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Limite de convexit6 d'une classe de Nevanlinna de fonctions analytiques

P a r

PAVEL G. ToDoROV

En conformit6 avec motre terminologie et les r6sultats de [1], ~Y1 signifie la classe de Nevanlinna de fonetions analytiques normalis6es de premier genre

1

f dl't(t) {z 1} (1) t(z)= ~L--/, Z~ J--l--<~<-- , --1

off # est une probabilit6 mesure sur [ - - 1, 1]. Le th6or~me de Thale [2], p. 234--235, th6or~me 2.3, eonfirme que le eerele ouvert I z[ > 1 est un domaine maximal d'univalence de la classe N1. Si dans (1) on remplace z par 1/z, on obtient la classe N2 des fonctions associ6es

1

(2) ~ ( ~ / : = ! - - 1 - t z ' ~{~1~____-1,~>1} - - I

pour laquelle, le cercle ouvert I I< 1 est un domaine d'univalenee maximal. En particulier, lorsque/.~ (t) -~ 0 pour - - 1 --<__ t < 0, la classe N2 se rgduit ~ la elasse T de Hausdorff [3] de fonetions totalement monotones (les fonctions ~0 (z) s T s'obtien- nent ~ par t i r de (2) en rempla~ant la limite inf~l~eure d'int~gration - - 1 par 0 et en examinant z ~ {z [ z ~ 1 }). Les limites de forme stellaire et de convexit6 de la classe T sont trouv6es par Wirths [4], p. 513, th6or6me 2.4 et par Silverman, Silvia et Telage [5], p. 129, th6or6me 5. Dans eette note, on trouvera les limites de conv6xit6 de la classe plus g6n6rale N2 et de sa elasse assoei6e ~Y1- Comme cons6quence, on trouvera les limites de forme stellaire d'ordre 1/2 et de - - (1/2) respectivement pour les classes N2 et N1. La m6thode par laquelle on r6soud ces probl6mes difiiciles d6veloppe ] 'application des id6es et r6sultats importants de Silverman, Silvia et Telage [5] et de Ruscheweyh [6]. D 'abord on notera les trois lemmes suivantes:

Lemme 1. Si le point z ~ 0 est /ixd dan8 le cercle [ z t < 1, alors la valeur principale de la/onction arg (1 ~ t z), - - 1 ~ t --~ 1, est identiquement dgale d zdro pour sin (arg z) ----- 0, s'accroit pour sin (arg z) > 0 et diminue pour sin (arg z) < 0.

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D e m o n s t r a t i o n . Si l 'on pose z ~ r e ~o, O ~ r ~ 1, 0 r~el et

= arg(1 ~ treiO),

alors la confirmation r~sulte des relations

t r sin 0 dy~ r sin 0

t g ~ p - - l q _ t r c o s 0 , dt - - l q - 2 t r c o s 0 q - t 2r 2"

I1 r6sulte de lemme 1:

Lemme 2. Si le point z e s t / i x ~ dans le eercle I zl ~ 1, alors

(3) max arg - - . --1Kt~___~K1 1 -~- t2z = arg 1 q- z

Lemme 3. Dans le cercle ] z [ <= r, 0 ~ r ~ 1, on a l' in~galitd

I (4) arg 1-----~

o~ l' on n ' a d' ggalitd que Tour z ~ -4- i r.

A pr6sent, on peut r~soudre les probl~mes pos6s:

Th6or~me 1. L a limite de eonvexit~ de la classe N9 est le rayon

(5) r0 = t g y = V ~ - 1 = 0 . 4 1 4 2 1 . . . .

c' est.5-dire que le cercle /erred I zl <__ r0 est le p lus grand de centre z ----- 0, clans lequet routes les /onctions (2) satis/ont 5 l'indgalitd

(6) ~e 1 + ,-~ >=o,

oi~ l'on n 'a d'~galitd que Tour la /onction extreme

Z

(7) ~0 (z) -- 1 - - z ~ ~ ~V2

aux points z ~ -4- iro.

D e m o n s t r a t i o n . Selon le remarquable r6sultat de Ruscheweyh [6], p. 19, th6o- r~me l a , le min imum du eSt6 gauche de (6) pour la donn6e z =~ 0 ([z[ < 1) dans la classe hr2 est a t te int lorsque la fonct ion/~ (t) dans (2) est graduelle avec au plus deux point d ' in terrupt ion, c'est-s qu 'on at te int le min imum pour les fonctions de la forme

~ z (1 - - 7 ) z - - - - e T V 2 ( O < 7 < l , - - l ~ _ t l ~ _ t 2 < l ) . (8) ~ (z) --- 1 - - tl z q- 1 - - t2 z ~ -

D'apr~s la condition de convexit6 de Silverman-Silvia-Telage [5], p. 126, th4or6rae 1,

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la fonet ion (8) satisfait s l 'indgalit6 stricte (6) (sans signe d'dgalit6) dans le cercle l z] < r < 1, pour le produi t d ' H a d a m a r d ou la convolution (voir Comtet [7], p. 85, point 30)

1 [ z + x z 2 ] (9) h ( t l , t 2 , x , z ) : = - - q~(z). @0 ( l z [ ~ r ~ l , l x t = l )

z (1 - z ) 3

De (9) et de (8) on d6duit

(10) h(tl, t2, x, z) -- r - - dE 2vriz (1 _ ~ ) 3

]~1 =r

1 + t l x z 1 + t2xz - - 7 (1-- t lz) 3 + ( 1 - 7 ) (1--t2z) 3"

Si l 'on pose

] l + t l x z l + t 2 x z ! (11) ~) (h , t2 , x , z ) := arg ( 1 - - h z ) a arg ( 1 - - t 2 z ) 3

et l 'on applique successivement les lemmes 2 et 3, on obt ient pour ]z] ~ r, 0 < r ~ 1, l 'est imation

(12) qS( t l , t 2 , x , z )~ arg l + x z + 3 a r g ~ _ z

2 aretg r + 3 �9 2 arctg r

= 8 a r e t g r ( - - l ~ t l ~ t 2 ~ l , l x l = l ) ,

oh ] 'on n 'a d'6galitd que si tl,2 = ~= 1~ x = 1 et z = 4- it . S i r est dgal au nom- bre (5), il suit de (12) l 'est imation r t2, x, z) ~ ~, ]z I ~ r0, oh l 'on n ' a d'dgalitd que dans les cas ~b(--1, 1, 1, 4- i ro )= ~r. Par consdquent, on eonclut de (11) et (10), que

tt (tl, t2, x, z) ::F: O, ] z I ~ tO,

sauf pour les deux eas extremes h ( - - 1 , 1, 1, 4-iro) = 0 pour y = �89 e 'est&-dire pour la fonet ion (7) aux points z = 4- iro. Le thdor~me 1 est ddmontrd.

Par subst i tut ion de z par 1/z le thdor~me 1 se t ransporte & la classe N I :

Th~or~me 2. La limite de convexitd de la classe N1 est le rayon

g'g

(13) /~0 = cotg -8- = y ~ + 1 = 2.41421 . . . .

c'est-dt-dire que le cerele /erred [zl ~ Ro est le plus grand de centre z = oo, clans lequel routes les /onctions (1) satis]ont ~t l'in~galitd

(14) f z/"(z) Re [1 + - - ~ - j - - ] __< 0 ,

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130 P .G. ToDoRov ARCH. MATH.

oi~ l'on n'a d'dgalit~ que pour la /onction extrgme

Z

(15) / ( z ) - z 2 ~ e~v~

aux points z ---- -4- i Ro.

Si dans (9) on remplace l ' exposan t g radue l 3 pa r 2 on ob t i en t la condi t ion de S i lverman-Si lv ia -Telage [5], p. 127, th~or~me 2, pour que la fonct ion (8) soit stel- laire de l ' o rd re 1/2 dans le eercle I zl < r < 1. Cet te condi t ion en t ra ine l '6change respect ive du nombre 3 avec 2 aussi dans (10--12). On a pa r cons6quent

Consequence 1. La limite de /orme stellaire ~ l'ordre 1/2 de la classe N2 est le rayon

~/3 - - 0 . 5 7 7 3 5 . . . , (16) r l ---- tg -6- = 3

c'est-d-dire que le cercie /erred ] z I ~ rz est le plus grand de centre z -~ 0 dans lequel toutes les ]onctions (2) satis/ont d l'in~galitd

1 z~'(z) > - (17) Re - - - -

(z) = 2 '

o~ l'on n'a d'dgalit~ que pour la /onction extrgme (7) aux points z = q- i t1 .

Si l 'on remplace z avee 1/z la cons6quence 1 donne

Cons6quence 2. La limite de ]orme stellaire d'ordre - - (1/2) de la classe N1 est [e rayon

(18) /~1 = cotg -6- = }/~ ---- 1.73205 . . . .

c-est-d-dire que le cercle ]ermd I zl ~ R1 est le plus grand de centre z -~ ~ , clans lequel toutes les /onctions (1) satis/ont d l'indgalitd

~/'(z) 1 (19) l~e / ( z ) = 2

o4 l'on n'a d'dgalit~ que pour la ]onction extrgme (15) dans les points z =- • i t~z.

Bibliographic

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Eingegangen am 11.12. 1979

Anschrift des Antors:

Pavel Georgiev Todorov 20 Lenin Avenue B-4002 Plovdiv Bulgaria

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