C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Serie I, p. 951-956, 1997Problemes mathematiques de la mecanique!Mathematical Problems in Mechanics

Limite asymptotique pour Ie modele de BGI{

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tcol~ Normale Superieure de Cachan,61. Av. du Pdt Willlon. 94235 Cur-han, FrunceFuruhe tI~!1 sr-ienr-ea Semlalia , Ill! till Print'!' Moulay Allilallah B. P; S. 15 I\tarrake('h, Maror.

Resume. Cette Note presente, pour Ie modele de BGK des Iimites asymptotiques conduisanta diverses equations de la mecanique des fluides incompressibles et des fiuidescompressibles, parmi lesquelles : l'equation de Navier-Stokes, l'equation de Navier­Stokes linearisee, l'equation d'Euler et l'equation d'Euler linearisee, et aussi l'equationd'Euler non lineaire compressible. Nous enoncons un theorerne de convergence versl'equation de Navier-Stokes lineaire et non lineaire, ainsi qu'un resultat pour l'equationd'Euler non lineaire compressible.

Asymptotic limit for nGK equation

Abstract. We present, for the BGK equation, asymptotic limits leading to various equations ofincompressible and compressible fluid mechanics: the Navier-Stokes equations, thelinearized Navier-Stokes equations, the Euler equation, the linearized Euler equation,and the compressible Euler equation, Westate a convergence theorem for the nonlinearNavier-Stokes, as well as a result for the linear Navier-Stokes case, and for thecompressible Euler equation.

Abridged English Version

We consider kinetic equations parametrized by f > 0 in the form (I) and (2) for the densityF(t, x, v) of particles occupying at time t :2: 0 position :1: E R" with velocity '/I E R". The particlesmove in an external potential (/>( :r.) , and interact by a collisional process modelled by A/[F] - Fwhich satisfies properties (3) and (4) (see the French version for the notation).

For ¢ = O. e = I, Perthame (see (I I]) proved the existence of a global solution of (I), and Ringeisen(see (12]) Bellouquid (see [4]) proved the existence of global solution near an absolute Maxwellian.

The formal asymptotics presented here. leading to incompressible fluid dynamics. are obtained asperturbations of an absolute Maxwellian. That is. we suppose that F absolution of (I) has the formF, = M + M! fr,q" where M = t~t <t>m ,

We identify the following limits: (9) the nonlinear Navier-Stokes equations (1' = q = I): (10) thelinearized Navier-Stokes equations (r >- 1, q = 1): (11) the nonlinear Euler equations (r = 1,q >- 1):

Note presentee par Gerard Iooss,

0764-4442/97/03240951 © Academic des Sciences/Elsevier, Paris 951

A. Bellouquid

(12) the linearized Euler equations (r ~ 1, q ~ 1).

In order to obtain convergence results corresponding to our formal results, we restrict the scope ofour study: we suppose that the external potential force is zero (¢(x) = 0).

Set Fo = m(v) + (rm(v)!go. From the work of Bellouquid (see [6]) we know the global existenceof a solution of (I), F, = m( v) + m( v)! e"g, sucht that g, satisfies (13). We obtain:

THEOREM l. - (q = r = 1). (p" UfO 0,) -+ (p, U, 0) in C([h,Tj x K)( for any T > h > O. and anycompact K c R~) as e -+ O. where (p, u, 0) satisfy the equations: p + 0 = 0

Dtu + u.Vxu + VxP = ~u, VX'u = 0, u(t = 0) = Puo,

1O(t =0) = 2(00 - Po).

THEOREM 2. - (q = 1, r > 1), (p" UfO 0,) -+ (p, U, 0) in C([h,Tj x K) (jor any T > b > 0, and anycompact K c R~) as ( -+ O. where (p, u, 0) satisfy the equations:

p +0 = 0, V",.u=O,

U(t =0) =Puo,1

O(t = 0) = 2(00 - Po).

The proofs of these theorems follow the method of [I], [2], [3], and [7]. These proofs are detailledin [5] and [6].

In order to obtain the compressible Euler equation, we consider kinetic equations in the form (2).

The formal asymptotics, leading to compressible Euler equation, are obtained as perturbations of anabsolute Maxwellian state. We suppose that F has the form F = m(v) + md(v)!g" where md(v)

is given by md(v) = (2~) if exp( - ¥ ).THEOREM 3. - Let go E Xo,l,fj (a > 0, l > n, f3 > ~). Then, there are positive constants

do, ao, "(,T such that for any Fo = m(v) + mJ (v )go. with d < do. there exists a unique solution

F, = m(v) + mJ (v)g, to (15) on [0, Tj satisfying.'

g, E Zfj,o(y,I,T" II g, IIfj,o,"Y,I,T~ ao II go lIo,l,fj.

THEOREM 4. - Let s. be as in Theorem 3. Then. as e -+ 0.'- s. -+ gO strongly in Yfj,o,"Y,I([h, Tj), for any T > s > O. with the limit gO E Yfj,o,"Y,I([O, T]).

- For t E (O,Tj,FO = m(v) +mJ(v)gO is a local Maxwellian whose hydrodynamical quantitiesp, u, 0 solve the compressible Euler equation (16) in the classical sens.

The proofs of these theorems follow the method of [13]. These proofs are detailled in [6].Remark. - Equation (16) may be considered as the compressible Euler equation derived from

the Boltzmann equation. This was established by Nishida (see [8]) using an abstract nonlinearCauchy-Kowalewski theorem developed by Nishida (see [9]) and Nirenberg (see [10]).

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Limite asymptotique pour Ie modele de BGK

Introduction

Nous considerons ici des equations cinetiques parametrees par e > 0 de la forme suivante :

(1)

(2). 1DfF +v.V7rF = -(M[F]- F),

f

pour une densite inconnue F( i,», v) de particules occupant, a l'instant t ~ 0, la position x E R" etanimees de la vitesse v E R". Les particules se deplacent sous l'effet d'un potentiel exterieur ¢(x)et interagissent selon un processus collisionnel decrit par Ie second membre, ou M[F] represente ladistribution des molecules apres collision sous forme d'une distribution maxwellienne locale de laforme: M[F] = -l!........-- exp (_IV 2-Tu

ll),(2nT)4.t

(3) (p,pu,p(1 U 12 + nT)) = l»: 1 v 12 )F (t , x , v )dv.

En particulier, on a les relations de conservation suivantes de la masse, du moment cinetique etde I'energie :

(4) / (1, v, 1 v 12 )M [F ](t , x, v)dv = /(1, v, I v 1

2)F (t ,z , v)dv.

Pour ¢ = 0, f = I, I' existence globale du modele (I) a ete demontree par Perthame [I I] et Ringeisen(voir [12]), Bellouquid (voir [4] et [6]) ont rnontre l'existence globale en temps equivalente a uneMaxwellienne dans tout l'espace.

1. Approximation du modele (1) par les equations de la rnecanlque des ftuides incompressibles

Pour ¢ = 0, Ie modele (I) a ete etudie dans [6], nous avons obtenu la limite asyrnptotique (I)conduisant aux equations de Navier-Stokes incompressibles. Les asymptotiques formelIes presenteesici et conduisant ala dynamique des fluides incompressibles sont obtenues comme perturbations d'etatsmaxwelliens absolus, La methode proposee ici s'inspire de l'article de Bardos et al. (voir [I D, et de[6]. On part de la donnee, pour e > 0, d'une solution de (I), F., sous la forme F. = M + Adfrg.,OU M = e""m, m designe la maxwellienne centree reduite m(v) = --!,,- exp( _l.!:L2' ').

(2n)'!En utilisant des resultats dans [5] et [6], on obtient ainsi l'equation pour 9. :

(5)

ou L designe l'operateur linearise de BGK (L = II - /), II designant la projection orthogonale surl'espace engendre par {1,v,(! 'l.I1 2 -n)/.J2'n}m1(v) dans L2(v). Pour la definition de r.<!>, nousrenvoyons a [5].

TH~OREME I. - Supposons que g., solution de (5), converge. lorsque e tend vers 0, vers la limite gO ausens des distribution. supposons de plus que les moments (9.), (V9.), (v0V9.). ('III v 129. ). (A(11)0vg.),(A(v)r.q,(9.)). (D(v) 0 V9.) et (D(V)rft/>(!Jf)) convergent dans D' (Ri x R:) respectivement vers

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A. Bellouquid

(gO) , (vgO), (v ® vgO), (vi v 12gO) , (A(v) ® vgO}, (A(v)ro(gO)} , (B(v) ® vgO} et (B(v)ro(gO)} . Alors,

la limite gO s' ecrit sous la forme :

(6)

ou les coefficients p(t , x) I u( t ,x ) et O( t, x) satisfont la condition d'incompressibilite et la relation deBoussinesq :

(7)

(8)

V';r:.U = 0,

De plus, les fonctions p(t,:1:), u( t, x) et O( t, x) sont solutions des equations:

(9)

(10)

(11)

(12)

{

DIu + u.V';r:u_+ V'xP+ 02V'x,p = ~usi r = 1, q = 1,

DtO + u.V'xO- ~O + --2V'x,p.un+

{

DtU + V'rP+ OV'2x,p = ~usi r >- 1, q = 1,

DtO = ~O + --2V'x,p·un+

{

DtU+ u.V'xU+ V'xP+ OV'x,p= 02 si r = 1, q >- 1.

DtB + u.V';cB = --V'x,p.un+2

{

DtU+ V'xp + BV';c,p = 02 si r >- 1, q >- 1.

DtB = --V'x,p.un+2

Remarques. - La definition du tenne r o(g), du vecteur A( v) et du tenseur B( 11) sont donneesdans [6].

- Les equations (7) et (8) representent respectivement la condition d'incompressibilite et larelation de Boussinesq. Les equations etablies dans (9)-(12) sont : (9) l'equation de Navier-Stokesnon lineaire : (10) l'equation de Navier-Stokes linearisee : (II) l'equation d'Euler non lineaire ; (12)l'equation d'Euler linearisee.

- Les coefficients de viscosite et de conductivite thennique etablis dans les systernes (9) et (10)prennent la valeurs 1 et sont differents de ceux donnes par Boltzmann. Nous renvoyons a [1], [2],[5] et [6].

Nous renvoyons a [5] pour la demonstration du theoreme I.

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(15)

Limite asymptotique pour Ie modele de BGK

Resultats de convergence

Pour enoncer les resultats de convergence correspondants aux calculs formels ci-dessus, nousrestreignons Ie cadre de notre etude: nous supposons d'abord que Ie potentiel des forces exterieuresest nul (soit ¢(x) = 0).

Posons Fo = m(v) + fT m 1go , Ie travail de [6] nous fournit l'existence globale d'une solution de(I), F. = m(v) + fT m1g.. telle que:

(13) II g. llt.lt:S a II go 1I' ,lt Vt ~ 0,

et la convergence de la solution g. dans C([8,T] x K , Loo,lt) (VT > 8 > 0, VK compact de R;)vers la limite gO.

On definit les variables :

1 1 / I 11 12

- n 1)(14) P. = (m(v)'i g,), U, = (vm(v)'i g.)B, = \ n m(v)'i g, .

TH~ORt:ME 2. - (q = r = 1), (p" u" B,) converge vers (p, u, B) dans C( [15, T] x K) (VT > 8 > 0,VK compact dans R~) lorsque f tend vers 0, ou (p, u, B) est solution de :

P+ B = 0, Dtu + u."V.ru + "Vxp = Llu, "V.r.u = 0,1

u(t = 0) = PuoDtB+ u."VxB = LlB, B(t =0) = "2(Bo - Po).

TH~ORt:ME 3. - (q = 1, r > 1), (p" u" B,) converge vers (p,u , B) dans C([8,T] x K)(VT > fj > 0,VK compact dans R~) lorsque f tend vers 0, ou (p,u , B) est solution de :

p+B=O, Dtu+"Vxp=Llu, "Vx,u=O,1

UtB = LlB , B(t = 0) = "2(Bo - Po).

Remarque. - P designe la projection orthogonale sur l'espace adivergence nulle.Les variables p, u, Bet Po ,Uo , Bo sont donnees par (14) en remplacant respectivement 09, par gO et go.Les demonstrations de ces theorernes suivent les techniques utilisees par Bardos-Ukai (voir [3]),

Bellouquid (voir [7]). Ces demonstrations sont detaillees dans [6].

II, Approximation du modele de BGK par le systerne des equations d'Euler compressibles

On s'interesse maintenant a l'approximation du modele (2) par Ie systeme des equations d'Eulercompressibles. On part de la donnee, pour f > 0, d'une solution de (2), F" sous la forme

1 ~F, = m(v) + mJ (1I)g" ou md(v) = (2~)ff exp (- '~ -), Le pararnetre d est un reel positif qu'on

choisit assez petit. L'introduction de ce pararnetre est utile dans les majorations.On reporte formellement F, dans l'equation (2) et on obtient l'equation pour g, :

{

I IDtg, + 1I."Vx 9, = -L9, + -fd(g,) ,

f f

9,(t = O,x ,v) = 90(X,1I).

Nous considerons les espaces fonctionnels utilises dans [6] et [13]. On obtient :

TH~ORt:ME 4. - Supposons 90 e X<>,I,~(o: > 0, I > n , (1 > I) ,alors it existe do, ao ,1 , T tels que pour

tout Fo = m( v) +mJ (11 )gO avec d < do, it existe une unique solution reguliere F, = m( 11) +mj (11 )g,dans [0, T] de (15) verifiant :

g, E Zlt,o'"'I,I,T, II g, II lt,,.' ''I ,I,T:S ao II go II ""I,~ .

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THEOREME 5. - Quand i tend vers 0, on a :gf converge vers gO fort dans YI3,a,"Y,I([b, T])Vb > 0,

- gO E Y13,O',"Y,I([O, T]),- pour t E (0, T], FO == m(v) + mj (v)gO est une maxwellienne locale dont les variables

p(t,x),u(t,x) et O(t,x) satisfont Ie systeme d'equations suivant:

(16)

VtP+ V'x.(pu) == 0

VtP+ V'x'(pu 0 u) + V'xP = 0

Vt(p(e + I ~ 1

2

) ) + V'x.(pu(e + I ~ 1

2

) + pu) = 0

(p, pu, p(1 U 12 + nO))(O) = ((Fo), (vFo), (/ v 1

2Fo}).

REMARQUES. - (., .) designe Ie produit scalaire dans L 2(v).- La convergence de gf n' est pas uniforme en t = 0; une condition necessaire et suffisante pour

que gf soit uniforme en t = 0 est que la donnee initiale go soit une maxwellienne locale,- Le systeme d'equations defini par (16) est Ie systeme d'equations d'Euler compressibles decrites

par les parametres fluides associes ala fonction F O, p represente la densite, u la vitesse moyenne, p

et e designent respectivement la pression et l'energie interne et sont donnees par: e = ~O, p = pO.- Le systerne (16) a ete obtenu comme une approximation pour l'equation de Boltzmann. Ce resultat

a ete dernontre par Nishida (voir [8]), sa demonstration repose sur Ie theorerne de Cauchy-Kowaleskideveloppe par Nishida (voir [9]) et Nirenberg (voir [10]).

Remerclements, Je remercie vivernent Ie professeur C. Bardos pour les discussions fructueuses qu'jJ m'aaccordees,

Note remise Ie 20 juillet 1996, acceptee apres revision Ie 3 fevrier 1997.

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