque, une formule qui est un analogue alg6brique de (1). Le signe d'int6gration, qui apparait dans (1), y est remplac6 par le morphisme trace local de Grothendieck. Pr6cisons. Soit t une uniformisante de S (par exemple t pour S =Spf(k[[t]])). Nous noterons par n en indice une r6duction modulo t". On omettra l'indice quand il n'y a pas risque de confusion. Par exemple, on notera encore n: X , ~ S . le morphisme n, d6duit de n par r6duction modulo t". On notera CO l'image inverse (rex/s). de COx/s sur X,. C'est le faisceau dualisant relatif COx,/s, de Grothendieck. Soit A, l 'anneau local complet dont X, est te spectre formel (en coordonn6es: k[[x,y]]/((xy)")). II nous sera commode de travailler non pas avec le schdma formel X, , mais avec le sch6ma ordinaire X ' , :=SpecA. . La diff6rence est byzantine: tant X, que X'. sont une fa~on g6om6trique de parler de A.. Soit O le point ferm6 de X', (en coordonn6es: x = y = 0). Le morphisme trace local de Grothendieck est un morphisme

Tr: H~o ~ (X', CO) -~ H ~ (9).

1 ! - - " On a Hio~(X,,CO)-hmindExtlA.(An/I, CO), (limite inductive sur les id6aux ouverts I de An). C'est pour 6crire cette limite inductive comme un groupe de cohomologie ~ support qu'il nous a fallu introduire X',.

Le r61e du cycle d'int6gration (le cycle 6vanescent) sera jou6 par un 616ment v, EH~o~(X',,(9 ). En coordonn6es, cet 616ment est dans l ' image de Ext~,(A,/(x+y) 2"-1,A.). Prendre garde que l 'exposant de (x+y) requis cro~t avec n.

Au paragraphe 2, on consid~re un schema en courbes Y propre et plat sur S, dont X se d6duit par compl6tion en un point, et on relie les v,/l un 616ment de Lie PicsY. Au paragraphe 3 on globalise X et S, et on prouve le th6or6me, et le corollaire.

Notations. On 6crira en indice les changements de base. Par exemple, pour X et T des S-sch6mas, X r , = X x s T . La r6duction modulo t" est not6e avec un indice n.

Pour notre propos, les conventions de signes utilis6es sont sans importance. Pour que les r6sultats interm6diaires 6nonc6s soient vrais - et pas seulement au signe pr6s - il faut toutefois les choisir. Notre choix est explicit6 dans l'appendice.

1. Analogue alg6brique de (1)

1.1. Gardons les notations de l 'introduction, et soient x, y e t t des coordonn6es sur X et S, du type d6j~t consid6r6.

132 P. Deligne

L'inclusion de X' 1 dans X'. est un hom6omorphisme, puisque X' 1 est d6fini dans X'. par un id6al nilpotent. Le compl6ment de l'origine {O} dans X', a donc deux composantes connexes, correspondant aux deux branches x = 0 et y = 0 de X'p Soit u, la section du faisceau structurel de X . - { O } qui vaut 1 sur la premi&e branche et 0 sur la seconde. Dans le langage des anneaux: l 'homomorphisme

A. = k Ix , y]/((x y)") --+ k [Ix, y]/(x") x k [Ix, y~/(y")

induit un isomorphisme

A.((x + y ) - 1) ~, (k [[x]/(x"))((y)) x (k [[ y]]/(y"))((x)),

et u.EA.( (x + y)-1) a pour image (1,0). On peut expliciter:

On d6finit v. comme 6tant l'image de u. par le morphisme cobord naturel

H~ -- {0}, (9) 1 , --+ H{o}(X,, (9).

La suite exacte longue des Exti(*, A,), appliqu6e ~ la suite exacte courte

0 --+ ((x + y)N) __+ a . -+ A./((x + y)N) __+ 0

donne lieu fi un diagramme commutatif

0 , A. - - ~ ( x + y ) - N A ,

1 O- , H~ (9) -~ H~ - {O}, (9)

_ _ , ExtXa,(A./((x + y)N), A,)

0).

Pour N = 2 n - 1 , ce diagramme et (1.1.1) montrent que v, est dans l'image de Ext , . (A,/((x + y)2. - 1), a ,).

1.2. Proposition. Soit f dans k [Ix, y]]. Quel que soit n, on a

(1.2.1) T r ( f d x / x dy /d t , v,) =-- - I ( f ) (rood t").

Dans (1.2.1), Tr est le morphisme trace local de Grothendieck. I1 est 1 appliqu6 fl l'616ment de H{o}(X,,~o) produit de f d x / x d y / d t dans H~ et

de v. dans 1 , H{o}(X.,(9 ). Nous prouverons (1.2.1) sous l'hypoth6se que k est infini. On se ram6ne fi ce cas par une extension des scalaires.

Notons l ' ( f ) le membre de gauche de (1.2.1). On a I'(f)Ek[t]]/(t"). Si J e s t un id6al ouvert de A,, assez petit pour que v, soit dans l'image de Ex t l (A , / J ,A . ) (par exemple a = ( ( x + y ) 2 " - l ) ) et que f ~ J , on a f v = O e t a

fortiori I ' ( f ) = 0 : l'application k[[t]/(t") lin~aire I': A.--+k[[t]]/(t"): f~ -~I ' ( f ) est continue.


Pour 2 ,#6k, soit cr(2,kt) l ' au tomorphisme (x,y)~--,(2X, lay), t~--~2#t de (X, S, ~z). I1 respecte dx/x dy/dt et v,. Par transport de structure, on a donc

(1.2.2) I '(a(2, p ) * f ) = a(2, #)*f.

Posons h, ,m(t)=I'(x"y" ). Faisant dans (1.2.2) # = 2 -1, on trouve que h.,,,(t) =2"-mh.,, ,(t): on a h . , , . = 0 pour n4:m. Par continuit6 et k[[t]]-lin6arit6 de I ' , on a alors pour f = ~ a,,, x" y"

I ' ( f ) = I'(~, a,., x" y") = I'(y" a., x" y") = I'Oz* I ( f ) ) = I ( f ) . I'(1).

Faisant dans (1.2.2) # = 1 et f = 1, on trouve hoo(2t)=hoo(t), de sorte que 1'(1) =ho0( t ) est une constante c, et que I ' ( f ) = c I ( f ) . Cette constante est ind6pendante de n. Pour prouver que c = - 1 , on peut donc supposer, et on supposera, que n = 1.

Le sch6ma X' 1 =Speck[[x,y]]/(xy) est la r6union de deux arcs de courbe formels non singuliers se coupant transversalement, param6tr6s le premier par y, le second par x. Les sections de co sur X ' 1 sont les syst6mes de formes diff&entielles c~ et fl sur ces arcs, avec un p61e simple en O, et Res c~ + Res fl = 0. Les sections de co sur X ' I - {O} sont les systames de formes e et fl avec un p61e d 'ordre quelconque en O, et le morphisme compos6

n ~ ( o } , ~ o ) , H~o~(X',,o) '" , k

est l 'oppos6 de (a, fl)~--~ Res a + Res ft. Avec ces notations, dx/x dy/dt correspond

, , et ( d x A d y / d t ) u l = , 0 , de somme des r6sidus 1. Ceci prouve

(1.2.1).

2. Relation avec Pic

2.1. Soient S=Speck[[ t] , s le point ferm6 de S, t/ le point g6n6rique, n: Y ~ S un morphisme propre et plat purement de dimension relative 1 et O un point rationnel de Ys:=~z-l(s), On suppose que si X est compl6t6 de Y e n O, le morphisme induit par rc de X vers S est du type consid6r6 au paragraphe 1. Ceci signifie: Y est r6gulier en O, O est un point de non-lissit6 isol6 de n, rc pr6sente en O une singularit6 quadrat ique non-d6g6n6r6e et les deux branches de Ys en O sont d6finies sur k. On suppose choisi un ordre entre ces branches.

I1 nous sera c o m m o d e de supposer en outre Y r6gulier et connexe. Faisons le changement de base t l ~ S et soit Y, la courbe sur k((t)) fibre g6n6rale de ~: Y--*S.

2.2. Lemme. La courbe Y~ est absolument irr~ductible et gkn&iquement lisse sur k((t)).

La courbe Ys est connexe (car Y est propre sur S et connexe) e t a un point rationnel, donc est absolument connexe. Elle est lisse pr6s de O (O exclus),

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donc a sur une extension s6parable k' de k des points de lissit6 rationnels. Sur S'=Speck'~t~, Y '= Y xsS' a donc une section. Le sch6ma u est connexe, car Y~' est connexe, et r6gulier, car 6tale sur Y. II est donc irr6ductible et Y~' est irr6ductible, donc connexe. Ayant un point rationnel, il est absolument connexe. Ceci montre que Y, est absolument connexe. Etant r6gulier, il est absolument irr6ductible. L 'ouvert de lissit6 de Y~, non vide par hypoth6se, est n6cessairement dense.

2.3. Interlude. Soient C une courbe compl6te r6duite et g6n6riquement lisse (i.e. C absolument r6duite) sur un corps K et D u n diviseur (de Cartier) sur C. Nous aurons fi utiliser l 'interpr6tation g6om6trique ci-dessous de HI(C,(9(-D)). Supposons pour simplifier C connexe et D4:0. Ce cas nous suffira. Soit Pic (C; D) la jacobienne g6n6ralis6e qui param6trise les faisceaux inversibles sur C, trivialis6s sur D. Plus pr6cis6ment, on d6finit Pic(C;D) comme 6tant le K- sch6ma qui repr6sente le foncteur sur les K-sch6mas

T~--~(l'ensemble des classes d'isomorphie de faisceaux inversibles sur C T trivialis6s sur Dr)

(on a pos6 CT=CXspecKT et de m6me pour D). C'est un K-sch6ma lisse. Notons (9(1 sur D)* le faisceau des sections de (9* de restriction 1 ~t D. On a

Pic(C;D)(T)=HI(CT,(9(1 sur DO* ).

Prenant pour T l e spectre des nombres duaux sur K, on obtient

(2.3.1) Lie Pie (C; D) = Hi(C, (9( - D)).

Soit co le faisceau dualisant sur C (Q~m pour C lisse). Nous aurons utiliser la dualit6 de Serre entre H~ et HI(C,(9(-D)). Elle admet l 'interpr6tation g6om6trique suivante (qui ne nous servira pas). Supposons tout d 'abord C lisse. Quels que soient T et la section u: T--* C T de CT/T, l ' image de u est alors un diviseur de Cartier sur C r. Le faisceau inversible (9(u(T)) est canoniquement trivialis6 sur le compl6ment du u(T). En particulier, si u est une section de (C-D)T , il est trivialis6 sur D T. Cette construction d6finit un morphisme

(2.3.2) j: C - D ~ Pic(C;D): uw-~classe de (9(u(T)).

L'image inverse par j fournit un morphisme de l'espace vectoriel des formes diff6rentielles invariantes sur Pic(C;D) - le dual de l'alg6bre de Lie - dans H~ I1 donne la dualit6 de Serre, i.e. le diagramme suivant est commutatif:

(Lie Pic(C;D))V ~* ,HO(C_D,~o)

(2.3.1)

H'(C'(9(-D))\ ' (s .... ~' H~176


Pour C seulement suppos6e abso lument r6duite, d 'ouver t de lissit6 U les m6mes arguments fournissent j : U-D-- ,P ic (C;D) . On a encore (2.3.2), avec H~ - D, co) remplac6 par H~ - D, o9) = H~ - D, f21).

2.4. Soit Z un diviseur de Cart ier relatif sur Y, i.e. un diviseur dont aucune composan te n'est contenue dans Y~. On suppose que O$Z. La discussion 2.3 sera appliqu~e ~t K = k((t)), C = Y~ et O = Z~.

Soit P ic (Y;Z) ~ le S-sch6ma en groupes qui pa ram&rise les faisceaux inversibles sur Y Z-trivialis6s dont la restriction h chaque composan te irr6ductible de chaque fibre g6om6tr ique est de degr6 0. Pour l 'existence de Pic, voir [2] 8.2. C'est un sch6ma en groupes lisse sur S, h fibres connexes. Sa fibre sp6ciale P ic (Y;Z) ~ est la composan te neutre du sch6ma en groupes Pic(Ys;Z~) qui classifie les faisceaux inversibles sur Ys, Zs-trivialis6s.

Soit Y~' la courbe d6duite de Y~ par normal i sa t ion en O: on dispose de h: Y~'~Y~, h-t(O) se compose de deux points O 1 et 02 cor respondan t aux deux branches de Y~ en O et Ys se d6duit de Ys' par identification de 01 et 02. En particulier, le morph i sme h induit un i somorph i sme de Y~'-{01,02} avec Y~-{O}. Par abus de notat ion, nous noterons encore Z~ l ' image inverse de Z , dans Y~'. Le foncteur h* indentifie faisceaux inversibles ~ sur Y, et faisceaux inversibles ~ ' sur Y~', munis d 'un i somorphisme a: ~9~ - , 5~ entre les fibres en 01 et 02 . Une tr ivialisation de ~ sur Z~ cor respond h une de Y ' . En particulier, pour 2ok*, on obtient un faisceau inversible ~ z sur Y~ trivialis6 sur Z s e n prenant 5~[=(9 et pour a : k--*k la mult ipl icat ion par 2. La m~me construct ion peut ~tre r6p6t6e apr6s un changement de base T--*s (cf. ci- dessous), d'ofl un m o r p h i s m e de k-sch6mas en groupes

(2.4.1) wl: Gm ~ Pic(Y~,Z~) , 2~-. Laz.

Voici une const ruct ion analogue, modu lo t". Soit Y. la r6duction de Y m o d t", et q: Y,' ~ Yn coincidant avec Y, en dehors de O et qui, au voisinage de O, est obtenue c o m m e suit: p renant ~voisinage)) au sens &ale, on peut t rouver des coordonn6es locales x ,y dans lesquelles Y, s'6crit (xy)"=0 . On prend Y" s o m m e disjointe de x " = 0 et de y " = 0 . Prendre garde que pour n > 1, Y" n'est pas plat sur kit]]~(t"). Un calcul local mon t re que (gy, s 'injecte dans q.(gy~. Ceci reste vrai apr6s tout changement de base plat T~Speck[[t]l/(t"). D6finissons Qn,r par la suite exacte

(2.4.2) O-"~ Cy.,T--~ q. (gy;,,T--*Qn, T--~O.

C'est un faisceau de suppor t l ' image inverse 0 r de O dans Y,,T" N o t a n t n" une image inverse au sens des faisceaux par x: Y,,T ~ T, on dispose d 'un m o r p h i s m e de faisceaux

(2.4.3) 6: (TC (flT)[OT'--~ Qn, T

qui ( localement pr6s de O, pour la topologie 6tale) envoie u sur l ' image q.Cr,~./(gr,,~, de la section de (~r~,, valant u sur la premi+re branche et 0 sur la seconde.

136 P. Deligne

Passant au multiplicatif, on d6finit de m~me Q.*T par la suite exacte

(2.4.4) 0--*(9* --* q . (9* --* Q* ~,-, O, l n , T u ~ I , T n , l

et

(2.4.5) 6" : re" * --* * ( (9r)lo~ Q..,r

(6*(u) image de <<u sur la premi6re branche, 1 sur la seconde•). Prenant le cobord H ~ a dans la suite exacte longue de cohomologie ~t

support dans O r d6duite de (2.4.2) (resp. (2.4.4)), on d6duit de (2.4.3) (resp. (2.4.5)) des morphismes respectifs

(2.4.6) H~ CT)~ H~(Y . ,T , (9 )~ HI(Y,,T,(9(--Z.,v))

(2.4.7) H~ H~,(Y,,T,(9*)~ HI(Y.,T,C(1 sur Z,,r)* ).

Le morphisme de foncteurs en T (2.4.7) fournit un morphisme de k[[t~/(t")- sch6mas de G m dans la rOduction mod t" de Picz(Y)~

(2.4.8) w.: G m ~ Pic (Y,, Z) ~

Pour m <n, w, a pour rOduction mod t" le morphisme w,., et pour n = 1, on retrouve (2.4.1), D'apr+s (SGA3 IX 3.6), il existe un et un seul morphisme (2.4.8) qui rel+ve ~t k[ft]l/(t") le k-morphisme (2.4.1). Nous utiliserons qu'il admet la description (2.4.7).

On ne peut pas passer / l la limite sur n pour dOduire des w, un morphisme de schOmas en groupes de G m dans Pic(Y; Z) ~ Toutefois:

(a) pour H u n schOma fini sur k[t~ et P quelconque, il revient au mame de donner un morphisme H ~ P ou de donner un systOme cohOrent de morphismes H,--* P, entre les rOductions mod t".

(b) pour V e t W deux k[[tql-modules libres, il revient au mame de donner une application lin6aire F: V ~ W, ou de donner un syst6me coh6rent d'appli- cations lin6aires V | W Qk~t~/(t").

Pour tout entier m, on peut appliquer (a) au sous-sch6ma p., de G., noyau de x~--,xm: Gm~Gm: par passage h la limite sur n, on d6duit des w, un morphisme

(2.4.9) w: p , , ~ Pic (Y, Z) ~

On peut appliquer (b) apr6s passage aux alg6bres de Lie: on obtient

(2.4.10) dw: Lie G,. ~ Lie Pic ( Y; Z) ~

On a Lie Gm=(9, le module libre de rang un trivial, et les arguments 2.3 donnent encore un isomorphisme canonique Lie Pic(Y; Z) ~ Hi(Y, (9(-Z)) . La donn6e de dw 6quivaut donc/L celle de l ' image

(2.4.11) dw(1)eH ~(Y, (9( - Z)).

Soient cOr/s=rC~(gs[1] le faisceau dualisant relatif et q~ une section de ~Or/s(Z ). Choisissons sur X, le compl6t6 de Yen O, un syst6me de coordonn6es


formelles x ,y dans lesquelles n soit (x,y)~--~xy, et off la premi6re branche de X 1 soit x =0. Dans ce syst6me de coordonn6es, ~0 s'6crit sur X

q~ = f ( x , y) dx /x dy/dt.

La restriction de q~, fi Y, appartient au k((t))-espace vectoriel H~ en dualit6 de Serre avec HI(Y,, Cg(-Z,)). Notre but dans ce paragraphe est la

2.5. Proposition. Avec les notations pr~cddentes, on a

(2.5.1) I ( f ) = - (dw(1), ~0).

Sur S tout entier, on dispose encore d'un accouplement entre Lie Pic(Y;Z) ~ = H I ( y , ( 9 ( - Z ) ) et H~ co(Z)). Sous les hypoth+ses faites, ces kl[t]l-modules sont d'ailleurs libres, et l 'accouplement une dualit6 parfaite. Le membre de droite de (2.5.1) est doric dans k[[t]] (et non seulement dans k((t))). Sa r6duction modulo t" est (dw,(1), q~). Nous v6rifierons (2.5.1) modulo t" pour chaque n.

Soient X, et Y, les r6ductions de X et Y modulo t". Le morphisme trace local: H~o}(X,, o3) ~ kl[t]]/(t") et le morphisme trace global: H I(Y,, ~o) ~ k[[t~/(t") (donnant la dualit6 de Serre) sont reli6s par le diagramme commutat i f

1 kit]]~(t")

Cette compatibilit~ ram~ne 2.5.1 au lemme

2.6. Lemme. Le morphisme

0 ) , -

envoie v. sur dw.(1).

, H I(Y., o~)

1 kltll/(t").

,/-/'(Y., •(-z.))

On laisse au lecteur le soin de v6rifier que l 'image de v, est aussi l ' image de 1 par (2.4.6). Le lemme r6sulte alors de la description de d e n terme des nombres duaux D =(k[[t]/(t"))[e]/(e 2) sur k[[t]]/(t") et de la suite exacte naturelle de morphismes

((2.4.6) sur k[[t~/(t"))~ ((2.4.7) sur D ) ~ ((2.4.7) sur k[[t]]/(t")).

3. Preuve du th6or~me

3.1. Soient S O une courbe lisse sur k (un sch6ma lisse purement de dimension 1), s u n point rationnel de S O et S le compl6t6 de S O en s. Soient n: Yo ~ S o propre et plat, purement de dimension relative 1, Y l 'image inverse de Yo sur S et O ~ Y s. On note encore n l e morphisme de Y dans S d6duit de n: Y o ~ S o et on suppose que (n: Y ~ S , O ) est du type consid6r6 au w On utilisera pour (n: Y ~ S, O) les notations du paragraphe 2.

138 P. Deligne

Supposons enfin, pour simplifier, Yo r6gulier et rt fi fibres g6om6triques connexes. Soit e)'.=~OYo/S o le faisceau dual isant relatif. L/t of 1 Yo est lisse sur S o,

1 c'est f2ro/so. On note encore co son image inverse sur Y, ou sur le compl6t6 X de Y e n O. On choisit c o m m e pr6c6demment des coordonn6es formelles sur X et S.

Soit ~p une section rat ionnelle de co sur Yo, r6guli6re en O. Sur X, on peut 6crire ~o = f ( x , y ) d x ^ dy/dt. Not re r6sultat principal est la

3.2. Proposition. Si k est de caract~ristique p >0, I ( f ) est algdbrique sur le corps k(So) c k((t)) des fonctions rationneUes sur S o.

Quit te /~ remplacer ~p par son produi t avec une fonction rat ionnelle sur S o s 'annulant suff isamment en s, et /~ remplacer S o par un ouver t de Zariski contenant s, on peut supposer et on suppose que pour Z o un diviseur de Cart ier relatif convenable sur Yo, ne contenant pas O, q~ est une section de co sur Y o - Z o .

Soit P ic (u ~ le sch6ma en groupe sur S O qui param6tr ise les faisceaux inversibles sur Yo, Zo-trivialises, de degr~ 0 sur chaque composan te irr~ductible de chaque fibre g6om~trique (si n6cessaire pour appl iquer [2], r6tr6cir S O davantage). On interpr6te cp c o m m e cor respondant it une section ~o' du dual du fibr~ L i e P i c ( Y o ; Z o ) = R l r c , ( 9 ( - Z o ) sur S O (dualit6 de Serre; on a l ' interpr6tat ion g6om6tr ique (2.3) q~ =j*~o').

Apr6s le changement de base de S o ~ S, on dispose de dw: (9 ~ L i e Pic(Yo,Zo) ~ = L i e P ic (Y;Z) ~ (2.4.10) et la proposi t ion r6sulte de 2.5 et du

3.3. Lemme-clef . S i p > O, dw est algkbrique sur S o.

En caract6rist ique p > 0, l ' inclusion #p c G m induit un i somorph i sme sur les alg6bres de Lie:

Lie (#p) ~ , Lie (Gin).

Par r6duction modt" , on v6rifie que dw est la diff6rentielle du morph i sme (2.4.9) w: #p-*Picz(Y) ~ I1 ne reste qu'~ utiliser la rigidit6 de #p: pour tout sch6ma en groupes c o m m u t a t i f plat P sur So, H o m ( # p , P ) est repr6sent6 par un sch6ma dtale sur S o. Faisons P = P i c ( Y o ; Z o ) , et soit S o le So-sch6ma obtenu. Par d6finition, on dispose sur So d 'un morph i sme universel

(3.3.1) un: #p ~ Pic (Yo; Z O)go.

En particulier, le morph i sme 2.4.9 est l ' image inverse de 3.3.1 par un S o- m o r p h i s m e b:

S - - b ' S o \ / So

De mame, dw est l ' image inverse par b du m o r p h i s m e de (9 dans Lie Pic(Yo,Zo)~o d6duit par passage aux alg~bres de Lie de l ' h o m o m o r p h i s m e (3.3.1), et, S o 6tant quasi-fini sur S o, ceci 6tablit son alg~bricit6.


3.4. Notons k { x 1 . . . . ,xN} l'hens61is6 de l 'anneau local de l 'espace affine Speck[x 1 . . . . ,xN] en 0. Le compl6t6 de cet anneau local est k ~ x l , . . . , x N ] et il r6sulte de [3] XI w cor. 1 que pour que g e k ~ x ~ . . . . . xN]] soit alg6brique sur le corps k (x l , . . . ,xN) , il faut et il suffit que g soit dans k { x i . . . . ,xN}.

3.5. Preuve du th~ordme. D'apr6s 3.4, que f soit alg6brique signifie qu'il existe une surface 11o, munie d'un point rationnel O, un morphisme 6tale h envoyant O sur 0 de Yo dans le plan A 2 (coordonn6es x, y) et une section f de (9 sur Yo de d6veloppement en s6rie de puissances f en O. Soient S O la droite A ~ (coordonn6e t) et re' le morphisme compos6

7z' : YO ~ A 2 ~-~z-~ S o .

Sur I1o, soit ~o la section f . h * ( d x ^ d y / d t ) du faisceau dualisant relatif. Compactifiant Yo et r6solvant les singularit6s introduites, on obtient

Yo 'i~

s; So. avec rg' propre et plat et Yo r~gulier. Sur Yo, ~o apparait comme une section rationnelle du faisceau dualisant relatif. Pour que ~ soit /l fibres g~om&riques connexes, on remplace S; par l 'espace S O de la factorisation de Stein Yo ~ So , S~ de n". I1 ne reste qu'fi appliquer 3.2/t ~o.

3.6. Preuve du corollaire. On proc~de par r6currence sur N. Le cas N = 0 est laiss6 au lecteur, le cas N = I est trivial, le cas N = 2 est le th6or+me et on suppose N > 3 . Pour g dans k[[x l . . . . . xN]], posons

avec g , ~ k l [ x l . . . . . xN_2]], et

On a

~ g n m g-~- nmXN_ I XN

*(g)= y ,g , . x~_ , .

(3.6.1) IN(g) = IN- 11(g).

Si g est alg6brique: g~k{x t . . . . . xs} (3.4), les g,m sont alg6briques: g n , , ~ k { x l , . . . , x N _ 2 } . Soit k' le corps des fractions de k { x 1 . . . . ,xN_2}, et consid6rons le diagramme commutat i f

k [ x 1 . . . . ,xN]I ~ k {x l . . . . ,xN_2} [[XN_ I,XN[~ c k ' [ [ X s _ I,XN]I

1, 1, I kl[x~ . . . . . X~_l"n~k{x~,. . . ,x~_2} [x~_~ll ~ k'~x~_~11

(en premiere ligne, des k [ x 1 . . . . . xr~]-alg6bres, en seconde, des k [ x 1 . . . . . xN-1]" alg6bres). Appliquons le th6or~me ~t l ' image g' de g, suppos6 alg6brique, dans k'[fxn_~,xn]]. Puisque k' est alg6brique sur le corps des fractions de

140 P. Deligne

k[x~ . . . . . xN_2], I(g'), alg6brique sur k'(x N_ 1), v6rifie une 6quation non triviale ~aiI(g')i=O ~ coefficients ai~k[x 1 . . . . . XN_X]. La m~me 6quation est v6rifi6e par l(g), d'ofi l'alg6bricit6 de I(g): I(g)~k {x 1 . . . . , XN-1}" On conclut par (3.6.1) et l 'hypoth6se de r6currence.

3.7. On peut extraire de la preuve du th6or6me une estimation sur le degr6 d de l'6quation qui exprime que I( f) est alg6brique sur k(t). Avec les notations de 3.5 et 3.1, supposons que S O est de degr6 cr sur S~, que I1, est de genre g e t que Z , ~ z' points g6om&riques. Posons z = s u p ( 0 , z ' - l ) . Le genre est ici le genre de la normalis6e de la courbe Y# d6duite de Y, par extension des scalaires

une cl6ture alg6brique k(~ de k(q): le premier nombre de Betti l-adique de Y~-Z# est 2g+z. On a

(3.7.1) d < a "p~+=.

Le degr6 de I ( f ) sur k(So) est <pg+Z (et m~me < sup ( (pg-1)p =, z' !)). Si f est une s6rie formelle alg6brique h coefficients entiers et qu'on d6finit tr,

g e t z en terme de f~Q[[x,y]], on en d6duit que le degr6 d e de la r6duction m o d p de l ( f ) v6rifie pour presque tout p

(3.7.2) dp < or. p~ + ~.

On peut aussi obtenir des informations modpm: utilisant que sur une base off p"=O, on a Lie(#p,,) , Lie(G,,), on trouve que pour presque tout p la r6duction de I ( f ) mod p" v6rifie une 6quation h coefficients dans Z/(p')[t] non tous divisibles par p de degr6 <a-p"tg+~).

3.8. Je ne sais pas obtenir d' informations mod p" pour tout p. Si on essaye dans la preuve du th6or6me de remplacer k par un anneau commutat i f A off p " = 0 , une difficult6 appara~t: celle de construire Yo/So pas trop mauvais (par exemple plat) non seulement pr6s de O, mais partout.

3.9. La d6monstration 3.6 du corollaire ne me satisfait pas. I1 serait plus int6ressant de traiter directement le cas de n variables, en s'inspirant de l 'analogue suivant de la formule int6grale (1): sur C, pour g convergente, on a

(1') I(g)(t) = f g" dZl"'" dz . /dt , z(t)

l'int6grale 6tant prise sur un cycle

Z ( t ) = { ( x , , . . . , x , ) l x , . . . x , = t , Ix l l=r l . . . . , Ix, , l=r,}

a v e c / / r i = It[. J'esp6re qu'une d6monstration directe fournirait dans le cas des s6ries

formelles alg6briques h coefficients entiers, une estimation dp<=O(p o) pour le degr6 de la r~duction de I(g) modulo p sur Up(t).

Donner les outils requis pour une d6monstration directe serait un test pour une th6orie p-adique des cycles 6vanescents.

3.10. La d6monstration de Furstenberg du corollaire (pour g rationnel) montre que si gekl[xx,...,xN]l est l 'une des composante d'un vecteur colonne h


d'616ments de kl[x 1 . . . . . XN] qui v6rifie un syst6me d'6quations h = A h p pour A une matrice carr6e & coefficients polynomiaux, alors I(g) a la m~me propri6t6, donc est alg6brique. Ce type d'6quation est r6miniscent des F-cristaux en cohomologie cristalline.

Parall61ement, TpPic est un avatar du H ~ p-adique. Ceci me fait esp6rer que la d6monstration de Furstenberg et celle donn6e ici sont moins 61oign6es l'une de l'autre qu'il n'y parait.

Appendice

Signes

Le traitement dans la litt6rature des questions de signes dans le formalisme de dualit6 des faisceaux alg6briques coh6rents m'a sembl6 confus. Le texte de Hartshorne, Residues and Duality (Lect. Notes 20), souffre des d6fauts suivants:

(a) la convention qui d6finit les complexes Hom'(K,L) (I6 p. 63, 64) et K | (I14 p. 93) n'est pas la convention usuelle; contrairement ~t ce qui est affirm6 p. 64, Hom" ne commute pas (identiquement) aux foncteurs de translation (cf. SGA4 XVll 0.3); de m~me pour | dont l'associativit6 requiert la d6finition d 'un isomorphisme canonique, qui n'est pas donn6e. Du fait que dans la d6finition de f~ pour f : X ~ Y lisse purement de dimension relative n apparait le produit tensoriel avec f2"x/r[n], cette lacune importe.

(b) Pour autant que je puisse n6anmoins comprendre la convention propos6e, la d6finition Ill 4.3 du morphisme trace, bas6e sur la convention qui dans IIl 3.4 d6finit 7, me semble incompatible ~t Ill 10.5 TRA1).

Les conventions expos6es ci-dessous sont je crois coh6rentes. J'y utilise la convention de signe usuelle pour | (SGA4 XVII 1.1). Je ne me suis pas limit6 h la dimension 1, qui suffirait aux besoins de l'article.

(a) Pour f : X ~ S plat d'intersection compl6te relative, purement de dimension relative n, le faisceau dualisant relatif ~Ox/s est li6 au complexe dualisant relatif Kx/s:= Rf~(gs par

(S. l) Kx/s = ~Ox/s [n].

C'est un faisceau inversible. Pour X lisse sur S, on a tOx/s=t2"x/s. Si, comme sugg6r+ dans mon appendice au livre de Hartshorne, on d6finit Rf ~ par adjonction, l'6galit6 ~Ox/s=~"xls est un isomorphisme canonique, dont la d6finition pose un probl+me de signe. Nous adoptons ici le point de vue inverse (cf. la faqon dont Har tshorne traite des morphismes lissifiables), off cette 6galit6 est 6vidente sur la d6finition de R f ~ et off le probl6me de signe est dans la d6finition du morphisme trace (S.5) ci-dessous.

Si X est le produit fibr6 sur S des f~: X i ~ S (iE1), o6 chacun des X~ est plat d'intersection compl6te relative purement de dimension relative n i avec n = ~ nl, on a

(S.2) Kx/s =~i Kx'/s

(produit tensoriel externe). Par d6finition, la donn6e d 'un tel isomorphisme est la donnSe, pour chaque ordre total sur I, d 'un isomorphisme

(S.3) O~x/s=[]~x,/s. i

On exige que quand on passe de l 'ordre total <1 h l 'ordre total <2, r i somorphisme change par le signe ( - 1 ) N, N=~n~ni (somme sur les (i,j) avec i< l j et i>zJ). Pour X i lisse sur S, on a Ogx./s =f '~, /s et (S.3) est donn6 par le produit ext6rieur, pris dans l'ordre donn~ sur I. I1 a la propri6t6 de parit6 voulue.

Pour un morphisme it6r6 f =gh: X h , y ~ ~S, Kxl s est le | des complexes Kx/r et h*Kr/s par un isomorphisme qui, appliqu6 ~t X 1 s x X 2 --. X 1 ~ S, redonne (S. 3).

142 P. Deligne

(b) Pour f : X --* S comme en (a) et propre, le morphisme trace est un morphisme

(S.4) Tr: Rf , Kx/s--* (9 s.

Le morphisme (S.4) induit un morphisme de faisceaux coh6rents ) f f~ Kx/s--,Cs, i.e. un morphisme

(S.5) Tr: R"f, ~Ox/s--*d) s.

Pr6cisons comment on passe de (S.4) h (S.5). Pour tout complexe K, le complexe K[d] est le complexe de composantes (K[d])i=K i§ et de diff6rentielle celle de K modifi6e par le signe ( - 1 ) d. On identifie les ..~i(K[d]) aux ~fi+aK sans introduire de signe. Le foncteur Rf , commute au foncteur de translation [d], et (S. 5) se d~duit de (S. 4) par application du foncteur ~ o : utiliser l 'isomorphisme

.~O R f * Kx/s = ~ o Rf,(~Ox/s[n] ) = gO(Rf,(Ogx/s ) I-n])

= ~ " R f , COx/s = Rnf, O~x/s.

Pour s une section de f, on dispose aussi du morphisme trace local

(S.6) Tr: R s ! Kx/s ~ r

La d6finition de (S.4) et celle de (S.6) posent, pour chaque dimension relative n, un probl6me de signes. Nous imposons la commutativit6 du diagramme

Rs!Kx/sr ' R f , Kx/s

Cs - - ~s ;

ceci relie, en chaque dimension relative, les choix (S.4) et (S.6). Le morphisme en premi6re ligne du diagramme est d6riv~ du morphisme d'inclusion s t ~ f , ((sections h support sch6matique s(S))c(toutes les sections)). Pour des X i comme en (a), propres sur S, donc donnant lieu par (S.3)~t un isomorphisme

Rf . Kx/s=(~i Rf i . Kx,/s,

nous imposons que le morphisme (S.4) pour X/S soit le produit tensoriel des morphismes (S.4) pour les XJS. Ceci relie les conventions utilis6es en chaque dimension relative et ne laisse subsister qu'une seule ambiguit6 de signe. Nous la r6solvons en demandant que pour X une courbe lisse sur k alg6briquement clos et x~X(k), le morphisme trace local

(S.7) H~x}(X, a~[1]) ~ k,

induisant (S.6) pour s l'inclusion de x, soit le suivant. Le complexe Ok[1 ] r6duit au faisceau O k e n degr6 cohomologique - 1 s'envoie quasi-isomorpbiquement dans le complexe r6duit aux degr6s - l e t 0

L:= a ~( oo . x) ~ Y2~(c~ . x)/O~. On a

H~xI(X , Ok[l]) ~ , FI~, }(X, L) , ~ H~ L)= (Y~(oo. x)/O~) x

(parties polaires, en x, de formes diff~rentielles), et on prend pour morphisme trace local le morphisme r6sidu Res,.

Indiquons quelques compatibilit6s auxquelles donne lieu ce choix de signes. Pour simplifier les notations, nous prendrons pour S le spectre d'un corps k.

(c) Soient X une courbe lisse sur k alg6briquement c lose t x~X(k). Appelons encore <<trace)> le morphisme d6dnit de (S.7)

Tr: H~,}(X, ~2~) -~ k.

Soit E le complexe r6duit aux degr~s 0 et 1

/ z := a ~ , ( o~ . ~ ) ~ a ~ , ( oo . ~ ) / a ) , .

II diff6re par un signe de L [ - 1]. A cause de ce signe, Tr est l'oppos~ du morphisme compost

H~x}(X,O~)* ~ HlF~x~E=(parties polaires en x) R**~ k.


La suite de foncteurs F~x}(X, )--*F(X, ) ~ F ( X - { x } , ), qui est exacte courte quand appliqu6e/l un faisceau flasque, fournit un morphisme cobord c~: H ~ {x}, f21) --* H~xI(X, f21). On a

Tr o O = - Res x.

Enfin, pour X complete, le morphisme cobord attach6 5. la suite exacte courte de faisceaux

0 ~ 12x 1 --, (formes diff6rentielles rationnelles) ~ (parties polaires) --* 0,

compos6 avec le morphisme trace, est la somme des morphismes r6sidus en tous les points x~X(k). (d) Pour X = X 1 • avec X i complet localement d'intersection compl6te purement de

dimension ni, et pour uiEH"'(Xi,cOx,), soient n=n 1 + n 2 et pr*u I upr~u2~H"(X, oox) le cup-produit, rel. 5. (S.3): pr*~ox,| x. La compatibilit6 exig6e des morphismes trace au produit s'6crit

Yr(pr*u I wpr~u2)= ( - l) . . . . Yr(uO. Tr(u2).

(e) Pour k = C, et pour la topologie transcendante, on dispose d 'un morphisme trace

]: z-/2"(x(c), c)--, c.

Si f2** est le complexe de De Rham C | le quasi- isomorphisme C ~ O * * fournit un isomorphisme H2"(X(C), C)=(2n-formes)/(formes exactes), et ~ est l 'int6gration sur X(C), muni de son orientation usuelle. I1 nous sera plus commode de regarder j" comme un rnorphisme H ~ Ce d6calage pair dans les degr~s ne pose aucun probl6me de signes. Soit f2* le complexe de De Rham holomorphe. Les quasi- isomorphismes et morphismes

C E2 n] ~ ~2" E2 n] ~ Q" [n]

fournissent en cohomologie (pour la topologie transcendante)

e: H~ H~ C[2n]).

On a H~ f2"[n])= H~ f2"En]) (GAGA), et entre les deux rnorphismes trace la relation

1 Tr(u) = ~ I ~(u).

(t) Soieut P" l'espace projectif de dimension n, (T/)ogi=<n un syst~me de coordonn+es h o m o # n e s , U~ l 'oavert T~ 4= 0 et ti = TdT o. On ordonne de fa~on evidente l 'ensemble d'indices [0, n] du recouvre-

dr1 A dr, de f2" ... ment ouvert (U 3. La section - - ^ . . . sur l 'intersection U 0 , des U~ dOfinit un cocycle de tl tn

Cech, d'o/l une classe dans H"(W, 0"). On a

Tr (d t lA A dr"\ 1) "~"+ 1) \ t 1

Bibliographie

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Oblatum 30-X-1983

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Intégration sur un cycle évanescent