La fonction quadratique

Déterminer la règle

Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction.

Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une règle.

Ainsi, dans la règle : f(x) = - (x – 2)2 + 3

Si x = 5 f(5) = - (5 – 2)2 + 3

f(5) = - (3)2 + 3

f(5) = - 9 + 3

f(5) = - 6

Nous obtenons ainsi le couple (5 , - 6)

Introduction

Ainsi, le couple (1 , 2) appartient à la courbe de la fonction,

f(x) = - (x – 2)2 + 3

De ce fait, il découle que :

chaque couple de coordonnées, qui vérifie la règle (qui rend l’équation vraie), appartient à la courbe.

2 = - (1 – 2)2 + 3 Car, ( 1 , 2 )

2 = - (- 1)2 + 3

2 = - 1 + 3

2 = 2

Vrai.

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

y

x

À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie la règle.

f(x) = - (x – 2)2 + 3

- 6 = - (-1 – 2)2 + 3

- 6 = - (-1 – 2)2 + 3

- 6 = - (-3)2 + 3

- 6 = - 9 + 3

- 6 = - 6

( -1 , - 6 )Vrai.

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

y

x

x

y

1

1

y

x

1

1

Pour déterminer la règle d’une fonction quadratique,

on utilise la forme canonique.

on utilise la forme générale

il faut un minimum d’informations.

les coordonnées du sommet de la parabole

les zéros de fonction

et les coordonnées d’un autre point de la courbe,

et les coordonnées d’un autre point de la courbe,

f(x) = a (x – h)2 + k

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

Si les informations données sont

Si les informations données sont

factorisée.

Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont (4 , 102). Son sommet se situe à (-2 , -6). Quelle est sa règle ?

À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique.

f(x) = a (x – h)2 + k

Sommet (-2 , -6), donc h = - 2 k = - 6

102 = a (4 + 2)2 - 6

102 = a (6)2 - 6

Coordonnées du point : (4 , 102), donc à ce point, x = 4 y = 102

102 = 36a - 6

- 2 - 6

4 102

= a ( – )2 + Remplaçons :

Effectuons les calculs :

En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue.

102 = 36a - 6

+ 6 + 6

Isolons a :

108 = 36a

3636

3 = a

Sachant que a = 3, h = - 2 et k = - 6

La règle est donc :

f(x) = a (x – h)2 + k

f(x) = 3 (x + 2)2 - 6

Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a.

Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée.

Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction.

Avec la forme générale : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.

Exemple : f(x) = 2x2 + 4x - 16

0 = 2 (x2 + 2x - 8)

0 = 2 (x + 4) (x – 2)

Si x + 4 = 0,

alors x = - 4

Si x - 2 = 0,

alors x = 2

Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes.

f(x) = a (x - x1) ( x - x2)

De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée.

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

x1 et x2 sont les zéros de fonction le - signifie l’opposé des zéros.et

Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et -3, alors les binômes qui la composent sont (x – 5) et (x + 3).

Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont (4 , 10).

Quelle est sa règle ?

Les zéros sont -1 et 3, donc x1 = - 1 et x2 = 3

f(x) = a (x - x1) ( x - x2)

Remplaçons :

- 1 3

Déterminons les binômes :

a (x - ) (x - )f(x) =

f(x) = a (x + 1) (x - 3)

Coordonnées du point : ( 4 , 10 ), donc à ce point : x = 4 y = 104 104

f(x) = a (x + 1) (x - 3)

= a ( + 1) ( - 3)Remplaçons :

Sachant que a = 2, x1 = - 1 et x2 = 3

f(x) = a (x – x1) ( x – x2)

f(x) = 2 (x – -1) ( x – 3)

f(x) = 2 (x + 1) (x – 3)

Développons : f(x) = 2 (x2 - 2x – 3)

f(x) = 2x2 - 4x – 6

Calculons :

10 = a (4 + 1) (4 – 3)

10 = a X 5 X 1

10 = 5a

2 = a