Liter~turberichte. 4~

E b e n e und r~uml iche Geomet r i e yon P r o s Dr . K. Ed. Z e t z s c h e : Vierte~ v e r m e h r t e und verbesse r te Auflag% be a rbe i t e t yon F r a n z Z e t z s c h e . Mit 242 in dan T e x t g e d r u c k t e n Abbi l - dungen . Le ipz ig V e r l a g s b u c h h a n d l u n g yon J. J. W e b e r 1905. - - ( X I -~- 408 Seiten).

Das vorliegende Buch bilde~ den 63. Band in der Sammlung fllustrierter Katechismen yon W e b e r ; es se~zt sich zum Zweck, die Grundbegriffe und wichtigsten Si~tze der elementarea Geometrie und des Raumes darzustellen und wendet sieh an Leser, welche ein gewisses Mal~ yon geometrisehen Kennt- nissen dutch Selbstunterricht sieh aneignen wollen. Was den Umfang des behandelten Sr anlangt~ so dtirfte dieser im gro~en ganzen mit dem an mittleren Schulen (Gymnasien~ Realsehulen, Gewerbesehulen) normierten Lehr- ziele fibereinsfimmen, mit der Beschri~nkung, dull Trigonome~rie and analy- tische Geometrie hier nicht mit einbezogen werdeu. Es sei erwi~hnt, dai~ unter anderem das Berfihrungsproblem des Apollonius, der Feuerbachsche Kreis, die harmonischen Gebilde, das vollstiindige u Pol und Polare beim Kreise behandelt werden; auch der Inversion am Kreise wird ein Paragraph gewidmet unter dem Namen ,Kreisverwand~schaft". Die verwendete Termino- logie stimmt nieht durchwegs mi~ der s0nsr gebrliuch]iehen fiberein, so z. B. wenn in dem Kapitel tiber das Viereck der Ausdruek ,Rhomboid" als gleiehbedeutend mit dem Ausdrneke ,Deltoid" verwendet wird. Die Art der Behandlung des Sr entspricht nieht fiberall den Anforderungen, welche veto wissenschaftlichen Standpunkte auch an ein elementares Lehrbnch gestellt werden mtissen; der Aufbau des Lehrgeb~udes en~behrt der logischen Dareh- bildung, indem ein Un~erschied zwischen Axiomen and Post~flaten einerseits und beweisbaren Si~tzen anderseits nirgends gemaeh~ wird. Als besonders krasse Versfindigung gegen den wissensehaftlichen Geisr mull es bezeichne~ werden, da~ in w 33 jener Satz, der sons~ in den Lehrbiiehern ausdrticklich als Euklidsebes ParallelenposCulat formaliert za werden pfleg~, dutch einen Scheinbeweis eingefiihr~ oder riehtig eingeschmuggelt wird. hbgesehen yon den genannten Mi~ngeln mag das Buch bescheideneren Anspriiehen immerhin gentigen, indem es dem mit u ausgertisteten Leser eine gewiss% nich~ unbedeutende Summe yon geometrischen Kenntnissen vermittelt.

L ' a lg~b re de l a logique. P a r L o u i s C o u t u r a t . Ver l ag yon Gauthier -Vi l la rs~ 1905 (100 Seiten).

Das in der bekann~en Sammlung ,Seien~ia" als Nummer 24 ersehienene Biindchen entwickel~ die Grundziige des yon B o o l e and S c h r S d e r begrfin- deten und seither yon verschiedenen Au~oren wei~er ausgebanten ,Logik kalkiils ". Das Substrat des Kalktils bilden ,Dinge", welche als Begriffe (interprgtation coneeptuelle) oder als Urteile (inCerprgta~ion propositionelle) gedeutet werden k5nnen (neben diesen dem eigentlichen Gebiete der Logik angehSrigen Deu~ungen wird als dritte mSgliche Deutung die Deutung der Dinge als Mengen erwahnt). Der hufbaa des Kalkiils erfolgt ohne Bentitzung tier beiden Deutungen in vSllig abstrakter und formaler Weise dutch Axiome and Postulate, wobei nattirlich der Sinn und die Bereehtigung der letz~eren durch best~ndige Hinweisung a~ff ihre Bedeutung in der I. C. (interprgta~ion conceptuelle) und I. P. (interprdtation proposifionelle) erli~atert wird. Den

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50 Literaturberiehte.

Ausgangspankt bildet die dm'eh das Zeichen < dargestellte Relation zwischen zwei ,Dingen": a < b, welche in der abstrakten Theorie eben wegen ihres fandamentalen Charakters als undefinierbar erscheint, in der I. C. und I. P. aber sine sehr einfache Bedeutung besitzt; anschliel~end wird die Gleichheit zweier Dings a ~ b durch das gleichzeitigs Bestehen der Rel~tionen a < b and b < a erklart. Es .verden gewisse Axioms (das Prinzip der Identitgt and das dos Syllogismas) eingeffihrt and dann aaf Grand zweier Postulate die Addition und Maltiplikation zweier ,,Dings" dsfiniert, die zwei fundamentalen Opera- tionen des Kalkftls, dereu Bedeutung in der I. C. and I. P. sehr leicht ver- st~ndlieh ist Nun folgen Gesetze und Reehnungsregeln fi:lr die Umformung ~on t~elationen, die Ableitung dos distribufiven Gesetzes ft~r die Multiplikution hinsicht]ieh der Addition und fi~r die Addition hinsichtlieh der Maltipllkation, die Definition der aneigentlichen Dings (0) and (1), das Gesetz tier Daalit~t. Als dritte fundamentals Operation wird in w 15 die Negation eingef~hrt (aaf Grund sines Postulats). Mit w 20 ist der Grandstock des Kalkt~Is gewisser- mal~en vollendet and der Leser mit den eigentfimlichen Ausdrucksmitteln des KMkfils vertraut gemachi; his zu dieser Steile erscheinen die Formeln ira Grande genommen als Darsteliung der gewShnliehen Denkprozesse in ether elgens geschaffenen symbolisehen Spraehe and ihr Inhalt ist - - in die gew~hn- fiche Spreehweise fibersetzt - - unmittelbar einlenehtend. Yon w 20 ab dringt die Darstellung tiefer in den eigentliohen Problemkreis des Logikkalkuls sin; es werden Methoden entwiekelt, die es ermSglichen, mit Hills der gesehaffenen Symbolik verwiekeltere Denkprozesse dutch Reehnnng zu ersetzen and die betreffenden Aufgaben auf beinahe meehanisehe Weise der Erledigung zazu- ffihren. Ohne ngher ins Detail za ashen, seien erw~hnt: die AuflSsung ~oa Gleiehungen, die Elimination, die Methoden yon Pore t sky , als markante Haaptpunkte in den Entwie]dungen dieses Teils. Am Sehlusse wird in w 60 die Stellang des Logikkalkiils zur ~[athematik and Loglk besprochen nnd die Grenzen seiner Leistungsfhhigkeit bezeichnet.

Das vorliegende Bglxdchen enth~l% in dem knapp bemessenen Raume yon 100 Seiten eine recht ansehnIiehe Fiille yon Inhalt. Daes sieh aueh dureh Klarheit der Darstellung and t]bersiehtlichkeit auszeichnet, wird es gewi~ die Kenntnis des LogikkMkiils in weitere Kreise tragea and viele zum Stadium der einsehlggigen Literatur (hiezu ist das auf Seite 96, 97 des Werkes befindliehe gerzeiehnis zu vergleiehen) anregen. 3. Gr~nwald.

Enzyklopgdi e der E lementa rmathemat ik . Bd I I . Geometr ie . Bearbei tet yon He in r i ch W e b e r ~ Josef W e l l s t e i n a nd W a l t h e r J a e o b s t h a 1. Mit 280 Textf iguren. Leipzig', D r u e k and Ver l~g yon B. G. T e a b n e r 1905.

Dieses Bach, das den zwei%en Band der Enzyklopgdie der Elementa- Mathematik, sin Handbueh fiXr Lehrer and Studierende yon If. Weber and J. W e 11 s ~ e i n bildet, reiht sieh wt%rdig dem bereits besproehenen ersten Bands an. Es hat zum eigentliehen Vorwarfe dm Elementar-Mathematik, doeh mul~ten, wie in der Vorrede erwghnt wird, mit g~eksieht auf den dritten Band, der die Anwendungen bringen wird, aaeh die Kegelsshnitte, die ebene an~ sphhrisehe Trigonome~rie, sowie die Anfangsgri}~nde der analytisehen Geometrie in die Dar- stellung einbezogen werden and rhamlieh f[el dlesen Materien der grSs