Les expressions algébriques

Les termes semblables

RLF

L’algèbre est la partie des mathématiques qui a pour but d’effectuer aisément des raisonnements généraux et d’énoncer des règles générales au moyen de symboles, de lettres et de nombres algébriques.

Pour ce faire, elle utilise : - des lettres;

- des nombres;

- des opérations mathématiques;

- des LOIS;

- des ÉQUATIONS.

Examinons ce que cela veut dire !

Des lois, des nombres et des lettres

Les formules utilisées pour calculer le périmètre et l’aire d’un carré permettent de généraliser la façon de calculer ces différents périmètres et ces différentes aires peu importe leurs dimensions.

Aire : côté x côté

côté : x

Aire côté : x

Aire : C . C = C2

Aire : x . x = x2

Périmètre : 4 C

Périmètre : 4 x

À partir de cet exemple, plusieurs principes de base (lois) se dégagent.

4 xUn nombre, accompagné d’une lettre, le multiplie.

Il faut lire 4 X x.

Cette expression algébrique est appelée un terme.

Ce terme est composé de 2 facteurs :

4 . x

le facteur 4 le facteur x

Le nombre est appelé coefficient.

La lettre est appelée la partie littérale ; elle peut porter le nom de variable ou d’inconnue.

Une expression algébrique qui ne contient aucune indication d’addition ou de soustraction est appelé un monôme.

x2 = x . x

x2

Le coefficient de ce terme est 1. 1

1 1

Ce terme est aussi un monôme.

Quelle distinction y a-t-il entre 3a et a3 ?

3a est le produit de 3 par a :

a3 est la troisième puissance de a :

Calcule mentalement les expressions 4b2 et 2b3, si b = 5.

a X a X a

4b2 = 4 X ( 5 X 5 ) = 100 2b3 = 2 X ( 5 X 5 X 5 ) = 250

Remarque : On doit toujours calculer l’exposant avant le coefficient.

L’exposant de ce terme signifie que la lettre s’est multipliée par elle-même, 2 fois.

3 X a

Polynômes

Un polynôme est une expression algébrique composée de plusieurs monômes réunis par les signes d’addition ou de soustraction.

7a4 + 6a2b – 4a5b3 + 10b4 est un polynôme.

Deux polynômes portent des noms particuliers :

Le binôme composé de 2 termes : 2x2 + 2y est un binôme.

Le trinôme composé de 3 termes : 2x2 + 2y + 5 est un trinôme.

Remarque : 5 est aussi un terme algébrique.

Il est égal à 5x0 .

Une loi sur les exposants dit que tout nombre ou lettre affecté(e) de l’exposant 0 est égal(e) à 1.

5x0 = 5 X 1 = 5

Termes semblables

Des termes semblables possèdent 2 caractéristiques :

- ils contiennent la (les) même(s) lettre(s) affectée(s) des mêmes exposants;

- le coefficient ne sert qu’à compter.

Détermine les termes semblables dans les expressions suivantes et additionne-les.

2x3 x2 4xy3 3x3y -2x2 5y3x 7x3 3y 3x2y2 -5x3 10x2y2

4x3-x29xy3 13x2y2

Remarque : En principe, on écrit les lettres en ordre alphabétique.

Traduire un énoncé en expression algébrique

Écris sous forme d’un binôme :

La somme d’un nombre et de 7 : x + 7

40 de plus que le double d’un nombre : 2x + 40

La différence entre le triple d’un nombre et 3/4 : 3x – 3/4

12 de moins que le quadruple d’un nombre : 4x - 12

Le carré d’un nombre augmenté de 4,5 : x2 + 4,5

Le double de la différence entre un nombre et 3 : 2 ( x - 3 )

La demi somme de deux nombres :

La demi différence entre 2 nombres :

Le quart d’un nombre augmenté de 5 :

x + y

2

x - y

2

x + 54

Dans cette présentation, nous avons vu ce qu’étaient des expressions algébriques.

On peut effectuer des manipulations algébriques avec ces expressions, mais les quantités restent inconnues.

x2 + 5x + 6

x2 + 5x + 6 = 20

est une expression algébrique

est une équation algébrique

Lorsqu’on introduit le signe l’expression algébrique devient une équation algébrique.

= ,

Sachant à quoi l’équation est égale, on peut déterminer la ou les valeur(s) des inconnues.