I.

Le problbme de Neumann-Kelvin (*).

- D@veloppement a s y m p t o t i q u e de la pat t i e ose i l lante de la so lu t ion ~16mentaire.

M. G. B A v ~ (Rueil-Malmuison, France)

R@sum~. - ~e calcul de la rdsistance de vagues d'une car~ne qui pousse ~t vitesse constante sur ~n oc6an in]ini se famine, moyennant des hypotheses simptificatrices, ~ u n probl~me aux limites ~ui n'est ni elliptique rdgulier n i sous-elliptiqq~e. On ~'appelle la constrnction d'~ne solution dl~mentaire ] vdrifiant la condition de sur]ace libre p~is on donne son co~portement d l ' in]ini sous la ]orme d'un d~veloppement asymptotique comportant une pattie lentement va~'iable et nne pattie oseillante. Usant en outre des conditions de radiations on dddq~it la ]orme de la solution g6ndrale et son d6veloppement asymptotiffq~e. On ~t~die ensnite le probl~me a~ex limites lorsque la ca@he ne perce pus la surface fibre, puis on e]]ectue les trans]ovmations ndcessaives sur ] a]in de ramener le probl~me aux limites g~ndral ~ la th@orie des op6rate~rs int6graux de ~'ourier. O~tre leur int6rdt th6o~ique, les v6sultats dgmontr6s sont essentiels po~tr le trai- tement num6rique ultgrieur : les d6veloppements asymptoti~ues donnent la cl6 de route m6thode d'gl6ments ou de di]]6rences ]inis concentr6s sur un ouvert born6, tandis ~ue l'dt~tde des sin- gularit6s de ] est indispensable pour la rdsolution de l'6~uation intdgrale d~dvalente au probl~me aux limites. Une description heuristique de la premiere m~thodv n~tmdrique est donn~e en r6]. [24]. Dans le pr6sent article on se limitera d l'~tude appro]ondie de la pattie oscillante de la solution 616mentaire. Les tests num6riques ont dtd e]]ect~t~s en r6]. [25].

l . - Notations.

On d6signe par x : (Xi) ~[n point de R n (n = 3 en g6n6ral), x --> x* est 19 sym6trie

par rappor t au plan x~ = 0. Lu cur~ne de surface S et de ligne de flottaison L e s t

situ6e duns le demi-espace x , < 0 . L 'ouver t de R'_ ext6rieur ~ S est not6 ~ et l'int6-

rieur de % se note/2~. On supposera que Lq est une vari6t6 eompacte et C ~ de bord

~S = L ( L = 0 duns ]e cas du sous-marin), ee bord 6runt suppos6 6tre duns le plan

x, = 0 (Fig. t et 2)

Xl Z l

Figure 1 Figure 2

(*) Entrata in :Redazione il 4 febbraio 1979.

234 M. G. BAUEr: Le probl~me de Neumann-Kelvin, I

La por t ion de 3/2~ situ6e darts x~ = 0 se no te F (surface ]ibre). n = (n~) sera le

vec teur normal , un i ta i re et ext6r ieur ~ S.

S i x = @3 e R ~ o n posera sonven t X = (x', x.) avec

X ' = (Xl, ~2, " " , X n - - 1 ) e t r = I x l l , - ~ = IX] = X 2 �9

S i x = (x~) e R 8 on posera x = ((~, 0, R)) = Jr, % xs] pour d6signer le rep4rage de x

soit en coordonn6es sph6riques, soit en coordonn6es cy l indr iques :

x ~ = R b i n 0 c o b ~ r - - - - R s i n 0

(1) x2 = R sin 0 sin ~ ~ = ~ - - ~/2

x~ = R cos 0

X~

X a

R

Figure 3

X2

2 . - P o s i t i o n d u p r o b l ~ m e .

On d6sire chercher la r6sistance de vagues d ' u n e car6ne S a v a n g a n t ~ la vi tesse

cons tun te c > 0 sur n n oc6an immobi le et infini. On supposera que le fluide est parfa i t ,

incompress ib le et que son m o u v e m e n t est s ta t ionna i re dans le rep6re Ox li6 ~ la car6ne.

I1 s ' en suit qu 'f l existe u n poten t ie l des vitcsses % la vi tesse re la t ive 6rant ur(x ) =

= g r a d ~(x) - - c, x 6rant u n po in t de ~2..

On m o n t r e que % d6finie sur ~ , v6rifie les condi t ions su ivan tes :

(1)

1)

. 2 )

A~o = 0 darts I2~ (incompressibil i t6)

h m ~ @ ko = 0 (condi t ion de surface libre) Xn'-~O- \ 1

ko = g ~ 0 g = 9,81 C2,

M. G. :BAuEI~: Le probl~me de ~eumann-Kelvin, I 235

(1)

3) ~n = cn~ sur S (condition de glissement)

4) x'-+~v(x', x,~) ~ S'(R ~-1) et

l im -1 ( ]~(x',x~)]~dx'< 0 si a = 1

lz'l~<~, zege axx~O

C ind6pendant de x ~ < 0 (conditions de radiation)

5) ? z H~or (condition d e r6gulurit6)

On d6signera ce probl~me par (( problSme N. K. ~). Notons que zl~v = 0 duns .Q~ entraine que q est analyt ique r6elle duns f2~ donc en

particulier C | duns ~ . Si ~ e H~or la not ion de trace u bien un sens, mais les fonctions 3q~/3x~ et ~2q~/~x~ n~ont en g6n6ral pus de trace sur 3/2~, de sorte que lu condi- t ion de surface libre dolt 6tre 6crite comme indiqu6. M~me remarque pour la condition de glissement: on entend qu~un point x de ~ tend vers x0 de S.

Pour 6tudier le probl~me (1) on commenccrapar rechercher les solutions 616mentaires dont on donneru ]es principules propri6t6s et leur compor tement $ l'infini. Usant de lu formule de Green on en d6duira la forme g6n6rale des solutions de C 1) uinsi que leur compor tement usymptot ique. On passeru enfin $ ]u question de l~existence et l~uuicit6: on a des r6sultuts imm6diuts duns le cas du sous-marin, l~6tude par contre s~avbre red0utuble duns le cas des navires de surface.

3. - Les so lut ions ~16mentaires (~ = 3): d6finition et express ions .

On uppelle solution 616mentaire du problbmc (1) toute distribution ~ +1(~, x) d6fine sur R ~ _ et d6pendant du puram~tre x ~ R ~ - qui v6rifie:

(2)

A~l(~, x) = ~ ( ~ - - x)

�9 ~ f ~ f hm ~ -~ (~, x) ~- ~o - ~ (~, x))

i ( ~ , x ) - ~ o si I ~ 1 - ~ .

= 0

Afin d'expliciter ](}, x) on vu pose,':

1 1 /(~, x) - - - § g(~, x) 4 ~ Jx - - ~l

et donc 2 ~ g : O .

Si ~o(x) ~ ~ ( R ~) on d6finit su trunsform6e de Fourier par

= f~(x) exp [i(x, u)] ~(x)(~) dx Rn

236 ~Vi. G. B~trE~: Le probl~me de s I

et on ~tend Pop4ration y~--> v~ pour F e ~D'(R ~) distribution sur R'~ de la mani~re usueUe (r~f. [1]).

Ral)pelons (ref. [ 1 ] ) q u e l / Ix I -= 4g/]u] ~ et par suite la transform4e de Fourier de x'--> 1~Ix 1 vaut :

( e x p [-- ix . t] 2~

R

La m4thode pra t ique l~our rechercher g consiste ~ upp]iquer la t ransformat ion de Fourier par rappor t ~ ~' aux 4quations v4rifi4es par g. On d~signera d~sormais par la transform4e de Fourier en ~' de la distribution T ( ~ ) ~ T(~'~ ~.) d~pendant du ' param~tre ~..

On exprimera u ~ (u~ us) en coordonn~es polaires:

Or

u l : kCOSO.

U~ ----- /~ sin 0

zl~g---- 0 <=> zl~g = 0 et

donc ~ : A~(u) e x p [ k ~ ] ~ B~(u) exp [ - - k~a] off A.(@) et B~(u) sont dans ~D'(R~). Si on veut que g(~, x) -+ 0 si ~ --> -- c~ il faut prendre B~ ~ 0 et donc ~ ---- A~(u). �9 exp [k~3]. Ecr ivant ensuite la condition de surface libre en t enan t compte de ce que la trailsform~e de Fourier de ~'-~ l / I x - ~I est ~gale ~:

27~ - f f exp [-- klxa-- ~sl + ik(x~ cos 0 + x~ sin 0)]

Oil t r o n v e :

(-- k 2 cos * 0 ~- kok)A = -- �89 cos 2 0 -~ ko) exl) [kx3 ~ ik(% cos 0 ~- x~.sin 0)] .

On est ainsi ramen4 ~ an probl~me de division de distr ibution 1)ar la fonction/V(u) = 2 -- u I -~ k o %/~ ~- u~ qui n 'es t pas analytique. Cependunt en polaire /~(u) ~-- -- k S.

�9 cos ~ 0 -~ k0k est analyt ique et on peut par suite d4finir la distr ibution vp(1/F(u)) par:

t' ~(u') ~ , _ f e~(k, 0) kodk (4) vp j ~ - ) au _ dovp - k cos~ 0 + R ~ 0 0

~ v e e

%(k, O) --~ q~(k cos O, k sin 0).

M. G. BAVEIr Ze probl~me de IVeumann-Kelvin, i 237

Ainsi :

(5)

f(~, x)(k, O) = 1 ( ~ ~- )

ko exp [k(xa ~- ~) ~- ik(xl cos 0 -~ x~ sin 0)] -~ vp

k(k cos ~ 0 - - ko)

-~ exp [k~a] G~,~(O) (5(k cos ~ 0 - - ko)

(k, O)--~ GI,~(O)(~(k cos ~ 0 - ko) es t une d i s t r i bu t ion de O ' ( R ~) loort6e p a r la cou rbe ]~ cos 2 0 - ko = 0 e t se d6finie p a r :

2 z

0

En par t i cu l i e r si Sa < 0, la t r a n s f o r m 6 e de Fou r i e r de

es t

(6)

u -> exp [k~s] GI,~(O) 5(k cos 2 0 - - ko)

2 z

0

r6su l t a t de l ' a p p l i c a t i o n de ce t te d i s t r ibu t ion ~ la fonc t ion

~(u ' ) = ex9 [ i (u ' , ~')] = exp [ik(~l cos 0 -~ $2 sin 0) ] .

l~appelons la 9ropr i6 t6 de 1~ d i s t r i bu t ion ~ une v a r i a b l e :

1 (7) (x i iO) -~ = vp - ~ i ~ ( x ) .

X

P a r cons6quent , v u (4) on a u r a :

1 1 l im ~ o u (k c o s 20 - - ko + ie) v p k cos 20 - -

(0 es t consid6r6 c o m m e 9 a r a m 6 t r e , la va r i ab l e 6 ran t k). P a r cons6quent , qu i t t e ~ modif ie r GI,~, on p e a t dans (5) r e m p l a c e r la va l eu r pr in-

c ipale p a r la fonc t ion d o n t le d 6 n o m i n a t e u r es t :

k(k cos ~ 0 - k o - i e ) .

238 M. G. B A v ' ~ : Le probl~me de Neumann-Kelvin, I

P o u r des ra i sons t echn iques on r e m p l a c e s p a r s cos 0 car la fonc t ion :

H(k, 0) = exp [k(x~ + $8) + ik(xi cos 0 + x~ sin 0)] k cos ~ 0 - - ko ~ is cos 0

v6rifie Mors la r e l a t ion de 96riodici t6:

H(k, 0 -~ ~) = H(k, O) et doric

0

e t p a r sui te :

(s)

0 0 - - ~12

I1 r6sa l te de (6), (7) e t (8) que :

(9)

1(1 t (~, x) = - ~ Ix -- ~:1 I x - P

2 ~

0

sin (0 - - a ) ] dO.

NoRs a v o n s 10os6:

(lO)

co : # 2

t~(~*) = ]~(r, a, - - i s ) = l im 1 ~ ~" ~ / ' exp [k~s + ikr sin (0 - - a)]dO ~-~o+ 2~-~ .~e j,~,~ j ~ ;~s~6 : : Y + i~ cos o

" et~ --hi2 - - 7g ~1 = r sin ~ r cos ~ = ~ ~---

avec ~ = r cos a = r sin

On v6rifie sans pe ine qtte:

(11) on p e u t donc suppose r que

~ E (0 ,~ ) e t ~ e ( - - 2 , -~).

M. G. BAVE~: Ze probl~me de zYeumann-Kelvin, I 239

~ors du calcul de ]2 on int6gre d ' a b o r d pur r a p p o r t ~ k e n ut f l i sant l ' i n t4gra t ion duns

le p lan complexe. Cela m e t f2 sous la fo rme (voir r6f. [2]) :

(~2)

avec ~*~- ( - - r s in~, r cos~ , Z), r > 0 , Z > 0

o

co

. . . . / ' exp [ike!~ Z - - kre ~ s in0] dk exp [~pJJ ~ e ifl cos 2 (0 T ~ ) - ~ i

o

- - * r Z ) i~( , ~,

7~ ' - = / ~ o </~ < I

Si duns l ' express ion de ]~(~) on change ~ en z - - ~ et 0 en z - - 0 on voi t que /3 est

invar ian t . I1 en est donc de m 6 m e pour ]4 v u (11). Si duns ]3 on change ~ en - -

et 0 en z - - 0 on vo i t que ]3 est invur iant . Ains i :

(13) /~(-$~, ~ , z) = l~(~,, - ~ , z) = i~(~, ~ , z)

f,(~,, - ~ , z) = i , (~, ~ , z ) .

I1 est cluir que pour Z > 0 la fonc t ion 0 -> (1/cos ~ 0) exp [ - - Z/cos 2 0] est C ~ et s ' an -

nule a u x po in t s 0 tels que cos 0 = 0 uinsi que routes ses d~riv~es. P a r sui te on p e u t

d6river ]4 pa r dSr iva t ion sous le signe s o m m e et pa r sui te ]4($1, ~:, Z) est C ~ duns ]e

demi-espuce Z > 0. C o m m e zJ]~----0 on conc lu t que ]2 est a n a l y t i q u e duns Z > 0

donc ]3 est C ~.

No tons que . f 3 ( - - ~ , - - ~ , Z) ---- ]a(~l, ~2, Z) e t :

(14)

1 ~ cxp [ ( - z + ir sin (0 - ~))/cos-" 0] dO ](x, ~) = 1(~, x) -- I m ~ cos~ 0

~1-- Xl = - - r sin Z = - - (x. § ~.).

~ 2 - - X 2 = f COS

I1 r6sulte de (14) qne x - e ](x, ~) est ~galement une solut ion 616mentaire. Contraire-

m e n t au cus du p rob lgme de Dir ichle t ou du probl~me des corps f lo t tan ts anim6s

d ' u n m o u v e m e n t p6r iodique lu solut ion 616mentaire n ' e s t pus sym6tr ique .

2~0 !VI. G. BiUER: Le probl~me de Neumann-Kelvin, i

4. - G4n6ralit@s sur les d6ve loppements asymptot iques .

Soit g e Co(R'), h e C~(R ") e t / ( r ) =~g(O) exp [irh(O)] dO. Le probl6me consiste

6tudier le comportement de I(r) lorsque r --> c~. I1 intervient notament duns la recherche de solutions asymptotiques d'4quations

aux d6riv6es partielles lin6aires (r6f. [3], les t ravaux de Vaillant etc.) et a fait l 'objet de nombreux t ravaux (r6f. [13], [14], [15], [162, [19], [202, [21]).

Si grad h ~ 0 sur snpp g on verra qu'0n a un r6sultat imm4diat. Si grad h s'an- nule en an norabre fini de points (points critiques) mais si h" eat non singuli6re en ces points on utilise le th6or6me de la phase stationnuire classiqlle. La situation eat beaucoup plus d61icate lorsque le hessien est d6g6n6r6. D' importantes 4tudes ont 6t4 faites en r6f. [19], [20], [21].

On arrive ~ des th6or6mes de classification permet tunt de connaitre le compor- tement de I(r) suivant ]a nature de 1~ singularit6. Notons que si h eat analyt ique la forme g6n6rale du d6veloppement de I(r) eat connue grace au th6or6me de d6singu- larisation de Hironaka.

Pour nos besoins le c a s n = 1 ser~ suffisant, aussi nous ~ttacherons nous principa- lement ~ expliciter les rSsultats th6oriques g4n6raux.

Pour les d6finitions g6n6rales des d6veloppements asymptotiques et ]ears pro- pri6t6s 616mentaires on pourr~ consulter la r6f. [62. Indiquons seulement qne le d6ve- loppement d 'une fonction ], s'il existe, eat unique et que inversement si on se donne une s6rie asymptot ique il existe / (non unique saul dana le cadre analytique) qul se d6veloppe suivant cette s6rie.

4.1. Cas oi~ it n'existe pas de points critiques.

l~ppelons quelqnes r4sultats classiques s'6tablissunt par int6gration par parties:

L E l v ~ 1. - Si I(r) - ~ g ( O ) exp [irh(O)]dO, g e Co(R") , h e C~(R ") et gr~d h V= 0

sur supp g, alors VN>~O on a I(r) --- O(1/r/V).

Tn~OIC~iVKE 1. - Soit I(u) = fg(k) exp[iku]dk , g ~ C~(R) et gEO M (elle est ~ crois- 0

sanee polynomiale ainsi que routes ses ddrivges) et u ~ C. A u voisinage de I m u = @ c~ on a l e ddve~oppement asymptotique suivant:

et

i~-i / i \ ~+l

co

(:)7 Rx = C~)

0

exp [ i k u ] dl~

)/[. G. BA~TEIr Le probl~me de N e u m a n n - K e l v i n , i 2~i

~E~AI~QUE. - - I1 est int6ressant de noter que 18 d6veloploement s 'obtient formel-

lement en d6veloppant g(k) en s6rie de Taylor au voisinage de k = 0.

b

T]t~O~g~V~E 2. - Soit I (r) = fg(o) exp[irh(O)]dO, g, h ~ C~[a, b], a et b dtant ]inis @

et g(~)(a)= O, Y n > 0 et h'(x) V:O, V x e [ a , b ] .

Posons

1 f . g(0) et ~ = ~ ~_~ ~ o ( 0 ) - - h'(O)

On a:

~v 1) F~(b) exp [irh(b)] I (r) = ~=o ~ ( - (ir) ~+~

b

( - z)~+~ (F ' ~ + (ir)~+ ~ j ~,~j exp [irh(O)]dO.

4.2. Cas des points critiques non ddgdndr~s.

T n ~ o ~ a - E 3. - On reprend les notations du th 2 en supposant en plus que gl~)(b) = O~

Vn>0. Soient Or los points critiques de h(h'(Oj) ~- 0). On suppose qu'ils sont en hombre

]inis q sup ]a, b[ et non ddg6ndr~s (hH( O ~ ) V: 0 - la derni~re hypoth~se entrainant la premiere) .

On peut 6crire pour r -* c~:

C2~(Oj) grant une combinaison lindaire des d6riv~es de g jusqu~d l'ordre 2v en 0 = Or

et ddpend non l indairement de celles de h jusqu~d l'ordre 2v ~ 2 prises au mdme point Oj.

Par part i t ion de l 'unit6 on pent se ramener aN cas q = 1 et SNpposer qNe 0~ = 0.

QNitte ~ restreindre 18 support de g, ce qui est possible d'apr~s 18 lemme 1, on pea t

se ramener ensuite aN cas off h(0) = 0 ~. On obtient ~lors une expression explicite du

d6veloppemcut de I(r) . Une d6monstrat ion int6ressante bas6e sur la t ransformation

de Fourier est donn6e par I-ISrmander (r6f. [29]). Sans rappeler los d6tails, indiquons

le r6sultat essentiel qNi fournit en m6me temps une majorat ion de l 'erreur.

LE~a-E 2. - Avec los notations de th. 3 on a:

I(r) = 0 ~ si g~)(O) = 0 pour j = O, ! , ..., q.

De ]a~on plus prdcise:

II(r)l<

avec nq ~ q -- 1 ou q -- 2 su ivant la parit6 de q.

1 6 - Annal i d~ Matematica

242 M. G. B ~ : Le probl~me de Neumann-Kelv in~ I

Donnons aussi le l emme technique suivant qui dCcoule d~une int6grat ion duns le

p lan complexe:

~ L E 2 c I ~ E 3 . - - . P O 8 0 n 8 oo

0

On a: exp[i(7~/r + l)sgA] (L~_~)

D J A ) - 21A/2](~+,/~ /" �9

I~E~A~Q~ 1. - IJa m6thode pr6c6dente donne des r6sultats explicites duns le

cas d~int6grales de t y p e diff6rent. P a r exemple:

T n ~ o ~ E 4. - Pour ~ e Co(R) on a: c~

~(~) ~o(kr) d~ ~ ~ ( - " ~,o, . : o r ~+1 2~" (n!) ~ "

0

I~EMA~QUE 2. - Pour explici ter les C~ du th. 3 il est commode d'uti l iser la rbgle

forme!le de Maslov (r6f. [3]) que nous allons justifier.

Sllpposons que le seul point crit ique soit en 0 = ~ et soit 2~(0 - - ~) le dCveloppement de Taylor de g(O) ~ l 'ordre n au voisinage de 0 ---- ~. D 'aprbs le th. 3, I (r ) a mCme d6veloppement jusqn '~ l 'ordre n + �89 que la fonction:

oo

I i (r) = .t'~v(0 -- ~)_P~(0 - - ~) exp [irP~+2(O -- ~)] dO - - o o

avee F(0) = 1 au voisinage de 0 = 0.

Posons

h"(~) y u ( y ) - - 3! + h m ( ~ ) + . . .

de sorte que: co

I~(r) = f ~f(y)P~(y) exp [irh(~)] exp [(ir/2) y2h"(~)] exp [ir yau(y)] d y . - - o o

D'aprbs la formule de Taylor en y = O:

~ve6:

~=0 q! + R~(y)

1

(irySu(Y)) ~+~ ~ (1 - - t) ~ exp [itry3u(y)] dt .

0

~ . G. BAvE~: Le probl~me de Neumann-Kelvi% i 2~3

t ) o s o n 8 :

co

A = f ~v(y) _P~(y) - - o o

a v e e

1 o o

e x p i r y ~ - ~ - - j AY) Y = r~+~- d~ Gt(y) exp ir h"--ty~u dy 0 - - r

1 Gt(y) -~ ~. ~f(y) P~(y)(1 - - t)~(iu(y))~+~y~+a .

Comme les d6riv6es de G,(y) sont nulles en y ---- 0 jusqu'~ l 'ordre 3n + 2, il r6sulte

que:

A = r ~+~ 0 ~ r(~n+a)n = 0

I1 en r6sulte que le d6veloI)I)ement de I~(r) s 'obtient simplement en remplagant la g fonct ion y -+ P~(y) exp [iry3u(y)] par sa s6rie formelle de Taylor ell y = O. Posons

done: P~(y) exp [irySu(y)] = ~ ykAk(r ) d'ofi: / r

�9 ~ > 0 d - - c o

On peut remplacer F(y) par exp [-- sy~l, faire tendre e vers 0 en fin de caleul et effeetuer le changement de variable y ~ ~/v/r:

d'ofl:

o o

I~(r) ~ exp ~r[irh(~)] ~>~o~ ~A~(r) f ~ Is . h"(~)~ ~

exp [irh(~)] Ii(r) ~ ~ ~-~ ~: 2 D~(h "(~)).

k>~o

On va utiliser cet te m6thode pour expliciter le d6veloppement de I ( r ) :

T]~f~otr 5. - Avee les hypotheses du th. 3 on suppose que h a un seul point cri- b

tique ~ ]a, b[ et on pose I ( r ) = Jg(0)exp[irh(O)]dO. On a: ct

3.5 [h(3)~ 2] 1 { ~ 3 . 5 . 7 3 . 5 . 7 . 9 B8

g '=g ' (~) ete et : g = g(~), ...

24~ ~/[. G. B ~ : Ze probl~me de Neumann-Ke lv in , I

g(* h(~) _, h (~) g,, h(~) g(~) h(S) ~o = ~-.,,B~ = g v . + ~ ~ . + ~ ~.. + :~! 3 ! ,

B~=gL~+~\~! + g ' ~ . ~ . + g ~,--5~]

B . = ~,. ~. + ~. ~ . ] \ ~ . 1 ,

g h (a)

4.3. Points critiques ddg6n6rds.

L%tude des d4veloppements uniformes mon t re ra que si ~ e ]a, b E est le seul point

crit ique de h e t si en 0 = ~ on a h(~)(~) = 0 pour j = 1, 2, ..., q et gr = 0 pour j = O, 1, 2, ..:, n alors I(r) = O(1/r (~+~)/(~+1)) done le d~velopperaent de I(r) ne d~pend

ici aussi que d 'un hombre fini de d~riv~es en 0 = a de g e t de h. E n s u i w n t la m6thode

du w 4.2. on mont re le:

T ~ o ~ E 6. - Avee les hypotheses du th. 3 on suppose en plus que h a un seul point

critique d6gdn6rd ~ ~ ]a, b[ avee h'(o:) ~ O. Alors:

avee h" = h"(~), les B~ et C~ dtant donnds par les expressions suivantes (oie a~ = (ha)/4 !)(o:),

as = (h(~)/5 !)(~) etc ...) :

B o = g

C o = --2ga~ ( ~ ) + g'

4.4. Ddveloppements uni]ormes.

4.4.1. I n t r o d u c t i o n .

Supposons que 1~ fonction h in terven~nt dans le th. 5 w 4.2 d~pende & u n p~ra- m~tre ~: h -~ h(O~ ~) et s i t q points critiques 0~-(~)~ distincts et non d~g~n~r~s sauf

5I. G. BAgEl: Le probl~me de Neumann-Kelvin, I 245

en ~ = eo oh t o u s l e s 0j(e) viennent se confondre en un seal point dgg6n6r6. On constate sans peine que duns le d6veloppement donn6 par le th. 5 le coefficient de 1/(%/~r ~) contient 1/]h"(O~, ~)I 8~+�89 en facteur de sorte que si ~ - + c~o le coefficient de 1/ (~/r r ~) devient trgs grand et d~autant plus grand que n e s t 61ev6. Par suite pour avoir une pr6cision donn6e il faudra se placer s des distances de plus en plus consid6- rubles au fur et ~ mesure que e s'approche de e0. Du point-de-rue num6rique et pratique le d6veloppement asymptot ique devient inutilisable pour e voisin de e0. Pour ~ = go on peut, par contr% utiliser le th. 6. C'est pour rem6dier ~ cette situa- t ion f~cheuse qu'on va introduire les d6velopPements uniformes. Ce genre de d6velop- pement intervient souvent en 6quations aux d6riv6es partielles (r6f. [15]) bien que certains auteurs utilisent syst6matiquement des d6veloppements non uniformes (r6f. [3]). Un certain nombre de t ravaux ont 6t6 consacr6s s l '6tude du comportement lorsque, r --~ co d'int6gwales du type:

(1) z(r) = fg(o, z) exp [irh(O, 2)] dO.

Par exemple, Ursell (r6f. [13] et [14]) suppose que g e t h sont analytiques et utilise des int6grations convenables duns le plan complexe li6es /~ la m6thode de steepest descents consistant ~ faire passer les chemins d'int6gration par les points critiques (duns C) de 0 -> h(O, 2). En r6f. [13] Ursell donne re@me !e premier terrne du d6velop- pement uniforme d 'une fonction voisine de ]4 du w 3.

Duns la pr6sente 6rude nous allons utiliser une m6thode permet tan t le d6veloppe- ment uniforme dqnt6grales oscilluntes. Pour la th6oric g6n6rMe voir r6f. [19]. Cette m6- rhode est essentietlement bas6e sur le thdorbme pr6puratoire de Weierstruss (r6f. [30] pour le cas analyt ique et r6f. [18] pour le cas C ~) et d 'un th6orgme voisin (r6f. [17]). Signalons que ce genre de th6orSmes a 6t6 consid6rablement 6tendu par Thorn, Mul- grangr et Mather (r6f. [22], [23]) s propos des th6ories r6centes de la stabilit6 des fonctions C *, stabflit6 strueturelle, th6ories du d@loiement universel et des catastrophes: elles permet tent en particulier de donner des r6sultats duns le cas d@6n6r6, ~ partir des th6orgmes valables duns le cas non d@6n6r& Ainsi, & une variable, si on connuit ]e d6veloppement uniforme de (1) uvec les hypothgses faites ci-dessus, on en d6duit celui de fg(o)exp[irh2(O)]dO lorsqu'il existe un s e n point critique d@6n6r6 00 v6ri- fiant h~)(Oo) = 0 pour j = 1, 2, ..., q. I1 suffit d ' introduire la fonction

= 0o hi(0) + h~(0o) ; J=l\

h~(Oo) # 0;

a v e e h . ( 0 ) = h.(Oo) + (0 - - 0o)~+1h1(0).

Le d6veloppement de fg(O) exp [irh~(O)] dO se d6duit donc de celui de (1) en fai. sant 2 = O.

Les d6veloppements uniformes introdniront des (~ fonctions sp6ciules ~) li6es ~ la nature de la d6g6n6rescence, que l 'on pent d'ailleurs classifier (r6f. [19], [20]); duns

246 M. G. B~YE~: Le probl~me de ~ e u m a n n - K e l v i n , I

notre cas ce sera la ~onction d'Airy~ car nous nous limiterons ~ nne variable et les points Critiques n 'annnleront pus ]a d~riv4e troisi~me. La fonction d 'Airy est d~finie par

(2) et v~rifie:

c o

- - i : x ~

II

A~ - - xA~ = 0

du

L'int~grale duns (2) d4signe une int4grale oscillante ~ phase non d~g4n4%e pour x > 0 (r~f. [29]) et s phase d~g~n4r4e s i x < 0. Duns ce dernier cas on petit utfliser la th4orie g4n~rale de Duist4rmaat (r4L [19]) ou plus s implement faire le changement de variable u a = t pour se ramener ~ une int4grale semi-convergente, soit encore proc~der par int4gration duns le plan eomplexe, l~appelons seulement qne A, (x )

est une fonction holomorphe qui adme~ un d4veloppement asymptot ique s i x ~ ~ :

(3)

(~)

Posons pour n > 0 :

(6n)! ~ = 3~.(2n) ! (3n)!4s. e t fl~ = 6n ~ - / 6n - - 1 ~ "

La fonct ion d 'Airy et sa dSriv4e adme t t en t les d4veloppements suivants p 0 n r r - - ~ - - o o :

A~(r) i - ,

s e x p ei - - ( - - r )~ ~-

La r6f. [16] mont re l 'existence d 'un d6veloppement uniforme d'in%grales du type (1). Cependant il est diffieile de l 'expliciter. Le %stfltat ci-dessous montre qu 'on Fobt ient

�9 faeflement s l 'aide du d~veloppement non uniforme~ ce dernier %sul tant du th~or~me de la phase stationnaire.

4.4.2. T h ~ o r i e de s d ~ v e l o p p e m e n t s u n i f o r m e s .

T m ~ o m ~ 7. - Soit g(O, ~) ~ C~ Rq); 0 --. g(O, ~) gtant ~ support dans ]a, b[; Ia] et Ibl < oo. Supposons que h(O, )~) e C~215 q) soit telle que 0 -~ h(O, ~) nit exaete-

ment deux points critiques 0~(~)~ j = 1~ 2 pour ~ --/: 0 et que 01 = 02 = 0 en ,~ -~- 0 avee

M. G. BALrE~: Ze probl~me de Neumann-Kelvin, I 247

(O~hlOO~)(O, O) # O. 2oit:

I(r, ~) = ~g(O, 2) exp [irh(O, St)] dO. R

Posons h~ = h(Os, 2), h:/ = (~h/~O~)(Or 2) ere ... et considdrons les ddveloppements uni- ]ormes et non uniformes de I(r, 2) lorsque r --> c~ et ), voisin de 0 en supposant que signe

u h~ = (-- 1) ~. ,(r , ).),..,.,2=+~ exp [ir~o] [_ (~>~o/~,, ]b~ Ai(-- ~)1 ~'~'),`~ _j_ ( s i~o-I-1 ~,) A~(__ ~)1 r,)]

7 r 7# j

(d6veloppement uniforme)

On a:

S(r, ~ ) ~ / U ~ 5 exp [~[rh~ + (--~)~(~/~)]] ~: s ~=~,~ ~/~ ~>0 rq ~q,s

(d6veloppement non uniforme).

qo-- 2 ' 0 ~ = (hl--h~)

~ o , o ~ U = ~./~", 8'. = 8 . /eP (Sor~.Z~ (41)

I b ~ ! 1 b~ ~ , % ~ c~ .

t r Alors les (b~, %) sont li~s biunivoquement aux D~j par les relations s~ivantes:

Y, ( - - 1 y " [ - - b ~ . + ( - - ~ ' '

k = , ' [D~,ld_(__l)~+kD~,2] b'= 58~176 - k=o 2

c" = 2 . ~ . - ~ / " ~=o k 2 ]

La premi6re partie est une simple question d'identification. I1 reste ~ montrer que ! , o �9

le syst~me triangulaire dont les inconnues sont b'v et % admet bien la solution mdlquee. Ce syst6me se d6compose (pour i = 1, 2) en deux syst6mes. Comme on passe de l 'un

/ ~0 f t l 'autre en changeant b~ en (-- ]) b~ et % en -- (-- 1)Vc~ on pent supposer que Da, 1 = 0 Vq>0. Pour cela on va raisonner par r6eurrence et supposer que b'v et c'~ out 1~ forme indiqu6e pour q~< qo. Cela signifie done qa 'on suppose que:

(5)

(6) t f t f ~[8~-~o-,-~,-~8~-~] = o w, o<~<q, Vq, q<qo.

l ~ = k

248 5/[. G. BAVE~: Ze probl~me de Neumann-Kelvin, I

Posa n t dans (5) et (6) q = q0 + 1 puis k ~-- k ' + 1 et p = p ' + 1 on voit que l 'on est ramen6 au c a s k = 0. Si k = 0 alors (6) est t r iv ia lement v6rifi6e, tandis que (5) se r6duit g:

1 9 = q

~ [ 1 -[- (-- 1)q](-- 1) flq_~e~ = 0 si q > l

La conclusion r6sultera du lemme:

L E ~ 4. ~- Les coe//icients ~ et fl, de (4) vdri]ient: pair > 2 et vaut

Soit

(7)

(6z + ] ) ! 3 t 44~§ l !(3l) !

n ~ > O , ~ > O

si q = 2 t + ] , l > 0 .

l ' int6grale ~u second m e m b r e 6rant une int6grale oscillante pour a e ~. Effectuons le changement de var iable 0 = a + ~/~/r:

(v) I,(r, a) exp [ - ia3r] ((a )" = ~/7 . ] \ + ~ exp[ia$~]exp[i$8/3Vr]d~;

Soient:

( ]o(r)=lo(r,i) et f i (r)=]l r, i e x p , .

On va chercher les d6veloppements asympto t iques de ]j(r) pour r -+ co. Pour celu on proc~de eomme dans 1~ d6monst ra t ion du th. 5, w 4.2. : on remplace

1~ fonetion $ -+ exp [iSa/3V/r] pa r son d6veloppement de Taylor en ~ = 0 puis on intSgre t e rme g terme, la justification du proc6d6 6rant cet te lois imm6di~te puisque

les int6grales obtenues sont routes ubsolument convergentes. On t rouve ainsi:

(s)

w

r ,-~ exlo - ~ r ( - 1)" r--;

2 3~

et donc:

(9) /o(r) fi(r) ,-~ ~ exp - , S ( - - ~)" ~. 9>~O,n>~O

5[. G. B ~ v - ~ : Le probl~me de 2(eumann-Kdvin~ I 249

Or d'aprSs (7') on a:

R~

et donc, par d~velolol~ement de Taylor :

R~

On justifie ~is~ment par in tegrat ion dans le p lan eomplexe le changement de var iable

y = y ' exp [-- i(~/6)]. Passan t ensuite en eoordonn4es polaires on mon t re que:

2 ~

(10) ]oi l(r) lexl : ) ( " ~ v, (--1) ~ C~,z G~--

Si g(z) = ](0) avee z = exp [iO] on aura : 2~

0 o

(3q)!f 2 t(o)do. 0

o~ C est un eercle de centre 0. P a r suite C~ est ~gal au produi t de (3q)!/2 pa r le r~sidn

en z--~ 0 de la fonet ion 2z(g(z) /z) . Or

I1 suffit done de ehereher le coefficient de z ~ du num~rateur . I1 r a n t :

et

1 [-- ~ - 1 ~ 3~q-1-~ ~ • ~2q-1~-1 ~q-~lj si q ~ 2k, k > l

4~" 4C ~-13 ~q-l-~ si q : 2 1 - [ - 1 .

La conclusion r6sulte alors par identification des d~veloppements (9) et (10) et en r e m a r q u a n t que - - C4~_ 1 ~ 3C~-_11 0 si k~>l.

R]~IA~Q~E. - On sait d 'aprSs la r6f. [16] que b~(~) et %(,~) sont des fonetions C ~ d6finies au voisinage de )~ ---- 0. Cependant si on les ealeule ~ l 'aide du d6veloppement

non uniforme elles se pr6sentent sons la forme ind6termin6e 0/0 vu qne D~j devient infini et ~1 nul lorsqne )~ tend vers 0.

250 3/[. G. BAtmlr Le probl~me de Neumann-Kelvin, I

Le eMeul de b~(0) et %(0) pourra se fMre en usant du th. 6. w 4.3 qui fournit les valeurs explicites de B~ et C~ pour p ~< 1. On voit ainsi que:

a v e e :

1 ~ +B: b:(0) -- V~ et

h = h(o, o) = eo(O)

e~(O) -- ~ ~--~, +sgh"~ C~

et h ' = '~3h ~ (o, o).

5. - Solution 616mentaire: d6veloppement de la pattie oseillante.

5.1. Gdndralitds.

Si on pose:

(i)

Z

h(O) = h(O, ~) = sin (0 -- ~)/eos 2 0

Mors compte tenu de (12) w 3 on g: cr

J4(r, ~, Z) = I m fg(O) exp [irh(O)] dO, - ~ 1 2

z > 0, [~1<~I2.

Comme h(O) a des points critiques, le d6veloppement asymptot ique de ]~ se composera I //

de deux parties not6es J~ et j~: f

a) une s6rie en 1/(V'r r ~) not6 ]4 et provenant des points critiques de h (n = 0, 1, 2, ...) ;

b) une s6rie el1 1It ~ (n = 1, 2, 3, ...) provenant de ls borne 0 = g, ls borne 0 = - ~/2 6rant sans influence vu que

g(~)(+2) = 0 , V p > 0 .

/f Cette 9artie ]~ dispar~it donc si ~ = • ~/2. On montre imm6diatement par part i t ion de 1'unit6 qu'on peut 6tudier s6par6ment

chacun de ces deux d6veloppements.

5.2. Les points eritiques.

( )

M. G. B A V - ~ : Ze probl~me de ~ e u m a n n - K e l v i % I 251

alors la ]onction h(O) donnde par (1) n'a pas de points critiques si ~ < ~o -~ A r cos ~; elIe a deux points non ddgdndrds O~ et O~ si ~ > ~o et

cos (3 cos a) Oj -~ ~ -~ (-- 1) j A r 2

S i ~ = ~o l 'unique point critique ~i = ~o/2 est ddgdndrd. Zes deux ]onctions ~ -+ 0~(~) sont l ' image inverse de la ]onction

7~ 0 - . ~ = O - - A r c t g ( 2 t g 0 ) + ~ s g 0 .

On vo i t pa r un calcul 616mentaire que :

(2)

3 cos ~ - - cos (20 - - a) h'(O) = 2 cos ~ 0

h"(O) - - sin (20 - - ~) 3 sin 0 cos~ 0 § 2 cos~ 0 [3 cos ~ - - cos (20 - - ~)] .

Le r6su l ta t en d6coale aussitSt .

/ ] ' a l lure des g raphes est donu6e en fig. 4 et 5.

01~

2 / I / / I

/ I

a2. / / ,~1 ~_o. - -~ 2 / - -~ 2

2 - - ~o / 2 - - :r

I i , i~ , . I / I / I / / I / / 2~~ 2 /

I / / I / 17" ,c_ . . . . .

i~ : i~: F i g u r e 4 F i g u r e 5

02~ 2g

5

/ /

2

2

/ / / / ( i I

I I

5.3. _Pattie oscillante du ddveloppement.

I1 sufilt d ' a pp l i que r l a t h . 7 du w 4.4.2., les coefficients de ce th6orSme 6rant cal-

cul6s ~ l ' a ide du th. 5, w 4.2. et l ' i nd6 te rmina t ion en ~ ---- ~0 est lev6e grace au th. 6,

w 4.3. On va op6rer avec trois t e rmes du d6ve loppement , de sorte qu ' i l f au t calculer

g u) p o u r j = O, 1, 2, 3 et 4 et h (ql pour ff =- O, 1 s 2, 3, 4, 5 et 6.

252 :M:. G. B A v ~ : Ze probl~me de Neumann-Kelvin, I

l~ous nous l imi te rons ~ quelques r6su l ta t s :

(3)

h(Or = - - sin 0~,+~, Oa = Oi COS ~ O~

h'(O~) = O, A r ( - - 1 ) r �9

h"(O~)-- A~ COS s O~

(donc sg h'(Oj) = ( - - 1)J)

(4) N _ g ~ 2 g ,

b o ( ~ o ) = - - ~ , Co(~o) 2

(5)

V/~ sin a/2 (1 -4- 3 cos ~)~ ~o(a) = 8 cos

q~(~) = ~ cos

On cons t a t e b ien que ~0 e t e~ sont C ~ a u vo is inage de ~ ~- ~o e t ~ ~ 0 en ~ -~ ~o

! !

Ttt~OIC~E 2. - La ]onction ]~ admet pour r---> oo un ddveloppement ]4-~ ]~, ]4 dtant une sdrie ]ormelle en 1/ (V ' r r ~) provenant des points critiques de la phase h donnde

g

par (1) et ]4 est une sdrie en puissances de 1/r provenant de la borne d'intdgration ~. !

L'expression de ]4 est celle du th. 7 w 4.4.2. et ce ddvdoppement est uni]orme en o:, Z

Supposons d~abord Z>~Zo > 0 et ~>ai > ~o. -

Le l e m m e 2, w 4.2 a m o n t r 6 que le r es te s l ' o rd re n e s t m a j o r 6 p a r une express ion du t y p e :

C oo ~ ~�89

\~-~<~<~_~1 c~

6 r a n t ~ croissance p o l y n o m i a l e e t O(u) v6ri f iant h[O(u)] ~ u s, d'ofl la conclusion. P o u r 6tudier ]e cas Z>~O et M > ~ a > g i > ~o on fa i r le e h a n g e m e n t de va r i ab l e

�9 t g 0 = t ce qui condu i t ~:

(6)

t g ~

h(r, ~, z) = - - I m f e x p [-- z(1 + t~) + irV1 + t~ (sin ~ - - t cos ~)] dt

~r G. BA~E~: Le probl~me de ~ e u m a n n - K e l v i n , I 253

Apr~s int6grat ion duns le p lan complexe t = t '~ - i t " o n t rouve :

(7)

c o

]4(r, ~, Z) : -~ I m exp [ i~ ] fexp I - - Z ( 1 -~ e+~vt~) -~ i r V ' l + e+2~t~ e+~Vt cos ~] •

0 ~z/2

• (exp [-- ir sin ~%/1 @ e2~Vt ~] - - exp [ir sin a%/1 Jr e2~Vt~]) dt -fa(o) exp [irh(O)]dO.

On cons ta te que s i t -~ ~ le module de l 'exponentiel le de la premiere iat6grale est 6quivalent ~ exp [-- t2[Z cos 29 + r cos ~ sin 29]] : c 'est ane fonct ion ~ d6croissance

rapide en t si Z > Z o > 0 et 0 < ~ < ~/~ ou si ] ~ I < M < ~z/2 et 0 < cf<~/4, le choix op t imal pour ~ 6tant duns tous les cas donn6 par

1 A cos = 2 r c t g r Z

On conclut doric comme pr6c6demment car, v u l e l emme 1 w 4.1., on peu t mult ipl ier

l 'exponentiel le par des fonctions g~ de Co(R), i = 1, 2 telles que la phase de (7) air

une par t ie imaginaire posi t ive un iquement si g~ et g~ sont nulles. On v6rifie que c 'es t le cas si It I > sin ~/2 cos ~ cos ~. I1 ne reste plus qu'~ faire tendre ~ vers 0 pour se r amener $ une phase r6elle.

Si ~ est voisin de go et Z>~Zo > 0 on est exac temen t duns les conditions du th. 7,

w 4A.2. Si Z>~0 et g o < g < M < z/2 on se f a m i n e ~ la m6me si tuat ion par r in te rm6- diaire de (7).

I~E~A~Q~J-~ suit zE CAS Z -~ 0 + ET :c -> ~/2. -- Comme pour

Z Z > 0 , exp > 0

C o s 2 02

si ~ -~ ~/2 vu que 02(~) -+ z/2 si ~ -~ z/2 (et 01 -+ 0) on vo l t que la pa t t i e du d6velop- pemen t p rovenan t du point cri t ique 02 s '6vanouit , t~aisons ensuite d ' abord Z ~ 0 puis ~ --> ~/2. On consta te que pour ~ voisin de ~/2 et Z = 0 on a:

//~(~) ~(~) h(q)(05) - - cos~+105 ' g(q)(05) - - cosr 05 ' H~ et G~

6taut des fonctions C ~ au voisinage de ~ = ~/2, non nulles en ~ : ~/2. D 'apr~s le th. 3 w 4.2. on ea d6duit que:

[ 1/oo 0 a (8) I ( r ) ~ I m e x p i rh(02) + t r ~7o r j

-~ par t ie due ~ 0 = 01, les aj(~) 6taut des fonctions C ~.

254 ~ . G. BAvE~: Le probl~me de Neumann-Kdv in , I

On vol t do~c que si g -~ g/2 t o u s l e s te rmes p r o v e n a ~ de 0 = O~ s%vanouissen~

saul le premier qui v a u t

r cos 0~

et pa r suite devient infini si ~ --> z~/2. Cependan~ te th. 2 ne pe rme t p~s de conclure

qne ]~ devient elle-m~me infinie.

T n - ~ O l r 3. - Le ddveloppement ]4 reste uni]orme duns les rdgions 0~<~<~/2 et

Z>~Zo > 0 ou 0 ~ < ~ < M < 7~/2 et Z>~O it condition de poser pour g < go:

et de remplacer

0j = ~ ~- (-- 1)r ~ Argch (3 cos ~)

~// 1 1 - - 9 cos 2 zr pa r ~ / 9 cos ~ ~ - - 1 exp i 4 "

Dans ces mgmes rdgions il se ddrive terme it termes en r, ~ et Z et les ddveloppements dgrivds

sont uni/ormes.

L ' exum en de lu ddmonst ra t ion du th. 7 w 4.4.2 mont re que celle-ci reste ru lab le pour ~ < ~o; ]a seule diffdrence es~ que la fonct ion d 'Ai ry est ~ ddcroissance exponen-

$ielle comme le mont re (8) w 4.4.2. ~ o t o n s que le d6veloppement de A~(x) et A;(x) pour x -+ ~z se ddduit aussi tbt de cet te formule (8). I1 reste ~ choisir de fagon cohdrente le signe de i Argeh (3 cos ~) et de (9 cos ~ ~ - - 1) �88 lorsque ~ t raverse la valeur g = ~o.

Celu se fair en p r enan t un chemin duns le p lan complexe. Pour montrel" l~.ddrivabilit4 te rmes g termes on r ep rendFexpress ion du reste telle

qu'elle se prdsente duns le l emme 2, w 4.2 en p s r t a n t de l 'expression (7) si Z~>0, de (7)

ou de 1'expression directe si Z>~Zo > O. Duns les deu~ cas on ramSne l ' intdgrale une fonct ion C ~ ~ suppor t compac t qui se ddrive sons le signe somme uvec per te

d 'une puissance de 1/r 6ventuellement.

5.4. _Partie symdtrique du ddveloppement.

Tm~ol~ym 4. - Avec les notations du th. 2. on a:

1~ = - ~ ( - ~ ) ' r "

o ~ ~s~ ,~) ,

Fo(O, ~) = g(O) gO (0, ~) F.(O, ~) = ~ ' " - : ' (0, o~)/~ht et 30 1go (0, ~).

If p

Duns Z>~Zo > 0 et [~[~<~/2 ou Z>~O et I~]<~ M ~ ~/2 ]~est un developpement uniforme qui se ddrive termes it termes par rapport it r, ~ e t Zi les ddveloppements ddrivds dtant aussi uni]ormes. ]~ est discontinue en Z = O, zr -~ 7~/2.

IM:. G. BAL~E~: Le probl~me de Neumann-Kelvin~ I 255

L 'express ion du d~veloppement formel r~sulte gussit6t du th. 2, w 4.1. L '~ tude du reste se condui t comme d~ns le th. 2. E n effet~ d~ns les r~gions consid~rSes il est toujours ~g~l s une intSgr~le ~bsolurnent convergente et qui le dcmeure ~pr~s d~riv~- t ion en r, a, Z. Lg d6riwbil i t~ te rmes g te rmes du d6veloppernent en r~sulte ~ussit6t.

Pou r 1~ comp~r~ison des v~leurs d e / , cglculSes par in tegra t ion num~rique avec celles fournies logr le d~veloppement gsympto t ique voir r~f. [25], I I .

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