Les fonctions logiques par Christophe BERRIET Page 1 sur 5

Les fonctions logiques 1. Les portes logiques

Remarque : Le symbole américain n’est pas à connaître par cœur.

1.1.Porte OUI

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité

Equation

E S 0 0

E S

S

1 1

S = E Intérêt de cette porte :

La sortie est amplifiée en courant

1.2. Porte NON (inverseur)

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité

Equation

E S 0 1

S E

1 0

S = E

On trouve également le symbole suivant (Inverseur avec sortie amplifiée en courant)

1.3. Porte ET S = 1 si A ET B sont à 1

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité Equation

A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0

& A B

S

1 1 1

S = A . B

1.4. Porte ET-NON

C’est un ET associé à un inverseur S = 0 si A ET B sont à 1

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité Equation

A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1

& A B

S

1 1 0

S = B .A

S E

NO

AND

NAND

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1.5. Porte OU S = 1 si A OU B sont à 1

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité Equation

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1

1 A B

S

1 1 1

S = A + B

1.6. Porte OU-NON C’est un OU associé à un inverseur S = 0 si A OU B sont à 1

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité Equation

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0

1 A B

S

1 1 0

S = BA +

1.7. Porte OU exclusif S = 1 si A OU B sont à 1 mais pas les deux en même temps

Symbole européen

Symbole Américain

Table de vérité Equation

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1

= 1 A B

S

1 1 0

S = BA ⊕

S = B.AB.A +

2. Etablissement d’une équation logique à partir d’une table de vérité

Pour obtenir l’équation logique à partir d’une table de vérité, il suffit de rechercher les différentes combinaisons des variables d’entrées qui permettent d’obtenir la sortie égale à 1. Exemple :

On peut donc écrire : S = 1 si a = 0 ET b = 0 ET c = 1 OU si a = 0 ET b = 1 ET c = 1 OU si a = 1 ET b = 1 ET c = 1 L’équation donne :

S = a.b.c .b.ca .cb.a ++

A b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

NOR

XOR

OR

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3. Etablissement d’un logigramme

Un logigramme est un schéma électrique à base de portes logiques. Pour effectuer un logigramme, il suffit de suivre l ‘équation logique en repérant les termes

prioritaires : un ET est prioritaire devant un OU. Remarque : Deux sorties ne peuvent jamais être connectées entre elles.

Exemple :

Logigramme correspondant à

l’équation précédente : 4. Simplification

La simplification de l’équation permet de réduire la taille du logigramme donc le nombre de portes nécessaires. Deux méthodes peuvent être utilisées, mais la plus rapide et la plus sûr est la simplification par les tableaux de Karnaugh 4.1 Simplification algébrique

Elle permet grâce à des regroupements et des propriétés des fonctions logiques de simplifier une

équation. Propriétés :

a . a = a a . 1 = a a . 0 = 0 a . a= 0

a + a = a a + 1 = 1 a + 0 = a a + a= 1

a= a

Distributivité : a . ( b + c) = a . b + a . c a + (b.c) = (a + b) . (a + c)

Consensus : a.c + b.c + a.b = a.c + b.c (a + c).(b+c ).(a+b) = (a+c).(b+c )

4.2 Simplification par les tableaux de Karnaugh Construction

A 3 variables d’entrée A 4 variables d’entrée

cd ab

00 01 11 10

00 0 1 1 1 01 0 1 0 0 11 1 0 1 1 10 1 0 1 0

bc a

00 01 11 10

0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

&

&

&

1

a b c

a b1 1

.cb.a

a.b.ca

.b.ca S = a.b.c .b.ca .cb.a ++

Etats possibles pour les entées b et c

Etats possibles pour l’entée a Etats possibles de la

sortie en fonction des entrées a,b et c

On utilise obligatoirement le code de Gray

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Principe de simplification : - Réaliser des groupements de ‘1’ adjacents, dans l’ordre, par 16, 8, 4 ,2 ou 1. Il faut toujours

s’arranger à regrouper le maximum de ‘1’ pour diminuer la taille des termes. - Lorsqu’il ne reste plus de ‘1’ isolé, les regroupements sont terminés. - L’équation simplifiée est déduite de ces groupements

Exemples :

Erreurs à ne pas commettre A faire

Réaliser des groupements de 3, 5, 7 etc … Réaliser des groupements de 16, 8, 4, 2 ou 1

Utiliser le code binaire pour les variables d’entrée.

Utiliser le code de Gray pour les variables d’entrée.

Précaution à prendre : - Vérifier le résultat de la simplification à partir de la table de vérité

Par exemple : S = b.ca.c + donne S = 1 si c = 1 ET a = 0 OU c = 1 ET b = 1 Sinon S = 0

5. Théorème de De Morgan

Le théorème est le suivant : bab.a += b.aba =+

5.1 Application du théorème de De Morgan

Il permet d’utiliser des portes OU-NON ou ET-NON afin de réduire le nombre de circuits intégrés utilisés.

cd ab

00 01 11 10

00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 0 0 1

bc a

00 01 11 10

0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 cd

ab 00 01 11 10

00 1 0 0 1 01 0 0 0 0 11 0 0 0 0 10 1 0 0 1

cd ab

00 01 11 10

00 0 1 1 1 01 0 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 1 1 1

b change c change

.ba .ca c.ba.S1 ++=

On ne prend pas en compte les variables qui changent

d’état dans le regroupement.

S2 =d

S3 = d.b

S4 = d.bc+

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a& &

&

&

a

c

b

a.c

b.c

b.c . a.cS=

a

b

c

1

1

1

1

a

c

ba +

( )bacS ++=

5.2 Logigramme à portes ET-NON.

On ajoute deux barres à la fonction afin de supprimer le OU :

S = b.ca.c + = b.ca.c + Rappel : SS= On applique le théorème de De Morgan afin de faire apparaître uniquement des portes ET-NON :

S = b.ca.c + = b.c . a.c On casse la barre au niveau du OU qui devient alors ET Le logigramme devient :

Il ne nécessite qu’un seul circuit intégré

5.3 Logigramme à portes OU-NON.

On part de la fonction S =( )ba.c + (L’autre équation donne un résultat plus complexe)

On ajoute deux barres à la fonction : S = ( )ba.c + Rappel : SS=

On applique le théorème de De Morgan afin de faire apparaître uniquement des portes OU-NON :

S = ( ) ( )ba cba.c ++=+ On casse la barre au niveau du ET qui devient alors OU

Le logigramme devient :

Il ne nécessite qu’un seul circuit intégré

Rappel : aa.a =

Rappel : aaa =+