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49 Chapitre 5 Les oscillations forcées 5.1. Position du problème et mise en équation Premier cas Considérons un oscillateur harmonique unidimensionnel composé d’une masse m accrochée en un point M au bout d’un ressort de raideur et subissant un frottement ‡uide. L’autre extrémité A du ressort est …xe. Le tout est placé sur un support horizontal de sorte que le poids n’intervienne pas. Appliquons une force extérieure F (t)= F 0 cos !t sur la masse. Les forces s’appliquant sur la masse sont : la force de rappel du ressort, le frottement ‡uide et F (t). Le principe fondamental de la dynamique donne, en appelant X l’écart avec la position d’équilibre : m ²² X= ¡h ² X ¡kX + F (t) soit m ²² X +h ² X +kX = F 0 cos !t: Deuxième cas Considérons le même problème que ci-dessus, mais sans la force extérieure F (t). Par contre l’autre extrémité A du ressort n’est plus …xe, mais varie sinusoïdalement : x A (t)= x 0 cos !t. La vibration de A peut être créée arti…ciellement en laboratoire par un pot vibrant, ou natu- rellement par les irrégularités de la route pour un amortisseur de voiture, ou par les oscillations de la Terre dans le cas d’un sismographe. L’allongement du ressort est l’allongement de l’ex- trémité M à laquelle on ajoute l’allongement de l’extrémité A ce qui s’écrit ¢l = X ¡ x A . Les forces sont : la force de rappel du ressort ainsi que le frottement. Le principe fondamental de la dynamique donne : m ²² X= ¡h ² X ¡k (X ¡ x A ) soit m ²² X +h ² X +kX = kx 0 cos !t: Finalement, faire vibrer l’autre extrémité du ressort ou appliquer directement une force extérieure à la masse m revient au même, en posant F 0 = kx 0 . Le problème consiste à résoudre une équation di¤érentielle avec second membre variable qui s’écrit sous la forme suivante : ²² X +2® ² X +! 2 0 X = a cos !t (1) avec 2® = h=m, ! 2 0 = k=m et a = F 0 =m ou a = kx 0 =m. C’est l’objectif du paragraphe qui suit. L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 4 janvier 2004

Les Oscilations forcées

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Resolution par complexes des équations des oscilations forcées

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  • 49

    Chapitre 5Les oscillations forces

    5.1. Position du problme et mise en quationPremier casConsidrons un oscillateur harmonique unidimensionnel compos dune masse m accroche

    en un point M au bout dun ressort de raideur et subissant un frottement uide. Lautreextrmit A du ressort est xe. Le tout est plac sur un support horizontal de sorte que lepoids nintervienne pas. Appliquons une force extrieure F (t) = F0 cos!t sur la masse. Lesforces sappliquant sur la masse sont : la force de rappel du ressort, le frottement uide etF (t). Le principe fondamental de la dynamique donne, en appelant X lcart avec la positiondquilibre :

    mX= h

    X kX + F (t)

    soit

    mX +h

    X +kX = F0 cos !t:

    Deuxime casConsidrons le mme problme que ci-dessus, mais sans la force extrieure F (t). Par contre

    lautre extrmit A du ressort nest plus xe, mais varie sinusodalement : xA(t) = x0 cos!t.La vibration de A peut tre cre articiellement en laboratoire par un pot vibrant, ou natu-rellement par les irrgularits de la route pour un amortisseur de voiture, ou par les oscillationsde la Terre dans le cas dun sismographe. Lallongement du ressort est lallongement de lex-trmit M laquelle on ajoute lallongement de lextrmit A ce qui scrit l = X xA. Lesforces sont : la force de rappel du ressort ainsi que le frottement. Le principe fondamental dela dynamique donne :

    mX= h

    X k (X xA)

    soit

    mX +h

    X +kX = kx0 cos !t:

    Finalement, faire vibrer lautre extrmit du ressort ou appliquer directement une forceextrieure la masse m revient au mme, en posant F0 = kx0. Le problme consiste rsoudreune quation direntielle avec second membre variable qui scrit sous la forme suivante :

    X +2

    X +!20X = a cos!t (1)

    avec 2 = h=m, !20 = k=m et a = F0=m ou a = kx0=m. Cest lobjectif du paragraphe quisuit.

    L. Menguy, Lyce Montesquieu, Le Mans 4 janvier 2004

  • 50 Chapitre 5 Les oscillations forces

    5.2. RsolutionLa solution de lquation (1) est la somme de la solution de lquation sans second membre

    et de la solution particulire. Compte tenu de la prsence dun amortissement, la solutionde lquation sans second membre tend vers 0. au bout dun temps susamment important,seule la solution particulire reste non nulle. Pour dcrire le rgime transitoire, il est ncessairedcrire la solution complte qui dpend des conditions initiales (constantes dans la solutionde lESSM). Seul le rgime forc (appel aussi rgime sinusodal forc ou rgime permanent)est tudi ici. Pour le dcrire, il sut de rechercher la solution particulire (pour laquelle,rappelons le, les conditions initiales nont aucune importance).

    La mthode de recherche de la solution particulire dune quation direntielle avec secondmembre sinusodal a dj t donne en lectronique. La mme quation (1) a t obtenuepour dcrire un circuit RLC aliment par un GBF. Les complexes sont introduits. Le termea cos!t devient a exp(j!t) ; lquation (1) scrit :

    X +2

    X +!20X = a exp (j!t) :

    Comme en lectronique, nous allons rechercher une solution particulire sinusodale de mmepulsation ! que lexcitation du second membre, damplitude A et dphas de ' :

    X(t) = A cos (!t + ') ;

    qui scrit en complexes :

    X = A exp (j (!t + '))

    = A exp (j') exp (j!t + ') (2)

    = A exp (j!t) (3)

    avec A = A exp (j'). La solution (3) doit vrier lquation (1) ; vrions le en injectant (3)dans (1) :

    A!2

    exp (j!t) + 2A (j!) exp (j!t) + !20A exp (j!t) = a exp (j!t) ;

    ce qui donne, aprs simplication par exp (j!t) :

    A!2 + 2j! + !20

    = a

    ou encore

    A =a

    (!2 + 2j! + !20): (4)

    Revenons la solution relle. Celle-ci est :

    X(t) = A cos (!t + ') ; (5)

    avec

    A = jAj = aq(!20 !2)

    2+ (2!)2

    (6)

    et

    ' = arctan

    2!

    !20 !2

    [] : (7)

    4 janvier 2004 L. Menguy, Lyce Montesquieu, Le Mans

  • Section 5.3 Rsonance en longation 51

    5.3. Rsonance en longationA dans lexpression (6) reprsente lamplitude des oscillations de la masse (ou longation). '

    dans lexpression (7), reprsente le dphasage des oscillations par rapport la force excitatrice(dans le cas 1) ou par rapport loscillation de lautre extrmit du ressort (dans le cas2). Etudier la rponse en longation consiste tudier la fonction A(!). Cette fonction estreprsente sur la gure 5.1 pour direntes valeurs de lamortissement .

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    0 0.5 1 1.5 2

    am

    pl

    it

    ud

    e

    de

    l'

    os

    ci

    ll

    at

    io

    n

    pulsation normalisee

    0,25

    0,5

    0.707

    1

    0 0

    0,25

    0,5

    0.707

    1

    0 0

    0,25

    0,5

    0.707

    1

    0 0

    0,25

    0,5

    0.707

    1

    0 0

    Fig.5.1. Amplitude de loscillation de la masse en fonction de la pulsation. Les valeurs indiques surles courbes correspondent =!0. En abscisse : A:

    !20=a

    , en ordonne : !=!0. La courbe prsente

    un maximum seulement quand =!0