MATHS EN PRATIQUE lusage des tudiants

MATHS EN PRATIQUE lusage des tudiantsCours et exercicesFranois LiretMatre de confrence luniversit Paris 7 Denis Diderot

DU MME AUTEUR Algbre Licence 1re anne (avec D. Martinais), Dunod, 2003 Analyse Licence 1re anne (avec D. Martinais), Dunod, 2003 Algbre et gomtrie Licence 2e anne (avec D. Martinais), Dunod, 2003 Analyse Licence 2e anne (avec D. Martinais), Dunod, 2004

Illustration de couverture : Digital Vision

Dunod, Paris, 2006 ISBN 2 10 049629 8

Table des matires

Chapitre 1. Ensembles, nombres et fonctions1. Langage et notations pour utiliser les ensembles 2. Les nombres 3. Les fonctions 1 3 12 15 24 27 30

Transformation et itration Changement de rfrentiel Groupes de transformations Exercices

Chapitre 2. Nombres complexes et polynmes1. Les nombres complexes 2. Fonctions polynmes 35 43 53

Exercices

Chapitre 3. Dnombrement, permutations, graphes1. Ensembles nis

Des dnombrements utiles Probabilit binomiale et loi des grands nombres Esprance et variance dune variable alatoire discrte 2. Permutations 3. Graphes Arbre de recouvrement de poids minimal Chemin de poids minimum dun sommet un autre Le problme du ot maximum Exercices

57 60 67 69 70 78 80 83 86 96

Chapitre 4. quations linaires et vecteurs1. Vecteurs et combinaisons linaires 2. Rsolution des quations linaires 3. Dimension dun sous-espace vectoriel 4. Un exemple dapplication 101 107 115 122 125

Exercices

MATHEMATIQUES EN PRATIQUE V

Chapitre 5. Matrices et dterminants1. Matrices 129 136 140 141 144 151 153 156

Matrices et systmes linaires Le groupe afne Exemple dapplication : un intgrateur numrique 2. Dterminants Polynme caractristique dune matrice carre Applications des dterminants Exercices

Chapitre 6. Espaces vectoriels et applications linaires1. Espaces vectoriels 2. Applications linaires 3. Diagonalisation 4. Trigonalisation 5. Applications 161 167 173 179 182 184 188 190 194

tude ditrations linaires Suite de transitions probabilistes Itrations afnes commandables Exercices

Chapitre 7. Espace hermitien, espace euclidien1. Produit hermitien et produit scalaire 199 208 211 213 221 229 236

Sous-espace orthogonaux et projections Une application : la mthode des moindres carrs 2. Matrices unitaires, matrices hermitiennes 3. Gomtrie euclidienne 4. Application lanalyse de donnes Exercices

Chapitre 8. Des mthodes numriques1. Norme et conditionnement dune matrice 2. Rsolution dquations linaires 241 246 246 248 255 258

Factorisation LU Mthode de relaxation 3. Calcul de valeurs propres Exercices

VI MATHEMATIQUES EN PRATIQUE

Chapitre 9. Limites, drives, intgrales1. Rappels sur les limites 2. Ordres de grandeur 3. La drive 261 264 271 273 278 281 284 292

Comportement dune fonction au voisinage dun point La diffrentielle 4. Fonctions continues 5. Lintgrale Exercices

Chapitre 10. Utilisation de la drive et de l'intgrale1. tude des variations dune fonction 2. Dveloppements limits 3. Rsolution dquations par la mthode de Newton 4. Courbes paramtres 297 300 307 310 311 317 323 328 331 337

Tangente, longueur, courbure5. Calcul de primitives 6. Intgrales gnralises 7. Application aux probabilits

La loi normale Exercices

Chapitre 11. Interpolation, calcul numrique d'intgrales1. Interpolation polynomiale

Les polynmes de Lagrange Interpolation par des fonctions splines 2. Calcul numrique dintgrales Exercices

343 343 350 354 357

Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables1. Prsentation 2. Normes et distances dans Rn 3. Drives partielles 4. Extremum local 359 360 362 373 376 377 381 386 388 392

Mthode du gradient 5. Extremum sous contraintes Une application statistique : le krigeage 6. Intgrales paramtre 7. Linarisation locale dune transformation Exercices

MATHEMATIQUES EN PRATIQUE VII

Chapitre 13. Intgrales multiples1. Notion dintgrale multiple et mthode de calcul 2. Application aux probabilits 3. Produit de convolution 397 406 409 411

Exercices

Chapitre 14. Champ de vecteurs, formes diffrentielles1. Champ de vecteurs 415 416 418 423 425 433 437

Champ de gradient Rotationnel Intgrale curviligne 2. Formule de Stokes Applications Exercices

Chapitre 15. quations diffrentielles1. quations diffrentielles du premier ordre 440 443 446 450 460 466 472

quations diffrentielles linaires quations diffrentielles variables spares 2. quations diffrentielles linaires dordre 2 3. Lquation de Newton 4. Introduction au calcul des variations Exercices

Chapitre 16. Systmes diffrentiels1. Systmes diffrentiels linaires 2. Systme diffrentiel linaire contrl 478 494 495 496 499 503 507 509 511 512 514 518 521

Commandabilit Introduction au rtro-contrle 3. Systmes diffrentiels gnraux Linarisation autour dun quilibre Fonction de Liapounov Systmes hamiltoniens 4. Dpendance par rapport la condition initiale 5. Un exemple de prvision en pidmiologie 6. tude du moteur lectrique 7. Une mthode de rsolution numrique Exercices

VIII MATHEMATIQUES EN PRATIQUE

Chapitre 17. Sries, sries entires, sries de Fourier1. Sries numriques 2. Sries entires 527 533 541 547 548 562 567 569 577 577 577 578 581 585

Calculs de solutions dquations diffrentielles Un exemple de fonction gnratrice 3. Dcomposition de Fourier 4. Ondelettes de Haar Application la compression dimages Exercices

Annexes1. Fonction de Gauss 2. Fonctions de Bessel 3. Analyse de donnes

Index d'Algbre Index d'Analyse

MATHEMATIQUES EN PRATIQUE IX

Avant-ProposCe livre sadresse des tudiants scientiques dun cursus Licence utilisant les Mathmatiques comme outil de calcul, que ce soit dans le cadre de sciences gnrales pour lingnieur ou dans des disciplines spciques. Cest pourquoi lon y prsente de nombreux exemples dapplications dans des domaines varis, comme la Physique, les Sciences de la Vie, lconomie ou la thorie du contrle. Les tudiants en Mathmatiques, en Mathmatiques appliques ou en Informatique pourront aussi y dcouvrir des techniques de calcul, des exemples de modlisation et des problmatiques que leur programme thorique ne laisse pas le temps dexplorer sufsamment. Le livre se partage peu prs quitablement entre lalgbre et lanalyse. Sagissant des mthodes numriques et des algorithmes prsents, le choix, ncessairement trs svre, sest port sur les plus courants et tient compte de lefcacit, de la gnralit et de la simplicit de mise en uvre. Dans le cours, les notions acquises dans une classe de Terminale scientique sont supposes connues. An de dvelopper des applications sufsamment riches tout en restant un niveau lmentaire, de nombreux rsultats ont t admis, parfois avec un commentaire explicatif ou heuristique appel justication. Le terme dmonstration est rserv une argumentation complte sur le plan mathmatique. Les exercices sont des applications utiles et directes du cours. Il sont trs gnralement calculatoires, de sorte quon doit les faire laide dune calculatrice ou dun logiciel de calcul scientique. Quelques rares exercices apportent un petit complment thorique quil faut considrer comme un rsultat connatre. Le signe @ indique que lon trouvera une solution ou des indications dans les Complments en ligne ladresse http://www.dunod.com. Je remercie mes collgues de diffrentes disciplines qui ont bien voulu mclairer en rpondant mes questions et notamment Jacqueline concernant la problmatique des Statistiques et des Probabilits. Merci Eric pour son soutien technique et ses ides originales et Michle pour la marmotte. Merci Christian qui a relu le texte avec acuit : ses remarques pertinentes sont lorigine de nombreuses amliorations. Un grand merci Alberto qui, avec talent et gentillesse, a assur un gros travail de mise en page et la ralisation nale de toutes les gures. Et surtout, merci Dominique.

MATHEMATIQUES EN PRATIQUE XI

Chapitre 1

Ensembles, nombres et fonctions1. Langage et notations pour utiliser les ensemblesEn Mathmatiques, on dnit souvent des collections dobjets appeles ensembles. Voici les notions gnrales et les expressions couramment employes lorsquon considre des ensembles.

1.1 lments et parties d'un ensemblelments d'un ensemble. En gnral, on dsigne un ensemble par une lettre. Si par

exemple E dsigne un ensemble, alors chaque objet a de la collection E sappelle un lment de E : on dit que a appartient E et lon exprime cette proprit en crivant a E . Le signe est le symbole dappartenance. Des ensembles sont gaux sils ont les mmes lments. Parties d'un ensemble. Supposons que E est un ensemble. On appelle partie de E un ensemble form de certains lments de E . Une partie de E est donc un ensemble A ayant la proprit suivante : tout lment de A est aussi un lment de E . Pour exprimer que lensemble A est une partie de lensemble E , on dit aussi que A est inclus dans E , ce que lon note A E . Le signe dinclusion ne scrit quentre deux ensembles et ne doit pas tre confondu avec le signe dappartenance . Pour montrer que des ensembles E et F sont gaux, il faut vrier que lon a les deux inclusions E F et F E . Proprit caractristique d'une partie. Supposons que lon ait dni pour chaque lment x de E une proprit P (x) qui peut tre satisfaite ou non. Lensemble des lments x E qui satisfont la proprit P (x) est une partie de E que lon note {x E | P (x)} , ce qui se lit lensemble des lments x appartenant E tels que P (x) . Si lon pose A = {x E | P (x)} , la proprit P sappelle la proprit caractristique de A .

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 1

Exemple 1. Notons E lensemble des nombres entiers compris entre 5/2 et 11/3 . Les nombres 2 et 3 appartiennent lensemble E , alors que 3 ny appartient pas : on a donc les relations 2 E et 3 E . Les lments de lensemble E sont exactement les nombres 2 , 1 , 0 , 1 , 2 et 3 : pour exprimer cela, on crit la liste des lments entre accolades, sous la forme E = {2, 1, 0, 1, 2, 3} . Exemple 2. Un nombre entier positif ou nul sappelle un entier naturel et lensemble de tous les entiers naturels se note N . Par exemple, 168/6 N , 168/9 nest pas un entier naturel et pour tout entier n 1 , le nombre (1+ 5)n +(1 5)n appartient N . Exemple 3. Un nombre entier positif ou ngatif ou nul, sappelle un entier relatif et lensemble des entiers relatifs se note Z . On a donc N = {x Z | x 0} et {x Z | 0 < x2 < 16} = {3, 2, 1, 1, 2, 3} . Lensemble E de lexemple 1 est une partie de Z et lon a E = {x Z | 0 x + 2 5} . Dnition Soient E et F des ensembles. La donne dun lment x appartenant E et dun lment y appartenant F sappelle un couple et se note (x, y ) ; la rgle dgalit est : (x, y ) = (x , y ) si et seulement si x = x et y = y . Lensemble de ces couples se note E F et sappelle le produit cartsien des ensembles E et F . Exemples 4. On utilise souvent des couples de nombres. Les couples

(1, 2) et (2, 1) sont deux lments diffrents appartenant lensemble

N N. Lensemble des nombres rels se note

R . Les couples (x, y ) de nombres rels sont les lments de lensemble R R = R . Dans un plan muni daxes, tout point est repr par le couple (x, y ) de ses coordonnes. On dnit de mme les triplets (x, y, z ) de nombres rels : leur ensemble se note R3 . Si lon se donne un repre de lespace, chaque point possde trois coordonnes : les triplets de nombres rels permettent de reprer les points de lespace.2

Voici des ensembles de couples de nombres rels : la gure de gauche reprsente

le graphe dune fonction f , celle de droite lintrieur dune ellipse (voir page 22).y y = f (x) x(3, 1) (3, 1)

y

x {(x, y ) R2 | |x| 3 , |y | 1} {(x, y ) R2 | x2 + 4y 2

x 4}

{(x, y ) R | y = f (x)}2

2 LANGAGE ET NOTATIONS POUR UTILISER LES ENSEMBLES

1.2 Oprations sur les parties d'un ensembleIntersection de parties. Soient A et B des parties dun ensemble E . Les lments

de E qui appartiennent la fois A et B forment une partie de E appele intersection de A et B et note A B . On a donc A B = {x E | x A et x B } et aussi les relations dinclusion A B A et A B B . Si aucun lment de E nappartient lintersection de A et B , on dit que la partie A B est vide et lon crit A B = . Le symbole dsigne lensemble qui na aucun lment.Runion de parties. A et B tant des parties de E , lensemble des lments de E

qui appartiennent A ou B est une partie de E appele runion de A et B et note A B . On a les inclusions A A B et B A B .Complmentaire d'une partie. Si A est une partie de E , lensemble des lments

de E qui nappartiennent pas A sappelle le complmentaire de A et se note E \ A . On a les relations A (E \ A) = E et A (E \ A) = .

Exemple 5. Donnons-nous deux points distincts P et Q dans lespace euclidien et considrons lensemble H des points de lespace qui sont quidistants de P et Q : cest le plan passant par le milieu I du segment P Q et D ) R perpendiculaire la droite (P Q) . Le plan QR P ( H sappelle le plan mdiateur de P Q . Soit P I R un autre point de lespace diffrent de P Q et de Q et soit H le plan mdiateur de QR . Si H les points P, Q, R ne sont pas aligns, lintersection H des plans H et H est une droite D perpendiculaire au plan (P QR) . Cette droite coupe le plan (P QR) en un point quidistant de P , Q et R , cest--dire au centre du cercle circonscrit au triangle P QR . Si les points P, Q, R sont aligns, les plans H et H sont parallles et H H est lensemble vide. Exemple 6. Dans un plan euclidien, donnons-nous deux droites scantes D et D . Lensemble des points du plan quidistants de D et D est la runion des deux bissectrices de langle form par D et D .D

D

2. Les nombresOn exprime souvent un nombre par son criture dcimale. Pour un nombre entier ou dcimal, il ny a quun nombre ni de chiffres, alors quun nombre rel possde en gnral une criture dcimale illimite.

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 3

2.1 criture d'un entier naturelLes chiffres dun entier naturel reprsentent les units dans lchelle 1, 10, 102 , . . . des puissances positives de 10 : par exemple, pour lentier a = 234 , on a a = 4 + 3 10 + 2 102 . Voici comment retrouver les chiffres dun entier par des oprations arithmtiques.

a = 4 + 23 10 , le chiffre des units est le reste de la division de a par 10 . Lentier a 4 tant multiple de 10 , posons a 4 = 10a1 , donc a1 = (a 4)/10 = 23 = 3 + 2 10 ; le chiffre des dizaines est le reste de la division de a1 par 10 . Lentier a1 3 est multiple de 10 et en posant a1 3=10a2 , il vient a2 =(a1 3)/10=2 Puisque

qui est le chiffre des centaines. Pour crire un algorithme de calcul des chiffres dun entier a > 0 , introduisons une variable x qui prendra successivement les valeurs a, a1 , a2 , . . . et une variable c dont les valeurs seront les chiffres de a ; la liste L des chiffres sera compose en crivant de droite gauche.

Algorithme de calcul des chiffresinitialisation : ( L liste vide) ( a un entier positif) ( x a ) ( b 10 ) boucle : tant que x = 0 :

c reste de la division de x par b x quotient de x c par b L c, L (on ajoute le chiffre c en tte de la liste L )Si au lieu de 10 , on choisit pour b un entier naturel quelconque suprieur ou gal 2 , cet algorithme calcule les chiffres de lcriture de lentier a en base b , cest--dire les entiers c0 , c1 , . . . , cn tels que

0

ci < b et a = c0 + c1 b + c2 b2 + + cn bn . 13 = 1 + 22 + 23et 34 = 2 + 25

La base 2 est commode, car il ny gure que les chiffres 0 et 1 . On a par exemple

donc, en base 2 , ces nombres scrivent : 13 = [1101] et 34 = [100010] .

2.2 Les entiers relatifsUn entier relatif est un entier positif ou ngatif ou nul. Dans lensemble Z des entiers relatifs, on peut donc ajouter, soustraire et multiplier.

Division euclidienne. Une autre opration essentielle quon peut effectuer avec des entiers relatifs, cest la division avec reste, encore appele division euclidienne. Rappelons la dnition de la division par un entier b > 0 . crivons dans lordre les multiples entiers de b : . . . , 2b , b , 0 , b , 2b , . . . , qb , . . . o q Z .

4 LES NOMBRES

Il est clair que tout entier relatif a est compris entre deux multiples conscutifs de b ; prcisment, il y a un unique entier q Z tel que

qbOn a alors a qb

a < (q + 1)b = qb + b . r < b.

0 et a qb < b , donc en posant r = a qb , il vient a = qb + r , o 0

Lentier q sappelle le quotient de la division euclidienne de a par b et lentier r sappelle le reste de la division. Le reste est toujours un entier positif ou nul et strictement infrieur au diviseur b . Pour que lentier a soit multiple de b , il faut et il suft que le reste de la division de a par b soit nul.

Exemple. tant donn un entier n > 0 , cherchons le reste rn de la division de 3n par 8 . Pour les premires valeurs de n , la division de 3n par 8 scrit : si n = 1 : 3 = 0 8 + 3 , donc r1 = 3 ; si n = 2 : 32 = 9 = 1 8 + 1 , donc r2 = 1 ; si n = 3 : 33 = 3 32 = 3(1 8 + 1) = 3 8 + 3 , donc r3 = 3 .Il semble que les restes prennent successivement les valeurs 3 et 1 . Pour vrier cela, il suft de montrer que lon a rn+2 = rn pour tout n . La division euclidienne de 3n par 8 scrit 3n = 8qn + rn , o qn dsigne le quotient. Multiplions cette galit par 32 ; il vient

3n+2 = 32 3n = 32 (8qn ) + 32 rn = 8(32 qn ) + 8rn + rn = 8(32 qn + rn ) + rn .On en dduit que rn est aussi le reste de la division de 3n+2 par 8 , donc on a lgalit rn+2 = rn . Puisque r1 = 3 et r2 = 1 , on en dduit que rn = 3 si n est impair et que rn = 1 si n est pair.

2.3 Les nombres dcimauxUn nombre dcimal est le produit dun entier relatif et dune puissance de 10 . Par exemple, 12 103 = 0,012 , 1234 101 = 123,4 et (3) 102 = 300 sont des nombres dcimaux. Pour avoir les chiffres dun nombre dcimal a10p , o a est un entier, il suft de dcaler les chiffres de a de p places vers la gauche si lentier p est positif, vers la droite si p est ngatif. Lcriture dcimale dun nombre dcimal ne comporte donc quun nombre ni de chiffres ; ce sont les units dans lchelle des puissances positives ou ngatives de 10 . Ainsi par exemple

308705 104 = 30,8705 = 3 10 + 8 101 + 7 102 + 5 104 .Un nombre dcimal positif est la somme de sa partie entire et dun nombre dcimal a tel que 0 a < 1 , donc lcriture dcimale de a est de la forme a = 0, c1 c2 cn . Puisque 10a = c1 , c2 cn , la premire dcimale c1 est la partie entire du nombre a1 = 10a . Si lon pose a2 = 10a c1 , alors c2 est la partie entire de 10a2 . On calcule ainsi de proche en proche les dcimales selon lalgorithme suivant :

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 5

Algorithme de calcul des dcimales initialisation : ( L liste vide) ( a un nombre dcimal tel que 0 < a < 1 ) ( x a ) boucle : tant que x = 0 : c partie entire de 10x x 10x c L L, c (on ajoute le chiffre c la liste L ) L'ordre sur les dcimaux. Considrons des nombres dcimaux a = 0, c1 cp et a = 0, c1 cp compris strictement entre 0 et 1 (on a crit le mme nombre de dcimales en ajoutant ventuellement des zros). Supposons que a et a diffrent seulement partir de la k -ime dcimale, les dcimales prcdentes tant gales ; alors on a : a < a si et seulement si ck < ck . Par exemple, on a 0,01 = 0,01000 < 0,12339 = 0,12339000 < 0,12339001 < 0,123392 < 0,123400 .Si deux nombres dcimaux ont des parties entires diffrentes, le plus grand est celui qui a la plus grande partie entire.

Densit des nombres dcimaux. Si a est un nombre dcimal, alors pour tout entier naturel n , le nombre a = a + 10n est dcimal. En choisissant n assez grand, lcart a a = 10n peut tre rendu aussi petit que lon veut. Il y a donc des nombres dcimaux diffrents de a et aussi prs quon veut de a .

2.4 Les nombres relsUne dnition des nombres relsUn nombre rel est de manire naturelle une limite de nombres dcimaux. Soit a[1], a[2], . . . , a[n], . . . des nombres dcimaux positifs ; leurs critures dcimales sont de la forme

a[1] = e[1], c1 [1]c2 [1] cp [1] ...

a[2] = e[2], c1 [2]c2 [2] cp [2] ... a[n] = e[n], c1 [n]c2 [n] cp [n] Lentier naturel e[n] est la partie entire de a[n] et les chiffres c1 [n], c2 [n], . . . sont les dcimales de a[n] ; on a termin chaque criture par des points de suspension pour viter de prciser le nombre de chiffres, mais chacun des nombres a[n] na quun nombre ni de dcimales non nulles. Supposons que la suite des nombres a[1],a[2],. . .,a[n],. . . est dcroissante, cest--dire que lon a a[n] a[n + 1] > 0 pour tout n . Les parties entires vrient donc e[1] e[2] e[n] ; puisque les e[n] sont des entiers naturels, la suite e[1],e[2],. . .,e[n],. . . nit par stationner une valeur e , cest-dire que pour tout entier n suprieur ou gal un certain rang N0 , on a e[n] = e . Pour n N0 , on a e[n + 1] = e[n] et a[n] a[n + 1] , donc les premires dcimales vrient

6 LES NOMBRES

c1 [n + 1] pour tout n N0 . En prenant la premire dcimale de chaque terme, on obtient aprs le rang N0 une suite dcroissante dentiers naturels : aprs un certain rang N1 , la suite des entiers c1 [n] est donc stationnaire une valeur c1 . Ainsi on a c1 [n] a[N0 ] = e , c1 [N0 ]c2 [N0 ] cp [N0 ] . . . . . . . . . . . . . . .

a[N1 ] = e, c1 c2 [N1 ] cp [N1 ] a[n] = e, c1 c2 [n] cp [n] autrement dit a[n] = e, c1 c2 [n] cp [n] pour tout n N1 . Pour n N1 , lingalit a[n] a[n + 1] implique de mme, pour les deuximes dcimales, que lon a c2 [n] c2 [n + 1] ; il y a donc un rang N2 aprs lequel les deuximes dcimales gardent la mme valeur c2 . Dune manire gnrale, pour tout entier naturel p , il existe un rang Np aprs lequel les p premires dcimales restent xes : pour tout n Np , on a a[n]= e,c1 c2 cp cp+1 [n] , o les chiffres c1 , c2 , . . . , cp ne dpendent plus de n pourvu que n Np . Pour tout entier p 1 , on dnit ainsi un chiffre cp et lon est conduit convenir que lcriture e, c1 c2 cp reprsente un nombre c , bien que cette criture puisse prsenter une innit de chiffres non nuls. Le nombre c nest pas dcimal en gnral, mais les nombres dcimaux a[n] approchent c de mieux en mieux : en effet, pour n Np , les deux nombres dcimaux a[n] et e, c1 c2 cp ont mmes p premires dcimales, donc lcart a[n] c est moindre que 10p ; puisque le nombre 10p peut tre rendu aussi petit quon veut en choisissant p assez grand, on dit que la suite des nombres a[n] a pour limite c , ce quon crit sous la forme

lim a[n] = cPar dnition, les nombres ainsi obtenus comme limite dune suite dcroissante de nombres dcimaux positifs sont les nombres rels positifs ou nuls. Un nombre rel possde en gnral une innit de dcimales non nulles : on dit que son criture dcimale est illimite.

Exemple. Posons a[1] = 2/10 et dnissons une suite en posant a[n + 1] = a[n]2

+ (1/10) pour tout n

1.

Le nombre a[1] est dcimal et comme la somme et le produit de deux dcimaux sont dcimaux, tous les nombres a[n] sont dcimaux. Montrons que la suite des a[n] est dcroissante, cest--dire que lon a a[n + 1] < a[n] pour tout entier n 1 . Nous raisonnons par rcurrence. Puisque a[2]=(2/10)2 +1/10= 0,14 , on a bien a[2] < a[1] . Supposons que n est un entier tel que a[n + 1] < a[n] . 2 2 Puisque les nombres a[n] sont tous positifs, il vient (a[n + 1]) < (a[n]) donc

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 7

a[n + 2] = (a[n + 1])2 + 1/10 < (a[n])2 + 1/10 = a[n + 1] . Daprs le principe de rcurrence, on en dduit que lingalit a[n + 1] < a[n] est vraie quel que soit lentier n 1 .La liste ci-contre donne les premires valeurs approches des nombres a(n) : la limite des a[n] est le nombre rel c dont les premires dcimales sont 0,112701665 On peut calculer algbriquement le nombre c : en effet, faisons tendre n 2 vers linni dans lgalit a[n +1]=(a[n]) +(1/10) ; puisque 2 2 a[n] tend vers c , (a[n]) tend vers c et comme a[n + 1] tend vers c , on obtienta[1] = a[2] = a[3] = a[4] = a[5] = a[6] = a[7] = a[8] = a[9] = a[10] = a[11] = a[12] = a[13] = a[14] = a[15] = a[16] = 0, 20, 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0, 1 1 9 6 0 0 0 0 0 0 0, 1 1 4 3 0 4 1 6 0 0 0, 1 1 3 0 6 5 4 4 0 9 0, 1 1 2 7 8 3 7 9 3 9 0, 1 1 2 7 2 0 1 8 4 1 0, 1 1 2 7 0 5 8 3 9 9 0, 1 1 2 7 0 2 6 0 6 3 0, 1 1 2 7 0 1 8 7 7 4 0, 1 1 2 7 0 1 7 1 3 1 0, 1 1 2 7 0 1 6 7 6 0 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 7 0 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 0 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 5 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 4

c = c2 + 1/10 ou encore c2 c + 1/10 = 0 . Lquation du second degr x2 x +1/10 a pour discriminant 1 (4/10)=3/5 et pour racines les nombres rels (1/2)(1+ 3/5) et (1/2)(1 3/5) .Puisquon a les ingalits

0 < c < 1/2 < (1/2)(1+ 3/5) ,on en dduit c = (1/2)(1 que

5 15 3/5)= . On peut montrer 10

15 nest pas un nombre dcimal, par suite le nombre c nest pas dcimal.

Proprits des nombres relsLensemble des nombres rels se note R . Rappelons que lon peut faire la somme, la diffrence et le produit de deux nombres rels ; on peut aussi diviser par un nombre rel non nul, ce qui a pour consquence la rgle : si a et b sont des nombres rels tels que ab = 0 , alors a = 0 ou b = 0 .

L'ordre sur les nombres rels. La comparaison entre deux nombres rels se dnit comme pour les nombres dcimaux : par exemple, si des nombres rels c = 0, c1 c2 ck1 ck et c = 0, c1 c2 ck1 ck ne diffrent qu partir de la k -ime dcimale, alors : c 0, alors on a : a < b si et seulement si ax < bx si x < 0, alors on a : a < b si et seulement si bx < ax pour des nombres a et b de mme signe, on a : a < b si et seulement si 1/b < 1/a.

2.5 Les nombres rationnelsOn appelle nombre rationnel le rsultat de la division dun nombre entier par un (autre) nombre entier non nul. Tout nombre dcimal est rationnel, mais le nombre rationnel 4/3 = 1,33 3 nest pas dcimal puisquil a une innit de dcimales non nulles. Lensemble des nombres rationnels se note Q . On a donc les inclusions densembles

N Z Q R.On a souvent besoin dapprocher un nombre rel positif par des nombres rationnels. Si lcriture dcimale dun nombre rel positif a est e, c1 c2 cn , alors en ne retenant que les k premires dcimales, on obtient des nombres dcimaux a[k ] = e, c1 c2 ck vriant a[k ] a < a[k ] + 10k : chaque nombre dcimal a[k ] approche a 10k prs. Posons uk = 10k (0, c1 c2 ck ) = c1 c2 ck . Le nombre uk est un entier et lon a a[k ] = e + 0, c1 c2 ck = en gnral une fraction dont le dnominateur est 10k .10k e + uk . Lapproximation dcimale 10k prs est donc 10k

Meilleure approximation d'un nombre rel par des rationnelsDcrivons, sans la justier, une mthode pour trouver des nombres rationnels petits dnominateurs qui approchent rapidement un nombre rel a > 0 . On suppose a non rationnel. Posons a0 = E (a) . Puisque a nest pas entier, le nombre a a0 nest pas nul et lon peut dnir un nombre x1 en posant a = a0 + 1 . Puisquon a 0 < a a0 < 1 , il vient

x1 > 1 . Le nombre x1 nest pas entier, sinon a serait rationnel comme somme dun entier et dun rationnel. En posant a1 = E (x1 ) , on a donc 0 < x1 a1 < 1 et lon peut dnir un nombre x2 > 1 tel que x1 = a1 + 1 . On continue ainsi, selon lalgorithme :x2

x1

a = a0 + 1 , o a0 = E (a) x1 x1 = a1 + 1 , o a1 = E (x1 ) x2 ... ... xn = an + 1 , o an = E (xn ) xn+1

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 9

Les deux premires lignes donnent a = a0 + 1 = a0 +

x1

1 et lon obtient ensuite a1 + 1 x2 1 a1 + a2 + 1 1 a3 + 1 x4

les expressions suivantes, appeles dveloppement de a en fractions continues :

a = a0 +

1 1 a1 + a2 + 1 x3

,

a = a0 +

Les nombres ai sont des entiers positifs et les xi sont des nombres rels plus grand que 1 . Tronquons ces expressions en posant

b0 = a0 ,

b1 = a0 + 1 a1

,

b2 = a0 +

1 a1 + 1 a2

,

Les nombres b0 , b1 , b2 , . . . sont rationnels, car la somme et le produit de deux rationnels est rationnel et linverse dun rationnel non nul est rationnel. On dmontre pn que la suite des nombres bn a pour limite a . Posons bn = , o pn et qn sont desqn

entiers. Ces fractions ont une proprit remarquable : parmi les fractions que q

qn , la fraction bn =

pn constituent la meilleure approximation du nombre a par des fractions. Ce qualicatif qn

pn est la plus proche de a . En ce sens, les rationnels qn

p telles q

exprime que lapproximation est bonne bien que le dnominateur soit petit.

Exemple 1. Pour le nombre , on a les galits : =3+ 1 , x1 x1 = 7 + 1 , x2 x2 = 15 + 1 , x3 1 , x3 = 1 + x4 b0 = 3 3,142 (les deux premires dcimales sont celles de ) b1 = 3+ 1 = 22 7 7 3,14150 (quatre dcimales exactes) b2 = 3+ 1 = 3+ 15 = 333 106 106 7+ 1 15 1 3,1415929 (six dcimales exactes). = 3+ 16 = 355 b3 = 3+ 113 113 7+ 1 15+ 1 1o x1 = 7,06251330593104576979300515255 o x2 = 15,9965944066857198889230604100 o x3 = 1,00341723101337260346414717001 o x4 = 292,634591014395472378544147738

do les meilleures approximations rationnelles de :

10 LES NOMBRES

Exemple 2. En acoustique, on appelle intervalle entre deux sons le rapport de leursfrquences : si des frquences f1 , f1 , f2 , f2 vrient f1 /f1 = f2 /f2 , alors entre les sons de frquences f1 et f1 , loreille peroit le mme intervalle quentre les sons de frquences f2 et f2 . Une note de musique de frquence f saccompagne dharmoniques de frquences 2f, 3f, . . . et les notes de frquences f et 2f sont perues comme les mmes, joues avec un cart dune octave. Lintervalle entre les frquences 2f et 3f sappelle une quinte. Pour crer une gamme, cest--dire pour dcouper les octaves en intervalles dont les multiples permettent sufsamment daccords avec les quintes, on est amen chercher de petits entiers naturels p et q tels que p quintes valent peu prs q octaves. Cette condition signie que (3/2)p est peu diffrent de 2q , ou encore que le rapport 2p+q /3p est proche de 1 . En prenant le logarithme, cela se traduit par :p+q (p + q ) ln 2 peu diffrent de p ln 3 , ou encore ln 3 peu diffrent de la fraction . p Cherchons donc les premires bonnes approximations rationnelles du nombre ln 3 . ln 2 ln 2

ln 3 = 1,58496250072115618145373894394 = 1 + (1/x ) 1 ln 2 x1 = 1,70951129135145477697619026217 = 1 + (1/x2 ) x2 = 1,40942083965320900458240433081 = 1 + (1/x3 ) x3 = 2,44247459618085927548717403238 = 2 + (1/x4 ) x4 = 2,26001675267082453593127612260 = 2 + (1/x5 ) x5 = 3,84590604154639953522819708395 = 3 + (1/x6 ) ,do les approximations suivantes de ln 3 :ln 2

o x6 > 1

b3 = 1 +

1 1+ 1 1+ 1 2

= 8 5

,

b4 = 1 + 1+

1 1 1+ 1 2+ 1 2

= 19 12

et

b5 = 65 . 41

Avec lapproximation 8 , on obtient une gamme o cinq quintes sont quivalentes 5

trois octaves. Si f0 est la frquence de base dune octave, on montre que les notes successives ont pour frquence f0 , f1 = 9 f0 , f2 = 4 f0 , f3 = 3 f0 , f4 = 16 f0 : il y a8 3 2 9

donc cinq notes par octave. Entre deux sons successifs, il ny a que deux intervalles possibles, car f1 /f0 = f3 /f2 = 2f0 /f4 = 9/8 et f2 /f1 = f4 /f3 = 32/27 ; ces notes correspondent peu prs aux touches noires du piano. Avec lapproximation 19 , on obtient une gamme chromatique, plus riche, o douze12

quintes valent sept octaves ; elle contient douze notes.

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 11

3. Les fonctions3.1 Notion gnrale de fonctionSoient E et F des ensembles. Une application ou une fonction de E dans F est une rgle qui permet dassocier chaque lment x E un lment parfaitement dtermin de F . Il est souvent utile de nommer la fonction : lorsquon a dni une fonction f de E dans F , on note f (x) llment de F associ x par la fonction et lon dit que f (x) est limage de x par la fonction f . La fonction elle-mme se note f : E F ou encore x f (x) ; lensemble E sappelle lensemble de dpart ou le domaine de dnition de f ; lensemble F est lensemble darrive de f .

galit de deux fonctions. Des fonctions f et g sont gales si et seulement si elles ont le mme ensemble de dpart, le mme ensemble darrive et si lon a f (x) = g (x) pour tout x appartenant lensemble de dpart. Fonction constante. Une fonction f : E F est constante si lon a f (x) = f (y ) pour tous lments x et y appartenant E ; il revient au mme de dire quil existe un lment b F tel que f (x) = b quel que soit x E . Exemples1) Supposons

que des variables relles u et v sont lies par la relation u2 + 4v 2 = 1 . Si lon calcule v en fonction de u , on obtient v la formule v = 1 1 u2 , valable pour les va1/2 f+ (u) 2 leurs de u telles que 1 u 1 . Cela permet de dnir deux fonctions exprimant v au moyen 1 u de u : la fonction f+ : [1, 1] R dnie par

f+ (u) = 1 1 u2 et la fonction f : [1, 1] R 2 dnie par f (u) = 1 1 u2 . Mais la relation2

f ( u )

u2 + 4v 2 = 1 ne dnit pas v comme fonction de u , car une valeur de u appartenant ]1, 1[ correspond deux valeurs opposes de v . 2) Notons P la pression, V le volume et T la temprature absolue dune massegazeuse donne. En premire approximation, le rapport P V constante k . Cette relation permet de dnir plusieurs fonctions. Si le volume

T

reste gal une

V reste constant, la pression est fonction de la temprature selon la loi T P (T ) dnie par P (T ) = (k/V )T . Les quantits P (T ) et T sont alors proportionnelles : on dit que la fonction P est linaire. ` temprature constante, la pression est fonction du volume : cela dnit une Afonction p : V kT . Les quantits p(V ) et V sont inversement proportionnelles.V La temprature est fonction la fois du volume et de la pression, ce qui d-

nit la fonction de deux variables T : (P, V ) P V ; les quantits P et Vk

12 LES FONCTIONS

sont des nombres rels positifs, donc la fonction T est dnie sur lensemble ]0, +[]0, +[ des couples de nombres rels positifs.

Dnition Soit f : E F une application. Si A est une partie de lensemble de dpart E , lensemble des lments de F de la forme f (x) , o x parcourt la partie A , sappelle limage de la partie A et se note f (A) . Limage de lensemble de dpart, cest--dire lensemble f (E ) de tous les lments de la forme f (x) , sappelle limage de f .Limage dune partie de lensemble de dpart est une partie de lensemble darrive. Il ne faut pas confondre limage dun lment limage dune partie

x : cest llment f (x) appartenant lensemble darrive, A : cest une partie de lensemble darrive.

Exemples Si

f : R R est la fonction x x2 , alors f [2, 3[ = [4, 9[ , f [2, 3] = [0, 9] et 0 , on a f [a, +[ = [0, +[ (gure 1). Limage de f est

pour tout nombre a lintervalle [0, +[ .

Limage de la fonction sinus est le segment

[1, 1] . Puisque sinus a pour priode 2 , on obtient toute limage en prenant seulement les valeurs sin x quand x parcourt un intervalle de longueur 2 : pour tout nombre rel a , on a donc sin [a, a+2 [ = [1, 1] .

La gure 2 montre le graphe de la fonction

u : R R qui x associe x3 3x : limage par u de [1, 1] est [2, 2] et limage de lapplication u est R .

Dnissons une fonction

g : R2 R2 en posant g (x, y ) = (x2 + 1, ey ) . Les nombres de la forme x2 + 1 sont tous les nombres suprieurs ou gaux 1 ; les nombres qui peuvent scrire ey sont les nombres strictement positifs : limage de g est donc la partie [1, +[]0, +[ de R2 (gure 3).9 2

y

f4 1 1 2gure 2

g ( R2 ) x xgure 3

3 2

1gure 1

2

3

x

1

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 13

Compose de deux fonctions. Soit f : E F une fonction et soit g : F G une fonction dnie sur lensemble F darrive de f . Pour tout x E , on a f (x) F , donc g f (x) est un lment bien dni de lensemble G . Lassociation x g f (x) est donc une fonction de E dans G . DnitionLa fonction de E dans G qui tout x E associe llment g f (x) sappelle la compose des fonctions f et g et se note g f : E G . Si lon a encore une fonction h : G H , les composes

h (g f ) : E

g f

/G

h

/H

et

(h g ) f : E

f

/F

hg

/H

sont des fonctions de E dans H . Comme on a lgalit (h g ) f (x) = h (g f )(x) pour tout x , les fonctions (h g ) f et h (g f ) sont gales et lon omet les parenthses en crivant simplement h g f cette compose.

Exemples1) Supposons

quune quantit w dpende du temps et de la distance un point O . Choisissons un repre orthonorm (O; i, j, k ) dorigine O . Cela dnit une fonction w : (x,y,z,t) w(x,y,z,t) , o t est la variable temps et x,y,z les coordonnes spatiales. Comme w ne dpend que de t et de la distance r(x, y, z ) = x2 + y 2 + z 2 au point O , posons f (r, t) = w(x, y, z, t) : la fonction f na que deux variables et w est la compose w = f g , avec g (x, y, z, t) = ( x2 + y 2 + z 2 , t) :

R3 R (x, y, z, t) (2) Posons

g

RR x2 + y 2 + z 2 , t)

RR R (r, t) f (r, t)

f

f (x,y ) =

dnit une fonction f : E R , o E = ]0, +[]0, +[ . En divisant numrateur et dnominateur par y 2 , il vient f (x, y ) =x/y (x/y )2 + 1

xy , o x et y sont des nombres rels strictement positifs : cela x2 + y 2

=

t , o t = x/y . Ainsi t2 + 1

les valeurs f (x, y ) ne dpendent que du rapport x/y . Si lon dnit la fonction u : ]0, +[ R en posant u(t) = 2 t , alors on a f (x, y ) = u(x/y ) , autrement dit f est la compose f = u g , o g : E ]0, +[ est dnie par g (x, y ) = x/y . Quand les valeurs (x,y ) dune fonction ne dpendent que du rapport x/y (comme cest le cas pour f ), on dit que la fonction est homogne. 3) Dnissons des fonctions de R dans R en posant f (x) = x2 et g (x) = x + 1 : on a g f (x) = x2 + 1 et f g (x) = (x + 1)2 , donc f g = g f . Dans le cas o les composes f g et g f sont toutes les deux dnies, on voit quen gnral, lordre de composition compte. Rappelons les dnitions relatives aux fonctions monotones.t +1

14 LES FONCTIONS

Dnitions Soit f une fonction valeurs relles dnie sur une partie de lensemble R .

f est croissante si, pour tous nombres x et y appartenant lensemble de dpart et vriant x y , on a f (x) f (y ) ; f strictement croissante si, pour tous nombres x et y appartenant lensemble de dpart et vriant x < y , on a f (x) < f (y ) .sante.

On dnit de mme une fonction dcroissante et une fonction strictement dcrois-

La compose de deux fonctions croissantes est croissante, de mme que la compose de deux fonctions dcroissantes. Si lon compose une fonction croissante et une fonction dcroissante, on obtient une fonction dcroissante.

3.2 Transformation et itrationUne fonction f : E E sappelle une transformation de E . Si f est une transformation de E , alors pour tout lment x0 de E , llment x1 = f (x0 ) appartient encore E et lon peut dnir les lments x2 = f (x1 ) , x3 = f (x2 ) , etc. On forme ainsi les itrs x1 , x2 , . . . , xn , . . . de x0 par la transformation f : ils sont dnis de proche en proche par la relation pour tout entier n

0 , xn+1 = f (xn ) .

La transformation x0 xn est ralise par la fonction compose f f f , que lon note f n : E E . n fois

Dnition Si f : E E est une transformation, un lment x E tel que f (x) = x sappelle un point xe de f .Si x est un point xe de f , tous les itrs de x sont gaux x .

Exemple 1. Reprenons les nombres an dnis (exemple page 7) par les relations a0 = 2/10 et an+1 = a2 0 . En posant f (x) = x2 + (1/10) , n + (1/10) pour tout entier n on obtient une fonction f : ]0, +[ ]0, +[ et les nombres an sont les itrs par f du nombre 2/10 . Les points xes de f sont par dnition les nombres positifs solutions de lquation x2 + (1/10) = x . Puisque les solutions (1/2)(1+ 3/5) et (1/2)(1 3/5) sont a1x = y

des nombres positifs, ce sont les deux points xes de f . Dans lexemple, nous avions observ que les itrs de a0 tendent vers lun des points xes de f . La gure ci-contre montre la courbe dquation y = f (x)

a2 1/10 a3 a2 a1 a0

y

=

f(

x)

x

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 15

et la droite dquation y = x sur lintervalle [0, 2/10] . On y a construit une ligne brise forme de segments alternativement horizontaux et verticaux, de la manire suivante : le segment vertical le plus droite est labscisse

a0 = 2/10 , donc coupe le graphe

de f au point dordonne f (a0 ) = a1 ; le segment horizontal qui suit est lordonne le segment vertical dabscisse

a1 , valeur quon reporte sur laxe des abscisses en passant par la bissectrice y = x : on a visiblement a1 < a0 ;

a1 coupe le graphe de f au point dordonne f (a1 ) = a2 ; reportons cette valeur a2 sur laxe des abscisses comme on la fait pour a1 : on observe que a2 < a1 .

Cette construction permet de visualiser sur laxe des x lvolution des itrs de a0 : la suite des nombres an est dcroissante et sa limite est labscisse du point dintersection de la courbe et de la bissectrice y = x . On a bien lgalit = f ( ) qui traduit que est un point xe de f . Le seul point xe de f infrieur a0 est (1/2)(1 3/5) , par consquent = (1/2)(1 3/5) .

Exemple 2. Soient a et b des nombres rels et soit f : R R la fonction dnie par f (x) = ax + b . Si a = 1 et b = 0 , on a f (x) = x pour tout x , donc tous les nombres rels sont des points xes de f . Si a = 1 et b = 0 , on a f (x) = x + b donc il ny a aucun point xe. Supposons a = 1 . Un nombre x est point xe de f si et seulement si ax + b = x , ce qui quivaut (1 a)x = b . Lunique point xe est donc = b/(1 a) . On a f (x) f ( ) = ax + b (a + b) = a(x ) et puisque f ( ) = , il vient f (x) = a(x ) pour tout x .Donnons-nous un nombre rel x0 et exprimons les itrs x1 = ax0 + b , x2 = ax1 + b , . . . , xn = axn1 + b de x0 . On a x1 = a(x0 ) , x2 = a(x1 )= a2 (x0 ) et en gnral

xn = an (x0 ) pour tout entier nformule qui scrit encore

1,

xn = an x0 + (1 an ) = an x0 + b

1 an . 1a

Exemple 3. Dans des conditions stables, deux espces A et B de bactries vivent en symbiose des concentrations moyennes a et b . On dplace lquilibre en augmentant de 18% la concentration de A et de 12% celle de B, puis on mesure chaque jour lcart la moyenne des concentrations de chaque espce. Au bout de n jours, lcart pour la bactrie A, en pourcentage de a , vaut xn et pour la bactrie B, il vaut yn . Aprs modlisation, on est conduit la loi dvolution suivante : xn+1 = (1/5)(3xn 6yn ) yn+1 = (1/5)(2xn + 3yn )avec x0 = 0,18 et y0 = 0,12 daprs nos conditions initiales.

16 LES FONCTIONS

Les couples (xn , yn ) sont les itrs de (x0 , y0 ) par la fonction f : R2 R2 dnie par

f (x, y ) = (X, Y ) ,

o X = 1 (3x 6y ) et Y = 1 (2x + 3y ) .

5

5

On vrie facilement que le seul point xe y de f est (0, 0) : cela veut dire que les conf M1 R2 M0 centrations de A et B ne peuvent rester en y0 f quilibre que pour les valeurs a et b . 0,1 Le graphique ci-contre montre les points M2 M0 =(x0 ,y0 ),M1 =(x1 ,y1 ),. . .,M30 =(x30 ,y30 ) : ils se situent sur une courbe en spirale qui f x entoure lorigine et sen rapproche, xn et yn x 0 0,1 pouvant prendre des valeurs positives ou M3 ngatives. Observons la distance lorigine dun point Mn : elle nest pas dcroissante f mais semble cependant tendre vers 0 , ce qui indique que Mn tend vers lorigine quand M5 f M4 n tend vers linni. Pour mesurer lloignement lorigine dun point (x, y ) , nous allons utiliser une fonction (x, y ) = x2 + ey 2 , o e > 0 . Si d est un nombre positif, les points (x, y ) tels que (x, y ) = d , cest--dire la courbe dquation x2 + ey 2 = d , est une ellipse centre lorigine (exemple 1 page 22). Les points (x, y ) tels que (x, y ) d sont lintrieur de lellipse et plus d est petit, plus ces points sont proches de lorigine : (x, y ) peut donc servir mesurer lloignement lorigine. Remarquons que si lon choisit e = 1 , (x, y ) est le carr de la distance lorigine et les ellipses sont des cercles. Comparons les nombres (X, Y ) et (x, y ) .

(X, Y ) (x, y ) = X 2 +eY 2 x2 ey 2 = 1 (3x6y )2 + e(2x+3y )2 25x2 25ey 2 25 = 1 4(e 4)x2 + 12(3 + e)xy + 4(9 4e)y 2 . 25 Choisissons e = 3 . Il vient (X, Y ) (x, y ) = 1 4x2 12y 2 = 4 (x2 + 3y 2 ) = 4 (x, y ) , 25 25 25do (X, Y ) = 21 (x, y ) = 0,84 (x, y ) et nalement25

(xn+1 , yn+1 ) = (0,84) (xn , yn ) pour tout n .La suite des nombres (xn , yn ) est gomtrique, de premier terme (x0 , y0 ) = (0,18 , 0,12) = 0,0756 et de raison 0,84 , de sorte que

(xn , yn ) = (0,84)n (x0 , y0 )

pour tout n .

Puisque le nombre 0,84 est strictement infrieur 1 , les puissances (0,84)n tendent vers 0 et (xn , yn ) aussi. Remarquons que lon a |x| x2 + 3y 2 et |y | x2 + 3y 2 , (xn , yn ) et |yn | (xn , yn ) . Il sensuit que les nombres xn et yn donc |xn | tendent vers 0 .

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 17

Les concentrations des bactries A et B reviennent donc vers les valeurs dquilibre a et b en uctuant autour de cet quilibre. On peut estimer la vitesse de retour vers lquilibre en cherchant n pour que |xn | et |yn | soient, par exemple, infrieurs 102 : il suft pour cela que lon ait (xn , yn ) 104 , ou encore (0,84)n 0,0756 104 . En prenant le logarithme, cette ingalit devient n ln(0,84) + ln(0,0756) 4 ln(10) cest--dire n4 ln(10) + ln(0,0756) = 38,01 , do n ln(0,84)

39 .

Exemple 4. Dans un secteur de production, on diminue chaque anne de 20%la pollution produite, mais paralllement le cot nergtique prsente une variation relative 0,25 0,6/r , o r est le rapport cot sur pollution, mesur laide dunits convenables. une certaine date, on mesure une pollution annuelle p0 et un cot correspondant c0 . Comment volueront la pollution produite et le cot en nergie ? Notons pn la pollution produite pendant la n -ime anne et cn le cot nergtique. Le tauxcn+1 cn est gal 0,25 0,6/rn . cn pn+1 pn est gal 0,2 . Si lon note rn le rapport cn /pn , alors le taux pn

Exprimons le couple (pn+1 , cn+1 ) au moyen de (pn , cn ) . Lgalit conduit pn+1 = 0,8pn et puisquon a

1,25cn 0,6pn . On a donc le systme dgalits

cn+1 cn = 0,25 0,6(pn /cn ) , il vient cn+1 = cn

pn+1 pn = 0,2 pn

pn+1 = 0,8pn cn+1 = 1,25cn 0,6pnSi lon dnit la fonction f : R2 R2 en posant f (p,c)=(0,8p , 1,25c 0,6p) , ces galits expriment que les couples (pn , cn ) sont les itrs du couple (p0 , c0 ) par la fonction f . Daprs la premire galit, pn suit une progression gomtrique : on a donc

(1)

pn = (0,8)n p0 . cn+1 1,25cn 0,6pn 12,5 0,6 rn = 25 rn 3 . = = pn+1 0,8pn 0,8pn 8 0,8 16 4

En divisant membre membre les galits du systme, il vient

rn+1 =

Les nombres rn sobtiennent en itrant la fonction r (25/16)r (3/4) ; comme dans lexemple 2, on a donc

rn = (25/16)n r0 (3/4)

(25/16)n 1 = (25/16)n r0 (4/3) (25/16)n 1 . 9/16

Multiplions par pn =(0,8)n p0 en remarquant que lon a 0,8 (25/16)=0,05 25=1,25 :

(2)

cn = (1,25)n c0 (4/3) (1,25)n (0,8)n p0 .

Sur la gure ci-aprs, nous avons reprsent les points de coordonnes (pn , cn ) pour les premires valeurs de n , avec diffrentes donnes initiales p0 et c0 .

18 LES FONCTIONS

Pour calculer lquation de la courbe o se trouvent les points (pn , cn ) , liminons n entre les expressions donnes en (1) et (2) . On a (0,8)n =

c

pn /p0 et comme 1,25 0,8 = 1 , il vient (1,25)n = p0 /pn . Do p p p p cn = 0 c0 4 0 n p0 = 0 c0 4 p0 + 4 pn pn 3 pn p0 pn 3 3 (3cn 4pn )pn = (3c0 4p0 )p0 .Ainsi la quantit (3cn 4pn )pn reste constante au cours de litration, autrement dit les points

240

180

p0

p

(pn ,cn ) sont sur la courbe dquation (3c 4p)p = k , o k = (3c0 4p0 )p0 . En prenant p comme variable, il vient c(p) = (1/3)(4p + k/p) , la fonction c tant dnie sur ]0, +[ . La drive est c (p) = (1/3)(4 k/p2 ) .Premier cas : 3c0 > 4p0 . On a alors k > 0 , la drive sannule si 4p2 = k , cest--dire

si p =

k/2 , do le tableau de variations : p c(p) 0

k/2

+

Puisque la pollution diminue chaque anne, la courbe est parcourue dans le sens des abscisses dcroissantes et la pollution tend vers 0 . En supposant p0 >

k/2 ,

cest--dire 4p0 > 3c0 /2 , le cot commence par diminuer jusqu la valeur minimum c( k/2) , puis augmente et tend vers linni. Si n est lentier tel que

pn+1

k/2 < pn , le cot minimum est obtenu la (n+1) -ime anne.

Deuxime cas : 3c0 < 4p0 . La constante k est ngative, la drive c (p) est stricte-

ment positive et la fonction p c(p) est strictement croissante. Quand p tend vers

0 , c(p) tend vers et quand p tend vers + , c(p) tend vers + . Puisque lacourbe est parcourue dans le sens des abscisses dcroissantes, on atteint ainsi un point o c = 0 , ce qui est irraliste car le cot nergtique est une quantit positive.Troisime cas : 3c0 = 4p0 . Les valeurs de c0 et de p0 tant le rsultat de mesures,

lgalit 3c0 = 4p0 nest srement pas ralise exactement : il sagit dun cas limite. Dun point de vue mathmatique, on a alors c(p) = (4/3)p : la courbe est la demi-droite de pente 4/3 passant par lorigine. Le rapport cn /pn reste gal 4/3 et les points de coordonnes (pn ,cn ) tendent vers lorigine quand n tend vers + .

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 19

3.3 Notion d'antcdent, application bijectiveDnition Soit f : E F une application. Si b est un lment de F , alors tout lment x E tel que f (x) = b sappelle un antcdent de b par lapplication f . b est un lment de lensemble darrive, rsoudre lquation f (x) = b , cest chercher tous les antcdents de b . Pour quun lment b F ait au moins un antcdent par f , il faut et il suft que b appartienne limage de f . Si

Exemplesla fonction valeur absolue x |x| . Si b est un nombre rel strictement positif, alors lquation |x| = b possde deux solutions b et b , donc b a deux antcdents. Un nombre strictement ngatif na pas dantcdent. Le nombre 0 a pour seul antcdent 0 . 2) Donnons-nous un nombre rel b et tudions lquation sin x = b . Si |b| > 1 , cette quation na pas de solution, car pour tout nombre rel x , on a 1 sin x 1 ; un nombre de valeur absolue strictement suprieure 1 na donc pas dantcdent par la fonction sinus. Supposons |b| 1 ; alors il existe un (unique) nombre a [/2, /2] tel que sin a = b . On a les quivalences1) Considrons

sin x = b sin x = sin a (x = a + 2k ou x = a + 2k ), o k Z .Tout nombre b [1, 1] a donc une innit dantcdents par la fonction sinus. tout nombre rel b [1, 1] , lquation sin x = b possde une seule solution dans lintervalle [/2, /2] . Si lon dnit la fonction s : [/2, /2] [1, 1] en posant s(x) = sin x , alors tout lment de lintervalle [1, 1] possde un unique antcdent par s . 4) Un exemple arithmtique. Si b est un entier donn, quelles sont les faons de lcrire sous la forme 5x + 7y avec x et y des entiers relatifs ? Dnissons la fonction g : Z Z Z en posant g (x,y )=5x +7y . Pour tout entier b Z , on a g (3b, 2b)=5 3b +7 (2b)= b , donc le couple (3b, 2b) est un antcdent de b . Cherchons les autres antcdents de b . Ce sont les couples (x,y ) dentiers vriant3) Pour

5x + 7y = b 5x + 7y = 5(3b) + 7(2b) 5(x 3b) = 7(y + 2b) .Lentier 5(x 3b) est multiple de 7 (car y + 2b est entier). Puisque 7 et 5 sont premiers entre eux, on en dduit que lentier x 3b est multiple de 7 . On a donc x 3b = 7k , o k Z . Il vient 5(x 3b) = 5 7k = 7(y 2b) , do 5k = y 2b . Finalement, les antcdents de b sont les couples (3b + 7k, 2b 5k ) , o k est un entier relatif quelconque. Ce sont les couples (x, y ) dentiers tels que b = 5x + 7y . Pour une fonction dnie sur une partie de R et valeurs relles, ltude du sens de variation renseigne sur le nombre dantcdents dun lment.

20 LES FONCTIONS

Proposition. Soit f : I R une fonction, o I est une partie. Si f est strictement monotone, alors tout nombre rel a au plus un antcdent par f .Dmonstration. Supposons par exemple que f est strictement croissante sur I . Soit b un nombre rel. Faisons lhypothse que b a un antcdent aI . Soit x un lment de I tel que xa , alors f (x) >f (a)= b et x nest pas un antcdent de b . Le seul antcdent de b est donc a . Tout nombre rel a donc zro ou un antcdent par f .

Partition dnie par une applicationSoit f : E F une application. Pour tout lment b F , notons A(b) lensemble des antcdents de b par f : on a donc

A(b) = {x E | f (x) = b} .Voici des proprits gnrales de ces parties A(b) de E . a) La runion de toutes les parties A(b) est lensemble E .En effet, si a est un lment quelconque de E , alors a est un antcdent de llment b = f (a) , donc a appartient A(b) .b) Si

b et b sont deux lments diffrents appartenant F , alors lintersection A(b) A(b ) ne contient aucun lment.Supposons en effet que b et b sont des lments de F et quil existe au moins un lment x A(b) A(b ) ; puisque x A(b) , on a f (x) = b et puisque x A(b ) , on a de mme f (x) = b ; on en dduit b = b . Par consquent, si b = b , il ny a aucun lment dans lintersection A(b) A(b ) .

Certaines parties A(b) peuvent ne contenir aucun lment ; si lon supprime ces parties vides, on obtient une partition de lensemble E , cest--dire par dnition, des parties non vides, deux deux disjointes et dont la runion est lensemble E .

DnitionSupposons que f est une application valeurs relles dnie sur une partie de R2 ou de R3 . Pour tout nombre rel k , lensemble A(k ) sappelle la ligne ou la surface de niveau k de lapplication f .Sur la carte topographique dune rgion montagneuse, les lignes de niveau joignent les points qui sont la mme altitude : par exemple, proximit dun col, les lignes de niveau ont lallure typique reprgure 1 gure 2 gure 3 gure 4 sente gure 4 ; les gures 1, 2 et 3 montrent les coupes de terrain correspondantes. Sur une carte marine, les lignes de sonde sont les lignes de niveau pour la fonction profondeur.

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 21

Exemple 1. Pour tout (x, y ) R2 , posons f (x, y ) = x2 + 4y 2 . Pour cette fonction, la ligne de niveau k a pour quation x2 + 4y 2 = k . Si k < 0 , A(k ) est lensemble vide. Lensemble A(0) est rduit au point (0, 0) . Supposons k = r2 , o r > 0 , et notons C le cercle de centre (0, 0) et de rayon r . On a les quivalences (x,y )A(k )x2 +(2y )2 = r2 (x, 2y ) C . Notons M le point de coordonnes (x,y ) , M le point de coordonnes (x, 2y ) et m le point de coordonnes (x, 0) . Comme M est le milieu de mM , on en dduit une construction de la courbe A(k ) : faire parcourir M le cercle C et prendre les milieux des segments mM , o m est le projet de M sur laxe des abscisses. La courbe A(k ) est une ellipse de centre O et daxes Ox, Oy ; on dit que C est son cercle directeur. Pour des valeurs diffrentes de k , ces ellipses sont disjointes et quand k parcourt [0, +[ , la runion des A(k ) est le plan tout entier.

yr

Cr/2

M M

0

m

x

construction de l'ellipse

x2 + 4 y 2 = r 2

y

xdes lignes de niveau de

f

Exemple 2. La fonction f : R2 R dnie par f (x, y ) = x2 4y 2 a pour ligne de niveau k la courbe dquation x2 4y 2 = k . Si k = 0 , on obtient la runion des deux droites dquation x + 2y = 0 et x 2y = 0 , car x2 4y 2 = (x + 2y )(x 2y ) . Supposons k = 0 et choisissons un repre centr lorigine O dont les axes OX et OY sont ports par les droites dquation x + 2y = 0 et x 2y = 0 . Lquation de la ligne de niveau dans ce repre devient XY = c , o c est une constante qui dpend de k et de lunit de longueur sur les axes : la courbe est donc une hyperbole dasymptotes les axes OX et OY ; les branches sont situes dans des quarts de plans opposs qui dpendent du signe de k .x+ x+ 2y =

y2y =0O

Y

Y0

= 2y x

0

O

x X

x X

k0

Application bijectiveDnitionOn dit quune application f : E F est bijective, ou que f est une bijection, si tout lment de F possde exactement un antcdent. Pour tout y F , lunique antcdent de y se note f 1 (y ) .

22 LES FONCTIONS

Les deux proprits caractristiques dune bijection f : E F sont donc :

x et x sont des lments de E tels que f (x) = f (x ) , alors x = x ; ii) tout lment de F scrit f (x) pour un certain lment x E .Supposons que lapplication f : E F est bijective. tout lment y F , associons lunique antcdent de y : on dnit ainsi une application de F vers E note f 1 : F E .

i) si

Dnition Si f : E F est une bijection, lapplication de F vers E qui tout y F associe f 1 (y ) sappelle la bijection rciproque de f et se note f 1 : F E .Si f est une bijection, alors par dnition, pour tout y F , on a f f 1 (y ) = y , et puisque tout lment x E est antcdent de f (x) , on a pour tout x E , f 1 f (x) = x . On en dduit que si f est une bijection, alors lapplication f 1 est bijective et la bijection rciproque de f 1 est f .

Dnition Si E est un ensemble, lapplication identit de E est la transformation de E qui tout x E associe x lui-mme. On note idE lapplication identit de E .Par dnition, si lon compose une bijection f et sa bijection rciproque, on obtient lidentit ; prcisment, si f : E F est une bijection, alors on a

f 1 f = idE : E Exemples

f

/F

f 1

/ E et f f 1 = idF : F

f 1

/E

f

/F

fonction sinus dnit une bijection [/2,/2] [1, 1] (exemples (2) et (3) page y [1, 1] , il existe un unique nombre x [0, ] tel que cos x = y . La fonction cosinus dnit donc une bijection [0, ] [1, 1] . 2) La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives et dnit une bijection exp : R ]0, +[ . La bijection rciproque est par dnition la fonction logarithme ln :]0, +[ R , de sorte que lon a ln = exp1 et exp = ln1 . 3) Soient p un nombre rel et la fonction y y y f : R R dnie par f (x)= x3 + px . La p= 0 p 0 . Quand t tend vers , les deux coordonnes xt et yt tendent vers 0 , car lim eta = lim teta = 0 : cela veut dire que le point (xt , yt ) tend vers lorigine quand t tend vers . Quand t tend vers + , les valeurs absolues des coordonnes xt et yt tendent vers linni. Sur la gure ci-contre, nous avons reprsent quelques-unes de ces courbes ; la che indique le sens de parcours quand t augmente. Si lon y suppose que t est le temps, le point M = (xt , yt ) de la courbe a pour vitesse linstant t le vecteur dM =dx , dy dt dt dt d [peta ], d (q + pt)eta dt dtt t

=

. Il vient donc

dx , dy dt dt

x

= apeta , aeta (q + pt) + peta = (ax, ay + x)

Ainsi le mouvement de M est rgi par le systme dquations diffrentielles

x = ax , o x et y y = ay + x

dsignent comme dhabitude la drive par rapport au temps. Remarquons que le vecteur vitesse du point M ne dpend que des coordonnes de M . Les quations diffrentielles de ce type seront traites au chapitre 16.

Exercices@1. Un exemple de suite priodique. Pour tout entier

n

1 , notons rn le reste de la division

euclidienne de 2a) Calculer

n

par 15 .

r1 , r2 , r3 et r4 , puis montrer que lon a rn+4 = rn pour tout n .

@

rn , quel que soit lentier n 1 . 2. Meilleure approximation de 2 par des fractions a) Montrer que la partie entire de 2 est gale 1 . 1 1 b) Montrer que lon a 2=1+ et 1 + 2 = 2 + .1+ 2 1+ 2c) En dduire les quatre premires fractions de la meilleure approximation de

b) En dduire la valeur de

2.

30 EXERCICES

d) On dispose de deux pendules simples, constitus chacun dune masse

suspendue lextrmit dun l non pesant ; pour de petites oscillations, la priode est proportionnelle la racine carre de la longueur du l. La longueur de lun des pendules est double de lautre. En position de dpart, les pendules sont carts de leur position dquilibre dun mme petit angle, puis on les lche au mme instant. (i) Montrer que les pendules ne reviendront jamais exactement dans la conguration de dpart. (ii) On observe quaprs sept oscillations compltes du petit pendule, les deux pendules sont presque dans la position de dpart. Expliquer pourquoi. (ii) Ces retours simultans presque la position de dpart se reproduisent avec une prcision croissante aprs n1 , n2 , n3 , . . . oscillations compltes du petit pendule. Calculer les entiers n1 , n2 et n3 .

@

3. Itration afne. Soient

a et b des nombres rels et soit f : R R la fonction dnie par f (x) = ax + b . Donnons-nous un nombre x0 et notons xn les itrs de x0 par f : ils sont dnis par la relation xn+1 = f (xn ) , pour tout entier n 0 . |a| < 1 , la suite (xn ) a pour limite le point xe de f . b) On suppose x0 = et |a| > 1 . Montrer que le rapport xn /an tend vers x0 quand n tend vers linni. En dduire que |xn | tend vers + .a) Montrer que si

4. On place un capital

c un taux dintrt i ; le montant de la prime verse annuellement est b . Posons r = 1 + i et notons cn la somme disponible aprs n annes. Montrer que lon a cn+1 = rcn + b . En dduire que cn = crn + (b/i)(rn 1) .

@

5. Un modle d'offre et de demande. Dans certains secteurs conomiques (comme lagri-

culture), le prix p des biens pendant une priode est fonction de la quantit q de biens consomms et la production Q pendant cette priode est fonction du prix p pratiqu pendant la priode prcdente. Supposons quen utilisant des units convenables, ces fonctions sont assez bien reprsentes par les formules p = 80 (1/2)q et Q = (1/3)p + 20 (remarquer que p est fonction dcroissante de q et que Q est fonction croissante de p ). Supposons aussi que lquilibre q = Q est ralis. Notons pn et qn le prix et la consommation pendant la n -ime priode.

pn+1 = 70 (1/6)pn . En dduire lgalit pn = (20 q0 /2)(1/6)n + 60 . Vers quelle limite tendent les prix ? b) On suppose q0 = 20 . Pour visualiser lvolution des prix, dessiner, dans un repre du plan, les points de coordonnes (n, pn ) , pour 0 n 6 . Observer que laa) Montrer quon a la relation

uctuation samortit.6. Soient b) Si

p un nombre rel et f : R R la fonction dnie par f (x) = x3 px , o p > 0 . f et dessiner le graphe.

a) tudier les variations de

b est un nombre rel, dterminer le nombre dantcdents de b par f (discuter selon les valeurs b et de p ).

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 31

@

7. a) Montrer que les fonctions

t t sin t et t t cos t sont des bijections strictement croissantes de R dans R (utiliser la drive).

b) Supposons que deux quantits relles

x et y sont relies par la relation x + y = sin x + cos y . Montrer que y est fonction strictement dcroissante de x . En dduire que lquation 2x = sin x + cos x a au plus une solution. 2x = sin x + cos x a exactement une solution, comprise entre /6 et /4 (tudier la fonction 2xsinxcosx sur lensemble R : elle est croissante).

c) Montrer que lquation

@

8. Des lignes de niveau sonore. Sur un terrain plan, on pose des amplicateurs

a1 et a2 en des points A1 et A2 distants de 20 m. Pour chacun de ces amplicateurs,

lintensit sonore reue en un point est inversement proportionnelle au carr de la distance lamplicateur. Quelle est la courbe forme des points o lintensit reue de a1 est k fois lintensit reue de a2 , k tant un nombre positif donn ? Comment volue cette courbe lorsque k devient grand ?Choisir un repre orthonorm dorigine le milieu de (A1 , A2 ) , avec laxe des x port par la droite A1 A2 . Si k = 1 , lquation trouve est de la forme x2 + y 2 2ux + v = 0 et la courbe est un cercle centr en un point de la droite A1 A2 ; si k = 1 , la solution est la mdiatrice de (A1 , A2 ) .9. Pour chacune des fonctions a)

f : R2 R suivantes, reprsenter sur un mme dessin

les lignes de niveau indiques :b) f (x, y ) = |x|+|y |, niveaux 0, 1 et 2 f (x, y ) = x2 y 2 , niveaux 0, 1 et 4 2 c) f (x, y ) = |y 1|+x, niveaux 1, 0, 1 d) f (x, y ) = |y 1|+x , niveaux 0, 1, 2

@ 10. Utilisation d'un changement de rfrentielPour tout x

0 , posons u(x) =

2 x et f (x) = x . 1+x 1 + 2x

a) Montrer que la fonction b) Montrer que c) Soit

u est une bijection de [0, +[ sur [0, 1[ .

f est une transformation de lintervalle [0, +[ .

g : [0, 1[ [0, 1[ la fonction transporte de f par le changement de rfrentiel u . Montrer que lon a g (x ) = x 2 pour tout x [0, 1[ .des itrs par f dun nombre x0

d) Quelle est la limite des itrs par e) Montrer que

g dun nombre x0 [0, 1[ ? Quelle est la limite 0?

f est une transformation bijective de lintervalle [0, +[ . Quelle est la limite des itrs de x0 par f 1 ?

11. Effet zoom . On a fait dessiner, par un ordinateur, le graphe dune fonction

f sur lintervalle [a, a] (o a > 0 ). Cette fonction est telle que f (0) = 0 . On veut faire subir au dessin un effet zoom dun facteur k > 1 en centrant lopration sur lorigine. Cela revient changer de rfrentiel au moyen de la bijection x kx . Quelle fonction doit-on demander lordinateur de dessiner pour obtenir le rsultat ?

32 EXERCICES

12. Reprenons lexemple 4 page 29 dans le cas

a = 1 . tant donn un point (x0 , y0 ) , nous avons dessin (pour a = 1 ) la courbe C dcrite par les points de coordonnes xt = et x0 , yt = et (y0 + tx0 ) quand t varie. On se propose, dans cet exercice, de justier lallure de la courbe. Pour simplier, supposons x0 = 1 .a) Montrer quun point

(x, y ) est sur la courbe C si et seulement si lon a x > 0 et

y = y0 x + x ln x .b) tudier la fonction

x y0 x + x ln x . Reprsenter sur un mme dessin le graphe de cette fonction pour les valeurs y0 = 0 , y0 = 1 , y0 = 1 .

gomtriques. Soit P @ 13. Un groupe de transformations

le plan euclidien muni dun repre orthonorm (O; i, j ) . On note t la translation de vecteur i et s la symtrie par rapport laxe des ordonnes. Si a R , notons Da la droite parallle laxe des ordonnes et passant par le point (a, 0) .

a) Pour tout point

M de coordonnes (x, y ) , calculer les coordonnes des points t(M ) et s(M ) . b) Montrer que s s est lidentit, que t s est la symtrie par rapport la droite D1/2 et que t2 s est la symtrie par rapport la droite D1 . s t = t1 s . d) En dduire les relations s tp = tp s pour tout entier p Z et (s tp ) (s tq ) = tqp pour tous entiers p et q . e) En dduire que lensemble T = {tp | p Z} {s tp | p Z} est un groupe de transformations du plan. Vrier que T contient les symtries par rapport aux droites Dp et Dp/2 , quel que soit lentier p Z .c) Montrer que lon a

s t

1

D1/2 1

2

le groupe

T gnre une frise

Chapitre 1 ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS 33

Chapitre 2

Nombres complexes et polynmes1. Les nombres complexesAjoutons lensemble des nombres rels un symbole i et tendons cet ensemble les oprations somme et produit : on forme ainsi les expressions r0 + r1 i +r2 i 2 + + rp i p , o les coefcients rk sont des nombres rels. La somme et le produit de deux telles expressions est de la mme forme. Convenons que le symbole i vrie la relation i 2 = 1 . Lensemble des expressions r0 + r1 i +r2 i 2 + + rp i p , muni de la somme et du produit, se note C et sappelle lensemble des nombres complexes. La relation i 2 = 1 permet de simplier lexpression dun nombre complexe : on a i 3 = (i 2 ) i = i et

i 4 = (1)2 = 1 , donc par exemple 1 2 i +3 i 3 +4 i 5 = 1 2 i +3( i)+4 i = 1 i . Plus gnralement, pour tout entier n 0 , on a i 2n =(i 2 )n =(1)n et i 2n+1 =(i 2n ) i =(1)n i . Il sensuit que tout lment de C scrit a + b i , avec a et b des nombres rels.

1.1 Rgles de calcul sur les nombres complexesVoici les rgles concernant les expressions a + b i , o a et b sont des nombres rels.i)

(a + b i) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b ) i et (a + b i)(a + b i) = (aa bb ) + (ab + ba ) i .a lquivalence a + b i = 0 (a = 0 et b = 0) .Dmontrons le sens direct de (ii). Supposons que a et b sont des nombres rels tels que

ii) On

a + b i = 0 , ou encore a = b i . En levant au carr, on obtient a2 = (b i)2 = b2 i 2 = b2 . Mais puisque a et b sont des nombres rels, a2 est positif ou nul et b2 est ngatif ou nul, donc a = b = 0 .

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 35

Dnitions Soit z = a + b i un nombre complexe, o a et b sont des nombres rels. Le nombre

a , appel partie relle de z , se note partie imaginaire de z , se note Im(z ) .

Re(z ) ; le nombre b , appel

Le conjugu de

z est le nombre complexe z = a b i . Le module de z est le nombre rel positif ou nul |z | = a2 + b2 . zz = |z |2

On a les relations : 2 Re(z ) = z + z , 2 i Im(z ) = z z , |z | = | z | , les quivalences : ( |z | = 0 z = 0 ) , ( z R z = z ) et les ingalits : | Re(z )| |z | et | Im(z )| |z | .Pour montrer ces ingalits, il suft de remarquer que si z = a + b i , alors a2 donc |a| a2 + b2 , et de mme |b| a2 + b2 .

a2 + b2

Si z est un nombre rel, le module de z est simplement la valeur absolue.

Inverse d'un nombre complexe non nul. Si z est un nombre complexe non nul, le module de z est un nombre rel non nul ; en divisant par |z |2 lgalit zz = |z |2 , on obtient z1 z = 1 : cela signie que le nombre complexe 1 z est |z |2 |z |2

linverse de z pour la multiplication. Si z = a + b i est un nombre complexe non nul, linverse de z pour la multiplication est le nombre complexe z 1 = 1 = z 2 =

z

|z |

a 2 b 2 i. a2 + b2 a +b

Calculs sur le conjugu et le module. Pour tous nombres complexes z et z , on ai) ii) iii)

z+z = z +z

, zz = z zz z

et si z = 0 ,

|zz | = |z ||z | et si z = 0 , |z + z |

=

|z | . |z |

z z

= z .z

|z | + |z | (ingalit triangulaire)

Dmonstrationi) Si z = a + b i et z = a + b i , alors z + z = a+a b i b i = z + z et z z = (a b i)(a b i) =

(aa bb ) (ab +ba ) i = zz . Pour la troisime galit, il suft de montrer que pour z = 0 , 1 le conjugu de 1 est 1 , ce qui rsulte de la formule = 2 a 2 2 b 2 i. z a + bi a +b a +b zii) Puisque |z |2 = zz et |z |2 = z z , il vient

(|z ||z |)2 = |z |2 |z |2 = zzz z = (zz )( z z ) = (zz )( zz ) = |zz |2 .Si z = 0 , alors on a 1 = |1| = z 1 = |z | 1 , donc 1 = 1 .

z

z

z

|z |

iii) On a

|z +z |2 = (z +z )(z +z ) = zz + zz + z z + z z = |z |2 + 2 Re(zz ) + |z |2 ,car zz = zz .

36 LES NOMBRES COMPLEXES

Par suite,

|z + z |2

|z |2 + 2 |Re(zz )| + |z |2 |z | + 2|z ||z | + |z |2 2

car pour tout nombre rel x, on a x

|x|

car |Re(zz )|

|zz | = |z ||z | = |z ||z |

(|z | + |z |)2 .Puisque le module est un nombre rel positif ou nul, on en dduit lingalit triangulaire en prenant les racines carres.

Exemple. Supposons quun nombre complexe z vrie lingalit |z a| < a , o a est un nombre rel strictement positif. Puisque Re(a) = a , on a alors | Re(z ) a| = | Re(z a)| |z a| < a , ou encore a < Re(z ) a < a : cela implique Re(z ) > 0 . Argument d'un nombre complexe. Rappelons la proprit suivante :si a et b sont des nombres rels tels que a2 + b2 = 1 , il existe un unique nombre rel t [0, 2 [ tel que a = cos t et b = sin t . Puisquun nombre complexe de module 1 scrit a + b i , o a et b sont des nombres rels vriant a2 + b2 = 1 , on en dduit que tout nombre complexe de module 1 est de la forme cos t + i sin t . Si z est un nombre complexe non nul, le nombre z est de module 1 , donc scrit |z | z = cos t + i sin t , o t [0, 2 [ .|z |

DnitionTout nombre complexe z = 0 scrit de manire unique z = |z |(cos t + i sin t) , o t [0, 2 [ . Le nombre t sappelle largument de z et se note Arg(z ) . Des nombres complexes non nuls sont gaux si et seulement sils ont mme module Soit

et mme argument. z un nombre complexe non nul. Le nombre z est rel positif si et seulement si Arg(z ) = 0 . Le nombre z est rel ngatif si et seulement si Arg(z ) = .

Formules de Moivre. Pour tous nombres rels t et t , on a i) cos t + i sin t cos t + i sin t = cos(t + t ) + i sin(t + t ) .ii) iii)

cos t + i sin t cos t + i sin t

1 n

= cos t i sin t . = cos nt + i sin nt , pour tout entier n Z .

Dmonstration. La premire galit est une transcription des formules de trigonomtrie cos(t + t ) = cos t cos t sin t sin t et sin(t + t ) = sin t cos t + cos t sin t . Le nombre cos t + i sin t tant de module 1 , son inverse est gal son conjugu cos t i sin t . La troisime formule se dmontre par rcurrence pour n 1 en utilisant (i) ; on en dduit la formule pour n < 0 en appliquant (ii) et les relations cos(nt) = cos(nt) et sin(nt) = sin(nt) .

Pour pratiquer la dernire formule de Moivre, on utilise le dveloppement de (a + b)n par la formule du binme de Newton (page 61).

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 37

Argument d'un produit ou d'un quotient. Si des nombres complexes non nuls z et z ont pour argument t et t , alors le produit zz a pour argument t + t modulo 2 , z a pour argument t t modulo 2 . le quotientz

1.2 Exponentielle d'un nombre complexePour tout nombre rel x , on sait dnir lexponentielle de x , note exp x ou encore ex . On a e0 = 1 , ex > 0 et ex ex = ex+x pour tous nombres rels x, x .

Dnition Si z = x + y i est un nombre complexe, o x et y sont rels, le nombre complexe exp z = (exp x)(cos y + i sin y ) sappelle lexponentielle de z ; on le note aussi ez .Cette notation est justie, car si z est un nombre rel x , alors sa partie imaginaire y est nulle, on a cos y + i sin y = 1 et exp z est gal lexponentielle relle de x . Daprs la dnition, on a pour tous nombres rels x et y , les relations

= cos y + i sin y , ex+i y = ex ei y 1 1 (ei y e i y ) cos y = Re(ei y ) = (ei y + e i y ) , sin y = Im(ei y ) = ei y

2

2i

= i , ei = 1 , e2 i = 1 . i(y + ) e = ei y , ei(y+2)) = ei y ei /2

Exemples. On a 1 + i =

i /4 2e , 3 + i = 2ei /6 et 1 + i 3 = 2ei /3 .

Proprits de l'exponentielletous nombres complexes z et z , on a ez ez = ez +z . 2) Pour tout nombre complexe z , on a ez =e z , |ez |=eRe(z ) et Arg(ez )=Im(z ) modulo 2 .1) Pour 3) Pour

tous nombres complexes z et z , on a lquivalence ez =ez z =z +2k i , o k Z .

Dmonstration 1) En posant z = x + i y et z = x + i y , o x, y, x , y sont rels, il vient ez ez = (exp x)(cos y + i sin y )(exp x )(cos y + i sin y ) = (exp x)(exp x )(cos y + i sin y )(cos y + i sin y ) = exp(x + x ) cos(y + y ) + i sin(y + y ) = ez+z ,2) Posons z = x + i y , o x =

daprs la formule de Moivre.

Re(z ) et y = Im(z ) . On a lgalit= cos y + i sin y = cos y i sin y = e i y

ei yz x iy

et puisque e = e e , il vient ez = ex ei y = ex ei y = ex e i y = exi y = e z . On a aussi |ei y | = | cos y + i sin y | = 1 , donc |ez | = ex ei y | = |ex ||ei y | = ex , car ex est positif. Par dnition, Arg(ez ) = Arg(ei y ) est gal y modulo 2 . 3) Supposons que u est un nombre complexe tel que eu = 1 et posons u = a + b i , o a et b sont des nombres rels. On a 1 = |eu | = ea , donc a = 0 car la fonction exponentielle relle

38 LES NOMBRES COMPLEXES

est une bijection de R dans ]0, +[ . On a aussi Arg(1) = 0 et Arg(eu ) = b modulo 2 , donc b est de la forme 2k , o k Z . Il sensuit u = b i = 2k i . Rciproquement, pour tout entier k , on a e2k i = cos(2k ) + i sin(2k ) = 1 . Cela montre que les nombres complexes u tels que eu = 1 sont ceux de la forme 2k i , o k est un entier relatif. Soient maintenant des nombres complexes z et z . Daprs (i), on a lquivalence ez = ez ez z = e0 = 1 . Daprs ce qui prcde, cela quivaut z z = 2k i , o k Z .

Proposition. Si x et y sont des nombres rels, alors |ei x ei y | = 2| sin

xy |. 2

Dmonstration. Nous avons ei x ei y = ei y (ei(xy) 1) donc |ei x ei y | = |ei y ||ei(xy) 1| = |ei(xy) 1| car ei y est de module 1 . Posons = x y . Par dnition du module, il vient |ei 1|2 = (ei 1)(ei 1) = (ei 1)(e i 1) = ei e i (ei + e i ) + 1 = 1 2 Re(ei ) + 1 = 2 2 cos . Puisque 1 cos = 2 sin2 , on obtient |ei 1|2 = 4 sin2 , do le rsultat en prenant les 2 2

racines carres.

1.3 Utilisation gomtrique des nombres complexesDonnons-nous un repre orthonorm (O; i, j ) du plan euclidien. Si z est un nombre complexe, le point de coordonnes (a,b) sappelle le point dafxe z (dans le repre). Le nombre z peut donc se reprsenter par un point du plan. Si P est le point de coordonnes (a , b ) , lafxe de P est le nombre z = a + b i et le vecteur P P est reprsent par le nombre complexe z z = (a a) + (b b) i .

Distance. La distance P P est gale (a a)2 + (b b)2 = |z z | . En particulier, la distance OP est gale au module de z . Angle polaire. Soit P un point du plan diffrent de lorigine. Si z est lafxe de P , les coordonnes de P sont (|z | cos t, |z | sin t) , o t = Arg z . Soit U le point de coordonnes (cos t, sin t) . Langle de vecteurs i, OU a pour mesure

|z | sin t

j

P U t i

t . On a OP = |z |OU et |z | > 0 , donc i, OP = i, OU . Langle

O

|z | cos t

i, OP sappelle langle polaire de P . Langle polaire dun point dafxe z = 0 a donc pour mesure Arg z . Coordonnes polaires. Puisquun nombre complexe non nul est dtermin par son module et son argument, tout point M du plan, diffrent de lorigine, est dtermin par la distance OM et langle polaire i, OM . Soit [0, 2 [ la mesure de langle polaire et soit r = OM : les nombres r, sappellent les coordonnes polaires du point M .

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 39

Angle de vecteurs. Soient A, P, Q des points du plan tels que P = A et Q = A .Les vecteurs non nuls AP et AQ forment langle AP , AQ =

i, AQ i, AP .

Notons p lafxe du point P et q lafxe du point Q . Comme le vecteur AP est reprsent par le nombre complexe p a , langle i, AP a pour mesure largument de p a ; de mme, langle i, AQ a pour mesure largument de q a . Donc langle

AP , AQ a pour mesure Arg(q a) Arg(p a) = Arg j(q a)

qa pa

.

Q(q ) P (p )( p a)/2

ei(y + )

/2

A(a) O

ray

on

1

ei y

i2

La gure de droite montre laspect gomtrique de lgalit |ei(y+) ei y | = 2| sin | , pour y et rels.

Produit scalaire. Si U = a i +bj et U = a i +b j sont des vecteurs du plan, leur produit scalaire U U est le nombre aa + bb . On a ( a + b i )(a + b i) = (a b i)(a + b i) = aa + bb + (ab ba ) i , donc

U U = Re( zz ) , o z reprsente le vecteur U et z le vecteur U .

Exemples de transformations du planLes glissements. tudions la transformation f : C C dnie par f (z ) = z + u , o u est un nombre rel non nul.Si M est un point dafxe z = x + y i , avec x et y des nombres rels, le point M dafxe z = x y i est symtrique de M par rapport laxe des abscisses. Soit M le point dafxe f (z )= z + u . Le vecteur M M a pour afxe f (z ) z = u et puisque u est rel, on a M M = ui . La transformation du plan dnie par M M est donc la compose t s de la translation t de vecteur ui et de la symtrie orthogonale s par rapport laxe Ox des abscisses : une telle transformation sappelle un glissement daxe Ox . On a

f f (z ) = f (z + u) = z + u + u = z + u + u = z + 2u ,car u est rel.

40 LES NOMBRES COMPLEXES

Le point dafxe f f (z ) se dduit donc du point dafxe z par la translation de vecteur 2ui .

M

s

M

t

Mgure 1 gure 2

La gure 1 montre quelques itrs par le glissement f . Les glissements permettent de raliser des frises, comme on le voit sur la gure 2 et dans lexercice 13 page 33.

Les similitudes. Soient a un nombre complexe non nul, b un nombre complexe et f : C C la fonction dnie par f (z ) = az + b . Soit z un nombre complexe ; notons M le point dafxe z et M le point dafxe f (z ) . Si

a = 1 , on a f (z ) z = b , donc M M = OB , o B est le point dafxe b . Le vecteur M M est xe, donc la transformation du plan M M est la translation de vecteur OB . Si b = 0 , il ny a aucun point xe ; si b = 0 , alors M = M et la

transformation est lidentit du plan. Supposons

a = 1 . Un nombre z est point xe de f si et seulement si az + b = z , ce qui quivaut (1 a)z = b . Lunique point xe de f est donc = b/(1 a) . En faisant avec des nombres complexes les mmes calculs que dans lexemple 2 page 16, on obtient lgalit () f (z ) = a(z ) , pour tout z C .M M = |a| M = Arg(a)

Notons le point dafxe . La distance M est gale |z | , de mme M = |f (z ) | . Daprs () , on a |f (z ) | = |a(z )| = |a||z | , donc

M

M = |a| M .Langle de vecteurs M , M a pour mesure

f (z ) = Arg(a) . z Cela signie que M est limage de M par la similitude de centre , de rapport |a| et dangle Arg(a) . Remarquons que si a est un nombre rel, f est une homothtie de rapport a . Si a nest pas rel et si |a| = 1 , alors f est une rotation de centre . Arg

R

R

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 41

Itration par une similitude. Exprimons les itrs z1 =az0 +b , z2 =az1 +b , . . . , zn = azn1 + b dun nombre z0 . Daprs () , on a z1 = a(z0 ) , z2 = a(z1 ) et en gnral zn = a(zn1 ) . On en dduit

zn = an (z0 ) pour tout entier net comme =

1,

b , il vient z = an z + (1 an ) = an z + b 1 an . n 0 0 1a 1a

Exemple. La gure ci-contre montre les itrs du point M0 dafxe 1 par lasimilitude z

=

1i 2 1i 1 = = 1 + i, 2 1 (1 + i /2) 2 i 5 2+i = et langle est 2 2

2+i 1i z+ ; le centre est le point dafxe 2 2

M8

M7 M6 M5

le rapport est

M2 Puisque la partie relle et la partie imaginaire de 1 + (i /2) M0 M1 sont positives, on a 0 < < /2 ; la tangente dun argument est le rapport partie imaginaire sur partie relle, donc tg() = 1/2 , ce qui donne pour environ 26,565 degrs.

2+i = Arg 2

= Arg 1 + (i /2) .

i

M4 M3

Le groupe des similitudesSi a est un nombre complexe non nul et si b est un nombre complexe quelconque, notons fa,b : C C lapplication dnie par fa,b (z ) = az + b . Pour tous nombres complexes z et z , on a lquivalence

()

z = az + b z = 1 z b a a

donc lapplication fa,b est une transformation bijective de lensemble C . Soit T lensemble des applications fa,b , o a = 0 . Nous allons montrer que lensemble T est un groupe de transformations de C . Pour cela, vrions les trois proprits de la dnition donne page 28. On a

f1,0 (z ) = z quel que soit z , donc f1,0 = idC : la transformation idC appartient donc T . Composons les transformations fa,b et fc,d , o a et c sont non nuls : pour tout nombre complexe z , il vient fa,b fc,d (z ) = fa,b (cz + d) = a(cz + d) + b = (ac)z + ad + b .Puisque ac nest pas nul, la compose fa,b fc,d = fac,ad+b appartient T . Daprs lquivalence

() , la transformation rciproque de fa,b est z 1 z b =a a

1 1 = f1/a,b/a . Cela montre que la transformation fa,b f1/a,b/a (z ) , donc on a fa,b appartient aussi T .

42 LES NOMBRES COMPLEXES

Lensemble T est donc un groupe de transformations de C . Nous avons montr prcdemment que les transformations du plan euclidien reprsentes par les applications fa,b sont les similitudes. Lensemble des similitudes du plan euclidien est donc aussi un groupe de transformations.

2. Fonctions polynmes2.1 Dnitions et proprits gnralesDnitionsUn polynme est une expression P = p0 + p1 z + p2 z 2 + + pn z n , o p0 ,p1 ,. . .pn sont des nombres rels ou complexes. Les nombres pi sont les coefcients de P . Si le coefcient pn nest pas nul, lentier n sappelle le degr de P et se note deg P . La fonction P : C C dnie par P (z )= p0 + p1 z + p2 z 2 + + pn z n est appele fonction polynme. La valeur

P (0) = p0 est le terme constant du polynme.

Une somme, un produit ou une compose de polynmes est un polynme. Le produit dun polynme de degr

p et dun polynme de degr q est un polynme de degr p + q . Le polynme nul na pas de degr. Il sensuit quun produit de polynmes nest nul que si lun des facteurs est nul. On peut aussi driver un polynme, en appliquant les rgles valables pour une fonction dune variable relle. Ainsi, la drive du polynme z k est kz k1 , o lon convient (pour k = 1 ) que lon a z 0 = 1 . Nous ferons toujours cette convention dans les calculs. DnitionLa drive du polynme P = p0 + p1 z + p2 z 2 + + pn z n est le polynme P = p1 +2p2 z + + npn z n1 si n 1 . Si n =0 , le polynme P est constant et lon a P =0 . On dnit de proche en proche les drives successives de P : la drive seconde note P et pour tout entier k 3 , la drive k -ime, note P (k) .

Exemples Si P = z n , la drive k -ime de P est P (k) = Supposons

n(n 1) (n k + 1)z nk = n! z nk k! 02 3

si 0

k

n

si k > n

P = p0 + p1 z + p2 z + p3 z . On a p0 = P (0) et P = p1 +2p2 z +3p3 z 2 , donc p1 = P (0) . En drivant nouveau, il vient P = 2p2 + 3 2p3 z , donc 2p2 = P (0) , puis P (3) = 3 2p3 , donc 6p3 = P (3) (0) . Plus gnralement, pour un polynme P = p0 + p1 z + + pn z n de degr n , on a les relations k ! pk = P (k) (0) pour tout entier k tel que 0 k n . Les coefcients de

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 43

P sexpriment donc au moyen des drives en 0 par les formules : pk =On a ainsi lgalit

P (k) (0) . k!

P = P (0) +

P (0) 2 P (0) P (k) (0) k P (n) (0) n z+ z + + z + + z 1! 2! k! n!

Formule de Taylor pour les polynmes. Si P est un polynme de degr n , alors pour tout nombre complexe a , on a P (a) P (a) P (k) (a) P (n) (a) (z a)+ (z a)2 + + (z a)k + + (z a)n . P = P (a)+ 1! 2! k! n!Dmonstration. Nous venons de voir que la formule est vraie si a = 0 . Dans le cas gnral, dnissons un polynme Q en posant Q(z ) = P (z + a) . Daprs les rgles de drivation, on a Q (z ) = P (z + a) , do Q(k) (z ) = P (k) (z + a) pour tout entier k 1 . On en dduit Q(0) = P (a) , Q(k) (0) = P (k) (a) et il vient Q (0) Q(k) (0) k Q(n) (0) n Q (0) 2 z+ z + + z + + z 1! 2! k! n! P (a) P (k) (a) k P (n) (a) n P (a) 2 = P (a) + z+ z + + z + + z . 1! 2! k! n! Remplaons z par z a ; puisque Q(z a) = P (z ) , on obtient la formule annonce. Q(z ) = Q(0) +

2.2 Racines d'un polynmeDnition Soit P un polynme. Un nombre complexe a tel que P (a) = 0 sappelle une racine de P . Si P (a) = P (a) = 0 , on dit que a est racine multiple de P . Exemples Les nombres Posons

j=

Il vient donc la relation 1 + j + j 2 = 0 . Cela signie que j est racine du polynme z 2 + z + 1 ; lautre racine est j , car 1 + j + j 2 = 1 + j + j 2 = 1 + (1) = 0 .

3 3 1 1 + i . On a j 2 = i = j , do j + j 2 = j + j = 2 Re(j ) = 1 . 2 2 2 2

i et i sont racines du polynme z 2 + 1 .

Proposition. Soit P un polynme coefcients rels. Pour tout nombre complexe z , on a P (z ) = P ( z ) . Si a est racine de P , alors a est racine de P .Dmonstration. Soit P = p0 + p1 z + + pn z n un polynme dont les coefcients p0 , . . . , pnsont tous rels. On a

P (z ) = p0 + p1 z + + pn z n = p0 + p1 z + + pn z n = p0 + p1 z + + pn z n = p0 + p1 z + + pn z = P (z ) .n

car pi z i = pi z i et pi = pi car z i = z i .

44 FONCTIONS POLYNOMES

Si a est racine de P , alors on a P (a) = 0 , donc aussi P (a) = 0 et par suite P ( a ) = 0 .

Proposition. Soit P un polynme. Un nombre Un nombre

a est racine de P si et seulement sil existe un polynme Q tel que P =(z a)Q .

a est racine multiple de P si et seulement sil existe un polynme R tel que P = (z a)2 R .

Dmonstration. Si Q existe, alors P (a) = (a a)Q(a) = 0 , donc a est racine de P . Rciproquement, supposons P (a) = 0 . Daprs la formule de Taylor, nous avons P = P (a) + P (a)(z a) + = (z a) P (a) + P (a) P (n) (a) (z a)2 + + (z a)n 2! n!

P (a) P (n) (a) (z a) + + (z a)n1 2! n!

expression qui est bien de la forme (z a)Q , o Q est un polynme. Supposons que P = (z a)2 R , o R est un polynme. En drivant, on obtient P = 2(z a)R + (z a)2 R , donc P (a) = 0 . Rciproquement, supposons P (a) = P (a) = 0 . Alors le premier terme de la formule de Taylor est lexpression de P .

P (a) (z a)2 et (z a)2 est en facteur dans 2!

Exemple. Posons P = z 3 3z + a , o a est un nombre rel. Les racines de P =3z 2 3 sont 1 et lon a P (1) = 2 + a , P (1) = 2 + a : le polynme P na donc une racine multiple que si a = 2 . Pour tudier les racines de P , nous avons reprsent ci-dessous les graphes des fonctions x x3 3x + a lorsque a prend les valeurs 0 , 1 , 2 et 3 .y y3 2 1 1 2 1 1 2 1

y4

y5

x

1 1

x

2 1

1

x

1

1

x

y = x3 3xgure 1

y = x3 3x + 1gure 2

y = x3 3x + 2gure 33

y = x3 3x + 3gure 4

Si

a ]2, 2[ , on voit que le graphe de la fonction x x 3x + a coupe laxe des abscisses en trois points : le polynme P a donc trois racines relles (gures 1 et 2). En ces points, le graphe nest pas tangent laxe des abscisses, ce qui traduit le fait que les racines sont simples, cest--dire non multiples. a = 2 , le graphe est tangent laxe au point dabscisse 1 : cela correspond aux galits P (1) = P (1) = 0 , donc 1 est racine double de P (gure 3). La factorisation

Si

Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES ET POLYNOMES 45

P = z 3 3z + 2 = (z 1)2 (z + 2) montre que lautre racine est 2 . De mme, si a = 2 , alors P