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Les nouveaux programmes de Terminale Es Catherine Philippe & Christian Vassard

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Les nouveaux programmes de Terminale Es

Catherine Philippe & Christian Vassard

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Les orientations générales

• Les enjeux de la classe terminale• Quel enseignement mathématique dans la

série Es ?• Organisation du travail des élèves

(D’après le document d’accompagnement)

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Les enjeux de la classe terminale

Travail à construire sur deux ans, entre la première et la terminale

Avancer dans la découverte des nouveaux concepts malgré la moindre technicité opératoire de nombreux élèves (sic !)

Formation générale et/ou préparation à l’examen.

(« L’enseignement de la classe terminale ne se réduit pas à la préparation de l’examen du baccalauréat : nous le rappelons ici avec force. »)

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Quel enseignement mathématique dans la série Es ?

Entraînement à la lecture active de l’information et à son traitement

Initiation à la pratique d’une démarche scientifique

Expérimenter

Démontrer

Communiquer

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Mathématiques et informatique

« Utiliser des outils logiciels sur calculatrice et ordinateur requiert des connaissances et des compétences mathématiques que cette utilisation contribue en retour à développer. »

« L'informatique a totalement transformé le paysage des mathématiques… »

« Le professeur détermine en chaque circonstance la stratégie d'utilisation la plus adaptée. »

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Organisation du travail des élèves

Enseignement obligatoire :

18 semaines pour l’analyse,

12 semaines pour les statistiques et les probabilités.

Enseignement de spécialité

40 % pour les graphes,

35% pour les suites,

25% pour la géométrie dans l’espace.

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Comparatif des anciens et nouveaux programmes

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Statistiques et Probabilités

Ce qui est nouveau

La simulation et le problème de l’adéquation à une loi équirépartie.La notation pA(B).L’indépendance est davantage exploitée : modélisation d’expériencesindépendantes, principe multiplicatif .Pour définir l’espérance et la variance d’une loi numérique, on fera le lien àl’aide de simulations et de la loi des grands nombres avec ce qui a été vu enStatistiques en Première.

Ce qui disparaîtLe coefficient de corrélation linéaire.La notation p(B|A).Le langage formalisé des variables aléatoires.

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Enseignement de Spécialité

Il est composé de trois chapitres : les graphes, les suites et la géométrie dansl’espace.

Ce qui est nouveauLa résolution de problèmes à l’aide de graphes.Les suites définies par une relation de récurrence du type

un + 2 = aun + 1 + bun

En géométrie dans l’espace, on poursuit le travail commencé en Première sansintroduire de notion nouvelle.

Ce qui disparaîtLes compléments de statistiques et de probabilités.Le dénombrement.Les suites périodiques.La distance d’un point à un plan.

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Le programme de l’enseignement obligatoire

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FONCTIONS NUMERIQUES et CALCUL INTEGRAL.

On reprend l'essentiel de ce qui constituait l'ancien programme. Les quelques modifications sefont dans le sens de la simplification. Langage de la continuité.

Une approche intuitive.Etude graphique du contre exemple de la fonction partie entière.La propriété des valeurs intermédiaires est présentée graphiquement.

Limites.Justification intuitive, même esprit qu'en 1 ES.Pour les fonctions polynômes et rationnelles on utilise la règle du(des )terme(s) de plus haut degré.

Primitives. Fonctions de référence.

Polynômes de faible degré et quotients de tels polynômes.Logarithme et exponentielle : -Pas d'imposition du mode d'introduction de ces fonctions. -L'étude générale des fonctions puissances avec exposant réel n'estpas au programme.

Calcul intégral.

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Commentaire du programme (voir BO)

La propriété des valeurs intermédiaires sera présentée graphiquement ; on conviendra dans les tableaux de variations que les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

On allègera ainsi la rédaction de problèmes de recherche de solutions approchées des équations du type f(x) = .

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= continue strictement croissante

= strictement croissante mais non continue

= ni strictement croissante ni continue sur l’intervalle entier

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O i

j

y=2

2 2 2

L’équation f(x) = 2 possède trois solutions dans l’intervalle [0 ; +[

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O i

j

y = 2

2 2

L’équation f(x) = 2 possède deux solutions dans l’intervalle [0 ; +[

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Récapitulatif des acquis de seconde et première sur lasimulation :Objectifs du lycée :

- acquérir une expérience de l'aléatoire et ouvrir le champde questionnement statistique (penser à fermer labarrière...)- voir dans un cas simple ce qu'est un modèle probabiliste etaborder le calcul des probabilités.

En seconde : définition de la distribution des fréquences d'unesérie prenant un petit nombre de valeurs et de la fréquence d'unévénement, concevoir et mettre en œuvre des simulationssimples à partir d'échantillons de chiffres au hasard, utilisationde la touche "random" de la calculatrice, de l'ordinateur.Fluctuation d'échantillonnage (lancers de dé, de pièces, le lièvreet la tortue, promenades aléatoires).En première ES : modélisation d'expériences de référencemenant à l'équiprobabilité ; utilisation de modèles définis à partirde fréquences observées, définition d'une loi de probabilité surun ensemble fini. Le lien entre loi de probabilité et distributionde fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi desgrands nombres. On mènera de pair simulation et étudethéorique de la somme de deux dés.

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STATISTIQUE ET PROBABILITÉS Nuage de points

Série statistique à deux variables ; point moyen ; changement de variablesutilisant les fonctions logarithme ou exponentielle.

Ajustement affine par la méthode des moindres carrésFaire percevoir le sens de l’expression « moindres carrés » par un calcul surtableur (ou calculatrice).L’objectif est de faire des interpolations ou des extrapolations.Le coefficient de corrélation est hors programme.

SimulationAdéquation de données expérimentales à un modèle équiréparti.

Conditionnement et indépendanceJustification de la définition de la probabilité conditionnelle par des calculsfréquentiels.« Un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve. »

Formule des probabilités totalesExemple des tests de dépistage.

Modélisation d’expériences indépendantes Lois de probabilités discrètes

Loi de Bernoulli, loi binômiale (se limiter à n < 5). Espérance et variance d’une loi

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Adéquation de données expérimentales à un modèle

équiréparti

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Un joueur veut vérifier si le dé qu’il utilise est équilibré.

Comment peut-il faire?

Première idée intuitive… que peuvent avoir des élèves.

On lance le dé un grand nombre de fois. On compare les fréquences obtenues avec les fréquences théoriques d’apparition de chaque face (1/6).

Mais concrètement, quelle est la marge de manœuvre ?

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Deuxième idée, plus calculatoire… et quasi-géométrique.

On mesure la « distance » entre les fréquences observées et les fréquences théoriques.

On calcule donc : 26

2

1

1

6ii

d f

Si on lance le dé un grand nombre n de fois, on peut s’attendre, si le dé est équilibré, à une valeur de d2 proche de 0…

Proche, mais comment, jusqu’où ?

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Troisième idée : comment se comporte la variable d2 pour un vrai dé équilibré (par exemple le générateur de nombre aléatoire entre 1 et 6 d’un tableur ou d’une calculatrice) ?

C’est concrètement (vraiment !) difficile à réaliser (voir CD-Rom du document d’accompagnement ou fichier excel)Soit on prend un vrai dé équilibré (mais comment peut-on en être sûr ?).Soit on utilise un tableur ou une calculatrice (mais comment être sûr de leur générateur aléatoire ?).De plus, il faut réaliser un très grand nombre de grands nombres de lancers…

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Avec excel (voir le document d’accompagnement), le neuvième décile de la variable d2 que l’on obtient avec 2000 répétitions de n = 500 lancers de dé équilibré est :

q9 0,003.

Si le dé est équilibré, les valeurs de d2 sont plutôt proches de 0.Quoiqu’il en soit, 90% des valeurs obtenues sont inférieures ou égales à q9, le neuvième décile, qui va nous servir de valeur butoir.

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Il est temps que le joueur lance son dé…

Combien de fois ? Autant de fois que ce qui a servi à établir d2, c’est-à-dire n fois…

Il obtient une valeur observée de d2 qu’il confronte à la valeur butoir q9.

Si elle est supérieure à q9, elle est trop grande et il est difficile de croire que le dé est vraiment équilibré. Le joueur conclura en disant qu’il rejette le modèle équiréparti pour son dé au risque de 10%.

Si elle est inférieure à q9, il n’a aucune raison de rejeter le modèle équiréparti.

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Inconvénient de ce que l’on vient de faire :

le d2 dépend du nombre de fois n où on a lancé le dé ;

Il faut au préalable créer les valeurs prises par d2 avec un dé équilibré.

Résultat théorique : hors de portée d’un élève de Tes.

La variable aléatoire nd2, pour n suffisamment grand, suit approximativement une loi connue, dite loi du Khi-deux (à 5 degrés de liberté dans le cas du dé).

La valeur de q9 (ou de tout autre quantile) est tabulée.

Il suffit alors de confronter la valeur mesurée expérimentalement de nd2

(le dé a été lancé n fois…) à q9 (lu dans la table) pour conclure.

Voir à ce sujet : bulletin APMEP n° 441 page 512 de l’excellent Louis-Marie Bonneval (co-auteur de Bréal) et l’article de la non moins excellente Catherine Philippe, ici présente.

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Expérience aléatoire

Obtention d’une série numérique

Echantillonnage - calcul des fréquences

Stabilisation des fréquences ; convergence

Loi de probabilité

Seconde

1ère ES Tale ES

Statistiques et probabilités au lycée… (d’après Fabrice Fortain dit Fortin)

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Le programme de la spécialité

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• Suites : 35% du temps

Démarche expérimentale (utiliser calculatrices, ordinateurs, représentations graphiques…)Exemples de suites finies dont on demandera un ou plusieurs prolongement logiques.Suites du type un+2 = aun+1 + bun

• Géométrie dans l’espace : 25% du temps

Consolider les connaissances de première.Optimisation avec fonction de deux variables.

• Graphes : 40% du temps

Travail axé sur la résolution de problèmes.Savoir modéliser des situations par des graphes.À commencer tôt dans l’année.

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Récapitulatif des acquis de 1ère ES sur le calcul matriciel :Vecteurs-lignes ou colonnes, matrices : définition, dimension, opérations.Multiplication d'une matrice par un vecteur.Multiplication de deux matrices.Application à la résolution de problèmes faisant intervenir un système linéaire d'équation.

* Il importe que les premiers calculs soient faits avec soin à la main, on n'utilisera lesoutils de calcul (calculatrice, tableur, ...) qu'ultérieurement.* L'associativité et la non-commutativité du produit des matrices carrées seront mises enévidence.* On pourra être amené à rechercher l'inverse d'une matrice mais aucune technicité n'estexigible.

Récapitulatif des acquis de 1ère ES sur la géométrie dans l'espace :Calcul vectoriel. Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires. Repérage : coordonnées d'unpoint, d'un vecteur.Distance entre deux points ; condition analytique d'orthogonalité entre deux vecteurs.Equation cartésienne d'un plan. Equation cartésienne d'une droite.

* C'est avant tout une géométrie "repérée"* On évitera de multiplier les situations à traiter à la main et on s'appuiera sur desdessins fournis par des logiciels ou préparés par l'enseignant.